关于图的模染色数的上界

Keywords
Modular Coloring, Probabilistic Method, Lovasz Local Lemma
关于图的模染色数的上界
杨超
广东外语外贸大学，数学与统计学院，广东 广州
收稿日期：2020年7月29日；录用日期：2020年8月14日；发布日期：2020年8月21日
摘要
定理 1 ([7])。设 n 阶图 G 的最大度为 Δ，则
χm (G) ≤ 2n − 2n−∆.
定理 2 ([7])。设 n 阶图 G 的染色数为 χ，最大度为 Δ，则
χm (G) ≤ ∆ (∆ +1)χ +1 +1.
上述两个上界关于图的阶数 n 都是指数关系，相信离最好的上界还有很大的距离。然后，根据 Zhang 的最新专著[8]，自从模染色数的概念在 2010 年提出以来，未见有人得到更好的上界。
图的模染色是由邻点赋权导出的一种染色，是图的经典染色的一种推广。本文主要运用概率方法中的 Lovasz局部引理，较大幅度地改进了关于图的模染色数的上界。
关键词
模染色数，概率方法，Lovasz局部引理
文章引用: 杨超. 关于图的模染色数的上界[J]. 应用数学进展, 2020, 9(8): 1309-1312. DOI: 10.12677/aam.2020.98153
Received: Jul. 29th, 2020; accepted: Aug. 14th, 2020; published: Aug. 21st, 2020
Abstract
The modular coloring of a graph is induced by the weights of neighboring vertices. It is a generalization of the classic graph coloring. In this paper, we obtain a general upper bound for the modular chromatic number of graphs by using the Lovasz Local Lemma. Our result improves previous exponential bound significantly.
DOI: 10.12677/aam.2020.98153
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应用数学进展
杨超
事件外，Ai 与其它所有事件 Aj 都相互独立。并且 P ( Ai ) ≤ p (1 ≤ i ≤ n )。设 e 为自然对数的底，如果
ep (d +1) < 1 ，则有
( ) P ∧in=1 Ai > 0.
运用 Lovasz 局部引理，我们将证明如下结论。
[2] Karonski, M., Łuczak, T. and Thomason, A. (2004) Edge Weights and Vertex Colours. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 91, 151-157. https:///10.1016/j.jctb.2003.12.001
本文的主要目的是改进这个上界。我们采用的是一种概率的方法，运用 Lovasz 局部引理。关于 Lovasz 局部引理，可参见文献[9]。Lovasz 局部引理是证明某些组合结构的存在性的一种方法。以下我们记 P(A) 为事件 A 发生的概率。
引理 1 (Lovasz 局部引理[9])。设 A1, A2 ,, An 是某概率空间中的事件。又假设对每个 Ai，除了最多 d 个
证明：给定一条边 xy，考虑另外一条边 x'y'。如果边 xy 与 x'y'的距离大于 2，则由定义有事件 Axy 和
Ax'y'是独立的。所以我们只需要计算到 xy 的距离小于或等于 2 的边的数目。从顶点 x 看，最多有 ∆ −1条
边距离为 0，最多有 (∆ −1)2 条边距离为 1，最多有 (∆ −1)2 条边距离为 2。从顶点 y 看，也一样。所以，
猜想的启发，各种不同的由邻点或邻边所导出的染色也被许多研究者提出和研究。综述文章[4]对此有非 常详尽的介绍。比如，幸运标号[5] [6]就是对 1-2-3 猜想中的边权点染色的一种自然推广，可视为点权点 染色，即由邻点的赋权之和导出的染色。
本文将研究由 Okamoto，Salehi 和 Zhang 提出的一种染色[7]，称为模染色，是在幸运标号的概念的
件的例外事件的数目 d 给出了一个估计。有了这两个引理的准备，下面我们可以证明定理 3。
( ) 定理 3 的证明：令=k
