第七章截面图形的几何性质
第七章 截面的几何性质
= I zC + 2aS zC + a 2 A = I zC + a 2 A
由于zc轴为形心轴，故 同理得：
s zc = 0
2
I y = I yc + b A
13
平行移轴公式： 平行移轴公式：
Iy = Iy +b A
2
C
Iz = Iz + a A
2
C
I yz = I y z + abA
C C
14
二、求有一个对称轴的组合截面的形心主惯性矩 形心主惯性矩是截面对通过形心各轴的惯性矩中的最大 值和最小值。 下面举例说明如何运用平行移轴公式计算具有一个对称 轴的截面的形心主惯性矩。
11
§7–4 组合截面的惯性矩计算
一、平行移轴公式
y = yc + a z = zc + b
I z = ∫ y 2 dA
A
I y = ∫ z dA
2 A
I y z = ∫ y zdA
A
12
I Z = ∫ y dA = ∫ (yC + a ) dA
2 2 A A 2 = ∫ yC dA + 2a ∫ yC dA + a 2 ∫ dA A A A
因此，截面对原点O的极惯性矩等于它对两个直角坐标 轴的惯性矩之和。
8
07第七章 截面的几何性质
y
D y +z = 4 y = ρsinθ z = ρ cosθ
2 2
2
ρ
dθ
θ
dA
z
dA= ρ dρ dθ
Iy = ∫ z dA= ∫∫ ρ (cosθ ) ρ dθ dρ =
2 2 2 00 D 2π 2 2π 2
D
πD
4
64
Iz = ∫ y dA= ∫∫ ρ (sinθ ) ρ dθ dρ =
y C z
对某点对称（中心对称）： 对某点对称（中心对称）： 形心C位于对称中心 形心 位于对称中心
组合（复合） 组合（复合）图形的形心
由 n 个规则形状组成的图形
n
y z
C
A= ∑A i
n
n
i= 1
Sz = ∫ ydA= ∑∫ yidA= ∑yci A i
i= 1 i= 1
y
Sy = ∫ zdA = ∑∫ zidA= ∑zci A i
= y sinθ + z cosθ
y1 H B
y A C D G
θ
z1
O
θ
F
E
z
z1 =G + z cosθ = F + z cosθ D E
[思考 能否用复数推导？ 思考] 能否用复数推导？ 思考 C1，C 为复数（Complex number）， 为虚单位 为复数（ ），i为虚单位 ），
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章
平面图形的几何性质
研究截面几何性质的意义
从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩
一、静距的概念
A
y S z d d =A
z S y d d =⎰⎰⎰⎰====A
A
y y A
A
z z A
z S S A y S S d d d d z
y d A y
z
静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是m 3或mm 3。
形心
d A z
y
y z
C
x C
y ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫⋅∆∑=
⋅∆∑=A y A y A
z A z C C ⎪
⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫==
⎰⎰A ydA y A zdA z A
C A C ⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫=
=A S y A S z z C y C ⎭
⎬
⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
第7章 截面几何性质答案
第七章 截面几何性质
基本要求与重点
1.形心与重心
（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。
（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。
（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2.面积静矩（又称静矩或面矩）
（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。
（2）能熟练计算组合图形的静矩。
（3）熟知面积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
（1）理解惯性矩与极惯性矩
（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义
（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系
（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩
（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形心主轴的概念
主要内容
1.形心与重心
（1）概念与性质
重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。对均质物体，重心与形心位置重合。 若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。
（2）计算
形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。其中，常用的是代数形式的计算公式：
11n n ic i ic i
i i c c x A y A x y A A
==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）
（1）定义：分为代数式和积分式两种形式
有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。 积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
截面的几何性质.
