第七章截面图形的几何性质
第七章 截面的几何性质
A 120 ×10 × 60 + 70 ×10 × 5 = = 39.7mm 120 ×10 + 70 ×10
yc =
Sy
5
§7-2 惯性矩、惯性积与极惯性 惯性矩、
一、惯性矩
Iz = ∫ y dA
2 A
I y = ∫ z dA
2 A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积， 即
I y = A iy
主惯性轴和主惯性矩
一、主惯性轴和主惯性矩 (1)主惯性轴 主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴z0 、
y0的惯性积 Iz0y0=0时，则坐标轴 z0 、y0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是 平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为 主惯性矩 主惯性矩。
例 计算图所示阴影部分截面的形心主惯性矩Iz。
解：1)求形心位置 由于y 轴为对称轴，故形心必在 此轴上，建立yoz′坐标系，故zc′=0 。将阴影部分截面看成是矩形Ⅰ 减去圆形Ⅱ而得到，故其形心的yc 坐标为：
15
ΣAi y ci yc = =( A
600 × 1000 × 500 − 600 × 1000 −
2
I z = Aiz
2
6
i y 、i z
分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
二、惯性积
I zy = ∫ A zydA
若截面具有一根对称轴，则该 截面对于包括此对称轴在内的 二正交坐标轴的惯性积一定等 于零。
I zy = 0
7
三、极惯性矩
Ip =
2
∫A
ρ dA
2
2 2
Qρ = z + y
材料力学 截面图形几何性质
（此为平行移轴公式 ）
注意： •式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。
•等号右边各首项为相对于形心轴的量。
9
材料力学Ⅰ电子教案
2.组合截面的惯性矩和惯性积
根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某 轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一 轴的惯性矩（或惯性积）之和：
n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
1
材料力学Ⅰ电子教案
二、形心公式：
yc
Sz A
; zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i 1
n
S y Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300)
38.8 mm
由于对称知： xc=0
3
y y1 200
C O
10 150 yC x1
x
目录
材料力学Ⅰ电子教案
求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。
解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条，
y
d A 2 r2 y2 • d y
dA
dy
yC
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 y2 )d y 2 r3 3
Cr
y
截面的几何性质
图形对于 z 轴的静矩
附录 截面的几何性质 /一 静矩、形心及相互关系 y y
z zC
计算
dA
y
C A
z
yC
O
O
z
分力之矩之和
S y zdA
A
合力之矩
S y AzC
S z AyC
S z ydA
A
附录 截面的几何性质 /一 静矩、形心及相互关系
静矩与形心坐标之间的关系
S y zdA
i 1 n
例I-3 求图示T形截面的形心位置
解：把T形截面看做由①、②两 yC 个矩形截面组成。
100
C1 ①
z
20
A1 20 100 2000mm
2
C
yC1 10mm
A2 20 140 2800mm2
yC 2 90mm
yC
②
C2
140
y
Ay A
i i
Ci
A1 yC1 A2 yC 2 A1 A2
例题 矩形截面惯性矩的计算
b
I z y dA h y bdy
2
2
A
2
y b 3
同理：
3
h 2 h 2
bh 12
3
h
o
z
y
3 b 2 b 2
z 2 2 I y z dA b z hdz h 2 3 A
b 2
hb3 12
dy
h 2
y
附录 截面的几何性质/二 惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径
zc
h/2 z h/2 z1
dy y O
bh 3 2 h2 y 2bdy I z y dA A 12 2
第7章 截面几何性质答案
第七章 截面几何性质基本要求与重点1.形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。
（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。
（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知面积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1.形心与重心（1）概念与性质重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。
对均质物体，重心与形心位置重合。
若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。
（2）计算形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中，常用的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。
积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。
也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。
11S S n nx ix i i c i i y A y A ====⋅∆=⋅∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====⋅∆=⋅∑∑3.惯性矩与极惯性矩。
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
材料力学教案-截面的几何性质
Iy
2
Iz
1 2
(I y
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
形心主惯性矩( Centroidal principal moment of inertia) ：截面对 形心主惯性轴的惯性矩.
