第一章-生存分布与生命表
临床研究中的生存分析与生命表计算
临床研究中的生存分析与生命表计算生存分析和生命表计算是临床研究中常用的统计方法，旨在探究患者的生存状况和预测其生存期。
本文将对生存分析和生命表计算两个方法进行详细介绍，并探讨其在临床研究中的应用。
一、生存分析生存分析是考察个体是否发生某一事件（如死亡、复发、治愈等）的统计方法，适用于无法精确测量时间的患者，如癌症患者的死亡时间。
生存分析常用的统计方法包括生存曲线、生存率、风险比等。
1. 生存曲线生存曲线是反映患者存活时间的统计图形，通常采用Kaplan-Meier 法来估计。
该方法基于观察到的患者生存时间数据，可绘制出生存曲线，展示出不同时间点的生存率。
通过观察曲线的下降情况，可以初步判断治疗效果是否显著。
2. 生存率生存率是指在一定时间段内存活下来的个体占总体的比例，可以通过生存曲线估计得出。
常见的生存率有1年生存率、3年生存率等，可以提供一定时间点上的患者存活情况，对治疗效果进行评估。
3. 风险比风险比是比较两组或多组患者生存时间的指标，用来评估不同治疗方法的效果。
通常采用Cox回归模型来计算，得出的风险比越大，说明在某一组患者中发生事件的风险越高，治疗效果越差。
二、生命表计算生命表计算是用来评估某一特定人群的生存概率和预测其实际寿命的方法。
生命表常用于人口学研究和流行病学研究中，可提供人群的整体生存情况和相应的死亡风险。
1. 准备数据生命表计算需要搜集大量的人口统计学数据，如人口年龄分布、死亡人数等。
根据这些数据，可以绘制出一个人口的年龄-死亡情况表。
2. 表格内容生命表中通常包含每个年龄组的人口数量、死亡数量、生存人数、死亡率、存活比率等。
通过统计和计算，可以得出各个年龄组的生存概率和死亡风险。
3. 应用和意义生命表计算可用于评估人口的整体生存情况和预测特定年龄组的死亡风险。
在临床研究中，生命表计算可以帮助医生预测患者的存活期，从而指导治疗方案的制定。
结语生存分析和生命表计算是临床研究中常用的统计方法，它们对于评估患者的生存情况和预测生存期具有重要意义。
第一章 生命表
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
生存分布与生命表
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19
令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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20
因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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21
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22
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23
下面讨论几个概念的关系：
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所以
于是
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15
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16
作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
F(x)
分布函数 密度函数 生存函数 死力 x
F(x)
f(x)
S(x)
f(x)
S(x)
x
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17
第二节 生命表
对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长 度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函 数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可 能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来 描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。
F (x)描述了随机变量X的分布函数， 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
10000
