轴对称与中心对称

轴对称与中心对称一、知识回顾(一)、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

(二)、中心对称与中心对称图形：1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

3.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

（四）、几种常见的轴对称图形和中心对称图形：轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线；中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆对称中心：线段的对称中心是线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。

说明：线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。

(五)、坐标系中的轴对称变换与中心对称变换：点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。

关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为：关于y轴（x轴）对称的点的纵坐标（横坐标）相同，横坐标（纵坐标）互为相反数。

关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以-1。

常见考法（1）判别某些图形是不是轴对称图形能找出对称轴，对称轴的条数、判别某些图形是中心对称图形能找到对称中心；（2）利用垂直平分线性质、角平分线性质证明一些结论；（3）利用等腰三角形三线合一性质证明线段相等、线段垂直；（4）直接证明某一个三角形是等腰三角形；（4）轴对称图形的实际应用（如镜子中的轴对称问题、解决一些折叠问题、还有求几个线段之和最短问题）。

误区提醒（1）把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆；（2）把轴对称与全等混淆；（3）找轴对称图形的对称轴不全、不准；（4）在解有关等腰三角形问题时，没有进行分类讨论，造成漏解。

2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编二、典例解析1、【考点】正方形的性质，轴对称图形。

【分析】正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的轴对称性，因此正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条。

故选D。

（2011江苏海南3分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是A、①②都对B、①②都错C、①对②错D、①错②对【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，菱形的判定和性质。

【分析】∵平行四边形ABCD，∴∠B=∠D=∠AMN，∴MN∥BC。

∵AM=DA，∴四边形AMND为菱形，∴MN=AM。

故选A。

2、.（2011山东潍坊3分）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形,其中不是轴对称图形的是．A. B. C. D.【答案】D 。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案：作出A 、B 、C 的对称轴如图故选D 。

3、（2011浙江宁波6分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图不能重复）【答案】解：【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可。

4、（2011山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水。

经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图）。

两村的坐标分别为A （2，3），B （12，7）。

若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管道最短？【答案】解：（1）作点B 关于x 轴的对成点E ，连接AE ，则点E 为（12，－7）。

设直线AE 的函数关系式为y kx b =+，2k b=312k b=7 -⎧⎨-⎩，解得 k=1b=5 ⎧⎨⎩ 。

∴当y =0时， x =5。

所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。

5、（2011浙江省3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【答案】D 。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

A.是轴对称图形不是中心对称图形，选项错误；B.是中心对称图形不是轴对称图形，选项错误；C. 是中心对称图形不是轴对称图形，选项错误；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确。

故选D 。

三、过关测试选择题1. （2011北京4分）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是A 、等边三角形B 、平行四边形C 、梯形D 、矩形【答案】D 。

【考点】中心对称和轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

从而有A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B 、是不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确。

故选D 。

2.（2011天津3分）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是【答案】A 。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形的定义，直接得出结果。

3.（2011天津3分）如图．将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°【答案】C 。

【考点】折叠对称，正方形的性质。

【分析】根据折叠后，轴对称的性质，∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠FBC=22.50，∴∠EBF=450。

故选C 。

4.（2011重庆４分）下列图形中，是中心对称图形的是【答案】B 。

【考点】中心对称图形。

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

据此判断；A 、C 、D 、将图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；B 、将此图形绕中心旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；故选B 。

5.（2011重庆４分）如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC=3．其中正确结论的个数是A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】C 。

【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】①正确：因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ； ②正确：因为EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中，由勾股定理得()()222642x x -+=+，解得x =3．所以BG=3=6﹣3=GC ；③正确；因为CG=BG=GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ．又∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF ，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误：过F 作FH ⊥DC ，∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴FH EF GC EG =，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴FH EF 2GC EG 5==，∴FH=26355⨯=。

∴S △FGC=S △GCE ﹣S △FEC=1161834432255⨯⨯-⨯⨯=≠。

故选C 。

6.（2011浙江温州4分）如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 与边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在AD ，DC 上，现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE=2，则正方形ABCD 的边长是A、3B、4C、2D、【答案】【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，切线的性质，勾股定理。

【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长：在等腰直角三角形DEH中，DE=2，=AE，所以AD=AE+DE=2C。