武大计院组合数学PPT第3章容斥原理和鸽巢原理
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组合数学-鸽巢原理讲义课件
超鸽巢原理
总结词
超鸽巢原理是鸽巢原理的一种扩展，它考虑 了多于两种元素的情况。
详细描述
超鸽巢原理是在鸽巢原理的基础上，进一步 推广到多于两种元素的情况。它涉及到多个 元素和多个鸽巢之间的关系，并用于解决一 些更为复杂的问题。超鸽巢原理的应用范围 广泛，包括组合计数、图论等领域。
鸽巢原理的变体
总结词
鸽巢原理与其他数学原理的结合
总结词
将鸽巢原理与其他数学原理结合使用，可以 产生更强大的理论工具。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
鸽巢原理是组合数学中的重要原理，但它的 应用范围有限。为了解决更复杂的问题，一 些数学家尝试将鸽巢原理与其他数学原理结 合使用。这种结合可以产生更强大的理论工 具，能够解决一些单独使用鸽巢原理无法解 决的问题。通过与其他数学原理的结合，鸽
鸽巢原理证明中的注意事项
在证明过程中，需要注意鸽巢原理的适用条件，即每个鸽 巢中的物体数量必须相同。如果每个鸽巢中的物体数量不 同，那么鸽巢原理就不适用。
另外，在证明过程中还需要注意逻辑推理的严密性，确保 每一步推理都是正确的，没有出现逻辑错误或遗漏。同时 ，还需要注意数学符号和公式的正确使用，以确保证明的 准确性和可读性。
鸽巢原理的变体是对原原理的某种修改或扩展，以适应特定的问题或情境。
详细描述
随着数学的发展，人们发现鸽巢原理在某些情况下可能并不适用，或者需要对它进行一 些修改以更好地解决问题。因此，一些数学家提出了鸽巢原理的变体。这些变体可能涉
及到对原原理的修改、扩展或与其他数学原理的结合，以适应更广泛的问题和情境。
02
在数学中，鸽巢原理常用于证明 一些组合数学和数论中的问题， 如整数分拆、集合的划分等。
鸽巢原理的适用范围
组合数学课件-第三章第四节鸽巢原理
分是36分，那么比赛中平局的场数共有多少场？
02
题目2
一个袋子里有大小形状相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球10个，
黄球9个，白球8个，某人闭着眼睛从中最少取出多少个球，才能保证4
个同色的球．
03
题目3
有10支足球队进行单循环赛，每个队都恰好与其他队各比赛一场，胜者
得3分，负者得0分，平局两队各的1分。比赛结束后，全部球队的总积
这个原理可以用数学语言表示为：如果 (n > m)，且 (n) 个物体放入 (m) 个容器中，那么至少有一个容器包含 (lceil frac{n}{m} rceil) 个 或更多的物体。
鸽巢原理的简单应用
分配问题
鸽巢原理可以用于解决分配问题，例如将 n 个不同的数分配到 m 个不同的区间中，使得每个区间至少有一个数。
量子力学
在量子力学中，鸽巢原理可以 用于描述量子系统的状态和演 化。
统计力学
在统计力学中算机模拟
在计算机模拟中，鸽巢原理可 以用于模拟物理系统的行为和 性质。
04
鸽巢原理的扩展和推广
鸽巢原理的推广形式
01
02
03
推广到无限集合
在无限集合中，如果每个 元素都有有限个“巢穴”， 则至少有一个“巢穴”包 含无限多个元素。
抽屉原理
鸽巢原理也可以用于解决抽屉原理问题，例如在 n+m 个物体中 放入 n 个抽屉，使得至少有一个抽屉包含两个或两个以上的物体 。
鸽巢原理的证明
• 鸽巢原理的证明可以通过反证法进行。假设存在一个反例，即存在 n 个物体放入 m 个容器中，且每个容器最多只有一个物 体。那么我们可以将这 n 个物体重新分配到 m 个容器中，使得每个容器至少有两个物体，这与假设矛盾。因此，假设不成 立，鸽巢原理成立。
组合3容斥原理鸽巢原理 共89页
3.1 容斥原理
对于求两个有限集合A和B的并的元素数目，我们有
定理1
ABABAB (1)
即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的 元素个数和具有性质B的元素个数减去同时具有 性质A和B的元素个数。
3.1 容斥原理
U
A∩B
A
B
3.1 容斥原理
证 若A∩B=，则 | A∪B |= |A| + |B|, 否则 |A||A(B B)||(A B) (A B)|
类似有
A1 A3 22!
