含参数的一元一次方程
一元一次方程含参问题ppt课件
4、整数解问题 例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
x 11 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
10
练习： （1）关于x的方程 (n 1)x2 (m 1)x 3 0 是一元一次方程
一元一次方程的含参问题
1、已知方程解的情况求参数 2、两个一元一次方程同解问题 3、一元一次方程解的情况（分类讨论） 4、整数解问题
1
基础巩固：
1、若 (m 2)x2 (k 1)x k 11 0 是关于x的一
元一次方程，则m= -2 ，k= -1 。
2、解方程：
(1)3 2 x 1 x 1 X=3
练习：已知a，b为定值，关于x的方程
kx 3
a
1
2x
6
bk
，无论k为何值，它
的解总是1，求a+b的值。
解：把x=1代入方程得 k a 1 2 bk
3
6
化简得：(2+b)k=4-2a ∵ 无论k为何值，它的值总是1 ∴2+b=0且4-2a=0 解得b=-2，a=2 ∴a+b=0
1
，无论k为何值
时，它的解总是x=1，求a，b的值。
苏科版七年级数学上册 第4章 《一元一次方程》专题训练(含答案)
七年级数学《一元一次方程》专题训练
1 含参数的一元一次方程
方程是中学数学中最重要的内容之一，最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.
一元一次方程ax b =的解由a 、b 的取值来确定:
(1)若0a ≠，则方程有唯一解b x a
=
(2)若0a =，且0b =，方程变为00x =g ，则方程有无数多个解;
(3)若0a =，且0b ≠，方程变为0x b =g ，则方程无解. 经典例题
解方程:：2222()()()()a x b a b x a x b x a b +---=-+-
解题策略
本题将方程中的括号去掉后产生2x ，但整理化简后可以消去2
x ，也就是说，原方程实际上仍然是一个一元一次方程.在化为ax b =的形式后.需要讨论a 、b 的情况. 将原方程整理化简得
即222()()a b x a b -=- (1) 当22
()0a b -≠，即a b ≠±时，方程有唯一解222()a b a b x a b a b --==-+ (2) 当22
()0a b -=，即a b =或a b =-时，若a b ≠，即0a b -≠时，方程无解;若a b =时，当方程有无数多个解
画龙点睛
含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、有无数多个解这三种情况进行讨论.
举一反三
1. 解关于x 的方程：29261a x ax -=+
2. 解关于x 的方程：32132
含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程
一.学习目标
1．深刻理解一元一次方程的定义，会运用一元一次方程的定义求字母参数的值． 2．会利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值． 3.学会含绝对值的一元一次方程的解法．
二.重难点分析
1．利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值是重点． 2．一元一次方程与新定义是难点. 3．掌握含绝对值的一元一次方程的解法.
三.要点集结
四.精讲精练
一元一次方程的定义
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
含参数的一元一次方程
一元一次方程的定义一元一次方程的解
同解方程一元一次方程与新定义
含绝对值符号的一元一次方程
只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．
注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x，且x的指数是1，（2）x的系数不等于0，（3）x的指数高于一次的项系数是0．
例1.已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求：（1）m的值；
（2）代数式的值．
【答案】解：（1）由题意得，|m|﹣4＝1，m+5≠0，解得，m＝5；
（2）当m＝5时，原方程化为10x+18＝0，解得，x＝﹣，
∴＝＝﹣．
练习1.已知关于x的方程（k﹣1）x|k|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为．
【答案】-1
【解析】根据一元一次方程定义可得：|k|＝1，且k﹣1≠0，再解即可．
练习2.已知方程（a﹣1）x|a|+2＝﹣6是关于x的一元一次方程，则a＝
含参数一元一次方程【精】
含参数一元一次方程【精】
引言
含参数一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数的一元一
次方程。参数是未知数的某种规定值，通过给参数赋予不同的值，
可以得到不同的方程。在解含参数一元一次方程时，要将参数视为
常数，先求相应参数下的特殊方程的解，然后分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。
方程的基本形式
含参数一元一次方程的基本形式为：ax + b = 0，其中a和b为
已知常数，x为未知数。
求解含参数一元一次方程的步骤
1. 对于给定的参数值，将方程化为一元一次方程。
2. 求解得到一元一次方程的解。
3. 分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。
示例
假设我们要求解含参数的一元一次方程：ax + b = 0，其中a是一个参数。下面是对于不同参数值的求解步骤：
当a = 0时
方程化为：0x + b = 0，即b = 0。此时方程的解是：x = 0。
当a ≠ 0时
方程化为：ax + b = 0。移项得到：x = -b/a。这就是方程的解。
参数的取值范围
在解含参数一元一次方程时，要考虑参数的取值范围。对于不同的参数取值，方程可能有不同的解。
结论
含参数一元一次方程是一种特殊的一元一次方程，通过对参数的赋值，可以得到不同的方程。在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，并考虑参数的取值范围，得到方程的解的条件。
参考文献
- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 初中代数（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.
- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 高中数学（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.
含参一元一次方程的解法
含参一元一次方程的解
法
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．
这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
【巩固1
是关于x的一元一次方程，则
．
【巩固2
】方程去分母正确的是（
）
A
B
．
C
D
【巩固3
1.1一元一次方程的巧解
求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，
的应用．
具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．
知识回顾
基础巩固
知识导航
【例1】
⑴
【例
2】 解方程：
⑴
⑵
()()1123233211191313
x x x -+-+= 1.2 同解方程
若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法： ⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
初中数学知识归纳解含有参数的方程
初中数学知识归纳解含有参数的方程参数在数学中是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种不确定的情况。在代数学中，我们经常会遇到一类特殊的方程，即含有参数的方程。下面我将对初中数学中关于含有参数的方程的解法进行归纳总结。
一、一次方程
一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的参数。我们可以通过移项，将参数项和常数项分开，然后根据x的系数求解x的值。
例题1：求方程2x + a = 0的解。
解：将参数项和常数项分开，得到2x = -a。然后将方程两边都除以2，得到x = -a/2。所以方程的解为x = -a/2。
例题2：求方程3x + 2a = 5的解。
解：将参数项和常数项分开，得到3x = 5 - 2a。然后将方程两边都除以3，得到x = (5 - 2a)/3。所以方程的解为x = (5 - 2a)/3。
二、二次方程
二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的参数。我们可以通过求解方程的根来求得方程的解。
例题3：求方程x² + a² = 0的解。
解：根据平方根的性质，方程的解可以表示为x = ±√(-a²)。由于在
实数范围内，-a²是负数，所以方程的解不存在实数解。但在复数范围内，我们可以得到x = ±i√(a²)，其中i是虚数单位。
例题4：求方程x² + 2ax + a² = 0的解。
解：根据二次方程的求解公式，可以得到方程的根为x = (-2a ±
√(4a² - 4a²))/2，即x = (-2a ± 0)/2，即x = -a。所以方程的解为x = -a。
北师大数学七年级上册第五章_含参数的一次方程总结
第03讲_含参数的一次方程
知识图谱
含参数的一次方程
知识精讲
一．参数
有的方程中除了未知数外，还会含有一些其他的字母，它们代表已经确定的数字，只是我们不知道它们具体是多少，这种字母称为“参数”，即“参与运算的数”．虽然都是字母，但未知数与参数各自的地位和含义是不相同的．比如方程ax b =，理论上来讲，如果题目没有说明，里面的每一个字母都可以当做未知数．但是一般情况下，当a b c 、、与x y z 、、同时出现在一个方程时，我们会约定俗成地认为，x y z 、、是未知数，a b c 、、是（已知数）参数．因此，我们通常会说关于x 的方程ax b =，这样比较严谨，就不会出现纠结谁是未知数的问题．
对未知数系数不含参数，常数项含参数的方程，在运算中就把参数当成普通的数字来对待，带着参数完成解方程的过程．如解关于x 的一元一次方程()
12
x a b c -+=，则()2x c b a =-+． 小明在家做作业时,不小心吧墨水滴到了练习册一道解方程题上,题目上一个数字被墨水污染了.这个方程是： 2(11
5 23)x x +--⎝
=⎛⎫⎪⎭- ▇ ,“▇”是被污染的数字,“▇”是哪个数呢?他很着急,想了一想,便翻看了书后答案,得知此方程的解是x=2.你能帮他补上被污染处“▇”的内容吗? 把解代回方程：11252 232()⎛
⎫ ⎪+-⨯-=⎝
-⎭▇，此时被污染的数字就是这个新的方程的未知数，解方程即可
