磁场-4 磁场中的高斯定理
§8-4-磁场的高斯定理和安培环路定理-(2)
由叠加原理，整个电流回路的磁
场中任意闭合曲面的磁通量必定都
等于零，这就是磁场的高斯定理。
S B dS = 0
Idl
B
1
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1. 安培环路定理的表述：
恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路
的积分等于此环路所包围的电流代数和的
2π
围绕单根载流导线的任一回路 L：
L2
对L，每个 线元
dl
以过垂直导线平面作参考，分
解为分量dl//和垂直于 该平面的分 量 dl，有
L B dl
L//
B dl//
L
B
dl
dl B 0
B dl
L
L// B dl//
0I
证明步骤同上 4
围绕多根载流导线的任一回路 L：
设
I1,
I
§8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对
称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相 接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线
的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
在围绕单根载流导线的
垂直平面内的任一回路：
Ldl dBFra bibliotekB dl Brd
I
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
r d
3
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路：
磁场的高斯定理的物理意义
磁场的高斯定理的物理意义
磁场的高斯定理的物理意义
磁场是指物体对磁性物质的影响，也就是电子、介子或离子在磁场中
运动时受到的作用力。
磁场的高斯定理是研究磁场的基本公式，主要
描述的是在空间某一点处，通过计算磁场的积分而可以得到磁场的大小。
这个定理是由德国数学家卡尔·费希尔于1835年发现的，他要解
决的是电流的分布，但他的结果也同样适用于磁场的研究。
磁场的高斯定理的基本物理意义就是，如果在空间某一点处做一个磁
场测量，那么就可以把这个空间分割成围绕这一点的若干虚拟的球体，并把它们的磁场值从内到外依此减小，如果可以计算出每个球体的磁
场值，那么就能用简单的数学公式计算出空间某一点处的磁场值，这
就是磁场的高斯定理。
磁场的高斯定理也可以用来解释磁场为什么会有一定的局部结构。
因
为它可以用来计算距离某一点的磁场强度，所以可以解释为什么磁场
会随着距离而减弱，以及为什么某个磁场中会有一些区域强度比较强，而其他区域强度比较弱。
此外，由于磁场的高斯定理可以计算出磁场的强度，因此它还可以用
来研究磁场的动态变化，比如某一磁体缩小后，周围磁场的变化，或
者磁体转动时，磁场的变化等。
因此，磁场的高斯定理也可以用来研
究磁场源和一些磁性物体间的相互作用，从而更好地理解磁场的性质。
总之，磁场的高斯定理的物理意义即可以用于计算空间某一点处的磁
场值，以及解释磁场的局部结构，还可以用来研究磁场的动态变化，以及磁场源和磁性物体的相互作用，从而更好地理解磁场的特征。
高斯磁场定理
高斯磁场定理
高斯磁场定理是电磁学中的一个重要定理，也被称为安培定理或闭合回路定理。
该定理描述了一个闭合曲面内的磁场通量与该曲面所包围的电流的关系。
具体来说，高斯磁场定理表明，一个任意形状的闭合曲面所包围的磁场通量等于该曲面所包围的电流的代数和的某个常数倍。
这个常数倍就是磁场常数μ0，其值为约4π×10^-7
H/m。
高斯磁场定理的公式表达式为：∮B·dA = μ0·I，其中，∮B·dA表示对曲面S的
磁场通量积分，μ0表示磁场常数，I表示曲面S所包围的电流。
高斯磁场定理在电磁学中应用广泛，可以用于求解各种电磁场问题，如电磁感应、电磁波、电磁场强度等。
此外，高斯磁场定理还可以用于研究磁场的性质和规律，对于深入了解磁场的本质和特性具有重要意义。
总之，高斯磁场定理是电磁学中的一项基本定理，它描述了磁场通量与电流之间的关系，为解决各种电磁场问题提供了重要的理论工具。
磁场的高斯定理课件
磁力线
磁场中磁力方向相同的闭 合曲线，表示磁力作用的 路径。
磁感应强度
描述磁场强弱的物理量， 与磁力线密度和方向有关 。
