人工神经网络第5章RBF
径向基神经网络RBF介绍
径向基神经网络RBF介绍RBF网络原理RBF网络，即径向基神经网络，也是前馈型网络的一种。
它的设计思想和BP网络完全不一样。
Cover定理：将复杂的模式分类问题非线性的投射到高维空间将比投射到低维空间更可能是线性可分的。
也就是说这个问题在低维空间不一定是线性可分的，但如果把它映射到高纬度的空间去，在那里就可能是线性可分的。
这就是RBF网络的原理。
RBF将问题转换为线性可分之后便没有了BP网络的局部极小值问题。
但是RBF需要比BP网络更多的隐含层神经元。
RBF网络是一个三层的网络，出了输入输出层之外仅有一个隐层。
隐层中的转换函数是局部响应的高斯函数，而其他前向型网络，转换函数一般都是全局响应函数。
由于这样的不同，要实现同样的功能，RBF需要更多的神经元，这就是rbf网络不能取代标准前向型网络的原因。
但是RBF的训练时间更短。
它对函数的逼近是最优的，可以以任意精度逼近任意连续函数。
隐层中的神经元越多，逼近越精确RBF网络学习过程在RBF网络之前训练，需要给出输入向量X和目标向量T，训练的目的是要求得第一层和第二层之间的权值W1、阀值B1，和第二层与第三层之间的权值W2、阀值B2。
整个网络的训练分为两步，第一部是无监督的学习，求W1、B1。
第二步是有监督的学习求W2、B2。
隐藏层神经元个数网络会从0个神经元开始训练，通过检查输出误差使网络自动增加神经元。
每次循环使用，重复过程直到误差达到要求。
因此RBF网络具有结构自适应确定，输出与初始权值无关的特征。
（BP网络就不这样）广义回归神经网络GRNN径向基神经元和线性神经元可以建立广义回归神经网络，它是径RBF网络的一种变化形式，经常用于函数逼近。
在某些方面比RBF网络更具优势。
概率神经网络PNN径向基神经元和竞争神经元还可以组成概率神经网络。
PNN也是RBF的一种变化形式，结构简单训练快捷，特别适合于模式分类问题的解决。
扩展速度spread的确定RBF网络有个参数叫扩展速度spread，在MATLAB中创建RBF网络时是要事先设定好的，其默认值为1。
RBF神经网络
6. 调用 void RBFNet::lms()，采用梯度训练算法，由 u[1]，计算权值 w，并保存在 w[2]数组 之中，同时计算出输出的结果，保存在 u[2]之中； 7. 调用 double RBFNet::getwucha()，计算 u[2]与样本输出之间的误差大小（选择不同的聚 类中心数，分别计算误差，选出误差最小时的聚类中心数目）； 8. 调用 void RBFNet::saveW(double *newW)，将计算出的权值，以文件的形式保存下来，以 方便下次调用； 9. 调用 void RBFNet::saveGaosi(double *newG)，同上，保存高斯因子，将训练好的网络保 存下来；
RBF 神经网络： RBF 神经网络又称为径向基函数神经网络是一类常用的 3 层前馈网络， 也可用于函数逼近及 分类，常用的 RBF 网络为 n-h-m 结构，即网络具有 n 个输入，h 个隐节点，m 个输出。 RBF 的常用算法用：聚类方法，梯度训练方法，正交最小二乘算法等等，在本次算法实现过 程中，主要用到了聚类方法和梯度训练方法。 常用的 RBF 算法实现流程是： 1. 算法初始化：选择 h 个不同的初始聚类中心，并令 k=1。初始聚类中心的方法很多，比 如，从样本输入中随机选取，或者选择前 h 个样本输入，但这 h 个初始数据中心必须取 不同值。距离||X j –c i（k）||，i=1,2,· · ·,h，j=1,2,· · ·,N。 3. 对样本输入 X j 按最小距离原则对其进行分类： 即当 i(X j)=min||X j –c （ k ） || ， i=1,2, · · · ,h i 时，X j 即被归化为第 i 类，将 n 个输入分为 h 类。 4. 重新计算各类的新的聚类中心： C i（k+1）=Ni
RBF神经网络
径向基函数（RBF）神经网络RBF网络能够逼近任意的非线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
简单说明一下为什么RBF网络学习收敛得比较快。
当网络的一个或多个可调参数（权值或阈值）对任何一个输出都有影响时，这样的网络称为全局逼近网络。
由于对于每次输入，网络上的每一个权值都要调整，从而导致全局逼近网络的学习速度很慢。
BP网络就是一个典型的例子。
如果对于输入空间的某个局部区域只有少数几个连接权值影响输出，则该网络称为局部逼近网络。
常见的局部逼近网络有RBF网络、小脑模型（CMAC）网络、B样条网络等。
径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。
样本点总共有P个。
RBF的方法是要选择P个基函数，每个基函数对应一个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。
||X-X p||表示差向量的模，或者叫2范数。
基于为径向基函数的插值函数为：输入X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。
可以看到输入数据点X p是径向基函数φp的中心。
隐藏层的作用是把向量从低维m映射到高维P，低维线性不可分的情况到高维就线性可分了。
将插值条件代入：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度无关，当Φ可逆时，有。
对于一大类函数，当输入的X各不相同时，Φ就是可逆的。
