磁场-4 磁场中的高斯定理

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磁场的高斯定理

真空静电场的高斯定理：∮EdS=(∑Q)/ε0

稳恒磁场的高斯定理：∮BdS=0

这两个结论的不同揭示了静电场和磁场的一个差异：

静电场是有源场，它的电场线不会闭合，所以对一个封闭曲面的通量不一定为0；而稳恒磁场是无源场，它的磁场线是封闭的，有多少条磁场线穿出曲面，相应就有多少条磁场线穿进曲面，所以磁场对一个封闭曲面的通量恒为0。

用比较专业的场论术语来说，就是：静电场是有源场，散度一般不为0；稳恒磁场是无源场，散度恒为0。

静电场中的环路定理：∮Edl=0(l是L的小写，不是数字1）

稳恒磁场的安培环路定律：∮Bdl=（∑I)/μ0 （∑后面的是字母i 的大写）

这两个不同的结论又反映了静电场和磁场的另一个差异：

静电场是无旋场，即它的旋度恒为0，所以静电场对环路积分结果为0；

稳恒磁场是有旋场，一般旋度不为零，所以磁场对环路的积分一般不等于0

高斯磁场定理

高斯磁场定理是电磁学中的一个重要定理，也被称为安培定理或闭合回路定理。该定理描述了一个闭合曲面内的磁场通量与该曲面所包围的电流的关系。具体来说，高斯磁场定理表明，一个任意形状的闭合曲面所包围的磁场通量等于该曲面所包围的电流的代数和的某个常数倍。这个常数倍就是磁场常数μ0，其值为约4π×10^-7

H/m。

高斯磁场定理的公式表达式为：∮B·dA = μ0·I，其中，∮B·dA表示对曲面S的

磁场通量积分，μ0表示磁场常数，I表示曲面S所包围的电流。

高斯磁场定理在电磁学中应用广泛，可以用于求解各种电磁场问题，如电磁感应、电磁波、电磁场强度等。此外，高斯磁场定理还可以用于研究磁场的性质和规律，对于深入了解磁场的本质和特性具有重要意义。

总之，高斯磁场定理是电磁学中的一项基本定理，它描述了磁场通量与电流之间的关系，为解决各种电磁场问题提供了重要的理论工具。

磁场中的高斯定理.

v B
线为闭合线，进入
曲面的磁力线数目等于
穿出曲面的磁力线数
S
目，即通过任意闭曲面的磁通量恒等于零。
∫∫
Bv
⋅
v dS
=
0
S
上式称为磁场中的高斯定律。它反映了自然界中没有单一磁极存在。磁场是无源场（涡旋场）。
例：如图，无限长导体通有电流 I，
dr
求通过矩形线圈的磁通量。
I
解：dΦ = BdS = µ0I l dr
l
2πr
a
b
r
∫ ∫ Φ = dΦ = a+b µ0I l dr
a 2πr
= µ0I l ln a + b 2πr a
v B
的量值：
B = ∆N ∆S⊥
∆N = B∆S⊥ = Φm (单位：T ⋅ m2－－Wb韦伯）
3、磁通量
通过一给定曲面的磁力线数称为通过该曲面的磁
通量。
dsv
v B
dΦ
=
BdS
cosθ
=
v B
⋅
v dS
Φ
=
∫
dΦ
=源自文库
∫∫
Bv
⋅
v dS
S
nv
三、磁场中的n高v 斯定律规定曲面外法线方向为正。
v B
第二节磁通量磁场中的高斯定理

磁场的高斯定理磁力线

一致，
B 的方向与环路方向 (3)要求环路上各点 B 大小相等，
I 0 B d l I 写成目的是将: B 0 L dl 或 B 的方向与环路方向垂直， B dl , cos 0 B dl 0
L
【例9-4 】求长直密绕螺线管内磁场.
磁场中的高斯定理二安培环路定理二安培环路定理定理证明及应用定理证明及应用为形象的描绘磁场分布而引入的一组有方向的空间曲线
§9.2
磁场的高斯定理与安培环路定理一、磁场的高斯定理
1.磁力线 2.磁通量 3.磁场中的高斯定理
二、安培环路定理
定理证明及应用
§9.2
磁场的高斯定理
一、磁场的高斯定理
1.磁力线(磁感应线) 为形象的描绘磁场分布而引入的一组有方向的空间曲线。

