《周髀算经》与《九章算术》介绍
《数学史》周髀算经》与《九章算术》教学文案
仪 生 四 象 ， 四 象 生 八 卦 。 ”
易 有 太 极 ， 是 生 两 仪 ， 两
“
太极八卦图
图中每个阳、阴爻分别代表数9与 数6，其中数字的配置依照“九六”说， 是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对 称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。 它与洛书中1至9的数字之和相同
周(约公元前11世纪～公元前 256年)：奴隶制经济获得进一步 的发展. “数”作为六艺之一，开 始形成一个学科。
商代(又称殷代，约公元前17世 纪～约前11世纪)：1899年在河南 安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上 所刻的象形文字(甲骨文，公元前14 世纪)。
自然数的记法：10进位制，最大 的数字是3万。
中国古代数学的萌芽
▪ 与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、 丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号 构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
《墨经》：
点：端,体之无厚而最前者也; 直线：直, 参也; 圆：圆, 一中同长也.
3.1.2《周髀算经》
▪“周髀”是测 量日影的工 具—八尺长竿
在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的 一部。 作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期， 但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前 11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天 说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学 的密切联系。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数 运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定 理的论述最为突出。
▪ 儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易》 象数学宇宙论为哲学依托.
▪ 墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》 的逻辑学为其论说的工具。
中国古代的数学知识
中国古代的数学知识
中国古代的数学知识非常丰富，以下是一些重要的成就和贡献：
《周髀算经》：这是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪。
它主要阐明当时的盖天说和四分历法，还包含一些数学知识，例如勾股定理的特例。
《九章算术》：这是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。
其作者已不可考，一般认为是由多人编撰而成的。
刘徽：魏晋时期的数学家，他提出了“割圆术”，即用“圆内接正多边形”去无限逼近“圆”，并首次用理论证明了“圆周率”的存在。
祖冲之：南北朝时期的数学家和天文学家，他首次将“圆周率”精算到小数第七位，是当时世界最精确的圆周率数值，这一成果直到16世纪才被打破。
此外，中国古代还有许多其他的数学成就，如张衡发明的地动仪、赵爽的《周髀算经注》、一行和尚的《大衍历》等等，都体现了中国古代在数学领域的卓越贡献和深厚底蕴。
《九章算术》的主要内容
不朽的古代数学名著——《九章算术》每当提起中国古代数学，肯定会提到《九章算术》。
《九章算术》是流传至今的我国一部古代数学典籍，根据考证，大约成书于东汉初期，作者姓名不详。
《九章算术》是中国古典数学的一部最重要的经典著作。
它总结了我国先秦至西汉的数学成果，形成以问题为中心的算法体系。
它是我国传统文化的一部分，有着鲜明的特色，对世界数学宝库作出了重要贡献。
我国杰出的古代数学家刘徽于魏景元四年（263年）首次注释《九章算术》；唐初，数学家李淳风于显庆元年（656年）奉命对《九章算术》也作了注释。
刘徽在《九章算术注序》中说：“往昔暴秦焚书，经术散坏，自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。
苍等因旧文之遗残，各称删补。
