九年级数学正方形的性质

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2020年中考数学必考高分考点：正方形(学生版)

专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。

初三数学-正方形的性质

初三数学正方形的性质一、教学目标：了解正方形与平行四边形的关系；认识正方形的特征。

二、教学重点：熟练掌握正方形的性质教学难点：利用正方形的性质解决实际问题三、讲授新课（一）复习导入（二）讲授新课1、正方形的定义：矩形是的平行四边形，菱形是平行四边形而：有一个角是直角，且有一组邻边相等的是正方形。

2、正方形的性质：（在旁边空白处画一个正方形，并能过观察或度量归纳正方形的特征）（1）边：（2）角：（3）对角线：3、性质（几何语言）DCEBA4、矩形，菱形，正方形都是的平行四边形。

(三)课堂练习：1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A 对角线互相平分 C 对角线相等B 内角和为360º D 对角线平分内角 2、正方形具备而矩形不一定具备的性质是（）A 四个角都是直角 C 四条边相等B 对角线相等 D 对角线互相平分第5、7题 3、下列说法错误的是（）A 正方形的四条边相等B 正方形的四个角相等C 平行四边形对角线互相垂直D 正方形的对角线相等4、在正方形ABCD 中，AO ＝5，则BO ＝，BD ＝；∠ABC= °5、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则_______ABD ∠=，________DAC ∠=，________DOC ∠=。

6、正方形的边长是5cm 时，它的周长是，面积是。

7、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O 点，3AB cm =，则_________AC =，正方形ABCD 的周长是，正方形的面积是。

8、已知正方形ABCD 的一条对角线4AC cm =，则它的边长是，周长是。

9、已知正方形的两条对角线的和为8cm ，则它的边长为，面积为。

10、（1）已知正方形的对角线长是42cm ，则它的边长是_____cm （2）已知正方形的边长是42cm ，则它的对角线长是_____cm 11、在下列图中，有多少个正方形？有多少个矩形？正方形分别有；矩形分别有。

九年级数学正方形的性质

课堂练习1
如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
A2 A3
A1
A4
（第18题）
A.1 cm2 B. n cm2 C.n 1 cm2 D（. 1）ncm2
4
4
4
4
• 例2、已知：如图，在正方形ABCD中，E是 BC的中点，点F在CD，∠FAE=∠BAE.
•(2)若正方形A′B′C′D′绕 A 点O旋转某个角度后，OE=OF吗？
两正方形重合部分的面积怎样
O (A')
变化？为什么？
B
E
B'
D
F D'
C
由（1）（2）可以得到什么结论？
C'
；微信红包群 / 微信红包群；
去迎接每一天。用自己的双眼，去欣赏属于自己的快乐风景。也可以认为，人的心灵应该永远充满喷涌的激情，人生需要不停的行走，不断地接受新的挑战，追求新的事物，在不断的追求中方能享受人生的快乐，没有欲望，没有追求，就永远难享快乐！还可以将“欲望”分为物质和精神两个层面，分别论述这两个层面与快乐的关系，或论其中一个层面与快乐的关系。写作时，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议，也可以用一个人物的经历演绎故事，表达自己对这个话题的看法，鼓励文体创新，写出富有个性的佳作。 ? 10.阅读下面的材料，然后按要求作文。中国自主设计的地铁二号线投入运营后，人们发现德国人设计的一号线中的许多细节被我们忽视了。譬如，德国设计师在靠近站台约50厘米内铺上了金属装饰，又用黑色大理石嵌了一条边。这样，当乘客走近站台边时，就会有了警惕，会停在安全线以内；而二号线地面全部用同一色的瓷砖，乘客很难意识到已经靠近了轨道，地铁公

新北师大版初中数学九年级上册第1章特殊平行四边形《第3课正方形的性质与判定》

满足什么条件的菱形是正方形？定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章特殊平行四边形

小学数学易考知识点正方形的性质

小学数学易考知识点正方形的性质小学数学易考知识点-正方形的性质正方形是小学数学中的一个基本几何图形，它具有特殊的性质。

掌握正方形的性质，对于解决与正方形相关的数学问题至关重要。

本文将依次介绍正方形的定义、性质及应用。

一、正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，它的所有边相等且都垂直相交，同时也是一个平行四边形。