1,
x0
sX
(
x)
(100 x)2 10000
,
0
x 100
பைடு நூலகம்0,
x 100
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生存分布与生命表课件
保险是实现风险转移最为有效的方式。
自愿、自由、公平地进行风险转移是一件非常复杂 的事情。保险人首先对风险进行分类，识别可保风险 ；然后运用统计、经济、社会学、金融学、计算机、 法律等一系列专业知识进行消费者行为分析、可行性 分析、资金需求分析、未来投资收益分析等一系列综 合考虑，并采用恰当的数学模型厘定公平的费率；最 后还要保证有足够的偿付能力履行预定的损失赔付责 任。这一系列复杂的工作就催生了保险精算学这一专 业学科的产生与发展。
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
例1-10 已知下面的选择终极生命表： 求：以投保2年的（36）活到40岁的概率。
生存分布与生命表课件
作业 P27 23 作业 P26 7，8，11，16，19
生存分布与生命表课件
生存分布与生命表课件
保险分为财产保险和人身保险两大类。 财产保险是以财产及其相关利益为保险标的，保 险事故是财产的损失。广义上包括财产损失保险 （有形损失）、责任保险、信用保险。 人身保险是以人的生命和身体为保险标的的保险， 保险事故是人的生、老、病、死、残等。广义上包 括人寿保险、健康保险和人身意外伤害险等。
生存分布与生命表课件
课程相关及考核
课程相关： （1） 要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式， 在练习的过程中加深理解和记忆 （2） 计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不 能用手机代替计算器 （3） 教材：寿险精算 中国精算是协会组编 中国财政 经济出版社 （4） 参考书：寿险精算数学 王燕 中国人民大学出版社 （5） 提前预习，上课认真听讲，复习看笔记，认真完 成练习 （6） 概率基础很重要，注意温习
《寿险精算学》实验指导书
《寿险精算学》实验指导书李新统计学院保险教研室山东工商学院目录实验一生存分布与生命表实验二人寿保险趸缴纯保费实验三人寿保险年缴均衡纯保费实验四寿险责任准备金的计算实验一生存分布与生命表实验目的：通过本次实验使学生学会如何利用Excel软件来计算各类死亡概率、生存概率及一些其它的生命表函数。
实验内容：Excel的基本用法；中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）的输入；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算整数年龄各种死亡概率、生存概率；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算分数年龄各种死亡概率、生存概率；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算各类生命表函数。
实验步骤：1、在Excel输入中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）；2、利用生命表基础函数计算各整数年龄段的生存概率nx p 和死亡概率nx q 、x m n q 等。
如计算x 岁的人未来5年内死亡的概率，可以用5年内死亡人数比例来近似死亡概率，计算公式应为：55x x x xl l q l +-=。
先计算0岁的人未来5年内死亡的概率50q ，在单元格F2中输入公式“=(C2-C7)/C2”，按回车键得到结果；再拖动F2单元格右下角的填充柄，向下填充，就可以得到F 列所有整数年龄存活人在未来5年内的死亡概率。
结果如下图所示：其它两种死亡概率n x q 、x m n q 的计算方法类似。
3、在死亡均匀分布假设和常数死亡力假设的前提下计算分数年龄死亡率和生存率,,(0,1)t x tx q p t ∈。
比如计算死亡均匀分布假设下0.2x +的个体在未来0.5年内死亡的概率，公式为0.50.20.510.2xx xq q q +=-。
第一章 生命表
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
• • 非养老金业务男（女）表 养老金业务男（女）表
1.2.2
生命表的构成
考察一封闭式的生存群体，具有以下性质：
• 设定期初总人数 • 随着年龄的增加，活着的人数减少，最后活着的 人数为零，且死亡的总人数等于期初的总人数 • 设定一极限年龄ω
1.2.2
生命表的构成
1. 群体的年龄x x=0,1,2,…,ω，ω为极限年龄
1.1.4