”可见，在秦朝以前已有算书流传，但因受秦始皇焚书而散失，后来张苍和耿寿昌等收集了旧算书的残篇，进行了删补。
他们删补校订旧算书的目的显然是为了培养行政官吏，或教习官家子弟，以实用为宗旨。
1983年从湖北江陵张家山出土的西汉早年（约公元前180年左右）的竹简算书《算数书》，也是采用问题集的形式，并按算法将问题分类。
其中大部分算法术语，都出现在以后的《九章算术》之中，因此，《算数书》可能是《九章算术》的取材来源之一。
《九章算术》就是在这类算书的基础上，经过多人之手，不断补充、修改、增订而逐步形成的。
由于《九章算术》是我国古代数学教材之一，在民间流传较为广泛，所以，对我国古代数学的影响十分巨大。
《九章算术》对分数、正负数的记载是世界上早而有系统的论述。
这不仅早于欧洲，也比印度的有关记载早五、六世纪。
我国古代虽然没有无理数的明确记载，但是，《九章算术》里早有这一概念的萌芽。
刘徽意识到有一种开不尽方的数，为了近似地表示这种开不尽方的数，便创造了十进制分数。
刘徽十分重视比例算法，当比例算法传到欧洲时，欧洲人对比例算法也很重视，不但称为“黄金算法”，而且往往还把简单的问题化为比例问题去研究。
《九章算术》里提出的方程组的解法是“直除”法。
中国古代数学书籍
中国古代数学书籍
中国古代数学书籍有很多，以下是一些著名的数学书籍：
1. 《九章算术》：又称《九章算术大略》，是我国古代贡献最大的一部算术著作，共收录“经络，方田，本源，田广，勾股，五经，授时，方程，杂病”九门内容。
2. 《周髀算经》：是战国时期的数学著作，作者是孙子周公，收录了我国最早记载的勾股定理。
3. 《海岱算经》：是东汉末年刘徽所著的一本数学著作，主要介绍了代数学、几何学、算法和解析学等方面的内容。
4. 《数书九章》：是刘徽的另一本重要著作，内容涵盖了数学、天文学、算法和军事学等领域。
5. 《算法统宗》：是明代数学家杨辉的著作，以算术、代数、几何和算法为主要内容，包括计数术、乘除术、数列、方程式、三角学等。
6. 《数理精蕴》：是明代数学家张世杰的著作，详细介绍了代数、几何、数论、解析等方面的数学知识。
以上只是中国古代数学书籍的一部分，这些书籍对推动中国古代数学发展起到了重要的作用。
我国最早的数学著作
我国最早的数学著作
我国最早的数学著作可以追溯到两千多年前的古代中国。
这些著
作主要集中在《九章算术》、《周髀算经》和《孙子算经》等。
《九章算术》又称《九章术数》，是中国古代最早的一部数学著述。
该书由战国时期的数学家张丘建所著，成书年代可追溯到公元前2世纪。
《九章算术》主要介绍了整数的计算方法、方程的解法、几何
图形的计算等内容。
这些内容包含了中国古代数学的基础，奠定了后
来数学发展的基石。
《周髀算经》是中国古代数学著作中保存最完整的一部。
它是西
汉时期的数学家周髀（zhōu bì）所创作，成书年代大约在公元前1
世纪。
该书主要介绍了分数的计算、方程的解法、几何图形的计算等
内容。
与《九章算术》相比，它更加系统和详细，包含了更多实用的
数学知识。
《孙子算经》是中国古代的一部军事数学著作，也是中国古代数
学领域中的重要著作之一。
该书传统上被认为是战国时期的军事家孙
子所著，成书年代可追溯到公元前4世纪。
《孙子算经》主要介绍了
战争中的数学计算方法，如算术、几何、测量等等。
虽然以军事为背景，但其中蕴含的数学思想和方法对后来的数学发展有深远影响。
这些数学著作不仅反映了古代中国人民在数学领域的智慧，也是
世界上最早的数学著作之一。
它们为中国古代数学的发展奠定了基础，并对后世产生了深远的影响。
九章算术的主要内容
九章算术的主要内容《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，该书共九章，篇幅较为详细，内容包括整数、分数、方程、几何学等多个方面。
在中国古代数学发展史上具有重要的地位，不仅对中国古代数学的研究有较大地推动作用，也对数学史研究有一定的价值。
第一章为“方程”，讨论一元二次方程、二元一次方程等的解法。
第二章为“为多设方”，解决了多元方程组的问题，包括几何问题和商业问题。
第三章为“尺规作图”，讲述几何作图知识，包括平分角、作正方形等。
第四章为“检释方程”，介绍了方程根的概念，并通过实例说明了解二次方程的公式的计算方法，着重考虑到符号问题，并将数学符号化的初步工作已经体现。
第五章为“释方程”，主要关注除方、截方等求式方法，包括负数的表示方法、分数的计算等。
第六章为“省广义”，扩展了原来二次方程根的计算方法，提出了“愚人捷径”——用最大的平方数来分拆，使得分解后的两个数差最小，而且只用变号加减。
第七章为“杂项”，囊括了诸如勾股定理和证明两平方等于和差平方等几何问题。
第八章为“五经解数术”，介绍了《孙子算经》、《周髀算经》等古代算学文献中的数学方法。
最后一章为“分数”，着重介绍了分数的计算方法，以及混合数字的运算，加减乘除等。
