勾股定理的证明方法探究

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勾股定理的证明的方法

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

，整理得.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ R

tΔEBF,

∴∠AHE = ∠BEF.

∵∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴∠HGD = ∠EHA.

∵∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵∠GHE = 90º,

∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴. ∴.

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB.

∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

证明勾股定理的4种方法

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。以下是小编整理的证明勾股定理的4种方法，仅供参考，大家一起来看看吧。

证明勾股定理的4种方法

勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面我们一起来欣赏其中一些证明方法：

方法一：赵爽“弦图”

三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。

2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。

勾股定理的所有证明方法

勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形的两条

短边和长边之间的关系，是中学数学必学内容。勾股定理有多种推导

方法，本文将介绍其中几种比较经典的证明方法。

证明方法一：图形法

在平面直角坐标系中，假设有一个直角三角形，三个顶点分别为

A（0，0）、B（a，0）、C（0，b），其中AB为直角边，AC为短边，BC为长边。

根据勾股定理，有：

AB²+AC²=BC²

即a²+ b² = c²

这一定理可以通过勾股定理图像证明。

证明方法二：代数法

假设直角三角形ABC为直角三角形，角ACB为直角，线段AB为

直角边，BC和AC分别为长边和短边。假设长边为c，其中AC长度为a，BC长度为b。

那么由勾股定理得：

c² = a² + b²

移动式子的顺序，得

a² = c² - b²

然后得

a = （c² - b²）¹/²

同样的，

b = （c² - a²）¹/²

因此，假设c² = a² + b²，那么a = （c² - b²）¹/²， b =

（c² - a²）¹/²的证明结束。

证明方法三：相似性质法

由于三角形ABC与其相似的三角形ABC’（BC=BC’）可以通过旋

转，翻转或缩放在三角形平面内重叠，因此，我们可以确保AB/CB等于AB’/C’B’。我们可以推出:

AB/BC = C’B’/BC’

这是三角形ABC和AC’B’C之间的相似性质。而对于三角形ABC，根据勾股定理有：

AB² + BC² = AC²

在代入上述比例式之后有:

AB² + BC² = AC²

AB² + BC² =(C’B’*BC/BC’)² + (CB –C’B’)²

勾股定理的数学证明方法研究

勾股定理的数学证明方法研究勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它构成了平面几何的基础。在本文中，我们将研究勾股定理的数学证明方法。我们将从最早提出

该定理的中国数学家开始，探讨不同的证明方法，并分析它们的优缺点。

一、中国数学家的证明方法

自古以来，中国数学家一直对勾股定理有深入的研究和理解。最早

的证明方法可以追溯到中国古代数学经典著作《周髀算经》中。这本

书中提到了一种称为“山形法”的证明方法。它基于一个简单的原理：

在一个直角三角形中，边长比例相同的三个直角三角形具有相似的形状。

中国的古代数学家通过将直角三角形内部的线段细分，并利用相似

三角形的性质，成功地证明了勾股定理。这种方法虽然简单易懂，但

需要借助直观的几何图形来辅助理解，不够严谨。

二、欧几里得几何的证明方法

在欧几里得几何中，勾股定理有更加严谨的证明方法。欧几里得是

古希腊的一位著名数学家，他在《几何原本》中给出了勾股定理的几

何证明。他的证明方法基于面积的概念。

欧几里得的证明可以分为三个步骤：首先，构造一个辅助直角三角形，使得直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。其次，通过计

算这个直角三角形的面积，得出结论：c² = a² + b²。最后，通过排除其

他可能性，证明这是唯一的解。

这种证明方法基于面积概念，逻辑严密，但是需要复杂的几何线段

的推导，不够直观。

三、代数证明方法

除了几何证明方法外，还有一种基于代数的证明方法。这种方法通

过将直角三角形的边长表示为变量，并利用代数运算来证明勾股定理。

代数证明方法可以分为两种：一是基于平方差公式的代数证明方法，它通过将直角三角形的边长表示为变量，并利用平方差公式展开后进

勾股定理常见的证明方法

摘要：

一、引言

二、勾股定理的定义及应用

三、常见的证明方法

1.欧几里得证明法

2.切比雪夫证明法

3.平方差证明法

4.三角函数证明法

5.切线证明法

四、证明方法的比较与选择

五、结论

正文：

一、引言

勾股定理是数学领域中一条著名的定理，距今已有约2500年的历史。它在我国古代称为“方圆之术”，在几何学中具有广泛的应用。本文将对勾股定理的常见证明方法进行详细介绍，以帮助大家更好地理解和应用这一定理。

