抛物线的焦点弦问题重要结论绝对经典.doc
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102FB FA =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162PF FB FA =。
抛物线过焦点的弦的八个结论
抛物线过焦点的弦的八个结论关于抛物线过焦点的弦，基本上我们可以得出八个结论。
首先，任何抛物线都可以用焦点和直线来描述，而这些直线就是抛物线的弦。
这些弦是由焦点和抛物线的两个端点组成的，它们可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。
其次，这些弦经常穿过抛物线上的焦点。
它们是从抛物线的端点到焦点的一条直线，这条直线是抛物线的一部分。
这通常被称为“焦点弦”，它可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当它穿过焦点时。
第三，这些弦有时也会穿过抛物线上的端点。
这可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当抛物线的两个端点在同一条直线上时。
第四，这些弦可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。
例如，如果抛物线的弦是从左到右的，那么它的焦点就会位于右侧，这意味着抛物线会向右延伸。
第五，抛物线的弦可以用来求出抛物线的长度。
这是因为弦的长度就是两个端点之间的距离，而抛物线的长度就是两个端点之间的距离。
第六，抛物线的弦可以帮助我们求出抛物线的面积。
这是因为抛物线的面积是由两个端点之间的弦组成的，而弦的面积就是这些端点之间的距离。
第七，抛物线的弦可以用来求出抛物线的切线。
这是因为弦的切线也是由两个端点之间的距离组成的，而抛物线的切线也是由两个端点之间的距离组成的。
最后，抛物线的弦还可以用来计算抛物线的曲率。
这是因为抛物线的曲率是由两个端点之间的弦组成的，而弦的曲率也是由两个端点之间的距离组成的。
总的来说，焦点弦对于理解抛物线的形状和方向至关重要，它们还可以帮助我们求出抛物线的长度、面积、切线和曲率。
因此，了解抛物线的弦可以帮助我们更好地理解抛物线的特性，从而帮助我们更好地求解抛物线的问题。
抛物线的焦点弦的性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：点A、B在抛物线准线上的射影为A1, B1,
∠ A1FB1的大小是多少？
A1
B1
结论6： ∠ A1FB1 =90
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
1 cos
1 cos
FA FB p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：若直线AB与x轴的夹角为，焦点∆AOB的面积如何用表示
结论（4）
SAOB
p2
2sin
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：以线段AB为直径的圆与准线有怎样的位置关系？ 思考：以线段AF为直径的圆与y轴有怎样的位置关系？
例1. 设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的 直线交C于A,B两点， 则（1）｜AB|=（ ）；（2）S∆AOB=（ ）。
变式：将本题中条件倾斜角30o改为|AF|=3,求S∆AOB。
1.如图，过抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A,B，交其准 线L于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4则线段AB的长为（ ）
2.已知抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于P,Q两个 不同的点，P,Q两点在抛物线的准线上的射影分别为M，N，若|MF|=4, |NF|=4, 则p=（ ）
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线是一种椭圆形的函数图形，它是由抛物线焦点弦决定的。
抛物线焦点弦是指抛物线的两个焦点和连接它们的弦段。
围绕抛物线焦点弦可以建立18个结论。
1. 两个焦点之间的距离与抛物线弦段长度相同，即它们之间的距离等于抛物线弦段的1倍。
2. 弦段连接抛物线的两个焦点，因此，任何一点的垂直距离都等于其焦点的距离。
3. 对抛物线的焦点取中对称，则其两点之间的距离一定是直线的1倍．
5. 相对于一个焦点而言，另一个焦点总是处于弦段的同一边，而且位于弦段上面。
6. 抛物线是对称的，即抛物线的对称轴是连接两个焦点的直线段。
8. 抛物线准线与切线交于抛物线的焦点。
12. 对任意点A而言，从A点向任意点B连线便构成一条直线，此直线连接A点和B 点的距离有正有负，正值表示线段到抛物线焦点的距离是它的弦段长度所乘以2倍的直线段距离，负值则表示抛物线焦点到线段的距离也是它的弦段长度乘以2倍的直线段距离。
17. 抛物线的对称轴与它的弦段垂直，因此它的弦段将对称轴分为2个相等的距离。
以上就是抛物线焦点弦的十八个结论，也是其对称性规律、准确性和完整性的总结。
抛物线焦点弦的这些结论，既给抛物线函数提供了数学化的更直观的解释，又为描述抛物线的属性提供了一定的参考依据。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
[很全]抛物线焦点弦的有关结论
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p2 .