此外，本书介绍了计算平方、根号等数学运算方法，还提出了许多实际问题的解决方法，如商业计算、土地面积计算等。
总之，《九章算术》集中体现了中国古代数学家的智慧与才能，对后世学者影响深远，它是古代数学研究与教学的经典著作之一。
其思想和方法论，对现代数学的发展和研究有着深远的影响，是我们在学习和研究数学的历程中不可缺少的珍贵文献。
九章算术是在中国古代的汉朝时期编写完成的，该时期是中国历史上文化与科技发展的黄金时期，也是我国在各个领域进行了大量发展的时期。
汉朝是我国发展最为快速的一个朝代，社会经济、文化思想也积极开展，这些因素促进了古代中国的数学知识的发展。
在整个汉代历史中，文化和科技的发展逐渐成为重要的方向，为数千年后的中国文化和科技做出了巨大的贡献。
九章算术简介
九章算术
九章算术，又称《九章算术》、《九章算经》，是古代中国数学的一部重要著作，是中国古代数学的经典之一。
这部著作编纂完成的时间约在战国时期（公元前5世纪至公元前2世纪），具体的编纂时间和作者等信息在历史上并不清晰。
《九章算术》是一部系统的数学著作，内容广泛涵盖了算术、代数、几何、概率等多个数学领域。
它分为九篇，每篇都探讨了不同的数学问题和方法。
这九篇分别是：
1．《海岛算经》：主要涉及实际问题，如土地测量、田亩分配等。
2．《精说第一》：主要论述一次至六次方程的解法。
3．《精说第二》：讨论一次至二十次方程的解法。
4．《周髀算经》：以乡土土地的规划为背景，涉及几何问题。
5．《五经算術》：介绍一些实际问题中的算术和代数方法。
6．《算数》：讨论分数、比例、变比等。
7．《雜論》：包括多种数学题目，如勾股定理的应用、经济问题等。
8．《方程》：主要涉及一次至二十次方程的解法。
9．《杂题》：包括了各种杂项的数学问题。
《九章算术》的影响深远，对中国古代数学和世界数学的发展都产生了
积极的影响。
其中包含了许多具体的问题和解法，展示了古代中国数学家在解决实际问题时的高超数学技巧。
这部著作在中国数学史上具有重要地位，被视为中国古代数学的巅峰之作之一。
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中国数学史中国数学史1. 中国数学从公元前后至公元 14 世纪，先后经历了三次发展高潮，即 ___________ 、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中 ___________ 时期达到了中国古典数学发展的顶峰。
3.1 《周髀算经》与《九章算术》 1. 《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”，这里的规是指 ________ ，矩则是指 _____________ 。
2 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著 ( ) 。
A. 《考工记》B. 《墨经》C. 《史记》D. 《庄子》3. 在现存的中国古代数学著作中，《 ________ 》是最早的一部。
卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了 ________ 的一般形式。
4 中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《 ______ 》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的 ______ 。
5 《九章算术》是从先秦至 ___________ 的长时期里经众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。
6 、“九数”是指：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。
7 、《九章算术》就是从九数发展来的。
8 《九章算术》 " 方田 " 、 " 商功 " 、 " 勾股 " 三章处理几何问题。
其中 " 方田 " 章讨论 _________ ， " 勾股 " 章则是关于_________ 。
9 《九章算术》的“少广”章主要讨论（）。
A. 比例术B. 面积术C. 体积术D. 开方术10 《九章算术》内容丰富，全书共有 ________ 章，大约有 ________ 个问题。
11. 世界上讲述方程最早的著作是 ( )A. 中国的《九章算术》B. 阿拉伯花拉子米的《代数学》C. 卡尔丹的《大法》D. 牛顿的《普遍算术》12 《九章算术》中 " 方程术 " 的关键算法是 "__________" ，实质上这就是我们今天所使用的解线性联立方程组的___________ 。
《数学史》周髀算经》与《九章算术》
中国古代数学体系形成