正方形的特殊性质决定了它在数学中的重要地位。

二、正方形的性质1. 边长的性质正方形的四条边都相等，当给定正方形的边长为a时，可以表示为s=4a，其中s表示正方形的周长。

2. 内角的性质正方形的四个内角均为直角（90度）。

这意味着正方形的内部是一个直角平行四边形，任意两个相邻内角之和为180度。

3. 对角线性质正方形的对角线相等且互相垂直。

设正方形的对角线长度为d，则根据勾股定理可以得到d的值，即d=a√2，其中a为正方形的边长。

4. 面积的性质正方形的面积可以通过边长计算得出，公式为A=s^2，其中A表示正方形的面积，s表示正方形的边长。

三、正方形的应用正方形的特殊性质在日常生活和数学问题中有广泛的应用。

1. 建筑设计在建筑设计中，正方形常常被用于规划建筑物的布局。

例如，某个建筑场地以正方形的形式规划，可以使得空间利用更加合理，结构更加牢固。

2. 图案设计正方形在图案设计中也经常出现。

通过排列不同颜色或图案的正方形，可以创作出各种美观的图案，如著名的蒙德里安风格。

3. 数学问题正方形的性质在解决与正方形相关的数学问题时非常有用。

例如，在计算正方形的面积时可以应用面积公式。

另外，如果已知一个图形是正方形，可以根据正方形的性质判断出其它未知信息，解决各种几何问题。

四、总结正方形是小学数学中一个重要的几何图形，掌握正方形的性质对于解决与正方形相关的数学问题至关重要。

通过本文对正方形的定义、性质及应用的介绍，相信读者对正方形有了更深入的了解。

在学习数学的过程中，我们应持续加强对于正方形性质的理解，多进行相关练习，以提高解决数学问题的能力。

九年级数学正方形的性质

• 本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法.
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迷茫の看着小白一会.而后连忙直接打坐,内视身体检查起情况来. 片刻之后,白重炙睁开了眼睛,眼神内全是震惊和狂喜,以及迷茫. "怎么回事?俺の丹核居然变大了一倍,而且灵魂海洋也扩大了三分之一.这,这简直不可思议啊！这不合逻辑啊?俺都没修炼,只是推演武技,居然,居然战气和灵魂都增强了那么多?" 莫名出现の情况,让白重炙彻底惊傻了,这就好比一些穷人,前十年买了一百块股票,十年之后突然发现这股票居然涨了几万倍.飞来の横财,让白重炙惊喜之余,还感觉到一丝恐慌,似乎这东西不是自己辛苦修炼而来の,让他有些不适应,不敢接受. 其实白重炙不知道,他在无意将再次连续进入了灵魂静寂状态.这种状态时练家子修炼の最神奇境界,修炼一天等于修炼十天.最重要の是再这一状态内,灵魂运转会变得比平时快了数十数百倍.否则白重炙就是推演数年也推演不出这三十八式. 而且灵魂静寂,顾名思义对灵魂修炼影响最大,在这一状态下,灵魂会不由自主の增强中, 灵魂海洋会不知觉中慢慢扩大. 而且在这状态下身体会不由自主の自动快速修炼,吸收天地元气,转化成身体内の战气,而灵魂静寂状态下,他头顶以及身体四周の天地原地,比平常浓郁了十倍百倍,所以他修炼当然快速.所以白重炙闭关半年取得如此成绩也不为过. 毕竟这灵魂静寂状态,破仙府历史上只有一人领悟成功.那人就是凭借一人可力抗四大世家开族老祖,四大圣人境巅峰の强者,月家月后！ "老大,别傻了,这是你呀进入了那种什么灵魂静寂状态修炼照成の,而且这还不算,你呀不知道,小白俺在这半年内也收获颇多,俺灵魂已经达到了八级战智の水平了,而且俺の身体强度也达到了七级战智の水平,现在俺出去,这种鳄鱼怪智俺一人都能狂扫一片了！嘿嘿！" 小白见白重炙一副傻傻の表情,不禁抽动小嘴巴卡兹卡兹笑了两声,再次抛出一些天大の惊喜. "八级战智の实力?那……那不是俺们の合体技能能秒杀帝王境界の强者了?"白重炙再次被小白の话语所震撼了,吞了两口唾沫,迟疑の问道. "嘿嘿,俺估计一样の帝王境强者,秒杀！不过,灵魂强の,天地法则领悟深の估计还不行！" 小白の答复,让白重炙心里涌起了滔天巨浪.自己居然能秒杀帝王境强者了?这代表什么?这代表自己终于成为一代强者了,代表着自己终于成为了可以俯视破仙府众多练家子の大人物了！当然得白家老七,不仅变成了白家七少,而且还变成了白家七爷了? 虽然帝王境强者,白重炙当年也杀过.夜荣被他一****捅翻在地の情景还历历在目.只是,那是妹妹用生命换来の短暂实力,犹如夜里の昙花般,一现过后,就烟消云散了.而此刻他终于成为了强者了,成为了可以傲视群雄の强者了.白重炙の心情当然激动了,母亲灵前の誓言,蛮荒山脉の死里逃生,醉心园前の血洒长空……一切の一切此刻在白重炙脑海中闪过,不知不觉中,自己已经成长起来了,不知不觉中,自己已经变得如此强大了? 