A 1 A40,A 1 A 50,
A2 A30,A2 A4A2 A520! A3 A419!,A3 A520!A4 A519!
3.1 容斥原理
例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化 学。已知修这三门课的学生分别有170、130、 120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修 数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课， 问这学校共有多少学生？
解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
则
U 26!
出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元 参加排列，故 A1 24 !
3.1 容斥原理
类似有： A 2A 32 4 !,A 4A 52 2 !
由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：
A1 A2 0;
由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有：
定理2 ABCABCAB -ACBCABC (2 )
3.1 容斥原理
A∩B
A
A∩C
C
A∩B ∩C
U B
B∩C
3.1 容斥原理
鸽巢问题原理PPT课件
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密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也 有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢 原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一 个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。 建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证 明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和 掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题， 逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、 大数据等领域的应用。
鸽巢问题原理ppt课件
目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一 个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本 原理之一，对于理解更高 级的数学概念和证明具有 重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领 域中，鸽巢原理为解决复 杂问题提供了有效的思路 和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以 培养逻辑思维和抽象思维 能力，提高分析问题和解 决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念
容斥原理和鸽巢原理的应用
容斥原理和鸽巢原理的应用容斥原理的基本概念容斥原理是组合数学中一种重要的计数原理，用于解决涉及多个集合的问题。
它的核心思想是通过排除掉重复计数的部分，得到不重复计数的结果。
容斥原理通常用于解决集合交、并、差等操作的计数问题。
容斥原理的表述设A₁，A₂，…，Aₙ为n个集合，容斥原理可以表述为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ | = ∑ | Ai | - ∑ | Aᵢ⋂ Aₙ | + ∑ | Ai ⋂ Aₙ ⋂ Ak | - ... + (-1)ⁿ₋₁ | A₁ ⋂ A₂ ⋂ ... ⋂ Aₙ |其中，| · |表示集合的元素个数，∪表示集合的交集，⋂表示集合的并集，⋂表示集合的交集，(-1)ⁿ₋₁表示取负号。
容斥原理的应用解决排列组合问题容斥原理在解决排列组合问题时非常有用。
例如，考虑一个由A、B、C三个字母组成的长度为4的字符串，要求字符串中至少包含两个字母相同的个数。
使用容斥原理可以很方便地解决这个问题。
设集合A为满足至少包含两个A的字符串，集合B为满足至少包含两个B的字符串，集合C为满足至少包含两个C的字符串。
根据容斥原理，可以得到满足条件的字符串个数为：| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | - | A ⋂ B | - | A ⋂ C | - | B ⋂ C | + | A ⋂ B ⋂ C |其中，| A |表示满足至少包含两个A的字符串个数，| A ⋂ B |表示满足至少包含两个A和两个B的字符串个数，以此类推。
解决整数划分问题整数划分问题是指将一个正整数n划分成若干个正整数之和的问题。
使用容斥原理可以很好地解决这个问题。
设集合Aᵢ表示正整数划分中至少出现i个特定数（例如2）的划分集合。
根据容斥原理，可以得到正整数划分的个数为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Ak | = ∑ | Ai |其中，Ai表示正整数划分中至少出现i个特定数的划分个数。
容斥原理与鸽巢原理的应用
容斥原理与鸽巢原理的应用1. 容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，常用于解决计数问题。
它利用集合的互斥与包含关系，将复杂的计数问题转化为简单的计数问题。
下面是容斥原理的应用方式：1.基本容斥原理：对于给定的一组事件A1, A2, …, An，它们的概率分别为P(A1), P(A2), …, P(An)，则这些事件的并集的概率P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)可以通过容斥原理计算得到。
2.二项式系数的应用：容斥原理还可以应用于计算二项式系数的求和，通过利用二项式系数性质和容斥原理的结合，可以简化求和式，加快计算速度。
3.容斥原理在组合数学中的应用：容斥原理在组合数学中经常用于计算排列组合问题，例如求解某些集合的大小、某些集合的交集、某些集合的并集等问题。
2. 鸽巢原理鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中一个基本原理。
