移动载荷作用下连续梁的动力响应分析

第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003年11月移动载荷作用下连续梁的动力响应分析钟卫洲1, 2，罗景润1，高芳清3，徐友钜1（1.中国工程物理研究院结构力学研究所，绵阳 621900；2.中国工程物理研究院研究生部，绵阳 621900;3.西南交通大学振动与强度实验室，成都 610031）摘要： 本文以磁悬浮交通轮轨接触车桥动力行为研究为背景，把车辆对桥梁的动力作用简化为一个稳态力和一个低频扰动力，把连续钢桥梁简化为伯努力—欧拉梁，建立了车辆过桥的力学模型和振动微分方程，运用模态分析法得到了该微分方程的解析解，分析了连续桥梁频率方程、模态表达式以及低阶模态。

援引德国TR06和连续钢梁的参数对不同速度的移动荷载下连续钢梁的动力响应进行计算分析，给出了相应条件下连续梁的动挠度曲线（w-t图和w-x图），并分析了桥梁的动力响应特征。

本文的研究为评定桥梁在高速车辆作用下的稳定性和安全性提供了参考。

关键词： 连续梁；模态分析；动力响应；动挠度Dynamic Response Analysis of Continuous Beam UnderMoving LoadZHONG Wei-zhou 1, 2, LUO Jing-run 1, GAO Fang-qing3, XU You-ju 1(1.Institute of Structural Mechanics of CAEP, Mianyang 621900; 2.Graduated School of CAEP, Mianyang 621900;boratory of Vibration and Intensity of SWJTU, Chengdu 610031)Abstract: This paper is based on the background of the study of the dynamic behavior between maglev vehicle and guideway. The moving force exerting on the bridge is simplified as a steady force and a pulsating force with low frequency. The continuous steel beam is taken as Bernoulli-Euler beam, then the corresponding force model and vibrating equation of the bridge is established. The modal analysis method is applied to solve the equation of vibration. Frequency equation, analytical solution of mode of the beam and the lower modes are analysed. By quoting the data of TR06 of German, the dynamic response of continuous beam is obtained under moving vehicle at several typical speeds. The results of this paper can be taken as reference to assess security and stability of a bridge under moving load.key words: continuous beam; modal analysis ; dynamic response; dynamic deflection1 引 言车辆从桥上通过时，桥跨结构将发生竖向振动，引起这种竖向振动的原因是很多的，也很复杂。

内燃机车和电力机车的动力机械部分和发动机部分的振动惯性力也会对桥跨结构产生竖向振动。

对于铁路桥梁来说，蒸汽机车从桥上通过时，机车动轮中剩余未均衡质量的离心力对桥跨结构产生竖向周期性的压力，从而使桥梁结构发生竖向周期性的压力，使桥梁结构发生竖向振动；铁路钢轨面不平，钢轨存在接缝、轮周磨损不圆以及公路路面不平整致使车轮起伏运动等也是引起桥跨结构振动的原因。

对于公路桥梁来说，当载重车辆由于桥头或桥面上路面不平整，发生颠簸时，车辆簧上部分（即车身）会发生竖向振动，从而车辆振动的竖向惯性力对桥跨结构作用竖向周期性压力，而一些高速和新型交通工具（例如高速铁路和磁悬浮交通）出于行车安全或旅客舒适度的考虑，往往对车桥的动力响应要求更为特殊。

所以多年来，人们一直对于移动荷载作用下桥梁与车辆的动态响应十分关注，从古典的弹簧质点体系到现代车桥相互作用理论，已经进行了不少研究[1,2,3]，本文主要针对移动载荷作用下连续梁的动力响应进行了分析计算，给出了给出相应条件下连续梁的动挠度曲线（w-t 图和w-x 图）。

2 车—桥模型的建立余未均衡质量的周期性离心力，以及为了使旅客有一定的舒适度（一系悬挂）而产生竖向周期性压力P 1sin(Ωt)( Ω为简谐干扰力的圆频率)对桥梁的作用，假设梁为单自由度位移，即只考虑连续梁在竖向上的响应，在其他方向上的振动非常小，可以忽点相对梁静平衡时的位移随该处的x 和t 而定，因此可用时空函数w(x,t)来表示梁的动态响假设车辆以速度v 匀速从双跨连续桥梁上通过，如图1所示，车辆轮轴作用在桥梁上的竖向压力为P 0，车轮由于机车动轮中剩系统，考虑粘性阻力。

作为定性分析研究，我们可以把车辆简化成为一个动力P （一个稳态力P 0和一个随时间以正弦形式周期变化的力P 1sin(Ωt)），把连续双跨桥梁近似看作一个连续双跨梁来分析研究。

