竖直平面内圆周运动任意点向心力的计算

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竖直方向圆周运动最低点速度公式

竖直方向圆周运动最低点速度公式竖直方向圆周运动是一种物体在竖直平面上绕一个固定点进行的运动。

在这种运动中，物体的速度会随着位置的变化而变化，最低点是速度最大的位置。

本文将介绍竖直方向圆周运动最低点速度的公式及其推导过程。

我们需要了解一些基本概念。

在竖直方向圆周运动中，物体的质量和半径都是固定不变的。

根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上受到重力的作用，其大小等于物体的质量乘以重力加速度。

同时，物体还受到向心力的作用，其大小等于物体的质量乘以向心加速度。

在竖直方向圆周运动的最低点，物体的速度最大。

根据动能定理，物体的动能等于1/2乘以物体的质量乘以速度的平方。

因此，在最低点，物体的动能最大。

由于物体的质量和半径都是固定不变的，所以最低点的动能最大，意味着最低点的速度最大。

下面我们来推导竖直方向圆周运动最低点速度的公式。

根据动能定理，最低点的动能可以表示为：动能= 1/2mv^2，其中m是物体的质量，v是物体的速度。

最低点的动能最大，意味着最低点的速度最大。

为了求解最低点速度的公式，我们需要将动能表达式中的质量m和速度v用其他已知量表示出来。

根据向心力的定义，向心力Fc等于物体的质量m乘以向心加速度ac。

根据向心加速度的定义，向心加速度ac等于物体的速度v的平方除以物体的半径r。

将向心力Fc代入动能定理中的动能公式，可以得到：动能= 1/2mv^2 = 1/2m(acr) = 1/2m(v^2/r) = 1/2mv^2/r由于最低点的动能最大，所以最低点的速度最大。