二、勾股定理的定义及应用

勾股定理是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。用数学公式表示为：a + b = c。其中a、b为直角边，c为斜边。勾股定理的应用十分广泛，如在建筑、航海、测量等领域都有涉及。

三、常见的证明方法

1.欧几里得证明法：利用勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的三边满足a + b = c，那么这个三角形一定是直角三角形。此证明方法简单易懂，适用于初学者。

2.切比雪夫证明法：利用切比雪夫不等式，即对于任意实数x，有(x +

1/x) ≥ 4。将勾股定理中的斜边c看作x，直角边a、b分别看作1和1/x，代入切比雪夫不等式，可得到a + b ≥ c，从而证明勾股定理。

3.平方差证明法：利用(a + b)(a - b) = a - b，将勾股定理中的a、b、c 分别代入，可得到(a + b)(a - b) + 2ab = a - b + 2ab = (a + b) - c，进而证明勾股定理。

4.三角函数证明法：利用正弦函数和余弦函数的定义，设直角三角形ABC 的角A、B、C分别为90°、45°、45°，可得sinA = a/c，sinB = b/c，从而证明勾股定理。

勾股定理的证明方法5种

勾股定理是几何学中最为经典的定理之一，它揭示了直角三角形中直角边与斜边的关系。勾股定理有多种不同的证明方法，下面我们将依次介绍其中五种不同的证明方法。

方法一：几何法证明

这种证明方法是最为直观的，它通过几何形状的变换来证明勾股定理。首先，我们先画出一个直角三角形ABC，然后作出辅助线AD ⊥BC，将三角形ABC分成两个小三角形ΔABD和ΔADC。根据相似三角形的性质，我们可以得到

BD/AB=AB/AC，即BD*AC=AB^2。

同理，我们可以得到CD*AB=AC^2。将这两个式子相加起来，我们就可以得到BD*AC+CD*AB=AB^2+AC^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到

BC*AD=AB^2+AC^2，而BC*AD就是直角三角形ABC的斜边的平方AC^2。

因此，通过几何法证明，我们可以得到勾股定理成立。

方法二：代数法证明

这种证明方法是使用代数运算来证明勾股定理。我们可以用直角三角形的三条边的长度来表示三角形的面积。假设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c 为斜边，利用面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形面积的两种表达式：

S=1/2* a*b

S=1/2* c*h

通过这两个表达式，我们可以得到c*h=a*b，即c^2=a^2+b^2。

方法三：相似三角形法证明

这种证明方法利用相似三角形的性质来证明勾股定理。我们可以在直角三角形ABC中找到一个与之全等的直角三角形DEF。然后我们可以发现直角三角形ABC和DEF分别是直角三角形ACB和EDF的相似三角形。由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF。

勾股定理的数学证明方法探究

勾股定理的数学证明方法探究勾股定理是几何学中一条非常重要的定理，它揭示了直角三角形的边长关系。本文将探究勾股定理的数学证明方法。

首先，我们回顾一下勾股定理的表述：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。可以用以下方程来表示：c² = a² + b²

其中，c表示斜边（即直角三角形的斜边），a和b分别表示直角三角形的两个直角边。

勾股定理有多种证明方法，下面将介绍两种常见的证明方法：几何证明和代数证明。

一、几何证明方法

几何证明是通过对几何图形的分析推理来证明勾股定理。最著名的几何证明方法之一是毕达哥拉斯的证明。

1. 毕达哥拉斯证明方法

毕达哥拉斯的证明方法基于对直角三角形的分析。他构造了一个辅助直角三角形，并利用了几何关系来推导。

首先，构造一个直角三角形ABC，边长分别为a、b和c，如下图所示：

（图1）

然后，我们再构造一个辅助直角三角形ACD，如下图所示：

（图2）

根据几何关系可知，三角形ABC和三角形ACD相似。因此，它们的对应边长之比相等。即有：

AB/AC = AC/AD

把AC替换为b，AD替换为a，我们可以得到等式：

a/b = b/c

对上述等式两边同时平方，可以得到：

a^2/b^2 = b^2/c^2

将等式转换一下，得到:

a^2 = b^2 + c^2

这正是勾股定理的数学表述。

2. 其他几何证明方法

除了毕达哥拉斯的证明方法外，还有许多其他几何证明方法。其中一种是利用面积关系证明。

假设直角三角形的面积为S，直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。根据直角三角形的面积公式，我们可以得到两个面积公式：S = 1/2 * a * b （三角形ABC的面积）