下面的几个函数就属于这“一大类”函数：1）Gauss（高斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多二次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越小，宽度越窄，函数越具有选择性。
完全内插存在一些问题：1）插值曲面必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经网络将拟合出一个错误的曲面，从而使泛化能力下降。
BP神经网络RBF神经网络自组织竞争型神经网络
（3）如果在已被占用的输出端中找到一个优胜者，它的由顶向下矢量Z（k）与S（k）的相似度足够高，或者开辟了一个未被占用的新输出端，则对于该端相应的由底向上和由顶向下权重系数进行调整。设此端的编号为L，那么被调整的系数是 和 。下面给出系数调整的计算公式:
概括而言，按照ART（也就是以竞争学习和自稳机制为原则所建立的理论）构成的ANN有如下特点: （1）它能对任何输入观察矢量（包括非平衡输入）进行“实时学习”，这就是说，学习和工作是分不开的。这种学习保证能够达到稳定、可靠的结果，直至记忆容量全部用完为止。任何情况下都不会造成新记忆破坏老记忆的灾难性后果。 （2）学习是自治和自组织的，学习过程无需教师指导，因此是一种无监督（unsupervised）学习。
F2层（STM） 此层的作用是由矢量T计算输出矢量Y，其计算公式为 若 （5-3） 可以看出，在输出层F2进行的是一种竞争抉择运算: 在t0～tM-1之间，有一个最大的分量，其对应输出即定为1，而所有其它分量所对应的输出皆定为0。
下面讨论此系统用于分类时的学习策略 在学习开始以前，首先需要对LTM层中的各个权值系数置以随机初值wij（0），然后依次送入观察矢量X（k），随时按照下列公式将各个权重系数调整成一组新的数值: j=0~(N-1),i=0~(M-1) （5-4）
(5-8) 其中α是步幅, 其值取为一个小正实数。
可以看到, 按照上面给出的算法, 只有当新的输入矢量与已存入记忆中的某个矢量足够相似时, 两者才能互相融合, 即对有关的权重系数进行调整, 从而使长期记忆得以改变。这造成一种自适应谐振（adaptive resonance）状态, 这就是ART这个名称的来源。需要指出, 上面给出的（1）和（2）两项运算, 其运算速度相对而言是快的, 在运算时只有F1和F2这两个STM层的输出发生变化, 而LTM层中的系数不产生改变。当进入自适应谐振状态时（即进入第（3）项运算时）LTM层中的有关系数才发生变化。这类似于人的记忆过程, 当输入一个观察矢量时, 大脑必须在已有的记忆内容中搜索与之相似的矢量, 如果得到了印证, 那么对其记忆就会加强。另一方面, 如果输入的是一个完全新奇的矢量, 这也会造成深刻的印象并被植入长期记忆库之中。
绝对经典RBF神经网络
平均值与目标值之平均值之间差异。
第6页
函数迫近问题（内插值）
普通函数都可表示成一组基函数线性组合，
RBF网络相当于用隐层单元输出组成一组基函数，
然后用输出层来进行线性组合，以完成迫近功效。
①给定样本数据
P {p1, p2 pi pQ},
②寻找函数，使其满足：ti F ( pi )
各隐节点扩展常数。因为RBF网隐节点数对其泛化能力有
极大影响，所以寻找能确定聚类数目标合理方法，是聚类
方法设计RBF网时需首先处理问题。除聚类算法外，还有
绝对经典RBF神经网络 梯度训练方法、资源分配网络(RAN)等
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一. 自组织中心选取法
1989年，Moody和Darken提出了一个由两个阶段组成混合 学习过程思绪。
Cover定理能够定性地表述为：将复杂模式分类问题非线 性地投射到高维空间将比投射到低维空间更可能是线性可 分
空间转换
低维空间：线性不可分
高维空间：线性可分
绝对经典RBF神经网络
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举例：逻辑运算异或分类
X1 X2
空间变换前
绝对经典RBF神经网络
Φ1(x)
w11
Φ2(x)
w11
Output y
j 1
设第j 个隐节点在第i个样本输出为： ij G( pi p j )
可矩阵表示：W T,若R可逆，则解为 W 1T 依据Micchelli定理可得，假如隐节点激活函数采取
径向基函数，且p1, p2 ,..., pQ 各不相同，则线性方程组
有唯一解。 Q RBF网络输出 F( pi ) wj( pi cj )
% 每一层神经元权值和阈值都与径向基函数位置和宽度相关系，输出层线性神经元将这些径 向基函数权值相加。假如隐含层神经元数目足够，每一层权值和阈值正确，那么径向基函 数网络就完全能够准确迫近任意函数。
RBF神经网络概述
RBF神经网络概述1 RBF神经网络的基本原理2 RBF神经网络的网络结构3 RBF神经网络的优点1 RBF神经网络的基本原理人工神经网络以其独特的信息处理能力在许多领域得到了成功的应用。
它不仅具有强大的非线性映射能力，而且具有自适应、自学习和容错性等，能够从大量的历史数据中进行聚类和学习，进而找到某些行为变化的规律。
径向基函数(RBF)神经网络是一种新颖有效的前馈式神经网络，它具有最佳逼近和全局最优的性能，同时训练方法快速易行，不存在局部最优问题，这些优点使得RBF网络在非线性时间序列预测中得到了广泛的应用。
1985年，Powell提出了多变量插值的径向基函数(Radial-Basis Function, RBF)方法。