它的核心思想是：如果有n个物体要分配到m个容器中，且n>m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
下面是鸽巢原理的应用方式：1.分配问题：鸽巢原理可以应用于分配问题，例如某考试有n个学生和m个座位，如果n>m，则根据鸽巢原理可以得出至少有一个座位会被两个或者更多的学生占据。
2.概率问题：鸽巢原理可以用于解决概率问题，例如抛掷两个骰子，如果将两个骰子的点数总和视为一个数，那么总有两个骰子的点数总和相等，这是由鸽巢原理保证的。
3.鸽巢原理在密码学中的应用：鸽巢原理在密码学中也有广泛的应用，例如在哈希函数中，将大量的输入映射到有限的输出空间中，根据鸽巢原理，总会存在多个输入被映射到同一个输出。
3. 容斥原理与鸽巢原理的应用案例下面是容斥原理与鸽巢原理的具体应用案例：1.求解集合的大小：假设有两个集合A和B，分别包含n个元素和m个元素，求解它们的并集A ∪ B的大小。
根据容斥原理，可以通过计算A和B的大小以及它们的交集A ∩ B的大小，来求解并集的大小。
具体计算公式为：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。
第04讲-计数问题-容斥原理与鸽笼原理_图文
*
解（续）
利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0
＋0＋0＋0＋|A∩C∩D|－0。 得：|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有 1人。
*
例2.4.3 解（续）
设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4 ，则
x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A| ＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|
的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式 ； 3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用；
*
习题类型
（1）基本概念题：涉及离散概率的基本概念； （2）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用 容斥原理的计算，离散概率的计算和递归关系的建 立与求解； （3）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。
*
习题
第44-45页
*
定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 A-B
|A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U
分析 由图容易看出，
A B
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A|
A = ( A - B)∪(A∩B)
|A| = |A-B|+|A∩B|
= 41， 即结论得证。
*
2.5 离散概率简介
概率(Probability)是17世纪为分析博弈游戏 而发展起来的学科，最初计算概率仅有计数一种方 法。
本节主要介绍离散概率的基本概率、基本性质 和概率计算的简单例子。
*
2.8 本章总结
1. 乘法原理和加法原理的基本含义； 2. r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合
解（续）
利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0
＋0＋0＋0＋|A∩C∩D|－0。 得：|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有 1人。
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例2.4.3 解（续）
设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4 ，则
x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A| ＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|
的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式 ； 3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用；
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习题类型
（1）基本概念题：涉及离散概率的基本概念； （2）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用 容斥原理的计算，离散概率的计算和递归关系的建 立与求解； （3）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。
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习题
第44-45页
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定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 A-B
|A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U
分析 由图容易看出，
A B
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A|
A = ( A - B)∪(A∩B)
|A| = |A-B|+|A∩B|
= 41， 即结论得证。
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2.5 离散概率简介
概率(Probability)是17世纪为分析博弈游戏 而发展起来的学科，最初计算概率仅有计数一种方 法。
本节主要介绍离散概率的基本概率、基本性质 和概率计算的简单例子。
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2.8 本章总结
1. 乘法原理和加法原理的基本含义； 2. r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合
