2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案

合集下载

一元二次方程、不等式(经典导学案及练习答案详解)

§1.5一元二次方程、不等式学习目标1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(√)(3)若ax 2＋bx ＋c >0恒成立，则a >0且Δ<0.( × ) (4)不等式x －ax －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )教材改编题1．若集合A ＝{x |x 2－9x >0}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∪B 等于( ) A ．R B ．{x |x >－1} C ．{x |x <3或x >9} D ．{x |x <－1或x >3} 答案 C解析 A ＝{x |x >9或x <0}，B ＝{x |－1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |x <3或x >9}．2．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则a ＋b ＝________. 答案－14解析依题意知⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3．一元二次不等式ax 2＋ax －1<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－4,0)解析依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋4a <0，∴－4<a <0.题型一一元二次不等式的解法命题点1 不含参的不等式例1 (1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32<x <1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－32或x >1 答案 C解析－2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0，即(x ＋1)(2x －3)>0， ∴x <－1或x >32.(2)(多选)已知集合M ＝{}x ||x －1|≤2，x ∈R ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪5x ＋1≥1，x ∈R ，则( ) A ．M ＝{}x |－1≤x ≤3 B ．N ＝{}x |－1≤x ≤4 C ．M ∪N ＝{}x |－1≤x ≤4 D ．M ∩N ＝{}x |－1<x ≤3 答案 ACD解析由题设可得M ＝[－1,3]，N ＝(－1,4]，故A 正确，B 错误；M ∪N ＝{x |－1≤x ≤4}，故C 正确；而M ∩N ＝{x |－1<x ≤3}，故D 正确．命题点2 含参的不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．解原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 延伸探究在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式．解当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1，当a <0时，1a<1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 教师备选解关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0. 解由题意知，Δ＝a 2－4， ①当a 2－4>0，即a >2或a <－2时，方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x ＝a ±a 2－42，∴原不等式的解为a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42.②若Δ＝a 2－4＝0，则a ＝±2.当a ＝2时，原不等式可化为x 2－2x ＋1≤0，即(x －1)2≤0，∴x ＝1；当a ＝－2时，原不等式可化为x 2＋2x ＋1≤0，即(x ＋1)2≤0，∴x ＝－1.③当Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2时，原不等式的解集为∅.综上，当a >2或a <－2时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42；当a ＝2时，原不等式的解集为{1}；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <2时，原不等式的解集为∅.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥4}，则下列说法正确的是( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－4}C ．不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13 D ．a ＋b ＋c >0 答案 AC解析关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向向上，即a >0，故A 正确；对于B ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3,4，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－ba＝－3＋4，ca ＝－3×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .bx ＋c >0⇔－ax －12a >0，由于a >0，所以x <－12，所以不等式bx ＋c >0的解集为{}x |x <－12，故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以cx 2－bx ＋a <0⇔－12ax 2＋ax ＋a <0⇔12x 2－x －1>0⇔x <－14或x >13，所以不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13，故C 正确；对于D ，a ＋b ＋c ＝a －a －12a ＝－12a <0，故D 不正确． (2)解关于x 的不等式(x －1)(ax －a ＋1)>0.解 ①当a ＝0时，原不等式可化为x －1>0，即x >1；当a ≠0时，(x －1)(ax －a ＋1)＝0的两根分别为1,1－1a .②当a >0时，1－1a<1，∴原不等式的解为x >1或x <1－1a .③当a <0时，1－1a >1，∴原不等式的解为1<x <1－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1－1a ；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1－1a . 题型二一元二次不等式恒(能)成立问题命题点1 在R 上恒成立问题例3 (2022·漳州模拟)对∀x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a ≤2 B ．－2≤a ≤2 C ．a <－2或a ≥2 D ．a ≤－2或a ≥2答案 A解析不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0，即有⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]．命题点2 在给定区间上恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6， x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0在x ∈[1,3]上恒成立，所以m <6x 2－x ＋1在x ∈[1,3]上恒成立．令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－∞，－1] C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析不等式x 2＋px >4x ＋p －3 可化为(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，由已知可得[(x －1)p ＋x 2－4x ＋3]min >0(0≤p ≤4)，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3(0≤p ≤4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝x 2－4x ＋3>0，f (4)＝4(x －1)＋x 2－4x ＋3>0，∴x <－1或x >3.教师备选函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，则实数x 的取值范围是________________．答案 [－7,2](－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)解析若x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立，令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2<－2，g (－2)＝7－3a ≥0.或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2>2，g (2)＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅，解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]．令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2 (1)已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析因为关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，即x 2－4x ＋a 2－3a ≤0在R 上有解，只需y ＝x 2－4x ＋a 2－3a 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a 2－3a )≥0，即a 2－3a －4≤0，所以(a －4)(a ＋1)≤0，解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤4}．(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.课时精练1．不等式9－12x ≤－4x 2的解集为( ) A ．RB ．∅C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠32 答案 C解析原不等式可化为4x 2－12x ＋9≤0，即(2x －3)2≤0， ∴2x －3＝0，∴x ＝32，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32. 2．(2022·揭阳质检)已知p ：|2x －3|<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件答案 B解析 ∵p ：|2x －3|<1，则－1<2x －3<1，可得p ：1<x <2，又∵q ：x (x －3)<0，由x (x －3)<0，可得q ：0<x <3，可得p 是q 的充分不必要条件．3．(2022·南通模拟)不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，则m 的取值范围是( ) A ．m <－1 B ．m ≥233C ．m ≤－233D ．m ≥233或m ≤－233答案 B解析 ∵不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅， ∴不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0恒成立．①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式化为x －2≥0，解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去； ②当m ＋1≠0，即m ≠－1时，对任意x ∈R ，要使(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0，只需m ＋1>0且Δ＝(－m )2－4(m ＋1)(m －1)≤0，解得m ≥233.综上，实数m 的取值范围是m ≥233.4．(2022·合肥模拟)不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值是( ) A ．－5 B ．－133 C ．－4 D ．－3答案 C解析 ∵x ∈[1,3]时，x 2＋ax ＋4≥0恒成立，则a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 恒成立，又x ∈[1,3]时，x ＋4x ≥24＝4，当且仅当x ＝2时取等号．∴－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤－4， ∴a ≥－4.故a 的最小值为－4.5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{x |x ≠d }，则下列四个结论中正确的是( )A ．a 2＝4bB ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析由题意，知Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ，所以A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当a 2＝4a 2，即a ＝2时等号成立，所以B 正确；对于C ，由根与系数的关系，知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0，所以C 错误；对于D ，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ，则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝a 2－4⎝⎛⎭⎫a 24－c ＝2c ＝4，解得c ＝4，所以D 正确．7．不等式3x －1>1的解集为________．答案 (1,4)解析 ∵3x －1>1， ∴3x －1－1>0，即4－x x －1>0，即1<x <4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．一元二次方程kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，则实数k 的取值范围是________．答案 (－∞，0)解析 kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4k >0，1k<0，解得k <0. 9．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8，所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围为(－∞，－2)．11．(多选)已知函数f (x )＝4ax 2＋4x －1，∀x ∈(－1,1)，f (x )<0恒成立，则实数a 的取值可能是( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案 CD解析因为f (x )＝4ax 2＋4x －1，所以f (0)＝－1<0成立．当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，由f (x )<0可得4ax 2<－4x ＋1，所以4a <⎝⎛⎭⎫1x 2－4x min ，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，1x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以1x 2－4x ＝⎝⎛⎭⎫1x－22－4≥－4，当且仅当x ＝12时，等号成立，所以4a <－4，解得a <－1.12．(2022·南京质检)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________．答案 3解析依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m (m ＋4)＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3. 13．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．答案 [－4,3]解析原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.14．若不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析对于方程x 2＋ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0，∴方程x 2＋ax －2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f (x )＝x 2＋ax －2，于是不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，即5a ＋23>0，解得a >－235. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞.15．(2022·湖南多校联考)若关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0恰有两个整数解，则a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 32<a ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12或32≤a <2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －1≤a <－12或32<a ≤2 答案 D解析令x 2－(2a ＋1)x ＋2a ＝0，解得x ＝1或x ＝2a .当2a >1，即a >12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |1<x <2a }，则3<2a ≤4，解得32<a ≤2；当2a ＝1，即a ＝12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0无解，所以a ＝12不符合题意；当2a <1，即a <12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |2a <x <1}，则－2≤2a <－1，解得－1≤a <－12. 综上，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2. 16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0，综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。

