现代控制理论 第4章传递函数矩阵的状态空间实现
现代控制理论实验报告
现代控制理论实验报告现代控制理论实验报告组员：院系：信息工程学院专业：指导老师：年月日实验1 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换[实验要求]应用MATLAB 对系统仿照[例]编程，求系统的A 、B 、C 、阵；然后再仿照[例]进行验证。
并写出实验报告。
[实验目的]1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。
[实验内容]1 设系统的模型如式示。
p m n R y R u R x DCx y Bu Ax x ∈∈∈??+=+=&其中A 为n ×n 维系数矩阵、B 为n ×m 维输入矩阵 C 为p ×n 维输出矩阵，D 为传递阵，一般情况下为0，只有n 和m 维数相同时，D=1。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式示。
D B A SI C s den s num s G +-==-1)()()(()(式中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的按s 降幂排列的分母。
2 实验步骤① 根据所给系统的传递函数或（A 、B 、C 阵），依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式，采用MATLA 的编程。
注意：ss2tf 和tf2ss 是互为逆转换的指令；② 在MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。
③ [] 已知SISO 系统的状态空间表达式为，求系统的传递函数。
,2010050010000100001043214321u x x x x xx x x ?-+-=????????????&&&&[]???=43210001x x x x y程序:A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0]; B=[0;1;0;-2]; C=[1 0 0 0]; D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)程序运行结果:num =0 den =0 0 0从程序运行结果得到:系统的传递函数为:24253)(ss s S G --= ④ [] 从系统的传递函数式求状态空间表达式。
现代控制理论习题
现代控制理论习题《现代控制理论》练习题判断题1. 由⼀个状态空间模型可以确定惟⼀⼀个传递函数。
3. 对⼀个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也⼀定是输出能控的。
4. 对系统Ax x= ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是⼀致的。
5. 对⼀个系统，只能选取⼀组状态变量；6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态⽅程的系统矩阵，进⽽决定系统的动态特性；7. 状态反馈不改变系统的能控性。
8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是⼤范围渐近稳定的；10. 相⽐于经典控制理论，现代控制理论的⼀个显著优点是可以⽤时域法直接进⾏系统的分析和设计。
11. 传递函数的状态空间实现不唯⼀的⼀个主要原因是状态变量选取不唯⼀。
12. 状态变量是⽤于完全描述系统动态⾏为的⼀组变量，因此都是具有物理意义。
13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。
15. ⼀个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置⽆关。
16. 若⼀线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意⼀个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
18. 如果⼀个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
填空题l ．系统状态完全能控是指。
2．系统状态的能观性是指。
3．系统的对偶原理：。
4．对于⼀个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解为、、、、的四个⼦系统。
5．对于单输⼊单输出系统，系统能控、能观的充要条是是。
7．系统平衡状态的渐近稳定性的定义为：。
10．受控系统∑),,(C B A ，采⽤状态反馈能镇定的充分必要条件是。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
《现代控制理论基础》讲义教案第4章.docx
III、综合部分第四早线性多变量系统的综合与设计4.1引言前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。
系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型（时域、频域、内部、外部描述）Z间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统的定量变化规律（如状态方程的解，即系统的运动分析等）和定性行为（如能控性、能观测性、稳定性等）。
而综合与设计问题则与此相反，即在己知系统结构和参数（被控系统数学模型）的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。