(Properties of Plane Areas)
（1）主惯性轴的位置 设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角
则有
Iy
2
Iz
sin
2 0
I
yz
cos 2 0
0
由此
tg2 0
z
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
y
y yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 (80 110) 22 120 90 80110
图(b)
(Properties of Plane Areas)
§1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积
(Polar moment of inertia、Moment of
§1-4 转轴公式 (Rotation of axes)
一 、转轴公式 (Rotation of axes)
yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系
y1Oz1为yOz 转过 角后形成的新坐标系
逆時针转取为 + 号
第七章 截面几何性质 平行移轴公式
课时授课计划
第七章截面的几何性质
通过例子引入（让学生知道截面的重要性）
截面尺寸和形状完全相同的杆件，因为放置的方式不同，
其承载能力是大不相同的。
思考：抗弯能力与截面形状有何关系？
一、静矩与形心
平面图形对某轴的静矩等于其面积与形心
坐标（形心到该轴的距离）的乘积。
特性：
当坐标轴通过该平面图形的形心（简称形心轴）时，静矩等于零；反之，若平面图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。
二、惯性矩
简单图形对其形心轴的的惯性矩
（见课本111页表7-1）
三、惯性矩的平行移轴公式
已知
对z 轴的惯性矩：
平行移轴定理，或称为平行移轴公式：截面对任意轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
四、例题分析
1、T 字形截面尺寸及形心位置如下图所示，求该截面对其形心轴的惯性矩。
2、讲解：例8－7
五、讨论
形心的计算。
⎩⎨⎧+=+=b z z a y y C
C
⎰=A c z dA y I C
2
⎰=A z dA
y I 2⎰⎰++=+=A
C C A C z dA a a y y dA a y I )2()(2
2
2。
第7章-截面图形的几何性质（PDF）
第7章 截面图形的几何性质教学提示：在对构件进行应力和强度等计算时，需要用到构件截面图形的几何性质，即与构件截面几何形状和尺寸有关的一些量，例如形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。
本章的主要内容就是讨论这些几何性质的定义和计算。
教学要求：通过本章学习，要求理解形心、静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性矩的概念，会用平行移轴公式计算组合截面对形心轴的惯性矩、主惯性矩等。
受力构件的承载能力，不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关。
当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到一些与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩等，统称为“截面图形的几何性质”。
研究这些几何性质时，完全不需考虑研究对象的物理和力学因素，只作为纯几何问题处理。
7.1 静矩与形心考察如图7.1所示任意截面几何图形。
在其上取面积微元d A ，设该微元在Oyz 坐标系中的坐标为(y 、z )。
定义下列积分d y AS z A =∫， d z AS y A =∫(7.1)图7.1分别为截面图形对y 轴和z 轴的静矩(或称为面积矩)。
其量纲为长度的三次方。
常用单位是3m 或3mm 。
由于均质等厚薄板的重心与薄板截面图形的形心有相同的坐标(C y 、C z )，而薄板的重心坐标由式(2.24)给出，即d d AAzCy V y A S y V AA ===∫∫d d y AAC z Vz A S z VAA===∫∫第7章 截面图形的几何性质·91··91·所以，形心坐标为d Az Cy A Sy AA==∫， d y ACz A S z AA==∫ (7.2a)或y C S A z =⋅，z C S A y =⋅(7.2b)由式(7.2)可知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即若0C y =，则0z S =，或若0C z =，则0y S =；反之，若图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必然通过图形的形心。
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
截面的几何性质
b2
A
上式称为计算惯性矩的平行移轴公式。这个公式表明 ：截面对任意一个轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的 形心轴的惯性矩加上截面的面积与两轴距离的乘积。
工程力学与建筑结构
1.4 组合截面的惯性矩
在计算组合截面对某座标轴的惯性矩时，根据定义， 可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩，然后再相加，即 ：
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
截面的几何性质
在工程中研究构件的受力和变形时，经常会遇到一些 和构件的横截面形状、尺寸有关的几何量，这些几何量通 称为截面的几何性质。 1.1 截面的静矩和形心 1. 截面的静矩
如图所示的平面图形代表一个任意截面，其面积为A 。在图形平面内选坐标系Oyz，在坐标为(y, z)处取微面积 dA ，则以下两个积分分别被定义为平面图形A 对于z轴和y 轴的静矩。
I z iz2 A
Iy
i
2 y
A
于是得到:
iz
Iz A
iy
IyБайду номын сангаасA
通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径 （或回转半径）。
工程力学与建筑结构
1.3平称移轴公式 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩不相同， 但它们
之间都存在着一定的关系。
I z I zc a 2 A
Iy
I yc
Ai
i 1
工程力学与建筑结构
1.2 截面的惯性矩 1. 惯性矩的计算公式
任意一个构件的横截面如图所示，其面积A 对于z轴和 y轴的惯性矩定义为 ：
I z
A
y 2dA
I y
z 2dA
A
常用截面的惯性矩可查阅工程设计手册。
工程力学与建筑结构
工程力学第七章重心及截面的几何性质
A. Oxy； B. O1xy1； C. O2 x1 y1； D. O3x1 y。
y1
y
O1
O
x
O2
O3
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴
B
在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时，y-z轴始终保持 为一对主轴。
对称轴y的惯性矩分别为
I
a y
I，yb 则（
I
a x
I xb对
）。
A.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
B.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
C.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
y
D.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b。
x
y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I. 图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。
y
A.
