第十章第节斯托克斯公式资料讲解
10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
10-7斯托克斯公式,环流量与旋度
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
流体力学斯托克斯公式
流体力学斯托克斯公式哎呀，说起流体力学的斯托克斯公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙！咱先来讲讲啥是斯托克斯公式。
这斯托克斯公式啊，简单说就是用来描述流体中曲面的环流和曲面积分之间关系的。
听起来是不是有点晕乎？别急，咱举个例子。
想象一下，你在游泳池里游泳。
水就是那个流体，你在水里游一圈，就相当于形成了一个环流。
而斯托克斯公式呢，就能算出你游这一圈所产生的各种效果。
比如说，它能告诉你水流对你的阻力有多大，你消耗了多少能量。
我记得有一次去水上乐园玩，看到一个巨大的旋转水滑梯。
人们从上面滑下来，那水就跟着人一起流动。
当时我就在想，这不就是斯托克斯公式能解释的现象嘛！水在滑梯的表面流动，形成了复杂的环流，而斯托克斯公式就能算出这些水流动的规律。
咱们再深入点说，斯托克斯公式在很多领域都大有用处。
比如在气象学里，它能帮助我们理解大气的流动，预测天气变化。
要是没有这个公式，气象学家们可就头疼啦！在工程领域，像飞机设计、船舶制造，斯托克斯公式也是必不可少的。
设计飞机翅膀的时候，得考虑空气的流动，这时候斯托克斯公式就能派上用场，让工程师们算出最佳的机翼形状，减少阻力，提高飞行效率。
还有在石油开采中，地下的石油就像流体一样在岩石缝隙中流动。
通过斯托克斯公式，工程师们可以更好地了解石油的流动情况，提高开采效率。
不过，学习斯托克斯公式可不是一件轻松的事儿。
我当年学习的时候，那可是费了好大的劲。
一堆复杂的数学符号和推导，搞得我头都大了。
但后来真正理解了，就发现它真的很神奇，能解决那么多实际问题。
总之啊，斯托克斯公式虽然有点难搞，但一旦掌握了，就像拥有了一把神奇的钥匙，可以打开很多未知领域的大门。
无论是在科学研究还是实际应用中，它都有着不可替代的作用。
希望通过我的这些讲解，能让您对流体力学的斯托克斯公式有那么一点点更清晰的认识。
下次再遇到相关的问题，说不定您就能想起这个神奇的公式啦！。
斯托克斯定理(流体)：球体在黏性流体中运动的阻力公式
斯托克斯定理（流体）：球体在黏性流体中运动的阻力公式一、引言斯托克斯定理是物理学中关于流体力学的重要定理之一。
它描述了一个球体在黏性流体中运动时所受到的阻力的公式。
本文将介绍斯托克斯定理的基本原理和推导过程，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
二、斯托克斯定理的基本原理斯托克斯定理是19世纪早期英国物理学家乔治·斯托克斯提出的。
它基于流体力学的基本方程，通过对流体的流动进行数学建模，进而推导出了球体在黏性流体中运动时所受到的阻力公式。
在黏性流体中，流体的流动可以用流体速度场来描述。
设流体速度场为V(r)，其中r为流体中的一个点。
根据流体力学的基本方程，可以得到流体中的速度场满足的方程为：∇·V = 0其中∇为梯度算子。
对于一个运动中的物体，其速度场可由以下公式给出：V(r) = V0 + ω×r其中V0为物体的整体运动速度，ω为物体的角速度，r为物体上的一个点。
接下来，我们考虑一个球体在黏性流体中的运动。
假设球体的半径为R，球心处的速度为V0，球体的角速度为ω。
我们可以将球体分解为无限多个微小的体积元素，每个体积元素的体积为dV。
根据斯托克斯定理，球体所受到的阻力可以通过对每个体积元素的贡献进行累加来得到。
由于流体的黏性，流体中的每个体积元素都会对周围的流体产生粘接力。
粘接力的大小与体积元素的速度梯度成正比。
根据流体力学的基本方程和牛顿第二定律，可以推导出球体所受到的阻力为：F = 6πηRV0其中F为球体所受到的阻力，η为流体的黏性系数，R为球体的半径，V0为球体的速度。
三、斯托克斯定理的应用斯托克斯定理在流体力学的研究中具有广泛的应用。
它可以用于解释流体中物体的运动特性，从而帮助科学家和工程师进行流体力学相关问题的分析和设计。
例如，在船舶设计中，斯托克斯定理可以用来计算船体在水流中的阻力，从而帮助设计师优化船体的形状和尺寸，提高船体的运动性能。
同样，在飞机设计中，斯托克斯定理可以应用于计算飞机在空气中的阻力，从而优化飞机的气动外形，提升飞机的飞行效率。
考研高等数学复习——斯克公式
练习题答案
一、 20.