注意: C点必须为形心
a
r
bC y
I x I xC b2 A
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
xaxC yb yC
xC
I x
y 2dA
A
x
(
A
yC
b)2
dA
SxCAyC 0
(
A
yC2
2byC
b
2
)dA
I xC2bSxCb2 A
I x I xC b2 A I y I yC a2 A I xy I xCyC abA Ir IrC (ab)2 A
1 面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)
是面积与它到轴的距离之积。 y
x
dA
y
dSx dAy dS y dAx
S x dS x ydA
A
A
Sy dSy xdA
x
A
A
源自文库
2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩：(与转动惯量类似）
是面积与它到轴的距离的平方之积。
Ix y2dA
y
A
I y x2dA
x dA
二、极惯性矩： A
y
r
是面积对极点的二次矩。
x
Ir r 2dAIxI y
A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
材料力学截面的几何性质课件
截面的主惯性矩
主惯性矩
表示截面对某一主轴线的惯性矩，即截面在受到外力作用 时绕该主轴线旋转的惯性大小。
计算公式
主惯性矩 = π × d^4/64 × D^3/16 - π × d^4/64 × (D-2r)^3/16 + π × d^4/64 × (D/2)^3 - π × d^4/64 × (D/2-2r)^3/16，其中d为直径，D为宽度，r为半径。
材料力学截面的几何性质
截面的定义
01
02
03
截面
在材料力学中，截面是指 通过外力作用点，垂直于 作用力方向的平面。
横截面
与轴线垂直的截面称为横 截面。
纵截面
与轴线平行的截面称为纵 截面。
截面的平面性
截面总是位于通过作用点的平面内， 并且垂直于作用力。
在材料力学中，通常将截面简化为平 面，以便于分析和计算。
02
扭转变形的稳定性
扭转变形是否稳定取决于截面上的切应力分布和材料性质。如果切应力
分布均匀且材料具有足够的刚度，则扭转变形是稳定的。
03
影响稳定性的因素
影响扭转变形稳定性的因素包括截面形状、材料性质、温度和湿度等。
THANKS。
扭力矩
力偶矩称为扭力矩，用M表示，单位为N·m。
扭转的应力分布
切应力
在扭转变形中，切应力是分布在 整个截面上的内力，其大小与截 面半径成正比，方向与半径垂直 。
第7章-截面图形的几何性质（PDF）
第7章 截面图形的几何性质
教学提示：在对构件进行应力和强度等计算时，需要用到构件截面图形的几何性质，即与构件截面几何形状和尺寸有关的一些量，例如形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。本章的主要内容就是讨论这些几何性质的定义和计算。
教学要求：通过本章学习，要求理解形心、静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性矩的概念，会用平行移轴公式计算组合截面对形心轴的惯性矩、主惯性矩等。
受力构件的承载能力，不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关。当研究构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到一些与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩等，统称为“截面图形的几何性质”。研究这些几何性质时，完全不需考虑研究对象的物理和力学因素，只作为纯几何问题处理。
7.1 静矩与形心
考察如图7.1所示任意截面几何图形。在其上取面积微元d A ，设该微元在Oyz 坐标系中的坐标为(y 、z )。定义下列积分
d y A
S z A =∫， d z A
S y A =∫
(7.1)
图7.1
分别为截面图形对y 轴和z 轴的静矩(或称为面积矩)。其量纲为长度的三次方。常用单位是3m 或3mm 。
由于均质等厚薄板的重心与薄板截面图形的形心有相同的坐标(C y 、C z )，而薄板的重心坐标由式(2.24)给出，即
d d A
A
z
C
y V y A S y V A
A ==
=
∫∫
d d y A
A
C z V
z A S z V
A
A
=
=
=
∫
∫
第7章 截面图形的几何性质
工程力学第七章重心及截面的几何性质
上正
1
2
3
应力.已知横截面面积A=2×103MM2
20KN
20KN
40KN 40KN
1
2
3
40kN
11 10MPa
20kN
22 0
33 20MPa
例题 8.2
试求图示结构AB杆横截面上的正应力。 已知F=30KN，A=400MM2
A
a
F FNAB
D
B
C
a
a
F 2a FN AB a 0
yc
dAI
xaa2I
2xcAdA
A
a
2
A
b C
xc dA
yc
A ycdA IAy yc I yc b2 A
I xy I xcyc abA
xc
a
在所有相互平行的坐标轴中，
O
x
图形对形心轴的惯性矩为最 小，但图形对形心轴的惯性
积不一定是最小
例题 矩；（2）对x轴的惯性矩；（3）对x
I.3
轴的惯性矩。
D
课堂练习
I.
