含参数的一元一次方程
特殊的一元一次方程
特殊的一元一次方程一元一次方程是初中数学中最基础的概念之一，它是指一个未知数的最高次数为一的代数方程。
一般来说，一元一次方程的解是唯一的，但是在某些特殊情况下，我们会遇到一些特殊的一元一次方程，使得解可以有不止一个。
本文将以“特殊的一元一次方程”为中心，详细阐述这些特殊情况，并探讨其背后的数学原理。
首先，让我们来看一个简单的一元一次方程：2x+1=5。
这个方程中，未知数x的系数是2，常数项是1，等式右边的值是5。
我们可以通过移项和化简的方法求解这个方程，得到x=2。
这是一个典型的一元一次方程的解，也是唯一的解。
然而，当方程中存在特殊的情况时，解就会变得不唯一。
例如，考虑方程2x+1=2x+3。
这个方程中，未知数x的系数相等，且常数项也相等，即左右两边的式子完全相同。
在这种情况下，方程的解是任意的，可以是任何一个实数。
这是因为方程两边的式子完全相同，无论x取什么值，等式都成立。
另一个特殊情况是方程中的系数为0。
考虑方程0x+5=0。
在这个方程中，未知数x的系数为0，即方程可以简化为5=0。
这个方程显然没有解，因为5和0不相等。
这是一个矛盾的方程，表示方程的左右两边永远不会相等。
除了以上两种特殊情况，还有一种特殊的一元一次方程是无解的。
考虑方程2x+1=2x+2。
这个方程中，未知数x的系数相等，但常数项不相等。
通过移项和化简的方法，我们可以得到0=1，这是一个明显的矛盾。
所以，这个方程没有解。
以上这些特殊的一元一次方程展示了方程解的多样性。
正常情况下，一元一次方程的解是唯一的，但在特殊情况下，解可以有不止一个，甚至可能没有解。
这是因为特殊的条件使方程的等式左右两边变得特殊，从而产生了特殊的解。
对于这些特殊的一元一次方程，我们可以通过数学原理来解释其背后的原因。
例如，当方程两边的式子完全相同时，我们可以将方程化简为0=0，这是一个恒等式，意味着任何实数都是它的解。
当方程中的系数为0时，无论未知数取什么值，方程的左边都永远是0，与右边的值不相等，所以方程没有解。
七上一元一次方程的解中含字母参数问题考点分析
一元一次方程的解中含字母参数问题考点分析 典型例题：已知关于x 的方程22136x a x a x ---=-与方程()3245x x +=+的解相同，求a 的值． 【答案】2a =．【分析】先求出第二个方程的解，把=1x 代入第一个方程，求出a 的值即可．【详解】解：()3245x x +=+，去括号得3645x x +=+，移项合并得1x -=-，解得=1x ，把=1x 代入方程22136x a x a x ---=-得：22036a a ---=， 解得：2a =．【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于a 的方程，难度不是很大． 【变式训练】 1．已知关于x 的方程1215m x -=+的解与3243x x -=的解相同，则m 的值为 ． 【答案】65【分析】先求出方程3243x x -=的解，再把解代入方程1215m x -=+，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程3243x x -=， 得：65x =， 把65x =代入方程1215m x -=+， 得：561215m -=+， 解得：65m =， 故答案为：65． 【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于m 的一元一次方程1215m x -=+是解此题的关键．2．（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程48x =和10x +=为“和谐方程”．(1)若关于x 的方程30x m +=与方程4210x x -=+是“和谐方程”，则m =______；(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n ，则n =______．(3)若关于x 的两个方程03x m +=与3252x x m -+=是“和谐方程”，求m 的值． 【答案】(1)9m =；(2)12n =-； (3)32m =- 【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m 的方程和n 的方程解答即可； （2）利用“和谐方程”的定义列出关于n 的方程解答即可；（3）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m 的方程解答即可．【详解】（1）解：30x m +=3m x ∴=-， 4210x x -=+4x ∴=，关于x 的方程30x m +=与方程4210x x -=+是“和谐方程”，413m ∴-+= 9m ∴=；（2）“和谐方程”两个解之和为1，∴另一个方程的解为：1n -，两个“和谐方程”的解相差2，12n n ∴--=，12n ∴=-； （3）03x m +=， 3x m ∴=-，3252x x m -+=，54x m ∴=+，关于x 的两个方程03x m +=与3252x x m -+=是“和谐方程”， 3541m m ∴-++=，32m ∴=-． 【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关解是利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系． 希望大家挑战成功！。
含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程一.学习目标1．深刻理解一元一次方程的定义，会运用一元一次方程的定义求字母参数的值． 2．会利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值． 3.学会含绝对值的一元一次方程的解法．二.重难点分析1．利用一元一次方程的解和同解方程求参数的值是重点． 2．一元一次方程与新定义是难点. 3．掌握含绝对值的一元一次方程的解法.三.要点集结四.精讲精练一元一次方程的定义当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．含参数的一元一次方程一元一次方程的定义一元一次方程的解同解方程一元一次方程与新定义含绝对值符号的一元一次方程只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．注意：（1）含字母参数的一元一次方程中未知数是x，且x的指数是1，（2）x的系数不等于0，（3）x的指数高于一次的项系数是0．例1.已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求：（1）m的值；（2）代数式的值．【答案】解：（1）由题意得，|m|﹣4＝1，m+5≠0，解得，m＝5；（2）当m＝5时，原方程化为10x+18＝0，解得，x＝﹣，∴＝＝﹣．练习1.已知关于x的方程（k﹣1）x|k|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为．【答案】-1【解析】根据一元一次方程定义可得：|k|＝1，且k﹣1≠0，再解即可．练习2.已知方程（a﹣1）x|a|+2＝﹣6是关于x的一元一次方程，则a＝【答案】﹣1【解析】根据一元一次方程的定义，得到|a|＝1和a﹣1≠0，结合绝对值的定义，解之即可．练习3.已知ax2+2x+14＝2x2﹣2x+3a是关于x的一元一次方程，则其解是（）．A、x＝﹣2B、x＝12C、x＝﹣12D、x＝2【答案】A【解析】根据一元一次方程的定义，2次方的项的系数必为零，才能满足题意要求，故解：方程整理得：(a－2）x＋4x+14－3 a＝0，由方程为一元一次方程，得到a－2＝0，即a＝2，方程为4x+14－6＝0，解得：x＝－2.小结根据定义判断含字母参数的一元一次方程，一般先将方程化为标准型，x的指数高于一次的项系数是0，x的指数为1的项的系数不等于0。
初中数学人教七年级上册第三章 一元一次方程 含字母参数的一次方程(组)的解法PPT
x＝72 y＝－2
x＝3 ；乙看错了方程中的 b，得解为y＝－7 .