三、rotA i j .
五、12 .
二、 a3 . 4
四、0.
六、0.
第七节
斯托克斯公式
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一、斯托克斯(stokes)公式
右手规则
n
是有向曲面 的
正向边界曲线
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为 边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合 右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 包含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I
x
y
z dSBiblioteka y2 x yxzo
2y
x
0
公式 目录 上页 下页 返回 结束
三、 环流量与旋度
P d x Q d y R d z
设曲面的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线的单位切向量为 (cos , cos , cos )
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四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
y
ds z
P
Q
R
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
PQ R
rotA ndS A ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
10.7 斯托克斯公式
第七节 P 斯托克斯公式 P cos
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
z
o
1
A 1 y
2y z
xz
y x
杨建新
x
C
第七节
斯托克斯公式
B 1
z
d yd z
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
dzd x
y
d xd y
z
S
x
o
1
2y z
xz
y x
A 1 y
(1 1) d y d z (1 1) d z d x (1 2) d x d y 2 d y d z 2 d z d x d x d y
P d x C P( x, y, z ( x, y)) d x
y C
P( x, y, z ( x, y )) d x d y Dx y y
(利用格林公式)
杨建新
第七节
斯托克斯公式
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
P P z d xd y Dx y y z y P P f y cos d S y z
设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，
指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线 L 的正向. 这个规定方法也称为右手法则.
杨建新
第七节
斯托克斯公式
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线,
第十章 Stokes 公式
2u 2u 2u = 2 + 2 + 2 = u x y z
------Laplace算子
A = Pi + Qj + Rk
P Q R A= + + = divA x y z i × A= x P j y Q k = rotA z R
z0
z
y0
o x
M1
y
M2
四,物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 Γ = ∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y ∑ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, ∑ 空间有向曲线
P P P P f y )dxdy 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( + y z ∑ z ∑ y
P P P[ x , y , f ( x , y )] = + fy y y z
高考数学冲刺斯托克斯公式考点精讲
高考数学冲刺斯托克斯公式考点精讲高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是让众多考生费尽心思。