将上述动能公式中的动能视为最低点速度的平方，可以得到最低点速度的公式：v = sqrt(2gr)，其中g是重力加速度，r是物体的半径。

这就是竖直方向圆周运动最低点速度的公式。

根据这个公式，我们可以计算出物体在竖直方向圆周运动的最低点的速度。

需要注意的是，该公式只适用于竖直方向圆周运动的最低点。

对于其他位置的速度，需要根据具体情况进行计算。

总结一下，竖直方向圆周运动最低点速度的公式是v = sqrt(2gr)，其中g是重力加速度，r是物体的半径。

圆周运动的向心力计算

圆周运动的向心力计算圆周运动是物体在固定中心点周围绕圆形轨道做匀速运动的一种运动形式。

在圆周运动中，物体受到向心力的作用，使得物体沿着轨道保持运动。

本文将讨论圆周运动的向心力的计算方法。

1. 向心力的定义和方向向心力是指物体在圆周运动中，由于受到轨道中心点的作用力，保持向中心点坠落的力。

它的方向始终指向轨道中心点。

向心力的大小与物体的质量和圆周运动的速度有关。

2. 向心力的计算公式向心力的计算使用公式：F = m * a_c，其中F表示向心力，m表示物体的质量，a_c表示向心加速度。

3. 向心加速度的计算向心加速度是指物体在圆周运动中的加速度，它是因为向心力的作用而产生的。

向心加速度与物体的线速度和轨道半径有关，可以使用以下公式进行计算：a_c = v^2 / r，其中a_c表示向心加速度，v表示物体的线速度，r表示轨道的半径。

4. 向心力的数值计算通过向心加速度的计算公式，我们可以将向心力的计算转化为数值计算。

例如，如果物体的质量为m，线速度为v，轨道半径为r，那么向心力的计算公式可以变为：F = m * (v^2 / r)。

5. 例子分析假设有一个质量为0.5kg的小球以20m/s的线速度在半径为2m的圆形轨道上做匀速圆周运动。

我们可以根据上述公式计算出该小球所受的向心力：F = 0.5 * (20^2 / 2) = 200N。

6. 向心力的意义向心力的作用是保持物体在圆周运动中始终沿着轨道运动，不会脱离轨道飞出。

这是因为向心力提供了足够的向中心点的力量，使得物体能够克服离心力的影响，保持稳定的圆周运动。

总结：通过以上对圆周运动的向心力计算的讨论，我们可以得出以下结论：向心力的计算公式为F = m * a_c，其中m为物体质量，a_c为向心加速度。

向心加速度的计算公式为a_c = v^2 / r，其中v为物体线速度，r为轨道半径。

向心力的计算可以通过将向心加速度的计算结果带入公式得到。

向心力的作用是保持物体在圆周运动中保持稳定的轨道运动。

专题竖直面内的圆周运动高一物理 (人教版2019)

专题5 竖直面内的圆周运动（解析版）一、目标要求目标要求重、难点向心力的来源分析重难点水平面内的圆周运动重难点火车转弯模型难点二、知识点解析1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．(1)拱形桥(失重)汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝2mvR,F ≤ mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，当汽车的速度达到v max＝gR，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．(2)凹形路(超重)汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：2-=mvF mgR，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对路面的压力也就越大．说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)(1)受力条件：轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．(2)临界问题：①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则：2=v mg m R，解得：0=v gR说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：20sin v mg m R α=，解得:0sin v gR α=②能过最高点的条件：v ≥0v ．③不能过最高点的条件：v ＜0v ，实际上小球在到0v 达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．3．杆模型(双管，有支撑)(1)受力条件：轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道用长为L 的轻绳拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直外管内侧做圆周运动用长为L 的轻杆拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直双管内做圆周运动向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．(2)临界问题：①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度0=v 临，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：0-=N F mg ．②当0＜v gR N F ．由-mg N F 2=v m R 得：N F 2=-v mg m R．支持力N F 随v 的增大而减小，其取值范围是0＜N F ＜mg ．③当=v gR 时，重力刚好提供向心力，即2=v mg m R，轻杆或轨道对小球无作用力．④当v gR F 或轨道外侧对小球施加向下的弹力N F 弥补不足，由2+=v mg F m R 得：2=-v F m mg R，且v 越大F (或N F )越大．说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg 都要改成sin mg α． 4．离心运动做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．(1)离心运动的成因做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当2F mr ω=时，物体做匀速圆周运动；当0F =时，物体沿切线方向飞出；当2F mr ω<时，物体逐渐远离圆心．F 为实际提供的向心力．如图所示．(2)离心运动的应用离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．(3)离心运动的防止有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力mvr2较小，不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．(4)几种常见的离心运动物理情景实物图原理图现象及结论洗衣机脱水筒当水滴跟物体之间的附着力F不能提供足够的向心力(即2ω<F m r))时，水滴做离心运动汽车在水平路面上转弯当最大静摩擦力不足以提供向心力(即2max<vF mr))时，汽车做离心运动三、考查方向题型1：汽车过桥模型典例一：如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则( )A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmgC．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值【答案】：C【解析】在四分之一圆弧底端，根据牛顿第二定律得：2vN mg mR-=，解得：N=mg+ 2vmR，此时摩擦力最大，有：2＞v F N mg m mg R μμμμ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故C 正确确，ABD 错误．题型2：绳模型典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为L 的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g ，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )A gLB 2g LC 5gLD 10gL【答案】：B【解析】：据题知，杯子圆周运动的半径2=Lr ，杯子运动到最高点时，水恰好不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：22Lmg m ω= 解得：2g L ω=题型3：杆模型典例三：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小【答案】：A【解析】：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v gR A正确，B错误；若v gR最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m2vR，随v增大，F减小，若v gR高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m2vR，随v增大，F增大，故C、D均错误。