1988年，Broomhead和Lowe首先将RBF应用于神经网络设计，构成了径向基函数神经网络，即RBF神经网络。
用径向基函数(RBF)作为隐单元的“基”构成隐含层空间，对输入矢量进行一次变换，将低维的模式输入数据变换到高维空间内，通过对隐单元输出的加权求和得到输出，这就是RBF网络的基本思想。
2 RBF神经网络的网络结构RBF网络是一种三层前向网络：第一层为输入层，由信号源节点组成。
第二层为隐含层，隐单元的变换函数是一种局部分布的非负非线性函数，他对中心点径向对称且衰减。
隐含层的单元数由所描述问题的需要确定。
第三层为输出层，网络的输出是隐单元输出的线性加权。
RBF网络的输入空间到隐含层空间的变换是非线性的，而从隐含层空间到输出层空间的变换是线性。
不失一般性，假定输出层只有一个隐单元，令网络的训练样本对为，其中为训练样本的输入，为训练样本的期望输出，对应的实际输出为;基函数为第个隐单元的输出为基函数的中心;为第个隐单元与输出单元之间的权值。
单输出的RBF网络的拓扑图如图1所示:图1RBF网络的拓扑图当网络输入训练样本时，网络的实际输出为:(1)通常使用的RBF有：高斯函数、多二次函数(multiquadric function)、逆多二次函数、薄板样条函数等。
RBF神经网络
的权向量为：W = [w , w
1
b j为节点的基宽度参数 ， 且为大于零的数 。 网络 为节点的基宽度参数， 且为大于零的数。
2
⋯wj ⋯wm ]
k时刻网络的输出为： 时刻网络的输出为：
y m ( k )=wh = w1h1+w 2 h2+ ⋯⋯ +w m hm
设理想输出为y(k)， 设理想输出为y(k)，则性能指标函数为：
∂y (k ) ∂ym (k ) ≈ = ∂u (k ) ∂u (k )
m
∑w h
j =1
c1 j − x1 b2 j
j j
其中取 x1 = u(k) 。
6 RBF网络逼近仿真实例 RBF网络逼近仿真实例
使用RBF网络逼近下列对象：
y (k ) = u (k ) +
3
y ( k − 1) 1 + y ( k − 1)
Ii
wij
I
j
I1
. . .
R1
. . .
. .u .
u ..
R
j
. . .
1
1
.
V1
C1
. . .
j
j
.
Vj
.
u ..
Cj
i
i
.V
i
Ri
.
Ci
Hopfield网络模型 Hopfield网络模型
RBF神经网络 RBF神经网络
信息工程学院 Alen Fielding
1 RBF神经网络 RBF神经网络
径向基函数(RBF径向基函数(RBF-Radial Basis Function)神经网络 Function)神经网络 是由J Moody和 Darken在80年代末提出的一种神经 是由J.Moody和C.Darken在80年代末提出的一种神经 网络,它是具有单隐层的三层前馈网络。 网络,它是具有单隐层的三层前馈网络。由于它模拟 了人脑中局部调整、相互覆盖接收域（或称感受野了人脑中局部调整、相互覆盖接收域（或称感受野Receptive Field）的神经网络结构，因此，RBF网络 Field）的神经网络结构，因此，RBF网络 是一种局部逼近网络， 是一种局部逼近网络 ， 它能够以任意精度逼近任意 连续函数，特别适合于解决分类问题。 连续函数，特别适合于解决分类问题。
RBF（径向基）神经网络
RBF（径向基）神经⽹络 只要模型是⼀层⼀层的，并使⽤AD/BP算法，就能称作 BP神经⽹络。
RBF 神经⽹络是其中⼀个特例。
本⽂主要包括以下内容：什么是径向基函数RBF神经⽹络RBF神经⽹络的学习问题RBF神经⽹络与BP神经⽹络的区别RBF神经⽹络与SVM的区别为什么⾼斯核函数就是映射到⾼维区间前馈⽹络、递归⽹络和反馈⽹络完全内插法⼀、什么是径向基函数 1985年，Powell提出了多变量插值的径向基函数（RBF）⽅法。
径向基函数是⼀个取值仅仅依赖于离原点距离的实值函数，也就是Φ（x）=Φ(‖x‖),或者还可以是到任意⼀点c的距离，c点称为中⼼点，也就是Φ（x，c）=Φ(‖x-c‖)。
任意⼀个满⾜Φ（x）=Φ(‖x‖)特性的函数Φ都叫做径向基函数，标准的⼀般使⽤欧⽒距离（也叫做欧式径向基函数），尽管其他距离函数也是可以的。
最常⽤的径向基函数是⾼斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中x_c为核函数中⼼,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作⽤范围。
⼆、RBF神经⽹络 RBF神将⽹络是⼀种三层神经⽹络，其包括输⼊层、隐层、输出层。
从输⼊空间到隐层空间的变换是⾮线性的，⽽从隐层空间到输出层空间变换是线性的。
流图如下： RBF⽹络的基本思想是：⽤RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，这样就可以将输⼊⽮量直接映射到隐空间，⽽不需要通过权连接。
当RBF的中⼼点确定以后，这种映射关系也就确定了。
⽽隐含层空间到输出空间的映射是线性的，即⽹络的输出是隐单元输出的线性加权和，此处的权即为⽹络可调参数。
其中，隐含层的作⽤是把向量从低维度的p映射到⾼维度的h，这样低维度线性不可分的情况到⾼维度就可以变得线性可分了，主要就是核函数的思想。
这样，⽹络由输⼊到输出的映射是⾮线性的，⽽⽹络输出对可调参数⽽⾔却⼜是线性的。
⽹络的权就可由线性⽅程组直接解出，从⽽⼤⼤加快学习速度并避免局部极⼩问题。
神经网络控制RBF