二次函数与一元二次方程不等式(第1课时)导学案(原卷版)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）导学案【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).【自主学习】一．一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，a≠0.二．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的叫做二次函数y＝ax2＋bx ＋c的零点．解读：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【当堂达标基础练】4、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x 2+4x−4<0（4）x2−x+14=05.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？【当堂达标提升练】6.解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0. 7．解下列不等式(1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0； (4)－3x 2＋5x －2>0. 8.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 9．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)．10.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【当堂达标素养练】11.已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．点拨：由x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，可知1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，可求出a ，b 的值，从而得解．12.关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2.求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集． 13 .解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R )．14.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.15．已知函数()()()2111f x m x m x m =+--+-．(1)若不等式()1f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1f x m x ≥+；(3)若不等式()0f x ≥对一切11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围．16．已知二次函数2()22f x x ax =++．(1)若15x 时，不等式()3f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围． (2)解关于x 的不等式2(1)()a x x f x ++>（其中R)a ∈． 17．已知函数2()(31)(,)f x x a x b a b R =-++∈．(1)当5b =-时，关于x 的不等式2(31)0x a x b -++>的解集为(,1)(5,)-∞-+∞，求实数a 的值；(2)当22b a a =+时，求关于x 的不等式2(31)0x a x b -++<的解集（结果用a 表示）．。