(1)甲把 a 错看成了什么？乙把 b 错看成了什么？ (2)求出原方程的解．
合作探究
解：(1)将x＝72 y＝－2
x＝3 代入方程 2ax y 5 ，得 7a 2 5，解得 a 1.将y＝－7
代入方程 2x by 13，得 6 7b 13 ，解得 b 1.则甲把 a 错看成了 1，乙把 b
b 的值及相同解．
2x＋5y＝－6
x＝2
解：解①、③组成的方程组3x－5y＝16 ，得y＝－2 .把它们代入②④，
2a＋2b＝－4
a＝1
得2b－2a＝－8 ，解得b＝－3 .∴a、b 的值分别为 1、－3.相同的解是
x＝2 y＝－2 .
合作探究
错问题
3．在解方程组22axx－＋byy＝ ＝513 时，由于粗心，甲看错了方程中的 a，得解为
合作探究
同解二元一次方程组 2．已知二元一次方程组46xx－ ＋2y＝y＝518 和关于 x、y 的方程组a3xa＋ x－by4＝by＝－118 有相同的解，则 19a－2b＝ 21 .
变式演练
2x＋5y＝－6①
3x－5y＝16③
※．已知方程组ax－by＝－4② 和方程组bx＋ay＝－8④ 的解相同，求 a、
x＝2
(2)根据题意，得4x＋2y＝20 ，解得y＝6 .
变式演练
※．已知关于 x、y 的二元一次方程组xx＋－2y＝y＝93mm 的解也是二元一次方程 3x＋2y＝17 的解，求 m 的值．
x＋2y＝3m
x＝7m
x＝7m
解：解二元一次方程组x－y＝9m ，得y＝－2m .将y＝－2m 代入二元
初一上数学真题专题练习---含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程【真题精选】1．（2020秋•昌平月考）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝62．（2020秋•西城期末）下列等式变形正确的是（）A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6D．如果2x＝3，那么x＝3．（2020秋•朝阳区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝4B．C．3（x﹣1）＝2x+3D．x﹣4y＝﹣64．（2021秋•海淀月考）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（）A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1 5．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3 6．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0 7．（2021秋•海淀月考）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝3x﹣2无解，则a的值是．8．（2020秋•西城区校级期中）已知关于x的方程（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，则k ＝，该方程的解x＝．9．（2020•西城期中）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．210．（2020•西城月考）已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m 的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对11．（2020秋•西城区校级期中）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8 12．（2020•西城月考）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为．13．（2020•西城月考）已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程＝﹣a的解的和为，求a的值．14．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x的方程kx﹣1＝2（x+1）的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k的值为．15．（2019秋•丰台区校级期中）若关于x的一元一次方程（m﹣1）x﹣3＝0的解是正整数，求整数m的值．16．（2019秋•密云区期末）已知方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．（1）求m，n满足的条件．（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．17．（2020秋•通川区期末）若关于x的方程x﹣6＝（k﹣1）x有正整数解，则满足条件的所有整数k值之和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣418．（2020•西城月考）已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．19．（2019秋•通州区期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（）A．x＝﹣1B．x＝C．x＝1D．x＝﹣1或20．（2019秋•海淀区校级期中）我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b ＝．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．含参数的一元一次方程参考答案与试题解析一．试题（共20小题）1．（2020秋•昌平月考）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6【分析】根据等式的性质即可解决．【解答】解：A、若4x＝2，则x＝，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2+2，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）﹣2（x+1）＝3，原变形错误，故这个选项不符合题意；D、若﹣＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形正确，故这个选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了等式的性质．熟知等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．2．（2020秋•西城期末）下列等式变形正确的是（）A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6D．如果2x＝3，那么x＝【分析】根据等式的性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：如果a＝b，那么a+3＝b+3，故选项A错误；如果3a﹣7＝5a，那么3a﹣5a＝7，故选项B错误；如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6，故选项C正确；如果2x＝3，那么x＝，故选项D错误；故选：C．【点评】本题考查等式的性质，解答本题的关键是明确等式的性质，会用等式的性质解答问题．3．（2020秋•朝阳区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝4B．C．3（x﹣1）＝2x+3D．x﹣4y＝﹣6【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．是一元一次方程，故本选项符合题意；D．是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．4．（2021秋•海淀月考）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（）A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．【解答】解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，得a+1≠0，解得a≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零．5．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，∴a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．