圆周运动公式

圆周运动和天体运动公式｛公式⑴｝v r ω=，222f n Tπωππ=== （n 为转速）｛公式⑵｝()()22222222v a r r r f r n r r T πωωππ⎛⎫====== ⎪⎝⎭｛公式⑶｝()()22222222v F m r m m r m r m f r m n r r T πωωππ⎛⎫====== ⎪⎝⎭【可以通过牛顿第二定律F ma =推得】｛公式⑷｝12⎧⎨⎩（）固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同（）不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点和皮带上各点的线速度大小相等｛公式⑸｝竖直平面内圆周运动两种模型及规律轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg ＝m v 2r 得 v 临＝gr由小球能运动即可，得v 临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr ，F N ＋mg ＝m v 2r ，绳、轨道对球产生弹力F N (2)不能过最高点时，v ＜gr ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v ＝0时，F N ＝mg ，F N 为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v ＜gr 时，－F N ＋mg ＝m v 2r ，F N 背离圆心且随v 的增大而减小 (3)当v ＝gr 时， F N ＝0(4)当v ＞gr 时，F N ＋mg ＝m v 2r ，F N 指向圆心并随v 的增大而增大｛公式⑹｝32a k T=【由开普勒第三定律可知。

a 代表行星运动的椭圆轨道的半长轴，T 代表公转周期，k 是一个只与被绕星球质量有关的常量】｛公式⑺｝122m m F Gr =【万有引力定律，G是引力常量，数值为11226.6710N m kg -⨯⋅】｛公式⑻｝2MmF G r=【若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球对物体的引力。

M 是地球的质量，R 是地球的半径，也就是物体到地心的距离。

】2mMmg G R= 2gR M G = ｛公式⑼｝2324r M GTπ=【由万有引力等于向心力可推导得到，设M 是太阳的质量，m 是某个行星的质量，r 是行星与太阳之间的距离，ω是行星公转的角速度。

高中物理：物体在竖直面内的圆周运动

1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。

②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。

①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。

②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。

竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。

例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。

（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。

生活中的向心力之水平面与竖直面内的圆周运动

举一反三
解：（1）汽车受力分析如图所示分析可得）汽车受力分析如图所示,分析可得 mgmg-N= F向，即：
N F牵 F摩
v2 mg − N = m r
∴ v2 N = mg − m r 52 = 1000 × (10 - )N 10 = 7500 N
G
此时，汽车对桥的压力为7500N 此时，汽车对桥的压力为7500N
N F摩
（5）为了使木块能随转盘转动，）为了使木块能随转盘转动，转盘的最大线速度是多少？转盘的最大线速度是多少？提示：外界提供越大的合力充当向心力，提示：外界提供越大的合力充当向心力，则物体就能以越大的速度做圆周运动
G
1.4m/s
生活中的向心力
1.汽车转弯问题 1.汽车转弯问题
（1）.汽车在水平路面上转弯
θ
G
θ
2
v mg tan θ = m r
解圆周运动问题的基本步骤
1、确定研究对象。确定研究对象。 2、确定作圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。确定作圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。 3、受力分析。受力分析。 4、运用平行四边形定则或正交分解法求出向心力F。运用平行四边形定则或正交分解法求出向心力F 5、根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。
课前五分钟，温故而知新。课前五分钟，
向心力定义： 1、向心力定义：沿沿半径指向圆心，始终使物体维持在圆周轨道上运动的力叫做向心力。维持在圆周轨道上运动的力叫做向心力。
v2 2、向心力公式： F = m 向心力公式： r
F = m rω a = rω
2
2
v 向心加速度公式：向心加速度公式： a = r

