大学物理,稳恒磁场10-4安培环路定理概述.
磁场的安培环路定理
电荷均匀分布
E
2 0r
E0
E
2 0r
E
r 2 0 R2
E 2 0r
电流均匀分布
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
(16)磁场的安培环路定理 （2）面对称
无限大载流导体薄板
I
已知：导线中电流强度 I
单位长度
位置移动
I1 I2
I4
I3
l
不变
? B dl 0 Ii 0 ( I2 I3 )
? 改变
?
不变
(16)磁场的安培环路定理
注意3
安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
当电流呈体分布时 B dl 0 S j dS
闭合路径包围的电流为电流
导线匝数n
解：分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
dB
ba
.........
cd
(16)磁场的安培环路定理
计B算 d环l 流abBdl cos 0
c
b
Bdl
cos
2
cd Bdl cos 0
da
Bdl
cos
2
B ab B cd
2B ab
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0 (I 2
I3)
【总结】以上结果对任意 形状的闭合电流（伸向无 限远的电流）均成立.
安培环路定理
大学物理10.4安培环路定理及其应用Xiao
实验设备与材料
01
02
磁场测量仪
用于测量磁场强度和方向。
导线
用于产生电流，形成磁场。
03
电源
为导线提供电流。
04
磁力计
用于测量磁力大小。
实验步骤与操作
步骤2
连接电源，使导线通电，产生 电流。
步骤4
使用磁力计测量导线受到的磁 力大小。
步骤1
将导线绕制成一定形状，如圆 形或矩形，并固定在实验台上。
步骤3
02
安培环路定理的数学表达式为： ∮B·dl = μ₀I，其中B表示磁场强度， dl表示微小线段，I表示穿过曲线的 电流，μ₀表示真空中的磁导率。
安培环路定理的推导过程
安培环路定理的推导基于电磁场的基 本理论，通过应用高斯定理和斯托克 斯定理，结合电流连续性和电荷守恒 定律，逐步推导出安培环路定理。
大学物理10.4安培环路定理及其 应用
目 录
• 安培环路定理的概述 • 安培环路定理的应用场景 • 安培环路定理在实践中的应用 • 安培环路定理的实验验证 • 安培环路定理的扩展与思考
01 安培环路定理的概述
安培环路定理的定义
01
安培环路定理是描述磁场与电流 之间关系的物理定理，它指出磁 场对电流的作用力与电流分布及 路径有关。
03
电磁场仿真
安培环路定理是电磁场仿真的基础之一，通过仿真软件实现安培环路定
理的算法，可以模拟电机的电磁场行为，预测电机的性能，并为实际电
机设计提供理论依据。
电磁场仿真软件的安培环路定理实现
有限元法（FEM）
有限元法是一种常用的电磁场仿真方法，通过将连续的电磁场离散化为有限个小的单元，并应用安培环路定理进行求 解。这种方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，得到高精度的仿真结果。
磁场的高斯定理和安培环路定理
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
大学物理稳恒磁场
B2
0
r
r2 R2
I
rR
I
0I rR p r
B20R I2r rR
rp
B 0I rR 2r
B
无限长圆柱导体电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
.
R
r
无限长通电柱面
B2r 0 rR
0I rR p r I
B0 rR
rp
B 0I rR 2r
B
思考：有人说：“环路不环绕
电流时，环路上磁场必处处为
o
( D ) 20I R
B
( E ) 20I 8R
.
[A]
5.如图所示，电流由长直导线 1 经 a 点流 入电阻均匀分布的正方形线框，再由 b 点 流出，经长直导线 2 返回电源（导线 1、2 的延长线均通过 o 点）。设载流导线 1、2 和正方形线框在框中心o 点产生的磁感应 强度分别用 B1、B2、B3 表示，则 o 点的感 应强度大小
单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
解：视为无限多平行
长直电流的场。 B
p
分析场点p的对称性
B
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
.
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
L B d lB 2 lojl
(A )BR2B r. (B)BRBr. (C )2BRB r. (D )BR4Br.
.