F
LAC
A
LAB
1.3mm 100103 2
2 2.1105 106 252 106
4
cos 300
A
§8–4纯弯曲时梁横截面上的正应力
M
FS
M
FS
M
FS
梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称
为弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学截面性质
二 零次矩 一次矩
S y = xdA
A
次
矩 极惯性矩
I p = ( x 2 + y 2 )dA
A
惯性矩
I x = y 2dA
A
惯性积
I xy = xydA
A
定义
A = dA
A
∫
∫ ∫
∫ ∫
S x = ydA
A
I y = x dA
2 A
Байду номын сангаас
∫
∫
符号 单位
轴过 形心 关于 形心 计算
恒正
m2
可正可负
m3
恒正
A A 2 2 2 极惯性矩 I p = ∫ ( x + y )dA = ∫r dA A A
惯性积 I xy = ∫ xy dA
A
常用图形的惯性矩
I xy = I x′y abA ′ +
平行移轴公式 转轴公式
+ I x = I x′ a 2 A
+ I y = I y ′ b 2 A
I xy = ∫ xy dA
A
3 7 = 3a 2 · – a + 3a 2 · –a = 15a 3 Sy 2 2 A = 2 · 3a 2 5 ∴ yc = – a 2
极惯性矩 ( polar moment of inertia )
I p = ∫ ( x 2 + y 2 )dA = ∫r 2 dA
1 性矩为 Ix = — π D 4(1–α 4 ) ，极惯性矩为 64
α 为内径与外径之比。 重要结论 坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。
三、平行移轴定理 ( parallel-axis theorem )
工程力学截面的几何性质
应等于它旳各构成部分对同一轴旳静矩旳代数和，
即：
n
S z Ai y ci i 1
n
S y Ai zci i 1
式中： yci , zci和 Ai 分别为第i个简单图形的形心坐标和面积。
2024/10/10
4
2.组合截面旳形心坐标公式
组合截面静矩 n S z Ai y ci i 1
n
S y Ai zci i 1
组合截面面积
n
A Ai i 1
组合截面旳形心坐标公式为：
n
yc
Sz A
i 1
Ai
yc i
，
n
Ai
i 1
n
zc
Sy A
Ai zci
i 1
n
Ai
i 1
2024/10/10
5
y
dy
例A-1 试计算图示三角形截面 对于与其底边重叠旳x轴旳静矩。
h
b (z )
解： 取平行于x轴旳狭长条，
y
易求 b( y) b (h y)
(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴旳惯性矩。
2024/10/10
22
(5)拟定主惯性轴旳位置
设0是旧轴x 逆时针转向主惯性轴x0旳角度，则 由惯性积旳转轴公式及主惯性轴旳定义，得
Iz
2
I
y
sin
2 0
I
yz
cos
2 0
0
可改写为
tan 20
2I yz Iz Iy
（注：将负号置于分子上有利于拟定2 0角旳象限）
I yc
2
4
I2 zc yc
321104 mm4
I yc0
材料力学 截面性质
(Ai 和xi , yi分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）
5. 组合截面的形心坐标公式
n
将 S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
代入 S y A x Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
n
Ai xi
x
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
y
i 1 n
Ai
i 1
（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）
例 试计算图示三角形截面对x轴的静矩。
y
dy
h
b(y)
y
O
b
x
解：取平行于x轴的狭长条，易求 b( y) b (h y)
因此 d A b (h y) d y
ห้องสมุดไป่ตู้
h
所以对x轴的静矩为
h hb
bh2
S x
y d A (h y)y d y
A
0h
6
2
4
I2 xc yc
x
I x1 A y12 d A
y
Ix1
cos2
y2 d A sin2
A
x2 d A
A
2sin cos A xy d A