神经网络控制RBF神经网络是一种模拟人脑处理信息的计算模型，可以通过学习数据来预测和控制各种系统。
在控制领域，神经网络已经被广泛应用，很多控制问题可以通过神经网络来实现优化控制。
而基于类RBF（径向基函数）神经网络的控制方法也得到广泛的研究和应用，该方法是一种自适应控制方法，可以处理非线性系统，具有一定的理论和实际应用价值。
1. RBF神经网络控制方法RBF神经网络是一种前馈神经网络，由输入层、隐层和输出层组成。
其中，输入层接受外界输入，隐层包含一组RBF神经元，其作用是将输入空间划分为若干子空间，并将每个子空间映射到一个神经元上。
输出层是线性层，负责将隐层输出进行线性组合，输出控制信号。
在控制系统中，RBF神经元用于计算控制信号，从而实现控制目标。
RBF神经网络的训练包括两个阶段：聚类和权重调整。
聚类过程将输入空间划分成若干个类别，并计算出每个类别的中心和半径。
聚类算法的目标是使得同一类别内的样本距离聚类中心最小，不同类别之间距离最大。
常用的聚类算法包括k-means算法和LVQ算法。
权重调整过程将隐层神经元的权重调整到最优状态，以便将隐层输出映射到目标输出。
在实际控制中，RBF神经网络控制方法应用较为广泛，可以替代PID控制器等传统控制方法，具有良好的鲁棒性、自适应能力和较好的控制性能。
2. 基于RBF神经网络的控制方法RBF神经网络控制方法广泛应用于各种领域的控制任务，特别是在非线性系统控制中具有重要的应用价值。
基于RBF神经网络的控制方法主要包括以下两种：（1）虚拟控制策略：将系统建模为线性结构和非线性结构两部分，其中线性结构可以采用传统的控制方法进行控制，而非线性结构则采用基于RBF神经网络的控制方法进行控制。
虚拟控制策略的优点是可以将传统控制和RBF神经网络控制各自的优势融合起来，减小系统的复杂度和计算量。
（2）基于反馈线性化的控制策略：利用反馈线性化的方法将非线性系统变为一个可控的线性系统，从而可以采用传统线性控制方法进行控制。
[课件]第5章 典型人工神经网络(RBF)PPT
![[课件]第5章 典型人工神经网络(RBF)PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/1f14d91243323968001c9200.png)
8
补充：RBF网络工具箱函数
RBF网络演示函数
demorb1 - Radial basis approximation. demorb3 - Radial basis underlapping neurons. demorb4 - Radial basis overlapping neurons. demogrn1 - GRNN function approximation. demopnn1 - PNN classification.
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第5章 典型 人工神经网 络(RBF)
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第二节
2.1 2.2 2.3 2.4
径向基函数神经网络
RBF神经网络结构 RBF神经网络基本功能 RBF神经网络学习算法
RBF神经网络的扩展
2
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1. 模型
2.1 RBF神经网络结构 数学描述（向量）：
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RBF网络相关指令 P192 表7-2-4 RBF网络没有单独的训练函数，在网
络设计函数或者新建函数中都已包括
了训练部分，因此，solverb, solverbe, newrb,网络即为训练后的网络。
9
7
2, j
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2.4 RBF神经网络的扩展
扩展的方式 (1) 改变核函数
T 1 为 协 方 差 矩 阵 u e x p ( x w ) ( x w ) , j 1 , 2 ,, N 1 , j 1 , j j 1 , j 1
(2) 改变学习算法 精炼参数算法；有序的样本输入；在输出层学习中， 改变目标函数准则. (3) 两者同时改变
RBF、GRNN、PNN神经网络学习笔记
RBF、GRNN、PNN神经⽹络学习笔记RBF神经⽹络：径向基函数神经⽹络（Radical Basis Function）GRNN神经⽹络：⼴义回归神经⽹络（General Regression Neural Network）PNN神经⽹络:概率神经⽹络（Probabilistic Neural Network）径向基函数神经⽹络的优点：逼近能⼒，分类能⼒和学习速度等⽅⾯都优于BP神经⽹络，结构简单、训练简洁、学习收敛速度快、能够逼近任意⾮线性函数，克服局部极⼩值问题。
原因在于其参数初始化具有⼀定的⽅法，并⾮随机初始化（见习下⾯的代码）。
⾸先我们来看RBF神经⽹络隐藏层中神经元的变换函数即径向基函数是对中⼼点径向对称且衰减的⾮负线性函数，该函数是局部响应函数，具体的局部响应体现在其可见层到隐藏层的变换，跟其它的⽹络不同。
RBF神经⽹络的基本思想：⽤RBF（径向基函数）作为隐单元的“基”构成隐藏层空间，隐藏层对输⼊⽮量进⾏变换，将低维的模式输⼊数据变换到⾼维空间内，使得在低维空间内的线性不可分问题在⾼维空间内线性可分。
详细⼀点就是⽤RBF的隐单元的“基”构成隐藏层空间，这样就可以将输⼊⽮量直接(不通过权连接)映射到隐空间。