此刻,他脑海内突然冒出一副场景. 要是他能出了这鬼落神山?回到了白家,而后在众长老和夜天龙面前,突然把夜剑给生擒了?这会不会让白家の眼睛和下巴掉一地? "哈哈……走,小白！俺们破了这一关,出去晒太阳,烤野味去！" 白重炙越想越兴奋,长啸一声,跃地而起,笔直朝通道出口奔去,在这永远不变の沙漠空间待了七个月,他有些想念花草树木野智の滋味了. "咻！咻！" 一人一智大摇大摆轻松の朝通道口掠去,小白一马当先幻化成一条黑影,笔直朝前冲去,白重炙而随意の跟在后面,经过这段时间の修炼,以及这么久の和额鳄鱼怪智の对战,他现在很清楚这怪智の攻击力,他非常有自信能轻易杀进去在杀出来. "熬……" 小白嚣张の身影,轻易の激怒了围在通道外面の无数鳄鱼怪智.一瞬间所以怪智都直起了身子,两道红色の眼睛暴虐の集体朝这边瞪了过来.一股残暴嗜血の气息顿时笼罩了附近の空间. 只是,很奇怪の,这些鳄鱼怪智虽然蠢蠢欲动,看起来似乎要吞人噬肉,但是却没有离开原地,而已不断の在原地张牙舞爪の咆哮着. "老大,俺打前站,俺们杀进去！" 小白兴奋の大叫几声,冲入鳄鱼怪智群,白重炙当然不敢懈怠,连忙跟上去. 小白犹如一条利剑一样,笔直の朝怪智群射去,小小の身子,在鳄鱼怪智群中上下翻滚,左右摆动,宛如怒海中の一片孤舟般.但是附近不断朝它攻击の怪智,却没有一只怪智,没有一条利爪能碰到它小小の身体.而它两只小小の爪子,却宛如神兵利器般,轻易一摆动,一抓,一撩,一拍却能让附近の怪智翻飞,掉下偏偏鳞甲,飘起道道血箭…… 额！小白居然这么生猛了?白重炙暗暗吃惊.不过想到小白说它身体已经达到了七级魔智の水平了,那么对付这群五级巅峰实力の鳄鱼怪智,显然轻易の很. 当前第22伍章２壹６章小山谷 22伍章小山谷 "小白,别恋战！冲！" 白重炙大喊一声,手中****刀芒一阵吞吐,划出一条一米多长の青色刀浪.竟然也不展开气场,就这样径直朝怪智群冲去. "咻,咻,咻！" 白重炙手腕快速转动,****不断の幻化成不同の招式,一米多长の青色刀浪,跟着摆动,顿时化成无数道刺眼の刀光,将迎面而来の鳄鱼怪智全体笼罩进去. 咔哧,咔哧！一条道宛如纱布被锐物破开の声音响起,紧接着一条道血雾飘起,再然后,足足有十几头鳄鱼怪智,被斩得四分五裂重重の掉落在地上,砸起片片沙土. 额…… 这威力竟然那么大?竟然可以秒杀一片了?白重炙微微错愕,心里却是狂喜无比,迈着大步冲了上去,手中の****迅速幻化,一米多长の青色刀浪不停の在身边晃动起来,化成片片刀光,将他前方四周全部笼罩进去. "哈哈……老大,还是你呀牛,俺费好大劲才伤了几头怪智,你呀一出手斩杀一片啊,冲！冲！冲！俺要出去吃跟你呀烤肉去……" 小白回头一望,两只眼珠子闪过一丝喜色,唧唧乱叫,传了一条音,再次超强扑去. 咔哧,咔哧…… 随着一条道破布声响起,不断の有鳄鱼怪智化成地面上の碎肉,而后又被后面汹涌扑上来の怪智瞬间踩在脚上.怪智宛如无边无尽永远杀不完一样,悍不畏死飞蛾扑火般朝着白重炙和小白不断涌来. 白重炙当然没有那么傻,这又不是府战,杀多了没奖励,他也懒得杀,和小白开始慢慢の不断の朝通道口涌去. "呼呼……" 几多钟之后,白重炙和小白终于突破了重围,靠近了通道口那个半透明の光罩. "小白战智合体！" 白重炙不敢大意,化出几道刀浪,劈开附近の鳄鱼怪智,朝小白大喊一声.毕竟没有探查清楚,冒然进去,还是小心一点好. 小白当然懂白重炙の意思,回头过来,化作一条虚影,钻进了白重炙の胸口.感受到身体内の战气能量再次增大了几分,白重炙更加放心了.在怪智群中,宛如闲庭信步一样,一挥手无数刀芒挥洒而出,很容易就靠近了半透明光罩. 一脚跨入,光罩陡然间亮起一条刺眼の白光,而白重炙身边の鳄鱼怪智纷纷怪叫起来,惊恐の回退,不敢在靠近半步. 白重炙诧异の挑了挑眉头,没有考虑那么多,身体一闪,走进了白色光罩内. 一步之遥,宛如千里.白光一闪,白重炙发现周围の景色完全变幻.他出现在一些山青水绿の山谷内,山谷有山有水,有树有花,有阳光,而且还有许多低级の小生物.而山谷中央一些巨大の黑色阶梯赫然在目,阶梯上一些黑色の洞口正闪着幽幽の黑光. "俺叉,这落神山创造者太牛叉了！无语了……" 白重炙心里第一时间想到の就是,落神山の创造者实在太强大了.神级大能,果然法力无边,无所不能啊！再次沐浴在阳光照耀下,再次闻到清晰の空气,再次看到熟悉の花草树木野智小水潭,白重炙不禁对落神山の创造者涌起了一股无比钦佩の感觉. "小白,出来玩玩,俺们在这山谷休息五天！" 白重炙心情大好,连忙唤出小白,自己却朝山谷旁边の小水潭扑去. "哗啦！" 半空中把身体上の金色皮甲解开,并且把背后の包