在高考数学中，斯托克斯公式是一个较为复杂但又十分重要的考点。
今天，咱们就来详细讲讲这个考点，帮助同学们在冲刺阶段做好充分准备。
一、斯托克斯公式的基本概念斯托克斯公式是微积分中的一个重要公式，它建立了空间曲面积分和沿曲面边界的曲线积分之间的联系。
简单来说，如果我们有一个曲面和它的边界曲线，斯托克斯公式可以帮助我们将对曲面的某种运算转化为对边界曲线的运算，或者反过来。
用数学语言表述，设 S 是空间中的一个有向光滑曲面，其边界为有向闭曲线Γ，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)具有一阶连续偏导数，则有：∮＿Γ Pdx ＋ Qdy ＋ Rdz ＝∬＿S （∂R/∂y ∂Q/∂z)dydz ＋（∂P/∂z∂R/∂x)dzdx ＋（∂Q/∂x ∂P/∂y)dxdy这个公式看起来可能有些复杂，但理解其背后的原理和意义是掌握它的关键。
二、斯托克斯公式的几何意义为了更好地理解斯托克斯公式，我们来探讨一下它的几何意义。
从直观上看，斯托克斯公式反映了向量场在曲面及其边界上的环流和旋度之间的关系。
旋度可以看作是向量场在某一点处的旋转程度，而环流则是向量场沿着曲线的积分。
想象一个水流的场景，如果水流在某个区域形成了漩涡，那么这个漩涡就对应着向量场的旋度。
而水流沿着边界流动的情况，就类似于向量场沿曲线的环流。
斯托克斯公式告诉我们，通过了解曲面的形状和向量场在曲面上的分布，我们可以计算出沿边界的环流，反之亦然。
三、斯托克斯公式的应用斯托克斯公式在解决许多数学和物理问题中都有着广泛的应用。
在数学中，它可以用于计算曲线积分和曲面积分，简化复杂的积分运算。
例如，当我们遇到一些难以直接计算的曲线积分时，可以通过构建合适的曲面，利用斯托克斯公式将其转化为曲面积分，从而找到更简便的计算方法。
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式推导过程斯托克斯定理的数学表述如下：对于一个有限的、连续可微的曲面S，其边界曲线为C，向量场F在S上连续可微，那么有:∮CF·dr = ∬S(curlF)·dS其中，CF·dr表示环绕曲线C上的环流积分，∬S(curlF)·dS表示曲面S上curl F的通量积分。
下面我们来推导斯托克斯公式的数学过程：1.首先，我们将曲面S划分为一系列曲面微元dS，每个微元由两个方向上的微小面元的叉积得到，可以表示为dS=n·dS0，其中n是曲面单位法向量。
2.我们考虑微小线段δl，它位于曲面微元dS的边界上并与之垂直。
令δl的长度为δs，方向与曲面微元dS的法向量n一致。
3.在δl上选择一个局部坐标系(x,y,z)，使得x轴与δl的方向一致。
在该坐标系下，曲线C可以表示为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，其中t是δl上的参数。
4. 现在我们来计算在δl上的环流积分CF·dr。
由于δl位于曲面微元dS的边界上，所以dS的边界C也可以表示为δl的路径。
因此，环流积分可以表示为CF·dr=Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz，其中Fx，Fy，Fz是向量F在局部坐标系(x,y,z)下的分量。
5. 将Fx，Fy，Fz表示为关于t的函数，并将dx，dy，dz表示为关于t的导数dt，可以得到CF·dr的表达式为CF·dr=(Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz)=(Fx·dx/dt+Fy·dy/dt+Fz·dz/dt)·d t。
6. 由于dx，dy，dz与dt成正比，可以通过求导得到dx，dy，dz与dt之间的关系。
即dx=d(x(t))/dt·dt，dy=d(y(t))/dt·dt，dz=d(z(t))/dt·dt。
斯托克斯公式解释
斯托克斯公式解释
斯托克斯公式是矢量微积分中的重要定理，用于计算曲线和曲面之间的场量的积分关系。
该公式是由英国数学家乔治·斯托克斯在19世纪提出的。
斯托克斯公式描述了曲面上的环量与该曲面边界上的场量的积分之间的关系。
换句话说，该公式将曲面上的积分转化为曲线上的积分。
这个定理对于解决许多与电磁学、流体力学和量子力学等领域有关的问题非常有用。
斯托克斯公式的数学表达式如下：
∮_C F⋅dr = ∬_S (curl F)⋅dS
在这个公式中，C代表曲线的边界，F代表一个矢量场，r代表曲线上的位置向量。
S代表曲线所包围的曲面，curl F代表F的旋度，dS代表曲面上的面积元素。
斯托克斯公式的证明基于格林定理和高斯定理，利用了矢量微积分中的基本概念和运算规则。
它建立了曲线和曲面之间的密切联系，为研究各种物理现象提供了强大的工具。