6．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答．【解答】解：∵方程ax＝b有无数个解，∴未知数x的系数a＝0，∴b＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，x前面系数为0时方程有无数个解是解题的关键．7．（2021秋•海淀月考）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝3x﹣2无解，则a的值是．【分析】若一元一次方程ax+b＝0无解，则a＝0，b≠0，据此可得出a的值．【解答】解：原式可化为：（2a﹣3）x+2﹣a＝0，∵方程无解，∴可得：2a﹣3＝0，2﹣a≠0，故a的值为．故填．【点评】本题考查一元一次方程的解，难度不大关键是掌握无解情况下各字母的取值情况．8．（2020秋•西城区校级期中）已知关于x的方程（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，则k＝﹣1，该方程的解x＝﹣2．【分析】由一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．可得|k|＝1，k﹣1≠0，求出k的值，再解方程即可．【解答】解：∵（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，∴|k|＝1，k﹣1≠0，∴k＝±1，k≠1，∴k＝﹣1，∴﹣2x﹣1＝3，移项，得﹣2x＝4，解得x＝﹣2，故答案为：﹣1，﹣2．【点评】本题考点一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键．9．（2020•西城期中）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．2【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：由题意，得|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．10．（2020•西城月考）已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m 的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：由题意，得m2﹣1＝0且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．11．（2020秋•西城区校级期中）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【解答】解：依题意，得2×（﹣1）﹣（﹣1）k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7，解得，k＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．12．（2020•西城月考）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为﹣．【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值．【解答】解：方程2x+1＝﹣1，解得：x＝﹣1，代入方程得：1+2+2a＝2，解得：a＝﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13．（2020•西城月考）已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程＝﹣a的解的和为，求a的值．【分析】首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是，列方程求得a的值．【解答】解：解2x﹣a＝1得x＝，解＝﹣a，得x＝．由题知+＝，解得a＝﹣3．【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，正确解关于x的方程是解决本题的关键．14．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x的方程kx﹣1＝2（x+1）的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k的值为3或1或﹣1或5．【分析】先求方程的解得x＝，再由已知可得k﹣2＝±1或k﹣2＝±3，求出k的值即可．【解答】解：kx﹣1＝2（x+1），去括号得，kx﹣1＝2x+2，移项、合并同类项，得（k﹣2）x＝3，解得x＝，∵方程的解为整数，∴k﹣2＝±1或k﹣2＝±3，∴k＝3或k＝1或k＝5或k＝﹣1，故答案为：3或1或﹣1或5．【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，并由方程解的情况列出k满足的等式是解题的关键．15．（2019秋•丰台区校级期中）若关于x的一元一次方程（m﹣1）x﹣3＝0的解是正整数，求整数m的值．【分析】解方程得：x＝，x是整数，则m﹣1＝±1或±3，据此即可求得m的值．【解答】解：（m﹣1）x﹣3＝0，解得：x＝，∵解是正整数，∴m﹣1＝1或3，解得：m＝2或4．故整数m的值为2或4．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m﹣1＝±1或±3是关键．16．（2019秋•密云区期末）已知方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．（1）求m，n满足的条件．（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．【分析】（1）利用一元一次方程的定义求m，n满足的条件；（2）先根据m为整数且方程的解为正整数得出m+1＝1或m+1＝3，解一元一次方程可以得出m的值．【解答】解：（1）因为方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．所以m+1≠0，且n﹣1＝1，所以m≠﹣1，且n＝2；（2）由（1）可知原方程可整理为：（m+1）x＝3，因为m为整数，且方程的解为正整数，所以m+1为正整数．当x＝1时，m+1＝3，解得m＝2；当x＝3时，m+1＝1，解得m＝0；所以m的取值为0或2．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是求出n的值．17．（2020秋•通川区期末）若关于x的方程x﹣6＝（k﹣1）x有正整数解，则满足条件的所有整数k值之和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣4【分析】根据方程的解为正整数，可得（k﹣2）是6的约数，根据约数关系，可得k的值．【解答】解：解x﹣6＝（k﹣1）x，得x＝．由x＝是正整数，得2﹣k＝6时，k＝﹣4，2﹣k＝3时，k＝﹣1，2﹣k＝2时，k＝0，2﹣k＝1时，k＝1，∴﹣4﹣1+0+1＝﹣4．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用6的约数是解题关键．18．（2020•西城月考）已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．【分析】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值．【解答】解：由ax+＝，得ax+9＝5x﹣2，移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11，系数化成1得：x＝﹣，∵x是正整数，∴a﹣5＝﹣1或﹣11，∴a＝4或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝4．则x＝﹣＝11．综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．19．（2019秋•通州区期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（）A．x＝﹣1B．x＝C．x＝1D．x＝﹣1或【分析】方程利用题中的新定义变形，计算即可求出解．【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：x＝2x+1，解得：x＝﹣1，不符合题意；当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：﹣x＝2x+1，解得：x＝﹣，综上，方程的解为x＝﹣，故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2019秋•海淀区校级期中）我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b＝．