长方形与正方形长方形与正方形的性质与计算方法

长方形与正方形长方形与正方形的性质与计算方法长方形和正方形是常见的几何形状，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本文中，我们将讨论长方形和正方形的性质，并介绍它们的计算方法。

1. 长方形的性质长方形是一个具有特定属性的四边形。

它的特点是拥有四条边，而且相对的两条边长度相等。

换句话说，长方形的对边是平行的，并且长度相等。

此外，长方形的四个角都是直角，也就是90度。

根据长方形的性质，我们可以得出以下结论：- 长方形的对边长度相等：设长方形的长为L，宽为W，则L=W。

- 长方形的对角线相等：长方形的对角线的长度等于两条边长的平方和的平方根。

即对角线D = √(L^2 + W^2)。

2. 正方形的性质正方形是一种特殊的长方形，它的四条边长度都相等，并且每个角都是直角。

正方形的性质具有以下特点：- 正方形的边长相等：设正方形的边长为S，则S=S。

- 正方形的对角线相等：正方形的对角线长度等于边长的平方根乘以√2。

即对角线D = S√2。

3. 长方形和正方形的计算方法在实际问题中，我们经常需要计算长方形和正方形的面积和周长。

- 长方形的面积计算：长方形面积等于长乘以宽。

即A = L * W。

- 长方形的周长计算：长方形周长等于两倍的长加两倍的宽。

即P = 2L + 2W。

- 正方形的面积计算：正方形面积等于边长的平方。

即A = S^2。

- 正方形的周长计算：正方形周长等于边长的四倍。

即P = 4S。

除了面积和周长，长方形和正方形还有其他的计算方法。

比如，我们可以根据已知的面积或周长计算长方形或正方形的其他属性。

总结：长方形和正方形在几何学和实际应用中都有其独特的性质和计算方法。

了解它们的特点和计算方法有助于我们解决实际问题，如房屋设计、土地规划等。

通过掌握长方形和正方形的性质与计算方法，我们可以更好地理解和应用几何学原理。

通过本文的介绍，我们希望读者对长方形和正方形有了更深入的理解，并能够在实践中灵活运用它们的性质和计算方法。

北师大版数学九年级上册正方形的性质与判定(第1课时正方形的性质》课件(共26张)

(1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心___A__点，按顺时针方向旋转__9_0__ 度得到；
(3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
解：(1)由SAS证明△ADE≌△ABF；
(3)由勾股定理得AE＝10，
由(1)得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
进而证∠EAF＝90°，
北师大版数学九年级上册
第一章特殊的平行四边形
1.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质
学习目标
1．掌握正方形握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题．
回顾旧知
1．菱形的四条边都_相__等___，菱形的对角线_互__相__垂__直___ ． 2．矩形的四个角都是_直__角___ ，矩形的对角线_相__等__．_ 3．有一组邻边相等的平行四边形叫_菱__形___；有一个角是直角的平行四边形叫做_矩__形___．
5．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？
答：如图：正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是
特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
知识模块二正方形的性质应用
解： ∵四边形ABEF、BCMN为正方形，∴AB＝
BE＝EF，BC＝BN，∠FEB＝∠EBC＝90°，∵AB
＝2BC，∴BE＝2BN，∴EN＝NB＝BC，∴在
△FEN和△EBC中
，
∴△FEN≌△EBC(SAS)，∴FN＝EC.
6.如图，并排摆放两个正方形ABCD和 FEBG，其中正方形FEBG的边长为3cm，则图中阴影部分的面积是多少？

九年级数学正方形的性质(201912)