[B]
4.两半径为R的相同导体细圆环,互相垂直放 置,且两接触点A、B连线为环的直径,现有 电流1沿AB连线方向由A端流入,再由 B端流 出,则环中心处的磁感应强度大小为:
稳恒磁场的安培环路定理公式
稳恒磁场的安培环路定理公式稳恒磁场的安培环路定理公式揭示了电流在磁场中所受到的力和磁感应强度之间的关系。
这个定理在物理学中扮演着重要的角色。
本文将以通俗易懂的方式介绍这个定理的公式以及其背后的物理原理，希望能够给读者带来指导意义。
安培环路定理的公式是通过一条封闭的路径来描述电流在磁场中所受到的力的总和。
这个路径被称为安培环路，通常采用一个简单的闭合曲线来表示。
具体而言，公式可以表达为：$\sum\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdotI_{enc}$，其中$\sum \overrightarrow{B} \cdot\overrightarrow{dl}$表示安培环路上磁感应强度与微小路径元素的内积之和，$\mu_0$是真空中的磁导率，$I_{enc}$表示通过安培环路所围成的面积的电流。
从这个公式可以看出，磁感应强度与路径元素之间的内积是电流所受到的力的量度。
如果磁感应强度和路径元素之间的内积为正值，那么电流将受到一个向内的力；反之，如果内积为负值，电流将受到一个向外的力。
这里需要注意的是，安培环路定理只对稳恒磁场成立，也就是说磁场的强度和方向在空间中不发生变化。
安培环路定理的公式可以通过一个具体的例子来更加生动地说明。
假设有一根直导线通有电流$I$，而周围存在一个磁场$\overrightarrow{B}$。
我们可以通过一个半径为$r$的圆形安培环路来观察这个过程。
根据公式，我们可以计算出磁感应强度在安培环路上的线积分。
在这个例子中，由于磁场的方向与路径元素的方向相同，内积将永远为正值。
因此，电流在环路上将受到一个向内的力。
这个力的大小可以由公式计算得出。
安培环路定理不仅在理论上有重要意义，它还在实际中广泛应用。
例如，当我们需要设计电磁铁时，可以根据安培环路定理来确定所需的电流和磁感应强度，从而使电磁铁能够产生所需要的磁场。
10-(4)安培环路定理
在静电场中
E dl 0 -- 静电场是保守力场。
l
在稳恒电流的磁场中
LB
dl
？
一 安培环路定理
以无限长直线电流的附近的某个回路为例。 I
无限长直线电流的磁感应线
1、闭合曲线所在平面与电流垂直 I
L
OR
S
B
俯视图
L
B
I d
B
Or
θ dl
P’
P
证： 任取曲线上一点P：
n, I
1、内部磁场 M
Bin Bin 平行于轴线 Bin
N
1、内部磁场
Bin 平行于轴线
L
均匀分布
LBdl 0
Bin均匀分布
安培环路定理 Bin均匀分布
2、外部磁场 Bout
Bout
Bout≈0
M
Bin 平行于轴线 Bin
Bout
N Bout Bout≈0
3、磁场分布
n, I
Bin 均匀分布
(2) 选择合适的闭合回路，含方向；
(3) 求出
B dl ?
和 0
I ?
