函数矩阵的微分和积分
《矩阵分析》课程教学大纲
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。
要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。
二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。
2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。
（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。
（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学是学习数学的一个重要分支，它包括微积分，线性代数，数学分析等多个学科的内容。
在大学阶段，高等数学是理工科学生必修的一门课程，它为学生提供了深入掌握数学知识的基础。
下面将对高等数学中的主要知识点进行总结。
微积分微积分是高等数学的重要内容，它包括微分学和积分学两个部分。
微分学微分学探讨的是函数的变化趋势，它通过导数定义函数的切线和函数在某一点的波动情况。
常用的微分运算有：1、导数的定义和求导法则导数的定义：对于函数f(x)，当x的增量越来越小时，函数在x处的导数为：f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h(h→0)导数的求导法则:常数乘积法则：(cf(x))'=cf'(x)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)除法法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/g(x)^22、高阶导数高阶导数定义: 给予函数f(x)，可以通过反复求导得到f(x)的高阶导数。
f'(x),f''(x),f'''(x)...3、微分中值定理和Taylor公式微分中值定理：对于函数f(x)，和它的两个不同点a,b(a<b)，则在f(a)和f(b)之间至少存在一个点c将f(b)-f(a)和f′(c)联系起来。
f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)Taylor公式: 它用多项式函数来描述函数局部的变化特征。
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2+...+f(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示x→a时比(x-a)^n对应的函数趋近于0到一个高阶无穷小量。
矩阵微分的链式法则的证明
你好！矩阵微分的链式法则是矩阵微分中的一个重要性质，类似于标量函数微分的链式法则。
我们考虑一个复合函数：\[ h(X) = g(f(X)) \]其中 \(X\) 是一个矩阵，\(f(X)\) 和\(g(f(X))\) 是矩阵到矩阵的映射。
链式法则的表达式如下：\[ \frac{\partial h}{\partial X} = \frac{\partial g}{\partial Y} \cdot\frac{\partial f}{\partial X} \]这里的 \(\frac{\partial h}{\partial X}\) 表示 \(h\) 相对于 \(X\) 的偏导数，\(\frac{\partial g}{\partial Y}\) 表示 \(g\) 相对于其输入 \(Y\) 的偏导数，\(\frac{\partial f}{\partial X}\) 表示 \(f\) 相对于其输入 \(X\) 的偏导数。
下面是链式法则的证明：1. 首先，我们定义一个中间变量 \(Y = f(X)\)。
2. 然后，我们写出 \(h\) 相对于 \(Y\) 的偏导数：\[ \frac{\partial h}{\partial Y} = \frac{\partial g}{\partial Y} \]3. 接着，我们写出 \(h\) 相对于 \(X\) 的偏导数，利用矩阵的乘法法则：\[ \frac{\partial h}{\partial X} = \frac{\partial h}{\partial Y} \cdot\frac{\partial Y}{\partial X} \]4. 将步骤2和步骤3的结果代入，得到链式法则：\[ \frac{\partial h}{\partial X} = \frac{\partial g}{\partial Y} \cdot\frac{\partial Y}{\partial X} \]这样就完成了链式法则的证明。
矩阵的微分与积分
上讲已求得 …….
2、最小二乘问题 最小二乘问题：设 A Cm n, b Cm, 当线性方程组 Ax b 无解时，对任意 x Cn 都在 Ax b 0 .
此时希望找出向量
x0
Cn
，使得 ||
Ax
b
||2
达最小，即求
x0
arg
min
xCn
||
Ax
b
||22
的问题，称
x0
为矛
盾方程组的最小二乘解。为应用，考虑实矩阵与实向量的情形。
dt
dt
2! 3!
2!
2!
3. 函数矩阵积分定义：若矩阵 A(t) (aij (t))mn 的每个元素 aij (t ) 都是区间[t0 , t1] 上的可积函数，则
称 A(f(X)ft)在区间[t0,t1] 上可积，并定义 A(t)在[t0,t1] 上的积分为
t1 t0
A(t)dt
t1 t0
t
[a,
b]
）；
（4）
b
a
A'(t)dt
A(b)
-
A(a)
（当
A(t)在[a,b]连续可微时）.
二、数量函数对矩阵变量的导数
1.定义：设
f(X)是以矩阵
X
(xij )mn 为自变量的
mn
元函数，且
f
xij
(i
1, 2,
, m; j 1, 2,
n) 都存在，规
f
定
f 对矩阵变量
X 的导数为
df dX
dx
(2)设常矩阵 A (aij )mn ，矩阵变量 X (xij )mn 且 f (X ) tr(AX ) ，求 df ;
积分和微分的区别通俗易懂
积分和微分的区别通俗易懂微分和积分的区别包括：定义不同、数学表达不同、几何意义不同。
一、定义不同微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。
设f是从欧几里得空间（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到的一个函数。
对于中的一点x及其在中的邻域中的点x+h。
如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h，那么称函数f在点x处可微。
线性映射A叫做f在点x处的微分。
积分是把微分后的结果，也就是无数无限小的东西重新集合成为一个整体。
定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。
其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。
然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。
最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。
二、数学表达不同微分：导数和微分在书写的形式有些区别，如y' =f (x),则为导数，书写成dy=f (x)dx,则为微分。
积分：设F (x)为函数f (x)的一个原函数，我们把函数f (x)的所有原函数F (x) +C (c为任意常数)，叫作函数f(x)的不定积分，数学表达式为：若f' (x)=g(x)，则有f g(x) dx=f(x) +c。
三、几何意义不同微分的几何意义是将线段无线缩小来近似代替曲线段；积分是需要几何形体的面积或体积。
微分的性质如果f是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：设f是从Rn射到Rm的函数，f=(f1,f2,...fm)，那么：具体来说，对于一个改变量：，微分值：可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素都存在，但反之不真。
勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。
测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。
矩阵的微分与积分
4. 应用
x1 '( t ) a11 x1 ( t ) a12 x2 ( t ) a1n xn ( t ) b1 ( t ) x2 '( t ) a21 x1 ( t ) a22 x2 ( t ) a2 n xn ( t ) b2 ( t ) x '( t ) a x ( t ) a x ( t ) a x ( t ) b ( t ) n1 1 n2 2 nn n n n
4.3 矩阵的微分与积分
1. 矩阵的微分
2. 矩阵的积分