解系数含参问题
对于未知数系数含参数的方程，其方程的解与参数的取值有很大关系，需要对参数进行分类讨论．
含参一元一次方程解法
(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．
【例3】⑴若方程 与 有相同的解，求a得值．；
⑵若 和 是关于x的同解方程，求 的值．
【例4】⑴已知： 与 都是关于x的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程 的解是多少？
⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
1.5课后习题
【演练1】解方程：
【演练2】解方程：
【演练3】⑴方程 与方程 的解相同，则a的值为．
⑵若关于x的方程 与 的解互为相反数，则 =．
若关于x的方程 和 ，求a得值．
【演练4】解关于x的方程：
【演练5】⑴已知关于x的方程 无解，那么 ，
．
若关于x的方程 有唯一解，则题中的参数应满足的条件是
含参一元一次方程的解法
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
一元一次方程含参组合问题
一元一次方程含参组合问题
问题描述
在初中数学中，我们研究了一元一次方程的解法，即求解形如`ax+b=0`的方程。
今天我们来探讨一些稍微复杂一点的一元一次方程，这些方程中含有参数，并需要我们求解参数的范围。
问题分析
我们可以把这类问题分为两类：关于参数的条件和关于未知数的条件。
关于参数的条件
在这种情况下，我们已知方程的形式是`ax+b=0`，但是未知数`x`的取值范围受到参数的限制。
例如，我们要求方程`2ax+3=0`的解，但是在求解之前我们需要考虑参数`a`的值。
关于未知数的条件
在这种情况下，我们已知方程的形式是`ax+b=0`，但是未知数`x`的取值受到其他条件的限制。
例如，我们要求方程`2x+3b=1`的解，但是在求解之前我们需要考虑其他条件，比如`x`大于等于0。
求解方法
关于参数的条件
对于关于参数的条件，我们可以通过列举不同的参数值，然后求解方程来确定参数的范围。
例如，对于方程`2ax+3=0`，我们可以考虑不同的`a`的取值，比如`a=1`、`a=2`和`a=3`，然后分别求解方程。
关于未知数的条件
对于关于未知数的条件，我们可以通过代入条件求解方程来确定未知数的取值范围。
例如，对于方程`2x+3b=1`，如果已知条件是`x>=0`，我们可以将这个条件代入方程中，然后求解。
示例
关于参数的条件
对于方程`2ax+3=0`，我们可以分别考虑`a=1`和`a=2`的情况。
当`a=1`时，方程变为`2x+3=0`，求解可以得到`x=-3/2`。
当`a=2`时，方程变为`4x+3=0`，求解可以得到`x=-3/4`。
含参一元一次方程笔记
一元一次含参
笔记：
一、含参的一元一次方程
1.次数含参：一元一次方程可以写作：0=+b ax （b a ,为参数),其中未知数x 的次数为1。
2.常数项（b ）含参：正常求参过程，得出用参数表示未知数的结果。
3.一次项系数含参：对于一元一次方程而言，存在一次项系数0≠a 。
对于方程而言，当时，可化为0=b ，若0≠b ，原方程无解。
二、解对参数的影响0=a
1. 解已知或可求：将解代入参数方程中，求出参数。
2. 解未知：用含有参数的代数式表示方程的解代入，根据解的取值范围求得参数。
(完整)含参数一元一次方程、含绝对值一元一次方程
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程
一． 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题
2. 两个一元一次方程同解问题
3. 已知方程解的情况求参数
4. 一元一次方程解的情况(分类讨论）
二： 解含有绝对值的一元一次方程 一. 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题（常数分离法）
例题1:⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -= 11
9x k
=
- ∵,x k 均为整数 ∴91,11k -=±± ∴2,8,10,20k =-
⑵ 【中】 关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程
(1)则,m n 应满足的条件为：___m ,____n ； (2)若此方程的根为整数,求整数=____m
答案：(1)1,1≠=;
(2）由(1）可知方程为(1)3m x -=, 则31
x m =- ∵此方程的根为整数.
