第04讲 分式及其运算
分式及其运算
分式函数：解决实际问题中的函数关系
03
分式不等式：解决实际问题中的不等关系
04
分式数列：解决实际问题中的数列关系
05
分式极限：解决实际问题中的极限关系
06
分式积分：解决实际问题中的积分关系
数学公式的推导
分式的定义：形如A/B，其中A、B
01
是整式，B≠0 分式的运算：包括加法、减法、乘
03
法、除法、乘方、开方等 分式的应用：包括求解方程、不等
整式，分式的值不变
分式的通分：将两个或 多个分式的分母化为相 同，以便进行加减运算
分式的约分：将分式的 分子、分母同时除以它 们的最大公因式，以简
化分式
分式的加减法：将分式 的分子、分母分别相加 或相减，得到新的分式
分式的乘除法：将分式 的分子、分母分别相乘 或相除，得到新的分式
分式的幂运算：将分式 的分子、分母分别进行 幂运算，得到新的分式
乘方和开方：分式乘方，分式开 方
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分式除法：分子相除，分母相除
混合运算：分式乘法、除法、乘 方、开方混合运算
乘方和开方
01
乘方：分式乘方时，分子和 分母分别乘方，分母中如果 有平方项，需要先开方
03
运算顺序：先乘方，后开方， 遵循先乘除后加减的运算顺 序
开方：分式开方时，分子和 分母分别开方，分母中如果 有平方项，需要先开方
分式分解
01
分式分解的定义：将分式分解为两 个或多个分式的过程
02
分式分解的方法：提取公因式、分 组分解、公式分解等
03
分式分解的步骤：观察分式的结构， 选择合适的分解方法，进行分解
分式及其运算课件(完整版)
探索分式的加减法法则
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相 同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广， 得出分式的加减法法则吗？
1 + 5 1 + 2
2 = 5 1 = 3
3 ； 5 3 2 5 + = ； 6 6 6
1 2 1 - =- ； 5 5 5 1 1 3 2 1 - = - = ． 2 3 6 6 6
1 1 （2） + ． 2 p+3q 2 p -3q
5 x+ 3 y 2x 5 x+3 y - 2 x 解： （ 1） 2 2 - 2 2 = x -y x -y x 2 -y 2 3 x+ 3 y （ 3 x+y） = 2 2 = x -y （x+y） （x-y） 3 = ； x -y
运用分式的加减法法则
x
）
B
x 1
B
x
2 C1 且x 5
2 D 任意有理数 x 5
得
分析： 分母
(5 x 2)(x 1)
0
x 1 0且5 x 2 0
y2 y 1
(
2.当
y
时，分式① 1
y2 ② y 1
无意义的是 y( y 2) ( y 1)( y 2) C ①③ D ②④
x x x-2 … … -2 -1 0
0 -1
无意 义
1 -1
0
2
无意 义
… … …
x-1 … 4x+1
x -1 … -1 0 -1 x+1 思考： 1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？
分式的运算知识点总结
分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。
分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。
2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。
（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。
（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。
二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。
2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。
三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。
2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。
四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。
2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。
分式的全部知识点总结
分式的全部知识点总结在本文中，我们将全面总结分式的相关知识点，包括分式的定义、简化、运算、化简以及分式方程的解法等内容。
一、分式的定义分式是用分数表示的数，它是分子与分母之比。
其形式通常为a/b，其中a为分子，b为分母，分子和分母都是整数。
分式通常表示为a/b，读作a分之b，a称为分子，b称为分母。
分式也可以表示为小数形式，分数形式等，但本质上还是表示两个数之间的比值关系。
二、分式的简化分式的简化是指将分式化为最简形式的过程。
通常情况下，分式的分子和分母可以约分，分子和分母的公因数可以化简，最终得到最简分式。
简化分式的步骤包括：1. 找出分子和分母的公因数；2. 用公因数约分分子和分母；3. 化简得到最简分式。
例如，分式2/4可以简化为1/2，分式6/9可以简化为2/3等。