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．【分析】（1）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之得出a、b的值即可得出答案；（3）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解．【解答】解：（1）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x＝，∴m﹣4＝，解得m＝；故答案为：；（2）由题意可知x＝ab+a﹣4，由一元一次方程可知x＝，又∵方程的解为a，∴＝a，ab+a﹣4＝a，解得a＝，b＝3，∴；故答案为：．（3）∵一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，∴mn+m＝，mn+n＝﹣，两式相减得，m﹣n＝．∴﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]＝﹣5（m﹣n）﹣33，＝﹣5×﹣33+2×，＝，＝﹣．【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．。
含参数一元一次方程【精】
含参数一元一次方程【精】引言含参数一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数的一元一次方程。
参数是未知数的某种规定值，通过给参数赋予不同的值，可以得到不同的方程。
在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，先求相应参数下的特殊方程的解，然后分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。
方程的基本形式含参数一元一次方程的基本形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
求解含参数一元一次方程的步骤1. 对于给定的参数值，将方程化为一元一次方程。
2. 求解得到一元一次方程的解。
3. 分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。
示例假设我们要求解含参数的一元一次方程：ax + b = 0，其中a是一个参数。
下面是对于不同参数值的求解步骤：当a = 0时方程化为：0x + b = 0，即b = 0。
此时方程的解是：x = 0。
当a ≠ 0时方程化为：ax + b = 0。
移项得到：x = -b/a。
这就是方程的解。
参数的取值范围在解含参数一元一次方程时，要考虑参数的取值范围。
对于不同的参数取值，方程可能有不同的解。
结论含参数一元一次方程是一种特殊的一元一次方程，通过对参数的赋值，可以得到不同的方程。
在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，并考虑参数的取值范围，得到方程的解的条件。
参考文献- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 初中代数（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 高中数学（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.。
专题3.2 一元一次方程中含参数问题(六大类型)(原卷版)
专题3.2 一元一次方程中含参数问题（六大类型）【题型1：一元一次方程的定义】【题型2：一元一次方程的解】【题型3：一元一次方程-整体法】【题型4：一元一次方程-同解】【题型5：一元一次方程-错解】【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】【题型1：一元一次方程的定义】【典例1】当a＝时，关于x的方程3x a﹣2﹣6a＝0是一元一次方程．【变式1-1】已知关于x的方程（m+2）x|m+3|+12＝﹣3是一元一次方程，则m的值是．【变式1-2】若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．【变式1-3】若关于x的方程x m+1﹣2＝1是一元一次方程，则m的值是．【变式1-4】如果（k﹣1）x2+kx+8＝0是关于x的一元一次方程，则k＝．【题型2：一元一次方程的解】【典例2】若x＝1是关于x的方程2x+a＝0的解，则a的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【变式2-1】若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，则m的值为（）A．10B．4C．3D．﹣3【变式2-2】如果x＝3是关于x的方程3m﹣2x＝6的解，则m的值是（）A．0B．C．﹣4D．4【变式2-3】关于x的方程3a+x＝18的解为x＝﹣3，则a的值为（）A．4B．5C．6D．7【变式2-4】已知方程﹣3（a﹣9）＝5x﹣1的解是x＝5，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【变式2-5】关于x的方程（k﹣3）x﹣1＝0的解是x＝﹣1，那么k的值是（）A．k≠3B．k＝﹣2C．k＝﹣4D．k＝2【题型3：一元一次方程-整体法】【典例3】（2022秋•绥德县期末）若x＝2是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则1+4m﹣2n的值为（）A．3B．5C．7D．9【变式3-1】（2022秋•金华期末）若x＝﹣2是关于x的方程2x﹣a+2b＝0的解，则代数式2a﹣4b+1的值为（）A．﹣7B．7C．﹣9D．9【变式3-2】（2023春•德宏州期末）若x＝2是关于x的一元一次方程mx+n＝3的解，则代数式6m+3n﹣2的值是（）A．2B．3C．7D．9【变式3-3】（2022秋•海兴县期末）若x＝﹣1是方程ax﹣（2a+x）＝4的解，则a的值为（）A．﹣1B．1C．D．【变式3-4】（2023春•淮阳区期末）已知x＝﹣1是方程ax+1＝bx﹣4的解，则﹣3a+5b﹣2（b﹣5）的值是（）A．5B．﹣5C．﹣10D．10【题型4：一元一次方程-同解】【典例4】（惠山区校级月考）关于x的方程＝﹣x与方程4（3x﹣7）＝19﹣35x有相同的解，求m的值．【变式4-1】（2022秋•依安县期末）若方程3x﹣5＝1与方程1﹣＝0有相同的解，则a的值等于．【变式4-2】（罗湖区校级期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x﹣）]＝4x和有相同的解，求a的值和这个解．【变式4-3】（房山区校级月考）若关于x的方程2x﹣3＝1和＝k﹣3x有相同的解，求k的值．【变式4-4】（江都市校级期中）已知关于x的方程：2（x﹣1）+1＝x与3（x+m）＝m﹣1有相同的解，求以y为未知数的方程的解．【题型5：一元一次方程-错解】【典例5】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程＝﹣1去分母时由于粗心，方程右边的﹣1没有乘6而得到错解x＝4，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．【变式5-1】某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错得x＝﹣4，他把□处看成了（）A．3B．﹣6C．6D．﹣4【变式5-2】某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错得x＝﹣，他把□处看成了（）A．3B．﹣9C．8D．﹣8【变式5-3】某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错得x＝﹣，他把□处看成了（）A．3B．﹣9C．8D．﹣8【变式5-4】小华同学在解方程3x﹣1＝□x+2时，把“□”里的数字看错了，解得x＝2，则该同学把“□”里的数字看成了．【变式5-5】某同学在解方程5x﹣5＝△x时，把△处的数字看错了，解得x＝﹣4，该同学把△看成了．【题型6：根据特殊关系列一元一次方程并解答】【典例7】（2022秋•新泰市期末）（1）x取何值时，代数式4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数？（2）k取何值时，代数式的值比的值小1？【变式7-1】（2022秋•咸阳期末）已知关于x的方程3x+2a﹣1＝0的解与方程x ﹣2a＝0的解互为相反数，求a的值．【变式7-2】（2022秋•汉台区期末）若4（x﹣1）与﹣2（x﹣3）互为相反数，求x的值．【变式7-3】（2022秋•惠东县期末）如果关于x的方程的解与关于x 的方程4x﹣（3a+1）＝6x+a+1的解互为相反数，求a的值．【变式7-4】（2022秋•长寿区期末）设y1＝1﹣，y2＝（1）当x为何值时，y1，、y2互为相反数；（2）当x为何值时，y1、y2相等．【变式7-5】（2022秋•南岗区校级月考）已知代数式与代数式，当x为何值时，代数式与代数式的值相等．【变式7-6】（2022秋•昭平县期中）x取何值时，2x﹣3与﹣5x+4的值满足下列条件：（1）相等；（2）2x﹣3比﹣5x+4多7．。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