一般说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。
在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在吋域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。
4. 1. 1问题的提法给定系统的状态空间描述若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量（如超调量、过渡过程时间、极、零点），也可以是使某个性能函数取极小或极大。
此时，综合问题就是寻求一个控制作用u,使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。
对于线性状态反馈控制律u = -Kx + r对于线性输岀反馈控制律u = -Ffy + r其中r e R'为参考输入向量。
由此构成的闭环反馈系统分别为x - {A- BK）x+ Br y-Cx或x = {A-BHC）x+Br y = Cx闭坏反馈系统的系统矩阵分别为九=A — BKA H=A-BHC即工K = (A—BK,B,C)或工〃=(A—BHC,B,C)°闭环传递函数矩阵G K⑶=C '[si-(A-BK)Y] BG H G) = C_,[si-(A-BHOf B我们在这里将着重指出，作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc ---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得2221332222213*********1x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有 相应的模拟结构图如下：1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++=1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P （或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ） 当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P 当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--23132313311201214p p p p p p解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为 （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b 解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)
第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：uKK x KK x KK x X K x K x x x x J Kx J x J K x J Kx x J K x x x ppppn pb 1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙65432116543211111111265432100000100000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x xx x K K K K K K J K J J K J KJ K x x x x x xp p pp n pb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x Cx Cx x L x L R x uL x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000010111010x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论从状态空间表达式求传递函数矩阵
《现代控制理论》MOOC课程1.4从状态空间表达式求传递函数矩阵一. 传递函数矩阵的定义定义：对于多输入－多输出线性定常系统，输入向量为,输出向u =u 1u 2⋯u r T 量为, 且假定初始状态为零。
分别表示的拉氏y =y 1y 2⋯y m T ෝu i s ,ෝy i s u i ,y i ොy 1s =w 11s ොu 1s +w 12s ොu 2s +⋯+w 1r s ොu r sොy 2s =w 21s ොu 1s +w 22s ොu 2s +⋯+w 2r s ොu r s⋮ොy m s =w m1s ොu 1s +w m2s ොu 2s +⋯+w mr s ොu r sෝy (s)=ොy 1(s)⋮ොy m (s)=w 11s⋯w 1r s⋮⋯⋮w m1s⋯w mr s ොu 1(s)⋮ොu r (s)=W (s )ෝu (s )写成向量形式：称为系统的传递函数矩阵。
W (s )变换，表示第j 个输入端到第i 个输出端的传递函数，系统的输入输出关系可描述为：w ij (s )x=A x+Bu x0=0y=C x+Du结论：对应于状态空间描述W(s)=C(sI−A)−1B+D 其传递函数矩阵为:证明：lims→∞W s=D且有：W(s)并且，当D≠0时，为真有理分式矩阵，当D=0时，为严格真有理分式矩阵，W s对状态空间表达式取拉氏变换：s X(s)=AX(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)由状态方程的拉氏变换表达式可得：X(s)=(sI−A)−1B U(s)Y(s)=(C(sI−A)−1B+D )U(s)代入输出方程的拉氏变换表达式可得：故传递函数矩阵为：W(s)=C(sI−A)−1B+D对于传递函数矩阵：W(s )=C (sI −A )−1B +D 考虑：(sI −A)−1=Τadj(sI −A )det (sI −A )且伴随矩阵每个元素多项式的最高次幂都小于的最高次幂，故adj (sI −A )det (sI −A )lim s→∞W s =D因此有：lim s→∞(sI −A )−1=0当D ＝0时，为严格真有理分式；W s 故当D ≠0时，为真有理分式；W s三. 传递函数矩阵的唯一性证明：一个系统的状态空间表达式是非唯一的，但其传递函数矩阵是唯一的。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