假设在动力P 作用下，连续梁只在竖向发生略不计。

已知梁的抗弯刚度为EI （E 为弹性模量，I 为横截面惯性矩）为常数，沿梁跨单位长度上的质量为m （常数），梁的粘性系数为c ，作用在连续梁上的动力（运动的车辆）为P(P=P 0+P 1sin(Ωt))。

由于距梁左端x 处的质应。

假设连续梁x 处的弯矩为M(x,t)，剪力为Q(x,t)，单位长度上的荷载为q(x,t)，则移动载荷作用下连续梁动力响应偏微分方程为[4]：)(),(),(),(24vt x p t x w m t x w c x t x w EI−=+∂+∂δ （1） 24tt ∂∂∂∂边界条件a 、 位移边界条件：和初始条件为：;0),0(=t w ;0),(=t L w ;0),2(=t L w （2） 矩为零： b 、 两端为铰支，两端弯;0),0(22= ∂x∂tw ;0),2(22∂w 3=∂t L x（）c 、 初始条件：=)0,(x w ;00(∂∂x )0,=x w ; 0)0=,(∂∂x tw 3对于等跨、等截面的阻尼连续梁在动荷载作用下的强迫振动，如果该振动存在n 个自由度，则可[5]，然后通过叠加这些自由度的响应来得到系统原来的振动，可以借助模态方法来分析。

1n ; （4） 连续梁的动力响应分析以看作n 个单自由度系统的振动来考虑对于图1所示的简化模型，连续梁在动载作用下的响应可由模态分析法求得，对于偏微分方程（1），其解的解析表达式为：∑=)()(),(n n x t q t x w φ ]2,0[L x ∞=∈ （5）其中Φn (x)为振动的n 阶模态正交振型，q n (t)为振动的n 阶模态正则坐标，其Φn (x)、q n (t)的值由以下表达式确定。

a))(x n φ的表达式： 1、 n=1,3,5,7,9…时：]sin[)(2)1(Lxn n x πφ+= （6） 2、 n=2,4,6,8…时：L x k n n x inh(φ],0[L x k kLxk nn n s sin)sinh sin −=∈ （7）)sinh()sin()(2sinh sin 2LxL nk k L x L nn k k x nn −−−=φ ]2,[L L x ∈ （8）的值由n k π+=−1n n k k 式确定，其中93.31=k 。

b)的表达式：)(t q n1、 n=1,3,5,7,9…时：)sin()sin (1210222t n t p p mLq n n dtdq nn dt q d n n ωωωζΩ+=++ （9） 2、 n=2,4,6,8…时：−Ω+=++2dt 2q d ))[sin(sin (12102Lvt k t p p mL q dt dq n n n n nn n ωωζ )]sinh(sinh sin Lvtk k k n n n （L vt ≤≤0） （10）×Ω+=++)sin (1210222t p p mLq dt dq dt q d n n n nn n ωωζ )]2(sinh sinh sin )2([sin L vt k k k Lvtk n n n n −−−(L vt L 2≤≤) （11）根据Φn (x)表达式可知两等跨、等截面连续梁的奇数阶模态关于连续梁跨中呈反对称，偶数阶模态关于连续梁跨中呈对称[6]，其前四阶模态如图2：；m=1550 kg/m ），取Ω=0.94；同速度v 通过连续梁桥的振动响应（w-x 、w-t ），如下图所示（取其前6阶的振动响应叠加）：。

图2 连续梁模态图Fig.2 The modes of continuous beam4 计算结果分析与讨论钢梁援引德国TR06磁浮参数（EI=10.66×109 N-m 2；L=49.708 m C=0.2； P 0=20T ；P 1=4T ，通过（6）~（11）式计算不从图3~ 8中的振动响应曲线和动挠度时程曲线比较分析可以明显看出：连续梁在动力作用下，其梁上节点的振动犹如蛇行波的形状在其竖向位置作强迫振动，随着车辆速度的增大，蛇行波的周期和振幅也随之增大，即连续钢桥梁的动力响应也增大。

但当车辆速度（车辆的运动频率等于连续梁的某阶固有频率）达到一定时，连续梁会产生共振响应，此时蛇行波的振幅趋于无穷大，将会影响连续桥梁稳定、安全的工作。

发生一阶共振时（动力通过频率与第一阶固有频率相等）有：n n ωω= （12）m EI LL v m EIL n n 222222111πππωω=×⇒== （13） 66.59611=×=mEILv π(km/h) 以次类推，可以求出在任意阶发生共振时，移动载荷通过连续桥梁的速度。

5 结 论连续梁的固有振型由关于跨中支点对称（偶数阶）和反对称（奇数阶）两种组成，在移动载荷作用下，连续梁上节点的振动犹如蛇行波的形状在其竖向位置作强迫振动，振幅随移动载荷速度的增加而增大。