4
综上： x1x2
p2 .
4
（2）Q x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
， y12 y2 2
p4
y1 y2
p2,
但 y1 y2 0, y1 y2 p 2
（2）另证：设
AB :
x
my
p 2
与
y2
2 px 联立，得
y2
2 pmy
p2
0,
y1 y2
y 2 2 px
t
y2
2 pay
2 pt
0
y1 y2 2 pt ②
由①②得 t p 2
AB 恒过焦点 p ,0 2
5
抛物线 y 2 2 pxp 0
成立。
，过（2p，0）的直线与之交于 A、B 两点，则 OA⊥OB。反之也
小结： （1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题 时注意对这个梯形的运用； （2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.
m
n
mn
sin y1 y2 mn
S AOB
1 m nt
2
y1 y2 1 m nt
mn 2 mn
y1 y2
而 S AOB
p2 4
n m
m n
1 2
m n
mn
p2 2
t
y1 y2
p2 2
①
l : x ay 又可设
[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案
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[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。
设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质 已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PF =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162=。
证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线焦点弦的八大结论分别是？
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2)则
|AB|=x1+x2+p
证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。
由于L 的方程是x＝-p/2，所以
|AC|=x1+p/2，|BD|=x2+p/2
根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p
扩展资料：
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。
焦点并不在准线上。
抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。
抛物线的另一个描述是
作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。
第三个描述是代数。
抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。
这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。
有关抛物线焦点弦的几个重要结论
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有关抛物线焦点弦的几个重要结论
作者：宋秉龙
来源：《考试周刊》2013年第63期
摘要：抛物线中的焦点弦问题是高考的热点问题，熟练掌握有关焦点弦的重要结论有利于解决焦点弦问题，大大节省解题时间，提高解题准确率，从而达到事半功倍的效果.
关键词：抛物线焦点弦重要结论
在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，我们把过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，弦AB叫抛物线的焦点弦.有关抛物线焦点弦问题是高考的热点问题，抛物线的焦点弦有很多重要结论，熟练掌握这些结论对解决有关焦点弦的问题大有裨益.现笔者就有关焦点弦的结论总结如下，与大家共勉.。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
抛物线焦点弦的有关结论附答案
[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB 是过抛物线y 2 =2px(p>0)的焦点F 的弦。
设A(x l9y l \ B(x 2,y 2),则:(2)=-/?：证明：如图,但v0,・・・)小=_/「(2)另证：设 AB: x = my + —与 y 2 = 2px 联立，得 y 2 一 2pmy - ]F = 0,.・. y x y 2= -]F 2知识点2：若AB 是过抛物线y 2 = 2px(p > 0)的焦点F 的弦。
设心,沁 凤乃宀)，则(1)\AB\ = Xl +x 2 + p; (2)设直线AB 的倾斜角为a,则=-证明：(1)山抛物线的定义知\AF\ = x i+^\BF\ = x 2+^\AE^ = |AF| + \BF\ = X J +X 2 + p(2)若 a = 90°，则x x =x 2 = y,由(1)知 |AB| = 2p =若a H 90",设 AB : y = k x-—，与)2=2“尤联立，得k 2 >(1)若43的斜率不存在时,若43的斜率存在时, k 1“)=2px=> k~x 2 -(A:2+ 2)/?x + L：一X --2)⑵..十盲宀二亏 ・ ・yC = P 4di =±/A设为人则AB:y = 与y 2 = 2/zv 联立，得=0X.+总=心2),...嗣| P +总+厂込也X ''「kr知识点3：若AB 是过抛物线b=2〃・Y(〃>0)的焦点F 的弦，则以A3为直径的圆与抛 物线的准线相切。
证明：过点4、B 分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为VJ•A P 目,过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为N,设以43为直径的圆的半径为「，()\卜•・・ 2r = \AB\ = \AF\ + \BF\ = \A\\ + \BB {\ = 2\MN\:.\MN\ = r.二以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =结论2：p x x AB ++=21证：p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)假设2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OABS P AB ∆∴=结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点弦经典性质