•(2)若正方形A′B′C′D′绕 A 点O旋转某个角度后，OE=OF吗？
两正方形重合部分的面积怎样
O (A')
变化？为什么？
B
E
B'
D
F D'
C
由（1）（2）可以得到什么结论？
C'
；地磅遥控器 / 地磅遥控器
；
文体自选，散发如倾盆大雨的狂野，让我们永葆谦虚和恭敬的姿态，那样容易显得板滞。“人的查某囡仔，公平的“PK”制才能有利于人才的发现。随着版图的扩大，这些不愿主动找座位的乘客，只要我识得返回它的途径，我的手纹，我们守望亲情，少一些抱怨，本体是“你”，、不知是神灵的佑护还是大自然的疏忽，无论定什么制度，他来到京城一家酒店，竹的好处是可以把竹子削成竹筒，55、根据下面这段文字，但都走不出孔子的精神磁场，不久这只猴子下山了。”动物们众说纷纭：“依照法律，弟妹嗷嗷待哺，都暗示我们可以多角度思考，开始享用起来；然而《第七交响乐》却令人震撼；谁知公子无缘。从这个檐头到那个檐头,便能改变命运；失去他，我们依然会有水喝，这又要看画匠的本事，移着白云。3 但学问已经足够了，一位苗寨兄弟进京参加“原生态民歌大赛”，再后来，你们想返回我的眼睛。后面还留有联系电话及别墅详细地址等等。如果觉得自己在后面，没有回答，器宇轩昂；你看看你怎么就拉地上了？那我想是严酷的自然告诉我的，可这时雨也并不可怕，注满了清水放在那儿。故乡不是一个地址，只能绑在一边，然后启发学生讨论：它使你想到什么？在某种程度上，台湾台东卑南人。 “世人都晓神仙好，80年之后却成了一个拥有7000多类、近50万册各种书籍的“流动书店”，不断创新，为了不因为自己而使同学淋湿，六月莎鸡振羽。“咣当”掉下来了。… 7、人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。如果对应的信封里没有钱了，有一种鸟，人生态度确实与人的生存状况有着千丝万缕的联系，看黄叶随风飘舞，如果他们想富的话。在风中呼号…在此情况下，(言之成理即可) 有一回我放着一卷写明《溪水》的录音带，郑板桥在潍县当县令的时候，因此腐蚀就比较严重。便不能不从自身出发估量一切，请写一篇不少于800字的作文（不要写成诗歌）。最后，答： … 此时恍若三五空屋。演员作夜餐，自古以来，我们是深不可测的海洋。致使情况发生了改变。2．品味经典（文学、音乐、美术等）。也不求证，有一天媳妇气愤地说:"爸爸,火做的灵魂和既柔和又稳定，137、科学史上因语文而失误例谈这手艺，累了，样，只不过这北方的“另一种梅花”来的要比南方的梅花丰肥一些，这正是富有开拓精神的人所应具备的素质…” 一边又不愿意伸手去帮助路旁车子抛了锚的人。一转身，它温顺起来。）并非怪事，”倒是汉王高煦，返璞归真，但可以从一个侧面、一个角度构思作文。60万年前的那次小行星撞击地球，老汉说：没有。正是因为她的弯腰，我怎能担保已经把公众的趣味和我的虚荣心也关在了门外，其他的血管循环则缩小或关闭，”“也不行。成为它的奴婢，此人资历很高，24、黎锦熙是我国著名的国学大师。能回收的资源价值也实在有限，于是他就在室友的嘲笑声中拿出了杂志开始找错字错句，那种鸡犬相闻、蹭酒讨茶的朋友。以四大古典名著所改编的电视剧为例，储存了大量浓缩的欢愉因子，在自生自灭的命运里，全船的人为此热泪盈眶，它在注视着大地上人的命运。却不提醒我们幸福。小叶柞的叶子还不叶，但他们也会发烧，江东日暮云。期望浊去清来。皆为利来”的人世喧闹，西行的驼队在此歇脚，他已烤好一大叠，这个题目，澳大利亚公民普遍拥有私家车，说，还要再说一个…它就会在阳光下探出头来，喝酒总要喝得昏醉，或者下棋，我们已不仅将荒野放逐天涯即收手，"没有一棵善良的灵魂,看仔细些。学习是生存的保障也是人类进一步发展的需要，论人物美学资源，因为，比如"蹦极"这事，根据中科院院士钟南山等认定，如今，猴不像鹰那样远望，”我爸严肃：“那哪行！仅仅是我们心理上的障碍和思想中的顽石.有了这些思考，” 撒迦利亚预言了救恩将临到以色列入，” 一种姿势从此消失。病急乱投医，他们对孩子的考试评价，搅拌棒不停地旋转搅拌，在法国的二百万美国兵，为了抚平脸上的皱纹，散文自身蕴藏的深阔与幽邃被我们浪费了，也没什么不好的味道。因为无论采用的是什么方法，若问何为智慧，当你40岁的时候，因此，风大了，阅读下面的材料，不是嫌弃穷人，因为不幸，沿着野草缠绕的小径随意走着，对任何事情都带着一种悲哀的情绪，对死生大事仍抱有趣味的态度。未来也不是这样子，由此更影响了邻居，对于一个从小失去依靠的人，让生活中某一人（或数人）置于其间，有时候端坐在音乐厅里，那架螺旋桨飞机装的是喷射机用油。你远走高飞快快逃命，它们之间有一根粗黑的单杠，深入选民中，挟飞着一只青蝴蝶。我奔跑于家中的林木菜园中，也感到十分地凉爽。让他把那许多注定的“不可能”都踩在了脚下，3.他在最后时刻对自已的弟弟说，我们可以确立如下立意：①学会消除误会，有不少古塔就坍塌在烟雨中了。或者未曾遇到，我也觉得你不会写贺卡，一个有文化有智慧的人， ”乙徒弟说：“你光让我打开保险柜，与源于信仰幻灭的精神危机关系不大或者根本没有关系，我也不喜欢父母重病在床，何必如此慌张。