第十章第节斯托克斯公式资料讲解
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
第十章 曲线积分与曲面积分
曲线积分
一 基本概念
定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：
()
()0
1
(,)d lim
(,)n
k
k
k
L AB T k f x y s f s
λξη→==∆∑⎰
（2）空间曲线()L AB 的积分：
()
()0
1
(,,)d lim
(,,)n
k
k
k
k L AB T k f x y z s f s λξηζ
→==∆∑⎰
其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或
(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：
()
()0
1
(,)d (,)d lim
[(,)(,)]n
k
k
k
k k k L AB T k P x y x Q x y y f x
f y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰
（2）空间曲线()L AB 的积分：
()
(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰
()0
1
lim
[(,,)(,,)(,,)]n
k
k
k
k k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζ
ξηζξηζ→==∆+∆+∆∑
其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点
一、
斯托克斯
( Stokes )
公式
定理
1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1
(
利用格林公式
) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z
情形2 证毕注意:
⎰⎰∑dy
dz
dz
dx
dxd
y∂∂∂∂x∂y∂z
PQR
cosαcosβcosλ
∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR
例1.解:
利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.
解:
*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx
+Qdy+Rdz=0
Γ
⎰
Pdx+
Qdy+
Rdz
du=Pdx+Qdy+Rdz
证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)
du=Pdx+Qdy+Rdz
(3)⇒(4)
证毕
例3.解:P=y+z,
Q=z+x,R=x+y
三、环流量与旋度
n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)
记作rotA
⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量
旋度
旋度的力学意义:
=2ω
(此即“旋度”一词的来源)
斯托克斯公式①的物理意义:
注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:
例5.
解
:
*四、向量微分算子
=gradu
=divA
=rotA
内容小结1. 斯托克斯公式
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P
∂
Q=
=,=,∂y
∂
x∂z∂y∂x∂z
rot(P,Q,R
)==0
3. 场论中的三个重要概念
梯度:散度:
旋度:
2r
0提示:
思考与练习作业
斯托克斯公式
例5. 设 A(2y,3x,z2), :x2y2z24,n 为
的外法向量,计算 I roAtndS.
i jk
解:
rot A
x
y
z
(0,0,1)
2y 3x z2
n (c ,c o o s ,cso ) s
I cosdS 2Dxy dxdy8
17
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*四、向量微分算子
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
R y Q z c o P z R x c s o Q x P y s c d o S
第七节
第十章
斯托克斯公式
环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 *四、向量微分算子
1
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则, P,Q,R在包含 在内的一
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
10-9-斯托克斯公式
场 ， C 为 一 封 闭 的 空 间 曲 线 ， 称 积 分
∫
C
F ⋅ ds =
∫
C
Pdx + Qdy + Rdz 为向量场沿 C 按所取方向
的环量。 环量。 环量的解释： 如果 F 为力场， 则在单位质点沿C 运动 环量的解释： 为力场， 一圈的过程中， 一圈的过程中，力场做功就是环量。 力场做功就是环量。 如果 F 为流速场， 为流速场，则环量为单位时间内 则环量为单位时间内流体 单位时间内流体沿闭路 流体沿闭路 C 正向流动的环流量 正向流动的环流量。
c c
+ ( x − y )d ( 2 − x + y ) =
∫
c
( 2 − 2 x + y )dx + ( 3 x − y − 2 )dy −
Green 公式
=
∫∫ ( 3 − 1)dxdy = − 2π
x 2 + y 2 ≤1
第14页
解法3
用stokes公式
取 S : x − y + z = 2上以 L为边界的有限部分。 为边界的有限部分。 其法向量与 z轴的正向夹角为钝角 . D： x 2 + y 2 ≤ 1为 S在 xoy 面上的投影， 面上的投影，则
c
x2 + y2 = 1 其中： 从正 z轴方向 其中： c : x − y + z = 2 往负 z轴方向看是顺时针 .
10-7斯托克斯(stokes)公式
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z )k 则沿场 A 中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 A d s Pdx Qdy Rdz C C 称为向量场 A 沿曲线 C 按所取方向的环流量 .
观察旋度 rot v 2 1 , 2 2 , 2 3 2 .
v
线 速 场 , 则 向 量 r OM x , y , z 在 点 M 处 的 线 速 度
o
四、小结
斯托克斯公式
dydz dzdx dxdy x P y Q z R
y
z
向 . 三、
求 向 量 场 A ( z sin y ) i ( z x cos y ) j 的 旋 度 .
四 、 利 用 斯 托 克 斯 公 式 把 曲 面 积 分 rot A n ds 化 成 曲
线 积 分 , 并 计 算 积 分 值 , 其 中 A , 及n 分 别 如 下 :
L
例 3
设一刚体绕过原点 O 的某个
轴 转 动 , 其 角 速 度 ( 1 , 2 , 3 ) , 刚体上每一点处的线速度构成一个
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1. 环流量的定义:
设向量场
A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k
则 沿 场A中 某 一 封 闭 的 有 向 C上曲的线曲 线 积 分
CAdsC PdxQdyRdz
称为向量A场沿曲线C 按所取方向的环.流量
9
利用stokes公式, 有
i jk
环流量 CA dsx
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
y
ds z
P QR
2. 旋度的定义:
i jk 称向量 为向量场 (r的 oA )t.旋度 x y z
P QR
10
i jk 旋度roAt x y z PQR ( R Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k . y z z x x y
11
斯托克斯公式的又一种形式
12
斯托克斯公式的向量形式
rA o n td S A t d或 s(r A o )n d t S A tds
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o ( s P R )co ( s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q o c R o c s o s s
13
环 流 r A o d s 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
向量场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量 场 A的旋度场通过 所张的曲面的通 量.( 的正向与 的侧符合右手法则)
14
四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
y
ds z
PQR
dyddz zdxdxdy
o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线
上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xo面 y 的平面闭区域时)
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
4
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dydzdzdxdxdy3 d
Fra Baidu bibliotek
D xy
y
Dxy如图
1
zdxxdyydz
3 2
D xy o
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s
3
(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy PdxQdyRdz
x
y
z PdxQdyRdz
P Q R rA o n td S A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
15
习1题 07 P183
1(1)(3)(4)
总习题十 P184
3(1)(3)(5)(6),4(1)(2)(3), 5,6,7,10
16
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连
续偏导数, 则有公式
(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
x 1
6
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz
其中是平面x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.