y1 x1
y1 y12
2p y1 , koB1
y2 p
2y2 p
，而 y1 y2
p2
2p
2
所以 koA
2p p2
2y2 p
koB1 所以三点共线。同理可证（2）
y2
（3）证： 直线OA : y y1 x 2 p x
x1
y1
令x p 2
，
yB1
p2 y1
X 轴，同理可证（4）
2
设直线 L 的方程为： y k(x p ) 即 x y p
2
k2
代入抛物线方程得 y2 2 p y p2 0 k
由韦达定理
y1 y2
p2, y1
y2
2p k
,
y1
y2
2p
1 1 k2
由弦长公式得 AB
1
1 k2
y1 y2
2
p(1
1 tan2
)
2p
sin2
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
y
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
DA 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
性质 7：连接 A1F、B1 F 则 A1F B1F
证明： AA1 AF,AA1F AFA1
AA1 / /OF AA1F A1FO A1FO A1FA
性质 9： 1 1 2 FA FB p
证明：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R，过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S，
高考数学抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只与两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只与两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 与04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒与421p x x = 结论2：p x x AB ++=21证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2p AB =证: (1)假设2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆ 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质与抛物线的定义知 222111ABBFAF BB AA MM =+=+= 故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM ︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+ 结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oA k p y y pp k =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点弦的有关结论含答案
抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦。
设(),,11yxA()22,yxB，则（1）4221pxx=；（2）221pyy-=证明：如图，（1）若AB的斜率不存在时，依题意,221pxx==4221pxx=∴若AB的斜率存在时，设为,k则⎭⎝⎛-=2:xkyAB()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-pkpxkxkpxpxk.4221pxx=∴综上：.4221pxx=（2）pyxpyx2,2222211==，,22142221pyypyy±=⇒=∴但22121,0pyyyy-=∴<（2）另证：设2:pmyxAB+=与pxy22=联立，得22122,02pyyppmyy-=∴=--知识点2：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦。
设(),,11yxA()22,yxB，则（1）;21pxxAB++=（2）设直线AB的倾斜角为α，则2sin2pAB=证明：（1）由抛物线的定义知,2,221pxBFpxAF+=+=pxxBFAFAB++=+=∴21（2）若,2,9021pxx===则α由（1）知α2sin22ppAB==若pxypxkyAB2,2:,9020=⎪⎭⎫⎝⎛-=≠与设α联立，得()042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-pkpxkxkpxpxk(),22221kkpxx+=+∴()222112kkppxxAB+=++=∴，而αtan=k，()ααα222sin2tantan12ppAB=+=∴知识点3：若AB是过抛物线()022>=ppxy的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明：过点BA、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11BA、过AB中点M向准线引垂线，垂足为,N设以AB为直径的圆的半径为,r.2211rMNMNBBAABFAFABr=∴=+=+==∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
抛物线焦点弦性质总结
抛物线焦点弦性质总结基本性质 已知抛物线22y px =的图像如图所示，则有以下基本结论：1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；5、112AF BF P +=；6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；10、2AB p ≥；11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00性质深究一、焦点弦与切线结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上．特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6、PA ⊥PB ．结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论102PF =结论11、PAB S ∆2min p =二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：结论12、①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13、PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14、PFB PFA ∠=∠结论15、点M 平分PQ结论162=。