【期末试卷】湖北省襄阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

2018年7月襄阳市普通高中调研统一测试高二数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线的方程为22145y x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点在x 轴上B ．虚轴长为4C ．渐近线方程为20x =D ．离心率为352.已知函数31()42f x x ax =++，则“0a >”是“()f x 在R 上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若p q ∧是假命题，则p 、q 都是假命题；②命题“x ∀∈R ，3210x x -+≤”的否定是“0x ∃∈R ，320010x x -+>”③若p ：1x >，q :11x<，则p 是q 的充分不必要条件. A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.欧拉公式cos sin ixe x i x =+(i 为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将2ie π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i -- C.2i + D ．2i -5.已知圆22:(36M x y +=，定点N ，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足2NP NQ =，0GQ NP ⋅=，则点G 的轨迹方程是（ ）A ．2213631x y -= B ．2213631x y += C.22194x y -= D ．22194x y += 6.广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）由上表可得回归方程为ˆˆ10.2y x a =+，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ）A ．118.2万元B ．111.2万元 C.108.8万元 D ．101.2万元 7.某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过90%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关” C. 有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关” D ．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关” 附参照表：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++8.若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆22:(4)(1)16C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（ ）A ．4B ． 9.已知直线1:2l x =，2:35300l x y +-=，点P 是抛物线28y x =-上任一点，则P 到直线1l 、2l 的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．10.已知双曲线22:1(0,0)M a b a b-=>>，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角[,]43ππθ∈，则双曲线M 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．[2,4]B ． C.(1,3] D ．[311.设函数()n f x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )x f x e x x =+，1()f x '=，2()f x '=，*1())n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ）A ．(cos sin )x e x x +B ．(cos sin )x e x x - C.(cos sin )x e x x -+ D ．(cos sin )x e x x --12.已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中a 、b R ∈，e 为自然对数的底数.若(1)0f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．22(3,1)e e -+ B ．2(3,)e -+∞ C.2(,22)e -∞+ D ．22(26,22)e e -+第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若曲线2()ln f x x ax =+(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是 ．14.已知双曲22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是双曲线上一点，且2AF x ⊥轴，若12AF F 的内切圆半径为1)a ，则其离心率为 ．15.已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>，使()f x 在[1,2]-上取得最大值3，最小值-29，则b 的值为 ．16.已知直线l 与椭圆221(0,0)a b a b+=>>相切于第一象限的点00(,)P x y ，且直线l 与x轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ︒∠=(1F、2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F 中，12F PF ∠的平分线的长度为a m，则实数m 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数ln ()xx kf x e +=(k 为常数，2.71828e =是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间.18. （1）已知命题p :实数m 满足22127(0)m a am a +<>，命题q :实数m 满足方程22112x y m m+=--表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）设命题p :关于x 的不等式1xa >的解集是{|0}x x <；q :函数y =域为R .若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求实数a 的取值范围. 19. 如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20.设椭圆2222:1(0)y x M a b a b +=>>经过点(1P ，其离心率2e =.（1）求椭圆M 的方程；（2）直线1:()l y m m =+∈R 与椭圆M 交于A 、B 两点，且PAB 求m 的值.21.已知函数1()ln(1)()22f x x x a x a =++-+-，a R ∈. （1）当0x >时，求函数1()()ln(1)2g x f x x x =+++的单调区间； （2）当a Z ∈时，若存在0x ≥，使不等式()0f x <成立，求a 的最小值.22.已知双曲线2213x y -=的右焦点是抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线y kx m =+与该抛物线相交于A 、B 两个不同的点，点(2,2)M 是AB 的中点，求AOB (O 为坐标原点)的面积.试卷答案一、选择题1-5: CACAD 6-10:BCDCB 11、12：BA 二、填空题13.[0,)+∞52三、解答题17.