3. 其他微分概念
4. 应用
1. 矩阵的微分
如果矩阵A(t)=(aij(t))∈Cm×n的每个元素aij(t)都是t 的可微函数，则A(t)关于t的导数(微商)定义为： dA t t A t aij . mn dt
定理2：设A是n阶常数矩阵，则
d tA (1) e Ae tA e tA A; dt d (2) cos( tA) A sin( tA) sin( tA) A; dt d (3) sin( tA) A cos( tA) cos( tA) A. dt
2. 矩阵的积分
x1 df df , T. 例1 设 x , 求 dx dx x n
例2 设b是n维列向量，x=[x1,…,xn]T，f(x)=xTb， 求df/dx。 例3 设A是n阶矩阵，x=[x1,…,xn]T，f(x)=xTAx， 求df/dx。 例4 设A∈Rm×n，b∈Rm，若x∈Rn使得||Ax-b||2 =min，则ATAx=ATb。 例5 设X=(xij)∈Rn×n，f(X)=[tr(X)]2，求
定理3：齐次微分方程 x( t ) A x( t ) 的通解为： x(t ) e tAc, 其中c是任意常向量。若再加上初始条件x(t0)=x0， 则其解为 x ( t ) e ( t t 0 ) A x0 . 例8 设矩阵
矩阵微积分基础知识
矩阵微积分基础知识矩阵微积分是数学中重要的分支之一，它将矩阵理论与微积分方法相结合，为解决实际问题提供了强大的工具。
本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的微分和积分等内容，帮助读者更好地理解和应用矩阵微积分。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数，是数的一个矩形排列。
一般形式为m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵通常用大写字母表示，如A、B、C等。
矩阵中的每一个元素都可以用下标表示，如Aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
例如，设矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，则A + B = [8 10 12; 14 16 18]。
2. 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以一个数。
例如，设矩阵A = [1 2; 3 4]，数k = 2，则kA = [2 4; 6 8]。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
例如，设矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，则AB =[19 22; 43 50]。
三、矩阵的微分矩阵的微分是矩阵微积分中的重要内容，它可以帮助我们求解矩阵函数的导数。
设矩阵函数F(X) = [f1(X), f2(X), ..., fn(X)]，其中X是一个矩阵变量，fi(X)表示矩阵X的第i个元素函数。
则矩阵函数F(X)的微分定义为：dF(X) = [df1(X), df2(X), ..., dfn(X)]其中dfi(X)表示fi(X)对X的微分。
矩阵函数的微分满足线性性质和Leibniz法则。
四、矩阵的积分矩阵的积分是矩阵微积分中的另一个重要内容，它可以帮助我们求解矩阵函数的不定积分和定积分。
设矩阵函数F(X) = [f1(X),f2(X), ..., fn(X)]，则矩阵函数F(X)的不定积分定义为：∫F(X)dX = [∫f1(X)dX, ∫f2(X)dX, ..., ∫fn(X)dX]其中∫fi(X)dX表示fi(X)对X的不定积分。
矩阵微积分基础知识
矩阵微积分基础知识矩阵微积分是微积分的一个重要分支，它将微积分的概念和方法应用于矩阵和向量的运算中。
在矩阵微积分中，我们可以通过对矩阵进行微分和积分来研究矩阵的性质和变化规律。
本文将介绍矩阵微积分的基础知识，包括矩阵的导数、矩阵的积分和矩阵微分方程等内容。
一、矩阵的导数在矩阵微积分中，我们可以定义矩阵的导数。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别求导来得到矩阵的导数。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可导的，那么矩阵f(X)的导数就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [x1^2 x2^2; x3^2 x4^2]。
那么矩阵f(X)的导数就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的导数，即f'(X) = [2x1 2x2; 2x3 2x4]。
二、矩阵的积分与矩阵的导数类似，我们也可以定义矩阵的积分。
对于一个矩阵函数f(X)，其中X是一个矩阵，我们可以通过对f(X)的每个元素分别积分来得到矩阵的积分。
具体而言，如果f(X)的每个元素都是可积的，那么矩阵f(X)的积分就是一个与f(X)具有相同维度的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分。
例如，对于一个2×2的矩阵X = [x1 x2; x3 x4]，我们可以定义一个矩阵函数f(X) = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
那么矩阵f(X)的积分就是一个2×2的矩阵，其中每个元素都是对应元素的积分，即∫f(X)dX = [∫x1dx1 ∫x2dx2; ∫x3dx3 ∫x4dx4]。
三、矩阵微分方程矩阵微分方程是矩阵微积分中的一个重要概念。
它是描述矩阵函数与其导数之间关系的方程。
一般而言，矩阵微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
矩阵微积分
矩阵微积分本文摘译自 Wikipedia。
在数学中，矩阵微积分是多元微积分的一种特殊表达形式。
它以向量或矩阵的形式将单个函数表示为多个变量，或将一个多元函数表示为单个变量，从而可以作为一个整体来处理，大大简化了多元函数极值、微分方程等问题的求解过程。
表示法在本文中，将采用如下所示的表示方法：•$ \mathbf A, \mathbf X, \mathbf Y $ 等：粗体的大写字母，表示一个矩阵；•$ \mathbf a, \mathbf x, \mathbf y $ 等：粗体的小写字母，表示一个向量；•$ a, x, y $ 等：斜体的小写字母，表示一个标量；•$ \mathbf X^T $：表示矩阵 $ \mathbf X $ 的转置；•$ \mathbf X^H $：表示矩阵 $ \mathbf X $ 的共轭转置；•$ | \mathbf X | $：表示方阵 $ \mathbf X $ 的行列式；•$ || \mathbf x || $：表示向量 $ \mathbf x $ 的范数；•$ \mathbf I $：表示单位矩阵。
向量微分向量-标量列向量函数 $ \mathbf y = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_m \end{bmatrix}^T $ 对标量 $ x $ 的导数称为$ \mathbf y $ 的切向量，可以以分子记法表示为$ \frac{\partial \mathbf y}{\partial x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x}\newline \frac{\partial y_2}{\partial x} \newline\vdots \newline \frac{\partial y_m}{\partialx}\end{bmatrix}_{m \times 1} $若以分母记法则可以表示为$ \frac{\partial \mathbf y}{\partial x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x} &\frac{\partial y_2}{\partial x} & \cdots &\frac{\partial y_m}{\partial x}\end{bmatrix}_{1 \times m} $标量-向量标量函数 $ y $ 对列向量 $ \mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^T $ 的导数可以以分子记法表示为$ \frac{\partial y}{\partial \mathbf x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_1} &\frac{\partial y}{\partial x_2} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_n}\end{bmatrix}_{1 \times n} $若以分母记法则可以表示为$ \frac{\partial y}{\partial \mathbf x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_1}\newline \frac{\partial y}{\partial x_2} \newline\vdots \newline \frac{\partial y}{\partialx_n}\end{bmatrix}_{n \times 1} $向量-向量列向量函数 $ \mathbf y = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_m \end{bmatrix}^T $ 对列向量 $ \mathbf x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{bmatrix}^T $ 的导数可以以分子记法表示为$ \frac{\partial \mathbf y}{\partial \mathbf x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1} &\frac{\partial y_1}{\partial x_2} & \cdots &\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\newline\frac{\partial y_2}{\partial x_1} &\frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \cdots &\frac{\partial y_2}{\partial x_n} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy_m}{\partial x_1} & \frac{\partial y_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\newline\end{bmatrix}_{m \times n} $若以分母记法则可以表示为$ \frac{\partial \mathbf y}{\partial \mathbf x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1} &\frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \cdots &\frac{\partial y_m}{\partial x_1}\newline\frac{\partial y_1}{\partial x_1} &\frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \cdots &\frac{\partial y_m}{\partial x_1} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_1}\newline\end{bmatrix}_{n \times m} $矩阵微分矩阵-标量形状为 $ m \times n $ 的矩阵函数 $ \mathbf Y $ 对标量$ x $ 的导数称为 $ \mathbf Y $ 的切矩阵，可以以分子记法表示为$ \frac{\partial \mathbf Y}{\partial x} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y_{11}}{\partial x} &\frac{\partial y_{12}}{\partial x} & \cdots &\frac{\partial y_{1n}}{\partial x}\newline\frac{\partial y_{21}}{\partial x} &\frac{\partial y_{22}}{\partial x} & \cdots &\frac{\partial y_{2n}}{\partial x} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy_{m1}}{\partial x} & \frac{\partial y_{m2}}{\partial x} & \cdots & \frac{\partial y_{mn}}{\partial x}\newline\end{bmatrix}_{m \times n} $标量-矩阵标量函数 $ y $ 对形状为 $ p \times q $ 的矩阵$ \mathbf X $ 的导数可以分子记法表示为$ \frac{\partial y}{\partial \mathbf X} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_{11}} &\frac{\partial y}{\partial x_{21}} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_{p1}}\newline\frac{\partial y}{\partial x_{12}} &\frac{\partial y}{\partial x_{22}} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_{p2}} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy}{\partial x_{1q}} & \frac{\partial y}{\partialx_{2q}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{pq}} \newline\end{bmatrix}_{q \times p} $若以分母记法则可以表示为$ \frac{\partial y}{\partial \mathbf X} =\begin{bmatrix}\frac{\partial y}{\partial x_{11}} &\frac{\partial y}{\partial x_{12}} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_{1q}}\newline\frac{\partial y}{\partial x_{21}} &\frac{\partial y}{\partial x_{22}} & \cdots &\frac{\partial y}{\partial x_{2q}} \newline\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \newline\frac{\partialy}{\partial x_{p1}} & \frac{\partial y}{\partialx_{p2}} & \cdots & \frac{\partial y}{\partial x_{pq}} \newline\end{bmatrix}_{p \times q} $恒等式在下面的公式中，除非另有说明，默认要导出的复合函数的所有因子都不是导数变量的函数。
第五章 矩阵函数及其微积分
1/p |xj + yj |p
≤
n j =1
1/p |xj |p
+
n j =1
1/p |yj |p , p ≥ 1. (5.1.1)
130
注 1. 定义 5.1.1 中的字母“l”是序列空间 (对照第二章第六节) 或 Lebesgue 49 空间的统 称. 确切地说, 数域 F 上的所有绝对收敛的无穷数列构成的线性空间称为 l1 空间, 绝对平方 收敛的无穷数列构成的线性空间称为 l2 空间, 所有有界无穷数列构成的线性空间称为 l∞ 空 间, 以及 lp 空间等等. 类似地, 可以定义绝对可积函数空间 L1 , 绝对平方可积函数空间 L2 , 以 及 Lp , L∞ 等等. 注 2. 当 0 < p < 1 时, lp 范数仍然满足向量范数的前两个条件, 但不满足三角不等式, 见 习题 5. 注 3. 对于 C 或 R 上一般 n 维线性空间 V , 可以通过取 V 的一组基, 然后像 例 5.1.2 中 一样定义 V 的范数. 注 4. 常将 1- 范数称为 Manhattan (曼哈顿)- 度量, 因为在赋范线性空间中可以由范数自 然定义距离, 即 d(x, y ) = ||x − y ||. 请读者在平面上或者空间中画出两点间的距离的示意图. 如果连接两点间的最短曲线称为线 段, 请问 1- 范数下的线段是什么? ∞- 范数下的线段是什么? 例 5.1.3 (各种范数下的单位圆) 下面的图从左至右依次展示了 1- 范数, 普通范数 (欧几 里得范数) 和 ∞- 范数下的平面上的单位圆 ( 1 维单位球面): ||x||1 = 1 T 1
49
Henri L´ eon Lebesgue(1875-1941), 法国数学家, 数学上有著名的 Lebesgue 积分.