_2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时教案- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时教案一、内容和内容解析1.内容一元二次不等式的定义、解法，二次函数与一元二次方程、不等式的联系.2.内容解析函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容，用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.用二次函数函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，可以让学生在初中的相关内容的基础上，进一步理解函数、方程与不等式之间的联系，逐步形成用函数统领方程和不等式的意识，进而体会数学的整体性.从函数的观点来看一元二次方程，当二次函数值为0时就得到一个一元二次方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为0”.如果二次函数y=a x2+bx+c的图象与x轴有交点，从函数的角度来看，交点的横坐标就是函数的零点，从方程的角度来看，交点的横坐标就是一元二次方程a x2+bx+c=0的根.同时，函数图象与x轴的交点又将x轴分成几部分，每一部分（不含交点）对应的函数图象都在x轴同侧，也就是函数值都为正或者都为负，即a x2+bx+c>0或者a x2+bx+c<0. 因此，从函数的观点看一元二次不等式，当二次函数值大于0（或者小于0）就得到一个一元二次不等式，不等式的解集就是使得函数值大于0（或者小于0）的自变量x的取值范围.因此，可以利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数，以及求解一元二次不等式.借助二次函数的图象研究一元二次方程与一元二次不等式，使研究方程和不等式的方法更具一般性和代表性.因此，从函数的角度来研究方程和不等式，体现数学的整体性，凸显函数的重要地位，其中涉及的数形结合、函数思想等都是数学中重要的思想方法.基于以上分析，得到本节课的教学重点：用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二次不等式，根据三者的联系，利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法.二、目标和目标解析1.目标（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义；（2）借助二次函数的图象，探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性；（3）对于给定的一元二次不等式，能够借助二次函数，准确求解一元二次不等式，提升数学运算素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，能说出一元二次不等式的定义.（2）能类比“一次函数与一次方程、一次不等式”的研究经验，得到二次函数与一元二次方程、不等式的关系，体会运动变化、特殊与一般，以及数形结合等数学思想方法，体会数学的整体性.（3）能通过具体实例的归纳与概括得到用函数方法求一元二次不等式解集的基本过程.三、教学问题诊断分析本节用二次函数的观点看一元二次方程、不等式，需要借助二次函数图象，数形结合地理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系。

教学设计1：2.3　第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式（一）

2.3第1课时二次函数与一元二次方程、不等式（一）教学知识总结[教学引导问题]观察下列不等式：(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.问题1：以上给出的三个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.[导入新知]1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.[化解疑难]1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.[教学引导问题]已知：一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.问题1：试求二次函数与x轴交点坐标．提示：(0,0)，(2,0)．问题2：一元二次方程的根是什么？提示：x1＝0，x2＝2.问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？提示：交点的横坐标为方程的根．问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？提示：x＞2或x＜0.问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？提示：能，不等式的解集为{x |x ＞2或x ＜0}，{x |0＜x ＜2}． [教学引导问题]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表一元二次方程的根对应于二次函数图象与x 轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x 轴上方(下方)，或在x 轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．教学案例[例1] (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－2x 2＋3x －2＜0.解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞－12，或x ＜－3.(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (3)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＝94.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . [类题通法]解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． [活学活用]解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0；(2)－x 2＋7x >6；(3)(2－x )(x ＋3)<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解：(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0，得x 1＝1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}． (3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2， ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠23.[例2] 解关于解：方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；当a ＞－1时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜a }． [类题通法]解含参数的一元二次不等式时(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根的情况，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． [活学活用]设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解：①m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . ②当m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m. ③当m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ； m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－3m <x <1m ；m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1m <x <－3m .[例2＋ax ＋1＞0的解集．解：∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0.由2x 2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)．[类题通法]1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． [活学活用]已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1＞0可变为－2x 2＋3x －1＞0，即2x 2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜x ＜1.有关三个“二次”关系的不等式的解法[典例] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－2或x ＞－12，求ax 2－bx ＋c ＞0的解集．[解题流程][规范解答]由题意知，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a ＜0，故⎩⎨⎧－2＋⎝⎛⎭⎫－12＝－b a，(－2)×⎝⎛⎭⎫－12＝c a.[名师批注]不注意判断a 的符号，误认为a ＞0. 解得a ＝c ，b ＝52c .所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0即2x 2－5x ＋2＜0，解得12＜x ＜2.即不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜2. [名师批注]学生常出现解集不用集合表示的失误. [活学活用]已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧13－12＝－p ，13×⎝⎛⎭⎫－12＝q ，解得⎩⎨⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0，即－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．[随堂即时演练]1．不等式x (2－x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜2}C ．{x |x ＞2或x ＜0}D ．{x |0＜x ＜2}【解析】选D 原不等式化为x (x －2)＜0，故0＜x ＜2.2．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，则M ∩N 为( )A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x |x ≤－2或x ＞3}D ．{x |x ＜－2或x ≥3}【解析】选A ∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}， N ＝{x |x 2－x －6＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞3}， ∴M ∩N ＝{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}．3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________．【解析】由y ＜0得x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3. 【答案】(1,3)4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.【解析】由x 2－2ax －8a 2<0(a >0) 得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)，即－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a,4a )．由x 2－x 1＝15得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52.【答案】525．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12； (2)x 2＞2(x －1)； (3)x 2－4ax －5a 2<0(a <0)．解：(1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .(3)方程x 2－4ax －5a 2＝0的两个根为x 1＝－a ，x 2＝5a ， ∵a <0，x 1>x 2，∴原不等式的解集为{x |5a <x <－a }．。