组合数学课件--第三章第四节鸽巢原理
如果 A B
则结果成立。否则：
令： Y A \ (A B), Z B \ (A B)
Y和Z就是满足条件的两个集合。
13
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.7 X是9个不同正整数的集合，E是 X的子集，S(E)是集合E的元素和。n是X的元素 的最大值。
求n的值，使X至少存在两个集合A和B，使 S(A)=S(B)。
25
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于等于3的整数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1}中存在一数被n除尽。
首先这是n-1个奇数，假如n是偶数时，不可能 成立；
当n=4时，数列为{1，3，7}不可能被4除尽。
26
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于1的奇数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}中至少存在一数被 n除尽。
解：
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
14
3.13 鸽巢原理举例
X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36 X的非空子集的数目？ C(9,1)+C(9,2)+…+C(9,9) =29-1=511
23
3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.9：随意地给正十边形的10个顶点编 上号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求证：必有一个顶 点及与之相邻的两顶点之和不小于17。
证明：以A1,A2,A3,…,A10表示正十边形的10 个顶点，
第3章容斥原理和鸽巢原理
2018/11/13 3
容斥原理
定理3.2
| A1 A2 An | | S | | Ai | | Ai A j |
i 1 1 i j n n 1 i j k n
| Ai A j Ak |
( 1)n | A1 A2 An |
2
容斥原理
作为上述法则的第一个推广：令 S 是一个有限集 合， P1, P2 是 S 中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
A1 A2 S A1 A2 A1 A2
更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可 能具有的 n 个性质。令 Ai(i=1,2,…,n) 是 S 中具有性 质Pi的元素的集合，则有
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3 250 166 100 83 50 33 16 366
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容斥原理
例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。 证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
2018/11/13
9
容斥原理
例 3.4 N={1,2,…,500} ，求 N 中能被 2 ， 3 ， 5 整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
500 A1 250 2 m m m m m 0 1 2 3 (1) m
容斥原理
定理3.2
| A1 A2 An | | S | | Ai | | Ai A j |
i 1 1 i j n n 1 i j k n
| Ai A j Ak |
( 1)n | A1 A2 An |
2
容斥原理
作为上述法则的第一个推广：令 S 是一个有限集 合， P1, P2 是 S 中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
A1 A2 S A1 A2 A1 A2
更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可 能具有的 n 个性质。令 Ai(i=1,2,…,n) 是 S 中具有性 质Pi的元素的集合，则有
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3 250 166 100 83 50 33 16 366
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容斥原理
例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。 证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
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容斥原理
例 3.4 N={1,2,…,500} ，求 N 中能被 2 ， 3 ， 5 整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
500 A1 250 2 m m m m m 0 1 2 3 (1) m
第3章 容斥原理与鸽巢原理
(1) n A1 A2 ... An 1
16
3.2 容斥原理
A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An
Ai Aj (n 2)!, i 1, 2,..., n, i j
25
3.3 容斥原理举例
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n ! C (n,1)(n 1)! C (n, 2)(n 2)! (1) n C (n, n)1! 1 1 n 1 n !(1 (1) ) 1! 2! n!
两个集合并集的元素个数：
A B A B A B
U A
A B
B
9
3.2 容斥原理
定理： A B C A B C A B
| AC | B C A B C
证明：
根据
A B C ( A B) C A B C ( A B) C
定理：设 A1, A2 ,..., An 是有限集合，则
A1 A2 ... An Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ...