∴3
1
m -为整数
又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=-- ∴2,0,2,4m =-
测一测1: 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )
A.2
B.3
C.1或2
D.2或3 答案：D
方程143+=+x ax 可化简为:()24-=-x a 解得4
2
--
=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a
测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则k 的值为___________
答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -= 即：17
一元一次方程(组)含参数问题专项练习
一元一次方程(组)含参数问题专项练习
引言
本文档旨在提供一系列一元一次方程(组)含参数的问题的专项练。通过解决这些问题，学生可以加深对于一元一次方程(组)的理解，并掌握如何处理含有参数的情况。
题目1：
已知一元一次方程 $2x - 3 = 0$，求解方程。
题目2：
已知一元一次方程 $ax + b = 0$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，求解方程。
题目3：
已知一元一次方程组 $\begin{cases} 2x + 3y = 10 \\ ax + by = c \end{cases}$，其中 $a$，$b$ 和 $c$ 是常数，求解方程组。
题目4：
已知一元一次方程组 $\begin{cases} x + y + z = a \\ ax + by = c \\ cx + dz = e \end{cases}$，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 和 $e$ 是常数，求解方程组。
题目5：
已知一元一次方程组 $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = a
\end{cases}$，求解方程组。
题目6：
已知一元一次方程组 $\begin{cases} mx - ny = a \\ bx + ay = c
\end{cases}$，其中 $a$，$b$，$c$，$m$ 和 $n$ 是常数，求解方程组。
题目7：
已知一元一次方程组 $\begin{cases} px + qy = a \\ rx - sy = b
\end{cases}$，其中 $a$，$b$，$p$，$q$，$r$ 和 $s$ 是常数，求解
与一元一次方程有关的参数问题题目
与一元一次方程有关的参数问题题目
一元一次方程是数学中的基础概念，常常出现在各种应用问题中。本文将给出一些与一元一次方程有关的参数问题题目，并解答这些问题。
问题1：一个数加上12等于20，求这个数是多少？
解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x + 12 = 20。
解方程的步骤如下：
x + 12 = 20
x = 20 - 12
x = 8
所以这个数为8。
问题2：一个数减去20等于12，求这个数是多少？
解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x - 20 = 12。
解方程的步骤如下：
x = 12 + 20
x = 32
所以这个数为32。
问题3：一个正整数加上50等于100，求这个数是多少？
解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x + 50 = 100。解方程的步骤如下：
x + 50 = 100
x = 100 - 50
x = 50
所以这个数为50。
问题4：一个数的三倍减去10等于40，求这个数是多少？
解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程3x - 10 = 40。解方程的步骤如下：
3x = 40 + 10
3x = 50
x = 50 / 3
所以这个数为50/3。
问题5：一条绳子剪成两段，其中一段是另一段的3倍，总长度为40cm，求这两段的长度分别是多少？
解析：设其中一段的长度为x，另一段的长度为3x，根据题意，可以得到方程x + 3x = 40。
解方程的步骤如下：
x + 3x = 40
4x = 40
x = 40 / 4
x = 10
所以其中一段的长度为10cm，另一段的长度为3*10=30cm。
一元一次方程含参问题含答案(教师版)
精锐教育学科教师辅导教案
知
知识点1
一元一次方程：只含有一个未知数
4、已知是关于x 的一元一次方程，求m 的值。()
()05112=-++-x m x m 知识点2：一元一次方程的解
1、已知关于x 方程与x −1=2(2x −1)的解互为倒数，求m 的值。3
2m x m x +=-2、已知是的解，试求的值。3=y y y m 2)(4
16=-+2m m +-
2∆
+x x=−2.5，那么△处的数字是多少?