2.3+二次函数与一元二次方程不等式(共2课时)(教学课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)

(1)若此不等式的解集是 1,2 ，求a 的值；
(2)讨论此不等式的解集．
详解
(2) x2 x a2 a 0 就是 x2 x aa 1 0 ，即 x a 1 x a 0 ．
方程 x a 1 x a 0 的两根是 x1 a 1， x2 a ．
(①1)当由a题意1知a，，即1，a2是 1时x2 ， x此 a不2 等a式 0的的解两集根是，a 1, a ．
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法【练习 1】解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.
解 (3)方程 x2－2x－3＝0 的两根是 x1＝－1，x2＝3. 函数 y＝x2－2x－3 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．结合图象可得不等式的解集为{x|x<－1 或 x>3}．
函数的零点
ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c≥0；ax2＋bx＋c≤0
其中a、b、c为常数，a≠0．
方程的根
2.使一元二次不等式成立的的所有解 x 组成的集合叫做一元二次不等式的解集(用集合的描述法表示).
函数图象与x 轴交点横坐标
3.方程ax2＋bx＋c=0的实数解x叫做二次函数y=ax2＋bx＋c的零点.
注：使得 ax2 bx c 0 成立的实数x（方程 ax2 bx c 0 的解）即为二次函数 y ax2 bx c 的零点．
学习新知
观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？
二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．

二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。

从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。

从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。

同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。

学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。

教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。

①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。

思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。

一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。

《二次函数与一元二次方程、不等式》课件与导学案

结合图像可知 2 − 110 + 3000 < 0的解集为
{|50 < < 60}

一元二次不等式的应用
例题② 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位:米)和汽车刹车前的速度(单位:
1
1
km/h)之间有如下关系: = 180 2 + 20 .再一次交通
事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5米，那么
下方时，对应的的取值范围的集合；
【例题】求不等式 2 − 5 + 6 > 0的解集.
【分析】因为方程 2 − 5 + 6 = 0的根是函数 = 2 − 5 + 6的零点，所以先求
出 2 − 5 + 6 = 0的根，再根据图像求 2 − 5 + 6 > 0的解集.
【解】对于方程 2 − 5 + 6 = 0，因为Δ > 0，所以它有
于20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
【解】由题意设这个矩形的两条边长分别为米和 12 − 米，则：
12 − > 20，其中 ∈ ȁ0 < < 12 ，
整理得 2 − 12 + 20 < 0， ∈ ȁ0 < < 12 ，
即 − 2 − 10 < 0，ቊ
的图像全部在轴下方.
当 = 0时，−2 − 2 < 0，显然对任意不能恒成立；
当 ≠ 0时，由二次函数图像可知有ቊ
＜0,
△= 4 − 4( − 2)＜0
解得 < 1 − 2
综上可知，解得的取值范围是{| < 1 − 2}
解一元二次不等式的过程
将原不等式化成 + + > > 的形式

二次函数与一元二次方程导学案

备课时刻：2017、8、28 讲课时刻：2017、9、4备课人：郭艳玲（主备）母东文课型：新讲课教具:多媒体课件教法：启发式学法：自主合作探讨二次函数与一元二次方程导学目标：1、明白得二次函数与一元二次方程的关系，把握方程与函数间的转化。

