弹塑性力学空间问题

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一 平衡微分方程 取微元体。用相距 dr 的 两个圆球面和两两互成 dϕ 角 的两对径向平面，从弹性体 割取一个微小六面体。由于 球对称，各面上只有正应力， 其应力情况如图所示。 由于对称性，微元体只 有径向体积力 K r。由径向平 dϕ dϕ sin 衡，并考虑到 2 ≅ 2 ，再 略去高阶微量，即得球对称 问题的平衡微分方程：

∂ 2Θ (1 + µ )∇2τ yz + =0 ∂z∂y ∂ 2Θ (1 + µ )∇2τ zx + =0 ∂x∂z ∂ 2Θ (1 + µ )∇2τ xy + =0 ∂y∂x

将应力分量代入，显然均能满足。 三. 检验边界条件 下端面： z = 0, 代入边界条件
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l = m= 0,

n = −1;

∂ϕ = 2c1rz, ∂r ∂2ϕ = 6c2 z 2 ∂z

∂2ϕ = 2c1z, 2 ∂r
x

y

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∂2ϕ 1 ∂ϕ ∂2ϕ 2c1rz 2 ∇ϕ= 2 + + 2 = 2c1z + + 6c2 z ∂r r ∂r ∂z r = (4c1 + 6c2 )z
显然

∇2 ∇2ϕ = 0

(

)

∂  ∂ 2ϕ  应力分量 σ =  µ∇ 2ϕ − 2  r ∂z  ∂r   

可见，对于一个轴 对称问题，只须找到恰 当的重调和的拉甫位移 函数 ζ (r, z) ，使得该位 移函数给出的位移分量 和应力分量能够满足边 界条件，就得到该问题 的正确解答。

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七 举例：半空间体在边界上受法向集中力 设有半空间体，体力不计，在其边界上受有法向集 中力，如图所示。试求其应力与位移。 解：取坐标系如图。通过量纲 分析，拉甫位移函数应是F乘 以R、z、ρ等长度坐标的正一 次幂，试算后，设位移函数为

4π (1 − µ )A1 + 2A2 = P
P (1 − 2µ) A1 = , A2 = − P 2π 2π

由(d)及(e)二式的联立求解，得

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将得出的A1及A2回代，得

(1 + µ)P  rz (1 − 2µ)r  ur =  R2 − R + z  2πER   (1 + µ)P  z2  ω= 2(1 − µ) + 2  2πER  R 
这就是按位移求解球对称问题时所需要用的基本微分方 程。
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五 举例：空心圆球受均布压力 设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa， 外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。 解： 由于体力不计，球对称问题的微分方程简化为
d 2ur 2 dur 2 + − 2 ur = 0 2 r dr r dr

一· 检验平衡微分方程 ∂σx ∂τyx ∂τzx + + + X =0 ∂x ∂y ∂z

∂τxy ∂σy ∂τzy + + +Y =0 ∂x ∂y ∂z ∂τxz ∂τyz ∂σz + + +Z = 0 ∂x ∂y ∂z
显然满足。 二. 检验相容性 因为体力为常量，相容方程为：
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∂ 2Θ (1 + µ )∇2σ x + 2 = 0, ∂x ∂ 2Θ (1 + µ )∇2σ y + 2 = 0, ∂y ∂ 2Θ (1 + µ )∇2σ z + 2 = 0, ∂z
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∂  2 ∂2 ∂  2 1∂  σ r =  µ∇ − 2 ζ , σ θ =  µ∇ − ζ r ∂r  ∂z  ∂z  ∂r  ∂2 ∂2 ∂  ∂  σ z = ( 2 − µ )∇ 2 − 2 ζ , τ zr = (1 − µ )∇ 2 − 2 ζ ∂z  ∂r  ∂z  ∂z  可以求得位移分量和应力分量 A1rz A2 r A1  3 − 4µ z 2  A2 ur = + , ω= + 3+ ,  3
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况 以及所受的外来因素，都对称于某一点（通过这一点的 任意平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也 对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。 根据球对称的特点，应采用球坐标 (r , θ , ϕ ) 表示。若 以弹性体的对称点为坐标原点 O ，则球对称问题的应力 分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标 r 的函数， 而与其余两个坐标无关。 显然，球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球 体中。
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(a )

m = ±1; l = ±1;