高斯定理的背景与重要性
高斯定理的起源
高斯定理是电磁学中的基本定理之一 ，由德国物理学家卡尔·高斯提出。
定理的重要性
高斯定理在电磁学中具有重要地位， 它揭示了磁场分布与电荷之间的内在 关系，是解决磁场问题的重要工具。
05
磁场的高斯定理的实验验证
实验设计思路与原理
设计思路
01
利用磁场的高斯定理，推导实验中需要测 量的物理量，并设计合适的实验装置。
03
02
通过磁场的高斯定理实验，验证磁场在封闭 曲面上的通量守恒性质。
04
实验原理
磁场的高斯定理指出，穿过任意封闭曲面 的磁场通量等于零，即磁场是无源场。
05
06
通过测量封闭曲面内的磁场强度，可以验 证高斯定理的正确性。
实验操作过程与注意事项
01
操作过程
02
搭建实验装置，包括磁场发生器、测量线圈和数据采集系统。
将测量线圈放置在封闭曲面上，并确保测量过程中线圈与曲面
03
保持相对静止。
实验操作过程与注意事项
01
启动磁场发生器，记录测量线圈 中的感应电动势。
02
重复实验，改变封闭曲面的形状 和大小，以验证高斯定理的普遍 性。
高斯定理的证明过程
总结词
高斯定理的证明过程涉及矢量场的基本性质和微积分的知识，通过一系列严密的数学推导，最终得出高斯定理的 结论。
详细描述
证明高斯定理通常从矢量场的闭合曲面积分等于其内部区域散度的积分这一基本性质出发。通过选取适当的坐标 系和参考系，利用矢量运算和微积分的基本定理，逐步推导出穿过封闭曲面的磁通量等于该曲面所包围区域内磁 场强度的积分，从而证明了高斯定理。
什么是磁场中的高斯定理
什么是磁场中的高斯定理
在物理学中，磁场中的高斯定理是描述了闭合曲面内的磁场的总通量与该曲面内的电荷的数量之间的关系。
高斯定理的数学表达式为：
∮B · dA = μ₀ · ΣQ
其中，∮B · dA表示闭合曲面S内磁场的通量，B表示磁场的矢量，dA表示曲面元素，μ₀表示真空中的磁导率，ΣQ表示闭合曲面内的电荷总和。
换句话说，磁场中的高斯定理表明，磁场的总通量等于该闭合曲面内所有电荷的代数和。
这个定理可以帮助我们计算磁场的分布，并研究磁场与电荷之间的相互作用。
磁场中的高斯定理
一、磁力线 1、磁力线
磁通量
r 曲线上各点切线方向为该点 B 的方向，用磁力
线的疏密来表示磁场的强弱。
性质：(I) 磁力线不会相交。 (II) 磁力线为闭合线。 电力线和磁力线的不同反映了电场和磁场基本性质的 不同。 电场－－有源场 磁场－－涡旋场
2、磁力线密度 v v 在与B 垂直的平面上取单位面积的磁力线数等于该点 B 的量值： N B= N = BS ⊥ = Φ m (单位：T m 2－－Wb韦伯） S ⊥ 3、磁通量 通过一给定曲面的磁力线数称为通过该曲面的磁 通量。
v ds
v B
v v dΦ = BdS cos θ = B dS
v v Φ = ∫ dΦ = ∫∫ B dS
S
三、磁场中的高斯面的磁力线数目等于 穿出曲面的磁力线数 目，即通过任意闭曲面 的磁通量恒等于零。
v B
v B 线为闭合线，进入
S
S
v v ∫∫ B dS = 0
上式称为磁场中的高斯定律。它反映了自然界中没有 单一磁极存在。磁场是无源场（涡旋场）。
dr
I
例：如图，无限长导体通有电流 I， 求通过矩形线圈的磁通量。
l
a
0 I l 解：dΦ = BdS = dr 2πr
Φ = ∫ dΦ =
a +b
b
r
∫
a
0 I l dr 2πr
0 I l a + b = ln 2πr a
磁场的高斯定理
磁场的高斯定理摘要：首先推导出磁场的高斯定理，再由磁场的高斯定理和安培环路定理推导磁场在两种不同媒质分界面上必须满足的边界条件，最后由静电场与磁场的高斯定理比较引出关于磁单极子的问题。
1. 磁场的高斯定理在静电场中，高斯定理有01i SE S q ε⋅=∑⎰ ，所以静电场是有源场。
那么在磁场中，SB S ⋅⎰ 又得到什么呢？ 首先看一下磁感应强度B 。
B 的方向为磁力线的切线方向，大小为垂直B 的单位面积上穿过的磁力线的条数，即dN B dS ⊥=。
而通过面元的磁力线条数即为该面元的磁通量，于是m d B dS Φ=⋅ 。
对于有限曲面m B d S Φ=⋅⎰ ，对于闭合曲面m S B d S Φ=⋅⎰ 。
对于某一曲面，规定磁力线穿出为正，m Φ＞０；穿入为负，m Φ＜０。
而磁力线都是闭合的曲线，对于某一闭合的曲面，穿入到底总是等于穿出的，也就是说0m S B d S Φ=⋅=⎰ ，这就是磁场的高斯定理，也叫磁通连续性定理。
可以看出磁场是一个无源场。