矩阵微积分中的微分与积分
矩阵微积分中的微分与积分矩阵微积分是微积分在矩阵领域的推广和应用，它将微积分中的微分和积分概念扩展到矩阵和向量上。
在矩阵微积分中，微分与积分是非常重要的概念，它们有着广泛的应用和深远的理论背景。
本文将介绍矩阵微积分中的微分和积分，探讨它们的定义、性质和应用。
一、矩阵微分在矩阵微积分中，微分是研究函数变化率的工具。
与传统微积分类似，矩阵微分也涉及到导数和偏导数的概念。
对于一个矩阵函数F(X)，其微分可以表示为dF(X)。
矩阵微分的计算可以通过求导数的方式进行，即通过求偏导数来计算微分。
具体来说，对于一个矩阵函数F(X)，其微分dF(X)可以通过以下公式计算：dF(X) = ∇F(X) · dX其中，∇F(X)表示F(X)的梯度，dX表示X的微小变化量。
这个公式表明，微分dF(X)可以看作是F(X)对X的梯度∇F(X)与X的微小变化量dX的乘积。
这种计算微分的方法在矩阵微积分中被广泛应用，可以用来求解矩阵函数的导数和对函数进行近似。
矩阵微分具有许多重要的性质和规则，与传统微积分中的微分类似。
例如，矩阵微分满足线性性质、乘法规则和链式法则等性质。
这些性质使得矩阵微分成为了研究矩阵函数变化率的有力工具。
二、矩阵积分矩阵微积分中的积分是研究曲线面积和函数累积量的工具。
在矩阵微积分中，矩阵积分可以表示为∫F(X)dX的形式，其中F(X)表示要积分的矩阵函数，dX表示积分变量。
与矩阵微分类似，矩阵积分的计算也可以通过求原函数的方式进行。
对于一个矩阵函数F(X)，如果存在一个矩阵函数G(X)，使得dG(X)/dX = F(X)，那么G(X)就是F(X)的原函数。
在矩阵微积分中，原函数的概念可以用来计算矩阵积分。
具体来说，矩阵积分的计算可以通过以下公式进行：∫F(X)dX = G(X) + C其中，G(X)表示F(X)的原函数，C为常数。
这个公式表明，矩阵积分可以通过求原函数来计算，得到的结果再加上一个常数C。
矩阵微分(变分)法
a12 (t) M
L a1n (t) OM
ù ú ú
=
éëai j (t)ùûnm
an2 (t) L ann (t)úû
定义它对 t 的导数为
dA(t)
é ê ê
da11 (t dt
)
dt
@ê M
ê ê
dan1
(t
)
êë dt
da12 (t) dt
L
da1n (t) dt
ùT ú ú
M O Mú
dan2 (t) dt
( ) X = AT AAT -1 b
7
( ) 再由
d dX T
é dF ( X
ê ë
dX
)ù
ú û
=
d dX T
2 X + AT l
= 2I > 0
可知所得的解是最小范数解。
=
éêa1T ê
(t )b1 (t ) M
L O
a1T
(t
)bl M
(t
)
ù ú ú
=
éëaiT
(t) × bj (t)ùûnl
êëanT (t)b1(t) L anT (t)bl (t)úû
从而根据矩阵导数定义 2，有
d dt
[
A(t) ×
B(t)]
=
d dt
éëaiT
(t) × bj
(t ) ùû n l
(t M
)
ù ú ú
êëan1(t) an2 (t) L anm (t)úû
êëanT (t)úû
B(t) = éêêb11M(t)
b12 (t) M
L O
b1l (t) M
矩阵微积分规则
矩阵微积分规则摘要：1.矩阵微积分的概念与基本原理2.矩阵微积分的运算方法3.矩阵微积分在实际问题中的应用正文：矩阵微积分是一种应用于多元函数微分和线性变换的数学工具，它是微积分学在向量空间和矩阵运算中的拓展。
矩阵微积分不仅具有传统微积分的基本原理，还具有独特的运算方法和应用领域。
一、矩阵微积分的概念与基本原理矩阵微积分的概念来源于矩阵运算与多元函数微分的结合。
矩阵微积分的基本原理包括以下几个方面：1.矩阵的导数：设A 是一个m×n 矩阵，其元素为aij，那么A 的导数是一个同样大小的矩阵，记作A"。
A"的元素为a"ij=aij/xk，其中k 为变量。
2.矩阵的梯度：矩阵的梯度是矩阵导数的特例，表示一个标量函数在向量空间中的梯度。
设f(A) 为矩阵A 的某个函数，那么矩阵A 的梯度是一个列向量，其元素为f"(A)·A"，其中f"(A) 表示函数f(A) 的梯度。
3.矩阵的链式法则：矩阵微积分的链式法则与传统微积分的链式法则类似，表示复合函数的导数。
设f(A) 和g(A) 是两个矩阵函数，那么(f(g(A)))"=f"(g(A))·g"(A)。
二、矩阵微积分的运算方法矩阵微积分的运算方法主要包括以下几个方面：1.矩阵乘法：矩阵乘法是矩阵微积分的基础运算，表示两个矩阵之间的乘积。
设A 和B 是两个m×n 矩阵，那么AB 是一个m×n 矩阵，其元素为(AB)ij=aik·bkj。
2.矩阵求导：矩阵求导是矩阵微积分的关键运算，表示矩阵元素的导数。
根据矩阵导数的定义，可以求得任意矩阵A 的导数A"。
3.矩阵求梯度：矩阵求梯度是矩阵微积分的另一个重要运算，表示标量函数在向量空间中的梯度。
根据矩阵梯度的定义，可以求得任意矩阵A 的梯度。
三、矩阵微积分在实际问题中的应用矩阵微积分在实际问题中有广泛的应用，例如在线性代数、优化理论、机器学习等领域。
第八章 矩阵微积分
第八章 矩阵微积分§8.1 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积对参与运算的矩阵没有任何限制，在矩阵的理论研究和计算方法中都有十分重要的应用，尤其是在矩阵代数方程求解和矩阵微分等运算中使得计算更加简洁。
本节中，我们将介绍Kronecker 积的定义和基本性质. 8.1.1 Kronecker 积的概念与性质定义1 设矩阵()C m n ij m n a ⨯⨯=∈A ，()C p q ij p q b ⨯⨯=∈B ，则称如下分块矩阵111212122212=C n n mp nq m m mn a B a Ba B a B a Ba B a B a Ba B ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⊗∈⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦A B 为矩阵A 与B 的Kronecker 积或称A 与B 的直积，记做⊗A B 。
显然⊗A B 是具有m n ⨯个子块的分块矩阵，每个子块都与矩阵B 同阶，所以⊗A B 是mp nq ⨯阶矩阵。
由定义1显然有矩阵B 与矩阵A 的Kronecker 积为111212122212=C q q pm qn p p pq b A b A b A b A b A b A b A b A b A ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⊗∈⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦B A所以，矩阵的Kronecker 积不满足交换律，即一般情况下，⊗≠⊗A B B A 。
例1 设10234,01567⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，则 2340001056700001000234000567⎡⎤⎢⎥⋅⋅⎡⎤⎢⎥⊗==⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B A B B B203040234020304567506070050607⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⊗== ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭ ⎪⎝⎭A A AB A A A A 显然，⊗≠⊗A B B A 。
从定义1可以直接给出Kronecker 积简单的运算性质如下。
矩阵范数的次微分
矩阵范数的次微分
矩阵范数是衡量矩阵大小的一种方式，它可以用于分析矩阵的性质以及解决各种数学和工程问题。
在应用矩阵范数进行优化或求解问题时，了解矩阵范数的次微分是非常重要的。
矩阵范数的次微分是指对于一个矩阵范数函数，计算其关于矩阵的一阶导数或二阶导数。
次微分主要用于优化算法中的梯度计算和牛顿法等二阶优化方法。
在计算矩阵范数的次微分时，我们可以使用不同的方法。
一种常见的方法是使用矩阵微积分的知识，将矩阵范数函数展开成关于矩阵元素的表达式，然后计算导数。
另一种方法是使用矩阵微分运算的性质，如矩阵迹运算和矩阵转置的性质，来推导次微分的公式。
对于一些常见的矩阵范数，次微分的公式已经被广泛研究和证明。
例如，对于矩阵的Frobenius范数，其次微分可以通过对矩阵的元素进行求导来得到。