L
B dl 0 I
i
说明：电流I 正负的规定： I与L成右螺旋时，I为正；反之为负.
(1) B 为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电
流都有关。 (2)环路定理只适用于闭合的恒定电流或无限电流.对一段电流，只能用毕奥—萨伐尔定律。 (3)安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场。
l
r2
l
多电流情况
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )

磁场中的高斯定理和安培环路定理

2R
B

0 I
2 r
rR
O
R
r
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布
电流均匀分布
长直线
长直
内
圆
柱外
面
长直
内
圆
柱体
外

E
2 0r
E0

E
2 0r r
E 2 0 R2
E
2 0r
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B

0 Ir 2R 2
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出：可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用：以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流成右旋关系。

不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B 有贡献；

对 B dl 无贡献 L
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场）
静电场
E dl 0
电场有保守性，它是保守场，或有势场

磁场的高斯定理

I
I
* 磁力线和电流满足右手螺旋法则。磁力线和电流满足右手螺旋法则。
磁单极子(Magnetic monopole) ♣ 磁单极子和电场的高斯定律相比，和电场的高斯定律相比，可知磁通量反映自然界中没有与电荷相对应的“磁荷” 没有与电荷相对应的然界中没有与电荷相对应的“磁荷”（或叫单独的磁极）存在。但是狄拉克1931年在理单独的磁极）存在。但是狄拉克年在理论上指出，允许有磁单极子的存在，论上指出，允许有磁单极子的存在，然而迄今为止，人们还没有发现可以然而迄今为止，确定磁单极子存在的实验证据。确定磁单极子存在的实验证据。如果实验上找到了磁单极子，如果实验上找到了磁单极子，那么磁场的高斯定律以至整个电磁理论都将作重大修改。斯定律以至整个电磁理论都将作重大修改。
µ0 I
x
单位 1Wb = 1T × 1m
2
v B
S
I
v B
v B
由电流与磁场的关系可知电流元的磁力线都是圆心在电流元轴线上的同心圆。圆心在电流元轴线上的同心圆。磁力线是无头无尾的闭合曲线。的闭合曲线。 r v v dB⋅ dS = 0 dB 是电流元的磁场
∫∫
S
源自文库
载流导线的磁场
r r r r B = dB1 + dB2 + L + dBn + L

磁场的高斯定理

摘要：首先推导出磁场的高斯定理，再由磁场的高斯定理和安培环路定理推导磁场在两种不同媒质分界面上必须满足的边界条件，最后由静电场与磁场的高斯定理比较引出关于磁单极子的问题。

1. 磁场的高斯定理

在静电场中，高斯定理有01i S

E S q ε⋅=∑⎰ ，所以静电场是有源场。那么在磁场中，S

B S ⋅⎰ 又得到什么呢？首先看一下磁感应强度B 。B 的方向为磁力线的切线方向，大

小为垂直B 的单位面积上穿过的磁力线的条数，即dN B dS ⊥

=。而通过面元的磁力线条数即为该面元的磁通量，于是

m d B dS Φ=⋅ 。对于有限曲面m B d S Φ=⋅⎰ ，对于闭合曲面m S B d S Φ=⋅⎰ 。

对于某一曲面，规定磁力线穿出为正，m Φ＞０；穿入为负，m Φ＜０。而磁力线都是闭合的曲线，对于某一闭合的曲面，穿入到底总是等于穿出的，也就是说0m S B d S Φ=⋅=⎰ ，这就是磁场的高斯定理，也