3-9 传递函数矩阵的实现问题 现代控制理论 教学课件
a0Ir
Ir 0r a1Ir
0 0
Bc
0r
0r
Ir
0 0 0 1
0 0 0 0
0 1
0 0 1 0 0 0
0r Ir a2
I
r
0
0
0
6
0 0 0 0
0 0 0 11
1 0 0 0
0
0
1 0
0
1
6 0
0
6
0
11 0 6
Cc 0
1
2
6 6
2 3
5 5
3 4
D
1 1
29
2. 系统的状态能观测性
(1) 若线性定常连续系统能根据有限时间间隔[t0,tf]内测量到 的输入y(t),唯一确定初始状态x(t0)，则称系统是状态完全 能观测的，简称系统能观测。
30
（2）线性定常连续系统常用能观测性判据：
① rankNT=rank[CT ATCT … (AT)n-1CT]=n ②当A为对角阵且特征值互异时，输出矩阵C中无全零列； 当A为约旦矩阵且相同特征值分布在一个约旦块内时，C 中与约旦块最前一列对应的列不全为零，且C中相异特征 值对应的列不全为零 ③ C(sI-A)-1的列向量线性无关 ④ 单输出系统(A,C)为能观测标准型 ⑤ 单变量系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有 零极点对消
0r
a0Ir
Ir 0r a1Ir
0r Ir a2
I
r
0
0
0
6
0 0 0 0
0 0 0 11
1 0 0 0
0
0
1 0
0
1
6 0
0
6
0
《现代控制理论》课后习题答案4
V ( x) = ∑∑ pij xi x j
i =1 j =1
n
n
= xT Px = [ x1
x2
⎡ p11 ⎢p " xn ] ⎢ 12 ⎢ # ⎢ ⎣ p1n
p12 p22 # p2 n
p1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ # ⎥ ⎥⎢ ⎥ " pnn ⎦ ⎣ xn ⎦ "
2 2 = 2( x12 + x2 ) − 2( x1 − x2 ) 2
是不定的。 4.10 试写出下列系统至少两个李雅普诺夫函数
1 ⎤ ⎡ −1 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡x ⎢x ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 −3 ⎦ ⎣ x 2 ⎦
并确定该系统在原点处的稳定性。 答： 原点是系统的唯一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫方程：
二次型 V ( x ) 可写成
V ( x ) = x Px = [ x1
T
x2
⎡ 1 1 −1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ x3 ] ⎢ ⎢ 1 4 −3⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎣ −1 −3 1 ⎥ ⎦⎢
⎛⎡ 1 1 −1⎤ ⎞
由于矩阵 P 的三个顺序主子式分别是
⎛ ⎡1 1 ⎤ ⎞ ⎜⎢ ⎥⎟ Δ1 = 1 > 0 ， Δ 2 = det ⎜ ⎢ ⎟ > 0 ， Δ 3 = det ⎜ ⎢ 1 4 −3⎥ ⎟ < 0 ⎥ ⎝ ⎣1 4 ⎦ ⎠ ⎜ ⎢ −1 −3 1 ⎥ ⎟ ⎦⎠ ⎝⎣
AT P + PA = −Q
其中，未知对称矩阵具有以下形式
⎡P P = ⎢ 11 ⎣P 12
P 12 ⎤ P22 ⎥ ⎦
代入得：
P P 1⎤ ⎡P ⎡ −1 2 ⎤ ⎡ P 11 12 ⎤ 11 12 ⎤ ⎡ −1 ⎢ 1 −3⎥ ⎢ P P ⎥ + ⎢ P P ⎥ ⎢ 2 −3⎥ = −Q ⎣ ⎦ ⎣ 12 ⎦ 22 ⎦ 22 ⎦ ⎣ ⎣ 12 ⎡1 0 ⎤ ⎡2 1⎤ 分别取 Q = ⎢ 和Q = ⎢ ⎥ 代入上式，可解出对应的矩阵 P 为 ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣1 2 ⎦ ⎡5 2⎤ ⎡ 1.75 0.625⎤ P 和 P2 = ⎢ 1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣0.625 0.375⎦ ⎣2 1⎦ 经验证，矩阵 P 1和 P 2 都是正定的。因此，系统在在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 利用矩阵 P 1和 P 2 可得到系统的两个李雅普诺夫函数，分别为：
现代控制理论 第4章传递函数矩阵的状态空间实现
不为零的**行的数值：
1 Ac的第i个*行等于 Dhc Dlc 的第i行 1 Bc的第i个*行等于 Dhc 的第i行
u(t )
D
1 hc
u0 (t )
0 Bc
0 x
x
0
y0 (t )
C
0 c
N lc
y (t )
0 Ac
化简后：
u (t )
1 Dhc Dlc
1 hc
B D
0 c
s k1 1 s 1 ( s)
k p 1 s s 1
可导出构造
ˆ ( s) u
( Ac , Bc , Cc )
ˆ0 ( s ) u