L
L内
(4) 利用
B dl
L
0 I，求出B的值。
L内
环路L的选择：
(1) L上的B大小相等，方向相同或B与dl 平行或垂直。
(2) 环路的长度( Bdl cos )便于计算。
例1 求通电无限长直密绕细螺线管内磁场。
静电场
LE dl 0
电场有保守性，是 保守力场，或有势场
S
E
ds
1
0
qi
电力线起于正电荷、
止于负电荷。
10-4 安培环路定理
c
0 I i 0 ab i
2B ab 0 ab i
B
____ ____
____
dB d dB
0i
2
b
a
10 – 4 安培环路定理
第十章 稳恒磁场
1
2 I
3 I
1 B1 2 0 i 0 i 2 B2 0
I J π(a 2 b 2 )
利用补偿法
a
J
B1 B2 b O M O J d
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1 ， 半径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2 ， 其上通过的电流方向相反，电流密度相同。
10 – 4 安培环路定理
第十章 稳恒磁场 磁感强度用安培环路定理计算 a
2 2
第十章 稳恒磁场 例6、无限大的载流平面的磁场（单位宽度的电流为 i ）
10 – 4 安培环路定理
c
i
B
P dB d dB
b
a
解：1、分析：无限大的导体平面可以看作无限多 个平行排列的长直电流组成，因为平板是无限大的， 所以具有对称性，经分析可知的方向平行于平板， 与电流方向成右手螺旋，平板两侧电流方向相反， 大小相等。
解：导体内的电流密度
I j (b 2 a 2 )
由于电流和磁场分布的对称性，磁感线是以轴为中 心的一些同心圆，取半径为r的一条磁感应线为环路， 由安培环路定理得： 2 2
r a B 2r 0 j (r a ) 0 I ( 2 2 ) b a 2 2 0 I (r a ) B 2 (b 2 a 2 )r
r
R
稳恒磁场的安培环路定理
稳恒磁场的安培环路定理安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场的产生和磁场的作用。
在稳恒磁场中，安培环路定理可以用来计算磁场的强度和方向，为我们研究磁场的性质提供了重要的工具。
安培环路定理的基本原理是磁场的产生和磁场的作用是相互关联的。
在稳恒磁场中，磁场的产生是由电流所产生的磁场所引起的，而磁场的作用则是通过磁场对电流的作用来实现的。
因此，安培环路定理可以用来计算磁场的强度和方向，从而帮助我们更好地理解磁场的性质。
安培环路定理的表述是：在任意闭合路径上，磁场的线积分等于该路径所包围的电流的代数和的乘积。
这个定理的数学表达式为：∮B·dl=μ0I其中，B表示磁场的强度，l表示路径的长度，μ0表示真空中的磁导率，I表示路径所包围的电流的代数和。
这个定理的意义是，磁场的强度与路径所包围的电流的代数和成正比，与路径的形状无关。
这意味着，我们可以通过测量路径所包围的电流的代数和和路径的长度来计算磁场的强度和方向。
在实际应用中，安培环路定理可以用来计算磁场的强度和方向。
例如，在一个长直导线中，电流的方向是垂直于导线的方向，因此，磁场的方向是沿着导线的方向。
如果我们想要计算导线周围的磁场强度，我们可以选择一个圆形路径，使得路径的中心点位于导线的中心，然后测量路径所包围的电流的代数和和路径的长度，就可以计算出磁场的强度和方向。
在另一个例子中，我们可以考虑一个长直螺线管，它是由一根长直导线绕成的。
在这种情况下，磁场的方向是沿着螺线管的轴线方向，因此，我们可以选择一个圆形路径，使得路径的中心点位于螺线管的轴线上，然后测量路径所包围的电流的代数和和路径的长度，就可以计算出磁场的强度和方向。
安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场的产生和磁场的作用。
在稳恒磁场中，安培环路定理可以用来计算磁场的强度和方向，为我们研究磁场的性质提供了重要的工具。
通过应用安培环路定理，我们可以更好地理解磁场的性质，从而更好地应用磁场的知识。
稳恒磁场安培环路定理的论述与推导
稳恒磁场安培环路定理的论述与推导
稳恒磁场安培环路定理是磁场的重要场方程，它反映了磁场的涡旋性及磁场与电流的关系，给出通过电流的分布求解具有某种对称性系口均匀性磁场的途径。
在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
这个结论称为安培环路定理。
安培环路定理可以由毕奥-萨伐尔定律导出。