对于矩阵的核范数（也称为谱范数），其次微分可以通过对矩阵的奇异值进行求导来得到。
矩阵范数的次微分在求解矩阵优化问题中起着关键的作用。
通过计算次微分，我们可以得到关于矩阵的梯度信息，从而可以应用梯度下降等优化算法来求解问题。
此外，次微分还可以用于解决矩阵方程、矩
阵最小化问题等。
总之，矩阵范数的次微分是矩阵分析中的一个重要概念，它在应用矩阵范数进行优化和求解问题时起着至关重要的作用。
深入理解矩阵范数的次微分可以帮助我们更好地理解矩阵的性质，并将其应用于实际问题的求解中。
矩阵函数和函数矩阵
矩阵函数求导首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵（1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。
函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。
单变量函数矩阵的微分与积分考虑实变量t 的实函数矩阵()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。
定义函数矩阵的微分与积分0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质：（1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt+=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt=+； 特殊情形（a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt=； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt=+； （3） ()111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。
如果,A B 可交换，则许多三角不等式可以推广到矩阵上。
如sin(),sin(2)A b A +等。
参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。
（2） 矩阵函数，就是自变量为矩阵的函数映射；根据函数的自变量和因变量的形式可分为多种。
矩阵函数的导数定义（向量导数）：映射:n m f →\\，()()12(),(),,()(), 1...T m i f f x f x f x f x i m ==="，定义映射的导数为一个m n ×的偏导数矩阵 (), 1..., 1...i ij j df x Df i m j n dx ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦. 例如 dAx A dx=， ⇒()()()(),,D f x g x Df x Dg x αβαβαβ⎡⎤+=+∈∈⎢⎥⎣⎦\\()()''()()()D f g x f g x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦''()()()()()(),,T T T n m D f x g x g x f x f x g x f g ⎡⎤=+∈→⎢⎥⎣⎦\\ ⇒()()T T T T T dx Ax x A Ax x A A dx=+=+定义（矩阵导数）：()vec ()()vec()d A X dA X dX d X 有符号说明•d/dx (y)是一个向量，其第(i)个元素是dy(i)/dx•d/d x (y) 是一个向量，其第(i)个元素是dy/dx(i)•d/d x (y T) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(j)/dx(i)•d/dx (Y) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(i,j)/dx •d/d X (y) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy/dx(i,j)注意 Hermitian 转置不能应用，因为复共轭不可解析，x,y是向量，X，Y是矩阵，x,y是标量。
第五章矩阵分析（改）
第五章矩阵分析（改）第五章矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的⼀些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.§5.1 向量与矩阵的范数从计算数学的⾓度看，在研究计算⽅法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了⼗分重要的作⽤.⼀、向量的范数定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的⼀个实值函数，如果该函数关系还满⾜如下条件：1）⾮负性对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0；2）齐次性对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三⾓不等式对任意V y x ∈,，有y x y x +≤+，则称此函数x （有时为强调函数关系⽽表⽰为?）为V 上的⼀种向量范数.例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义222212nx x x x+++=则2x 为n C 上的⼀种向量范数[i x 表⽰复数i x 的模].证⾸先，2n x C 是上的实值函数，并且满⾜1）⾮负性当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性对任意k C ∈及n x C ∈，有22||||||kx k x ==；3）三⾓不等式对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y ==，有222221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++++2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++22111||2||||||nnni i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不等式）222222222||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+因此 222||||||||||||x y x y +≤+所以 2||||x 确为n C 上的⼀种向量范数例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义112||||||||||n x x x x =+++，1max i i nxx ∞≤≤=，则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数.证仅对后者进⾏证明. 1）⾮负性当0x ≠时，max 0i ixx ∞=>，⼜显然有00∞=；2）齐次性对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，max max ;i i iikxkx k x k x ∞∞===3）三⾓不等式对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==()i i ii i iy x y x yx +≤+=+∞max maxi ii iy x max max +≤ =∞∞+y x .综上可知∞x 确为向量范数.上两例中的∞x x x ,,21是常⽤的三种向量范数.⼀般地，对于任何不⼩于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数pni p i px x11??=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数.