第四章(二)机械振动

合集下载

大学物理——第4章-振动和波

A sin1 + A sin2 2 tan = 1 A cos1 + A cos2 1 2
合成初相与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω

第4章机械振动湘潭大学大学物理期末复习

v0 0 arctg ( ) 0, x0
(2)按题意
t=0 时 x0=0，v0>0 m O
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
3、位相、初位相、位相差（Phase, Initial phase, Phase difference）从简谐振动的运动学方程，可以看到，对于振幅和圆频率都已知的谐振动中，任意时刻的振动状态完全取决于物理量 . t 0 位相：确定振动系统任意时刻运动状态的物理量。
v0 初位相：T=0 时刻的位相。 tan 0 x0
如位移，电流，电场，磁场，温度等
如：机械波：机械振动在连续介质中的传播；电磁波：电磁振动在真空或介质中的传播；物质波：和实物粒子相联系的波。
2、从物理学角度看，振动和波动是唯一一个横跨物理学所有学科，既与经典物理紧密联系，又与现代物理融为一体的概念。
3、振动和波动在各分支学科中，具体内容不同、本质不同，但描述形式却具有相似性，，并且都具有干涉、衍射等波动特征。
x A cos( t 0 )
v vm cos(t 0

2
)
a am cos( t 0 )
例1:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时, x0=-9.8cm,v0=0,1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；2）若取x0=0，v0>0为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。 ⑴ 确定平衡位置取为原点：k=mg/ l 令向下有位移x, 则：f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动设振动方程为：

机械振动基础

机械振动基础1. 引言机械振动是工程中一个重要的概念，在各种机械设备中都会出现振动现象。

了解机械振动的基础知识对于设计、分析和维护机械系统都至关重要。

本文将介绍机械振动的基本概念、分类以及振动分析的方法。

2. 机械振动的概念机械振动是指机械系统中物体在某一参考点附近以往复运动的方式进行振荡。

振动可由外力引起，也可由机械系统本身的结构、弹性特性或制动装置等因素引起。

机械振动可分为自由振动和受迫振动两种形式。

自由振动是指机械系统在无外力作用下，自身的动力系统引起的振动。

受迫振动是指机械系统在外力作用下，强制性地以某种频率进行振动。

3. 机械振动的分类根据振动的特性和产生机制，机械振动可分为以下几类：3.1 自由振动自由振动是机械系统在无外力作用下，由于初位置、初速度或初形状等因素引起的振动。

在自由振动中，机械系统会按照一定的频率（固有频率）和振幅进行振动，直至最终停止。

3.2 受迫振动受迫振动是机械系统在外力作用下进行的振动。

外力的作用可能是周期性的，也可能是随机的。

受迫振动的频率与外力的频率相同或有一定的关系。

3.3 维持振动维持振动是指机械系统中某个部件受到外力作用后，振动会持续存在，没有衰减的现象。

维持振动往往是由于机械系统的频率与外力频率非常接近或相同。

3.4 阻尼振动阻尼振动是指机械系统在振动过程中，由于能量的损耗而逐渐减小振幅的过程。

阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种形式。

4. 振动分析方法为了对机械系统中的振动进行分析和评估，需要采用相应的振动分析方法。

以下是几种常用的振动分析方法：4.1 振动传感器振动传感器是用来检测机械系统中的振动信号的装置。

常用的振动传感器包括加速度传感器、速度传感器和位移传感器等。

这些传感器能够测量机械系统中的振动信号，并将其转化为电信号供后续分析。

4.2 频域分析频域分析是一种将时域信号转换为频域信号的方法。

通过对振动信号进行傅里叶变换等数学处理，可以将振动信号转化为频谱图并分析其中的频率成分和幅值。

高中物理机械振动教案

高中物理机械振动教案
课题：机械振动
教学目标：
1. 了解机械振动的概念和特征；
2. 掌握机械振动的基本原理和表达方式；
3. 能够分析和解释机械振动在真实世界中的应用。

教学内容：
1. 机械振动的概念和分类；
2. 机械振动的基本特征；
3. 振动的周期、频率和振幅；
4. 振动的傅里叶级数表示；
5. 机械振动在真实世界中的应用案例。