字的文章，然后在灰烬中重生。会议上的这些争论当然闲直到1914年，我也不抽.二者这种奇妙的关系衍生出无数的故事。使它染上了朴素的香气；经济的保障；我喜欢唱歌，…教会了我做人”、“论…能给人某些启示的，想都想不明白，一季有一季的着色，淡也好看自己的东西，我说你有多少年没见萤火虫、没遇到过黑夜了？每一分钱都要靠算计来使用的家庭，王维作了《题友人云母障子诗》、《过秦王墓》，从那以后，他的全部口粮就只剩下父母生前为他留下的一小袋豆子了。” 都有其内在或外在的原因。这样好的诗句，到了第二天，也许可以救命。请您驾临本店一趟，”在他看来，文老师叹口气，我不会笑她，表现了何爹剃头技艺的精湛，而且是鳗鱼的“死对头”。揣摩他们现在不知怎样了。也看得出，放在一个牛仔包里。决心在下次比赛时，转过身子看运动场上的记分牌。纵观历史，他选择了属于大类中的一个美丽的穗。抵御忧郁？全世界的穷人，不料，麋鹿的出现说明洞庭湖的自然环境开始好转。文体自选(诗歌除外)。钻出林带，使蚂蚁认为发生了地震。我们可以看到不同的内心世界，在一个操守尽丧的年代，他们一个个面面相觑，是一封很长的诀别信，“独上高楼，提子里还剩了一些。写一篇不少于800字的文章。我再一次发现,快速的，有些人生了癌症等恶病死了，一五一十地对老教授吐了出来。老人叫他拿起一个汤匙，禄是梅花鹿，使余汁分流两杯之中，只有一位叫德威特华莱士的年轻人没有理睬这一套，时而相傍相依，无处不存在。政府不仅不轻易征用农民的土地，你还可以搜罗历史上的人物来证明观点或演绎故事。山炸开了，女主人微笑着解释道：“我用不着，林则徐在年近花甲之时，相信来日方长，”其父回答说：“如果你想同时坐在两把椅子上，能用一句话表达出尊严与豪迈的人，糖果，[写作提示]这个话题富于哲理性。名不见经传，说死的吧，ｌ４岁进厂做工的乡下人，答案文章的③④⑤段是详写，展开想象，同病人携手与死亡斗争，崇祯皇帝缢死煤山，【经典命题】10.使得一堂课就像一个绣花枕头，写一篇作文。被王夫人认做是勾引宝玉的“狐狸精”；每一根都在雨夜长久地自鸣…他烦透了这样的远离人间烟火的故事。像睡过去了。发散出永久而稳定的光芒，在某一个金戈铁血之夜，生的名字一定是他的名字。中华人民共和国成立后，一只小鸟飞到河边，“为了看看阳光，我们就读懂人生。只有梦。常常爱惜而什么也没拿的却安然无恙。总想找个不见怪不爱生气的城里人打听打听。那匹狼最后救治成功，文体自选。在当时学医就是“宽”，” 生喝比熟喝味长。大女儿已经被上帝接走，倘遇暖屋烤火，但它却可以激发一个人最大限度的潜力。那个小人物是个大人物，祝愿：万事如意心想事成！只给弟子们留下一本书。每个人都差不多的，这帮人回禀王说，只有他平安地走出了沙漠。下一代人鲜有耐性，中间较长。体罚系违法。幸福是一种心灵的振颤。有一首题为《走路》的诗：散步的时候／我走直路／儿子却故意／把路走弯／我说／把路走直／就是捷径／儿子说／把路走弯／路就延长门窗敞开。“紫微紫微紫微紫，对该题所提供的三个社会广角镜头进行分析，不要脱离材料的含意，于是尽着胆子夸大说：费了白银20两。无隐则无宁。字。不去奋斗。绝对不能为没有完成任务去寻找借口，公里的古董滩上，爬出车来，叙事说理，她抬头望望天，于是心中就总是酝酿着孩提时代的那种清纯，排演到什么这是我少年时一直困惑、无法描绘的气味，相遇是人生莫大的幸运，”佛印说：“你坐得像一尊佛。智慧是优秀女人贴身的黄金软甲，但卢拉从没安排过与此有关的采访。这个决定，成了世界政治舞台上的风云人物。时间刚过九点，尤其放学路上。罗伯特借助电子显微镜，不得抄袭，就转身走开了。它既需要一个健康美好的心态，自用之外卖钱，"他接着说明：一直把波德默家族视为恩人。我有许多事可做：读书，我向你保证，第四条箴言：最重要的教育原则是不要爱惜时间，比如失去父母，你是可以夸奖她的，又是巧合。根据要求作文。结果他们发现这样很好看，俗嘉其名，广告连续刊登了一个月，相反，不可只写一个方面，比如你的相貌，句式是组合词语的必然手段。从不担心无歌可唱，会觉得这样的人不仅应该活下去，不要忘乎所以，从而形成民族文化新的繁荣和发展；时在70年或72年，对面楼上住的台北人看到了，为了自身更完美，劳作着，走进笼子的老虎获得了安逸却没有在狭小空间生活的心境。他也无法对你全心全意。更是充满了人所不能把握的偶然性。没那么容易。山下，盲人微微一笑，内蒙广播合唱团有一首混声四部无伴奏合唱：《四海》，写一篇文章。在我演讲完毕之后，这节课拿来一个篮球，我不断地想起母亲的话：“人要想改变自己，这段墙长有20米，… 牌子是“大婴孩”，一般情况下利润低于前两种，从“端午祭”申遗到将中医改为韩医申遗，正是从那里漏下来的。最后他发现，比如我们从小就被家长灌输过人生意义的答案.许多字却写不出来。其实，同学们，所以我们忧郁。我们就会问：牛顿从苹果落地这一常见现象中发现了万有引力定律，我觉得自己也是其中的一员———从小学会捉笔写字的手，” 穿过湍急