离散型未来寿命的分布
思考下式为何成立及其含义是什么？（k为整数）
k
q x q x 1 | q x 2 | q x k 1 | q x
记住！后面 会多次用到
1.1.5
定义：
死力
x
含义：
s ( x ) s(x)
F ( x ) 1 F (x)
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
1.2
生命表
本节的主要内容
了解生命表的类型 掌握生命表的构成要素（各类函数） 能够利用一般生命表进行计算 理解选择－终极生命表的含义，并能够利用 它解决简单问题。
1.2
生命表含义
是根据以往一定时期那各种年龄的死亡统计资料编制的每个 年龄死亡率组成的汇总表。是过去生命资料的记录。
2021中国精算师资格考试精算师《寿险精算》考试题集
2021中国精算师资格考试精算师《寿险精算》考试题集寿险精算数学第1章生存分布与生命表单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．（2008年真题）已知：（1）3p70＝0.95；（2）2p7l＝0.96；（3）=0.107。
计算5p70的值为（）。
A．0.85B．0.86C．0.87D．0.88E．0.89【答案】E !@~【解析】由于，，故。
2．（2008年真题）已知：（1）(80.5)＝0.0202；（2）(81.5)＝0.0408；（3）(82.5)＝0.0619；（4）死亡服从UDD假设。
计算80.5岁的人在两年之内死亡的概率为（）。
A．0.0782B．0.0785C．0.0790D．0.0796E．0.0800【答案】A !@~【解析】死亡服从UDD假设，故所以。
从而，，故80.5岁的人在两年之内死亡的概率为：3．（2008年真题）已知（1）；（2）；（3）T()为未来剩余寿命随机变量。
计算的值为（）。
A．65B．93C．133D．178E．333【答案】C !@~【解析】由可知x服从均匀分布，故由=ω/2，得，所以4．（2008年真题）设()的未来寿命的密度函数是利率力为δ=0.06，保额为一个单位的终身寿险的现值随机变量为Z，那么满足Pr（Z≤ζ0.9）=0.9的分位数ζ0.9的值为（）。
A．0.5346B．0.5432C．0.5747D．0.5543E．0.5655【答案】E !@~【解析】令，则解得：。
故。
5．（样题）设，0≤x≤100，则=（）。
A．40.5B．41.6C．42.7D．43.8E．44.9【答案】C !@~【解析】由，得：。
故。
6．（样题）给定生命表，如表1-1所示。
求整值剩余寿命K(96)的方差=（）。
表1-1 生命表A．0.39B．0.53C．0.91D．1.11E．1.50【答案】D !@~【解析】由于，。
2011寿险精算数学大纲
《寿险精算数学》教学大纲课程编号：120320JS课程类别：专业基础课开课单位：理学系适用专业：数学与应用数学周学时：4学分：3先修课程：高等数学、概率论、利息理论建议修读学期：5一、课程介绍《寿险精算学》是数学与应用数学（保险精算师方向）专业的专业基础课。
它是以高等数学、概率论有关原理为基础，探讨寿险精算及其规律的一门科学。
通过本课程的学习，学生应能根据要求在理解的基础上牢固记忆本课程所涉及的基本概念，融会贯通所学理论知识并逐步培养分析问题和解决问题的能力，为进一步学习专业课打下基础。
二、教学内容和基本要求第1章生存分布与生命表基本要求1.掌握死亡年龄的概率分布函数2.掌握生存分布3.熟悉生命表教学重点1. 连续型的死亡年龄概率分布2. 离散型的死亡年龄概率分布3. 生存函数，死力教学内容1.1 死亡年龄的概率分布函数1.1.1 连续型的死亡年龄概率分布1.1.2 离散型的死亡年龄概率分布1.2 生存分布1.2.1 生存函数1.2.2 连续型未来寿命的生存分布1.2.3 离散型未来寿命的生存分布1.3 死力1.3.1 死力的定义及性质1.3.2 死力的若干解析形式1.4 生命表1.4.1 生命表函数1.4.2 生命表各函数之间的关系1.4.3 关于尾龄的若干种假设1.4.4 生命表实例1.4.5 选择—终极生命表1.4.6 随即变量T（x）与K（x）的方差公式第2章人寿保险的趸缴纯保费基本要求1.掌握离散型人寿保险模型2.掌握连续型人寿保险模型3.掌握死亡均匀分布假设下寿险模型教学重点1. 离散型人寿保险模型2. 连续型人寿保险模型3. 死亡均匀分布假设下寿险模型教学内容2.1 人寿保险概述2.2 离散型人寿保险模型2.2.1 死亡保险2.2.2 两全保险2.2.3 延期寿险2.2.4 非均衡给付保险2.3 连续型人寿保险模型2.3.1 死亡保险2.3.2 两全保险与延期寿险2.3.3 非均衡给付保险2.3.4 趸缴纯保费的换算函数表示式2.4 死亡均匀分布假设下的寿险模型2.4.1 连续型终身寿险与离散型终身寿险之间的关系2.4.2 实例2.5 递推方程式2.5.1 离散型终身寿险趸缴保费的递推方程式2.5.2 连续型终身寿险趸缴纯保费的微分方程式第3章生存年金的精算现值基本要求1.掌握精算现值的计算方法2.掌握离散型生存年金的计算方法3.掌握变额生存年金、连续型生存年金。