含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程专题讲解
一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论思想）
在解含参数的一元一次方程时，可以根据方程中的参数和未知数的关系，分类讨论求解。
首先，可以讨论关于未知数x的方程ax=b的解的情况。然后，根据参数a是有理数的条件，可以得出一些关于方程解的结论，如方程ax=b的解是x=b/a等。
二、含参数的一元一次方程中参数的确定
确定参数的方法有两种：根据方程解的具体数值来确定，或者根据方程解的个数情况来确定。
例如，已知关于x的方程3a+x=k的解为x=4，可以解出
a=(k-4)/3.又如，关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方程x-
1=m，则可解出m=3.
另外，根据方程解的个数情况也可以确定参数。例如，关于x的方程mx+4=3x-n，可以分别求出m和n的取值，使得
原方程有唯一解、无数多解或无解。
还有一种确定参数的方法是根据方程整数解的情况来确定。
最后，需要注意的是，在解含参数的一元一次方程时，需要注意格式的正确性，避免出现明显的错误。
1.以下是一篇关于环境保护的文章，我们应该珍惜我们的
地球，保护环境。
我们的地球是我们生存的家园，我们应该保护我们的环境，保护我们的地球。但是，现在我们的环境面临着很多问题，比如空气污染、水污染、垃圾问题等等。这些问题严重影响了我们的健康和生活质量。
所以，我们每个人都应该行动起来，为环境保护出一份力。我们可以从身边的小事做起，比如减少用塑料袋、回收垃圾、节约用水等等。这些小事看似微不足道，但是如果每个人都能做到，就可以减轻环境负担，保护我们的地球。
《含参一元一次方程100题》
含参一元一次方程100题
使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元一次方程这一部分的计算能力。
大致分了五个模块：①一元一次方程概念相关（10题）；②同解问题（51题）；③整
数解问题（13题）④方程解的情况（21题）⑤错解问题（5题）；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一一元一次方程概念相关
方法总结：
一元一次方程：指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。“110”：1个未知数、未知数次数为1、未知数系数不为0
一般步骤：
①确定系数、次数；
②使次数为1，系数不为0；
③求解.
易错总结：
①不要忘记系数不为0；
②计算要细心.
例题解析：
关于x的方程(a−1)x b−1−2=0是一元一次方程，则a,b的取值情况.
解：∵(a−1)x b−1−2=0是关于x的一元一次方程
∴a−1≠0且b−1=1……【次数为1，系数不为0】
解得：a≠1，b=2
巩固练习：
1.x m−1−4=0是关于x的一元一次方程，那么m的值是多少？
2.已知3x|n−1|+5=0为一元一次方程，则n的值是多少？
3.关于x的方程(a−2)x|a|−1−2=0是一元一次方程，则a的值是多少？
4.关于x的方程(a+2)x|a|−1−2=1是一元一次方程，则a的值是多少？
5.若关于x的方程(m−1)x|m|−3=0是一元一次方程，则m的值是多少？
6.若(m+3)x|m|−2+2=1是关于x的一元一次方程，则m的值为多少？
7.已知方程(k−3)x|k|−2+5=k−4是关于x的一元一次方程，则k的值是多少？
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练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 1 x 2 3
（ 2） x 2 x 5 7
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7 升 8 数学金牌班课后练习
（ 5） 4x 3 2x 9
1、已知 x2 x 1 0 ，代数式 x3 2x 2008 的值是
；
2、已知关于 x 的方程 3a x x 3 的解是 4，则 ( a)2 2a
；
2
3、已知 x x 2 ，那么 19 x99 3x 27 的值为
④根据方程公共解的情况来确定
例：若方程 3(x
1)
8
2x
x 3与方程
k
5
2 x 的解相同，求 k 的值 . 3
第 2页
◆含绝对值的方程： 一、利用绝对值的非负性求解
例题 1：已知 m，n 为整数， m 2 m n 0，求 m n 的值 .
