实数与向量相乘二

5a
2
a
2
Aa
a
1
r a
B
AB 2a 1 a
2
2
例2.已知非零向量 a，求作：2a- 5 a；
1a 2
DC a a
2
CD 2a 5 a
2
r 2a
1
r a
(2
1
r )a
5
r a
2
22
r 2a
5
r a
(2
5 )ar
1
r a
2
2
2
实数与向量相乘对于实数加法满足分配律 设非零实数m、n，向量a ≠0
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向 量．（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF.
解:
uuur uuur uuur CF CA AF
A
1
r a
ur m
1
ur (m
1
r a)
2 22
1
ur m
3
r a
F
E
24
G
B
C
D
2.O为△ABC内一点，点D,E分别在边AB和AC上，且
AD 1 , AE 1 , 若OB=a,OC=b,试用a，b表示向
AB 4 EC 3
A
量DE.
Q AD 1，AE 1， AD = AE AB 4 EC 3 AB AC
D
E
∴DE∥BC
DE = AD 1 即DE 1 BC
O
BuuCur uAuBur u4uur r r Q BuuCur OuuCur OB b a 又Q DE与BC方向相同
BC,AD的中点,M,N是线段EF上的两个点,且EM=MN=NF,
下底AB长是上底CD长的2倍，设AB=a ，BC=b ，
求：AM．
3
r a
1
r b
C
D
uuuur uu4ur u2uur uuuur uAuMur rAB BE EM
MN
E
F
AB a
uuur BE
1
r b
B
A
2
uuuur EM
1
1.计算：
rr (1) 3(a+5b)
rr 3a+15b
(2)
3
r a+
r (a
3
r b)
2
2
r
(Biblioteka Baidu) (5)(4a)
5
r a-
3
r b
22
r - 20a
rr rr r r r (4) 7(a b) 4(a b) 3a 6a 11b
rrr rrr r r r (5) 5(a b c) 2(a b c) 3c 3a 3b
2
ar
r b
与
2ar
r 2b
相等吗? 作图说明
C
a
–b
–b –a
b
D
uuur
rr
OC 2(a b)
uuur r r
OC 2a 2b
rr
rr
2(a b) 2a 2b
–a O a
rr ab
b
A
rr r r 3(a b) 3a 3b
rr
rr
2(a b) 2a 2b
实数与向量相乘对于向量加法满足分配律 设非零实数k， 非零向量a、b k(a+b)=ka+kb
r a+
1
r b
C
uuur BF uuur CD
uuur BC uuur CA
uuur CF uuur AD
2r b
r c
1
r c
2 1
r a
uuur GD
uuur GE
uuur GF
1
uuur ( AE
uuur BF
uuur CD)
1
r (a
r r2 b c)
r 0
3
2
4.已知四边形ABCD是等腰梯形 ，E,F分别是两腰
（m+n)a=ma+na
例3. 如图：已知非零向量a,b, 等式3(a+b)=3a+3b成立吗？试作图验证所得的结论；
a
b O a a aB
rr ab
b
b
uuur r r OA 3(a b) uuur r r OA 3a 3b
rr ab
rr ab
b b
rr r r
A
3(a b) 3a 3b
uuur EF
1
[
1
(1
r a
r a)]
1
r a
3 3 22
4
1.实数与向量相乘对于实数加法的分配律；
2.实数与向量相乘对于实数加法的结合律
3.含向量加法，减法，数与向量相乘等运算 与多项式的运算的异同点；
练习. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向 量．（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF.
4
Buuur DE
1
uuur BC
1
r b
1
rC a
4
44
3. 在⊿ABC中，D,E,F分别为AB,BC,CA的中点，
G为重心，求证：GD+GE+GF=0.
A
uuur r uuur r uuur r
解:设 AB a，BC b，CA c
D B
G E
F
uuur AE
uuur AB
uuur BE
九年级第一学期数学
24.6（2）实数与向量相乘
设k是一个实数，a是向量，那么k与a 相乘所得的积
是一个 向，量记作 ：
ka
ka的长度 ka = k a
当 a ≠ 0 k＞0时，ka 与 a 同方向； k＜0时，ka与 a 反方向；
若k＝0 或 a ＝0，则 ka＝ 0
ka a
例1.已知非零向量 a，求作：2a+1 a；
实数与向量相乘的结合律：对于任意非零实数 m,n和非零向量a，
总有：m(na)=(mn)a．
r
r
2(3a)与 6a相等？
a
–a –a –a –a –a –a a aa
–3a
–3a
rr 2(3a)= 6a
设m,n为实数，则： 1)m(na)=(mn)a; 2)(m+n)a=ma+na; 3)m(a+b)=ma+mb.
uuur 解: AB
uuur CA
uuur AD uuur CD
uuur DB uuur DA
ur m
1
r a
1
r a
2ur m
uuur uuur uuur
2
BE BA AE
F
A E
ur m
1
r a
1
(
1
r a
ur m)
2 22
1
ur m
3
r a
B
24
G C
D
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，