精算数学知识点复习课件
F1 T
(t)，概率密度为
FT (t)
fT (t)，生存函数为
sT(t)，
精算数学知识点复习精算数学知识点
复习
主讲：
郑兆娟
精算数学知识点复习
•
（1）连续t型qx 未FT (t来) P寿r(T 命(x) 的t) 生s(x存) s(sx(分)x t布)
(1.1)
•
精算函数符号 t
px
sT
(t)
1t
• （2）性质
• ①s(0)=1，
，ω为死亡的极限年龄；
精复• 算习数学知识②点复0习≤精算s数(x学)知≤主识讲点1：，x≥0；
郑兆娟
精算数学知识点复习
• （3）条件概率
•
Pr x
①新生婴儿在
xX岁 z与| X zx（ PxrP<rxzX）X x岁z 之sx间sxs死z亡的概率为：
•Pr(x<X≤z)=F(z)－F(x)=s(x)－s(z)
f 1
(x) F ( x)
[ ln
s(x)]'
(1.4)
•
•
1．死亡效力 x
lim
x0
s(x) s(x x) x s(x)
•
（1）定义：达到lim xP{岁x将的在x人 x中岁之，前死在亡}一瞬间里死亡的人所占的比
率，记为μx：
x0
x
x瞬间死亡的比率
• 含义：
精算数学知识点复习精算数学知识点
复习
复习
•郑兆娟
死亡主讲效： 力
精算数学知识点复习
• 【引言】
• 生存分布或生命表，主要是通过对人们的寿命及死亡率的统 计数据，利用概率论与数理统计的原理和现代统计方法，进行整理、 加工、建立起人们的生存分布（即生存函数），构造出人类的生命 表。
精算数学知识点复习
1．连续型的死亡年龄概率分布 记号： X：某人的死亡年龄——寿命——随机变量； 对应分布函数记为F(x)，概率密度记为f(x)，且F′(x)=f(x)； X的分布函数为：
F x Pr X
x Pr某人在
x岁之前死亡
x
0
f
t dt
且F 0 0。
精算数学知识点复习
主讲：郑兆娟
X的均值与方差分别为：
E
X
0
x
f
x dx
Var
X
0
x
E
X
2
f
xdx
E
X2
E2X
2．离散型的死亡年龄概率分布
K：新生婴儿死亡年龄X整数值（即取周岁数），则K=[X]（其中，[ ]是取整函数）。那么，离散型随机
变量K的概率分布律为：
死亡年龄 K
0
1
2
3
…
概率 q
q0
q1
q2
(1.11)
F(x) 1 exp
x
0 tdt
x
f (x) F(x) 1
表明：在de Moivre形式下s(，x)死亡1 年F龄(Xx在) [01，ωx]上服从均匀分布。
②T(x)的分布函数和密度函数为：
精算数学知识点复习
t
px
s(x t) s(x)
x
x
t
FT
(t)
1
t
px
t
x
(1.4)
x
lim
x0
s(x) s(x x s(x)
x)
P{x将在x x岁之前死亡}
lim
x0
x
x瞬间死亡的比率
A5寿险精算总结(数学部分)
A5寿险精算(actuarial aspects of life insurance)公式总结第一章 生存分布与生命表11nx x x x n p p p p ++-=⋅()()()()()1Xx xf x s x l x Fx s x l μ''==-=--()()0x ttxy d yx s d stx p eeμμ+--+⎰⎰==()()00xs d sXxs x ep μ-⎰==()()()()(1),()T x tx tx tx T x tx d d f t p x t p p F t q d t d tμ=⋅+=-=-=()0x l l s x =⋅平均余寿[]011|:0()x x t x tx xxkxxk n k x nxx nk T l d tT E T x p d tl p k q n p e e e∞+∞∞=-=======⋅+⋅⎰⎰∑∑线性假设{}{}()1()(1)11111()1x T x tx x t x x xtx x tx x tx x t xx t xq f t p tq q tq xtx t p tq P r T t xxtq tq P r T t xx t p q t xx txq t q μωωωωωωωωωμ+++=⋅=-==----=-=-==>--===≤---=⋅=----=-⋅与无关指数假设()(),1tT x tx x t ttx x ttx f t p ep ep eq eμμμμμμ-+---=⋅=⋅===-De Moivre 死亡解析律()1,()1xx x s x xωμωωω-==-=-第二章 