第3章一元一次方程的含参问题(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解含参一元一次方程的基本概念。含参的一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数，这些参数通常表示未知的常量。它在数学建模和解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个实际速度问题转化为含参的一元一次方程，并通过求解方程来解决问题。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相对顺利。但我观察到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，这可能影响了整个小组的学习效果。在未来的教学中，我需要考虑如何更好地调动每个学生的积极性，确保每个人都能在小组活动中得到充分的锻炼。
学生小组讨论时，大家对于含参方程在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点，这让我感到很欣慰。但在引导讨论时，我发现自己在提问的技巧上还有待提高，有些问题可能不够开放，限制了学生的思考空间。我将在下一次的教学中注意这一点，设计更多具有启发性的问题。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论与合作，共同解决复杂问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解含参一元一次方程的概念，包括参数的概念和含参方程的特点；
-掌握含参一元一次方程的求解方法，特别是换元法和消元法的应用；
-能够将实际问题抽象为含参一元一次方程模型，并进行求解；
-通过对含参方程求解过程的分析，理解方程解的多样性和参数对解的影响。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次方程含参问题的基本概念、求解方法和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对含参问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
(完整)含参数一元一次方程、含绝对值一元一次方程
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一． 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题2. 两个一元一次方程同解问题3. 已知方程解的情况求参数4. 一元一次方程解的情况(分类讨论）二： 解含有绝对值的一元一次方程 一. 含有参数的一元一次方程 1. 整数解问题（常数分离法）例题1:⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -= 119x k=- ∵,x k 均为整数 ∴91,11k -=±± ∴2,8,10,20k =-⑵ 【中】 关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程(1)则,m n 应满足的条件为：___m ,____n ； (2)若此方程的根为整数,求整数=____m答案：(1)1,1≠=;(2）由(1）可知方程为(1)3m x -=, 则31x m =- ∵此方程的根为整数.∴31m -为整数又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=-- ∴2,0,2,4m =-测一测1: 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )A.2B.3C.1或2D.2或3 答案：D方程143+=+x ax 可化简为:()24-=-x a 解得42--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则k 的值为___________答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -= 即：179x k=-，x 为正整数,则88k =或- 测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m =2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________【答案】第二个方程的解为3x =,将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =⑵ 【中】若关于x 的方程：k(x+3)(2)10354k x x --=-与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求___k = 【答案】由方程k(x+3)(2)10354k x x --=-解得x=2, 代入方程1252(1)3xx --+=中解得k=4测一测1：【易】方程213x +=与202a x--=的解相同，则a 的值是（ ) A 、7 B 、0 C 、3 D 、5 【答案】D第一个方程的解为1x =，将1x =代入到第二个方程中得:12=02a --，解得5a = 例题3： 【中】 若关于x 的方程231x -=和32x kk x -=-解互为相反数，则k 的值为(） A. 143- B 。
一元一次方程含参问题含答案(教师版)
x=−2.5，那么△处的数字是多少?
4、已知方程 2kx2 2kx 3k 4x2 x 1是关于 x 的一元一次方程，求 k 值，并求出这个方程的
根
解答：
将方程整理得：(2k−4)x2+(2k−1)x+3k−1=0，
∴2k−4=0，解得：k=2， 当 k=2 时，原方程化为：3x+5=0，
3
∴k−4=1，x=3；或 k−4=3，x=1； ∴k=5 或 7， 故答案为：5 或 7.
2、已知关于 x 的方程 a(2x−1)=3x−2 无解，试求 a 的值。 解答： 将原方程变形为 2ax−a=3x−2， 即(2a−3)x=a−2. 由已知该方程无解，所以 2a−3=0 且 a−2≠0， 解得 a 3 .
3
9
4
2、方程 x5m4 5 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。 解答： ∵方程 x5m−4+5=0 是关于 x 的一元一次方程， ∴5m−4=1， 解得：m=1.
3、方程 x3m4 5 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。
1
4、已知 m 1x2 m 1x 5 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。
知识点 2：一元一次方程的解
1、已知关于 x 方程 x m x m 与 x−1=2(2x−1)的解互为倒数，求 m 的值。
数学上册专题(4)含字母参数的一元一次方程问题作业课件新版浙教版
错解问题
4．小李在解方程 5a－x＝13(x 为未知数)时，误将 －x 看做＋x，得方程的解为 x＝2，则原方程的解 为__x_＝__－__2________．
5．某书有一道方程：2＋*x ＋1＝x ，*处的一个 3
数在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道这 个方程的解为 x＝2.5，那么*处被墨盖住的数应该 是多少？
解：移项合并得：(4－a)x ＝－8－b， ①当 a＝4 且 b≠－8 时，方程无解； ②当 a＝4，b＝－8 时，方程有无数个解； ③当 a≠4 时，方程有唯一解，x＝－48－－ab .
11．已知关于 x 的方程 3x－3＝2a(x＋1)无解，试 求 a 的值．
解：去括号，得 3x－3＝2ax＋2a，移项，得 3x－ 2ax ＝2a＋3，合并同类项，得(3－2a)x ＝2a＋3， ∵方程无解，∴3－2a＝0，a＝3 .
