对称性与守恒定律

第七章 对称性与守恒定律* §7.1 守恒量的平均值和测量取值几率⒈ 力学量平均值随时间变化的方程在本征态中，如果测量力学量F ，则每时刻都可测得确定值。

而在任意状态(),x t ψ中测量，力学量F 一般不显含时间t ，则在每一时刻测量结果一般没有确定值。

但(),x t ψ可以按F 的本征态系n φ做完全展开，所以测量F 本征值的几率是确定的，有确定的分布。

这样，每一时刻在任意态(),x t ψ下，力学量F 有确定的平均值。

在定态下，不显含时间t 的力学量算符F 的平均值不随时间变化。

(),x t ψ：t 时刻的任意状态（归一化的）F ()()ˆ,,x t F x t ψψ=()()*ˆ,,x t F x t dx ψψ=⎰其中(),x t ψ和ˆF都可能是时间的函数，则F 也可以是时间的函数。

量子力学中，讨论力学量随时间的变化是通过讨论力学量的平均值随时间的变化来反映的。

ˆF Fψψ= dFdt ()ˆˆF F t tψψψψ∂∂=+∂∂ˆˆˆF F Ft t t ψψψψψψ⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭利用含时薛定谔方程 1ˆH tiψψ∂=∂ˆ11ˆˆˆˆF H F F H i i t ψψψψψψ∂=++∂ ˆ11ˆˆˆˆF H F FH i i tψψψψψψ∂=-++∂ 利用ˆH的厄密性ˆˆH Hψϕψϕ=ˆ11ˆˆˆˆFHF FH i i t ψψψψψψ∂=-++∂()ˆ1ˆˆˆˆFHF FH itψψψψ∂=-+∂ 1ˆˆ,F F H t i∂⎡⎤=+⎣⎦∂即1ˆˆ,dF FF H dt i t ∂⎡⎤=+⎣⎦∂ 力学量平均值随时间变化的方程。

⒉ 守恒量⑴ 定义：在任意状态下，力学量的平均值不随时间变化，即为与时间无关的常量。

数学：0dFdt= （F 与t 无关的常量）⑵ 力学量守恒的条件0F t∂=∂说明ˆF 不显含时间t （ˆ0F t ∂=∂）（ˆF 不显含t ， ˆ0F t ∂=∂而ˆdF dt 不一定为0） 不特别声明，一般ˆ0F t∂=∂，如ˆr ，ˆp ，ˆL F F F F dF dx dy dz dt x y z t∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ ˆˆ,0FH ⎡⎤=⎣⎦即ˆF 与ˆH 对易，也可以作为守恒量的定义⑶ 性质特点① 体系在任意状态下，平均值不随时间变化。

这是守恒量物理上的定义。

② 体系在任意状态下，测量力学量（不显含t ）取值的几率分布不随时间变化。

证明：F 为守恒量，因为ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣⎦，所以ˆF 、ˆH 有共同完全本征函数系{}nφ，则有ˆn n nH E φφ=和ˆn n n F f φφ= 对任意态(),r t ψ(),r t ψ()()n n nc t r φ=∑()()(),n n c t r r t φψ=为了求()2n c t 随时间的变化()n dc t dt ()(),n d r r t dt φψ=()(),n r t r tψφ∂=∂ （1ˆH t i ψψ∂=∂） ()()1ˆ,n r Hr t iφψ=利用ˆH 的厄密性 ()()1ˆ,n H r r t iφψ=()()*,n n E r r t i φψ=()n n E c t i = 关于()n c t 的一阶微分方程，其解为：()n c t ()0n iE tn c e-⋅=⋅ ()()220n n c t c = 与t 无关。

∴()20n d c t dt=③ 问题：量子体系的守恒量一定取确定值吗？不一定（一定取确定的平均值） 量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。

若初始时刻，体系不处于守恒量F 的本征态，则此后任意时刻也不会处于F 的本征态，即守恒量不取确定值，违者违背性质②。

若初始时刻体系处于守恒量F 的本征态，则此后任何时刻它将处于F 的属于同一本征值的本征态中，否则也违背性质②。

这时守恒量的量子数称为好量子数，就是与能量同时有确定值的力学量的量子数。

⒊ 守恒定律举例说明 ˆF 不显含t ，则ˆ0F t∂=∂，ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣⎦⑴ 自由粒子的动量（守恒）ˆp i =-∇， ˆ0p t∂=∂， 2ˆˆ2p H μ=， 2ˆˆˆˆ,,02p p H p μ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以动量是守恒量 因为dp dt 1ˆˆ,0p H i ⎡⎤==⎣⎦，量子力学中的动量守恒定律⑵ 中心力场运动粒子的角动量（2ˆL ，ˆx L ，ˆy L ，ˆzL ） （守恒） ()()U r U r =，中心势场，对坐标原点各向同性ˆH()222U r μ=-∇+， 2ˆ0L t∂=∂ ，ˆ0i L t ∂=∂ 不显含时间 可以证明2ˆˆ,0L H⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即角动量是守恒量 物理理解：在绕原点转动变换下，如2r r r =一样，22∇=∇=∇∇也表现为一个标量，即不变化。

而势()U r 也不变化，于是ˆH在绕原点转动变换下保持不变，可以证明，这时轨道角动量L 和2L 是守恒量，即2ˆˆ,0L H⎡⎤=⎢⎥⎣⎦数学理解：如对2ˆL ，将2ˆL 与ˆH采用球坐标的表述。