2. 磁场的边界条件磁场的高斯定理（0S B d S ⋅=⎰ ）与安培环路定理（l H dl I ⋅=⎰ ）表征了恒定磁场的基本性质。
不论媒质分布情况如何，凡是恒定磁场，都具备这两个特性，它们称为恒定磁场的基本方程。
在两种不同媒质分界面上，围绕任一点Ｐ取一矩形回路，如右图，令20l ∆→，根据lH dl I ⋅=⎰ ，如果分界面上存在面自由电流，则有11211t t H l H l K l ∆-∆=∆即 12t t H H K -=根据B H μ= ，还可以写成1212t t B B K μμ-= 电流线密度Ｋ的正负要看它的方向与沿1t H 绕行方向是否符合右手螺旋关系而定。
写成矢量形式则为12()n H H e K -⨯= 。
其中n e 为分界面上从媒质１指向媒质２的法线方向单位矢量。
如果分界面上无电流，则12t t H H =说明在这种情况下磁场强度的切线分量是连续的，但磁感应强度切线分量是不连续的。
大学物理 磁场的高斯定理
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
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思考问题！！
求穿过旋转曲面的磁通量， 是否可以通过求穿过平面圆的
磁通量来求呢？
m BS cos B r 2cos
S
n
B
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dS
对于闭合曲面 SB dS
（2）磁通量是标量，其正负由角确定。与电场中一样，
对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。
这样：
磁力线穿入： 0 磁力线穿出： 0
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二、.磁场的高斯定理
由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲 面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即
sB dS 0
典型载流体磁场分布
磁力线的特征:
1）无头无尾的闭合曲线 2）与电流相互套合，服从右手螺旋定则
3）磁力线不相交
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2. 磁通量
磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过
Байду номын сангаас
该曲面的磁通量。
m
B dS
s
BdS cos
s
dS
B
在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。
说明
（1）对于有限曲面 B dS
为什么？
BB
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例1 在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S 边线所在平面的法线方向的单位矢量n和B的夹角为
,如图所示，则通过半球面S的磁通量为
-B r2cos
将半球面和圆面组成一个闭 合面，则由磁场的高斯定理知， 通过此闭合面的磁通量为零。
磁高斯定理
磁高斯定理
磁高斯定理，又称磁学高斯定理，是由德国物理学家卡尔·高斯于1839年提出的一个重要定理，也是磁学的定律。
它解释了由任意一个源点产生的磁场。
高斯定理表明，在满足一定条件的情况下，磁场密度在空间满足梯度为零的特殊条件。
高斯定理告诉我们，磁场总是从一个点源开始，或者从一个更大的波形延伸。
磁场的梯度无处不在，到达任何点都有一个方向，每个点的磁场强度都是相同的。
另外，高斯定理还说明，磁场的梯度为零; 也就是说，磁场的强度几乎是一样的，没有任何增加或减少的情况。
由于高斯定理是磁学的基础定律，因此它可用于解释和分析各种电磁及相关物理现象。
如以重力作用为例，高斯定理中的梯度等价于重力加速度；如以电流作用为例，高斯定理中的磁场对应于循环电流所产生的磁场；以气体流动为例，高斯定理中的梯度可用来描述流体力学中的涡流。
综上所述，磁高斯定理是物理学中一个重要的定理，它表明磁场的梯度总是为零，没有增加或减少的情况，并可以用来解释各种电磁及相关物理现象。
磁场中的高斯定理