X =Y = Z = 0 X =Y = Z = 0

习题8.2 试用Love应力函数

ϕ = z (c1r 2 + c2 z 2 ) 求解圆柱
z

杆的两端受均匀分布作用的各应力分量。

解： 首先检查应力函数是否满足 相容条件

∇2 ∇2ϕ = 0
L

( )

对函数 ϕ 进行求导，得
ζ = A1R + A2 [R − z ln(R + z)]
=( A1 + A2 ) r 2 + z 2 − A2 z ln r 2 + z 2 + z
P
R

x

y

z

[

]

z

根据位移分量和应力分量与位移函数的关系：

∂2 1 ∂ 2ζ 1  2 ur = − ,ω = 2(1 − µ )∇ − 2 ζ 2G ∂r∂z 2G  ∂z 

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边界条件是

(σ z ) z =0, r ≠ 0 = 0 (τ rz ) z = 0, r ≠ 0 = 0

(a) (b) (c)

根据圣维南原理，有

∫

∞

0

(2πr d r)σ z + P = 0

边界条件(a)是满足的。由边界条件(b)得

(1 − 2r ) A 1 + A2 = 0
由条件(c)得

(d) (e)

其解为
u r = Ar +

B r2
B r3 B r3

x

得应力分量
σr =
E 2E A− 1+ µ 1 − 2µ E E A+ σt = 1 − 2µ 1+ µ
y z

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将边界条件 (σ r )r =a = −q a
a3qa − b3qb (1− 2µ), A= 3 3 E b −a

(σ r )r =b
dσr 2 + (σr −σϕ ) + Kr = 0 dr r
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二 几何方程 由于对称，只可能 发生径向位移 ur ；又由 于对称，只可能发生径 向正应变 ε r 及切向正应 变 ε t ，不可能发生坐标 方向的剪应变。球对称 问题的几何方程为：
du r εr = dr u εt = r r

三 物理方程 球对称问题的物理方 程可直接根据虎克定律得 来： 1
P (1− 2µ)R 3r 2 z  σr = − 3  2  2πR  R + z R  (1− 2µ)P  z R  σθ = 2 R − R + z 2πR   3Pz3 3Pr z 2 σ z = − 5 , τ zr = τ rz = − 2πR 2πR5
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§8-4 空间球对称问题

= −q b

代入上式解得

(

)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a3b3 (qa − qb ) (1+ µ) B= 3 3 2E b − a

(

)

于是得问题的径向位移
 b 3 1 − 2µ a 3 1 − 2µ  +  3+ 3 (1 + µ )r  2r 1 + µ q − 2r 1 + µ q   ur = a b 3 3 E  b  a −1 1− 3  a3  b  
εr =
E 1 ε t = [(1 − µ )σ t − µσr ] E

(σ r − 2µσt )

将应力用应变表示为：
E [(1− µ)εr + 2µεt ] (1+ µ)(1− 2µ) E (εt + µεr ) σt = (1+ µ)(1− 2µ)

σr =

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四 位移法求解的基本微分方程 将几何方程代入物理方程，得弹性方程
五 位移势函数 为简单起见，不计体 力。位移分量的基本微分 方程简化为：
1 1 − 2µ 1 1 − 2µ ur ∂e 2 + ∇ ur − 2 = 0 ∂r r ∂e ∂e + ∇2w = 0 ∂z

e=

∂u r u r ∂w 1 2 + + = ∇ψ ∂r r ∂z 2G
∂ ∇ 2ψ ∂r ∂ ∇ 2ψ ∂z
2GR 2GR( R + z) 2G  R R  2GR  (1 − 2µ) z 3r 3 z   z 1  σ r = A1  − 5  + A2  3 − , 3 R   R R(R + z)   R  (1 − 2µ) z 3z 3  A2 z A1 (1 − 2µ ) z A2 σθ = + + 5 − 3 ,σ z = − A1  3 3 R(R + z) R R  R  R  (1 − 2µ )r 3rz 2  A2 r τ zr = − A1  + 5 − 3 3 R  R  R