i 1 i 1 j i i=1 j>i k>j n n n
(1) n 1 A1 A2 ... An
B
A B C
C
11
3.2 容斥原理
• 【例】一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已 知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修 数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20 人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这 学校共有多少学生？ • （解）令：M为修数学的学生集合； • • P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
容斥原理和鸽巢原理
解：令A、B、C分别为n位符号串中不出现a，b，c符号的集合。 由于n位符号串中每一位都可取a，b，c，d四种符号中的一个，故不允许出现a的n位 符号串的个数应是：3n。
故 有 | A ||B || C | 3n , | A B || B C || A C | 2n , | A B C | 1
容斥原理：容斥原理和鸽巢原理
最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。显然有
定理：
A A B B
U
定理：容斥原理和鸽巢原理
A B
U
A B C
A C B C
C
容斥原理和鸽巢原理 例：一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有
170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同 时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？
解：令，M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；所以有
| M | 170,| P | 130,| C | 120,| M P | 45, | M C | 20,| P C | 22,| M P C | 3
容斥原理和鸽巢原理
即学校学生数为336人。
一般地，我容们斥可原得理定理和：鸽巢原理
容斥原理和鸽巢原理 a，b，c至少出现一次的n位符号串集合即为
所以有 | A B C | 4n | A B C | 4n (| A | |B | | C |) (| A B | | B C |
| A C |) | A B C | 4n 3 3n 3 2n 1
全体减去属于A的元素的个数。一般有：
| A1 Am | N | A1 | | Ai Aj |
故 有 | A ||B || C | 3n , | A B || B C || A C | 2n , | A B C | 1
容斥原理：容斥原理和鸽巢原理
最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。显然有
定理：
A A B B
U
定理：容斥原理和鸽巢原理
A B
U
A B C
A C B C
C
容斥原理和鸽巢原理 例：一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有
170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同 时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？
解：令，M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；所以有
| M | 170,| P | 130,| C | 120,| M P | 45, | M C | 20,| P C | 22,| M P C | 3
容斥原理和鸽巢原理
即学校学生数为336人。
一般地，我容们斥可原得理定理和：鸽巢原理
容斥原理和鸽巢原理 a，b，c至少出现一次的n位符号串集合即为
所以有 | A B C | 4n | A B C | 4n (| A | |B | | C |) (| A B | | B C |
| A C |) | A B C | 4n 3 3n 3 2n 1
全体减去属于A的元素的个数。一般有：
| A1 Am | N | A1 | | Ai Aj |
组合数学第三章容斥原理和鸽巢原理
§3.3 例
A 4!, B 5!, A B 3!.
根据容斥原理，不出现ace和df的排列数 为：
A B
=6!- (5!+4!)+3!=582
§3.3 例 例2 求从1到500的整数中能被3或5
除尽的数的个数。 解： 令A为从1到500的整数中被3除 尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合
§3.2 容斥原理
3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13
§3.2 容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A
A {x | x U 且x A} ,有
n 1 k 1
( Ai
i 1
(1)
k 1
k 1
I∈￠(n-1,k) i∈I
Ai An (1)
k 1
( Ai
iI
An )
I∈￠(n-1,k)
§3.2
容斥原理
n 1 k 1
A
i 1 n k 2
n 1
i
( 1)
k 2
I∈￠(n-1,k)
例
§3.2 容斥原理
令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
§3.2 容斥原理
M P C MPCM PM M CP CM P C 170 130 120 45 20 22 3 336
组合3容斥原理鸽巢原理共89页
3.1 容斥原理
例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数.
解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集 合，B为被5除尽的数的集合
A
500 3
166,
B
500 5
100;
AI
B
500 15
33
被3或5除尽的数的个数为
AUB A B AI B
1 6 6 1 0 0 3 3 2 3 3
A 5为 出 现 thing的 排 列 的 全 体 ；
则
U 26!
出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元 参加排列，故 A1 24 !
3.1 容斥原理
类似有： A 2A 32 4 !,A 4A 52 2 !
由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：
A1 I A2 0;
由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有：
3.1 容斥原理
A170,B130,C120,AIB45 AIC20,BIC22,AIBIC3
AUBUCABCAI B AICBICAIBIC
1701301204520223 336
即学校学生数为336人。
3.1 容斥原理
同理可推出：
AUBUCUDABCD
AI BAI CAI DBI CBI DCI D
3.1 容斥原理
例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化 学。已知修这三门课的学生分别有170、130、 120人；同时修数学、物理的学生45人；同时 修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门 课，问这学校共有多少学生？
解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
组合数学课件--第三章第二节棋盘多项式和有限制条件的排列
甲 乙 丙 丁
1 2 3 4
11
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
例4:甲乙丙丁4个人住店,有5个房间1,2,3, 4,5,甲不住1,2,3号房间,乙不住2,3,4房间,丙 不住1、4号房间,丁不住1,2,4号房间,求满足要 求的方案数。
甲 乙 丙 丁
1 2 3 4列
i
r1 ( n 1)!