三、分式的运算分式的运算包括加减乘除四则运算。
分式的加减法通常需要找到它们的公分母，然后进行加减，乘法和除法要分别进行分子和分母的运算，然后化简得到最终结果。
加减法运算步骤如下：1. 找到分式的公分母；2. 将分式按照公分母进行加减；3. 化简得到最终结果。
例如，分式1/3和2/5的加法运算为：1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15。
乘法和除法运算步骤如下：1. 分子相乘，分母相乘；2. 化简得到最终结果。
例如，分式1/2和2/3的乘法运算为：1/2 * 2/3 = 2/6 = 1/3。
四、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，通常需要通过化简分式，转化为一般方程，然后解方程得到结果。
解分式方程的步骤如下：1. 化简分式，得到一般方程；2. 解一般方程得到结果；3. 检验解是否正确。
例如，解分式方程2/x = 3的步骤如下：1. 化简得到2 = 3x；2. 解一般方程得到x = 2/3；3. 检验得到的解是否正确。
以上是关于分式的全部知识点总结，分式是数学中非常重要的概念，掌握分式的相关知识对于数学学习具有重要意义。
分式及其运算课件完整版课件
B
分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是整式 ； ②分母字中母含有
。
思考：
1、两个整式相除叫做分式，对吗？请举 例说明。 A 2、在式子 B 中，A、B可为任意整式，是 吗？请举例说明。
分类：
单项式
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？ 3.会用字母表达式表示吗？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C .(C 0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
特征：
2.6 , 5 5 13
5, x , a xy
y , 2004
。。x。 y。。x。
2004
x 30
。
被除数
被除数÷ 除数 = 除数
3÷4= 3
4 整数 整数 分数
（商数）
类比
被除式
被除式÷除式 = 除式 （商式） t ÷ (a-x) = t a-x 整式 整式 分式
分式的概念:
用A、B表示两个整式，A÷B就可以
第4课 分式及其运算
张玲玲
§4.1 分式的概念
问题1：
请将下列的几个代数式按照你认为的共同特 征进行分类，并将同一类移入一个圈内（圈的个数自 己选定,若不够可再画），并说明理由。
2.6 , 5 , 5 , x , y , 2004 , 2004 5 13 a x y x y x x 30
(7)
探索与发现（求代数式的值）
x … -2 -1 0 1
分式运算知识点总结
分式运算知识点总结一、分式的基本概念分式是指一个整体被分成若干部分，通常用形如a/b的形式表示。
其中a称为分子，b称为分母。
分子表示被分的部分，分母表示分成的部分。
在分式中，分母不能为0。
二、分式的化简分式的化简是指化简的过程，其中分式的分子和分母可以分别进行约分。
约分是将分子和分母中的公因子约去，使分子与分母中的最大公约数为1。
分式除以一个非零数，分子和分母都乘以这个数的倒数。
例子1：将分式3/9进行化简。
解：分式3/9的分子和分母中都有公因子3，因此分式3/9可以化简为1/3。
例子2：将分式12/24进行化简。
解：分式12/24的分子和分母中都有公因子12，因此分式12/24可以化简为1/2。
三、分式的加减分式的加减运算是指对分式进行加法或减法运算。
分式的加减运算中，要求分母相同才能进行加减运算。
例子1：对分式1/3和2/3进行加法运算。
解：首先要求分母相同，即分母为3。
然后将分子相加，得到结果为3/3=1。
因此，分式1/3和2/3的和为1。
例子2：对分式1/4和3/8进行减法运算。
解：首先要求分母相同，即分母为8。
然后将分子相减，得到结果为-1/8。
因此，分式1/4和3/8的差为-1/8。
四、分式的乘法分式的乘法是指对分式进行乘法运算。
分式的乘法中，分子乘以分子，分母乘以分母。
例子1：对分式1/2和3/4进行乘法运算。
解：分式1/2和3/4进行乘法运算得到结果为3/8。
例子2：对分式2/5和5/7进行乘法运算。
解：分式2/5和5/7进行乘法运算得到结果为10/35，化简得到结果为2/7。
五、分式的除法分式的除法是指对分式进行除法运算。
分式的除法中，分子乘以倒数，分母乘以倒数。
例子1：对分式1/2和3/4进行除法运算。
解：分式1/2和3/4进行除法运算得到结果为4/6，化简得到结果为2/3。
例子2：对分式2/5和5/7进行除法运算。
解：分式2/5和5/7进行除法运算得到结果为14/25。
综上所述，分式运算是一种重要的数学运算方式，包括了化简、加减乘除等操作。
第04讲 分式及其运算
(c≠0)． ac b±d
ad ＝ bd
bc ± bd
＝adb±dbc(b≠0，d≠0)．
2.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的 积作为积的分母．即 ab×dc＝badc(b≠0，d≠0)．
3.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，
与被除式相乘，即
ab÷dc＝
分析与反思 解答本题的关键是用代数式表示两次购买的平均单价， 然后比较两个代数式的大小．作差法是比较大小的常用方法．