当RBF的中⼼点确定以后，这种映射关系也就确定了。
⽽隐含层空间到输出空间的映射是线性的(注意这个地⽅区分⼀下线性映射和⾮线性映射的关系)，即⽹络输出是因单元输出的线性加权和，此处的权即为⽹络可调参数。
《模式识别与只能计算》中介绍：径向基⽹络传递函数是以输⼊向量与阈值向量之间的距离|| X-Cj ||作为⾃变量的，其中|| X -Cj ||是通过输⼊向量和加权矩阵C的⾏向量的乘积得到。
此处的C就是隐藏层各神经元的中⼼参数，⼤⼩为(隐层神经元数⽬*可见层单元数)。
再者，每⼀个隐神经元中⼼参数C都对应⼀个宽度向量D，使得不同的输⼊信息能被不同的隐层神经元最⼤程度地反映出来。
得到的这个R就是隐藏层神经元的值。
RBF神经网络
RBF神经⽹络RBF神经⽹络RBF神经⽹络通常只有三层，即输⼊层、中间层和输出层。
其中中间层主要计算输⼊x和样本⽮量c（记忆样本）之间的欧式距离的Radial Basis Function (RBF)的值，输出层对其做⼀个线性的组合。
径向基函数：RBF神经⽹络的训练可以分为两个阶段：第⼀阶段为⽆监督学习，从样本数据中选择记忆样本/中⼼点；可以使⽤聚类算法，也可以选择随机给定的⽅式。
第⼆阶段为监督学习，主要计算样本经过RBF转换后，和输出之间的关系/权重；可以使⽤BP算法计算、也可以使⽤简单的数学公式计算。
1. 随机初始化中⼼点2. 计算RBF中的激活函数值，每个中⼼点到样本的距离3. 计算权重，原函数：Y=GW4. W = G^-1YRBF⽹络能够逼近任意⾮线性的函数(因为使⽤的是⼀个局部的激活函数。
在中⼼点附近有最⼤的反应；越接近中⼼点则反应最⼤，远离反应成指数递减；就相当于每个神经元都对应不同的感知域)。
可以处理系统内难以解析的规律性，具有很好的泛化能⼒，并且具有较快的学习速度。
有很快的学习收敛速度，已成功应⽤于⾮线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
当⽹络的⼀个或多个可调参数（权值或阈值）对任何⼀个输出都有影响时，这样的⽹络称为全局逼近⽹络。
由于对于每次输⼊，⽹络上的每⼀个权值都要调整，从⽽导致全局逼近⽹络的学习速度很慢，⽐如BP⽹络。
如果对于输⼊空间的某个局部区域只有少数⼏个连接权值影响输出，则该⽹络称为局部逼近⽹络，⽐如RBF⽹络。
RBF和BP神经⽹络的对⽐BP神经⽹络(使⽤Sigmoid激活函数)是全局逼近；RBF神经⽹络(使⽤径向基函数作为激活函数)是局部逼近；相同点：1. RBF神经⽹络中对于权重的求解也可以使⽤BP算法求解。
不同点：1. 中间神经元类型不同(RBF:径向基函数；BP:Sigmoid函数)2. ⽹络层次数量不同(RBF:3层；BP:不限制)3. 运⾏速度的区别(RBF:快；BP:慢)简单的RBF神经⽹络代码实现# norm求模,pinv求逆from scipy.linalg import norm, pinvimport numpy as npfrom matplotlib import pyplot as pltimport matplotlib as mplmpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]np.random.seed(28)class RBF:"""RBF径向基神经⽹络"""def__init__(self, input_dim, num_centers, out_dim):"""初始化函数:param input_dim: 输⼊维度数⽬:param num_centers: 中间的核数⽬:param out_dim:输出维度数⽬"""self.input_dim = input_dimself.out_dim = out_dimself.num_centers = num_centersself.centers = [np.random.uniform(-1, 1, input_dim) for i in range(num_centers)] self.beta = 8self.W = np.random.random((self.num_centers, self.out_dim))def _basisfunc(self, c, d):return np.exp(-self.beta * norm(c - d) ** 2)def _calcAct(self, X):G = np.zeros((X.shape[0], self.num_centers), float)for ci, c in enumerate(self.centers):for xi, x in enumerate(X):G[xi, ci] = self._basisfunc(c, x)return Gdef train(self, X, Y):"""进⾏模型训练:param X: 矩阵，x的维度必须是给定的n * input_dim:param Y: 列的向量组合，要求维度必须是n * 1:return:"""# 随机初始化中⼼点rnd_idx = np.random.permutation(X.shape[0])[:self.num_centers]self.centers = [X[i, :] for i in rnd_idx]# 相当于计算RBF中的激活函数值G = self._calcAct(X)# 计算权重==> Y=GW ==> W = G^-1Yself.W = np.dot(pinv(G), Y)def test(self, X):""" x的维度必须是给定的n * input_dim"""G = self._calcAct(X)Y = np.dot(G, self.W)return Y测试上⾯的代码：# 构造数据n = 100x = np.linspace(-1, 1, n).reshape(n, 1)y = np.sin(3 * (x + 0.5) ** 3 - 1)# RBF神经⽹络rbf = RBF(1, 20, 1)rbf.train(x, y)z = rbf.test(x)plt.figure(figsize=(12, 8))plt.plot(x, y, 'ko',label="原始值")plt.plot(x, z, 'r-', linewidth=2,label="预测值")plt.legend()plt.xlim(-1.2, 1.2)plt.show()效果图⽚:RBF训练RBF函数中⼼,扩展常数,输出权值都应该采⽤监督学习算法进⾏训练,经历⼀个误差修正学习的过程,与BP⽹络的学习原理⼀样.同样采⽤梯度下降爱法,定义⽬标函数为:ei为输⼊第i个样本时候的误差。
人工神经网络第5章
5.1 离散型Hopfield神经网络
5.1.1 离散型Hopfield神经网络结构 5.1.2 离散型Hopfield神经网络处理单元模型 5.1.3 离散型Hopfield神经网络状态及运行规则 5.1.4 离散型Hopfield神经网络的能量函数 5.1.5 离散型Hopfield神经网络的连接权值设计 5.1.6 离散型Hopfield神经网络的信息存储容量
其中I为n×n 的单位矩阵
5.1.6 离散型Hopfield神经网络 的信息存储容量
网络能够存储的最大样本模式数称为网络 的信息存储容量
理想情况下，当采用外积和法为具有n个神 经元的离散型Hopfield网络设计连接权值时 ，如果记忆模式满足两两正交的条件，那 么该离散型Hopfield网络的最大信息存储容 量为n ，即最多可以记忆n个模式
◦ 神经元的输入阻抗Rj由等效电阻Pj和输入 电容Cj表示，它们决定了神经元j的时间常 数，用于模拟生物神经元的延时特性
组成 ◦ 连接导线(轴突) ◦ 电阻(树突) ◦ 电容(突触) 特点 ◦ 神经元j的阈值θj由外加偏置电流Ij表示 ◦ 神经元j的净输入sj由输入电压uj表示 ◦ 神经元j输出xj由输出电压Vj表示
5.2ห้องสมุดไป่ตู้2 连续性Hopfield神经网络 处理单元模型(2)
f()是连续型Hopfield网络的转移函数， 它是一条S型曲线
一般情况下，对于具有n个神经元的离散型 Hopfield网络，如果是非正交的模式样本， 网络的信息存储容量一般为0.13n~0.15n
5.2 连续型Hopfield神经网络
rbf函数
rbf函数RBF函数，又称为径向基函数（Radial Basis Function），是一类用于替代传统神经网络的非线性因子映射模型。
它对比其他模型而言具有更具有普遍性，以及更快的学习收敛速度。
RBF函数有效地解决了前向传播神经网络中的非线性特性，他使得神经网络学习能力强大，更具有真正的智能化。
RBF函数以其独特性和优点，在机器学习以及神经网络等方面得到了广泛的应用。
RBF函数是基于非线性因子映射的模型，它弥补了传统的前向传播神经网络的不足之处，能够有效的提升神经网络的学习能力。
RBF函数是典型的高斯函数，形式为 e'^(-γ|x-c|^2)，其中，γ 表示 RBF 函数的宽度参数，c 表示 RBF 的中心，x 表示样本点。
RBF函数由此可以将任意大小的特征变换成均匀的特征，从而解决了“输出特征随着输入特征的变化而变化”的问题。
通过给定的样本点，RBF 函数可以有效的生成多个类型的模型，以满足不同的应用需求，如无约束的非线性回归分析、非线性计算以及分类等。
RBF 函数可以实现以给定的高斯参数γ 与 c 将原始数据映射到收敛的高斯函数上，这样就能够有效解决神经网络在任务中所遇到的非线性特征。
此外，RBF 函数也具有很强的收敛性，可以在相对较短的时间内收敛，而且产生的结果还会采用高斯函数的形式，减少模型的复杂性，并可以实现网络的快速收敛。
总之，RBF 函数可以有效的提升神经网络的学习能力，以及改进传统神经网络面临的问题。
它可以应用于多种机器学习应用，如无约束的非线性回归分析、非线性计算以及分类等。
虽然RBF函数有很多优点，但也有一些劣势，如参数敏感性较强、高维空间难以收敛等。
RBF神经网络演示课件
RBF神经网络结构
这个网络,实现从输入空间到隐藏 空间的一个非线性映射，随后从隐 藏空间到输出空间是线性映射。
16
RBF中的插值问题
在RBF中是如何通过插值方法进行网路的训练呢？ 首先假设我们有N个m0维向量，那么我们就确定了输入层节点有 m0 个。相当于一个从m0维输入空间到一维输出空间的映射，可以写成 如下形式：
不需要通过权连接)映射到隐空间 ； 当RBF的中心点确定后，映射关系也就确定； 隐含层空间到输出空间的映射是线性的 通过最小二乘估计来解给定的分类问题。
7
Cover理论
定义：假设空间不是稠密分布的，将复杂的模式分类问题非线性地投射到高维空 间将比投射到低微空间更可能是线性可分的。
x=0
8
Cover 的插值问题
RBF神经网络是基于RBF函数，RBF函数是解决多变量插值问题
首先了解下什么是插值问题？
13
插值问题
在工程技术上，给出一批离散的点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以满足设计 和加工的需要。反映在数学上，即已知函数在一些点的值，寻求它的分析表达式。
y
y0
y1
o
x0
x1
Y(x)
P(x)=?