34
3.5 有禁区的排列
两个棋子落入禁区的方案数设为r2,而其余n2个棋子为无限制条件的排列，方案数是(n-2)!。
A A
i 1 j i i
n
j
r2 (n 2)!
布n个棋子无一落入禁区的方案数应为：
A1 A2 ... An N Ai Ai A j
棋盘C
C(I)
C(e)
R(C) = 1+ 5x+6x2+2x3 R(C(i)) = 1+ 2x+x2 R(C(e)) = 1+ 4x+4x2+x3
20
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
公式2、 R(C ) xR(C(i ) ) R(C( e ) )
证明： R(C ) rk (C ) x
容斥原理与鸽巢原理31demorgan定理32容斥原理33容斥原理举例34棋盘多项式与有限制的排列35有禁区的排列36广义的容斥原理37广义容斥原理的应用28第二类stirling数的展开式29欧拉函数n210n对夫妻问题211mobius反演定理212鸽巢原理213鸽巢原理举例214鸽巢原理的推广215ramsey数34棋盘多项式和有限制条件的排列一有限制的排列对有重复的排列或无重复的排列可以对一个或多个元素的出现次数进行限制也可以对某些元素出现的位置进行限制这两种情况统称为有限制条件的排列
鸽巢原理+容斥原理
组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理， 也叫抽屉原理。 原理描述：若有n个鸽子巢，n+1只鸽子，则至 少有一个鸽子巢里住着两只鸽子。 定理（鸽巢原理） 如果把n+1个物体放入n个盒 子，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
10
组合数学初步
计算机及信息工程学院
容斥原理
由|A∩B∩C|=8 |A∩B|=33 |A∩C|=25 |B∩C|=41 |A|=200 |B|=166 |C|=125 所以由容斥原理，不能被5，6和8整除的整数的个数为 |~A∩~B∩~C| =|E|-（|A|+|B|+|C|）+（|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|）-|A∩B∩C| =600
⋯⋯⋯ | Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik |= (n − k )! ⋯⋯⋯ | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |= 0!
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
定理 用Dn表示{1, 2, …, n}的全部错排个数，则
Dn =| A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n | n n n n = n !− (n − 1)!+ (n − 2)!− ... + (−1) 0! 1 2 n 1 1 n 1 = n !(1 − + − ... + (−1) ) 1! 2! n!
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
例 在8个字母ABCDEFGH的全排列中，求 （1）仅ACEG四个字母不在原来位置上的排列数 （2）只有4个字母不在原来位置的排列数 （3）ACEG四个字母不在原来上的排列数 解 （1）8个字母中仅ACEG四个字母不在原来位置 上，其余4个字母保持不动，相当于4个元素的错排
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第3章 容斥原理和鸽巢原理
容斥原理
▪ 例 对{1,2,…,n}的排列 i1i2 in 计数，其中 i1 1 。 解 直接计数： (1) i1 2：有 (n 1)! 个； … (n-1) i1 n :有 (n 1)! 个； 共有 (n 1)(n 1)!个 间接计数：i1 1 ：有 (n 1)! 个 所以共有 n!(n 1)! (n 1)(n 1)! 个
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容斥原理
由题意知， M 170 P 130 C 120 M P 45
M C 20
所求人数为
P C 22
M P C 3
M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
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容斥原理
▪ 例3.3 求a,b,c,d,e,f 六个字母的全排列中不允许出 现 ace 和 df 图象的排列数。 解 A1为出现ace图象的排列的集合，A2为出现df 图象的排列的集合，那么有
250 166 100 83 50 33 16 366
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容斥原理
▪ 例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。 证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
Ai 3n, i 1,2,3 Ai Aj 2n , i j, i, j 1,2,3
A1 A2 A3 1
A1 A2 A3 4n A1 A2 A3 A1 A2 A1 A3
A2 A3 A1 A2 A3 4n 3 3n 3 2n 1
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容斥原理
另解：设 an (n 0,1,2,...) 为所求的n位符号串数 目，则{an}的指数型母函数为
| A1 | 4! | A2 | 5! | A1 A2 | 3!