的结构图
ˆ 0 ( s) y
D
1 hc
i 1
{ Ac , Bc }为完全能控且具有指定形式
2 MFD的核
引入列次表达式：
D( s) Dhc S ( s) Dlc ( s) N ( s) Nlc ( s) s k1 S (s) p , ki n k p i 1 s
G( s) N ( s) D 1 ( s)严格真, D( s)列既约, ci D( s) ki , i 1, 2, ,p
称一个状态空间描述
p
x Ac x Bcu y Cc x
为控制器形实现,
其中 dim A k n, C (sI A )1 B N (s) D 1 (s) i c c c c
ˆ( s ) u ˆ0 ( s ) S ( s ) (核) ˆ( s ) ˆ y ( s ) ( s ) 0 1 1 ˆ ˆ ˆ (s) u0 ( s ) Dhc Dlc ( s ) ( s ) Dhc u (外围) ˆ ( s ) N lc y ˆ 0 ( s) y
现代控制理论课件传递函数矩阵的实现完整版
ΣAi ,Bi ,Ci ，则Gs的实现为：
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11.3 传递函数矩阵的实现
A1 0
0
B1 0
0
A
0
A2
0
,
B
0
B2
0
0
0
Al
0
0
Bl
C C1 C2
Cl
该实现的维数为
l
n ri r l
i 1
例：p.291 例9.10.3
0
0
1
i
,
Bi
0 1
cimi 2 ci1
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11.2 标量传递函数的实现
则Gs的实现ΣA,B,C 为：
A1 0 0
B1
A
0
A2
0
,
B
B2
0 0 Ar
Br
C C1 C2 Cr
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A4
0
0
B3 B4
C
C1 0
0 C2
C3 0
0 C4
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11.3 传递函数矩阵的实现
对所求得的实现ΣA,B,C 进行可控性可观性 结构分解，可得到Gs的最小实现，即ΣA,B,C 的可控且可观部分ΣAco ,Bco ,Cco 。
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A~B~
A~ n1B~
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现代控制理论复习
G ( s ) = G1 ( s )[ I + G2 ( s )G1 ( s )]−1 或 = [ I + G1 ( s )G2 ( s )]−1 G1 ( s )
2 0 1 1 1 2 9 8
[ 第二章总结] 1 .线性定常齐次状态方程的解 2 .矩阵指数函数 e At 3 .状态转移矩阵 Φ ( t − t0 ) Φ ( t , t ) 0 4 .线性定常非齐次状态方程的解 5 .线性时变系统状态方程的解 1 、线性定常系统运动分析 1 ）齐次状态方程的解：
2 0 1 1 1 2 9 2 2
4 、李氏第二法判稳 李氏第二法判稳思路：寻找李氏函数 李氏第二法判稳思路 李氏第二法稳定性定理
G11 G12 G G Y(s) G(s) = = C(sI − A)−1 B + D = 21 22 M M U(s) Gm1 Gm2 L G1r L G2r L M L Gmr
G( s ) 的每个元素的含义：
Yi ( s ) 表示第i 个输出中，由第j 个输入变量所引 Gij ( s ) = 个输入变量间的传递关系 U j ( s ) 起的输出和第j
e At
2 0 1 1 1 2 9
e λ1t = P 0
0 −1 O P e λnt
1 0
约当标准型法：当A 的特征值为 λ1（n 重根）
λ1t e = Q M 0 0 te λ1t L O O L 1 t n−1e λ1t ( n − 1)! −1 O M Q O te λ1t 0 e λ1t
x ( t ) = Φ ( t − t0 ) x ( t0 )
2 ）非齐次状态方程的解：
x( t ) = Φ ( t ) x( 0) + ∫ Φ ( t − τ ) Bu(τ )dτ
现代控制理论 4-1 状态空间表达式的线性变换
2
⎥ ⎦
P −1
=
⎡2 ⎢⎣1
1⎤ 1⎥⎦
cΛ = P−1AP
=
⎡−1 ⎢
⎣
⎤ − 2⎥⎦
b = P−1b
=
⎡2 ⎢⎣1
1⎤ ⎡0⎤ 1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
tcy c = cP
= [1
1]⎢⎣⎡−11
−1⎤ 2 ⎥⎦
=
[0
1]
d = d = 0 返回
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4
⎡ ⎢ ⎣
x&1 (t )⎤ x&2 (t)⎥⎦
O O
⎤
⎥
⎥
1⎥
λ1
⎥ ⎦
⇒ ⎪⎪⎪⎨L(λ1I − A)p2 = −p1 ⎪⎩(λ1I − A)pm = −pm−1
pm+1,L, pn 为互异实特征值对应的特征向量，满足：
tc Api = λipi (i = m +1,L,n)
返回
(2) A为友矩阵，有m重实特征值 λ1 ，对应1个独立的 实特征向量 p1；另外有n-m个互异实特征值 λm+1,L, λn
时只有1个独立的实特征向量 p1
返回
10
非奇异线性变换矩阵
[ ] P = p1 p2 L pm | pm+1 L pn J = P−1AP
e p2,L,pm 为广义实特征向量，满足：
a A[p1 p2 L pm]=
⎧(λ1I − A)p1 = 0
c y [p1
p2
L
⎡λ1 ⎢
p
m
]⎢
⎢
⎢
⎣
1 λ1
=
⎡2 ⎢⎣1