▪ 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总 结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、 今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、 盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、 正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的 方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世 界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为 中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
▪ 《汉书·艺文志》：“名家者流，盖出於礼官。” ▪ 梁启超 《论诸家之派别》：“名家言起於郑之邓析 ，而
宋之惠施及赵之公孙龙大昌之。”
中国古代数学的萌芽
▪ 墨家认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家 给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
▪ 墨家是中国古代主要哲学派别之一，约产生于战国时期。创始人为 墨翟。墨家是一个纪律严密的学术团体，其首领称“矩子”，其成 员到各国为官必须推行墨家主张，所得俸禄亦须向团体奉献。墨家 学派有前后期之分，前期思想主要涉及社会政治、伦理及认识论问 题；后期墨家在逻辑学方面有重要贡献 。
与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精 神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的 数学推导。
就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。 从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时 期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古 典数学的顶峰。
《墨经》：
点：端,体之无厚而最前者也; 直线：直, 参也; 圆：圆, 一中同长也.
中国古代数学成就梳理
中国古代数学成就梳理一、先秦时期1. 《九章算术》：是中国古代最早的一部数学专著，成书于公元前1世纪左右。
全书共分为九章，包括方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、勾股和割补等内容，涵盖了当时数学的主要领域。
2. 《周髀算经》：是中国古代最早的一部天文学著作，成书于公元前1世纪左右。
书中记载了古代中国的天文观测数据和计算方法，如浑仪、盖天说等。
3. 《管子·轻重篇》：是战国时期的一部经济著作，其中涉及到了一些数学知识，如分数、比例等。
二、秦汉时期1. 《数书九章》：是西汉时期的一部数学著作，作者为张苍。
书中记载了当时的数学知识和计算方法，如分数、比例、开平方等。
2. 《算经》：是东汉时期的一部数学著作，作者为刘洪。
书中记载了当时的数学知识和计算方法，如分数、比例、开平方等。
3. 《九章算术注》：是东汉时期的一部数学著作，作者为郑玄。
书中对《九章算术》进行了详细的注解和补充。
三、魏晋南北朝时期1. 《孙子算经》：是三国时期的一部数学著作，作者为孙武。
书中记载了当时的数学知识和计算方法，如分数、比例、开平方等。
2. 《五曹算经》：是南北朝时期的一部数学著作，作者为祖冲之。
书中记载了当时的数学知识和计算方法，如分数、比例、开平方等。
四、隋唐时期1. 《缀术》：是唐代的一部数学著作，作者为王孝通。
书中记载了当时的数学知识和计算方法，如分数、比例、开平方等。
2. 《大衍历》：是唐代的一部天文学著作，作者为僧一行。
书中记载了当时的天文观测数据和计算方法，如浑仪、盖天说等。
五、宋元时期1. 《数书九章》：是北宋时期的一部数学著作，作者为秦九韶。
书中记载了当时的数学知识和计算方法，如分数、比例、开平方等。
2. 《算经》：是南宋时期的一部数学著作，作者为李冶。
书中记载了当时的数学知识和计算方法，如分数、比例、开平方等。
3. 《几何原本》：是元代的一部数学著作，作者为赵爽。
书中记载了当时的几何学知识，如三角形、四边形等。
二 《九章算术》
把方程组的系数从上至下 摆成三列，运算采用“遍乘直 除”的方法，
0 4 0 4 0 0
26 34 39
11 17 37
把某一列系数全部乘 一个适当的倍数，然后再 直接减去另一列的若干倍， 一直算到每一列上只剩下 分别与三个未知数对应的 系数.