y2
yi
yn
x2
xi
xnn
14
插值问题
一是在选定近似函数H(x)后，不要求它们通过已知样点 ，只要求
在某种意义下它在这些样点的总偏差最小----曲线拟合法。
二是给出函数f(x)的一些样点值，选定某些便于计算的函数，要求它们
通过已知样点，由此确定函数H(x)为f(x)的近似值----插值法;
RBF（径向基）神经网络
Keynote: 尤志强
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radbas (n) e
n2
3.设计径向基网络newrb( ) net=newrb(X,T,goal,spread)
式中，X为输入向量；T 为目标向量；goal为目标
均方差，默认为0；spread为径向基函数的分布系
数（宽度），默认为1；net为生成的网络。 利用函数 newrb( ) 建立的径向基网络，能够
f ( x) x
工具箱函数purelin（）
RBF网络的结构
隐层神经元（也称RBF节点）
乘积 距离
径向基传 输函数
偏置值
隐层神经元（也称RBF节点） 矢量间的距离 dist(w,p)
w p
(w p )
i i
2
w 为 RBF 神经元的权值向量，也称为 RBF 神经元的中 心向量，其维数与输入向量维数相同； p 为输入向 量。
RBF传输函数的净输入
net w p b
权值向量W与输入向量p之间的向量距离乘以偏值b。
隐层神经元（也称RBF节点） 径向基传输函数
传输函数采用高斯函数，或者其它象高斯核函 数那样的辐射状作用函数。
f ( x) e
Matlab函数
x2 2 2
radbas (neti ) e
RBF网络与BP网络
采用径向基函数网络来完成函数逼近任务，将结 果同 BP 网络以及改进 BP 算法的前向网络的训练结 果做比较后，发现径向基函数网络所用的时间最短。
但并不等于径向基网络就可以取代其它前馈网络。 这是因为径向基网络很可能需要比BP网络多得多的 隐 含 层 神 经 网 络 元 来 完 成 工 作 。 BP 网 络 使 用 sigmoid( )函数，这样的神经元有很大的输入可见区 域。而径向基网络使用的径向基函数，输入空间区 域很小。这就导致了在实际需要的输入空间较大时， 需要很多的径向基神经元。
4.4.3 RBF网络的Matlab仿真
径向基神经网络工具箱函数
在 MATLAB 命令窗口键入“ help radbasis”，便 可得到与径向基神经网络相关的函数。
1. 计算矢量间的距离函数dist( )
dist ( w, p) w p
(w p )
i i
2
2. 径向基传输函数radbas( )
第一部分：RBF单元的参数
方法二：有监督学习法
RBF 网络的所有参数都用监督学习（梯度下降
法）从样本学习。
分别计算误差性能函数对各组参数的偏导数，
得参数的修正公式
J w w
作业：用梯度下降法推导RBF网络调节各参数的公式。
第一部分：RBF单元的参数
方法三：样本聚类法
对所有样本的输入进行聚类（将数据集划分成
第一部分：径向基函数的参数
RBF单元的中心向量和偏值。
第二部分：输出单元的参数
隐含层到输出层的权值及输出层的偏值。
第一部分：RBF单元的参数
方法一：直接法
以训练样本的输入向量作为 RBF 神经元的中心 向量。这样，径向基神经元数等于输入样本数，每 个神经元的中心向量为训练样本的一个输入向量。 各神经元的偏值相同。 该方法创建 RBF 网络的速度很快，但当输入向 量数目很大时，将导致网络的规模也很大。
RBF网络的输出 1.RBF神经元输出 RBF网络隐层第i个节点的输出ui为
ui exp[ ( x w bi ) ]
1 i
1 2
2. 输出层神经元输出 输出层第k个节点的输出yk为
yk w u b
i 1 2 ki i
q
2 k
4.4.2 RBF网络的学习
建立RBF网络,包括：确定隐层神经元的个数、中 心向量（输入到隐层的权值）、偏值，隐层到输出 层的权值，输出神经元的偏值等。
i 1 xi
k
2
含义：求 k 个子集中的各样本与其所属样本 子集中心间的距离平方和，再对所有 k 类求 和。
该准则函数能使聚类域中所有样本到该类 中心距离的平方和（欧式距离）为最小。
K-均值聚类算法
算法步骤
(1) 给定初始聚类中心向量 ci(0)和判定停止计算 的 ； (2) 计算距离（欧氏距离）并求出最小距离的节点
K-均值聚类 聚类示意图（二维）
第一部分：RBF单元的参数
K-均值聚类算法确定RBF神经元的参数 1.RBF神经元中心向量ci 2.RBF神经元宽度（或偏值b） 原则：使得所有RBF单元的接受域之和覆盖整 个训练样本空间。 方法1：宽度为中心向量（聚类中心）与属于该 类的样本之间的平均距离。
K-均值聚类算法步骤