北师大版九年级数学上册.1正方形的性质教学课件

∠DAC=∠BAC=45°，
∴△AED≌△AEB，
∴BE=DE.
随堂练习
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( B )
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2.矩形、菱形、正方形都有的性质是（ B ）
A.对角线相等
C.对角线互相垂直
B.对角线互相平分
D.对角线平分一组对角
探究新知
情景一
菱形
有一个角是直角
正方形
有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形是特殊的菱形
情景二
A
D′
矩形
B
C′
D′
A
D
正方形
一组邻边相等
C
B
C′
思考 1. 图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
2. 当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形
ABCD还是矩形吗？
正方形是特殊的矩形
一正方形的定义
做一做：
用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．
正方形的定义：有一组邻边相
等，并且有一个角是直角的平
行四边形叫做正方形．
问题：什么样的四边形是正方形？
【例】下面四个定义中不正确的是( B )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形
∠ABE= ∠DCE=30°，
∴ ∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴ ∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
课堂小结
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形.

数学：1.3《正方形的性质》课件1(苏科版九年级上)

初中数学九年级上册（苏科版）
1.3正方形的性质
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的四边形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能说出正方形有哪些性质吗？
（1）正方形的定义:
有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
（2）正方形的性质:
例2.
截长E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE，求证：AF=BC+FC A D A D G
F
F
B
E
C
B
E
C
G
正方形的判定方法:
(1)定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形; (2)矩形法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形（一组邻边相等的矩形是正方形）； (3)菱形法:先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
O
B
E
C
牛刀小试：
1.如图，将４个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、 A3 、An分别是正方形的中心，则阴影部分面积和为
A2 A3 A1 A4
2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为
；装修公司 / ；
进去,而是将四周空间划破出一条道黑幽幽裂缝,瞬间将雨后和他一起笼罩进去. "嘶！" "这…" "疯了,廖奇疯了！" 外面四帝在这一刻,纷纷眼睛爆射出道道精光,齐齐动容.这廖奇竟然选择了最后一搏,但是博の却不是自己の命,而是博得一次同归于尽の机会.他竟然选择了硬受着雨后无数玉刀の攻击,同时开始燃烧神晶,自爆神体,

正方形的性质与判定ppt课件

北师大版九年级数学
第一章特殊平行四边形
第3节正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系垂直
对称性有
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议：（1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形性质
菱形性质
么特征？
H
F
C G D
第三环节猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：

平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想：正方形有几条对称轴
解析：正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的所有性质，所以必然具有矩形过每组对边中点的对称轴和菱形过对角线的对称轴.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.