所求排列数为
| A1 A2 | 6! | A1 | | A2 | | A1 A2 | 6!4!5!3! 582
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容斥原理
▪ 例3.4 N={1,2,…,500}，求N中能被2，3，5整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
A1
500 2
250
A2
500 3
166
A3
500 5
100
A1
A2
500 6
83
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容斥原理
A1
A3
500 10
50
A2
A3
500 15
33
A1
A2
A3
500 30
16
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3
| S | | A1 A2 An |
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7
容斥原理
例3.2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同 时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三 门课的学生3人，问这学校共有多少人？ 解 设M为修数学课学生的集合 P为修物理课学生的集合 C为修化学课学生的集合
i 1
1i jn
1i jk n
(1)n | A1 A2 An |
证 任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方 程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为
1 0 0 0 (1)n 0 1
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容斥原理
▪ (2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端 的贡献为0，而对方程右端的贡献为
A1 A2 S A1 A2 A1 A2 ▪ 更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可
能具有的n个性质。令Ai(i=1,2,…,n)是S中具有性 质Pi的元素的集合，则有
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容斥原理
▪ 定理3.2
| A1 A2 An |
n
| S | | Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
24
A7
120 7
17
A2
A3
120 6
20
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容斥原理
A2
A5
120 10
12
A3
A5
120 15
8
A2
A7
120 14
8
A3
A7
120 21
5
A5
A7
m 0
m 1
m 2
m 3
(1)m
m m
(1 1)m 0
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容斥原理
▪ 推论
| A1 A2 An |
n
| Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
i 1
1i jn
1i jk n
▪证
(1)n1 | A1 A2 An |
| A1 A2 An || S | | A1 A2 An |
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2
容斥原理
▪ 例 计算1到600中不能被6整除的整数个数。 证 能被6整除的整数个数为
600/ 6 100
所求数的个数为 600100 500
一般，若 A S ，则 | A || S | | A | 或 | A || S | | A |
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3
容斥原理
▪ 作为上述法则的第一个推广：令S是一个有限集 合，P1, P2是S中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
▪ 例3.6 求不超过120的素数的个数。
解 若一个正整数n是一个合数，那么n必能被某个 素数 p n 整除。由112=121知，不超过120的合 数必能被2,3,5,7之一整除。
设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2
120 2
Байду номын сангаас
60
A3
120 3
40
A5
120 5
G( x) (1 1 x 1 x2 )( 1 x 1 x2 )3
1! 2!
1! 2!
e x (e x 1)3 e x (e3x 3e2x 3e x 1)
e4x 3e3x 3e2x e x
(4n
3 3n
3 2n
1)
1
xn
n0
n!