竖直面内圆周运动

3m/s 6N 方向竖直向下 1.5N 方向竖直向上 2N 方向竖直向上
当堂检测
1. 绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长=40cm. 求: （ 1 ）桶在最高点水不流出的最小速率？（ 2 ）水在最高点速率 =3m/s 时水对桶底的压力？(g取10m/s2)
2m/s
1.汽车与公路面的动摩擦因数为 μ ＝0.1，公路某转弯处的圆弧半径为 R＝4 m. (1) 若路面水平，要使汽车转弯时不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取 g＝10 m/s2) (2)当超过 vm 时，将会出现什么现象？
解析 (1)汽车在水平路面上转弯不发生侧滑时，沿圆弧运动所需向心力由静摩擦力提供．当车速增大时，静摩擦力也随着增大，当静摩擦力达到最大值 μmg 时，其对应的车速即为不发生侧滑的最大行驶速度．
答案
(1)10 3 m/s
(2)1×105 N
3. 一汽车通过拱形桥顶点时的速度为 3 10 m/s ，车对桥顶的压力为车重的，如果 4 要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为 (B ) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s
v2 v2 3 1 解析当 FN＝ G 时，因为 G－FN＝m ，所以 G＝m ， 4 r 4 r v′2 当 FN＝0 时，G＝m r ，所以 v′＝2v＝20 m/s.
解析小球到最高点时刚好不脱离圆环，重力正好全部用 v2 来提供向心力，即 F 向＝mg＝m ＝ma，所以 v＝ gR，a R ＝g.
2.如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度使它在竖直平面内做圆周运动，图中 a、b 分别表示小球运动轨迹的最低点和最高点，则细杆对小球的作用力可能是 A．a 处为拉力，b 处为拉力 B．a 处为拉力，b 处为支持力 C．a 处为支持力，b 处为拉力 D．a 处为支持力，b 处为支持力 ( )

15.竖直方向上的圆周运动

练习：《新课堂》练习：新课堂》 38页例2、39页例3及其变式训练 38页例页例2 39页例页例3
例2：l=0.5m、m=0.5kg、到达最高点的速度v=0.4m/s =0.5m、 =0.5kg、到达最高点的速度v 法一： =0时球的速度为v 法一：设F=0时，球的速度为v0
v0 mg = m l
gR 小球受支持力如右侧所示： v↓→F↑，小球受支持力如右侧所示：
当v=0时，F=mg ， =0时所以有支撑力情况下小球能通过最高点的速度为v 所以有支撑力情况下小球能通过最高点的速度为v≥0
线速度不变！！！线速度不变！！！思考题：绳碰到钉子的瞬间，线速度、角速度、思考题：绳碰到钉子的瞬间，线速度、角速度、向心加速度、绳的拉力、向心力怎样变化？向心加速度、绳的拉力、向心力怎样变化？
2
mg
v2 mg + F2 = m R
v2 mg − F2 = m R
2
小球通过最高点的条件： v≥0 小球通过最高点的条件： F F
v2 mg + F = m R
v2 mg − F = m R
mg
当F=0时，小球速度为 v 0 = F=0 当v <
mg
gR
当v > gR 小球受拉力如左侧所示：v↓↑→F↓↑ 小球受拉力如左侧所示：
v0 mg = m l
2
v 0 = gl = 6 m/s
2
因为v 因为v > v0 ，所以桶底对水有向下的作用力
v mg + F = m l
v2 F = m − mg = 2.5 N l
v2 mg = m R
4v2 mg + F = m = 4mg R