专题(四) 含字母参数的一元一次方程问题
同解问题
1．已知方程 2x－2＝4 与方程 1－2a－x ＝0 有共 3
同的解，则 a 的值等于( B )
A．1 3
B．3
C．1
D．0
2．若关于 x 的方程x ＋m ＝x－4 与 x＋m＝1 的解相 23
同，求 m 的值．
解：解关于 x 的方程x ＋m ＝x－4，3x＋2m＝6x－24， 23
3
12
有一个正整数解，则 m 的最小正数是多少？并求
出相应的解．
解：由 25 x－m＝ 5 x＋6，得 100x－12m＝5x＋72，
3
12
即 95x＝72＋12m，所以 x＝72＋12m ，要使 x 为正整 95
数，m 的最小正数值是 m＝23 ，此时 x＝1. 12
与一元一次方程有关的参数问题题目
与一元一次方程有关的参数问题题目一元一次方程是数学中的基础概念，常常出现在各种应用问题中。
本文将给出一些与一元一次方程有关的参数问题题目，并解答这些问题。
问题1：一个数加上12等于20，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x + 12 = 20。
解方程的步骤如下：x + 12 = 20x = 20 - 12x = 8所以这个数为8。
问题2：一个数减去20等于12，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x - 20 = 12。
解方程的步骤如下：x = 12 + 20x = 32所以这个数为32。
问题3：一个正整数加上50等于100，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程x + 50 = 100。
解方程的步骤如下：x + 50 = 100x = 100 - 50x = 50所以这个数为50。
问题4：一个数的三倍减去10等于40，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可以得到方程3x - 10 = 40。
解方程的步骤如下：3x = 40 + 103x = 50x = 50 / 3所以这个数为50/3。
问题5：一条绳子剪成两段，其中一段是另一段的3倍，总长度为40cm，求这两段的长度分别是多少？解析：设其中一段的长度为x，另一段的长度为3x，根据题意，可以得到方程x + 3x = 40。
解方程的步骤如下：x + 3x = 404x = 40x = 40 / 4x = 10所以其中一段的长度为10cm，另一段的长度为3*10=30cm。
问题6：父亲的年龄是儿子的5倍，两人的年龄之和是54岁，求父亲和儿子的年龄分别是多少？解析：设儿子的年龄为x，父亲的年龄为5x，根据题意，可以得到方程x + 5x = 54。
解方程的步骤如下：6x = 54x = 54 / 6x = 9所以儿子的年龄为9岁，父亲的年龄为5*9=45岁。
问题7：某商品原价为x元，降价20%后的价格为16元，求原价是多少？解析：设原价为x元，根据题意，可以得到方程x - 0.2x = 16。
《含参一元一次方程100题》
含参一元一次方程100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元一次方程这一部分的计算能力。
大致分了五个模块：①一元一次方程概念相关（10题）；②同解问题（51题）；③整数解问题（13题）④方程解的情况（21题）⑤错解问题（5题）；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一一元一次方程概念相关方法总结：一元一次方程：指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
“110”：1个未知数、未知数次数为1、未知数系数不为0一般步骤：①确定系数、次数；②使次数为1，系数不为0；③求解.易错总结：①不要忘记系数不为0；②计算要细心.例题解析：关于x的方程(a−1)x b−1−2=0是一元一次方程，则a,b的取值情况.解：∵(a−1)x b−1−2=0是关于x的一元一次方程∴a−1≠0且b−1=1……【次数为1，系数不为0】解得：a≠1，b=2巩固练习：1.x m−1−4=0是关于x的一元一次方程，那么m的值是多少？2.已知3x|n−1|+5=0为一元一次方程，则n的值是多少？3.关于x的方程(a−2)x|a|−1−2=0是一元一次方程，则a的值是多少？4.关于x的方程(a+2)x|a|−1−2=1是一元一次方程，则a的值是多少？5.若关于x的方程(m−1)x|m|−3=0是一元一次方程，则m的值是多少？6.若(m+3)x|m|−2+2=1是关于x的一元一次方程，则m的值为多少？7.已知方程(k−3)x|k|−2+5=k−4是关于x的一元一次方程，则k的值是多少？8.若方程(2a−1)x2−ax+5=0是关于x的一元一次方程，则a的值是多少？9.若方程(m2−1)x2+(m−1)x+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是多少？10.已知方程2+(k−2)x|k−1|+k−3=0是关于x的一元一次方程，求方程的解．模块二同解问题方法总结：若两个方程同解：①一个方程不含参数,另外一个方程含有参数：先求出一个方程的解，然后将该解代入另一方程；②两个方程都含有参数：分别求出两个方程的解，再令解相等求出参数的值。
含参数的一元一次方程
6 x m 1
∴m+1=1; 或m+1=2; 或m+1=3; 或m+1=6
∴m=0或1或2或5
练习:
1.若关于x的方程9x-17=kx的解为正整数， 则k的值为_______
2.已知关于x的方程4x-5=kx+4有整数解， 那么满足条件的所有整数k=_____
练习:
3.解关于x的方程 方程(1)
含参数的一元一次方程
讨论关于x的方程:
ax=b的解的情况．
试一试: 解关于x的方程:(1)ax=74, (2)ax=a
74 解:(1)当a≠0时,x= a
当a=0时,方程左边=0,右边+4=3x-n，分别求m， n为何值时，原方程： （1）有唯一解； （2）有无数多解； （3）无解．
例2.若a、b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 2 程，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a、b的值．
请你说一说解含参数的一元一次方程 方法及注意事项
例3.已知m为整数，关于x的方程x=6-mx 的解为正整数，求m的值． 解:移项,得,x+mx=6 合并同类项,得 (m+1)x=6 系数化为1,得 ∵ m为整数且 x为正整数
课后巩固作业: 培优新观察第55,56页!