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容斥原理
容斥原理
▪ 例 对{1,2,…,n}的排列 i1i2 in 计数，其中 i1 1 。 解 直接计数： (1) i1 2：有 (n 1)! 个； … (n-1) i1 n :有 (n 1)! 个； 共有 (n 1)(n 1)!个 间接计数：i1 1 ：有 (n 1)! 个 所以共有 n!(n 1)! (n 1)(n 1)! 个
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容斥原理
由题意知， M 170 P 130 C 120 M P 45
M C 20
所求人数为
P C 22
M P C 3
M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
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容斥原理
▪ 例3.3 求a,b,c,d,e,f 六个字母的全排列中不允许出 现 ace 和 df 图象的排列数。 解 A1为出现ace图象的排列的集合，A2为出现df 图象的排列的集合，那么有
250 166 100 83 50 33 16 366
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容斥原理
▪ 例3.5 求由a, b, c, d四个字符构成的n位符号串中， a, b, c至少出现一次的符号串的数目。 证 设 A1 , A2 , A3分别表示不出现a, b, c的n位符号串 的集合。则
Ai 3n, i 1,2,3 Ai Aj 2n , i j, i, j 1,2,3
A1 A2 A3 1
A1 A2 A3 4n A1 A2 A3 A1 A2 A1 A3
A2 A3 A1 A2 A3 4n 3 3n 3 2n 1
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容斥原理
另解：设 an (n 0,1,2,...) 为所求的n位符号串数 目，则{an}的指数型母函数为
| A1 | 4! | A2 | 5! | A1 A2 | 3!
所求排列数为
| A1 A2 | 6! | A1 | | A2 | | A1 A2 | 6!4!5!3! 582
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容斥原理
▪ 例3.4 N={1,2,…,500}，求N中能被2，3，5整除的 数的个数。
解 设 A1 , A2 , A3 分别为被2、3、5整除的数的集合。 那么有
A1
500 2
250
A2
500 3
166
A3
500 5
100
A1
A2
500 6
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容斥原理
A1
A3
500 10
50
A2
A3
500 15
33
A1
A2
A3
500 30
16
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3
| S | | A1 A2 An |
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容斥原理
例3.2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同 时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、 化学的20人；同时修物理、化学的22人；同时修三 门课的学生3人，问这学校共有多少人？ 解 设M为修数学课学生的集合 P为修物理课学生的集合 C为修化学课学生的集合
i 1
1i jn
1i jk n
(1)n | A1 A2 An |
证 任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方 程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为
1 0 0 0 (1)n 0 1
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容斥原理
▪ (2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端 的贡献为0，而对方程右端的贡献为
A1 A2 S A1 A2 A1 A2 ▪ 更一般地，设P1, P2，…，Pn是S中每个的元素可
能具有的n个性质。令Ai(i=1,2,…,n)是S中具有性 质Pi的元素的集合，则有
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容斥原理
▪ 定理3.2
| A1 A2 An |
n
| S | | Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
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A7
120 7
17
A2
A3
120 6
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容斥原理
A2
A5
120 10
12
A3
A5
120 15
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A2
A7
120 14
8
A3
A7
120 21
5
A5
A7
m 0
m 1
m 2
m 3
(1)m
m m
(1 1)m 0
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容斥原理
▪ 推论
| A1 A2 An |
n
| Ai | | Ai Aj | | Ai Aj Ak |
i 1
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1i jk n
▪证
(1)n1 | A1 A2 An |
| A1 A2 An || S | | A1 A2 An |
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容斥原理
▪ 例 计算1到600中不能被6整除的整数个数。 证 能被6整除的整数个数为
600/ 6 100
所求数的个数为 600100 500
一般，若 A S ，则 | A || S | | A | 或 | A || S | | A |
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容斥原理
▪ 作为上述法则的第一个推广：令S是一个有限集 合，P1, P2是S中每个的元素可能具有的两个性 质。 A1 ，A2 分别表示S中具有性质P1， P2的元素 的集合，那么有
▪ 例3.6 求不超过120的素数的个数。
解 若一个正整数n是一个合数，那么n必能被某个 素数 p n 整除。由112=121知，不超过120的合 数必能被2,3,5,7之一整除。
设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2
120 2
Байду номын сангаас
60
A3
120 3
40
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G( x) (1 1 x 1 x2 )( 1 x 1 x2 )3
1! 2!
1! 2!
e x (e x 1)3 e x (e3x 3e2x 3e x 1)
e4x 3e3x 3e2x e x
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3 3n
3 2n
1)
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xn
n0
n!
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容斥原理