第二章专题强化5 竖直面内的圆周运动

竖直面内的圆周运动[学习目标] 会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法并会求临界值．一、竖直面内圆周运动的轻绳模型如图所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例．(1)在最低点有：T 1－mg ＝m v 12L所以T 1＝mg ＋m v 12L(2)在最高点有：T 2＋mg ＝m v 22L所以T 2＝m v 22L－mg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由T 2＋mg ＝m v 22L 可知，当T 2＝0时，v 2最小，最小速度为v 2min ＝gL .讨论：当v 2＝gL 时，拉力或压力为零．当v 2>gL 时，小球受向下的拉力或压力．当v 2<gL 时，小球不能到达最高点．例1 (多选)如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做完整的圆周运动，重力加速度为g .则下列说法正确的是( )A ．小球在最高点时所受向心力一定为小球重力B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C ．小球在最低点时绳子的拉力一定大于小球重力D ．小球在最高点的速率至少为gL 答案 CD解析小球在最高点时，向心力可能等于重力，也可能等于重力与绳子的拉力的合力，取决于小球在该点的瞬时速度的大小，A 错误；小球在最高点时，若只有重力提供向心力，则拉力为零，B 错误；小球在最低点时向心力方向竖直向上，合力一定竖直向上，则拉力一定大于重力，C 正确；当小球刚好到达最高点时，仅有重力提供向心力，则有m v 2L ＝mg ，解得v＝gL ，D 正确．针对训练1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字，5取2.24) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小．答案 (1)2.24 m/s (2)4 N解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．由牛顿第二定律有：mg ＝m v 02l ，得桶的最小速率为：v 0＝2.24 m/s.(2)因v ＞v 0，故此时桶底对水有向下的压力，设为N ，由牛顿第二定律有：N ＋mg ＝m v 2l ，得：N ＝4 N ．由牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小：N ′＝4 N. 二、竖直面内圆周运动的轻杆模型如图所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动．(1)最高点的最小速度由于杆或管在最高点能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力N ＝mg .(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况①若v >gL ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg ＋F ＝m v 2L ，所以F ＝m v 2L －mg ，F 随v 的增大而增大．②若v ＝gL ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F ＝0，mg ＝m v 2L.③若0≤v <gL ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg －F ＝m v 2L ，所以F ＝mg －m v 2L ，F随v 的增大而减小．例3 如图所示，长为0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直面内做圆周运动，A 端连着一个质量m ＝2 kg 的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g 取10 m/s 2，π2＝10)：(1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s ； (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s. 答案 (1)140 N 方向竖直向上 (2)10 N 方向竖直向下解析设竖直向下为正方向，小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为2 r/s 时，ω＝2πn ＝4π rad/s ，由牛顿第二定律得F ＋mg ＝mLω2，故小球所受杆的作用力F ＝mLω2－mg ＝2×(0.5×42×π2－10) N ≈140 N ，即杆对小球有140 N 的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140 N ，方向竖直向上．(2)杆的转速为0.5 r/s 时，ω′＝2πn ′＝π rad/s ，同理可得小球所受杆的作用力F ′＝mLω′2－mg ＝2×(0.5×π2－10) N ≈－10 N.力F ′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的正方向相反，即杆对小球有10 N 的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N ，方向竖直向下．针对训练2 (多选)如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g ，关于小球在最高点的速度v ，下列说法正确的是( )A ．v 的最小值为glB ．v 由零逐渐增大，向心力也增大C ．当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D ．当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大答案 BCD解析由于是轻杆，在最高点可对小球提供支持力，因此v 的最小值是零，故A 错误．v 由零逐渐增大，由F 向＝m v 2l 可知，F 向也增大，故B 正确．当v ＝gl 时，F ＝m v 2l ＝mg ，此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v 由gl 逐渐增大时，m v 2l ＝mg ＋F ，故F ＝m v 2l －mg ，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v 由gl 逐渐减小时，杆对球的力为支持力，此时，mg －F ′＝m v 2l ，F ′＝mg －m v 2l ，支持力F ′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C 、D 正确．例4 质量为m 的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的内径，圆管内径远小于轨道半径，如图所示．已知小球以速度v 通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度v2通过圆管的最高点时( )A ．小球对圆管内、外壁均无压力B ．小球对圆管外壁的压力等于mg2C ．小球对圆管内壁的压力等于mgD ．小球对圆管内壁的压力等于mg2答案 D解析以小球为研究对象，小球通过最高点时，根据牛顿第二定律得mg ＋mg ＝m v 2r ；当小球以速度v 2通过圆管的最高点，根据牛顿第二定律得mg ＋N ＝m (v 2)2r ；联立解得：N ＝－12mg ，负号表示圆管对小球的作用力向上，即小球对圆管内壁的压力等于mg2，故D 正确．1.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )A ．0 B.gR C.2gR D.3gR答案 C解析由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2R，故速度大小v ＝2gR ，C 正确．2.(多选)(2021·河北省高二学业考试)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O 上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力( )A ．方向一定竖直向上B ．方向可能竖直向下C ．大小可能为0D ．大小不可能为0答案 BC解析设杆长为R ，小球运动至最高点处，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，当v >gR 时，杆对小球提供竖直向下的拉力，当v <gR 时，杆对小球提供竖直向上的支持力，故B 、C 正确，A 、D 错误． 3.