业精于勤, 荒于嬉; 行成于思, 毁于随.
3 x 2a 1 4( x a) 2
方程(2)
22( x 3) 3( x a) 3a
变式练习
方程(1)
方程(2)
22( x 3) 3( x a) 3a
3 x 2a 1 4( x a) 2
1.若两个关于x的方程的解相等、互为相反数, 请求出a的值; 2.若方程(1)的解是方程的解的2倍少1, 请求出a的值.
初一数学一元一次方程专题,详解五类含参题型
初一数学一元一次方程专题，详解五类含参题型一、利用一元一次方程及其解的定义求待定字母的值【解析】：这两个例题分别考察了一元一次方程的定义以及已知一元一次方程的解求其中的字母参数的类型。
对于一元一次方程的定义可以，一元一次方程只有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不等于0，而且必须是整式方程，即分母中不含有未知数，因此根据上面的条件，可得第一题|m|-1=1，且m-2≠0,得m=-2.这类题目解题思路就是严格按照一元一次方程的定义进行找寻关系即可。
对于第二题这种类型的题目，因为已经知道方程的解了，直接将方程的解代入原方程中，求出字母参数即可，因此得k=1.这类题目的解题思路是根据给定的方程的解，代入方程中，得到关于字母参数的一个方程，求出字母参数的值即可。
二、利用两个方程之间的关系求待定字母的值【解析】：这两个题目的类型时，给定两个一元一次方程，根据给定的方程的解的情况，进行字母参数的求值。
第三题属于同解问题，这类题目的解题思路是，首先根据给定的不含字母参数的方程，求出方程的解，然后因为两个方程的解相同，将解出来的值代入到另一个方程中，从而求出字母参数，本题中首先得x=-1，将x=-1代入第一个方程中，得a=-11。
第四题中，两个方程都有字母参数，而且两个方程的解是相反数，这类题目的解题思路是，分别求出两个方程的解，这时的解带有字母参数，然后根据题目中的条件，列出相应的关系式，本题中，第一个方程的解是x=（3m+1）/2，第二个方程的解是x=-（2m+4）/3，因为两个方程的解互为相反数，因此相加等于0.从而得m=1.三、利用方程的错解确定待定字母的值【解析】：这两个题目属于错解问题，告诉你求解过程中，什么地方做错了，然后让你求出字母参数和正确的解。
这类题目的解题思路是，首先根据题目中告诉的错误答案是怎么求解出来的，然后按照错误的解题过程求解出字母参数，之后按照正确的解题过程求解出正确的方程的解即可。
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变型题：已知 x 2 x 2 0 ，求（ 1） x 2 的最大值；（2） 6 x 的最小值 .
第 3页
练习： 1、解关于 x 的方程 2x 5 5 2x 0 .
2、已知关于 x 的方程 3x 6 3x 6 0 ，求 5x 2 的最大值 .
四、形如 x a x b c(a b) 型的绝对值方程的解法：
练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 1 x 2 3
（ 2） x 2 x 5 7
第 4页
7 升 8 数学金牌班课后练习
（ 5） 4x 3 2x 9
1、已知 x2 x 1 0 ，代数式 x3 2x 2008 的值是
；
2、已知关于 x 的方程 3a x x 3 的解是 4，则 ( a)2 2a
；
2
3、已知 x x 2 ，那么 19 x99 3x 27 的值为
◆含参数的一元一次方程
复习：
解方程：（1） 3 2x 1 x 1
5
2
初一部分知识点拓展
（ 2） (4 x) 40%+60%x =2
（ 3） 0.2x 0.1 0.5x 0.1 1
0.6
0.4
（ 4） 1
x
1 （x
1）
2 ( x 1)
22
3
一、 含参数的一元一次方程解法（分类讨论） 1、讨论关于 x 的方程 ax b 的解的情况 .
二、含参数的一元一次方程中参数的确定 ①根据方程解的具体数值来确定 例：已知关于 x 的方程 3a x ax 3的解为 x 4
2
变式训练：
1、已知方程 2x a 4( x 1) 的解为 x 3 ，则 a
；
2
2、已知关于 x 的方程 mx 2 2(m x) 的解满足方程 x 1 0 ，则 m
；
2
3、如果方程 2(x 1) 3( x 1) 0的解为 a 2 ，求方程： 2 2( x 3) 3(x a) 3a 的解 .
（ 3）若 a b 0 ，则 1 1 ab
例题 1：解下列不等式，并用数轴表示出来
（ 1） 5( x 1) 3x 1
（2） 7 x x 2
3
2
（ 3） 3 y 1 10 y 5 1
2
6
练习： 1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（ 1） 3(1 x) 2( x 9)
（2） 1 x 1 1 2x
练习：
7x 2y 3 1. 已知方程组 2 x ky 26 的解满足方程 9x 2 y
19 的解，求 k 的值。
类型二、含参的二元一次方程组解的情况探讨
对于二元一次方程组
a1x b1 y c1 a2 x b2 y c2 的解的情况有以下三种：
a1 b1 c1
①
a2 b2 c2
方程组有无数多解； （两个方程式等效的）
练习：
3x ay b 1. 二元一次方程组 x 4 y 2 ，当 a、b 满足什么条件时，（ 1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；
（ 3）方程组有无数解。
x 2 y 3m 3. 已知关于 x， y 的方程组 x y 9 m 的解满足方程 3x 2 y 17 ，求 m 的值。
ax y 1 2. 当 a、b 满足什么条件时，方程 (2b2 18) x 3与方程组 3x 2 y b 5 都无解。
B.2
个
C.3
个
D.