图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
A.
IⅠ ZC
IⅡ ZC
0;
B.
IⅠ ZC
IⅡ ZC
0;
建筑力学课件 第七章 截面几何性质
3
Iy
I yc
e2A
b3h 12
b 2bh 2
b3h 3
7.3 惯性矩
四、组合图形的惯性矩的计算
在工程实践中，经常遇到组合图形，有时由矩形 、圆形、三角形等几个简单图形组成，有时则由 几个型钢截面组合而成。若一个组合图形，总面 积为A，由面积为A1、A2、A3三块图形组合而成， 根据惯性矩定义可知
静矩可用来确定截面图 形形心的位置。如图所 示，若令该截面图形形 心C的坐标为yc、zc，根 据静力学中的合力矩定 理有
A ydA Ayc
A zdA Azc
7.2 面积静矩 再根据公式（7-4），不难得到
yc
Sz A
zc
Sy A
即有公式（7-5）
Sz A yc
Sy
A
z
c
7.2 面积静矩 S z A yc
S z
Ai yi
S y
Ai zi
7.2 面积静矩
式中，Ai、zi、yi分别代表任一组成部分的 面积及其形心坐标。
应当指出，在求图形对某轴的面积静矩时 ，一般都设为正值；但是若求组合图形对 某轴的面积静矩时，如果该轴位于图形内 ，则图形的一部分对该轴的面积静矩是正 的，而图形的另一部分对该轴的面积静矩 是负的。
7.3 惯性矩
二、简单图形惯性矩的计算 简单图形的惯性矩可直接用式（ 7-8）通过积分计算求得。
第七章 截面的几何性质
y x
I y x 2 dA
（二）极惯性矩：
矩。
A
dA y
x
是面积对极点的二次
r
I r r 2 dA I x I y
A
惯性积：面积与其到两轴距离之积。 y
I xy xydA
A
x
dA y x
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0 （三）惯性半径：
r
I X i A, IY i A
2 I ZO I Z1＋a1 A1 ＋ I Z2＋a2 2 A2
0.6 0.123 0.2 0.4 3 2 2 ＝ ＋ 0 . 137 （ 0 . 12 0 . 6 ） ＋ ＋ 0 . 123 （ 0 . 2 0 . 4 ） 12 12
例: 求矩形截面对z,y轴的惯性矩?
y 解:截面对轴的惯性矩计算公式如下:
dy y z
I z y 2 dA
A
I z y 2 dA
I y x dA
2 A
BH 3 截面对 z轴 的 惯 性 矩 为 : Iz 12 HB3 同 理 ,截 面 对 y轴 的 惯 性 矩 为 : Iy 12
A A 2 ( yC 2 byC b 2 )dA
I x I xC b A S xC AyC 0
截面几何特性
截面图形的几何性质
一.重点及难点：
(一).截面静矩和形心
1.静矩的定义式
如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即
dA ydA
dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ∫∫==A
A
y ydA
Sx xdA
S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1
设平面图形形心C 的坐标为 则 0 C C z y ,A S y x
= ， A
S x y = （I-2）
推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心
设截面图形由几个面积分别为n A A A A ……321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为……332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n
i n
i i
i xi x n
i i
i n
i yi y y A S S x A S 1
1
11S （I-3）
截面图形的形心坐标为
∑∑===
n
i i
n
i i
i A
x
A x 1
1 ， ∑∑===
n
i i
n
i i
i A
y
A y 1
1 （I-4）
4.静矩的特征
(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为。
3m (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
第7章 截面几何性质
第七章截面几何性质
思考题与习题
7-1．如图所示T形截面，C为形心，z为形心轴，问z轴上下两部分对z轴的静矩存在什么关系？
答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。
7-2．如图所示矩形截面m-m以上部分对形心轴z的静矩和m-m以下部分对形心轴z 的静矩有何关系？
答：同上。
7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？
略。教材中有关定义在有说明。