练习： 1、已知 m， n 为整数， m 2 m n 1，求 m n的值 .
( cx d ) ；
3、分别解方程 ax b cx b和ax b (cx b) ； 4、将求得的解代入 cx d 0 检验，舍去不合条件的解 . 例题 3：解方程 x 5 2x 5
练习： （ 1） 4x 3 2x 9
（ 2） 4x 3 2 3x 4
例题 4：如果 a 4 a 4 0 ，那么 a 的取值范围是多少 .
类型三、同解方程组问题
例题 3：已知关于 x， y 的二元一次方程组 值。
x y3
ax by 7
3 x y 7 和方程组 ax by 9 的解相同， 求 a、b 的
3. 解方程组 么关系？
2x 3y 4 5x 6 y 7 ，并将其解与方程组
3x 4y 5 6 x 7 y 8 的解进行比较， 这两个方程的解有什
二、含参数的一元一次方程中参数的确定 ①根据方程解的具体数值来确定 例：已知关于 x 的方程 3a x ax 3的解为 x 4
2
变式训练：
1、已知方程 2x a 4( x 1) 的解为 x 3 ，则 a
；
2
2、已知关于 x 的方程 mx 2 2(m x) 的解满足方程 xBiblioteka Baidu1 0 ，则 m
；
2
3、如果方程 2(x 1) 3( x 1) 0的解为 a 2 ，求方程： 2 2( x 3) 3(x a) 3a 的解 .
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3. 解关于 x， y 的方程组 值。
ax 27 5 2 x by 5 ；若当 x
1 时，该方程的解 x， y 互为相反数， 求此时 a，b 的 2
2. 已知关于 x， y 的二元一次方程组 多少？
2x 3y 3
3x 2 y 11
ax by 1 和 2ax 3by 3 的解相同，求 (3a b) 2012 的值为
（ 2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
①如果： a b 、 c 0 ，那么 ac bc(或 a b) cc
②如果： a b 、 c 0 ，那么 ac bc(或 a b ) cc
（ 3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变；
①如果： a b 、 c 0 ，那么 ac bc(或 a b ) cc
※ 12、已知 x 1 1 x 9 y 5 1 y ，求 x y 的最大值与最小值 .
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◆含参的二元一次方程组 类型一、基本含参的二元一次方程组
2x 3y k 例题 1：已知方程组 3x 4 y k 11 的解 x，y 满足方程 5x y 3 ，求 k 的值。
总结：对于这一类含有参数的题目，并且求参数的问题，方法非常多，同学在学习时，可以经常练 习多寻找一下各个系数之间的关系，这样能够锻炼同学们的观察能力！
变型题：已知 x 2 x 2 0 ，求（ 1） x 2 的最大值；（2） 6 x 的最小值 .
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练习： 1、解关于 x 的方程 2x 5 5 2x 0 .
2、已知关于 x 的方程 3x 6 3x 6 0 ，求 5x 2 的最大值 .
四、形如 x a x b c(a b) 型的绝对值方程的解法：
2、已知 2 3a 2b (4b 12) 4 0，求 1 a2b 1 (a3 1 ab 4) .