无数个
8、使方程 3 x 2 2 0 成立的未知数 x 的值是（
）；
A.-2
B.0
C.
2
D.
不存在
3
9、若 关 于 x 的 方 程 2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解， 4x 5 k 0 有 两 个 解 ， 则
m、 n、 k 的大小关系是（
）；
A. m n k B. n k m C.
1、根据绝对值的几何意义可知 x a x b a b ；
2、当 c a b 时，此时方程无解；当 c a b 时，此时方程的解为 a x b ；
当 c a b 时，分两种情况：
①当 x ②当 x
a 时，原方程的解为 x b 时，原方程的解为 x
a b c； 2
a b c. 2
例题 5：解关于 x 的方程 3 x x 1 2
；
4、 x 1 2 x 3 ，则 x 的取值范围是
；
（ 7） 2x 1 2x 3 4
5、 x 8 x 8 0 ，则 x 的取值范围是
.
6、已知关于 x 的一次方程 (3a 2b)x 7 0 无解，则 ab 是（
）；Байду номын сангаас
A 正数
B.
非正数
C.
负数
D.
非负数
7、方程 x 1 x 1 0 的解有（
）；
A.1 个
x y 3 mx ny 8 x y 1 与 mx ny 4 的解相同，求 m，n 的值。
第 7页
不等式及一元一次不等式
不等式的性质
1、不等式的基本性质：
（ 1）不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变；
①如果： a b ，那么 a c b c
②如果： a b ，那么 a c b c
②根据方程解的个数情况来确定 例：关于 x 的方程 mx 4 3x n ，分别求 m， n 为何值时，原方程： （ 1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解 .
变式训练： 1、已知关于 x 的方程 2a( x 1) (5 a)x 3b 有无数多个解，那么 a
2、若关于 x 的方程 a( 2x b) 12 x 5 有无穷多个解，求 a，b 值.
变型题：解关于 x 的方程 3 4x 4 x 1 2
练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 2 x 5 7
例题 6：求方程 x 1 x 2 4 的解 .
（2） 2x 2 2x 5 7
练习：解关于 x 的方程 （ 1） x 3 x 2 7
（2） 2x 5 1 2x 6
例题 7：求满足关系式 x 3 x 1 4 的 x 的取值范围 .
例题 4：已知关于 x， y 的二元一次方程组 a、b 的值。
2 x 3 y 10
bx ay 8
ax by 9 与方程组 4x 3 y 2 的解相等，试求
2x y b 3x 2 y b 1 4. 若关于 x，y 的两个方程组 x y a 与 3 y 5x a 8 有相同的解，求 a，b 的值。
练习： 1. 若关于 x， y 的方程组
②如果： a b 、 c 0 ，那么 ac bc(或 a b) cc
（ 4）如果： a b ，那么 b a ；
（ 5）如果： a b， b c，那么 a c .
2、不等式的其他性质：
由不等式的基本性质可以得到如下结论：
（ 1）若 a b，c d ，则 a c b d （同向可加性）
（ 2）若 a b 0，c d 0，则 ac bd 0 （可乘性）
2、已知 2 3a 2b (4b 12) 4 0，求 1 a2b 1 (a3 1 ab 4) .
4
2
二、形如 ax b c(a 0) 型的绝对值方程解法：
1、当 c 0 时，根据绝对值的非负性，可知此方程无解；
2、当 c 0 时，原方程变为 ax b 0 ，即 ax b 0，解得 x b ； a
3、当 c 0 时，原方程变为 ax b c或ax b
2、已知 a 是有理数，有下面 5 个命题： （ 1）方程 ax 0 的解是 x 0 ；
（ 3）方程 ax 1的解是 x 1 ； a
（ 5）方程 ( a 1)x a 1 的解是 x 1
中，结论正确的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
（2）方程 ax a的解是 x 1 ； （4）方程 a x a 的解是 x 1
3
6
值.
变式训练：
1、若关于 x 的方程 9x 17 kx 的解为正整数，则 k 的值为
；
2、已知关于 x 的方程 9x 3 kx 14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k
；
3、已知 a 是不为 0 的整数，并且关于 x 的方程 ax 2a3 3a2 5a 4 有整数解，则 a 的值共有（ ）
A.1 个 B.6 个 C.6 个 D.9 个
( cx d ) ；
3、分别解方程 ax b cx b和ax b (cx b) ； 4、将求得的解代入 cx d 0 检验，舍去不合条件的解 . 例题 3：解方程 x 5 2x 5
练习： （ 1） 4x 3 2x 9
（ 2） 4x 3 2 3x 4
例题 4：如果 a 4 a 4 0 ，那么 a 的取值范围是多少 .
，b
.
3、已知关于 x 的方程 x m x 1 ( x 12) 有无数多个解，试求 m 的值 .
3
26
第 1页
4、已知关于 x 的方程 3a( x 2) (2b 1) x 5 有无数多个解，求 a 与 b 的值 .
变式训练： 1、若关于 x 的方程 3x a 0 的解与方程 2x 4 0 的解相同，求 a 的值 .
类型三、同解方程组问题
例题 3：已知关于 x， y 的二元一次方程组 值。
x y3
ax by 7
3 x y 7 和方程组 ax by 9 的解相同， 求 a、b 的
3. 解方程组 么关系？
2x 3y 4 5x 6 y 7 ，并将其解与方程组
3x 4y 5 6 x 7 y 8 的解进行比较， 这两个方程的解有什
④根据方程公共解的情况来确定
例：若方程 3(x
1)
8
2x
x 3与方程
k
5
2 x 的解相同，求 k 的值 . 3