《九章算术》中的一次方程组有两元、 三元、四元和五元的，全部用上述演算程 序. 多元方程组的解法在印度最早出现在7 世纪初婆罗摩芨多所著的书中.在欧洲，最 早提出三元一次方程组解法的人是16世纪 的法国数学家比特奥.而多元一次方程组的 一般解法直到18世纪才由法国数学家贝祖 建立.
《九章算术》 （东汉，公元100年）
1.《九章算术》的重要成就举例
《九章算术》以应用问题集的形式表述， 收有246个数学问题，分为九章．它们的主 要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积 计算；第二章“粟米”：谷物粮食的按比例 折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第 四章“少广”：已知面积、体积、求其一边 长和径长等；第五章“商功”：土石工程、 体积计算；第六章“均输”：合理摊派赋税；
正负术
方程的每一行是由多项未 知量和一个已知量所组成的等 式，其中可能有相反意义的数 量；再者，在通过“遍乘直除” 来求解多元一次方程组时，也 会出现大数减小数的情况，由 此产生正数与负数的对立概念.
负数记号
《九章算术》最早给出的正负数加减法 则的条文如下：正负术曰，同名相除，异名 相益.正无入负之，负无入正之.其异名相除， 同名相益.正无入正之，负无入负之. 刘徽在《九章算术注》中给出了正、负 数的定义：两算得失相反，要令“正”“负” 以名之.同时用红色算筹表示正数，用黑色的 表示负数；12世纪，李冶首创了在数字上加 斜划以表示负数.
按代数解法，可设人数为x，物价为y，则有 方程组：
中国古代十部数学著作
中国古代十部数学著作中国古代数学文化悠久，其发展历程充满着辉煌与智慧。
而在这些数学成果中，充斥着许许多多伟大的数学家的青春与热血，他们的杰出思维与理论对于后世的学术发展产生了巨大的影响。
本文将介绍中国古代的十部数学著作，并按类划分。
一、古代算经《九章算术》和《孙子算经》是中国古代最著名的两部算学著作，两书皆为匿名所著。
《九章算术》被认为是中国数学之母，它的内容涉及到代数方程、分数表示以及计算方法等方面。
《孙子算经》中的算法被认为是中国古代算学的代表之一，题材涉及回归术、平均除法、平均数、倍加错减等等。
二、数学思想史《朱子算经》是朱熹所著，是一部反映中国数学思想史的重要文献，此书中提出了纵横比、三分术及求正分数等理论。
三、几何学《周髀算经》为涂载所撰，是一部反映古代几何学的重要著作。
此书中的“周髀算经九章”，是中国古代保存存在的最早几何学著作。
其中将勾股定理作为计算三角形面积的基础，并以几何图形形象的方式展示其应用。
四、计算方法《孟子算经》为孟子所著，是一部与商业经济息息相关的计算方法著作。
主要论述了买卖、盈亏、利率、折扣计算等方面的问题。
五、天文数学《张衡算经》被誉为中国古代天文学得以发展的奠基之作。
其中介绍了太阳、月亮、星星等天体的运动规律、天文观测仪器的制作及海中仙山等神秘现象的解释等。
六、数学教材《算学启蒙》为清代陈景元所著，是一部比较系统的初级数学教材。
书中大量举例讲解代数式、方程、几何、三角等数学概念，为初学者提供了一份较为完整的初级数学学科介绍。
七、算盘术《周髀算经》、《九章算术》中都有关于算盘术的讲解，而《算经十书》则是中国古代算盘术的代表之一。
此书中介绍了算术、代数、几何、天文等各个方面的数学知识，是世界范围内迄今为止最完整、最系统的古代算盘策略体系。