4
2
二、形如 ax b c(a 0) 型的绝对值方程解法：
1、当 c 0 时，根据绝对值的非负性，可知此方程无解；
2、当 c 0 时，原方程变为 ax b 0 ，即 ax b 0，解得 x b ； a
3、当 c 0 时，原方程变为 ax b c或ax b
◆含参数的一元一次方程
复习：
解方程：（1） 3 2x 1 x 1
5
2
初一部分知识点拓展
（ 2） (4 x) 40%+60%x =2
（ 3） 0.2x 0.1 0.5x 0.1 1
0.6
0.4
（ 4） 1
x
1 （x
1）
2 ( x 1)
22
3
一、 含参数的一元一次方程解法（分类讨论） 1、讨论关于 x 的方程 ax b 的解的情况 .
②如果： a b 、 c 0 ，那么 ac bc(或 a b) cc
（ 4）如果： a b ，那么 b a ；
（ 5）如果： a b， b c，那么 a c .
2、不等式的其他性质：
由不等式的基本性质可以得到如下结论：
（ 1）若 a b，c d ，则 a c b d （同向可加性）
（ 2）若 a b 0，c d 0，则 ac bd 0 （可乘性）
B.2
个
C.3
个
D.
无数个
8、使方程 3 x 2 2 0 成立的未知数 x 的值是（
）；
A.-2
B.0
C.
2
D.
不存在
3
9、若 关 于 x 的 方 程 2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解， 4x 5 k 0 有 两 个 解 ， 则
m、 n、 k 的大小关系是（
）；
A. m n k B. n k m C.
c ，解得 x
c
b 或x
cb
a
a
例题 2：解方程 2x 3 5 .
练习： （ 1） 3x 6 12 0
（2） 5x 4 5 0
三、形如 ax b cx d (ac 0) 型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的非负性可知 cx d 0，求出 x 的取值范围； 2、根据绝对值的定义将原方程化为两个方程 ax b cx d和ax b
3
6
值.
变式训练：
1、若关于 x 的方程 9x 17 kx 的解为正整数，则 k 的值为
；
2、已知关于 x 的方程 9x 3 kx 14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k
；
3、已知 a 是不为 0 的整数，并且关于 x 的方程 ax 2a3 3a2 5a 4 有整数解，则 a 的值共有（ ）
A.1 个 B.6 个 C.6 个 D.9 个
2、已知 a 是有理数，有下面 5 个命题： （ 1）方程 ax 0 的解是 x 0 ；
（ 3）方程 ax 1的解是 x 1 ； a
（ 5）方程 ( a 1)x a 1 的解是 x 1
中，结论正确的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
（2）方程 ax a的解是 x 1 ； （4）方程 a x a 的解是 x 1
（ 3）若 a b 0 ，则 1 1 ab
例题 1：解下列不等式，并用数轴表示出来
（ 1） 5( x 1) 3x 1
（2） 7 x x 2
3
2
（ 3） 3 y 1 10 y 5 1
2
6
练习： 1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（ 1） 3(1 x) 2( x 9)
（2） 1 x 1 1 2x
10、解下列关于 x 的方程
k mn
D. m k n
（ 1） 8x 7 10 0
（2） x 8 2x 4
（ 9） 2x 1 1 2004 11、若 x y ( y 3)2 0 ，求 2x 3 y 的值 .
（ 6） x 2 x 1 6 （8） 5x 4 3 5x 7
（ 3） x 3 x 6 9
（4） x 1 x 5 4
变型题：解关于 x 的方程 3 4x 4 x 1 2
练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 2 x 5 7
例题 6：求方程 x 1 x 2 4 的解 .
（2） 2x 2 2x 5 7
练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 3 x 2 7
（2） 2x 5 1 2x 6
例题 7：求满足关系式 x 3 x 1 4 的 x 的取值范围 .
5、 (3a 2b) x2 ax b 0是关于 x 的一元一次方程，且 x 有唯一解，求 x 的值 .
2、已知关于 x 的方程 3 x 2(x a ) 4x和方程 3x a 1 5x 1有相同的解，求出方程的解 .