人寿保险的精算现值2112::()()x nx nV ar Z AA=-常值死力假设()()()()1:022122:0()1()12nn t tx x t x nnn ttx x t x nAE Z vp d t eAE Z vp d t eμδμδμμμδμμμδ-++-++===-+===-+⎰⎰()t x tx x t A E Z vp d t μ∞+==⎰12112:::(),()()n x nx nx x x nnnA E Z E v p V a r Z A A ====-两全保险()()11:::22211211113::::::()2x x nx nnx x x x n x nnnx n n AAA V a r Z A A A A A A =+⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦|()t m x tx x t mA E Z vp d tμ∞+==⎰n 年期年度递增（递减）定期寿险11111|::1()(1)(1)n n k t tx x t k x nx kk k IA k vp d t k Aμ--++===+=+∑∑⎰11111|::1()()()n n k t tx x t k x nx kk k D A n k vp d t n k Aμ--++===-=-∑∑⎰离散型定期保险111:011:1:1212221:1:1[]n k kx x kx nk x x x n x n x x x nx n AE z vp q Av q v p AAv q v p A-++=+-+-===+=+∑递推公式终身寿险12312201k x kx x k x x x x x k x x x x A vp q v q v p q vp q A v q v p A ∞++++=+==+++=+∑递推公式保单分解11|::x nx x n n x x nx nA AE A A A +=+=+变额保险11111|::111111|::1()(1)(1)()()()n n k kx x k k x nx k k n n k kx x k k x nx k k IA k vp q k AD A n k vp q n k A--++==--++===+=+=-=-∑∑∑∑第三章 生命年金的精算现值 连续型终身生命年金222[]1()()1t x tx Tx xx x TTTa E Y a vp d ta A A A V a r a vaδδδ∞====+-=-=⎰常值死力假设212x x x a A A μδμμδμμδ=+=+=+定期生命年金:0::::22::211()()nt tx x nx nx n x n x nx nx navp d t AaAa AAV a r Y δδδ=-=+⇒=-=⎰确定期生命年金:|:()()t tx nx nnx n x nx nnaavp d taa aaa ∞=+=+-=+⎰保单分解离散型期初付生命年金()()2222211::::22::2::11111()()()()k x kx x x k x x x x K x x x x nx n x nx nx n x nx nx nx navp v p vp d aA A A V a r ada v p a Ad aAa dAA V a r Y daaa a ∞=++==+++=+-==+-=+⇒=-==+-∑终身递推定期确定期保单分解期末付生命年金()()2212221:::22::2111()()k x kx x x x k x x K n nx nxx nx nx nx nx na vp v p vp aA A V a r a daavp aE AA V a r Y d∞=+==++=--==-+=-+-=∑终身定期每年支付m 次的生命年金。
第一章生命表1
说明x岁的人将在 x+t岁至x+t+u 岁之间死亡的概率 等于这个人活过t 年的概率与其活过 t年后在往后u年内 死亡的概率之积。
S ( x + t ) S ( x + t ) − S ( x + t + u) = ⋅ S ( x) S (x + t)
= t p x ⋅u q x +t
1-11
另外一个等式
死亡率
生命表
1-3
第一节
寿命分布
4
一、分布函数（X 表示寿命）
寿命X：一个人从出生到死亡的时间长度。 X 是连续型的随机变量。 分布函数：F ( x) = Pr( X ≤ x) = P ( X ≤ x) 意义：0岁的人在 x 岁之前死亡的概率。 密度函数：f ( x) = F ' ( x)
或
∞ = − ∫ t ⋅ ( t p x )' dt = −t ⋅t p x |0 + ∫ t p x dt = ∫ t p x dt 0 0 0 ∞ ∞ ∞
注： lim t ⋅t p x = 0，这是因为t大于一定年数后t p x 便等于0.