I x cos2 I y sin2 2I xy sin cos
利用二倍角函数代入上式，得转轴公式 ：
I x1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos2
I xy sin 2
n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
i1
I
yi
n
I xy I i1 xyi
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
截面图形的几何性质
60000 640 145000 290 392mm 60000 145000
zC 0
12
12
圆形截面极惯性矩、惯性矩的计算
y
I p d A
2
d 2
A d 2
0
πd 2π d 2 π( ) 32 4 0
2
0
2
0
d d
惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
惯性半径 iy 和 iz 的量纲为[长度]，常用单位 ：m，mm。
7
7
极惯性矩
定义2dA 为微面积 dA 对坐标原点 o 的极惯性矩。 整个面积对坐标原点o的极惯性矩为：
Ip 2 d A
A
y
z
dA
由极惯性矩的定义可知： (1) 量纲为[长度]4，单位：m4、mm4； (2) 极惯性矩是对点而言的； (3) 极惯性矩的取值恒为正值。
I y z2 d A
A
6
6
I z矩的定义可知： (1)
I y z2 d A
A
y
z
量纲为[长度]3，单位：m4、mm4；
dA
(2) 惯性矩是对轴而言的（轴惯性矩）； (3) 惯性矩的取值恒为正值。
o
y
z
2 惯性矩的另一种表达式 ： I y Ai y I z Ai z2
9
9
惯性积
定义 yzdA 为微面积 dA 对 y、z 轴的惯性积。 整个面积对 y、z 轴的惯性积，用 Iyz表示，即
I yz yz d A
A
y
z
由惯性积的定义可知： (1) 惯性积可正可负，也可以是零； (2) 惯性积也是对轴而言的；
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§7-3 平行移轴定理
平行移轴定理是指平面图形对于相互 平行轴的惯性矩及惯性积之间的关系。
C点的坐标为 （a，b）
已知Iy，Iz ，Iyz (y、z轴过截面形心C)，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。
z1 zb, y1 ya
Iz1 y12dA (ya)2dA
A
A
y1 z1 y
z ．dA
．A
C
Ima x Iz Iy Imin 2
Iz
Iy 2
2
Iy2z
§ 7-4 转轴定理
二、小结
1.若截面图形有对称轴，则对称轴为形心主轴；
2.任意正多边形的形心轴都是形心主轴；
3.当截面图形有三根或三根以上的对称轴时，则图形的形心 轴均为形心主轴；
4.若已知图形对某一对主轴的惯性矩相等，则通过该点的任 意轴为主轴，其惯性矩相同。
zyd bAzdA aydA Aab
A
A
A
Iz1 Iz2azSA2a
即： Iy1 Iy2bSyA2b
1.过形心的惯性矩最小；
2. (a,b)表示C点的坐标， 惯性积没有上述结论。
Iy1z1IyzazS bySAa
例题 7-3-1 求图示截面图形的Iｚc。
§ 7-3 平行移轴定理
解： yC
Ai yCi 122 0 0131 022 0 06095(mm)
二、形心（C）
§ 7-1 静矩、形心
1.理论力学的质心
y
y yC O
dA
●
C
ydm
y
C
m
m
z C
zdm
m
m
2.材料力学的形心
zC z
ydA
y
C
A
A
z
z C
zdA
A
A
2.材料力学的形心
§ 7-1 静矩、形心
ydA
y
C
A
A
z C
zdA
A
A
3.静矩与形心的关系
Sy
§7-4 转轴定理
一、转轴公式
转轴定理是研究坐标轴系绕原点转动时，平面图形对于这
些坐标轴的惯性矩与惯性积之间的变化规律。
已知Iy，Iz ，Iyz ，(逆时针转为正) ，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。
z1zco sysin
y
y1zsin yco s y1
z
Iz1 y12dA
A
(zsinycos)2dA
iz
Iz A
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
1. 单位：长度的四次方； 2.同一截面对于不同的坐标轴的惯性矩和惯性积一般不同； 3.惯性矩恒为正，而惯性积可正可负也可等于零；
4.若y、z轴有一个为对称轴，则Iyz恒等于零。
二、常见图形的惯性矩和极惯性矩 y,z为形心对称轴
1.矩形
hb 3 I y 12