八、秦汉算学《汉书》中记载的《数书九章》是中国古代代数方程理论发展历程的重要文献。
而《算法统宗》则是秦代所创，系统论述了秦代数学的各方面内容。
九章算术详细内容九章算术作者
九章算术详细内容九章算术作者话题：九章算术作者计算方法十二卷算术《九章算术》全部古文详细资料，现已完成上线。
《九章算术》作者不详，是一部现有传本的、最古老的中国数学书，它的编纂年代大约是在东汉初期。
书中汇集了二百四十六个应用问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章。
春秋、战国时期社会生产力的逐渐提高，促进了数学知识和计算技能的发展。
当时各国的统治阶级要按亩收税，必须有测量土地、计算面积的方法；要储备粮食，必须有计算仓库容积的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必须能计算工程人功；要修订一个适合农业生产的历法，必须能运用有关的天文数据。
那时的百姓掌握了相当丰富的、由日常生活中产生的数学知识和计算技能。
虽然没有一本先秦的数学书流传到后世，但无可怀疑的是九章算术方田、粟米、衰分、少广、商功等章中的题解方法，绝大部分是产生于秦以前的。
汉书艺文志术数类著录有许商算术二十六卷，杜忠算术十六卷，这两部算术虽早已失传，应该是东汉初编纂的九章算术的前身，它们的主要教材应当被保存于九章算术各章之内。
周礼大司徒篇说：「保氏掌谏王恶而养国子以道。
乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。
」这是说，主持贵族子弟教育的保氏以礼、乐、射、驭、书、数为「小学」的六门课程，每一门课程又各有若干细目，例如「数」学中有九个细目。
但在周礼里没有把「九数」列举出来，我们就无法考证它的内容。
汉武帝时这部周礼开始受到经学家的注意。
到东汉时期，郑众、马融等都为「九数」作了注解。
东汉末郑玄周礼注引郑众说：「九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要，今有重差、句股。
」事实上，郑众所说「九数」中的「均输」已是汉武帝太初元年以后的赋税制度，决不是周礼九数原有的一个细目。
「方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要」大概是西汉末传统算术的主要纲目，「今有重差、句股」说明数学有了新的发展。
(完整版)3.1周髀算经与九章算术
由此可立刻看出
a ＝ (10/4)升 ＝ 2.5升。於是 b ＝
(20 － 2.5)升 ＝ 17.5升。
3.1.3《九章算术》
在解方程组时，将方程组的系数（包括 常数）分离出来排成一个数表，相当于 现在线性代数中的增广矩阵，然后通过 类似于矩阵初等变换的方法消元，这一 思想方法在数学发展史上是非常重要的， 在西方被称为“高斯消元法”。
設醇酒佔２升，行酒有18升，值錢10＋18＝28， 不足2。
據公式３
醇酒：（5×2＋2×10）÷（10＋2）＝2.5升
升
行酒：（15×2＋18×10）÷（10＋2）＝17.5
這個題目用現代的代數解法亦屬易事。設醇酒有a升，行 酒有b升，便可建立出下面兩個聯立的二元一次方程
a＋b ＝ 20 ;
5a＋b ＝ 30
《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左 规矩，右准绳”.