7-4．图a所示矩形截面，若将形心轴z附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b，问此截面对z轴的惯性矩有何变化？为什么？
答：惯性矩为变大。因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b)图离轴远的点更多。 7-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩128
4
D I z π=，则对z 1轴的惯性矩如
下计算是否正确？为什么？
128
58212842
2
4
2
11D D D D A a I I z πππ=
⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+= 答：不对。
平行移轴公式2C z z I I a A =+中，C z I 的轴必须是过形心且与z 平行的轴。
7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径i z 是否就是图形形心到该轴的距离？
答：惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：z i =。惯性半径不是图形形心到该轴的距离。
7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为z 1轴，试计算对z 1轴的静矩。
解：a)16320040
402004016040 1.2481022
z S (
)mm =⨯⨯++⨯⨯=⨯ b)16340
24020010024040200 3.712102
工程力学1_第七章 截面的几何性质
7.2.1 惯性矩
图7-3 图形的惯性矩与惯性积
7.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
7.2.2 惯性积 7.2.3 惯性半径 7.2.4 平行移轴公式
图7-4 平行移轴公式
7.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
图7-5 例7-2图
7.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
7.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
图7-6 例7-3图
7.6 两个平面图形如图7-9a、b所示，z轴为形心轴。按下式计 算其惯性矩是否正确？为什么？
图7-9 思考题7.6图
7.1 求图7-10所示各图形中阴影部分对z轴的静矩。
图7-10 习题7.1图
7.2 求图7-11所示图形的形心位置。
图7-11 习题7.2图
7.3 求图7-12所示各图形对z、y轴的惯性矩和惯性积。
1.理解平面图形的静矩、惯性矩、惯性积及惯性半径的概念。
2.熟练地掌握平面图形形心的确定方法。
3.记住矩形和圆形截面惯性矩的计算结果并能熟练应用平行移 轴公式计算组合图形的惯性矩。
7.1.1 静矩
7.1 静矩
图7-1 图形的静矩与形心
7.1.2 形心
7.1 静矩
图7-2 例7-1图
7.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
7.3 下列说法哪些是正确的？
(1)截面的对称轴必定通过截面形心。 (2)截面如有两条对称轴，则两对称轴的交点必为形心。 (3)截面对于对称轴的静矩恒为零。 (4)若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为对称轴。
截面的几何性质课件
在不同材料和机械性能要求下，截面的设计也需要进行相应的调整和优化，以 满足实际应用中的需求。
经济性原则
控制材料成本
在满足安全性和功能性的前提下，应尽量选择经济实惠的材料，以降低成本并提 高经济效益。
优化截面设计
在保证安全性和功能性的基础上，通过优化截面设计可以减少材料的使用量，降 低成本，提高经济效益。
01
进行实验
按照实验方案进行实验操作，并详细记录实验数据。
02
数据清洗与预处理
对采集到的实验数据进行清洗和预处理，以消除异常值和缺失值，确保
数据质量。
03
数据转换与统计分析
对预处理后的数据进行转换和统计分析，以挖掘截面几何性质的特征和
规律。
结果评估与应用
结果评估
根据统计分析结果，对截面几何性质的特征和规律进行评估 ，验证实验设计的合理性和结果的可靠性。
05
截面的优化设计
形状优化
形状的合理性
在满足功能要求的前提下，选择形状合理的截面，以减少材料使用 和提高结构性能。
考虑工艺因素
在形状优化过程中，需要充分考虑制造工艺因素，以确保截面形状 能够被有效加工和制造。
形状与载荷关系
对截面承受的载荷进行细致分析，以优化截面形状来更好地承受和分 散载荷。
尺寸优化
材料选择
根据截面的功能要求和使用环境，选择合适的材料，以实 现更好的结构性能和经济效益。
7.2、弯曲强度(截面的几何性质) 静力学和材料力学