zdA,
A
Sz
ydA
A
yC
Sz A
,
zC
Sy A
截面图形对于某一轴的静矩若为零， 则该轴必定经过截面的形心；截面图 形对于形心轴的静矩恒等于零。
y
y yC
dA
●
C
O
zC
z
z
三、组合图形的静矩与形心
静矩： Sy AizCi Sz AiyCi
形心： yC
Ai yCi Ai
zC
Ai zCi Ai
z
O1
b
z1
y2dA 2aydAA2 a
A
A
Iy1 z12dA (zb)2dA
A
A
z2dA 2bzdAA2b
A
A
a
y y1
§ 7-3 平行移轴定理
由于y、z轴通过图形的形 心，则Sy=Sz=0。
I y1z1 z1y1dA (zb)(yb)dA
A
A
Iz1 IzC Aa2 Iy1 IyC Ab2 Iz1y1 IzCyC Aab
第七章 平面图形的几何性质
§7-1 静矩、形心 §7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积 §7-3 平行移轴定理 §7-4 转轴定理
§ 7-1 静矩、形心
§7-1 静矩、形心
一、静矩（S）
面积对轴的一次矩称为静矩或一次矩。
y
Sy
zdA
A
dA
●
Sz
ydA
A
y
O z
1.静矩的单位：长度的三次方;
z
2.静矩可正可负也可能为零。
Iz
bh 3 12
IP
bh（b2 12
h2）
b
b
2
2
C
y
h
2z
h 2
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
2.圆形 a)实心(d)
Ip
d4
32
Iy
Iz
d4
64
b)空心(D、d、 d ) D
Ip
D（ 4 14）
32
Iy
Iz
D（ 414）
64
C
z
y
三、组合图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积
Iy Iyi
dA
z1
y1
z1
y
A
A
sin2 z2dAco2s y2dA
O
z
A
A
2sincos yzdA
A
即：
§ 7-4 转轴定理
Iz1 Izco2 s Iysi2nIyzsin2
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
co2sIyzsin2
同理可得： Iy1 Izsi2nIyco2 s Iyzsin2
或：
Iz
Iy 2
Iz
§ 7-1 静矩、形心
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
§7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、定义
1.惯性矩： 面积对轴的二次矩称为惯性矩或二次矩。
Iy
z2dA
A
Iz
y2dA
A
IP Iy Iz
y
dA
2.极惯性矩
IP
2dA
A
y
3.惯性积
Iyz
yzdA
A
4.惯性半径
O z
z
iy
Iy A
Ip Ipi
Iyz Iyzi
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
例题7-2-1. 实心圆，直径为d，
求I ？ z上半圆
解：
Iy
Iz
d4
64
4
I z I zi i 1
Iz上半圆 Iz1Iz212d84
②①
C
z
④③
y
Iz右半圆 ？
答 ： Iz右半 I圆 z1Iz312d48
§ 7-3 平行移轴定理
§ 7-4 转轴定理
二、主惯性轴、形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩
主(惯性)轴：对于该轴系的惯性积为零。 形心主轴：过形心的主惯性轴。 主惯性矩：相应主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性矩：相应形心主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性平面：形心主轴与杆轴线所组成的平面。
令： I y1z1 0
得：
tan20
2Iyz Iz Iy
Ai
122 0 0122 00
20
y
120
． C1
． C
②
． C2
①
zC
yC
z
20Biblioteka IzCIzC 1IzC2 IzC 1A 1 d 1 2IzC 2A 2d2 2 120 23 0120 20 32 5 12 2 0123 02 0123 025 12 884104(mm 4)
120
§ 7-4 转轴定理
Iy 2
co2sIyzs
in2
Iy1z1 Iz 2Iysi2nIyzco2sIzIyIz1Iy1
IIy z 1 1 z1 IIy y 1 1 z1 c sion c s so i n sIIy zzIIy y z c so in c sio n