1⎤ ⎡− 1⎤ 1⎥⎦⎢⎣ 1 ⎥⎦
现代控制理论 2-4 系统的传递函数矩阵
第二章 线性系统的状态空间分析法§1 线性系统的状态空间描述 §2 线性定常连续系统的分析 §3 线性定常离散系统的分析 §4 系统的传递函数矩阵一、定义及表达式零初始条件下，输出向量的拉氏变换式与输入向量 的拉氏变换式之间的传递关系——传递函数矩阵。
& ⎧ x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) ⇒ sX(s ) = AX(s ) + BU (s ) ⎨ ⎩y (t ) = Cx(t ) + Du(t ) ⇒ Y(s ) = CX(s ) + DU(s )∴ X(s ) = (sI − A ) BU (s )−1∴ Y(s ) = C(sI − A ) BU (s ) + DU(s ) = G (s )U(s )−1G (s ) = C(sI − A ) B + D−1q× p1⎡Y1 (s )⎤ ⎡G11 (s ) G12 (s ) L G1 p (s )⎤ ⎡U1 (s ) ⎤ ⎢Y (s )⎥ ⎢G (s ) G (s ) L G (s )⎥ ⎢U (s )⎥ 22 2p ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M M M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢Yq (s )⎥ ⎢Gq1 (s ) Gq 2 (s ) L Gqp (s )⎥ ⎢U p (s )⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦Y1 (s ) = G11 (s )U1 (s ) + G12 (s )U 2 (s ) + L + G1 j (s )U j (s ) + L + G1 p (s )U p (s )Yi (s ) = Gi1 (s )U1 (s ) + Gi 2 (s )U 2 (s ) + L + Gij (s )U j (s ) + L + Gip (s )U p (s )Yq (s ) = Gq1 (s )U1 (s ) + Gq 2 (s )U 2 (s ) + L + Gqj (s )U j (s ) + L + Gqp (s )U p (s )Gij (s ) =Yi (s ) , i = 1,2, L , q; j = 1,2 ,L ,p U j (s )第 j 个输入与第i 个输出之间的传递函数。
系统的传递函数和状态空间表达式的转换
系统的传递函数和状态空间表达式的转换现代控制理论实验一系统的传递函数和状态空间表达式的转换一、实验目的1．学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2．通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。
二、实验要求学习和了解系统状态方程的建立与传递函数相互转换的方法；三、实验设备1．计算机1台2． MATLAB6.X 软件1套。
四、实验原理说明设系统的状态空间表达式如式(1－1)示。
q p n R y R u R x D Cx y Bu Ax x ∈∈∈+=+= (1－1)其中A 为n ×n 维系数矩阵、B 为n ×p 维输入矩阵 C 为q ×n 维输出矩阵，D 为传递阵，一般情况下为0。
系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式(1－2)示。
D B A sI C s G +-=-1)()( (1－2)五、实验步骤求系统的A 、B 、C 、阵；然后进行验证。
432352)(232+++??+++=s s s s s s s G%求系统的A 、B 、C 阵 num=[0 0 1 2;0 1 5 3]; den=[1 2 3 4];[A B C D]=tf2ss(num,den) 运行结果：A =-2 -3 -41 0 0 0 1 0B =1C =0 1 2 1 5 3D =对上述结果验证：程序如下：%对上述结果进行验证编程 A=[-2 -3 -4;1 0 0;0 1 0]; B=[1;0;0]; C=[0 1 2;1 5 3];D=[0;0];[num den]=ss2tf(A,B,C,D)运行结果如下：num =0 -0.0000 1.0000 2.0000 0 1.0000 5.0000 3.0000den =1.00002.00003.00004.0000发现结果和给定的传递函数一致。
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N (s) Nlc(s)
s k1
S
(s)
p
, ki n
s
k
p
i 1
s k1 1
s
1
(s)
s
k
p
1
s
1
可导出构造 (Ac , Bc ,Cc ) 的结构图
uˆ(s)
(
s)]ˆ(
s)
ห้องสมุดไป่ตู้
uˆ
(
s)
yˆ (s)
Nlc
(s)ˆ(s)
yˆ0 (s)
S(s)ˆ(s)
Dhc
D 1 lc
(s)ˆ(
s)
Dhc
1uˆ
(
s)
uˆ0 (s)
Syˆ0((ss))ˆ(s) (suˆ)0ˆ((ss))(核)
uˆ0 (s) Dhc1Dlc(s)ˆ(s) Dhc1uˆ(s)(外围)
第四章 传递函数矩阵的 状态空间实现
4.1 实现的基本概念和属性 4.2 有理分式传递函数矩阵的典型实现 4.3 基于MFD的典型实现 4.4 不可简约MFD的最小实现
4.1 实现的基本概念和属性
一 实现的定义和属性
1 实现的定义
假设已知线性定常系统的传递函数阵G(s)， 若找到状态空间模型{A,B,C,E}使得
yˆ(s) Nlc yˆ0 (s)
3 核实现 ( Aco , Bco , Cco ) 的构造
只要构造出(s)S 1(s)的实现,后面就只是代数运算了.