注（1）当1p =时，1;pxx =（2）当2p =时，2x 为2-范数，它是⾣空间范数；当i x 为实数时，12221()ni i x x ==∑为欧⽒空间范数；由p -范数的存在，可知向量的范数有⽆穷多种，⽽且，向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中，三⾓不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：1、H?lder 不等式设正实数,p q 满⾜111,p q+=则对任意的,,n x y C ∈有11111()()nnnpq pqi ii i i i i x yx y ===≤∑∑∑2、Minkowski 不等式对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有（111111()()()nnnpp ppppi i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑）.例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量，则1,,21===∞xn x n x各种范数值差距很⼤.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性.定理1 设βα??,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数（它们不限于p -范数），则存在正的常数12,C C ,使对⼀切向量x ，恒有βαβx C x xC 21≤≤ (1)证如果范数x α和x β都与⼀固定范数譬如2-范数2x 满⾜式（1）的关系，则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数12,C C ''和12,C C ''''，使 1222122,C x x C x C xx C x αββ''≤≤''''≤≤成⽴，则显然有1122||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令111222,C C C C C C ''''''==，则得式（1），因此只要对2β=证明或（1）成⽴即可.设V 是n 维的，它的⼀个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表⽰为1122n n x x x x ξξξ=+++从⽽，1122n n x x x x ααξξξ=+++可视为n 个变量12,,,n ξξξ的函数，记为12(,,,)n x α?ξξξ=，易证12(,,,)n ?ξξξ是连续函数，事实上，若令1122nn x x x x V ξξξ''''=+++∈,则 12(,,,)nx α?ξξξ''''=. 1212(,,,)(,,,)n n x x x x αααξξξ?ξξξ'''''-=-≤- 11111()()nn n nn n x x x x αααξξξξξξξξ''''=-++-≤-++-. 由于ix α(1,2,,)i n =是常数，因此i ξ'与i ξ充分接近时，12(,,,)nξξξ'''就与12(,,,)n ?ξξξ充分接近，所以12(,,,)n ?ξξξ是连续函数.所以在有界闭集{1212(,,,)1n S ξξξξξξ=+++=上，函数12(,,,)n ?ξξξ可达到最⼤值2C 及最⼩值1C .因此在S 中，i ξ不能全为零，所以10C >.记向量1212222nn y x x x xxxξξξ=+++，则其坐标分量满⾜22212122221nx x xxxξξξ+因此，y S ∈.从⽽有 11122220,,n C yC xx x αξξξ<≤=≤ ? ???. 但2,xy x =故 122x C C x α'≤≤. 即 12222C x x C x ≤≤.⼆、矩阵的范数定义 2 设V 是数域F 上所有n m ?矩阵的集合，A 是定义在V 上的⼀个实值函数，如果该函数关系还满⾜如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中任意常数k 总有1）⾮负性 0≥A 并且仅当0=A 时，才有0=A ； 2）齐次性 A kkA =；3）三⾓不等式 B A B A +≤+；则称()?A是V 上的⼀种矩阵范数.例4 对n m C ?（或n m R ?）上的矩阵A ()ij a =定义∑∑===mi nj ij M a A111，∑∑===m i nj ijM aA1122，11max ij M i m j nA a ∞≤≤≤≤=，则∞M M M ,,21都是n m C ?（或n m R ?）上的矩阵范数.实⽤中涉及较多的是⽅阵的范数，即m n =的情形.定义 3 设F 是数域，?是n n F ?上的⽅阵范数.如果对任意的,n n A B F ?∈，总有AB A B ≤?，则说⽅阵范数?具有乘法相容性.注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳⼊⽅阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各⾃定义的内涵就可以了.例 5 对n n C ?上的矩阵][A ij a =定义ij nj i a n A ≤≤?=,1max ，则?是⼀种矩阵范数，并且具备乘法相容性.证⾮负性与齐次性显然成⽴，另两条证明如下：三⾓不等式ij ij b a n B A +?=+max()max max ij ij n a b ≤+ B A +=；乘法相容性≤?=∑∑==n k kj ik nk kj ik b a n b a n AB 11max max()()B A b n a n ij ij =?≤max max ，证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性.并不是所有的⽅阵范数都具有乘法相容性.例如对于22?R 上的⽅阵范数.M ∞就不具备相容性条件.此时ij j i M a A2,1m ax ≤≤=∞.取 1110,0111A B== ? ?????，∞M M BA ，⽽ 2M M M ABA B∞∞∞=>.定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x A Ax ≤，则称矩阵范数A 与向量范数x是相容的.定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义AxxAx A x x 1max max=≠==（2）则A 为⽅阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，⽽且它具有乘法相容性并且与向量范数x 相容.证⾸先可证，由（2）式定义的函数关系||||A 满⾜与向量范数||||x 的相容性.对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有0||||||||max ||||||||||||y Ax Ay A x y ≠≤=，即 ||||||||||||;Ax A x ≤（3）⽽当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有（3）式成⽴.容易验证||||A 满⾜范数定义中的⾮负性、齐次性及三⾓不等式三个条件，因⽽A 是⼀种⽅阵范数.并且，对任意n 阶矩阵,A B ，利⽤（2）式和（3）式可得maxmaxmaxx x x A BxABx Bx AB A A B xxx即说矩阵范数A 具备乘法相容性.⼀般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A .下⾯看常⽤的三种矩阵范数：例6 证明：对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1）11max nij j ni Aa ∞≤≤==∑，称为A 的列和范数.2）11max nij j nj Aa ∞≤≤==∑，称为A 的⾏和范数.证 1）设111max nnijikj ni i w a a≤≤===∑∑.若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=则111max k j j nw αα≤≤==.任意n 维向量12(,,)T n x x x x =，有112211221111112111()max .n n n nn jj nAx x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤+++≤+++≤＝于是，对任意⾮零向量x 有11Ax w x ≤. 以下证明存在⾮零向量k e 使11k kAe w e =.事实上，设k e 是第k 个分量为1⽽其余分量全为0的向量，则1k e =1,且1k ik i Ae a w =∑n=1＝,即11k kAe w e =.2）的证明与1）相仿，留给读者去完成. 例7 证明对n 阶复矩阵A ，有21max i i nA σ≤≤=，这⾥()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数.