球极坐标下：2∇2222222111sin sin sin r r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22,21rr θϕ=∇+∇ 2ˆL 222211sin sin sin θθθθθϕ⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦⇒ 2∇22222ˆ1L r r r r r ∂∂⎛⎫=-⎪∂∂⎝⎭ ∴ˆH()222,212r U r r θϕμ⎛⎫=-∇+∇+ ⎪⎝⎭()()22222ˆ2r L U r r μ⎡⎤⎢⎥=-∇++-⎢⎥⎣⎦()2222ˆ22rL U r rμμ=-∇++ 2ˆL 只对角变量作用，r 与,θϕ独立 2ˆˆ,0L H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦θ的函数与r 的函数对易，22ˆˆ,0L L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2ˆL 与r 无关所以221ˆˆ,0d L L H dt i⎡⎤==⎢⎥⎣⎦同理i d L dt =1ˆˆ,0i L H i⎡⎤=⎣⎦，,,i x y z =即 量子力学中的角动量守恒定律如库仑场中的电子，氢原子⑶ 哈密顿不显含时间体系的能量（守恒）ˆ0H t∂=∂ ˆˆ,0H H ⎡⎤=⎣⎦，即能量是守恒量 所以1ˆˆ,0dH H H dt i⎡⎤==⎣⎦，即量子力学中的能量守恒定律 如一维无限深势阱的粒子，线性谐振子等等⑷ 哈密顿对空间反演不变时的宇称（守恒）已学过，宇称指波函数在空间反演（r r →-）下的奇偶性()()r r ψψ-=±，﹢偶宇称，﹣奇宇称把这种对波函数的空间反演运算用宇称算符表示。

宇称算符ˆP： 对波函数的空间反演运算 ()()ˆ,,Pr t r t ψψ=- 宇称本征值：()()2ˆˆˆ,,Pr t PP r t ψψ=()()ˆ,,P r t r t ψψ=-= 即2ˆP算符的本征值为1 2P =1 所以ˆP算符的本征值为±1， 1P =± 1 偶宇称 ˆP ψψ=-1 奇宇称ˆPψψ=-宇称守恒：证明：如果()()ˆˆHr H r =-，即哈密顿量在空间反演下保持不变，则体系宇称是守恒量即ˆˆ,0PH ⎡⎤=⎣⎦证明：()()ˆˆ,,PH r r t ψ⎡⎤=⎣⎦()()()()ˆˆˆˆ,,PH r r t H r P r t ψψ- ()()()()ˆˆˆ,,Hr r t H r P r t ψψ=--- ()()()()ˆˆˆˆ,,Hr P r t H r P r t ψψ=-=0 所以ˆˆ,0PH ⎡⎤=⎣⎦问题：①宇称守恒的状态，宇称一定有确定值（即处在宇称本征态）吗？ 不一定。

（看初态） ②[例2.7.1] 粒子在势场()x U 中运动，求坐标算符和动量算符对时间的微商。

解 粒子的()x U p H +=μ22 ，将0=∂∂tx 代入（2.7.5）式，利用[]nk k n i p x δ =,，可得[]()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==∑∑==3131222,21,212,1,1n k k n n p x e i p x i x U p x i H x i dt x d μμμ [][][]{}∑∑∑∑====+==313123131,,21,21n k k k n k n k n k n n k n p p x p x p e i p x e iμμ μδμp i p e i nk k n k n=∑∑==2213131（2.7.6）以μ乘上式两边，即有υμμ==dtx d p （2.7.7）这表明，经典力学的动量表达式的量子力学中以算符的形式出现，坐标算符对时间的微商就是速度算符υ。

同理，将0=∂∂tp 代入（2.7.5）式，并利用()[]()x U i x U p∇-=,（见习题2.2.7），即()()ˆˆHr H r =-[]()()[]()F x U x U p i x U p p i H p i dt p d=-∇==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==,12,1,12μ （2.7.8）式中F是作用力算符。

这表明，经典力学的运动方程在量子力学中将以算符的形式出现，动量算符对时间的微商正好等于力算符。

将式（2.7.7）和（2.7.8）式对()x ψ态求平均，即得坐标平均值x 与动量平均值p的运动方程式μp dt x d = ， ()F x U dtp d =∇-= （2.7.9） 将（2.7.9）式与（2.7.10）式联立可得()F x U dtx d=∇-=22μ （2.7.10） （2.7.11）式称为厄任费斯特（Ehrenfest ）方程，由于与年顿方程相似又称为“量子力学中的年顿方程”，但它与经典力学的年顿方程存在本质的区别：（1） 在经典力学中，22dtx d给出的是坐标x 的加速度；在量子力学中，由于每一时刻x一般没有确定值，22dtxd 给出的是坐标平均值的加速度。

（2） 在经典力学中，位于x 的粒子所受的力()x U∇-仅决定于该点的势场，而且受力的大小与粒子的运动状态无关；在量子力学中，起作用的是力的平均值()()()τψψd t x x U t x F ,,*∇-=⎰ （2.7.11）它是涉及整个势场的作用，而且与粒子所处的状态()t x ,ψ有关。

总之，经典力学中有关力学量之间的关系式，在量子力学中将以平均值或算符的形式出现。

2.7.2 守恒量及其性质1 守恒量的定义在任意态中，如果体系某一力学量的平均值F 对时间的微商为零，即()()()..,**c c d t x x i E t C nn n+=⎰τψψ()0..2=+=c c t c i E n n（2.7.17）这表明，守恒量F 取值的概率分布为()2t c n 不随时间而变。