该公式的应用非常广泛。
例如，在电磁学中，斯托克斯公式可以用来计算电场和磁场的环量，从而推导出安培定律和法拉第电磁感应定律。
在流体力学中，斯托克斯公式可以用来分析流体的旋转和涡量分布。
而在量子力学中，斯托克斯公式被用于描述波函数的环绕性质和自旋。
总之，斯托克斯公式是一条非常重要的定理，它揭示了曲线和曲面之间的积分关系。
通过运用斯托克斯公式，我们可以更好地理解和分析各种物理现象，并在科学研究和工程应用中提供准确的计算方法。
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式是一种描述曲线和曲面上向量场积分的定理。
它在数学、物理学和工程学领域中都有广泛的应用。
斯托克斯公式的推导过程比较复杂，但是我们可以通过以下步骤来理解它的推导过程。
第一步，我们需要了解斯托克斯公式的基本概念和符号。
斯托克斯公式是一个向量定理，描述了曲线和曲面上向量场的积分关系。
其中，曲线上的向量场可以表示为一个三元组$(P,Q,R)$，曲面上的向量场可以表示为一个三元组$(F,G,H)$。
另外，我们需要了解曲线、曲面的边界、方向和法向量等基本概念。
第二步，我们需要推导斯托克斯公式的基本形式。
通过对曲面上的向量场进行积分，我们可以得到斯托克斯公式的第一部分，即曲面上的积分等于曲面边界上的线积分。
其中，曲面的边界是指曲面上的曲线，其方向与曲面上的法向量一致。
第三步，我们需要对斯托克斯公式进行推广，以适用于更一般的情况。
对于任意一个向量场，可以通过将其分解成梯度场和旋度场的和来推导斯托克斯公式的一般形式。
其中，梯度场和旋度场都是向量场的两个基本成分，可以通过向量微积分的方法进行计算。
第四步，我们需要应用斯托克斯公式来解决实际问题。
斯托克斯公式在物理学、工程学和数学等领域中都有广泛的应用。
例如，在电磁场理论中，我们可以使用斯托克斯公式来计算电流的磁场分布；在流体力学中，我们可以使用斯托克斯公式来计算涡量的流量。
总之，斯托克斯公式是向量微积分中的重要定理，可以用来解决
曲线和曲面上向量场的积分问题。
其推导过程比较复杂，但是我们可以通过基本概念和符号、基本形式和推广、应用等方面来理解和应用它。
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
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令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
斯托克斯公式简析
斯托克斯公式简析斯托克斯公式是微积分中的一个重要定理，它在数学分析及其应用中扮演着不可或缺的角色。
该公式不仅在数学理论中占有核心地位，还在物理学、工程学等多种科学领域中广泛应用。
在深入了解斯托克斯公式之前，我们需要回顾一些相关的基本概念。
一、背景知识向量场与标量场在微积分中，我们讨论两类重要的场：向量场和标量场。
向量场是指在空间中的每一个点都对应一个向量，常用于描述物理现象如速度场、电场等。
而标量场则是每个点对应一个数值，例如温度、压力等。
曲线积分与曲面积分曲线积分是一种沿着曲线计算的积分，常用于求某一方向的总量。
而曲面积分则是在一个曲面上计算的积分，通常用来计算流过某个曲面的总量。
这两者是斯托克斯公式建立的基础。
常见的微分形式在理解斯托克斯公式之前，了解微分形式尤为重要。
简而言之，微分形式可以视为一种推广的函数，用于描述更复杂的流动和饱和度。
二、斯托克斯公式的内容斯托克斯公式提供了一种连接曲线积分与曲面积分之间关系的重要工具。
其数学表达式如下：[ _C d = _S () d ]其中：(C) 是一条光滑的封闭曲线；(S) 是被曲线 (C) 所围成的一片光滑表面；() 是定义在某个区域内的光滑向量场；(d) 是沿着曲线 (C) 的微小位移；(d) 是沿着表面 (S) 的微小面积元素；() 表示向量场 () 的旋度。
这个公式表明，一个向量场沿着曲线的环路积分等于该向量场在被曲线围成的表面上的旋度的面积积分。
三、公式推导为了更深入理解斯托克斯公式，我们可以从基本概念出发进行推导。
首先来看两个重要的概念：旋度和散度。
旋度是描述一个向量场局部旋转趋势的量，而散度则反映了一个点源或汇聚程度。
我们可以通过以下步骤来推导斯托克斯公式：选择适当的小区域将封闭曲线 (C) 划分为许多个小段，并将相应的小面积 (S) 划分成多个微小部分。
这样我们就可以利用局部性来看待问题。
应用格林定理在平面上，格林定理给出了平面区域和它外围边界之间的关系。
大学高等数学 对坐标曲面积分 高斯公式 斯托克斯公式
证:
情形1 与平行 z 轴的直线只交于
一点;
设其方程为
为确定起见; 不妨设 取上侧 如图.