2、会利用数形结合的方式判定抛物线与x 轴的交点个数。

3、培育合作意识和探讨数学知识间联系的好适应，体验二次函数的应用。

导学重点：探讨一次函数图象与一元二次方程的关系，明白得抛物线与x 轴交点情形。

难点：函数→方程→x 轴交点，三者之间的关系的明白得与运用。

导学方式:先由学生自学讲义，经历自主探讨总结的进程，并独立完成自主学习部份，然后学习小组交流讨论，形成知能，最后完成当堂训练题。

导学进程:一、创设情境，引入新课二次函数的223y x x =--的图象如图所示。

依照图象回答：（1）x 为何值时, 0y =？（2）你能依照图象，求方程2230x x --=的根吗？（3）二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？二、自主学习，固知提能1、二次函数与一元二次方程之间的关系【探讨】教材P43问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行线路将是一条抛物线。

若是不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时刻t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。

考虑以下问题：（1）球的飞行高度可否达到15m ？如能，需要多少飞行时刻？（2）球的飞行高度可否达到20m ？如能，需要多少飞行时刻？（3）球的飞行高度可否达到20.5m ？什么缘故？（4）球从飞出到落地需要多少时刻？【归纳】二次函数与一元二次方程有如下关系：二次函数与一元二次方程之间有如下关系①函数2y ax bx c =++,当函数值y 为某一确信值m 时,对应自变量x 的值确实是方程2ax bx c m ++=的根.②专门是0y =时，对应自变量x 的值确实是方程20ax bx c ++=的根。

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根有两相异实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二一元二次不等式恒成立问题例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案

§2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）丄［导学目标：1.从函数观点看一元二次方程.会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程.2.从函数观点看一元二次不等式.会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系.课前准备里——自上预习温故知新____________________________（预习教材PzP53,回答下列问题）情景：学校要在长为8,宽为6的一块长方形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪（图中阴影部分）为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半，此时花卉带的宽度的取值范围是什么？【知识点一】一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：ax2 +bx + c > O或£用+hx + c < 0 ≠ 0）自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是（）A・a2x2+ 2x≥0 B.丄<3C ・—x~ + Λ■—〃2 S 0D ・人‘ + ΛΓ— 4x +1 > 0 【知识点二】一元二次不等式的解法下图是一元二次函数y =F-7X-6的图像，请根据图像回答：（1）当牙取时，y = 0当片取________ 时，y<0当X取________ 时，>'> 0由上面可知：2 _元二次不等式X2-7X-6<0的解集为______________________________________________元二次不等式疋_7x_ 6 VO的解集为_____________________________________ 有何发现:第二重一元二次曲数、方程和不等式(3) _元二次方程If = 0的解集为_______________________________________________有何发现：_____________________________________________________________________ 请归纳求解一元二次不等式ax2 +bx+c > 0(< 0)的解集的步骤？自我检测2：—元二次不等式√-2x V 0的解集是【知识点三】三个二次之间的关系请根据右图回答：—元二次方程OV2 +bx+c = 0(a≠0)、一元二次不等式α" +bx+c > 0(α≠ 0)与其对应的一元二次函数y = α? +bx+c(a ≠ 0)图像的关系？(1)—元二次方程UX2+bx+c = 0(a≠0)的两根为x∣,p是—元二次函数y = cιx2+bx+c(cι≠ 0)图像与工轴_______________________________________ . (2)一元二次方程ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点是一元二次方程ax2 +bx+c = 0(« ≠ 0)的_________________________________________________ . (3)—元二次方程eve2 +bx+c = 0(« ≠0)的两根为x∣,x2,则________________ .自我检测3：不等式rt√+5x + c>0的解集为｛x∣丄VXV丄L则⑴C的值分别为() l3 2A. t∕=6, C=IB. “=—6, C=-IC. </= 1, C=I D・a=-∖, c=~6【知识点四】一元二次不等式恒成立问题(1) ax2+bx+c>O(a≠Q)恒成立的充要条件是：。

高中数学必修一2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(课时作业)