核
:
Syˆ0((ss))ˆ(s) (suˆ)0ˆ((ss)),ˆ(s)
称一个状态空间描述 x Acx Bcu 为控制器形实现,
y Cc x
其中
dim Ac
p
ki n, Cc (sI Ac )1 Bc N (s)D1(s)
i 1
{Ac , Bc}为完全能控且具有指定形式
2 MFD的核
引入列次表达式：
D(s) DhcS(s) Dlc(s)
{A,b,c,d},当且仅当dimA=deg（g(s)）时，实 现{A,b,c,d}是g(s)的最小实现。 定理4（多变量系统） ：
设真有理函数矩阵G(s)的实现是{A,B,C,D}, 当且仅当dimA=G(s)不可简约MFD的次数时，实 现{A,B,C,D}是G(s)的最小实现。
三 能控类实现和能观测类实现
G(s) C(sI A)1B E
成立，则称此状态空间模型为已知的传递函数 矩阵的一个状态空间实现。
2 实现的属性 实现的维数 ：
实现维数=dimA 实现的不唯一性 ：
维数可不同，同维的参数也可不同
最小实现
对于传递函数阵G(s)的一个维数最低的实现， 称为G(s)的最小实现或不可约简实现。
D 1 hc
uˆ0 (s) (s)S 1(s) yˆ0 (s) Nlc
yˆ ( s)
Dhc1Dlc
称 (s)S 1(s) 为核心右MFD。
yˆ(s) N (s)D1(s)uˆ(s) N (s)ˆ(s) D(s)ˆ(s) uˆ(s)
[
Dhc
S
(
s)
Dlc
2. 能观测形实现
0qq
Iq
00
Akqkq
0
Iq
Iq
C [0,0,,0, Iq ]qkq
0Iq 1I q
,
Bkq
p
P0
P1
Pk
2
k1Iq
Pk1
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能观的,但不一定是控的. (3)由此求最小实现时,要按能控性进行结构分解. (4)维数与能控性实现可能不同.
1能控类实现 {A,B,C，E}为G(s)的一个能控类实现的
充要条件是：
G(s) C(sI A)1B E {A, B}能控且有指定形式
2 能观类实现
{A,B,C，E}为G(s)的一个能观类实现的 充要条件是：
G(s) C(sI A)1B E {A, C}能观且有特定形式
d (s) sk k1sk1 1s 0
则G(s)可表为
G(s)
1 d (s)
P(s)
d
1 (s)
[
Pk
1s
k
1
P1s
P0 ]
形式上类似于SISO系统的传递函数, 只不过分
子的系数变成了矩阵.
1. 能控形实现
0 p p
Ip
0
0
Akpkp
二 最小实现的相关定理
定理1 ： 设严格真有理函数阵G(s)的实现为{A,B,C},
则其为最小实现的充要条件是{A,B,C}既完全能 控又完全能观。 定理2：
对给定的传递函数矩阵G(s),其最小实现不 是唯一的，但所有最小实现都是代数等价的。
定理3(单变量系统) ： 设分子分母互质的真有理函数g(s)的实现是
4.2有理分式传递函数矩阵的典型实现
一 标量传递函数的典型实现
能控规范形实现 能观测规范形实现 并联形实现（约当形实现） 串联形实现
二 传递函数矩阵的典型实现
G(s)----严格真，有理分式形式表达，即
G(s) [gij (s)],i 1,2,q; j 1,2, p; 令d (s)为gij (s)的最小公分母, 记为
0
Ip
Ip
,
Bkp
p
0
0
0I p 1I p
k1I p
I p
C [P0 , P1,, Pk1]qkp
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能控的,但不一定是能观的. (3)由此求最小实现时,要按能观性进行结构分解.
4.3 基于MFD的典型实现
G(s)qp 严格真 右MFD : G(s) N (s)D1(s)
D(s)列既约, 控制器形实现
左MFD : G(s) A1(s)B(s) A(s)行既约,观测器形实现
一. 构造控制器形实现
1控制器实现的定义
G(s) N (s)D1(s)严格真, D(s)列既约,ciD(s) ki ,i 1, 2, , p