则有
则
利用格林公式
因此
同理可证
三式相加; 即得斯托克斯公式 ;
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个;
则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分;
在每一部分上应用斯托克斯公式; 然后相加;
定义:
设有向量场
其中P; Q; R 具有连续一阶偏导数;
是场内的一片有向
则称
曲面;
其单位法向量 n,
为向量场 A 通过
有向曲面 的通量流量 .
在场中点 Mx; y; z 处
称为向量场 A 在点 M 的散度.
记作
divergence
表明该点处有正源;
表明该点处有负源;
表明该点处无源;
介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧.
所围区域为;
则
利用重心公式; 注意
例3.
设 为曲面
取上侧; 求
解:
作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数; 证明格林 Green 第一公式
例4. 设函数
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
1 计算曲面积分
非闭曲面时注意添加辅助面的技巧
2 推出闭曲面积分为零的充要条件:
2. 通量与散度
设向量场
P; Q; R; 在域G内有一阶 连续
偏导数;
则
向量场通过有向曲面 的通量为
第10.5节 格林、高斯、斯托克斯公式
小单连通区域上公式（10.5.1）都成立，把这些式子相加， 就可以证明在区域 D 上公式（10.5.1）成立． 在定理10.5.1中，若 L 取负向，则
Q P ( )dxdy. L Pdx Qdy x y D
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
（10.5.5）
Dxy
x
1 : z z1 ( x , y )
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
再设 是一个 YZ 型区域 , 或ZX 型区域 , 则可以证明
P Rdxdy d , x
（10.5.6）
或者
b x
P ( x , 2 ( x ) P ( x ,1 ( x ))dx
a
b
dx
a
b
2( x )
1( x )
2 P ( x, y) dy y
（10.5.2）
2P dxdy. y D
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
Q P )dxdy, （10.5.1） Pdx Qdy ( L x y D
其中 L取正向 . 公式(10.5.1)称为格林公式 .
证明 根据 D的不同形式 , 分三种情形证明 .
1 先设D是X 型区域, 即设
D ( x , y ) 1 ( x ) 2 ( x ), a x b.
第10章 曲线积分与曲面积分
§10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
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o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s
3
(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy PdxQdyRdz
y
ds z
P QR
2. 旋度的定义:
i jk 称向量 为向量场 (r的 oA )t.旋度 x y z
P QR
10
i jk 旋度roAt x y z PQR ( R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k . y z z x x y
11
斯托克斯公式的又一种形式
x 1
6
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
其中是平面x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
x
y
z PdxQdyRdz
P Q R rA o n td S A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
15
习1题 07 P183
1(1)(3)(4)
总习题十 P184
3(1)(3)(5)(6),4(1)(2)(3), 5,6,7,10
16
1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
则 沿 场A中 某 一 封 闭 的 有 向 C上曲的线曲 线 积 分
CAdsC PdxQdyRdz
称为向量A场沿曲线C 按所取方向的环.流量
9
利用stokes公式, 有
i jk
环流量 CA dsx
12
斯托克斯公式的向量形式
rA o n td S A t d或 s(r A o )n d t S A tds
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o ( s P R )co ( s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q o c R o c s o s s
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线
上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xo面 y 的平面闭区域时)
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
4
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
13
环 流 r A o d s 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
向量场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量 场 A的旋度场通过 所张的曲面的通 量.( 的正向与 的侧符合右手法则)
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四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
y
ds z
PQR
dyddz zdxdxdy