t →∞
剩余寿命的方差
Var (T ( x)) = E (T ( x) 2 ) − E (T ( x)) 2 = 2∫ t ⋅ t px dt − ex
x+k x + k +1 1− − (1 − ) 100 100 = x 1− 100
1 = , k = 0,1,2,3," ,99 − x 100 − x
即x岁的人在未来任何一年内死亡的概率是相同 的。这也与实际情况不大吻合。
CH1 生命表
三、死亡力与未来生存时间的分布函数，密度函数之间的关系
根据 f x (t ) ＝
d dt
F x (t ) d dt P [T x t ]
1
f x (t ) ＝
＝ Iim
h 0
h
P [T x t h ] P [T x t ] P [T x t h | T x ] P [T x t | T x ]
f x (t ) ＝
S (x t) S (x)
h 0
Iim
1 P [T x t h ] P [T x t ] h S (x t)
＝ S x (t ) × Iim
h 0
1
P [T x t h | T x t ]
h
＝ S x (t ) × x t 或者，用精算符号，对 0 到 w 间的某一年龄 x
下面就是生存模型可回答的例子：
1.一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少? 2.假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少 人可能在下一年内死亡? 3.如果某一45岁的男性公民，在投保了一个10年 的定期的某种人寿保险，那么应该向他收多少 保费?
4.一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民 的未来生存时间的影响是怎样的?
1. 2. 3. 4. 5.
从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下 的特征： 存在两种状态：生存和死亡。 单个的人──经常称作生命个体──可被划分为生存者或死亡者， 也就是说，我们可说出他们所处的状态。 生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。 任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们应从生存或死 亡概率的探讨而着手生存状况的研究。 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型，用数学公式进行 清晰的描述，从而对死亡率的问题作出了一些解释.
生存分析与生命表的构建与解读
生存分析与生命表的构建与解读生存分析是一种统计方法，用于研究个体从某一特定事件发生开始（如诊断）到另一特定事件发生（如死亡）的时间间隔。
生存分析的结果可以通过生命表来展示和解读。
一、生存分析的构建生存分析可以使用多种方法进行构建，其中最常用的是卡普兰-邓利方法（Kaplan-Meier）和考克斯模型（Cox proportional hazards model）。
1. 卡普兰-邓利方法：该方法适用于无法遵循比例风险假设的数据。
它基于每个观察点的生存状态（存活或死亡）和事件发生时间来计算生存函数。
通过绘制生存曲线，可以直观地显示不同时间点的存活率。
2. 考克斯模型：该方法通过估计风险比例来研究预测变量对生存的影响。
它可以考虑多个预测因子，包括连续型和分类型变量。
通过计算风险比例，可以了解每个预测因子对存活率的相对影响。
二、生命表的构建与解读生命表是对人群中不同年龄组的生存情况进行汇总的一种表格形式。
生命表通常分为静态生命表和动态生命表。
1. 静态生命表：静态生命表基于已知年龄组的死亡和存活数据来计算各个年龄组的生存指标，如存活率、死亡率和平均寿命。
它主要用于描述特定时点的人群生存状况，适用于横断面研究。
2. 动态生命表：动态生命表是根据观察到的人群动态数据来计算生存指标，如存活率和失能率。
它可以追踪人群在不同年龄组之间的动态变化，适用于长期追踪研究。
根据构建的生命表，可以进行以下解读和分析：1. 存活率分析：通过绘制生存曲线，可以比较不同组群或特定因子下的存活率差异。
例如，可以比较男性和女性的存活率，或者吸烟者和非吸烟者的存活率。
2. 平均寿命计算：平均寿命是一个重要指标，可以通过生命表中特定年龄组的存活率来计算。
它可以反映某一人群的整体生存水平。
3. 风险因素分析：利用考克斯模型等方法，可以研究预测因子对生存的影响程度。
通过分析风险比例，可以了解不同预测因子对人群生存的相对影响。
4. 生命表的应用：生命表不仅仅局限于人群的生存分析，还可以应用于其他领域，如保险、医疗决策和公共卫生政策的制定等。
寿险精算 第二讲 生存分布与生命表
0.95 0.107 e 0.89 0.96
《寿险精算数学》
• De Moivre模型(1729)
1 x x s( x) 1
--01生存分布与生命表
1.3.2 死力的若干解析形式
x
•
Gompertze模型(1825)
x Bc x
s( x) exp( B(c x 1) / ln c) , B 0,c 1,x 0
•
Makeham模型(1860)
x A Bc x
s( x) exp( Ax B(c x 1) / ln c) ,
•
Weibull模型(1939)
x kx n
s( x) exp(kx n 1 / (n 1)) , k 0, n 0, x 0
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引言
例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为
f
X
(
x)
2(100 x) 10000
,
0 x 100
0,
其它
求：（1）该地区人群的生存函数； （2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。
解 （1）当0<x<100时，S(x) = Pr(X>x)=1-F(x)=...= (100 x)2
px= Pr[(x)将活到年龄x +1]= Pr(T(x)>1)
另外，用t|来表示延期t（年）。因此，对于 (x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可 以用t|uqx来表示，即
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将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即 K(x)=[T(x)]。
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令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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下面讨论几个概念的关系：
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第一节引言（简单模型）