它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。
我将从以下几个方面谈谈对稳恒磁场安培环路定理的理解
一、稳恒磁场安培环路定理的推导
二、稳恒磁场安培环路定理的表达式及描述
在磁场中,沿任何闭合曲线B矢量的线积分(B矢量的环流),等于真空的磁导率#乘以穿过以该闭合曲线为边界所张任意曲面的个恒定电流的代数和,它表达了电流与它激发磁场之间的普遍规律,即上式中电流的……
三、对稳恒磁场安培环路定理的进一步理解
正如在静电场的高斯定理一节中我们曾强调过的……
四、稳恒磁场安培环路定理的应用：安培环路定理以积分形式表达了恒定……利用安培环路定理求磁场的基本步骤
1.首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析;
2.根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路;
3.利用公式(1)求磁感强度。
大学物理安培环路定理
10-4 安培环路定理静电场的一个重要特征是电场强度E 沿任意闭合路径的积分等于零，即0d =⋅⎰l E l，那么，磁场中的磁感强度B 沿任意闭合路径的积分⎰⋅ld lB 等于多少呢？可以证明：在真空的稳恒磁场中，磁感强度B 沿任一闭合路径的积分（即B 的环流）的值，等于0μ乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和，即∑⎰==⋅ni lI10 d il B μ （10-8）安培环路定理与静电场环路定理的比较 讨论：安培环路定理的证明如图(a)所示，有一通有电流I 的长直载流导线垂直于屏幕平面，且电流流向垂直屏幕平面向内. 在屏幕平面上取两个闭合路径1C 和2C ，其中闭合路径1C 内包围的电流为I ，而在闭合路径2C 内没有电流. 从图（b ）可以看出，由于磁感强度B 的方向总是沿着环绕直导线的圆形回路的切线方向，所以对闭合路径1C 或2C 上任意一线元l d ，磁感强度B 与l d 的点积为ϕαd cos d d Br l B ==⋅l B式中r 为载流导线至线元l d 的距离. 由第10-2节二中例1的式（2），上式可写成ϕμϕμd π2d π2d 00Ir rI==⋅l B （1）对于图（a ）的闭合回路1C ，ϕ将由0增至π2. 于是，磁感强度B 沿闭合路径1C 的环流为这就是真空中磁场的环路定理，也称安培环路定理。
它是电流与磁场之间的基本规律之一。
在式（10-8）中，若电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值；反之则取负值。
⎰⎰===⋅1000π2π2d π2d CIIIμμϕμl B （2）可见，真空中磁感强度B 沿闭合路径的环流等于闭合路径所包围的电流乘以0μ，而与闭合路径的形状无关.然而，对于图（a ）中的闭合路径2C ，将得到不同的结果，当我们从闭合路径2C 上某一点出发，绕行一周后，角ϕ的净增量为零，即⎰=0d ϕ于是，由式（1）可得⎰=⋅20d c l B （3）比较式（2）和式（3）可以看出，它们是有差别的. 这是由于闭合路径1C 包围了电流，而闭合路径2C 却未包围电流. 于是我们可以得到普遍的安培环路定理：沿任意闭合路径的磁感强度B 的环流为⎰∑=⋅20d c I μl B式中∑I 是该闭合路径所包围电流的代数和 人物简介：安培简介安培(Andre Marie Ampere,1775-1855)，法国物理学家，对数学和化学也有贡献，他在电磁理论的建立和发展方面建树颇丰。
[理学]稳恒磁场与安培环路定理
![[理学]稳恒磁场与安培环路定理](https://img.taocdn.com/s3/m/c0043f0a81c758f5f71f67b4.png)
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r
解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
小结：
• 应用安环定理求磁场分布的关键:选择合适闭合路径 • 要求: • 1)闭合路径经过待求场点；
• 2)B与dl的夹角θ最好为0，π，或π/2；
I
I
I
I
S
I
S
N
N
磁感线是不相交，无头无尾的闭合曲线.（涡旋场）
dS B
B dm dS
磁场中某点处垂直B矢量 的单位面积上通过的磁感 线数目等于该点 B的数值.
nB
s s
B dS
B
四 磁通量： 通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量.