杂技演员在表演“水流星”时的示意图如图所示，长为1.6 m 的轻绳的一端，系着一个总质量为0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点时的速度为4 m/s ，g 取10 m/s 2，则下列说法正确的是( )A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器的底部受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B解析设水的质量为m ，当水对容器底压力为零时，有mg ＝m v 2r ，解得v ＝gr ＝4 m/s ，“水流星”通过最高点的速度为4 m/s ，知水对容器底压力为零，不会从容器中流出；设水和容器的总质量为M ，有T ＋Mg ＝M v 2r ，解得T ＝0，知此时绳子的拉力为零，故A 、D 错误，B 正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，C 错误．4.如图所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，小球直径略小于管道内径，质量为m 的小球从管道最低点以某一速度v 1进入管内，在圆管道最低点时，对管道的压力为7mg ，小球通过最高点P 时，对管外壁的压力为mg ，此时小球速度为v 2，则v 1∶v 2为(g 为重力加速度)( )A ．7∶2 B.3∶ 2 C.3∶1 D.7∶ 2答案 C解析在圆管道最低点时，有7mg －mg ＝m v 12R ，小球通过最高点P 时，有mg ＋mg ＝m v 22R ，解得v 1∶v 2＝3∶1，选项C 正确．5．(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管道处于竖直平面内，其中管道半径为R .现有一个半径略小于弯管横截面半径(远小于 R )的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v 0，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )A ．若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力B ．若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力C ．若0 <v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力D ．不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力答案 ABC解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 02R ，解得v 0＝gR ，因此小球对管内壁无压力，选项A 正确．若v 0>gR ，则有mg ＋N ＝m v 02R ，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确．若0<v 0<gR ，则有mg －N ＝m v 02R ，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确．综上分析，选项D 错误．6.如图所示，一个可以视为质点的小球质量为m ，以某一初速度冲上光滑半圆形轨道，轨道半径为R ＝0.9 m ，直径BC 与水平面垂直，小球到达最高点C 时对轨道的压力是重力的3倍，重力加速度g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力，求：(1)小球通过C 点的速度大小；(2)小球离开C 点后在空中的运动时间； (3)小球落地点距B 点的距离．答案 (1)6 m/s (2)0.6 s (3)3.6 m解析 (1)小球通过最高点C ，重力和轨道对小球的压力提供向心力，有F ＋mg ＝m v C 2R ，F ＝F ′＝3mg ，解得小球通过C 点的速度v C ＝6 m/s.(2)小球离开C 点后在空中做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动有2R ＝12gt 2，解得小球离开C 点后在空中的运行时间t ＝0.6 s.(3)小球在水平方向上做匀速直线运动有x ＝v C t ，得小球落地点距B 点的距离x ＝3.6 m.7．某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面，重力加速度为g )( ) A ．mg B ．2mg C ．mg ＋m v 2RD ．2m v 2R答案 B解析在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2R ，解得：F 2＝mg ＋m v 2R，所以F 2－F 1＝2mg ，B 正确．8．(多选)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v ，此时绳子的拉力大小为T ，拉力T 与速度的平方v 2的关系如图乙所示，图中的数据a 、b 及重力加速度g 都为已知量，下列说法正确的是( )A ．数据a 与小球的质量无关B ．数据b 与小球的质量无关C ．比值ba 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关D ．利用数据a 、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径答案 AD解析当v 2＝a 时，绳子的拉力为零，小球的重力提供向心力，则mg ＝m v 2r，解得v 2＝gr ，故a ＝gr ，与小球的质量无关，故A 正确；当v 2＝2a 时，对小球受力分析，则mg ＋b ＝m v 2r，解得b ＝mg ，与小球的质量有关，故B 错误；根据A 、B 可知b a ＝mr ，与小球的质量和圆周轨道半径都有关，故C 错误；由A 、B 的分析可知，b ＝mg ，a ＝gr ，故m ＝b g ，r ＝ag ，故D 正确．9．(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F ，小球在最高点的速度大小为v ，其F －v 2图像如图乙所示．则( )A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等答案 ACD解析当小球受到的弹力F 方向向下时，F ＋mg ＝m v 2R ，解得F ＝mR v 2－mg ，当弹力F 方向向上时，mg －F ＝m v 2R ，解得F ＝mg －m v 2R ，对比F －v 2图像可知，b ＝gR ，a ＝mg ，联立解得g＝b R ，m ＝aRb ，A 正确，B 错误．v 2＝c 时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C 正确．v 2＝2b 时，由F ＝m R v 2－mg 及g ＝bR 可知小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确．10.如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L .重力加速度大小为g .现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小为( )A.3mgB.433mg C ．3mg D ．23mg答案 A解析设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r ，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则r ＝L cos 30°.根据题述小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg ＝m v 2r ；小球在最高点速率为2v 时，设每根绳的拉力大小为F ，则有2F cosθ＋mg ＝m (2v )2r，联立解得：F ＝3mg ，故A 正确．11.(2021·湘潭一中月考)现有一根长L ＝1 m 的不可伸长的轻绳，其一端固定于O 点，另一端系着质量m ＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，将小球提至O 点正上方的A 点处，此时绳刚好伸直且无弹力，如图所示．不计空气阻力，g 取10 m/s 2.(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A 点至少应施加给小球多大的水平速度？ (2)在小球以速度v 1＝4 m/s 水平抛出的瞬间，绳所受拉力为多少？(3)在小球以速度v 2＝1 m/s 水平抛出的瞬间，绳若受拉力，求其大小；若不受拉力，试求绳子再次伸直时所经历的时间．答案 (1)10 m/s (2)3 N (3)不受拉力 0.6 s解析 (1)小球做完整的圆周运动的临界条件为在最高点重力刚好提供小球所需的向心力，则 mg ＝m v 02L解得施加给小球的最小速度v 0＝10 m/s(2)因为v 1>v 0，故绳受拉力．根据牛顿第二定律有T ＋mg ＝m v 12L代入数据得绳所受拉力T ′＝T ＝3 N(3)因为v 2<v 0，故绳不受拉力．小球将做平抛运动，其运动轨迹如图所示，设经过时间t 绳子再次伸直，则L 2＝(y －L )2＋x 2x ＝v 2ty ＝12gt 2代入数据联立解得t ＝0.6 s.。