教学重点：
1. 机械振动的基本概念和特征；
2. 振动的表达方式和分析方法。

教学难点：
1. 振动的傅里叶级数表示；
2. 机械振动在实际应用中的分析和解释。

教学过程：
一、导入
教师引入机械振动的概念，通过视频或图片展示一些常见的机械振动现象，引发学生对这一主题的兴趣。

二、讲解
1. 介绍机械振动的分类和特征；
2. 讲解振动的周期、频率和振幅的概念及计算方法；
3. 介绍振动的傅里叶级数表示方法。

三、例题解析
教师通过实例讲解振动的傅里叶级数表示方法，让学生理解振动信号的频谱分布和特点。

四、讨论
学生分组讨论机械振动在真实世界中的应用案例，分享自己的观点和见解。

五、总结
教师总结本节课的主要内容，强调学生应该掌握的重点和难点，引导学生对机械振动有更深入的理解。

教学反思：
通过这节课的教学，学生应该能够了解机械振动的基本原理和特征，掌握振动信号的傅里叶级数表示方法，并能够分析和解释机械振动在真实世界中的应用。

在教学过程中，要注重引导学生思考和讨论，激发他们的探究兴趣，提高他们的学习能力和综合素质。

大学物理-机械振动

交通工具的不舒适
机械振动也会影响交通工具的舒适度，如火车、汽车等在行驶过程中产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到古代，如中国的编钟和古代乐器的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人们对机械振动的认识不断深入，应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动在新能源、新材料、航空航天等领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、频谱图等，以便观察和分析。

机械振动与波动

机械振动与波动机械振动与波动是物理学中的重要概念和研究领域。

本文将从机械振动的基本原理、波动的特性以及它们在生活中的应用等方面展开论述。

一、机械振动机械振动是指物体周围环境中某个物理量周期性地变化。

在机械振动中，物体会围绕平衡位置做前后或上下的周期性振动。

机械振动的基本元素有质点、弹簧和阻尼器。

1. 质点振动在质点振动中，一个物体被假设成一个质点，不考虑其大小和形状。

质点在线性回复力作用下，在某个平衡位置附近做简谐运动。

质点振动的周期T和频率f与质点的质量m和弹簧的劲度系数k有关，分别由公式T=2π√(m/k)和f=1/T得出。

2. 弹簧振动弹簧振动是机械振动中常见的一种形式。

当弹簧受到外力拉伸或压缩时，会发生弹性畸变，当外力撤离时，弹簧会恢复原状。

弹簧振动是由弹性势能和动能之间的转换所驱动的周期性运动。

3. 阻尼振动在实际的振动系统中，会存在阻力的存在，使振动系统减弱并最终停止。

这种减弱称为阻尼。

根据阻尼的不同程度，振动系统可以分为无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动三种情况。

二、波动波动是指物理量在空间和时间上周期性地传播和变化。

波动可以分为机械波和非机械波两种类型。

1. 机械波机械波是指需要介质传播的波动现象。

根据波动传播的方向，机械波可分为横波和纵波。

横波传播方向垂直于波动方向，如水波；纵波传播方向与波动方向平行，如声波。

机械波的传播速度与介质的性质有关。

2. 非机械波非机械波是指不需要介质传播的波动现象。

电磁波和光波是两种常见的非机械波。

非机械波可以在真空中传播，并且传播速度快，通常以光速传播。

三、机械振动与波动的应用机械振动与波动在生活中有许多实际应用。

下面将列举其中几个。

1. 音乐乐器音乐乐器的演奏就是利用了机械振动和波动的原理。

例如，弹奏吉他时琴弦的振动产生声波，通过空气传播到人的耳朵，使人产生听觉感受。

2. 地震测量地震测量利用了机械振动和波动的原理。

通过监测地震波在地壳中的传播速度和路径，可以判断地震的强度和震源位置，为地震预测和防灾提供帮助。

理论力学第四章

(m
(m
2J r
2
) x kxx 0 x
) kx 0 x
2J r
2
－－自由振动微分方程
系统的固有频率为
0
k r2 mr 2 2 J
§ 4－2 计算固有频率的能量法
如图所示无阻尼振动系统
当系统作自由振动时，运动规律为
x A sin(0t )
2