Φ BS cos BS
Φ B S B nS dΦ B dS
3）x 0 4）x R
B 0I
2R
B
0IR 2
2x3
，
B
0 IS
2π x3
（1） I
R o
B0
x
B0
0I
2R
（2 ） I R
o
B0
0I
4R
（3） I R o
B0
0I
8R
（4）
（5） I
BA
0I
4π d
d *A
R1
R2
*o
B0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4π R1
例4 载流直螺线管轴线上的磁场
如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
10.4磁场安培环路定理
II
若电流方向与积分环路方向 呈右手螺旋法则，则有:
I
l
B dl μ I
0 l
电流为正
若电流方向与积分环路方向 不呈右手螺旋关系,则有:
l
B dl μ0 I
I
l
判断：
电流为负
2.无限长直线电流，任意积分回路
B dl B cos θdl
B 0nI
无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体薄 例题4 ： 平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的 电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的 单位长度的电流）处处均匀,大小为 i . 解：可视为无限多平行 长直电流产生的磁场。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
l
μ0 ( I1 I 2 I 3 )
3.电流在回路之外IBl dl
l
0 I d 2
dl
0 I 2
0
0 I d 2
0
d 0
可见，电流若不在安培环路内，由它激发的磁 场在这个环路上的路径积分就是零。
其实并不局限于无限长直线电流，严格的理论分析证明， 对任意形式的闭合稳恒电流，上述结果也都正确。
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布， 例题1 ： 求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称 I R
r
O
dS1
dB
dB2
dB1
l
P
dS 2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
稳恒磁场的环路定理表达式
稳恒磁场的环路定理表达式稳恒磁场的环路定理表达式磁场是物理学中的重要概念，它是由电流产生的，并且对周围的物体有一定的影响。
在物理学中，稳恒磁场的环路定理是一项关键的原理，用于描述磁场和电流之间的关系。
本文将介绍稳恒磁场的环路定理表达式，并说明其背后的物理原理。
稳恒磁场的环路定理通常表示为“∮B·dl=μ0I”，其中B表示磁场的磁感应强度，dl表示环路的微小长度元素，μ0是真空磁导率，I则表示通过环路的电流。
这个表达式描述了磁场中沿闭合环路的线积分，在理解它之前，我们需要了解一些基本概念。
磁感应强度B是描述磁场强度的物理量，它的单位是特斯拉(T)。
磁感应强度的大小和方向告诉我们在该位置上的磁场的强度和方向。
而dl是一个微小的位移向量，它表示环路上的微小长度元素，该向量的方向与环路相切。
环路可以是闭合的曲线，也可以是一个简单的线段，并没有限制。
这个环路定理告诉我们，当通过一个闭合环路的磁场发生变化时，该环路上的线积分结果不为零。
这意味着磁场的改变会引起环路上的感应电动势，从而产生涡旋电场。
这个环路定理与法拉第电磁感应定律有一定的相似之处，但有一点不同的是，稳恒磁场的环路定理假设磁场是恒定不变的，而法拉第电磁感应定律则描述了磁场的变化对电场的影响。
环路定理的表达式中的μ0表示真空磁导率，它是一个常量，约等于4πx10^-7牛顿每安培平方。
这个常量描述了真空对磁场的导磁性能。
μ0的出现是由于国际单位制的一致性要求。
实际上，磁场和电场之间的关系是通过磁导率和电导率来描述的。
真空磁导率描述了真空中的磁导性能，而真空介电常数描述了真空中的电导性能。
通过稳恒磁场的环路定理，我们可以推导出其他有用的物理关系。
例如，当环路上的电流为零时，线积分结果总是等于零。
这是因为在没有电流的情况下，没有磁场的变化，因此也没有感应电动势的产生。
这种情况下的环路定理被称为“安培环路定理”或“无电流环路定理”。
总之，稳恒磁场的环路定理表达式“∮B·dl=μ0I”是描述磁场和电流之间关系的重要公式。
10.4 安培环路定理
根据安培环路定理： 线圈内：
Amperian loop
［方向（与电流关系）？] B0 线圈外： B dl 0
l
0 NI B (不均匀) 2πr
l
B dl 0 NI
B
0 NI B 2 r
o
R1
R2
o r
R2
R1
r
若 R1、R2 R2 R1
n
则:
静电场： E静 dl 0
L
保守场／无旋场
稳恒磁场：
L
B dl ?