（1）解：由ln ()x x k f x e +=得：1ln ()xkx x x f x xe '--=，(0,)x ∈+∞由于曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，∴(1)0f '=，即10k e-=，∴1k =. （2）解：由（1）得1()(1ln )x f x x x x xe'=--，(0,)x ∈+∞令()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞当(0,1)x ∈时，()0h x >；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <又0x e >，∴(0,1)x ∈时，()0f x '>，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<因此()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞.18. （1）解：由22127(0)m a am a +<>得：34a m a <<，即命题:34(0)p a m a a <<>由22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得210m m ->->，解得312m <<，即命题3:12q m <<. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以31342a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩或31342a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩解得：1338a ≤≤，∴实数a 的取值范围是13[,]38. （2）解：命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为{|01}P a a =<<对于命题q :函数y =R 的充要条件是20ax x a -+≥①恒成立. 当0a =时，不等式①为0x -≥，显然不成立； 当0a ≠时，不等式①恒成立的条件是20(1)40a a a >⎧⎨∆=--⨯≤⎩，解得12a ≥ 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为1{|}2Q a a =≥由“p q ∨是真命题，p q ∧是假命题”，可知命题p 、q 一真一假 当p 真q 假时，a 的取值范围是1(){|0}2R P Q a a ⋂=<<ð 当p 假q 真时，a 的取值范围是(){|1}R P Q a a ⋂=≥ð 综上，a 的取值范围是1(0,)[1,)2⋃+∞.19.（1）证：在等腰梯形ABCD 中，设1AD CD BC === ∵//AB CD ，23BCD π∠=，∴3ABC π∠=，2cos 23AB CD BC π=+⨯⨯= ∴2222cos33AC AB BC AB BC π=+-⨯⨯⨯=∴222AB AC BC =+，因此BC AC ⊥∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥ 而CF BC C ⋂=，∴ AC ⊥平面BCF∵四边形ACFE 是矩形，∴//EF AC ，∴EF ⊥平面BCF . （2）解：由（1）知，CA 、CB 、CF 两两垂直以CA 、CB 、CF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====，令(0FM λλ=≤≤，则(0,0,0)C，A ，(0,1,0)B ，(,0,1)M λ∴(,0)AB =，(,1,1)BM λ=- 设平面MAB 的法向量为1(,,)n x y z =则1100n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则1(1,3,)n λ=为平面MAB 的一个法向量 易知2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量 设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，则1212||1cos ||||134n n nn θ⋅===⋅++∵0λ≤0λ=时，cos θ即点M 、F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，其余弦值为7.20. （1）解：由已知222222112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得24a =，22b =，∴椭圆M 的方程为22142y x +=. （2）解：由22142y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：22440x m ++-=由22)16(4)0m ∆=-->得：m -<<设12(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x +=-，21244m x x -=∴12|||AB x x =-==又P 到AB的距离为d =，∴1||2ABCSAB d ====即428160m m -+=，解得：2m =±.符合m -<<2m =±.21.（1）解：∵1()ln(1)()2(0)2f x x x a x a x =++-+-> ∴()ln(1)2(0)g x x a x '=++->∴当20a -≥即2a ≤时，()0g x '>对(0,)x ∈+∞恒成立 此时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间当20a ->，即2a >时，由()0g x '>，得21a x e ->-，由()0g x '<，得201a x e -<<-此时，()g x 的单调递减区间为2(0,1)a e--，单调递增区间为2(1,)a e --+∞综上所述，当2a ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞,无单调递减区间；当2a >时，()g x 的单调递减区间为2(0,1)a e --，单调递增区间为2(1,)a e --+∞（2）解：由()0f x <，得：1(1)ln(1)22x a x x x +>+++ 当0x ≥时，上式等价于1ln(1)221x x x a x +++>+令1ln(1)22()(0)1x x x h x x x +++=≥+ 据题意，存在0x ≥，使()0f x <成立，则只需min ()a h x >，23ln(1)2()(1)x x h x x '++-=+令3()ln(1)2x x x μ=++-，显然()x μ在[0,)+∞上单调递增 而3(0)02μ=-<，1(1)ln 202μ=->∴存在0(0,1)x ∈，使0()0x μ=，即003ln(1)2x x +=-又当00[0,)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x '单调递增∴当0x x =时，()h x 有极小值（也是最小值）∴000000min 00000131ln(1)2()21222()()(1)4111x x x x x x h x h x x x x x +++-++====-+-++++∵ 0(0,1)x ∈，即01(1,2)x +∈，∴00151(2,)12x x ++∈+，∴03()(,2)2h x ∈又0()a h x >，且a Z ∈， ∴a 的最小值为2.22.解：∵ 双曲线2213x y -=的左焦点的坐标为(2,0) ∴22y px =的焦点坐标为(2,0)，∴22p=，4p = 因此抛物线的方程为28y x =设11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x ≠，则2118y x =，2228y x =∴1212128y y k x x y y -==-+ ∵(2,2)M 为AB 的中点，所以124y y +=，故2k = ∴直线AB 的方程为2y x m =+ ∵ 直线过点(2,2)M ， ∴2m =-，故直线AB 的方程为22y x =-，其与x 轴的交点为(1,0)C由2228y x y x=-⎧⎨=⎩得：2480y y --=，2y =±∴AOB 的面积为1211||2y y ⨯⨯-=。