2.3二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学科素养1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养.[对应学生用书P24]知识点一元二次不等式(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx ＋c＜0.[微思考]不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅[微体验]1．不等式(1－x )(3＋x )＞0的解集是( ) A ．{x |－3＜x ＜1} B ．{x |x ＜－3或x ＞1} C ．{x |－1＜x ＜3}D ．{x |x ＜－1或x ＞3}A [不等式变为(x －1)(x ＋3)＜0，解得－3＜x ＜1.] 2．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是________．解析由x 2－2x －5＞2x ，得x 2－4x －5＞0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞5}．答案 {x |x ＞5或x ＜－1}3．不等式－3x 2＋5x －4＞0的解集为________.解析原不等式变形为3x 2－5x ＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4＜0的解集为∅.答案 ∅4．二次不等式ax 2＋2x －1＜0的解集为R ，则a 的取值范围是________．解析由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.答案 a ＜－1[对应学生用书P 25]探究一一元二次不等式的解法求不等式4x 2－4x ＋1＞0的解集．解因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12. [变式探究] 将本例不等式变为：－x 2＋2x －3＞0，求解此不等式的解集．解不等式可化为x 2－2x ＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅. [方法总结]解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．[跟踪训练1] 求下列一元二次不等式的解集． (1)x 2－5x ＞6；(2)－x 2＋7x ＞6. 解 (1)由x 2－5x ＞6，得x 2－5x －6＞0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)由－x 2＋7x ＞6，得x 2－7x ＋6＜0. ∵x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6＜0的解集为{x |1＜x ＜6}．探究二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．解由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2. ∴不等式bx 2＋ax ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0. 由2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜12或x ＞1. [方法总结]应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．[跟踪训练2] 已知不等式ax 2－bx ＋2＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求a ，b 的值．解方法一：由题设条件知a ＞0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二：把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.探究三一元二次不等式的实际应用问题某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解设花卉带的宽度为x m(0＜x ＜300)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m. 根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋60 000≥0，即(x －600)(x －100)≥0，解得0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]． [方法总结]一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．[跟踪训练3] 在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问谁超速行驶应负主要责任．解由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01x 2甲＞12，解得x 甲＜－40或x 甲＞30， S 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙＞10. 解得x 乙＜－50或x 乙＞40.由于x ＞0，从而得x 甲＞30 km /h ，x 乙＞40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．[对应学生用书P 26]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．一元二次不等式解集的记忆方法(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)与ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0与ax 2＋bx ＋c ＜0的二次项系数a ＜0时，可以转化为a ＞0.3．解一元二次不等式应用题解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．课时作业(十) 二次函数与一元二次方程、不等式[见课时作业(十)P 145]1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13A [变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}B [通解：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．优解：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}．] 3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}D [由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.]4．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x | x ＜－2或x ＞1}D ．{x |－1＜x ＜2}B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故不等式的解集是{x |－2＜x ＜1}．]5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [由条件知25x －y ＝25x －3 000－20x ＋0.1x 2＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，即x 2＋50x －30 000≥0. ∴(x ＋200)(x －150)≥0. 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．∴最低产量为150台．]6．不等式ax 2＋bx ＋12＞0的解集为{x |－3＜x ＜2}，则a －b ＝________.解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－3＋2＝－b a ，－3×2＝12a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a －b ＝0. 答案 07．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．解析 A ＝{x |3x －2－x 2＜0}＝{x |x 2－3x ＋2＞0}＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.答案 (－∞， 1]8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________．解析由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0＜m ≤1.答案 0＜m ≤19．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]＞400，解得：15≤x ＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15,20)．10．关于x 的不等式mx 2－mx －6＋m ＜0对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 ①若m ＝0，则问题等价于－6＜0对x ∈R 恒成立，显然成立．②若m ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，(－m )2－4m (m －6)＜0.解得m ＜0.综上所述，所求m 的取值范围是m ≤0.1．不等式mx 2－ax －1＞0(m ＞0)的解集可能是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13＜x ＜32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m ＞0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m ＞0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ．]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＜0x 2－3x ＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜10＜x ＜3，∴0＜x ＜1.] 3．设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0的解集为________．解析因为a ＜－1，所以a (x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0.又a ＜－1，所以1a＞a ，所以x ＞1a或x ＜a .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜a 或x ＞1a 4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为________．解析日销售金额＝(t ＋10)(－t ＋35)，依题意有(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N }5．解关于x 的不等式(a ∈R )：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0. 解将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为 (x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当a ＝0时，a ＝a 2＝0，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．6．(拓广探索)某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处．由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解得，3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。