y
α0
α0 O
I y0z0
yzdA 0
A
z
图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴， 如坐标原点与形心重合, 通过形心的主轴称为形心主轴， 图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为 形心主矩。
第七章 弯曲强度
第7章 梁的弯曲问题(2)-截面的几何性质
形心主轴与形心主惯性矩
第七章 弯曲强度
第七章 弯曲强度
第七章 弯曲强度
第7章 梁的弯曲问题(2)-截面的几何性质
形心主轴与形心主惯性矩
y
α0
α0 O
I y0z0
yzdA 0
A
z
可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同， 而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。
第七章 弯曲强度
第7章 梁的弯曲问题(2)-截面的几何性质
y z1
z
已知： Iy，Iz，Iyz
A
求： Iy1，Iz1，Iy1z1
dA
y
O
y1
a O´
I y1 A z12dA
z
I z1 A y12dA
I y1z1 A y1 z1dA
b
y1=y＋a
z1=z＋b
第七章 弯曲强度
第7章 梁的弯曲问题(2)-截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
截面图形的几何性质-材料力学
z
2
dz
D4
32
y dy y z
D
I yz
yzdA
AБайду номын сангаас
惯性积可正可负
y
A dA
z
y
o
z
典型例题
例1 试求图示截面对坐标轴的惯性积。
I yz
yzdA
A
A yzdA
bh
0 0 yzdydz
b
h
0 zdz 0 ydy
b2h2
4
y z dz
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴的惯性积。
II
y
30
z 40
62
zC 140
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 矩形1
矩形2
A1 th A2 tb
I y1
th3 12
Iy2
bt 3 12
z
I
C1
y1 h
C
y
以（y2, z）为基准坐标，则：
s
C2
zc2 0,
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
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Ip Ipi
Iyz Iyzi
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
例题7-2-1. 实心圆，直径为d，
求I ？ z上半圆
解：
Iy
Iz
d4
64
4
I z I zi i 1
Iz上半圆 Iz1Iz212d84
②①
C
z
④③
y
Iz右半圆 ？
答 ： Iz右半 I圆 z1Iz312d48
§ 7-3 平行移轴定理
zdA,
A
Sz
ydA
A
yC
Sz A
,
zC
Sy A
截面图形对于某一轴的静矩若为零， 则该轴必定经过截面的形心；截面图 形对于形心轴的静矩恒等于零。
y
y yC
dA
●
C
O
zC
z
z
三、组合图形的静矩与形心
静矩： Sy AizCi Sz AiyCi
形心： yC
Ai yCi Ai
zC
Ai zCi Ai
Iz
bh 3 12
IP
bh（b2 12
h2）
b
b
2
2
C
y
h
2z
h 2
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
2.圆形 a)实心(d)
Ip
d4
32
Iy
Iz
d4
64
b)空心(D、d、 d ) D
Ip
D（ 4 14）
32
Iy
Iz
D（ 414）
64
C
z
y
三、组合图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积
Iy Iyi
§ 7-4 转轴定理
二、主惯性轴、形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩
主(惯性)轴：对于该轴系的惯性积为零。 形心主轴：过形心的主惯性轴。 主惯性矩：相应主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性矩：相应形心主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性平面：形心主轴与杆轴线所组成的平面。
令： I y1z1 0
得：
tan20
2Iyz Iz Iy
二、形心（C）
§ 7-1 静矩、形心
1.理论力学的质心
y
y yC O
dA
●
C
ydm
y
C
m
m
z C
zdm
m
m
2.材料力学的形心
zC z
ydA
y
C
A
A
z
z C
zdA
A
A