勾股定理的证明方法(完整版)

勾股定理的证明方法

第一篇：

勾股定理的证明方法

绪论

勾股定理是世界上应用最广泛,历史最悠久,研究最深入的定理之一,是数学、几何中的重要且基本的工具。而数千年来，许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数，达三百余种。可见，勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶，也是公理化证明体系的开端。

第一节勾股定理的基本内容

文字表述：

在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。数学表达：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为，那么

a^2+b^2=^2 事实上，它是余弦定理之一种特殊形式。

第二节勾股定理的证明

1欧洲

在欧洲,相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯，故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理；又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝，故亦称百牛定理。

欧洲最早记载这一定理之书籍，属欧几里得《几何原本》。

毕达哥拉斯的证明方法（相传）：

一说采用拼图法，一说采用定理法。

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为，再做三个边长分别为a、b、的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。

a2+b2+4×12ab = 2+4×12ab ，整理即可得到。

定理法就是几何原本当中的证法：

设△ab为一直角三角形，其中a为直角。从a点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

勾股定理16种经典证明方法

b a

2+【证法1】〔课本的证明〕

做8a 、b 、c 的正

2a 整

以a 、b ab

.把这四个直角三角C 、G

、D 三点在一条直线上.

∵Rt Δ∴∠AHE = ∠

BEF . ∵∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA .

∵∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵∠GHE = 90º,

∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.

∴()2

2214c ab b a +⨯=+. ∴2

22c b a =+.

【证法3】〔爽证明〕

以a 、b 为直角边〔b>a 〕，以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于ab

21. 把这四个直角三

角形拼成如下图形状.

∵Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB .

∵∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.

∴EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2

a b -.

∴()2

214c a b ab =-+⨯.

勾股定理的证明方法探究

在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

勾股定理指出：

直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，

设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么

a^2+b^2=c^2

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。

我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组

满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

勾股数组的通式：

a=m^2-n^2

b=2mn

c=m^2+n^2

(m>n,m,n为正整数）

推广

如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

勾股定理

定理

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

古埃及人利用打结作Rt

如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的证明方法探究

BC2+AC2=AB（AD+BD），

而AD+BD=AB，

因此有BC2+AC2=AB2，这就是

a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

对于勾股定理，还有许许多多的证明方法。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

勾股定理的多种证明方法

勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理，如何证明勾股定理呢？勾股定理证明方法有哪些呢?下面是的勾股定理证明方法资料，欢迎阅读。

勾股定理的种证明方法(部分)

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

∴ .

【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M;再过点

证明勾股定理的几种常用方法

第 1 页,共 1页证明勾股定理的几种常用方法

勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，即

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．探究勾股定理的证明，可以加深学生对勾

股定理的理解、丰富研究数学问题的方法、激发学习数学的兴趣．

证明勾股定理的方法有很多种，最常见的是通过构造一些含有直角三角形的特殊图形，

利用面积相等来证明，现举例说明如下：

已知R t △ABC 的斜边长为c ，两直角边的边长分别为a 、b ，求证：a 2 ＋b 2＝c 2．

证法1：如图1所示，以R t △ABC 的三条边作边

长分别向外作三个正方形，则正方形CDEF 与正方形

GHMN 的面积相等，即S 正方形CDEF ＝S 正方形GHMN ．

因为S 正方形GHMN ＝(a ＋b)2， S 正方形CDEF ＝c 2＋4×12

ab ．所以(a ＋b)2＝c 2＋4×12

ab ，故a 2 ＋b 2＝c 2．

证法2：用四个R t △ABC 拼成图2所示的图形，则四个直角三角形的直角顶点构成了一个小正方形的四个顶点．观察图形可得出等量关系：两个正方形的面积之差等于四个直角三角形的面积之和，即c 2－(b －a)2＝4×12ab ， ∴a 2 ＋b 2＝c 2．

说明：用四个R t △ABC 拼成图3所示的图形，借助等量关系：两个正方形的面积之差

等于四个直角三角形的面积之和，同样可得出a 2

＋b 2＝c 2．

证法3：如图4所示，两个全等直角三角形的直角边a 、b 在同一条直线上，则两直角

三角形的斜边相互垂直．由图形可以看出，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和．

10种勾股定理的证明方法

1什么是勾股定理

勾股定理，又称勾股论，是基督教神学家和物理学家第乌里希（Pythagoras）在公元前6世纪提出的一个名言：在给定一个直角三角形中，直角两边的平法相加，等于直角边的平方。也就是说，在一个直角三角形中，腰边的平方等于两个斜边的平方和。