高斯定理表明，在通电导线周 围的磁场中，穿过任意一个闭 合曲面的磁通量等于电流的代 数和。
通过高斯定理，可以计算出通 电导线周围的磁场分布和特点， 例如磁场的方向和强度。
磁通量的计算实例
磁通量是指穿过某个面的磁场的强弱和方向的量。通过计算磁通量，可 以了解磁场的分布和特点。
计算磁通量需要使用高斯定理，通过积分来计算穿过某个面的磁通量。
磁场矢量场
高斯定理的应用使得我们可以方便地处理磁场矢量场问题。通过计算矢量场的散度，我们可以得到特定区域内磁 场的变化情况，从而更好地理解磁场的行为和性质。
磁场中的高斯定理的推导
高斯定理推导
高斯定理在磁场中的推导基于磁场的高斯定理和安培环路定律。通过引入磁通量密度和磁通量等概念 ，我们可以利用微积分的方法推导出高斯定理在磁场中的形式。
磁场与电场的关系
磁场和电场是相互联系的，变化的电 场会产生磁场，变化的磁场也会产生 电场。因此，磁场和电场可以相互转 化，形成电磁波。
磁场的方向
磁场的方向
在磁场中任意一点，磁场都有一个特定的方向，称为该点的磁场方向。磁场方 向可以通过放入该点的磁针的指向来确定，磁针的北极指向磁场方向。
磁场方向的确定
高斯定理表明，在磁场中，穿过任意一个闭合曲面的磁通量等于零，即磁场是无源 场。
在地球磁场中，由于地球内部的物理过程，产生了磁场分布。高斯定理可以用来分 析地球磁场的分布和特点，例如地磁场的极性和强度分布。
通电导线周围的磁场高斯定理分析
当导线中电流发生变化时，会 在导线周围产生磁场。高斯定 理可以用来分析这个磁场的分 布和特点。
磁场大小的测量
测量磁场大小的方法有多种，如高斯计、特斯拉计等。这些 仪器通过测量磁感应线的密度或磁通量来计算磁场的大小。 在地球表面，地磁场的大小约为0.5-0.6特斯拉。
磁高斯定理
磁高斯定理
磁高斯定理（Maxwell's theorem）是磁力学的重要定理，由英国
物理学家乔治·马克斯韦（George Maxwell）于1865年提出。
它解释
了磁场的电流和旋转矢量之间的关系，是磁力学最根本的定律。
磁高斯定理可以用数学形式来表示：∇ × B = μ0J，其中B为
磁场，J为电流密度，μ0为真空磁导率（μ0=4π×10-7H/m），∇是
矢量求导运算符号。
这个定理描述了一个简单的物理现象：电流的旋
转产生了磁场，所以它是磁力学的基础。
磁高斯定理非常重要，可以解释各种电磁相关的现象。
它提供了
一种理解电磁学中电流向量、磁场强度和磁矢量之间关系的方法。
马
克斯韦在提出它的定理后，将电磁学理论推向了一个新的高度。
此外，磁高斯定理也可以用来解决电磁学中各种实际问题。
例如，它可以解释磁场强度的变化情况，从而帮助我们探索和分析电磁学现象。
总之，磁高斯定理是电磁学的基石，是磁力学的重要定理。
它不
仅能够精确地描述电磁学上的实际现象，而且可以结合其它电磁学定律，来求解一些复杂的实际问题。
磁场中的高斯定理及安培环路定理
P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； 磁感应线不相交。
二. 磁通量(magnetic flux)
1. 定义 通过磁场中任一给定面的
磁感线数目称为通过该面的 磁通量，用 表示。 2. 磁通量的计算 ① 磁场不均匀，S 为任意曲面
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
Ñ B dl μ0 NI
l
B 0 NI
2 r
Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
例题1 ：
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布， 求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
B 0I 2 x
方向：
I
a
阴影部分通过的磁通量为:
rr B dS
磁场的高斯定理,说明
磁场的高斯定理,说明高斯定律（gauss' law），属物理定律。
在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。
该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）s 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率，与面外的电荷无关。