2
12
8
③根据方程定解的情况来确定
例：若 a，b 为定值，关于 x 的一元一次方程 2ka 3
练习：
7x 2y 3 1. 已知方程组 2 x ky 26 的解满足方程 9x 2 y
19 的解，求 k 的值。
类型二、含参的二元一次方程组解的情况探讨
对于二元一次方程组
a1x b1 y c1 a2 x b2 y c2 的解的情况有以下三种：
a1 b1 c1
①
a2 b2 c2
方程组有无数多解； （两个方程式等效的）
练习：
3x ay b 1. 二元一次方程组 x 4 y 2 ，当 a、b 满足什么条件时，（ 1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；
（ 3）方程组有无数解。
x 2 y 3m 3. 已知关于 x， y 的方程组 x y 9 m 的解满足方程 3x 2 y 17 ，求 m 的值。
ax y 1 2. 当 a、b 满足什么条件时，方程 (2b2 18) x 3与方程组 3x 2 y b 5 都无解。
；
4、 x 1 2 x 3 ，则 x 的取值范围是
；
（ 7） 2x 1 2x 3 4
5、 x 8 x 8 0 ，则 x 的取值范围是
.
6、已知关于 x 的一次方程 (3a 2b)x 7 0 无解，则 ab 是（
）；
A 正数
B.
非正数
C.
负数
D.
非负数
7、方程 x 1 x 1 0 的解有（
）；
A.1 个
求 a和 b 的值 .
x bx 6
2 ，无论 k 为何值时，它的解总是 x 1，
⑤根据方程整数解的情况来确定 例： m 为整数，关于 x 的方程 x 6 mx的解为正整数，求 m 的值 .
变式训练 :
1、如果 a、b 为定值，关于 x 的方程 2kx a 2 x bk ，无论 k 为何值，它的解总是 1，求 a和b 的
，b
.
3、已知关于 x 的方程 x m x 1 ( x 12) 有无数多个解，试求 m 的值 .
3
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4、已知关于 x 的方程 3a( x 2) (2b 1) x 5 有无数多个解，求 a 与 b 的值 .
变式训练： 1、若关于 x 的方程 3x a 0 的解与方程 2x 4 0 的解相同，求 a 的值 .
x y 3 mx ny 8 x y 1 与 mx ny 4 的解相同，求 m，n 的值。
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不等式及一元一次不等式
不等式的性质
1、不等式的基本性质：
（ 1）不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变；
①如果： a b ，那么 a c b c
②如果： a b ，那么 a c b c
例题 4：已知关于 x， y 的二元一次方程组 a、b 的值。
2 x 3 y 10
bx ay 8
ax by 9 与方程组 4x 3 y 2 的解相等，试求
2x y b 3x 2 y b 1 4. 若关于 x，y 的两个方程组 x y a 与 3 y 5x a 8 有相同的解，求 a，b 的值。
练习： 1. 若关于 x， y 的方程组
②根据方程解的个数情况来确定 例：关于 x 的方程 mx 4 3x n ，分别求 m， n 为何值时，原方程： （ 1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解 .
变式训练： 1、已知关于 x 的方程 2a( x 1) (5 a)x 3b 有无数多个解，那么 a
2、若关于 x 的方程 a( 2x b) 12 x 5 有无穷多个解，求 a，b 值.
1、根据绝对值的几何意义可知 x a x b a b ；
2、当 c a b 时，此时方程无解；当 c a b 时，此时方程的解为 a x b ；
当 c a b 时，分两种情况：
①当 x ②当 x
a 时，原方程的解为 x b 时，原方程的解为 x
a b c； 2
a b c. 2
例题 5：解关于 x 的方程 3 x x 1 2
② a1 b1 c1 a2 b2 c2
方程组无解；（两个方程式矛盾的）
③ a1 b1 a2 b2
方程组有唯一的解。
例题 2：当 a、b 满足什么条件时使得方程组 有唯一解。
5x y 7 ax 2 y b 满足：（1）有无数多解；（2）无解；（ 3）
3kx 2 y 6k 2. 已知方程组 2x y 8 的解满足方程 x y 10 ，求 k 的值。