2.材料力学的形心
§ 7-1 静矩、形心
ydA
y
C
A
A
z C
zdA
A
A
3.静矩与形心的关系
Sy
第七章 平面图形的几何性质
§7-1 静矩、形心 §7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积 §7-3 平行移轴定理 §7-4 转轴定理
§ 7-1 静矩、形心
§7-1 静矩、形心
一、静矩（S）
面积对轴的一次矩称为静矩或一次矩。
y
Sy
zdA
A
dA
●
Sz
ydA
A
y
O z
1.静矩的单位：长度的三次方;
z
2.静矩可正可负也可能为零。
§ 7-1 静矩、形心
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
§7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
一、定义
1.惯性矩： 面积对轴的二次矩称为惯性矩或二次矩。
Iy
z2dA
A
Iz
y2dA
A
IP Iy Iz
y
dA
2.极惯性矩
IP
2dA
A
y
3.惯性积
Iyz
yzdA
A
4.惯性半径
O z
z
iy
Iy A
§7-3 平行移轴定理
平行移轴定理是指平面图形对于相互 平行轴的惯性矩及惯性积之间的关系。
C点的坐标为 （a，b）
已知Iy，Iz ，Iyz (y、z轴过截面形心C)，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。
z1 zb, y1 ya
Iz1 y12dA (ya)2dA
A
A
y1 z1 y
z ．dA
．A
C
Ima x Iz Iy Imin 2
Iz
Iy 2
2
Iy2z
§ 7-4 转轴定理
二、小结
1.若截面图形有对称轴，则对称轴为形心主轴；
2.任意正多边形的形心轴都是形心主轴；
3.当截面图形有三根或三根以上的对称轴时，则图形的形心 轴均为形心主轴；
4.若已知图形对某一对主轴的惯性矩相等，则通过该点的任 意轴为主轴，其惯性矩相同。
§7-4 转轴定理
一、转轴公式
转轴定理是研究坐标轴系绕原点转动时，平面图形对于这
些坐标轴的惯性矩与惯性积之间的变化规律。
已知Iy，Iz ，Iyz ，(逆时针转为正) ，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。
z1zco sysin
y
y1zsin yco s y1
z
Iz1 y12dA
A
(zsinycos)2dA
iz
Iz A
Байду номын сангаас
§ 7-2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
1. 单位：长度的四次方； 2.同一截面对于不同的坐标轴的惯性矩和惯性积一般不同； 3.惯性矩恒为正，而惯性积可正可负也可等于零；
4.若y、z轴有一个为对称轴，则Iyz恒等于零。
二、常见图形的惯性矩和极惯性矩 y,z为形心对称轴
1.矩形
hb 3 I y 12
dA
z1
y1
z1
y
A
A
sin2 z2dAco2s y2dA
O
z
A
A
2sincos yzdA
A
即：
§ 7-4 转轴定理
Iz1 Izco2 s Iysi2nIyzsin2
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
co2sIyzsin2
同理可得： Iy1 Izsi2nIyco2 s Iyzsin2
或：
Iz
Iy 2
Iz
zyd bAzdA aydA Aab
A
A
A
Iz1 Iz2azSA2a
即： Iy1 Iy2bSyA2b
1.过形心的惯性矩最小；
2. (a,b)表示C点的坐标， 惯性积没有上述结论。
Iy1z1IyzazS bySAa
例题 7-3-1 求图示截面图形的Iｚc。
§ 7-3 平行移轴定理
解： yC
Ai yCi 122 0 0131 022 0 06095(mm)
Ai
122 0 0122 00
20
y
120
． C1
． C
②
． C2
①
zC
yC
z
20
IzCIzC 1IzC2 IzC 1A 1 d 1 2IzC 2A 2d2 2 120 23 0120 20 32 5 12 2 0123 02 0123 025 12 884104(mm 4)
120
§ 7-4 转轴定理
Iy 2
co2sIyzs
in2
Iy1z1 Iz 2Iysi2nIyzco2sIzIyIz1Iy1
IIy z 1 1 z1 IIy y 1 1 z1 c sion c s so i n sIIy zzIIy y z c so in c sio n
z
O1
b
z1
y2dA 2aydAA2 a
A
A
Iy1 z12dA (zb)2dA
A
A
z2dA 2bzdAA2b
A
A
a
y y1
§ 7-3 平行移轴定理
由于y、z轴通过图形的形 心，则Sy=Sz=0。
I y1z1 z1y1dA (zb)(yb)dA
A
A
Iz1 IzC Aa2 Iy1 IyC Ab2 Iz1y1 IzCyC Aab