二次函数与一元二次不等式(第一课时)教学设计

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。

2.从函数观点看一元二次不等式。

经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。

能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。

3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

二、教学重难点1.判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。

2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。

三、教学过程从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。

可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。

通过梳理初中数学的相关内容,理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。

1.一元二次不等式的概念1.1创设情境，引发思考二次函数与一元二次方程、不等式在初中,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种联系可以更好地解决相关问题对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系呢? 问题1：【数学情境】园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m,围成的20m,则这个矩形的边长为多少米？矩形区域的面积要大于2【设计意图】通过实际问题，让学生感受“求不等式”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.同时引发学生思考.1.2探究典例，形成概念问题2：【数学情境】在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元二次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？【活动预设】通过图象解决不等式求解问题，分析二次函数与一元二次函数不等式之间的关系【设计意图】从引例中的具体问题入手，树立学生数形结合的数学思想，为推广一元二次不等式求解做准备。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案-高考数学复习(新教材新高考)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课标要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.会解一元二次不等式．知识回顾一元二次不等式的解集判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根x 1，x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集常用结论1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围． 2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.基础摸底1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3} 3． y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2，2] C ．(－2，2) D ．(－∞，2)考点剖析题型一一元二次不等式的求解考点1 不含参的不等式例1已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于( ) A ．(－1，2) B ．(－2，1) C ．(0，1) D ．(0，2)考点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．[规律总结] 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论:(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．对点训练1 解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．题型二一元二次不等式恒成立问题考点1在R上的恒成立问题例3 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．考点2在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．拓广提升①将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，求m的取值范围②将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，求m的取值范围考点3给定参数范围的恒成立问题例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围．[规律总结]解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．对点训练2 函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．作业请见限时训练2.3 二次函数与一元二次方程、不等式导学案答案与解析:知识回顾一元二次不等式的解集判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根x 1，x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a {x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1< x <x 2} ∅ ∅基础摸底 1．答案√√××√ 2．答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B. 3．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.4．答案 (－4，1)解析由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0，得－4<x <1. 5．答案－14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.故选B. 考点剖析题型一一元二次不等式的求解考点1 不含参的不等式例1答案 D解析由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}， ∴ A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0，2)．故选D. 考点2 含参不等式例2解原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 对点训练1解原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. 题型二一元二次不等式恒成立问题考点1 在R 上的恒成立问题例3解当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4，0]．考点2 在给定区间上的恒成立问题例4解要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 拓广提升①解若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立，即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1，3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)． ②解由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1，3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．考点3 给定参数范围的恒成立问题例5解设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1，2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.对点训练2 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x ∈[－2，2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象与x 轴不超过1个交点时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4，6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)示范教学方案