2勾股定理的表示形式

勾股定理可以用一下式子表示：a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个斜边，c是这个直角三角形的直角腰边。

3关于勾股定理的10种证明方法

1.构造法：构造带有两个相等斜边a和b的两个直角三角形，以证明a²+b²=c²。

2.投影定理：利用投影定理将这些斜边投影，使两个三角形等同，从而证明勾股定理。

3.物理四边形法：采用正方形，梯形和菱形将这三角形组合成一个完整的四边形，证明了勾股定理。

4.三角不等式：根据直角三角形的三角不等式来证明a²+b²>

c²。

5.毕达哥拉斯定理：该定理指出，在给定一个直角三角形时，斜边的平方和等于两个斜边相乘再乘以直角边的任何一个数字。

6.幂法：将a²+b²和c²都改写成几次幂的形式，然后将两个完整的当作可以对等的数字比较，从而证明勾股定理。

7.等差数列法：分别建立一个等差数列和一个等比数列，将它们相加，可以得到勾股定理的完整证明。

8.泰勒公式：根据勾股定理，a²+b²=c²,用泰勒公式解析勾股定理，就能得出正确的结论。

9.三角函数法：将勾股定理表示为正弦、余弦和正切的函数关系，根据不同的三角函数的关系证明勾股定理。

10.几何图表法：将斜边a、b、c绘制成一个两个直角三角形的示意图，并且两个三角形的直角边的和是刚好相等的，可以读出完整的证明。

证明勾股定理的四种方法

勾股定理是比较流行的一个数学定理，它最初由古希腊数学家几何学家勃兰特提出，他证明了任何三角形的一条直角边的平方等于另外两条斜边的平方之和。公式表示为

a2+b2=c2，其中c为直角边，a和b是斜边。它也称为勾股等式。本文介绍了勾股定理的四种证明方法：几何方法、三角计算法、数学归纳法以及数学建模法。

一、几何方法

几何方法是最简单的证明方法之一，它是根据几何原理，从绘制三角形特点出发，推导出勾股定理。因为在绘制三角形时，它有一条直角，因此其有两条斜边。从直角三角形的形状可以看出，当任意给定三条边时，其内角都为90°，并且直角的两边是相等的。两边的和等于直角的那一边的平方，这就是我们熟悉的勾股定理，即a2+b2=c2。

二、三角计算法

三角计算法的依据是解决两个三角形的问题时要求它们的角度和边度要相等。比如，要证明两个三角形等边相等，角度也相等，那么可以用两个三角形相等的理论定理，并借助相关公式推演出最终结论a2+b2=c2。通过解决三角形的特殊问题，我们可以最终获得勾股定理。

三、数学归纳法

数学归纳法是将一个定理进行分解分步证明，首先分析定理可能的情况，然后再逐步把它推导出来。以解勾股定理为例，已知直角三角形的情况，首先确定定理在各种情况下是否有效。用归纳法对elf0勾股定理可以完全证明，即c2=a2+b2。

四、数学建模法

数学建模法主要是把实际的情况用数学模型表达出来，包括数学模型、函数模型甚至是动力模型等，来求解实际问题本质。以勾股定理为例，首先可以确定定理表达式：

a2+b2=c2，即c2可以表示为两个斜边的平方之和，这正是勾股定理的本质。把它表示为动态变化的模型，则可以更清楚地演示它的意义，并从而有助于证明勾股定理。

勾股定理的六种证明方法

勾股定理的证明方法

【证法1】（传说中毕达哥拉斯的证明）

图1 图2

如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即

c ab b a 214214222⨯+=⨯++，整理得 222c b a =+.

【证法2】（邹元治证明）

以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等

于ab 21

. 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、

C 三点在一条直线上，C 、G 、

D 三点在一条直线上. 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. 四边形ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2

b a +.

∴()22

14c ab b a +⨯

=+. ∴ 2

22c b a =+. 【证法3】（赵爽证明）

以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形

的面积等于ab 21

. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ABCD 是一个边长为c 的正方

形，它的面积等于c 2

. EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于()2

a b -.

∴ ()2

214c a b ab =-+⨯.∴ 2

22c b a =+.

图4

【证法4】（Garfield 证明）

以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等