叫磁通连续性定理。可以看出磁场是一个无源场。

2. 磁场的边界条件

磁场的高斯定理（0S B d S ⋅=⎰ ）与安培环路定理（l H dl I ⋅=⎰ ）表征了恒定磁场的基本性质。不论媒质分布情况如

何，凡是恒定磁场，都具备这两个特性，它们称

为恒定磁场的基本方程。在两种不同媒质分界面

上，围绕任一点Ｐ取一矩形回路，如右图，令20l ∆→，根据l

H dl I ⋅=⎰ ，如果分界面上存在面自由电流，则有

11211t t H l H l K l ∆-∆=∆

即 12t t H H K -=

根据B H μ= ，还可以写成1212

11-4磁场的高斯定理和安培环路定理

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例4：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，：设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流求无限大平板电流的磁场分布。密度为 j ,求无限大平板电流的磁场分布。 v 求无限大平板电流的磁场分布 dB' v 解：可视为无限多平行长 dB P v 直电流的场。直电流的场。因此 P 点的 dB ' ' 场具有对称性。场具有对称性。
7
3. 安培环路定理的应用
例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。：求无限长载流圆柱体磁场分布。选择不同的安培环路，解：选择不同的安培环路，分别讨论圆 I
柱体内外的磁场。柱体内外的磁场。
圆柱体外：圆柱体外：
v v ∫ B⋅dl = 2πrB = µ0∑I
v dB
dl'
∴ B=
圆柱体内：圆柱体内：
S
闭合路径包围的电流为电流密度沿所包围的曲面的积分
∑I =∫∫
i i
v v r r ∫∫S (∇×B)⋅ d S = µ0 ∫∫S j ⋅ dS v v 安培环路定理微分形式 ∇× B = µ j 0
S
v v j ⋅ dS
安培环路定理的存在说明磁场不是保守场磁场不是保守场，安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一存在标量势函数。个十分重要的性质。个十分重要的性质。安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题。对称性的恒磁场问题。

磁场中的高斯定理

高斯定理表明，在通电导线周围的磁场中，穿过任意一个闭合曲面的磁通量等于电流的代数和。
通过高斯定理，可以计算出通电导线周围的磁场分布和特点，例如磁场的方向和强度。
磁通量的计算实例
磁通量是指穿过某个面的磁场的强弱和方向的量。通过计算磁通量，可以了解磁场的分布和特点。
计算磁通量需要使用高斯定理，通过积分来计算穿过某个面的磁通量。
高斯定理的重要性
高斯定理是磁场理论中的重要定理之一，它揭示了磁场的基本性质和分布规律，为电磁学和磁力学的进一步研究提供了基础。
高斯定理在电磁学、磁学、电子学、通信等领域有着广泛的应用，是现代科技发展的重要基石之一。
高斯定理的应用领域
电磁场理论
高斯定理是电磁场理论中的基本定理之一，它可以用来描述电场和磁场的分布
感谢您的观看
THANKS
磁场矢量场
高斯定理的应用使得我们可以方便地处理磁场矢量场问题。通过计算矢量场的散度，我们可以得到特定区域内磁场的变化情况，从而更好地理解磁场的行为和性质。
磁场中的高斯定理的推导
高斯定理推导
高斯定理在磁场中的推导基于磁场的高斯定理和安培环路定律。通过引入磁通量密度和磁通量等概念，我们可以利用微积分的方法推导出高斯定理在磁场中的形式。
磁场中的高斯定理
目录
• 高斯定理的概述 • 磁场的基本概念 • 高斯定理在磁场中的应用 • 磁场中的高斯定理的实例分析 • 高斯定理在磁场中的意义和影响

11-4磁场的高斯定理

载流体外的磁场如何分布
上页
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典型载流体磁场分布
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磁力线的特征: 磁力线的特征
1)无头无尾的闭合曲线 ) 2)与电流相互套合,服从右手螺旋定则 )与电流相互套合, 3)磁力线不相交 )
上页下页
2. 磁通量磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目称为通过磁场中通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过通过一给定曲面的磁力线数目该曲面的磁通量. 该曲面的磁通量.
上页下页
二,.磁场的高斯定理磁场的高斯定理
由于磁力线是闭合曲线, 由于磁力线是闭合曲线,因此通过任一闭合曲闭合曲线面磁通量的代数和(净通量必为零,亦即净通量)必为零面磁通量的代数和净通量必为零亦即
∫ B dS = 0
s
——称为磁场的高斯定理. 称为磁场的高斯定理. 称为磁场的高斯定理在静电场中,由于自然界有单独存在的正, 在静电场中由于自然界有单独存在的正,负电由于自然界有单独存在的正因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反荷 ,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零这反因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零映了静电场是有源场而在磁场中,磁力线的连续性静电场是有源场. 映了静电场是有源场.而在磁场中磁力线的连续性表明,像正负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场像正, 表明像正 , 负电荷那样的磁单极是不存在的磁场无源场. 是无源场.