剖析
正确解答
分析与反思
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谢谢聆听
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重点突破
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类型一 使分式有意义的条件
【例1】
(2017·湖州)要使分式
1 x－2
有意义，x的取值应满足__x_≠__2___．
点拨 分式有意义的条件是分母不等于零．
点拨
答案
【变式1】 (2017·日照)式子 aa－＋21有意义，则实数a的取值范围是( C )
A.a≥－1
B.a≠2
C.a≥－1且a≠2
A.x＝－2
B.x≠2
C.x>－2
D.x≠－2
3.分式－1－1 x可变形为( D )
A.－x－1 1
B.1＋1 x
C.－1＋1 x
4.化简x－x21＋1－1 x的结果是( A )
D.x－1 1
A.x＋1
1 B.x＋1
C.x－1
x D.x－1
5.当 x＝2016 时，计算：1＋x－1 1÷2x＝__2_0_21_5___.
内容 索引
备考基础 重点突破 易错防范
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法 辨析错因，提升考能
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
人教版八年级数学上册《分式的运算(第4课时)》示范教学课件
思考
问题
算乘方，除法变乘法
约分，做乘法
观察运算类型：乘方、加法、除法
异分母分式相加减
式与数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减．
归纳
有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序，先做括号内的运算，再做括号外的运算．
上述法则可以用式子表示为
4．分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
上述法则可以用式子表示为
问题
在分数的混合运算过程中，运算顺序是什么？
分数的混合运算的运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
例3 先化简，再求值： ，其中 x＝－2．
分析：先根据分式的运算法则进行化简，再代入求值．
当x＝－2时，原式＝2－(－2)＝4．
分式化简求值的“真相” 分式的化简与求值的一般思路是先化简，再将已知数代入求值，化简与求值的重点是化简，要注意分式混合运算的顺序，有时也会用到整体代入的思想．
人教八年级数学上册
分式的运算
第4课时
1．分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
上述法则可以用式子表示为
2．分式的除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
上述法则可以用式子表示为
3．分式的乘方法则：
分式乘方要把分子、分母分别乘方．
在运算的过程中，我们也可以适当地运用一些运算律，从而达到简化运算的目的．
例1 计算 ．
结果要化成最简分式或整式
分式的运算教案
分式的运算教案目标：学习如何进行分式的运算，包括加法、减法、乘法和除法。
介绍：分式由分子和分母组成，分母不能为零。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
本教案将逐步介绍每种运算的具体步骤和注意事项。
一、分式的加法和减法：1. 当两个分数的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，分母保持不变。
例如：1/3 + 2/3 = 3/3 = 12/5 - 1/5 = 1/52. 当两个分数的分母不同时，需要找到一个最小公倍数作为新的分母，并按比例调整分子。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20二、分式的乘法：将两个分数的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
例如：1/2 × 3/4 = 3/82/5 × 5/6 = 10/30 = 1/3三、分式的除法：将第一个分数的分子乘以第二个分数的倒数作为新的分子，分母也是同样的方式。
例如：1/2 ÷ 1/3 = 1/2 × 3/1 = 3/22/5 ÷ 5/6 = 2/5 × 6/5 = 12/25练习题：1. 1/4 + 2/3 = ?2. 3/5 - 1/2 = ?3. 1/2 × 5/6 = ?4. 2/3 ÷ 1/4 = ?扩展练习题：1. 3/8 + 1/2 = ?2. 7/9 - 2/3 = ?3. 2/3 × 10/11 = ?4. 5/6 ÷ 2/3 = ?总结：通过本次学习，我们学会了如何进行分式的加法、减法、乘法和除法运算。
在进行运算时，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并注意分母的处理。
继续练习和实践，可以更好地掌握分式的运算技巧。
分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则