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）》教学设计◆教学目标1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养；2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养．◆教学重难点◆教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想．教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．◆课前准备GEOGEBRA、PPT课件．◆教学过程一、情境引入★资源名称：【情景演示】二次函数与一元二次方程、不等式★使用说明：本资源类比一次函数与一元一次方程、不等式的联系，提出对二次函数与一元二次方程、不等式之间联系的思考，引发学生以类比的视角来学习函数、方程、不等式之间的关系．注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m ，围成的矩形区域的面积要大于20 m 2，则这个矩形的边长为多少米？师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来．预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x ，另一边为y ，可以得到⎩⎨⎧>=+.20,12xy y x 此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解．2．部分学生用一个未知数x 即可表示问题中的不等式20)-12>x x （，但学生容易忘记自变量x 的取值范围．追问：不等式20)-12>x x （即020122<+-x x ，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：0022<++>++c bx ax c bx ax 或，并且强调二次项的系数a ≠0．设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．二、探究新知1．探究一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．★资源名称：【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系．注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数20122+-=x x y 为例．师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．追问1：教师用信息技术画出函数20122+-=x x y 的图象，图象与x 轴有两个交点，并在函数图象上任取一点P （x ，y ）．当点P 在抛物线上移动时，请你观察：随着点P 的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？师生活动：学生观察思考后回答．预设的答案：当点P 移动到x 轴上时，它的纵坐标等于0（即0=y ）；当点P 移动到x 轴上方时，它的纵坐标大于0（即0>y ）；当点P 移动到x 轴下方时，它的纵坐标小于0（即0<y ）．追问2：当点P 的纵坐标y =0时、y ＞0时、y ＜0时所对应的横坐标x 的取值范围分别是什么？师生活动：学生独立获得答案．师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x 轴的相关位置确定不等式对应的x 的取值范围，而确定x 的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．Δ＞0Δ＝0Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2}{x |x ≠－b2a}Rax 2＋bx ＋c ＜0(a＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．3．应用举例例1 求下列不等式的解集：（1）0652>+-x x （2）01692>+-x x （3）03-2-2>+x x追问：求解不等式的依据是什么？步骤是什么？第（3）题与（1）（2）题有何异同？能否转化为（1）（2）题．师生活动：学生独立完成后展示交流，师生总结求解思路．对于二次项系数是负数（即0<a )的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解．预设的答案：（1）解：对于方程0652=+-x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,221==x x ，画出二次函数652+-=x x y 的图象（图2.3-2）结合图象得不等式0652>+-x x 的解集为}{3,2><x x x 或．（2）解：对于方程01692=+-x x ，因为∆=0，所以它有两个相等的实数根，解得3121==x x ，画出二次函数169y 2+-=x x 的图象（图2.3-3），结合图象得不等式01692>+-x x 的解集为}31|{≠x x ．（3）解：不等式可化为032-2<+x x ，因为∆=-8＜0，所以方程032-2=+x x 无实数根，画出二次函数32y 2+-=x x 的图象（图2.3-4），结合图象得不等式032-2<+x x 的解集为∅．因此原不等式的解集为∅．追问：通过这三道题的学习，请你试着总结一下：解一元二次不等式的一般步骤是什么？师生活动：学生总结，教师完善．预设的答案：步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．设计意图：这三道例题对应的三个二次函数的图象分别与x 轴有两个交点、有一个交点和没有交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．例 2 已知一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{}53-><x x x ，或，则02<+-c bx ax 的解集为________．追问：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定a 0<．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出a ，b ，c 之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．预设的答案：解：根据题意可知a 0<．图2-3-5令)0(02≠=++a c bx ax ．由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=,53,53-ac a b解得⎩⎨⎧-=-=.15,2a c a b 代入所求不等式得01522<-+a ax ax ．①又∵0<a ，∴①化为01522>-+x x ．对于方程015-22=+x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,-521==x x ，画出二次函数15-22x x y +=的图象（图2-3-5），结合图象得不等式15-22>+x x 的解集为}{53-<>x x x ，或．设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．三、归纳小结，布置作业★资源名称：【知识点解析】二次函数与一元二次方程、不等式★使用说明：本资源为二次函数与一元二次方程、不等式的知识讲解视频，主要以二次函数为视角讨论了三个“二次”之间的关系，让学生明确二次函数的零点、一元二次方程的根和一元二次不等式的解集之间的统一性．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式例1 求不等式2560x x -+>的解集．【变式】解下列不等式．(1)2450x x -->； (2)22570x x -++≥．例2 求不等式29610x x -+>的解集．【变式2】已知关于x 的不等式221x x a -->，R a ∈. (1)当2a =时，求不等式221x x a -->的解集；(2)若“不等式221x x a -->的解集为R ”为假命题，求a 的取值范围.例3 求不等式2230x x -+->的解集．【变式3】已知关于x 的不等式()220R x x a a a -+++>∈．(1)若此不等式的解集是()1,2-，求a 的值； (2)讨论此不等式的解集．选择性拔高题型一：不含参一元二次不等式的解法【练习1】解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.题型二：含参一元二次不等式的解法【练习2】已知a ∈R ，关于x 的不等式2322(2)x a a a a x +-<+- （1）当3a =时，求x 的解集.（2）当a ∈R 时，求x 的解集(用a 来表示).题型三：三个“二次”之间对应关系的应用【练习3】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表所示：则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是________．2.3.2一元二次不等式的应用例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：2202200y x x =-+．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【变式】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式．(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km /h ）之间有如下关系：21120180s v v =+．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km /h ）？【变式】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋118x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？选择性拔高题型一：简单方式不等式的解法【练习1】解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋1<3.题型二：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．题型三：一元二次不等式的实际应用【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．题型四：一元二次不等式恒成立问题【练习4】(1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤ C ．k 0<或1k > D ．0k ≤或1k >跟踪练习：已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.3二次函数与一元二次方程不等式第课时教案第一册

第2课时一元二次不等式的应用学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系。

3。

会解一元二次不等式中的恒成立问题（难点）。

1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养。

1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式ax＋bcx＋d＞0（＜0) (其中a，b,c，d为常数)法一：错误!或错误!法二：（ax＋b)（cx＋d）＞0(＜0）ax＋bcx＋d≥0(≤0）法一：错误!或错误!法二：思考1：错误!〉0与(x－3）(x＋2）>0等价吗？将错误!>0变形为（x－3）(x＋2)>0,有什么好处?提示:等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件(2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法3。

从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1）阅读理解,认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）．(3)解不等式(或求函数最值)．（4）回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝错误!,则A∩B等于() A．{x|－1≤x<0｝B．｛x|0<x≤1｝C．｛x｜0≤x<2} D．｛x｜0≤x≤1}B[∵A＝｛x|－1≤x≤1｝，B＝｛x|0<x≤2}，∴A∩B＝｛x｜0〈x≤1｝．]2．不等式x＋1x≥5的解集是________．错误!［原不等式⇔错误!≥错误!⇔错误!≤0⇔错误!解得0〈x≤错误!.］3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．a＞4或a＜－4［∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0,解得，a＞4或a＜－4。