§10.4 安培环路定理
(Ampé re’s Circulation Theorem) 1. 定理表述 对真空中的稳恒磁场，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的线积分，等于 μ0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和。 数学表达式：
3. 明确几点 (1) 电流有正负规定（电流方向与环路方向满 足右手螺旋关系时电流为正）。
(2) B 是指环路上场点的磁感应强度，但它是 环内外所有电流共同产生的总场强。 (3) B 沿闭合环路的路径积分值（环流），跟 电流从何处穿过该环路所围成的曲面以及 环路之外的电流无关。 (4) 环路定理仅适用于闭合稳恒电流的磁场。
0 I B r r R1 2 2 R1 0 I B R1 r R2 2 r 2 2 0 I ( R3 r ) B r R2 2 2 2 r ( R3 R2 )
B0 r R3
R3 I I
R1
R2
r
有磁介质时的 高斯定理和安培环路定理
高斯定理:
B dS 0
L
0 I
dl
dl
L
大学物理——11.4安培环路定理
R1 ≈ R2 = R
r≈R
dHale Waihona Puke N B = µ0 I = µ 0 nI 2π R
注意：密绕细螺线管内部为匀强磁场。 注意：密绕细螺线管内部为匀强磁场。 匀强磁场
R
思考：钜形横截面的圆环形均匀密绕螺绕环？ 思考：钜形横截面的圆环形均匀密绕螺绕环？
矩形截面
无限长载流直螺线管内的磁场. 例11.8 无限长载流直螺线管内的磁场
+++ + + + ++++++ N O M
2) 选回路 L
L
P
B = µ 0 nI
如图所示， 例11.9 如图所示，一无限大导体薄平板垂直于纸 面放置，其上有方向指向读者的电流， 面放置，其上有方向指向读者的电流，面电流密度 即通过与电流方向垂直的单位长度的电流) (即通过与电流方向垂直的单位长度的电流)到处均 求其磁场分布. 匀，大小为 I ，求其磁场分布.
解：
ab = cd = l
a b c d
∫
L
v v b v v c v v d v v av v B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = µ0lI
∴
2 Bl = µ0lI
1 B = µ0I 2
以上结果说明： 以上结果说明：在无限大均匀平面电流两侧的磁场 结果说明 是匀强磁场，且大小相等、方向相反. 是匀强磁场，且大小相等、方向相反.其磁感应线在 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系. 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系.
L 包围的电流指穿过以 L 为边界的任意曲面的电流。 包围的电流指穿过以 为边界的任意曲面的电流 的电流。 S3 S2 S1 L
大学物理10.4 安培环路定理及其应用Xiao.ppt
例筒.形有导两体个，半在径它分们别之为间充R1以和相R对2 的磁“导无率限为长r”同的轴磁圆介
质，圆筒外为真空。当两圆筒通有相反方向的电流 I
时，试 求（1）磁介质中任意点 P
的磁感应强度的大小;（2）圆柱体
外面一点 Q 的磁感应强度.
解 对称性分析
R1 r R2
H dl I
(3)安培环路定理说明磁场性质—磁场是有旋场 (非保
守场)。
比较：静电场
LE dl 0
（无旋场，保守场）
(4) 安培环路定理提供了一种计算 B 的方法。
问
1）B 是否与回路 L
外电流有关？
是, 但回路外电流对环流 LB d l 的贡献为零。
2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0？
定则时，电流 I 取正；反 之取负。
(2) 空间中任意一点的B 都是由环路内外所有电流激
发的，而 B dl 仅与穿过环路的电流有关。 L 环流由环路内电流决定
B dl 0 Ii L内
由环路内外电流产生 环路所包围的电流
南京理工大学应用物理系
10.4 安培环路定理及其应用
说明： (1)管内磁场是均匀的。
作安培环路MNOPM
M
N
P ++
B1
+B+2+
+
L
++
+
O ++
+
B
B dl L
MN B1 dl
B dl
NO
磁场高斯定理 安培环路定理
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
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0I B
2πR
R
oR r
12
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：求无限长载流圆柱面的磁场分布。
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r
解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r 13
LB dl μ0 I
B d l
L
μ0 ( I1
I1
I1
I2)
μ（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
思考：
1） B 是否与回路 L 外的电流有关？
2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？ L
是否回路 L 内无电流穿过？
2πR
当 2R d 时，
螺绕环内可视为均匀场。
令：n N
2R
B μ0nI
第10章 稳恒磁场
d
R
10