分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则初中数学中，分式是一个重要的知识点，它在数学运算中起到了重要的作用。
分式的四则运算法则是我们学习分式运算的基础，掌握了这些法则，我们就能够正确地进行分式的加减乘除运算。
下面我们将详细介绍分式的四则运算法则。
一、分式的加法和减法假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，它们的分子分别为a和c，分母分别为b和d。
那么它们的加法运算可以通过以下步骤进行：1. 找到两个分式的公共分母，记为m；2. 将两个分式的分子分别乘以m/b和m/d，得到分子为am/b，cm/d的两个分式；3. 将两个新分式的分子相加，即(am/b) + (cm/d)；4. 分子的和除以公共分母m，即[(am/b) + (cm/d)] / m。
同样地，分式的减法运算也可以按照上述步骤进行，只需要将第3步的相加改为相减即可。
二、分式的乘法分式的乘法运算较为简单，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。
三、分式的除法分式的除法与乘法类似，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的除法运算可以用以下公式表示：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。
需要注意的是，除法的时候我们需要将第二个分式取倒数后再进行乘法运算。
以上就是分式的四则运算法则，通过掌握这些法则，我们可以正确地进行分式的加减乘除运算。
在实际运算中，我们还需要注意约分的情况和分母为0的特殊情况。
当分式中的分子和分母有公因子时，我们需要将其约分为最简形式，即分子和分母没有共同的约数。
而当分式的分母为0时，这个分式是无定义的，因为在数学中，除数不能为0。
通过不断的练习和运用，我们可以更好地掌握分式的四则运算法则，为更复杂的数学运算打下坚实的基础。
分式的运算
分式的运算1. 基本概念分式是数学中常见的一种数的表示形式，它可以用分子与分母的比值来表示一个数。
分式的基本形式为$\\frac{a}{b}$，其中a为分子，a为分母。
分子和分母都可以是整数、小数或变量。
2. 分式的四则运算2.1 加法和减法分式的加法和减法运算规则如下：加法：两个分式$\\frac{a}{b}$和$\\frac{c}{d}$相加的结果为$\\frac{ad + bc}{bd}$。
减法：两个分式$\\frac{a}{b}$和$\\frac{c}{d}$相减的结果为$\\frac{ad - bc}{bd}$。
2.2 乘法和除法分式的乘法和除法运算规则如下：乘法：两个分式$\\frac{a}{b}$和$\\frac{c}{d}$相乘的结果为$\\frac{ac}{bd}$。
除法：两个分式$\\frac{a}{b}$和$\\frac{c}{d}$相除的结果为$\\frac{ad}{bc}$。
3. 分式的化简在进行分式的运算时，化简是十分重要的一步，它可以简化计算过程，使结果更加直观。
对分式进行化简的方法主要有约分和合并同类项。
3.1 约分约分是指将分式的分子和分母的公因子约去，使分数的结果更简洁。
例如，对于分式$\\frac{6}{12}$，可以约分为$\\frac{1}{2}$，因为6和12都可以被2整除。
3.2 合并同类项合并同类项是指将具有相同分母的多个分式进行合并，得到一个分式。
例如，对于分式$\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3}$，可以合并同类项得到$\\frac{3}{6} + \\frac{2}{6} =\\frac{5}{6}$。
4. 分式的应用分式在实际生活中有很多应用，例如在物理学中，分式可以用来表示单位速度和单位加速度；在化学中，分式可以用来表示物质的摩尔比例；在经济学中，分式可以用来表示成本和利润的比例等等。
5. 总结分式是数学中一种常见的数的表示形式，它可以用分子和分母的比值来表示一个数。
九年级数学教案分式的概念和运算
九年级数学教案分式的概念和运算数学教案：分式的概念和运算分式是数学中非常重要的一个概念，它在各个年级的数学学习中都占有重要地位。
本篇教案将详细介绍九年级中学生所应掌握的分式的概念和运算，以帮助学生对分式有更深刻的理解和掌握。
一、分式的概念分式是数学中的一种表示形式，用于描述分数或比例的关系。
我们可以将分式表示为两个数的比值，其中分子代表被分的部分，分母代表分的部分。
在分式的表达中，分子和分母都可以是整数、分数或代数式。
1. 基本形式分式的基本形式为 a/b，其中 a 是分数的分子，b 是分数的分母。
2. 分式的意义分式可以表示各种比例关系，例如部分与整体的关系、两个数的比值等。
在实际生活和学习中，我们会经常遇到需要用到分式来描述的情况。
二、分式的运算分式的运算是九年级数学中的重要内容，掌握分式的运算方法是学习高级数学的基础。
1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循相同的原则，即分母相同才能进行加减运算。
当分母相同时，只需将分子相加(减)，然后保持分母不变即可。
当分母不同时，需要进行通分操作，将分母相同后再进行加减运算。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/202. 分式的乘法和除法分式的乘法运算是将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到的新分子和新分母组成新的分式。