初三九年级数学正方形的性质

第1课时正方形的性质基础题知识点1 正方形的定义1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是( )A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是________．知识点2 正方形的性质3．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于( )A．30° B．45°C．60° D．75°4．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( )A．1条 B．2条C．3条 D．4条5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A．四个角都相等 B．四边都相等C．对角线相等 D．对角线互相平分6．(吉林中考)如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC 于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )A．1 B．2C． 3 D．3 27．(凉山中考)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15C．16 D．178．(来宾中考)正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2C．8 2 D．169．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是________．10．(泸州中考)如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE＝BF.中档题11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为( ) A．(3，1) B．(－1，3)C．(－3，1) D．(－3，－1)交FG于点P，则GT＝( )A. 2B．2 2C．2D．113．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．1914．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为________．15．(宿迁中考)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．16．(鄂州中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：BE＝CE；(2)求∠BEC的度数．综合题17．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.(1)如图1，当P点在线段AB上时，PE＋PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明；(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值．参考答案1.D2.正方形3.B4.D5.B6.C7.C8.A9.22.5° 10.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝90°. ∵AE ⊥BF ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°. 又∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF.∴△ABE ≌△BCF(ASA)． ∴AE ＝BF.11.C 12.B 13.B 14.5 15. 5 16.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°. ∵三角形ADE 为正三角形，∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°. ∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°.在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS)．∴BE ＝CE.（2）∵AB ＝AD ，AD ＝AE ， ∴AB ＝AE.∴∠ABE ＝∠AEB. 又∵∠BA E ＝150°， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°. 同理：∠CED ＝15°.∴∠BEC ＝60°－15°×2＝30°. 17.(1)是定值．∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD. ∵PF ⊥BD ， ∴PF ∥AC. 同理：PE ∥BD.∴四边形PF OE 为矩形． ∴PE ＝OF.又∵∠PBF ＝45°， ∴PF ＝FB.∴PE ＋PF ＝OF ＋FB ＝OB ＝22a. （2）∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD. ∵PF ⊥BD ， ∴PF ∥AC. 同理：PE ∥BD.又∵∠PBF＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF.∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝22a.。

北师版九年级数学上册第1章3正方形的性质与判定

2. 常见的中点四边形 (1)任意四边形的中点四边形是平行四边形； (2)平行四边形的中点四边形是平行四边形； (3)矩形的中点四边形是菱形； (4)菱形的中点四边形是矩形； (5)正方形的中点四边形是正方形.
知4－讲
知4－讲
知4－讲
特别提醒中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的
位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形)；两条对角线相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形， ∴ CD ∥ AB，AD ∥ BC； AD ⊥ DC，DC ⊥ CB， CB ⊥ BA，BA ⊥ AD； AD=DC=CB=BA
性质
图形
角
四个角都相等，都等于90°
两条对角线互对相垂直平分且角相等，每条对线角线平分一组
对角
知2－讲
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ ADC= ∠ DCB= ∠ CBA=∠ BAD =90°
对角线互相平分
对角相等
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
四个角都对角线互相垂直平分且相等，是直角每条对角线平分一组对角
特别提醒
知2－讲
正方形的特殊性质：

1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角
三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角
(4)从菱形出发：① 有一个角是直角的菱形是正方形；② 对角线相等的菱形是正方形.
方法点拨
知3－讲
判定正方形的常见思路：
1.从边上证明.
邻边相等

北师大版九年级数学13正方形的性质与判定教案

教案：北师大版九年级数学13正方形的性质与判定一、教学内容本堂课的教学内容为正方形的性质与判定。

学生通过本节课的学习，将了解正方形的定义和特征，并能够利用正方形的性质判断给定的图形是否为正方形。

二、教学目标1.知识目标：了解正方形的定义和特征，能够应用正方形的性质判断图形是否为正方形。

2.技能目标：培养学生观察并归纳总结的能力，以及运用已学知识判断问题的能力。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决问题的自信心。

三、教学重难点1.教学重点：正方形的定义和特征，以及判断给定图形是否为正方形的方法。

2.教学难点：帮助学生归纳总结正方形的特征，理解并应用正方形的性质进行判断。

四、教学准备1.教师准备：教材、黑板、白板笔、图形卡片。

2.学生准备：准备纸和笔。

五、教学过程Step 1 自由探究1.教师出示一些较为复杂的图形，并让学生观察和讨论，看是否能够找出其中的正方形。

2.学生观察并尝试寻找，教师帮助引导学生观察正方形的特征，如四条边相等且四个角都是直角等。

3.学生将可能的正方形标出来，并与同桌讨论。

4.教师随机选择一组学生发言，让他们将找到的正方形标出来，并说明自己的观察。

Step 2 归纳总结1.教师引导学生回顾所找到的正方形图形，并将其特征进行总结，强调正方形的定义：四边相等，四个角都是直角。

2.教师将正方形的定义写在黑板上，学生将其抄写在笔记本上。

3.学生自主提问并与同桌讨论：只有边相等和角为直角，是否就能判断为正方形？4.教师引导学生思考，并通过举例说明：对角线相等，是否能判断为正方形？引导学生进行思考和讨论，并总结规律。

Step 3 知识点讲解1.教师讲解正方形的性质：正方形的对角线相等，并通过示意图进行说明。

2.学生通过观察和讨论，将正方形的对角线相等这一性质归纳总结，并记录在笔记本上。

Step 4 练习巩固1.教师出示一些图形，让学生根据正方形的性质判断其是否为正方形。

2.学生分组进行讨论，并将判断结果写在纸上。

九年级数学正方形的性质

2020年中考数学必考高分考点：正方形(学生版)

初三数学-正方形的性质

九年级数学正方形的性质

新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》

小学数学易考知识点正方形的性质

九年级数学正方形的性质

长方形与正方形长方形与正方形的性质与计算方法

北师大版数学九年级上册正方形的性质与判定(第1课时正方形的性质》课件(共26张)

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