向心力的受力分析(三)

F指向圆心 -F背离圆心 =F向心
(3)根据牛顿运动定律,列出运动方程。
m
v2
F指向圆心 -F背离圆心 = mr2r
m
2
T
2
r
Tsin N cos m2r
4、飞机的圆周运动
⑴飞机在水平面内的圆周运动
问题：飞机在水平面内做圆周运动时，受那些力作用？向心力由什么提供？
基本方程： F升 cos -mg=0
F升
sin
m
v2 R
F升
θ
0
联立解得
mg
mg tan
v2 m
R
⑵飞机在竖直面Hale Waihona Puke 圆周运动在最高点：F升
mg
m
v2 R
在最低点：
F升
mg
m
v2 R
mg
F
升
F升
mg
五、竖直面内的圆周运动 1、绳连球模型——无支持系统的竖直圆周运动
过山车、水流星、绳系小球在竖直面内的圆周运动。
通过最高点即可完成圆周运动
D、当物体通过最高点的速度 v gr 时，小球受到向下的弹力:
v2 mg FN m R
解得
v2 FN m R mg
力的大小且随v增大而增大；外管有向下的压力
竖直平面内的变速圆周运动
绳
杆
圆管
桥面
示意图
mA
L O
B
mA L杆 O
B
mA R
O
B
mA
m的受力情况
重力、绳的拉力
重力、杆的拉力或支持力
向心力与向心加速度（二）
课堂要点小结
方向：指向圆心
向大小：心