证设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ不妨设11max i i nλλ≤≤=.于是11max i i nσσ≤≤==.因为H A A 为H -矩阵，故有⾣矩阵U ，使得,,H H U A AV diag λλλ=Λ=12n (,).如设12(,,,)n U u u u =则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，即有,H i i i A A u u λ= 21iu =.对任意满⾜2||||1x =的复向量12(,,,)T n x x x x = ，有22||||()()H H Ax Ax Ax x ==H令H y U x =，则222222||||||||||||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量.若设12(,,,)T n y y y y =,则2221||||||1nii y y ===∑于是 22211||||||nHi i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑.即有12Ax σ≤.由x 的任意性，便得21221max x A Ax σ==≤特别取1x u =，则有211111112H H H Au u A Au u u λλ==＝，即112Au σ=.这说明2Ax 在单位球⾯{}21,n x x x C =∈上可取到最⼤值1σ，从⽽证明了21221max x A Ax σ===各种矩阵范数之间也具有范数的等价性定理 3 设,a A A β是任意两种矩阵范数则有正实数12,,C C 使对⼀切矩阵A 恒有12a C A A C A ββ≤≤§5.2 向量与矩阵序列的收敛性在这⼀节⾥，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去.可数多个向量（矩阵）按顺序成⼀列，就成为⼀个向量（矩阵）序列，()12(,,,)k k k Tk n x x x x =，1,2,3,k=是⼀个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列{}k i x .定义5 设有向量序列()()()12{}:(,,,)k k k Tk k n x x x x x =.如果对1,2,i n =，数列(){}k i x 均收敛且有()lim k i i k x x →∞=，则说向量序列{}k x 收敛.如记12(,,,)T n x x x x =，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞=，或简记为k x x →.如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散.类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛性具有如下性质.设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ?∈如果lim ,lim k k k k x x y y →∞→∞==，则1lim();2lim .k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞→∞>+=+>=定理 4 对向量序列{}k x ，x x k =∞→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞→x x k k ，其中?是任意⼀种向量范数.证明1）先对向量范数i ni x x=1max 证明定理成⽴.有i k i k k k x x x x =?=∞→∞→)(lim lim ，n i ,...,2,1=；,0lim )(=-?∞→i k i k x x n i ,...,2,1=；0max lim )(1=-?≤≤∞→i k i ni k x x ；0lim =-?∞∞→xx k k .2）由向量范数等价性，对任⼀种向量范数?，有正实数21,b b ，使∞∞-≤-≤-x x b x x xx b k k k 21.令∞→k 取极限即知lim 0lim 0k k k k x x x x∞→∞→∞-=?-=.于是定理对任⼀种向量范数都成⽴.根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限.由于m n C ?中矩阵可以看作⼀个mn 维向量，其收敛性可以和mn C 中的向量⼀样考虑.因此，我们可以⽤矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性.定义 6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ?=][:)(，如果对任何,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤，均有ij k ij k a a =∞→)(lim 则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ?=][，⼜称A 为{}k A 的极限.记为,lim A A k k =∞→或A A k →.矩阵序列不收敛时称为发散.→lim ，则()aA A a k k k =∞→lim .特别，当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞→∞→=lim lim .2) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞→lim .3) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()AB B A k k k =∞→lim .4) 若A A k k =∞→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}1-k A 收敛，并且11lim --∞→=A A k k .。
矩阵中的矩阵微积分
矩阵中的矩阵微积分矩阵微积分是线性代数中的一门重要分支，它将微积分的概念和矩阵运算的技巧相结合，增强了线性代数的理论体系和应用能力。
矩阵微积分研究的是矩阵函数的导数和积分、矩阵微分方程以及相关的数学模型和优化算法等。
本文将从三个方面介绍矩阵微积分的基本概念、应用范围以及研究进展，帮助读者深入了解这门重要课程。
一、矩阵微积分的基本概念矩阵微积分的基本概念包括导数、偏导数、积分、微分方程和泰勒公式等。
其中，矩阵函数的导数定义为极限值，偏导数定义为矩阵函数在某个方向上的变化率，积分定义为矩阵函数的面积或体积，微分方程定义为关系一个或多个未知函数、它们的导数和自变量的方程，泰勒公式定义为用无穷阶导数刻画一个矩阵函数在某个区间内的变化趋势。
这些基本概念构成了矩阵微积分的理论基础，为后续的应用提供了强有力的数学支撑。
二、矩阵微积分的应用范围矩阵微积分的应用范围广泛，涵盖了许多不同的学科领域，例如物理学、工程学、计算机科学、金融等。
其中，最为常见的应用是通过矩阵微积分来解决优化问题。
优化问题是指在满足一定约束条件的前提下，使某一目标函数达到最优值的问题。
有了矩阵微积分的支持，我们可以通过求解函数的导数来确定函数的最大值和最小值，从而解决一系列优化问题，例如线性规划、非线性规划、整数规划等。
此外，矩阵微积分还可以用来构建回归分析、时间序列分析、图像处理等各种数学模型，为现代科技的发展提供技术支持。
三、矩阵微积分的研究进展矩阵微积分的研究进展主要体现在以下几个方面：矩阵微积分与偏微分方程的联系、矩阵微积分和概率统计的关系、矩阵微积分在机器学习中的应用等。
其中，矩阵微积分和偏微分方程的联系是一个经典的数学问题，在很多实际问题中都有广泛应用。
数值分析的技术进步，使得矩阵微积分和偏微分方程的求解更加高效和精确。
矩阵微积分和概率统计的关系也是一个热门研究领域，它在矩阵统计、贝叶斯统计、贝尔曼方程等方面都有广泛应用。
矩阵微积分在机器学习中的应用则是当前研究热点之一，它涉及到最小二乘法、核方法、降维等多个方面，为机器学习领域的发展提供了重要的数学基础和算法支持。
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及变量 z 的函数 u = f( z) 都可微 , 则 ( 5 . 7)