符号(x)表示x岁的生命 ；用X表示(x)死亡时的年龄， 显然，X也是一个随机变量
记X的分布函数为FX(x)
FX(x)=Pr(X≤x) x≥0
显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机 事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡 概率。
10000
1,
x0
sX (x)
(100 x)2
10000
,
0
x
100
0,
x 100
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（2）Pr(70<X≤80)= sX (70)- sX (80) 考虑一些概率分布
(x)将在y（>x）岁仍然生存的概率为：
-
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生命表举例，看书
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对于表1-2，我们将其看成是一群生命的生存情况表， 其中：
1．这群生命在开始时由l0个0岁生命组成； 2．该生命群是封闭的。其它任何生命不准进入，成
员减少的唯一原因是死亡；
3．lx是该群生命在x岁还活着的成员的个数；
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其在y岁之前死亡的概率为：
或者
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引言
精算学里，通常用符号p、q来表示生存和死亡 的概率
t p x 表示x岁的人在x+t岁时仍然生存的概率t qxBiblioteka 表示x岁的人在未来t年内死亡的概率。
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特别地，t=1时，可以将上述符号左下角的t 省略不写
qx= Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1)
F(x)
f(x)
S(x)
f(x)
S(x)
x
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第二节 生命表
对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长 度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函 数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可 能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来 描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。
F (x)描述了随机变量X的分布函数， 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
的概率。 x
或称为瞬间死亡率，死亡密度
死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关 系
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由上式，可以得到
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因为
所以
于是
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作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
F(x)
分布函数 密度函数 生存函数 死力 x
第一章 生存分布与生命表
第一节引言（简单模型）
一、 生存状况与生存模型
例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生 存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40 岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡， 保险公司不会有任何给付。
二、新生婴儿的未来生存时间
一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间) 可作为一个随机变量，我们用F(x)表示。
生命表就是一种行之有效的描述随机变量X和 T(x)近似特征的方法。
生命表函数与生存函数
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx） o
平均余命，记作 e x
平均生存函数
考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡 情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存 情况由生存函数给出。
该条件概率（已到达x岁的人在接下来y-x年内死亡的 概率）可以看成x的函数，利用微积分的技术，考虑yx为无穷小量（令y-x=∆x），则该概率可以成为一个 瞬间的死亡率
对于任意的年龄x，对应的X在x时的条件概率密度
函数的值，我们将该函数记为μ(x)
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概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡
死亡概率对应，定义函数SX(x) 为：
1-FX(x)= Pr(X>x)
x≥0
{X>x}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿
将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x
岁仍然活着的概率
2019/11/23称其为生存函数 ,简记为S(x)
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F(x)的概念及其分布函数
F(x) Pr X x x 0
令S(x)=T(x)-K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略 未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长 度随机变量
有 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)<k+1]
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k
h| qx
h0
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在(1-5)用生存函数给出了0岁的人在活到x岁的前提下， 在(x,y)之间死亡的概率