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：无限长载流圆柱体的磁场。
I
解：1）对称性分析
2）选取回路
r R :
Bdl
l
μ0 I
RR
L
r
B
2 π rB 0I,
B μ0 I 2πr
电流共同产生的。
3）环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而有限电 流（如一段不闭合的载流导线）不适用环路定理。
4）安培环路定理说明磁场性质 —— 磁场是非保守场，是涡旋场。
5）闭合回路包围电流的判断：
以闭合回路为边界任意做一曲面，电流穿过
曲面就算包围。
5
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
讨论： 安培环路定理
当闭合路径 L 的方向与电流方向呈右手螺 旋关系时，电流 I 取正号；反之，取负号。
1
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
安培环路定理的推证（以长直电流的磁场为例）：
考虑闭合回路在与导线垂直的平面内。
载流长直导线 的磁感强度为：
B μ0I 2πrI源自 B B dl
μ0 I dl
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：求无限大平面电流的磁场。
解： 面对称。
B dl B dl B dl ab bc
B dl B dl
cd
da
i
B b
P
b
d
Ba dl
μ0abi
Bc dl
B
2Bab
μo (I1
I2)
2）
B dl L
μo ( 2I I ) oI
3）
B dl
L
μo( 2I ) 2o I
4
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
明确几点：
B dl
L
μ0
I i内
1）I内 是闭合路径 L 所包围的电流的代数和。 2）B 是指环路上一点的磁感应强度，它是空间所有
L
MN
NO
OP
PM
B MN μ0nMNI B μ0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等， 外部磁场为零。
9
10.4 安培环路定理
例：求载流螺绕环内的磁场。
解 1） 对称性分析： 环内 B 线为同心圆，环外 B 为零。
2） 选回路。
Bdl
l
2 π RB
0 NI
B 0 NI
6
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。关健是：根据磁场分布的对称性， 选取合适的闭合回路。
选取回路原则：
1) 回路要经过所研究的场点。
2) 回路的长度便于计算；
3) 要求回路上各点B 大小相等，B 的方向与环路方向
一致，
目的是将
强度趋于零 ，即 B 0 。
8
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
2 ) 选回路 L 。
磁场 B 的方向与
电流 I 成右螺旋。
M
NB
++++++++++++
P
LO
B d l B d l B d l B d l B d l
10.4 安培环路定理
静电场： E dl 0 L
一、安培环路定理
第10章 稳恒磁场
稳恒磁场： B dl ? L
在真空的稳恒磁场中，磁感应强度
B
沿任一闭
合路径的线积分，等于该闭合路径所包围电流的代
数和乘以 μ0 ，即：
B dl L
μ0
I i内
I
L
注意： 包围电流正负的规定 ：
B dl
L
μ0
I 写成 B μ0 I dl
L
7
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
二、安培环路定理的应用举例
例：长直密绕螺线管，单位长度上电流匝数为 n ， 求：螺线管内的磁感应强度分布。
B
++++++++++++
解：1 ) 对称性分析：螺线管内磁力线平行于轴线，
且在同一条磁力线上各点的 B 大小相等， 外部磁感
0 r R :
Bdl
l
0
πr2 π R2
I
2 π rB
0r 2
R2
I,
B
μ0 Ir 2π R2
I . dB
dI B
11
10.4 安培环路定理
第10章
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0Ir
2π R2
r R,
B 0I
2π r
稳恒磁场
I
0i
2
c
x
推广：有厚度的无限大平面电流
a d
B'
• 在外部 B μ0 jd / 2 d j
• 在内部 B μ0 jx
14
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
课堂练习：同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导 体圆筒内外半径分别为R2、 R3，电缆载有电流 I， 求：磁场的分布。
L
L 2πr
dl
or
B dl
μ0 I
dl
L
2πr L
L
B dl L
μ0 I
设闭合回路 L 为圆形回路
（
L与
I
成右螺旋） 2
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
I
B
若回路绕向变为逆时针时，则：
dl
or
Bdl
μ0I dl
L
L 2πr
L
0I
2π
d
2π 0
L 与 I成左螺旋
0I
dl rdθ
3
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
包围电流正负的判断 ：
即：右手拇指伸直，弯曲四指与闭合路径 L 的 方向一致时，拇指的指向即为电流的正方向。
I1
I2
I3
I I
I
L
LL
图1
图2
图3
I
1）
B dl L