(4) 判定聚类质量 对于全部样本 k(k=1,2,,N) 反复进行以上 (2) 、
(3)步，直至满足Je< ，则聚类结束。
上述k-均值聚类法是在类别k已知的条件下进行 的。若类别未知，则可以假设类别数是逐步增加的， 例如对 k=1 ， 2 ， 3 ，„分别使用该算法。显然准则 函数是随着 k 的增加而单调减少的。当达到合理聚 类数后，J的变化呈平缓趋势。
ci (k ) ci (k 1),1 i q, i r cr (k ) cr (k 1) (k )[ x (k ) cr (k 1)]
其中
(k)=(k-1)/(1+int(k/q))1/2 (k) 是学习速率， 0<(k)<1 。 int() 表示对 () 进行取整运算。 可见，每经过 q 个样本之后，调小一次学习速率， 逐渐减至零。
方法 2 ：宽度为该单元的中心与其它最邻近的 N 个近邻单元中心距离的平均值。
方法3：经验试凑法
第二部分：输出单元参数的学习
方法一：线性最小二乘法
W Tu (u u)
2 T T
1
T
u u1 ( x) u2 ( x)
uq ( x )
方法二：梯度法
2 2 wki (k 1) wki (k ) (tk yk )ui / uT u
目标函数
RBF网络依然是有导师学习网络。
N L 1 N L p 1 p 2 2 J J p (t k y k ) ek 2 p 1 k 1 2 p 1 k 1 p 1 N
N为模式样本对数；L为网络输出节点数。
RBF网络的可调参数 RBF网络的可调参数分为两部分。
RBF 网络的应用主要是函数逼近。从理 论上而言， RBF 网络和 BP 网络一样可近似任 何的连续非线性函数。 例：利用RBF网络实现正弦函数逼近
X=-1:0.1:1;
T=sin(PI*X);
4.4.5 RBF网络的有关问题
构成RBF网络的基本思想
用RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，这 样就可将输入矢量直接（即不通过权连接）映射到隐 空间。当RBF的中心点确定以后，这种映射关系也就 确定了。而隐含层空间到输出空间的映射是线性的， 即网络的输出是隐单元输出的线性加权和。此处的权 即为网络可调参数。由此可见，从总体上看，网络由 输入到输出的映射是非线性的，而网络输出对可调参 数而言却又是线性的。这样网络的权就可由线性方程 组直接解出或用LMS方法计算 ，从而大大加快学习速 度并避免局部极小问题。
4.4.5 RBF网络的有关问题
RBF网络与BP网络
RBF 网络是一种局部逼近的神经网络。众所周
知，BP网络用于函数逼近时，权值的调节采用的 是负梯度下降法，这种调节权值的方法有它的局 限性，即存在着收敛速度慢和局部极小等缺点。 而 RBF 神经网络无论在逼近能力、分类能力和学 习速度等方面均优于BP网络。径向基函数网络比 BP网络需要更多的神经元。
一定数量的子集），找出有代表性的数据点（聚类
中心点）作为 RBF 单元的中心向量，从而极大地减
少隐RBF单心向量。此算法 中，聚类中心为使得该子类内各样本向量距该中心
的距离最小。
K-均值聚类算法
K-均值法的聚类准则函数
J e x ci
在给定的误差目标范围内找到能解决问题的最小
的网络。不需要再训练，可以直接使用。
径向基神经网络工具箱函数 4.设计精确径向基网络newrbe( )
net=newrbe(X,T, spread) 基于GUI的径向基神经网络设计
基于Simulink的径向基神经网络设计
4.4.4 RBF网络的应用
neti 2
n 0.8326 a 0.5
径向基传输函数 径向基函数的宽度Spread（分布系数）
从函数顶点1到0.5的距离。
b与Spread
b Spread 0.8326
阈值或宽度可调节 RBF 神经元的敏感程度。
例如，如果RBF神经元宽度为 0.1，则域值为 8.326, 那么，向量距离为8.326时，输出为0.5。
第五章 径向基函数网络
Radial Basis Function ，RBFNN
RBF网络的模型 RBF网络的学习
RBF网络的Matlab仿真
RBF网络的应用
RBF网络的有关问题
4.4.1 RBF网络的模型
RBF网络的结构 W1 W2
输出层
输入层
隐含层（RBF层）
RBF网络的结构 RBF网络为具有单隐层的两层前向网络。 输入节点 输入层节点只是传递输入信号到隐层。 输出层神经元 通常是简单的线性神经元，其传输函数为
d i (k ) x (k ) ci (k 1) ,1 i q d min (k ) min d i (k ) d r (k )
式中， k 为样本序号， r 为中心向量 ci(k-1) 与输入 样本x(k)距离最近的隐节点序号；
K-均值聚类算法步骤
(3) 调整中心