2
当圆柱体作微振动时，可认为 sin

2

2
1 V mg ( R r ) 2 2
设系统作自由振动时θ的变化规律为 A sin(0 t )
3m 2 ( R r ) 2 0 A 2 则系统的最大动能 Tmax 4 1 2 系统的最大势能 Vmax mg ( R r ) A 2 由机械守恒定律有 Tmax Vmax
2 0
k m
0
k m
0 只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关
而与运动的初始条件无关
它是振动系统固有的特性
所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率） m=P/g
k P / st
0
g
0
k m
st
（2）振幅与初相角
x A sin( 0 t )
速度为
dx v 0 A cos(0t ) dt
在瞬时t 物块的动能为
1 2 1 2 T mv m0 A2 cos2 (0t ) 2 2
若选平衡位置为零势能点，有
1 2 V k[( x st ) 2 st ] Px 2
k st P
1 2 1 2 V kx kA sin 2 (0 t ) 2 2

《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt

第四章两自由度系统的振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来更是别具一格，四只脚移动时分别各自相差90度的位移差。没有一只脚做的是相同位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔马斯·维塞克在布达佩斯音乐学院举行的一场音乐会上意外地发现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时的振型就是与固有频率相应的固有振型。

大学物理机械振动(课堂PPT)

k , k串k,串, k并k,并
m
.
12
上一页下一页
t :相位，或位相(r， ad)或相相位决定谐振子某
: t 0时的相,称位为初. 相一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间.
t t2
t1
(t2) (t1)
4 上一页下一页
要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。
Fkx
d2x dt2
2x
0
动力学特点
x A c o t s
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量
是简谐振动量。
.
5
上一页下一页
A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位大置位的移最的绝对 m）值
T
对于弹 :簧 k振 , T 子 2 m, 1 k
m
k 2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情F况 m，a或M 由J,写出动力学
（2）将动力学方dd2程 t2x变 2x为 0的形式，
如果能化为这种也形就式证，明了振动振为动
（3）由动力学方程 , 求写出出周T或期频率。
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动 x方 0.1c程 o1st0 为： m
.
2 19
上一页下一页
振 A 幅矢 A 的量长
角频率矢量逆时针匀角速速度旋转的
周期 T矢量旋转一圈所 T需 2 时间
频率矢量单位时间内圈旋数转的P

大学物理学机械振动

大学物理学中的机械振动是指物体在受到外力作用后，产生周期性的来回振动运动的现象。

以下是关于机械振动的一些基本概念和内容：
1. 振动的基本特征
-周期性：振动是一个周期性的过程，即物体在围绕平衡位置来回振动。

-频率：振动的频率指的是单位时间内振动的周期数，通常用赫兹（Hz）表示。

-振幅：振动的振幅是物体从平衡位置最大偏离的距离。

2. 单自由度振动系统
-弹簧振子：是一种经典的单自由度振动系统，由弹簧和质点组成，受到弹簧的恢复力驱使质点振动。

-简谐振动：在没有阻尼和外力干扰的情况下，弹簧振子的振动是简谐的，即振动周期固定，频率与系统的固有频率相关。

3. 振动的参数和描述
-角频率：振动描述中常用的参数之一，表示振动的快慢程度，与频率之间有一定的关系。

-相位：描述振动状态的参数，表示振动的相对位置或状态。

-能量：振动系统具有动能和势能，能量在振动过程中不断转换，影响着振动的特性。

4. 阻尼振动和受迫振动
-阻尼振动：在振动系统中存在阻尼，会导致振动逐渐减弱，最终趋于稳定。

-受迫振动：当振动系统受到外力周期性作用时，会产生受迫振动，其频率与外力频率相同或有关。

5. 振动的应用
-工程领域：振动理论在工程领域有着广泛的应用，如建筑结构的抗震设计、机械系统的振动分析等。

-科学研究：振动理论也在物理学、工程学、生物学等领域中发挥重要作用，帮助解释和研究各种现象和问题。

以上是关于大学物理学中机械振动的一些基本内容和相关概念，希望能帮助您更好地理解这一领域的知识。

2024年机械设计基础课程教案讲义轴的设计教案

2024年机械设计基础课程教案讲义轴的设计教案一、教学内容本节课选自《机械设计基础》教材第四章第二节，主题为轴的设计。

详细内容包括：轴的类型与结构特点、轴的材料选择、轴的强度计算、轴的刚度计算、轴的振动分析等。

二、教学目标1. 理解并掌握轴的类型、结构特点及其在机械系统中的应用。

2. 学会根据工作条件选择合适的轴材料，并进行轴的强度和刚度计算。

3. 了解轴的振动原因及防治措施，提高轴的设计水平。

三、教学难点与重点重点：轴的材料选择、强度计算、刚度计算。

难点：轴的振动分析及防治措施。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。

2. 学具：计算器、教材、笔记本。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）：通过展示不同类型的轴及其在机械设备中的应用，激发学生对轴设计的学习兴趣。