分式的除法是将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数，即分式1 * (1/分式2)。
例如：2/3 * 4/5 = (2*4)/(3*5) = 8/152/3 ÷ 4/5 = (2/3) * (5/4) = 10/12 = 5/63. 分式的化简化简分式是将分式的分子和分母中的公因数约分的过程。
约分可以使分式更加简洁，方便进行后续的运算。
例如：4/8 = (2*2)/(2*4) = 1/212/16 = (2*2*3)/(2*2*2*2) = 3/4三、教学实例为了帮助学生更好地理解和掌握分式的概念和运算，我将给出一些具体的教学实例，通过实例演示分式的运算过程和解题技巧。
第4课 分式及其运算
易错点1 分式有意义及值为零的条件
【典例 1】 若分式xx2＋－39的值为零，则 x 的值为多少？ 【错解】 由 x2－9＝0，得 x＝±3． 【析错】 当分式的值为零时，分式依然要求具备分母不 为 0 的条件． 【纠错】 由题意，得 x2－9＝0 且 x＋3≠0，∴x＝3． ★ 名师指津 分式中的分母不能为零，当分式的值为零
3．分式的约分、通分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的 约分．约分的关键是确定分子、分母的公因式． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分 式，叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的 最简公分母．
4．分式的运算法则： (1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其 中任何两个，分式的值不变．用式子表示为： ab＝－－ab＝－－ab＝－－ba，－ab＝－ab＝－ba． (2)分式的加减法： 同分母相加减：ac±bc＝a±cb；
异分母相加减：ba±dc＝bca±cad． (3)分式的乘除法：
ab·dc＝badc；ab÷dc＝abdc．
(4)分式的乘方： abn＝abnn(n 为正整数)．
5．分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘 法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号， 先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是 最简分式或整式．
则下列分式的值保持不变的是
()
A．2x＋－xy
B．2xy2
C．32xy32
D．（x2－y2y）2
【解析】 32x＋－33xy≠2x＋－xy，96xy2≠2xy2，2574xy32≠32xy32，9（1x8－y2y）2 ＝（x2－y2y）2，故选 D．
【答案】 D
【类题演练 2】 (2017·孝感)如图 4-1①是一个边长为 a 的正方形 剪去一个边长为 1 的正方形，图 4-1②是一个边长(a－1)的正方
分式运算课件ppt
详细描述
在进行分数与小数的混合运算时，应先将小数转换为分数，然后 按照分数的运算法则进行计算。例如，计算(2/3) + (3/4)时，可 以先将小数0.75转换为分数3/4，然后进行分数的加法运算，得到 结果为5/6。
总结词
理解分数与整数的混合运算规则，避免运算错误。
详细描述
在进行分数与整数的混合运算时，应先将整数看作分数，然后 进行分数的加减乘除运算。例如，计算(2/3) + 3时，可以将整 数3看作分数9/3，然后进行分数的加法运算，得到结果为 11/3。
统计学
分式在统计学中用于表示概率、频率 等统计量，以及进行数据分析和预测 。
乘除混合运算的注意事项
总结词
注意约简和化简运算过程
详细描述
在进行乘除混合运算时，应注意分子和分母的约简，以简化表达式。例如，将$frac{2a}{4b} times frac{3c}{6d} div frac{4e}{2f}$化简为$frac{a}{2b} times frac{c}{2d} div frac{2e}{f}$。
总结词
理解分式除法在数学和实际问题中的应用
详细描述
分式除法在解决实际问题，如速度、密度、面积等问题中 有着广泛的应用。通过分式除法可以方便地计算出一个比 例与另一个比例的倒数之积。
乘除混合运算的注意事项
总结词
掌握乘除混合运算的顺序和规则
详细描述
在进行乘除混合运算时，应遵循“先乘后除”的原则，即先进行乘法运算再进行 除法运算。例如，计算$frac{a}{b} times frac{c}{d} div frac{e}{f}$时，应先进行 $frac{a}{b} times frac{c}{d}$的乘法运算，然后再进行除法运算。
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D.x＝1
归类探究 考点1 分式的概念,求字母的取值范围
【点评】（1）分式有意义就是使分母不为0，解不
等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；
（2）首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个 字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不 为0时，这就是所要求的字母的值.