e
1+ 2(∆ −1) + 2(∆ −1)2 + 2(∆ −1)3
+1
。则只需证明图
G
存在一个模
k
染色。
考虑顶点集上的一个随机权函数，要证明图 G 上存在一个模 k 染色，我们又只需证所有坏事件 Axy 都不
杨超
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
总共最多有 d= 2(∆ −1) + 2(∆ −1)2 + 2(∆ −1)3 条边与 xy 的距离小于或等于 2。因此，除了最多这 d 条边所
对应的事件，Axy 与其它所有事件相互独立。
Lovasz 局部引理给出了某一系列坏事件都不发生的概率为正的一个充分条件。为了应用 Lovasz 局部
引理，我们在引理 2 中对每个坏事件发生的概率 p 给出了精确的计算，在引理 3 中则对相互独立的坏事
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(8), 1309-1312 Published Online August 2020 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2020.98153
由引理 1 (Lovasz 局部引理)，所有坏事件 Axy 都不发生的概率是正的。
3. 结语
本文运用 Lovasz 局部引理，大幅度改进了关于模染色数的上界，可见概率方法的威力。但这个证明 不是构造性的，因此如何给出一个确定性的模染色算法，使得 k 比较小，仍然值得研究。我们得到的是 一个 O(n3)的上界，这个上界是否可以继续改进到 O(n2)甚至 O(n)，有待进一步的研究。此外，我们很自 然会问一个问题：若图 G 存在一个模 k 染色，则对 l > k ，图 G 是否也有一个模 l 染色？这个问题从模染 色的定义上看，并不容易回答。由我们的主要结果和证明方法，我们可以得到一个推论，对每个图 G， 都存在一个自然数 k0(G)，使得当 k ≥ k0 时，图 G 都存在一个模 k 染色。
定理 3. 设 n 阶图 G 的最大度为 Δ，则
( ) χm (G) ≤ e
1+ 2(∆ −1) + 2(∆ −1)2 + 2(∆ −1)3
+ 1.
从上面的结论可见，我们的上界是关于 Δ 的一个 3 次多项式，这大幅度改进了原来的指数上界。 本文第 2 部分将给出定理 3 的证明，第 3 部分对进一步的研究提出了一些想法。
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1. 引言
本文考虑的图都是指简单无向图，常用的图论术语和记号我们都依照文献[1]。近年来，由图的邻点 或邻边的标号导出的染色成为了图论中的一个研究热点。其中一种称为 k 边权点染色的定义如下。设图
G 的顶点集和边集分别记为 V(G)和 E(G)，边集上有一个权函数 ω : E (G) → {1, 2,, k} 。由 ω 导出的顶点
染色
ω ( x) = ∑ ω ( xy) y∈N ( x)
若满足对任意的一条边 xy，都有 ω ( x) ≠ ω ( y) ，则称 ω 为图 G 的一个 k 边权点染色。关于 k 边权点
染色，Karonski，Luczak 和 Thomason 提出了以下著名猜想[2]。 猜想 (1-2-3 猜想)。除了 K2 的所有连通图 G 都存在一个 3 边权点染色。 关于 1-2-3 猜想，目前最好的部分结果是除了 K2 以外的连通图都存在一个 5 边权点染色[3]。受到 1-2-3
On the Upper Bound of Modular Chromatic Number of Graphs
Chao Yang
School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou Guangdong
( ) 由于前面我们定义 y 的赋权取值是一个均匀分布，所以 P Axy = 1 k 。
{ } 引理 3. 设图 G 的最大度为 Δ，又设 Axy | xy ∈ E (G) 为图 G 中关于每条边的坏事件的全体之集。则
每个事件 Axy 在除了最多 d= 2(∆ −1) + 2(∆ −1)2 + 2(∆ −1)3 个事件以外，和其它坏事件相互独立。
致谢
感谢匿名审稿人对本文初稿提出的宝贵意见。
基金项目
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参考文献
[1] 徐俊明. 图论及其应用[M]. 第 4 版. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2019.