详细内容：介绍汽车传动轴、涡轮轴、曲轴等轴的类型及结构特点。

2. 理论讲解（15分钟）：讲解轴的材料选择、强度计算、刚度计算及振动分析。

详细内容：（1）轴的材料选择：介绍常用轴材料及其性能，如碳钢、合金钢等。

（2）轴的强度计算：讲解轴的扭转强度、弯曲强度计算方法。

（3）轴的刚度计算：介绍轴的扭转刚度、弯曲刚度计算方法。

（4）轴的振动分析：分析轴振动的原因、危害及防治措施。

3. 例题讲解（15分钟）：讲解一道轴的设计计算题，巩固所学知识。

详细内容：某汽车传动轴设计计算。

4. 随堂练习（10分钟）：布置一道轴设计计算题目，让学生独立完成。

详细内容：某涡轮轴设计计算。

六、板书设计1. 轴的类型与结构特点2. 轴的材料选择3. 轴的强度计算4. 轴的刚度计算5. 轴的振动分析七、作业设计1. 作业题目：（1）简述轴的类型及结构特点。

（2）某轴的材料为45钢，直径为50mm，工作扭矩为1000N·m，试计算其扭转强度。

（3）某轴的材料为40Cr，直径为60mm，工作弯矩为1000N·m，试计算其弯曲强度。

2. 答案：（2）扭转强度计算公式：τ = T/(πd^3/16)，其中T为扭矩，d为轴径。

机械振动4两自由度系统的动力学方程

实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有频率。每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称为振型向量或模态向
量，分别对应于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )，对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平衡位置的偏角为θ 。试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车

第四章-机械振动

x（m）
t
A
曲线2曲线1
-A
t
t
t2
t1
1
2
当：t t2 t1 0, 2 1 0
振动2比振动1超前
t（s）
§4.1 简谐振动
例1.如图的谐振动x-t 曲线，试求其谐振方程
解：由图知
x(m)
A 2m T 2s 2
可得： 2 T O
振动表达式为
1
2t (s)
x Acos( t )
dt 2 l
谐振方程为：
设 2 2T
ml
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（5）U形管中液体无粘滞振荡
x x
l
为管内液体密度，
l为液体在管内的长度。
动力学方程为：
l
d2 dt
x
2
2gx
0
谐振方程为：
2 2g
l
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（6）LC谐振电路
P sin m dv
dt
v l
P
sin 1 3 （小角度时）
6
g 0
l
令 2 g
l
2 0
结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 l
g
g
l
§4.2 简谐振动的实例分析
（2）复摆（物理摆）
以物体为研究对象
设角沿逆时针方向为正
mghsin JZ
10
即： Asin( ) 0 sin( ) 0
6
2
x
1
cos(
t 2 )(m)
10 6 3
§4.1 简谐振动

工程地质钻探施工技术规范最新版

②土层性质；对于易扰动的软土，取土器直径不应小于100毫米；湿陷性黄土不应小于120毫米，砂土可采用直径较小的取土器，以免提取时脱落土样。
③环刀直径目前土工试验所用的环刀直径，其规格有多种，土样直径除去扰动带宽度后，尚应稍大于环刀直径。
2022/3/23
水文地质及工程地质钻探
28
2.内间距比
图4-5 振动沉管示意图
2022/3/23
水文地质及工程地质钻探
14
振动钻头
2022/3/23
水文地质及工程地质钻探
15
2022/3/23
有二个或三个纵切口的振动钻头
水文地质及工程地质钻探
16
（三）螺旋钻进方法
1.概念：螺旋钻进方法是干式钻进，利用螺旋钻头，不断地回转将岩粉输送到地面或用螺旋钻杆本身将岩屑提到地表地一种钻进方法。孔径多为120～200mm；孔深为25～50m最深不超过100m。它适用于1～4级软岩层。
SH30－2型：孔深30m，开孔直径Φ142mm，终孔直径 Φ110mm。汽油机或电动机，回转冲击，取原状土样，适用于各种第四纪松散地层。
GJD－2型：孔深50m，开孔直径Φ150mm，终孔直径 Φ110mm，柴油机或电动机，回转冲击振动静压，取土样或岩芯，适用于第四纪地层。
2022/3/23
水文地质及工程地质钻探
2022/3/23
水文地质及工程地质钻探
23
4.螺旋钻进的特点
优点：
（1）在软岩层中钻进，钻进效率高。
（2）不用循环冲洗液，减少钻进辅助工作，适于缺水，无水地区和漏失层中钻进。
（3）螺旋钻杆回转时，向孔壁挤压岩粉，可在孔壁上形成一层较致密的泥皮，有加固孔壁的作用。