战国时代的著作《考工记》中看到与手工业制 作有关的实用几何知识。
3.1.2《周髀算经》
《周髀算经》，该书原名《周 髀》，大约成书于公元前2世 纪的西汉时期，其许多内容甚 至可以追溯到西周。
唐代李淳风在为国子监明算科 选定教科书时将其列入《算经 十书》，并改名为《周髀算 经》。
3.1.3《九章算术》
《九章算术》给出的表示方法相当于下列矩阵 1 2 3 上禾 2 3 2 中禾 3 1 1 下禾 26 34 39 实
3.1.3《九章算术》
其解法相当于下列图示方法：
3.1.3《九章算术》
“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、 运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无 法回避被减数小于减数的情况出现，在《九章 算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数 及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名 相益，正无入正之；其异名相除，同名相益， 正无入正之，负无入负之。”
中国古代数学史之一
精湛的几何思想
战国时期的诸子百家，理论数学的萌芽。 《墨经》记载了许多几何概念，如 “平，同高也”； “中，同长也”； “圆，一中同长也”；…… 这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定 义几何概念的明证。
在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的 概念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺， 无穷也。”
一般认为，这一时期的数学成就主要有以 下几点： ◎结绳记事和规矩的使用 ◎十进位值制记数法、分数的应用及筹算 ◎精湛的几何思想 ◎数学教育的开始
结绳记事和规矩的使用
中国古代记数方法的起源是很早的。
据《易· 系辞传》称：“上古结绳而治。”
《易· 九家义》明确地解释了这种方法： “事大，大结其绳；事小，小结其绳。结 之多少，随物众寡。”这种结绳记事的方 法是很古老的。
学大部分内容都是围绕圆和勾股形展开
的，这与古代中国人擅长使用规和矩的
关系是十分密切的。
十进位值制记数法、分数的应用 及筹算
商代，甲骨文已发展成熟。 河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古 证明，中国当时已采用了“十进位值制记数 法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称。 除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也 很早，分数的概念及其应用，在《管子》、 《墨子》(mo)、《商君书》、《考工记》等春 秋战国时代的书籍中都有明确的记载。
关于此条，注家的解释众说纷纭。一般认为 钱宝琮(cong. 中国数学史研究的奠基人， 校点《算经十书》等)的解释最为精当： “用尺来度量路程，如果量到前面只剩不 到一尺的余地，那末，这路程是‘有穷’ 的。如果继续量前面总是长于一尺，那末， 这路程是‘无穷’的” 。
古代数理知识
古代数理知识
古代中国的数理知识源远流长，是中华文明的重要组成部分。
以下是一些主要的内容：算术：古代中国早在先秦时期就有《周髀算经》等著作记载了基本的算术运算规则，如加减乘除，并对开方、比例等问题有所涉及。
几何：在《九章算术》中有大量关于面积、体积计算的问题，反映了古代中国人对平面几何和立体几何的基本理解，如勾股定理（古称“勾股弦”）在中国春秋时期的《周髀算经》中已有记载。
历法：中国古代历法学发达，从夏朝开始就有自己的历法系统，如《太初历》、《授时历》等，这需要高深的数学知识来推算和预测日月星辰的运行规律。
分数与小数：早在汉代，中国数学家就引入了十进制分数的概念，并在刘徽注释《九章算术》时提出了无穷小分割的方法，为后来的小数理论奠定了基础。
排列组合与概率：中国古代的河图洛书以及《孙子算经》中的“物不知数”问题，都蕴含了组合数学的思想。
代数学：《孙子算经》中的线性方程组解法，展示了古代中国在代数学方面的成就。
总的来说，古代中国的数理知识丰富多样，对后世产生了深远影响，并在世界数学史上占有重要地位。
古书中关于有理数运算法则的记载
一、先秦时期——中国古代数学的萌芽（一）结绳记事（二）规矩的使用1、规矩是中国传统的几何工具，分别用于圆与方的问题。
2、中国传统几何学大部分内容是围绕圆与勾股展开的。