应力表达式
b3 a3 −1 1− 3 r3 σ r = − 3 qa − r 3 qb , b a −1 1− 3 a3 b b3 a3 +1 1+ 3 2r 3 σt = 3 qa − 2r3 qb b a −1 1− 3 a3 b
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习题8.1

设有任意形状的等截面杆，密度为 γ 上端悬挂。

下端自由，如图所示。试证明应力分量

X =Y = Z = 0

lσ x + mτ xy + nτ xz = X lτ xy + mσ y + nτ zy = Y lτ xz + mτ yz + nσ z = Z
均满足。 左、右侧面： l = n = 0, 前、后侧面：m = n = 0, 代入(a)式显然满足。 综上所述，所给应力分量满足平衡方程、相容方程 及外力边界条件。

E dur ur   σr = (1 − µ ) dr + 2µ r  (1+ µ )(1− 2µ )   E  dur ur  +  σt = µ (1+ µ )(1− 2µ )  dr r 
再代入平衡微分方程，得

E(1 − µ )  d 2ur 2 dur 2   2 + − 2 ur  + Kr = 0  dr  (1 + µ )(1 − 2µ )  r dr r 

代入不计体力的基本微 分方程，得
∂ 2 ∂ ∇ ψ = 0 , ∇ 2ψ = 0 ∂r ∂z

即 从而有

∇ 2ψ = C
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取 C = 0 ，则 ∇ ψ = 0 。即ψ 为调和函数，由位移势函 数求应力分量的表达式为：
2

σr σ
z

∂ 2ψ 1 ∂ψ = ,σ θ = r ∂r ∂r 2 ∂ 2ψ ∂ 2ψ = , τ rz = ∂r∂z ∂z 2

σ x = 0，σ y = 0，σ z = γz，τ xy = 0，τ yz = 0，τ yz = 0
能满足所有一切条件。 解： 已知应力分量为 z

σ x = 0，σ y = 0，σ z = γz， τ xy = 0，τ yz = 0，τ yz = 0
体力分量为 y

X = Y = 0,

Z = −γ
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2

这样，对于一个轴对 称问题，如果找到适当的 调和函数 ψ(r, z) ，使得由此 给出的位移分量和应力分 量能够满足边界条件，就 得到该问题的正确解答。

其中

∂2 1 ∂ ∂2 ∇ = 2+ + 2 ∂r r ∂r ∂z
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将上式代入不计体力 位移分量基本微分方程， 可见： ∇4ζ =0 即 ζ 是重调和函数，称为 拉甫位移函数。由拉甫位 移函数求应力分量的表达 式为：

∂e 1 = 2G ∂r ∂e 1 = ∂z 2G

∇ 2 ur −

ur 1 ∂ 2 = ∇ψ ∂r r 2 2G ∂r 1 ∂ 2 ∇2w = ∇ψ 2G ∂z

现在假设位移是有势 的，把位移分量用位移势 函数 ψ (r , z ) 表示为：
ur = 1 ∂ψ 1 ∂ψ ,w = 2G ∂r 2G ∂z

注：并不是所有问题中的 位移函数都是有势的。若 位移势函数有势，则体积 2 应变 e = ∇ ψ = C 。 六 拉甫位移函数 为求解轴对称问题， 拉甫引用一个位移函数ζ(r,z) 令
1 ∂ 2ζ ur = − 2G ∂r∂z 1  ∂2  2 w=− 2(1 − µ )∇ − 2 ζ 2G  ∂z 
∂  2 ∂2  σ r =  µ∇ − 2 ζ ∂z  ∂r   

∂ ∂2  2 σ z = (2 − µ )∇ − 2 ζ ∂z  ∂z  ∂2  ∂ 2 τ zr = (1 − µ )∇ − 2 ζ ∂r  ∂z 

σθ =

∂ 2 1 ∂  µ∇ − ζ ∂z  r ∂r 