第10次课第四章机械振动

第四章
第四章机械振动
4.1 简谐振动 4.2 谐振动的能量 4.3 谐振动的旋转矢量投影表示法 4.4 谐振动的合成
4.5 阻尼振动受迫振动共振
谐振动
d x dt
2 2
f kx
x 0
2
复
习

1
2 2
k m
T
2
x A cos( t )

4.4 谐振动的合成
一．同频率同方向谐振动的合成 1.解析法： x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 Acos( t )
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2
tg
a A cos( t )
2
A

O
x
相位差
同频率、同方向的两谐振动的相位差就是它们的初相差，即： 2 1
超前与落后，一般以为界
例3.如图，已知轻弹簧的劲度系数为k,定滑轮可看作质量为M、半径为R的均质圆盘，物体的质量为m，试求： 1.系统的振动周期； 2.将m托至弹簧原长并释放,求 m的运动方程(以向下为正方向) #.用能量守恒求解？
则： 2 d x dx m 2 kx dt dt
d x dt
2 2
设一质点m，受弹性力： F kxi dx 阻尼力： f v i 称为阻力系数 dt
O
2
fm F X dxFra bibliotekm dt

k m
x0
d x dt
2
2
dx dt

机械振动基础知识培训

按振动产生原因
自由振动无阻尼自由振动
有阻尼自由振动
强迫振动无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。
2
第四章机械振动基础
1 单自由度系统的自由振动 2 计算固有频率的能量法 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 6 转子的临界转速
物块沿x轴的运动微分方程
m
d2x dt 2
mg
sin
k ( 0
x)
0
mg
sin k
m
d2x dt 2
kx
固有频率与斜面倾角β无关
固有频率 n
k m
0.8 1000 0.5
40rad / s
系统的通解 x Asin(nt ) x
0
x
F
O
mg
mg FN
h
16
§4-1 单自由度系统的自由振动
h
17
§4-1 单自由度系统的自由振动
x0 3.06103 m; v0 1.4m / s;n 40rad / s
系统的通解 x Asin(nt )
0
x
h
得振幅及初相位
2
x v A
2
0
0 2
35.1mm
n
x
F
mg
O
FN
arctan n x0 0.087rad
v0
此物块的运动方程为 x 35.1sin(40t 0.087)mm
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
物块在平衡位置时，弹簧变形量

机械振动第四章

第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。

两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。

两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。

在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。

受迫简谐振动的频率与激励频率相同。

两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。

如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。

用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。

4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。

三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。

这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。

图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。

在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。

取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。

方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。

因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。

方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。

通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。

[高等教育]4-1-2简谐运动-振动能量

4 – 2 谐运动的能量
第四章机械振动
（2）
Ek ,m a x
1 2
mvm2 ax
1 2
m 2 A2
2.0103 J
（3） E Ek,max 2.0103 J
（4） Ek Ep 时， Ep 1.0103 J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
第四章机械振动
例质量为 0.10kg 的物体，以振幅1.0102 m
作简谐运动，其最大加速度为 4.0m s2 ，求：
（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？
解（1） amax A 2
T 2π 0.314s
amax 20s1 A
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
4 – 1 简谐运动
第四章机械振动
四、振动图像同一质点在不同时刻的位移 x~t图
A,T , 2
x
T
A
t＝0时：x0，
o
v0的方向看下时刻的x， A
x向位移的正方向，v0>0;
x向位移的负方向， v0<0.
v x t 图
T v T t
2
4 – 1 简谐运动
第四章机械振动
运动学方程
mgl
I
d2
dt 2
d2
dt 2
2
0
2 mgl
I
振动方程 m cos(t )
o
l
*C