归类探究 考点1 分式的概念,求字母的取值范围
第4讲
分式及其运算
要点梳理
1．分式的基本概念：
A (A、B是整式，且B中含有字母，B≠0) (1)形如___________________________________的 B
A 式子叫分式； (2)当_______时，分式 有意义；当_______时，分式 A B B≠0 B＝0 (2)当_______时，分式 有意义；当_______时，分式 B A A A＝0且B≠0 无意义；当________________时，分式 的值为零． A A B B 无意义；当________________时，分式 的值为零． B B 2．分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)________________ 同一个不等于零的 A A×M A A÷M ＝ ，＝ (M 是 _____，分式的值不变，用式子表示为：_______________ B B×M B B÷M 整式 (M 是不等于零的整式) ______________________．
归类探究
考点4
分式方程的解法
x 8 1 2 对应训练 4.（1）（2012·咸宁）解方程： 2 x x 4
归类探究
考点4
分式方程的解法
3 x （2）（2012·泰州）当x为何值时，分式 2 x 1 的值比分式 的值大3？ x2
答题模板
3.分式方程的增根问题
x x－2 试题 当a取什么实数时，关于x的方程 ＋ ＋ x－2 x 4x－a ＝0只有一个实根？ 2x（x－2）
然后 5 x 5 从的范围内选取一个合适的整数作 为x的值代入求值.
归类探究
考点4
分式方程的解法
3 1 4 【例 4】（2012·苏州）解分式方程 x 2 x x 2 2 x
归类探究
考点4
分式方程的解法
【点评】（1）按照基本步骤解分式方程，其关键是确 定各分式的最简公分母.若分母为多项式时，应首先进 行分解因式.将分式方程转化为整式方程，乘最简公分 母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项； （2）检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程 去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的 某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去.
审题视角 原分式方程去分母，化为整式方程，可知 是一元二次方程，该一元二次方程的实根有两种情况：方 程有两个相等的实数根，它们是原方程的一个实根；或方 程有两个不相等的实根，恰有一个是增根，另一个是原方 程的根．
答题模板
3.分式方程的增根问题
规范答题 x x－2 4x－a 解： ＋ ＋ ＝0， x－2 x 2x（x－2） 2 2 去分母，得 2x ＋2(x－2) ＋4x－a＝0， 2 4x －4x＋8－a＝0， 2 方程 4x －4x＋8－a＝0 只有一个实根的情况有两种： (1) 这个二次方程有相等的两实根，那么有 2 △＝(－4) －4×4× (8－a)＝0，解得 a＝7， 1 2 这时 4x －4x＋1＝0，x＝ 是原方程的一个实数根． 2
易错专攻
试题
4.勿忘分母不能为零
x－1 x－2 当 a 取什么值时，方程 － ＝ x－2 x＋1
2x＋a 的解是负数？ （x－2）（x＋1）
错解 解：原方程两边同乘以(x－2)(x＋1)，得 a＋5 x －1－x ＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝ . 2
2 2
a＋5 由 <0，得 a<－5. 2 故当 a<－5 时，原方程的解是负数．
要点梳理
(3)分式的乘除法： a c ac a c · ＝ b d bd · ＝___________； b d b
a c ad ÷ ＝ a c b d bc ÷ ＝___________．
d
(4)分式的乘方：
a a (n为正整数) n bn ＝__________________．
易错专攻
4.勿忘分母不能为零
正解 解：当 x≠－1 且 x≠2 时， 原方程两边都乘以(x－2)(x＋1)， a＋5 得 x －1－x ＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝ . 2
2 2
a＋5 由 <0，得 a<－5， 2 a＋5 a＋5 又由 ≠2，得 a≠－1； ≠－1，得 a≠－7， 2 2 故当 a<－5 且 a≠－7 时，原方程的解是负数．
式无意义的0与±2.