物理定律由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。
如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。
与静电场中的高斯定理相比较，两者有著本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存有着单一制的电荷，所以电场线存有起点和终点，只要闭合面内有净余的也已（或负）电荷，沿着闭合面的电通量就不等于零，即为静电场就是有源场；而在磁场中，由于自然界中没单独的磁极存有，n极和s极就是无法拆分的，磁感线都就是无头无尾的滑动线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
特别要强调两点： 1.关于电场线的方向的规定：电场线上每一点的切线方向就是该点电场的方向。
2.关于电场线的疏密的规定：电场线在某处的疏密要反映电场强度的大小，即在电场中通过某一点的电场线的数密度与该点电场强度的大小呈正相关，即： e=dn/ds，其中ds是在电场中的某一点取一个通过该点的且与电场线垂直的微分面，dn就是穿过该面ds的电场线的根数。
高斯定理来源于库仑定律,依赖场强共振原理,只有当电场线密度等同于场强悍小时场线通量就可以与场强通量等同于,并统一遵守高斯定理。
高斯面上的实际场强就是其内外所有电荷产生的场强共振而变成的合场强。
但利用高斯面所求出的场强则仅仅就是分析高斯面上场强原产时所牵涉的电荷在高斯面上产生的合场强,而不涵盖未牵涉的电荷所产生的场强。
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恒定磁场
第4讲 磁场中的高斯定理
一、磁感应线
磁场中的高斯定理
磁感应线（B线）：为形象描绘磁场的空间分布而人为 绘制出的一系列曲线
1.磁感应线上任一点的切线方向都与该点的磁感应强
度的方向一致。
v
2.垂直通过单位面积的磁
B
感应线条数等于该处磁感
应强度的大小。
条形磁铁周围的磁感应线
直线电流的磁感应线
解: 建立如图所示的坐标系
x处磁场: B = μ0I
2πx
rr
元通量: dΦm = B ⋅ dS = Bldx
= μ0I ldx
O x +dx
x
2πx
∫ ∫ Φm =
SdΦm
=
μ0 Il
2π
a+b 1 dx = μ0 Il ln a + b
ax
2π b
三、磁场中的高斯定理
磁场中的高斯定理
对封闭曲面，规定外法向为正
进入封闭曲面的磁通量 Φ < 0 m
穿出封闭曲面的磁通量 Φ > 0 m
磁场中高斯定理：
磁场中通过任意闭合曲面的磁感应强度通量等于
∫ ∫ 零。
v B
⋅
v dS
=
B cosθ dS = 0
S
S
磁场是“无源场”
磁场中的高斯定理
例题1. 如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一 半径为R的半球面S，S的边线所在平面法线方向n与B的 夹角为α ，求通过半球面S 的磁通量。
磁场中的高斯定理
磁感应线为一组环绕电流的闭合曲线。
圆电流的磁感应线
磁场中的高斯定理
I
磁感应线为一组环绕电流Leabharlann 闭合曲线。磁场中的高斯定理
通电螺线管的磁感应线
磁场中的高斯定理
通电螺绕环的磁感应线
磁感应线的特点： 1.磁感应线是连续的，不会相交。
2.磁感应线是围绕电流的一组闭合曲线，没有起点，没 有终点。 3.磁感应线的方向和电流方向满足右手螺旋法则。
二、 磁通量
磁场中的高斯定理
磁通量Φm：通过磁场中某一曲面的磁感应线条数。
1.均匀磁场的通量计算
Φm
=
BS⊥
=
BS
cosθ
=
rr B⋅S
2.非均匀磁场的通量计算
dΦ m
=
BdS
cosθ
=
rr B ⋅ dS
∫ ∫ Φm =
v B
⋅
v dS
=
S
B cosθ dS
S
nr
θv
θS
B
S⊥
nv v
B
θ
dS
S
单位：“韦伯”（Wb）
解: 作一半径为R的园面S1，与半
S
球面S构成一个闭合曲面。
R
由高斯定理：
v B
⋅
v dS
=
0
∫S + v B
S1 v ⋅ dS
+
v B
⋅
v dS
=
0
S1
α
n
B
∫ ∫ S
v B
⋅
v dS
=
S1
−
v B
⋅
v dS
=
−BScosα
= −πR2B cosα
∫ ∫ S
S1
磁场中的高斯定理
例题2. 无限长直导线通以电流I，求通过如图所示的矩形面 积的磁通量（尺寸如图）.