（三）十进位制记数法、分数的应用及筹算1、对世界数学最伟大的贡献：（王朝商代）已采用十进位制记数法，并有十、百、千、万等专用的大数名称。
2、分数的概念及其应用，在《管子》、《墨子》、《商君书》《考工记》中记载3、“九九歌”标志着乘除法运算法则成熟，春秋战国时代，算术四则运算已经成熟4、算筹是中国古代的计算工具（筹即小竹棍或小木棍），用算筹表示数有纵横两种摆法（四）精湛的几何思想战国时期（公元前475——前221）的诸子百家著作中的理论数学萌芽1、墨家——《墨经》：A试图用形式逻辑的方法定义几何概念a、平，同高也（两条直线或两个平面间的距离处处相等称为平行）b、中，同长也(直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心（球的球心）到圆周（球表面）的距离相等)_c、圜，一中同长也（圆或球，皆有一个中心，即圆心或球心，圆周或球表面上任一点到中心的距离相等）B涉及有穷和无穷的概念2、名家——《庄子》：无穷的概念、著名的论断（早期的极限思想)与芝诺悖论具有异曲同工之妙（五）数学教育的开始1、周代，国家已把数学列为贵族子弟的必修课之一二、汉唐时代——中国传统数学体系的形成主要标志：《九章算术》（一）《周髀算经》和勾股定理1、《周髀算经》介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，包含的数学内容;分数运算、勾股定理2、中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期数学家赵爽给出的（二）《九章算术》（东汉末年）1、标志着中国传统数学体系的形成2、全书共246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活密切联系3、九章:第一章方田（土地测量）第二章粟米(粮食交易的比例问题）第三章衰分（配分比例问题）商业、手工业、及社会制度第四章少广（开平方、开立方的算法）第五章商功（立体图形的体积算法，柱、锥、台、球体）筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面第六章均输（复杂的配分比例问题）均输术——实行“均输制”在数学上的反应，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摆摊徭役等实际问题，这很类似于条件及值问题。
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《周髀算经》与《九章算术》介绍
《周髀算经》是我国最早的一部数学及天文算学着作。
髀即股，在周朝时立八尺之杆（立柱）为表（表即股），表的影子为勾，故合称之为勾股。
可想而知，这是一部有关勾股定理方面的数学着作。
该书成书于公元前一世纪。
在天文算学方面，主要阐明当时关于宇宙见解的“盖天说”和“四分历法”。
这在当时都是相当先进的。
该书最引人注目的是最早阐述了勾股定理。
《周髀算经》一开始就记载了公元前1100 年西周时周公与商高的一段对话，商高说；“……折矩以为勾广三，股修四，径隅五。
”也就是说，把一根直尺折成直角，直
立的一边长四，横躺的一边为三，则直尺的两端距离必然是五。
因为是商高讲的，有的书也把勾股定理叫做“商高定理”。
据西方国家记载，古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前550 年首先证明了这个定理时，他十分高兴，杀了一百头牛，以示庆贺。
国外称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。
其实，他要比我国商高晚了五百五十多年。
《周髀算经》还记载了公元前六七世纪荣方和陈子的对话。
在这些对话中，他们提到了进行各种数据计算的方法，其中包括测量太阳高度的方法。
其方法大致如下：
夏至时（太阳直射北回归线），观测者在北方立一八尺高杆，其日影长度刚好是六尺。
标杆每向南移动一千里，在同一时刻的日影长度就减少一寸。
也就是说，当日影减少六尺（即没有日影）时，标竽就向南移动了：60×1000=60000 里
这时标杆在太阳的正下方。
根据平面几何的相似原理可知，若勾为六万里，则股为八万里。
再由勾股定理即可算出测量者与太阳间的距离为10 万里。
这种推理，从数学角度是正确的，当然与实际情况相差不少。
至少，他没有考虑地球是圆的这个因素。
但与号称西方“测量之祖”的希腊学者塔利斯相比，陈子的水平要高多了。
塔利斯在公元前六世纪，利用日影测量了埃及金字塔的高度，但金字塔只有一百多尺高，并且人可以接近它，而陈子测的却是地球与太阳之间的距离。
1。