归类探究 考点3 分式的四则混合运算
x2 1 1 x x 2 3.（1）（2012·黄冈）化简 x 2 x 1 x 1 x 1 4
的结果是
x 1
. ，
x2 4 x 4 4 （2）（2012·河南）先化简 x x2 2 x x
要点梳理
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 两个，分式的值不变． a a －a －a a a －a 用式子表示为： ＝－ ＝ ＝－ ， ＝ － ＝ . b －b －b b b －b b (2)分式的加减法：
a b a±b ± ＝ c c c 同分母加减法：__________________； b d bc±ad ± ＝ a c ac 异分母加减法：__________________．
答题模板
答题思路
3.分式方程的增根问题
第一步：去分母，把分式方程转化为整式方程； 第二步：通过原分式方程的各个分母来确定分式方程 的增根； 第三步：把增根代入到转化得到的整式方程中，以确 定分式方程中某些系数的值； 第四步：考虑方程根的性质，以确定分式方程中某些 系数的值； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题 步骤．
三年中考
1.（2013·温州）若分式 x 3 的值为0，则x的值是
（ A ）
A.x＝3 B.x＝0
x4
C.x＝－3
D.x＝－4
m 2 16 得 2.（2012·杭州）化简 3m 12 －1时，原式的值为 . 1
m4 3
；当m＝
三年中考
y 2 . 的结果是 x x 3 4.（2011·杭州）已知分式 2 ，当x＝2时， x 5x a
易错专攻
4.勿忘分母不能为零
剖析 （1）分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解 题时，往往忽略题目中的这一隐含条件，从而导致解题错 误； （2）利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与 分母同乘或同除的整式的值不能是零； （3）解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分 母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解.如 果最后x取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方 程同解原理，这个取值就是方程的解；否则，不能保证新 方程与原方程同解.从另一角度看，既然使各分母的最简公 分母为零，则必使某个分母为零，该分式则无意义，原方 程不可能成立，这个取值就不是原方程的解.
x －3 的值为 0. x－3
解析 当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，而 x－3≠0， x≠3，故 x＝－3.
归类探究
考点2 分式的性质
【例 2】 (1)(2012·德州) 已知：x＝ 3＋1，y＝ 3－1， 2 2 x －2xy＋y 求 的值. 2 2 x －y
（x－y） x－y 解 原式＝ ＝ . （x－y）（x＋y） x＋y 当 x＝ 3＋1，y＝ 3－1 时，原式＝ 2 2 1 3 ＝ ＝ . 3 3 3
b
n
要点梳理
4．分式的约分、通分：
把分式中分子与分母的公因式约去， 这种变形叫做 约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分 母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式 的基本性质．通分的关键是确定式的混合运算：
3.（2012·台州）计算 xy
x
分式无意义，则a＝ 6 的x的值共有 2 个.
，当x＜6时，使分式无意义
归类探究 考点1 分式的概念,求字母的取值范围
【例 1】（1）当x ≠3 时，分式 1 有意义. 3 x （2）（2012·嘉兴）若分式 x 1 的值为0，则 （ D ） B.x＝0 C.x＝1或x＝－2 A.x＝－2
答题模板
3.分式方程的增根问题
(2) 方程的两个不等实根中恰有一个是原方程的增根，这个增 根是 x＝0 或 x＝2. 2 令△＝(－4) －4×4×(8－a)>0，解得 a>7， 2 若增根为 x＝0，代入 4x －4x＋8－a＝0，解得 a＝8， 2 此时 4x －4x＝0， 解得 x＝1 是原方程的一个实数根， x＝0 是增 根，舍去． 2 若增根为 x＝2，代入 4x －4x＋8－a＝0，解得 a＝16， 2 2 此时 4x －4x－8＝0，x －x－2＝0，解得 x＝－1 是原方程的一 个实数根，x＝2 是增根，舍去． x x－2 综上所述， a＝7 或 a＝8 或 a＝16 时， 当 关于 x 的方程 ＋ x－2 x 4x－a ＋ ＝0 只有一个实根． 2x（x－2）
学法指导
两个技巧
(1)分式运算中的常用技巧 分式运算题型多，方法灵活，若能根据特点灵活求解，将 会事半功倍． ①分组通分； 如： ②分步通分； “分” “通” ③先 后 ； ④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．
(2)分式求值中的常用技巧 分式求值题所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条 件和求值式的特征进行适当的变形、转化和沟通．主要有以下 技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒 数法．