磁场的高斯定理数学表达式

高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。

在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。

静电场与磁场：

两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场。

而在磁场中，由于自然界中没有磁单极子存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。

磁场的高斯定理和安培环路定理

r R:
I
外
内
I
0
r R:
I 1 B 2r r
L
dI L o r dI '
' dB
dB
P
I Ir 2 I内 r 2 2 R 2 R
B
B 方向与 I 指向满足右旋关系
Ir B r 2R
0 内 2
r
1 r
o
R
r
思考：
无限长均匀载流直圆筒
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考：如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I

n
B内 0nI
外

B
I //

0 //
I B 2r
练习：半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求：内部 B ?
已知：
解：

R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
B~r
曲线？
B内 0
B外
0 I 2r
B外方向与 I 指向满足右旋关系
B
r
o
R
练习：无限长均匀载流圆柱体（ R , I ）如图，求通过 S（ 2 R , h ）的磁通量. 解：磁场分布 . I

磁场中的高斯定理及安培环路定理

①方向：曲线上每一点切线方向与该点磁场方向一致； ②大小：通过垂直于磁场方向单位面积磁感应线数为该
点磁场的大小。 r
dS 垂直 P 点磁场 B
令通过 dS的磁感应线数目
dS
dN BdS
P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解：首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
作积分回路如图 r > R
则Br 沿该闭合回路的环流为：
蜒 Br
r dl
Bdl
2 rB
2 ACB
2 BDA
0I
d 0I
0
d
2 0
2
rr
得 Ñ B dl 0
l
4. 多条平行无限长直电流与垂直平面内的任一回路
rr
Ñ B dl
lr r r r r
Ñ (B1 B2 B3 B4 ) dl l rr r r rr r r

11-4磁场的高斯定理和安培环路定理

B dl 0
根据安培环路定理，该安培环路一定包围电流。由此可得结论：磁感应线总是与产生它的电流回 10 路套连在一起的。
3. 安培环路定理的应用例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路
B dl 2πrB 0 I
b. 在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。
0 I L B dl L 2π r rd 0 I
B dl Brd
L
I
dl
r
dB
d
5
c. 闭合路径L不包围电流，在垂直平面内的任一回路
L
B dl B dl B dl
§11-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem magnetic field) 1. 磁通量
d e E d S 物理意义：沿 d S 方向穿过该面元的电力线条数在磁场中，若面元 dS 处的磁感应强度为 B ,则
T m Wb(韦伯)
2. 高斯定理静电场中的高斯定理：

s
1 E dS
0
inside,i
2

qi
根据毕萨定律，电流元的磁场以其为轴对称分布，垂直于电流元平面内磁感线是头尾相接的闭合同心圆。穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。 Idl 由叠加原理，整个电流回路的磁场中任意闭合曲面的磁通量必定都等于零，磁场的高斯定理。 B

磁场的高斯定理表达式为

磁场高斯定理表达式：∮EdS=（∑Q）/ε0。高斯定理也称为高斯通量理论（Gaussfluxtheorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（一般情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。

磁场，物理概念是指传递实物间磁力作用的场。磁场是一种看不见、摸不着的特殊物质。磁场不是由原子或分子组成的，但磁场是客观存在的。磁场具有波粒的辐射特性。磁体周围存在磁场，磁体间的相互作用就是以磁场作为媒介的，故此，两磁体不需要在物理方面接触就可以出现作用。电流、运动电荷、磁体或变化电场周围空间存在的一种特殊形态的物质。因为磁体的磁性来源自于电流，电流是电荷的运动，因而概括地说，磁场是由运动电荷或电场的变化而出现的

磁场中的高斯定理和安培环路定理

闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界
的任意曲面的电流强度）的代数和的
倍。即：
0
B • dl 0 Ii
I1 I2
说明：
I4
I3
电流取正时与环路成右旋关系
l
如图 B • dl 0 Ii
0(I2 I3)
由环路内电流决定
B • dl 0 Ii 0 (I2 I3 )
由环路内外电流产生
dl
0I 2r
dl
0I 2r
2r
B dl 0I
改变电流方向 B dl 0I
2、任意积分回路
B dl B cos dl
.I
0I 2r
cosdl
0I 2r
rd
0I 2
2
B • dl 0I
3、回路不环绕电流
.
B • dl 0
B
rd
dl
安培环路定理
意闭在合真曲空线中的的线稳积分恒（电也流称磁场B中的，环磁流感）应，强等度于穿B过沿该任
B 0I 2r
2. 长直载流螺线管的磁场分布
已知：
I、n(单位长度导线匝数)
R
分析对称性管内磁力线平行于管轴
L
管外靠近管壁处磁场为零
...............
B
I
计算环流
B•
dl
ab Bdl