专题_竖直平面内的圆周运动详解

(1).当V1＝1m/s时,F1＝？ (2).当V2＝4m/s时,F2＝？ (3).通过最低点时,情况又如何呢? (4).如果和小球相连的是细绳而不是细杆,情况又如何呢?
V
.
O
例2.一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动,如右图所示,水的质量是m＝0.5kg,水的重心到转轴的距离L＝50cm. (1).若在最高点时水不流出来,求桶的最小速度; (2).若在最高点时水桶的速率V＝3m/s,求水对桶底的压力.
二.小球有支撑(在竖直平面内过最高点的情况)
V
V
r杆
丙
丁
1.临界条件: 由于轻杆和管壁的支撑作用,小球恰好能到达最高点的临界速度V临界＝0
2.如图丙所示,小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况:
(1).V＝0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力FN,且FN＝mg
(2).0＜V＜ gr 时, 轻杆对小球有竖直向上的支持力FN, 大小随速度的增大而减小,取值范围:0＜FN＜mg
施力特点
拉力
v gr v gr v gr
不可通过
T=0
恰好通过最高点
拉力
拉力
支持力 N=0
支持力
拉力
支持力
安全过桥
N=0 恰好离开桥
离开桥
三.例题
例1.长L＝0.5m、质量可以忽略的杆,其下端固定于O点,上端连有质量＝2㎏的小球,它绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动.当通过最高点时,如图所示,在下列情况下,求杆受到的力.(g＝10m/s2)
o B
2.如图所示,一个人用一根长为1m、只能承受46N拉力的绳子拴着一个质量为1kg的小球在竖直平面内做圆周运动.已知圆心O离地面的高度H＝6m,转动中,小球在最低点时绳子断了,g＝10m/s2,求: (1).绳子断时小球运动的角速度 (2).绳子断后小球落地点与抛出点的水平距离

竖直平面内的圆周运动

分析：
F2
A
最高点:
V1(V2)
v mg F1 m R

2 1
v mg F2 m R
2 2
F1 G
;
R
F3
V3 G
v 最低点： F3 mg m R
思考：小球在最高点的最小速度可以是多少？什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力?什么时候内外管壁都没有压力？
要通过最高点，此时轻杆的拉力需要大于等于5mg，速度 V 5gR
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑竖直放置的管型轨道半径为R，内有一质量为m的小球，沿其竖直方向上的做变速圆周运动，小球的直径刚好与管的内径相等
（1）小球在运动到最高点的时候速度与受力的关系是怎样的？（2）小球运动到最低点的时候速度与受力的关系又是怎样？
练习5
杆长为 L ，球的质量为 m ，杆连球在竖直平面内绕轴 O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=1/2mg，求这时小球的速度大小。解：小球所需向心力向下，本题中 F=1/2mg＜mg，所以弹力的方向可能向上，也可能向下。
⑴若F 向上，则
mv 2 mg F , L
⑵若F 向下，则
v vmin gr
，
当质点的速度小于这一值时，质点将运动不到最
2、最低点：最低点的向心力方程：
mV FN mg R
2
V
可知此时绳子的拉力不可能为零，其最小值为 mg，速度为零，但不能通过最高点。要通过最高点，此时绳子的拉力需要大于等于6mg，速度 V 5gR
拓展：物体沿竖直内轨运动
练习1
绳系着装有水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量为0.5Kg，绳长60Cm，求：（1）最高点水不流出的最小速率；（2）水在最高点速率为3m/s时，水对桶底的压力。