d d d A 〔 f( z) 〕 = A( u) ・ f( z) dz du dz 性质 4 若 n 阶函数矩阵 A( z) 可逆 , 且 A( z) 及其逆阵 A ( z) 都可微 , 则 d -1 -1 d -1 A ( z) = - A ( z)〔 A( z) 〕 A ( z) dz dz 证明性质 2 设 A( z) B ( z) = C( z) 〔 d A( z) 〕 B( z) = H( z) dz A( z)
f f , …, x1 xn
( 5. 14)
d d d 〔 a f( X) + bg( X) 〕 = a f( X) + b g( X) dX dX dX 性质 3 d d d 〔 f( X) ・ g( X) 〕= g( X) f( X) + f( X) g( X) dX dX dX d d f f ( X) 及 g ( X) 的 i 行 j 列 元 素 分 别 是 , dX dX x ji
m× n m ×n
d a ( z) dz 12 d a 22 ( z) dz d a m2 ( z) dz
… …
d a ( z) dz 1n d a 2n ( z) dz d a mn ( z) dz
…
( 5 . 5)
设函数矩阵 A( z) , B( z) 分别是 m × n 及 n× s 阶矩阵 , 且 A( z) , B( z) 都可微 , ( 5 . 6)
这里需注意的是 , 由于矩阵的乘法不满足交换律 , 所以上式中乘积的顺序一般是不能交换的。 若 K 是一个常数矩阵 , 则有 d d 〔 K・ A( z) 〕 = K A( z) dz dz d d 〔 A( z) ・ K〕 =〔 A( z) 〕 ・K dz dz 这两个式子也不能交换顺序。又如 d 2 d d 〔 A ( z) 〕 = 〔 A( z) 〕 A( z) + A( z) A( z) dz dz dz ≠2A( z) 证明性质 3, 因为 d d d a〔 a ij ( u) f( z) ij f( z) 〕 = dz du dz 由此立刻得出 d d d A 〔 f( z) 〕 = A( u) f( z) dz du dz 证明性质 4, 因为 A ( z) ・ A( z) = E 所以 d -1 dA ( z) -1 d 〔 A A( z) 〕 = A( z) + A ( z) A( z) = 0 dz dz dz d -1 -1 d -1 〔 A ( z) 〕 = - A ( z)〔 A( z) 〕 A ( z) dz dz 例1 其中 x1 ( t) χ= x2 ( t) … xn ( t) 解 d T d T T d χ Aχ+ χA χ 〔 χ Aχ 〕= dt dt dt = χA
定义 5. 3
矩阵理论及其应用
a 11 ( z) A( z) = a 21 ( z) a n1 ( z) 定义 5. 4 若函 数矩阵 A( z) = ( a ij ( z) )
a 12 ( z) a 22 ( z) a n2 ( z)
… … …
a 1n ( z) a 2n ( z) a n n ( z)
x12 x22 xm2
… … …
x1 n x2 n xmn … … … a 1q ( X) a 2q ( X) a pq ( X)
而p × q 阶矩阵 A( X) 是以 X 为变元的函数矩阵 a 12 ( X) a 22 ( X) a p2 ( X)
设 X = ( xi j ) 是 m × n 阶矩阵 , A( X) 是以 X 为变元的 p × q 阶矩阵 , 则称 np × mq A( X) x21 A( X) x2 n A( X) x11 A( X) x1n a 11 ( X) x ij a p1 ( X) x ij A( X) xm1 A( X) xmn A( X) xm1 A( X) xmn a 1 q ( X) xij a pq ( X) xij
〔 a ∑ ∫ dt
k=1
n
d
ik
( t) 〕 bkj ( t) dt
∫A( t)
设有 m × n 阶矩阵
d d B( t) dt = A( t) B( t) - 〔 A( t) 〕 B( t) dt dt dt
∫
复合矩阵 A( X) 对矩阵 X 的微分法
x11 X = x21 xm1 a 11 ( X) A( X) = a 21 ( X) a p1 ( X) 现在讨论 A( X) 对 X 的微分法 定义 5. 6 阶矩阵 A( X) x11 A( X) x1 n 为函数矩阵 A( X) 对矩阵 X 的导数 , 记为
n - 1
( 5 . 8)
d B ( z) = D( z) dz j = 1, … , s
元素 ci j ( z) = 那么
∑a
k=1
ik
( z) bkj ( z)
n
i = 1, … , m
d d ci j ( z) = ∑ 〔 a i k ( z) bkj ( z) 〕 dz k = 1 dz d =∑ 〔 a i k ( z) 〕 bkj ( z) + dz k=1
ik
所以
〔 ∑a ∫
k= 1
ik n
( t)
= = 98
∫a ∑
k=1 n
( t)
d b kj ( t) dt dt d a ∫ dt
ik
∑{ a
k=1
ik
( t) bkj ( t) - 〔
( t) 〕 bkj ( t) dt}
第5章
矩阵分析及其应用
n
= 故 5.2.2
*
∑a
k=1
ik
( t) bkj ( t) -
第5章
矩阵分析及其应用
d tr( AX) = A dX
n n 1i n 2i
因为 tr( AX) =
∑a
i= 1
xi1 +
∑a
i =1
xi2 + … +
∑a
i =1
mi
xi m
x ij 所以 再由 立即有
tr( AX) = a ji
m1
( t) dt
…
mn
( t) dt
A ( t) dt =〔 A( t) dt 〕 ∫ ∫
T T
( 5 . 9)
性质 2
对函数矩阵 A( t) , B( t) 及 a , b∈ R, 有 〔 a A( t) ∫ + bB( t) 〕 dt = a A( t) dt + b B( t) dt
∫
∫
( 5. 10)
∫a ∫A( t) dt
a b a
b
11
( t) dt
…
∫a
a
b
1n
( t) dt
=
∫a
a
b
m1
( t) dt
…
∫a
a
b
mn
( t) dt
为 A( t) 在 〔 a , b〕 上的定积分 , 而
∫a
A( t) dt ∫ =
11
( t) dt
…
a ∫ a ∫
1n
( t) dt
∫a
称为 A( t) 的不定积分。 易证矩阵的积分有以下性质 : 性质 1 对任何函数 A( t) , 有
性质 3
对函数矩阵 A( t) 及常矩阵 B, C, 有 A( t) Bdt =〔 A( t) dt 〕 B ∫ ∫ CA( t) dt = ∫ C A( t) dt ∫ ( 5. 11) ( 5. 12)
性质 4
对于函数矩阵 A( t) , B( t) , 有 〔 A( t) ∫ d d B( t) 〕 dt = A( t) B( t) - 〔 A( t) 〕 B( t) dt dt dt
n n
∑a
k=1
ik
( z)
d bkj ( z) dz
96
第5章
矩阵分析及其应用
= h ij ( z) + d i j ( z) 其中 c ij ( z) , h ij ( z) , d i j ( z) 分别是函数矩阵 C( z) , H ( z) , D( z) 的元素 , 可得 d d 〔 A( z) B( z) 〕 = C ( z) dz dz = H ( z) + D( z) = d d B( z) A( z) B( z) + A( z) dz dz
其中每个元素 a i j ( z) 都是复变量函数 , 称 A( z) 为函数矩阵。
m× n
的每 个元素 a i j ( z) 都是复变 量 z 的 函数 , 且都
在 z = z0 或变量 z 的某个区域 D 上可微 , 则称此函数矩阵 A( z) 在 z = z0 或区 域 D 上是可 微的 , 并规定 A( z) 对 z 的导数为 d d A( z) = ( a i j ( z) ) dz dz d a ( z) dz 11 = d a 21 ( z) dz d a m1 ( z) dz 单元函数矩阵有以下性质 : 性质 1 若函数矩阵 A( z) , B( z) 是可微的 , 则它们的和也可微 , 且 d d d 〔 A( z) + B ( z) 〕 = A( z) + B( z) dz dz dz 性质 2 d d d 〔 A( z) B( z) 〕 =〔 A( z) 〕 B( z) + A( z)〔 B( z) 〕 dz dz dz 性质 3 设函数矩阵 A( u) = ( a ij ( u) )
∫
( 5. 13)
下面只证性质 4, 设 A( t) = ( a i j ( t) ) 则 A( t) ・ d B( t) 的 i 行 j 列元素为 dt