小学奥数同余问题
四年级常考的奥数题：余数问题
四年级常考的奥数题：余数问题
四年级常考的奥数题：余数问题
导语：任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的!自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。下面是小编为大家整理的：奥数题。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!
小学奥数题【例一】
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的`数，得到的余数，与除数的差相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】
2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数
都是1，所以取+1，表示为60n+1。
小学奥数—数论之同余问题
数论---同余问题
余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。
定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(1)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
(2)当0
一个完美的带余除法讲解模型:
如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，
现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后
共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是
余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题
在数学中，同余是一个非常有趣且经常应用的概念。同余问题即
涉及到同余的各种问题。在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，同余问题
经常出现且需要解决。本文将介绍同余问题的几个典型奥数题，并提
供详细的解析步骤和思考过程。
一、同余的定义和性质：
1. 定义：对于整数a，b和正整数n，如果a与b除以n的余数相等，则称a与b在模n下同余，记作a≡b(mod n)。
- 同余关系是等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
- 如果a≡b(mod n)且c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)和
ac≡bd(mod n)。
- 对于正整数m、n和a，如果m|n，则a≡b(mod m)蕴含着
a≡b(mod n)。
1. 题目：求满足8n+6≡3(mod 7)的最小非负整数n。
解析：根据同余的性质得到8n≡3-6(mod 7)，即8n≡-3(mod 7)。由于8和7互质，可以用扩展欧几里得算法求得系数使得8a+7b=1，即8×4+7×(-5)=1。两边乘以-3，得到8×(-12)+7×15=-3。因此，
n≡-12(mod 7)。最小非负整数n即为-12+7=（-5）+14=9。
2. 题目：若p是一个素数，求证p^2-1能被24整除。
解析：要证明p^2-1能被24整除，可以通过同余问题进行证明。首先，我们知道24=3×2×2×2，其中，3和2是两个互质的因数。如果p是一个素数，那么p在模3下只能是0或1或2。如果
p≡0(mod 3)，那么p^2-1≡0^2-1≡-1(mod 3)，不被3整除。同理，
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数
同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除
例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）
能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．
⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
知识点拨
教学目标
5-5-3.同余问题
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当
加11的倍数再减）；
⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数
小学奥数：同余问题.专项练习及答案解析
1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数
同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除
例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）
能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．
⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；
⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
五年级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：2881
2.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？
解析：被除数是424，除数是79.
3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来
的除数。
解析：除数是10.
4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也
比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.
5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.
6.求4
13除以5的余数。
解析：1.
7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？
解析：5.
8. 19992000÷7的余数是多少？
解析：0.
9.……199200除以9的余数是________;
解析：3.
10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?
解析：7
11.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .
解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×
21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.
12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？
解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313——2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .
小学奥数-巧解整除中的同余问题
小学奥数-巧解整除中的同余问题
1.整数a除以整数b（b≠0），商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，b能整除a。
2.a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和除以c的余数。
3.a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积除以c的余数。
4.若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
5所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称做同余问题。
精讲1：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数得商11余32，求甲、乙两数。
分析：解答这样的问题，首先要根据除法的意义，理顺被除数、除数、商和余数之间的关系，即被除数=商×除数+余数。
因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088。
解：乙=（1088－32）÷（11+1）=88 甲=1088-88=1000
精讲2：求478×296×351除以17的余数。
分析：先求出乘积再求余数，计算量较大，可以根据同余定理“a 与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积除以c的余数”，先分别计算出各因数除以17的余数，再求出余数之积除以17的余数。
解：478÷17=28 (2)
296÷17=17 (7)
351÷17=20 (11)
2×7×11÷17=9 (1)
精讲3：有一个大于1的整数，除45、59、101所得的余数相同，求这个数。
分析：根据同余定理“若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除”，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
小学奥数同余的解题规律知识
小学奥数同余的解题规律知识
小学奥数同余的解题规律知识
在作除法运算时，我们有这样的经验：
（1）一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有
5×1+3=8，
5×2+3=13，
5×3+3=18，
5×4+3=23，
…………
（2）一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.
389÷5=77 (4)
389÷7=55 (4)
389÷11=55 (4)
由此，我们可以来讨论下面的两个问题.
某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少？读者一定会想到有：
5×7×11+4=389，
5×7×11×2+4=774，
5×7×11×3+4=1159，
…………
答案有无数多个，但最小的.只能是389.
现在，我们把这个问题上升到一般形式.
问题一某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？
需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的除数相差同样多.即
5-2=3，
7-4=3，
11-8=3.
于是，我们也可以提这样的问题：
某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少？读者一定会想到是
5×7×11×1-3=382，
5×7×11×2-3=767，
5×7×11×3-3=1152，
…………
答案有无数多个，但最小只能是382.
这个问题的一般形式是：
问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多（也设为k），即
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题
同余问题是一个数学中的问题，它涉及到整数除以某个数后的余数的性质和关系。具体来说，给定一个整数n和一个正整数m，同余问题就是研究关于a 的同余方程a ≡b (mod m) 的性质和解的情况。
其中，a是被除数，b是余数，"≡"表示同余关系，即a除以m的余数等于b，而mod表示取模运算。这个问题可以进一步扩展为求解满足特定条件的整数解的数量或者找到所有满足条件的整数解等。
以下是一些常见的同余问题奥数题：
1. 一个数除以5的余数是4，除以6的余数是3，除以7的余数是2，求这个数是多少？
解答：我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。首先，我们设这个数为x，则有x ≡4 (mod 5)，x ≡3 (mod 6) 和x ≡2 (mod 7)。根据中国剩余定理，我们有：
x = 5 * k1 + 6 * k2 + 7 * k3，其中k1、k2、k3是整数。
由于5、6和7互质，所以可以分别求解得到：
k1 = (4 - 2) / 5 = 0
k2 = (3 - 0) / 6 = 1/2
k3 = (2 - 0) / 7 = 2/7
将k1、k2和k3代入x的表达式中，得到x = 5 * 0 + 6 * (1/2) + 7 * (2/7) = 19。所以这个数是19。
2. 求方程x^2 - y^2 = 1999的所有正整数解。
解答：我们可以使用费马小定理来解决这个问题。根据费马小定理，如果p 是一个素数且a是模p的一个原根，那么a^(p-1) ≡1 (mod p)。在本题中，我们考虑模p=n，即要求满足x^2 - y^2 = n的正整数解的数量。根据费马小定理，有：
五年级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：2881
2.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？
解析：被除数是424，除数是79.
3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来
的除数。
解析：除数是10.
4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也
比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.
5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.
6.求4
13除以5的余数。
解析：1.
7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？
解析：5.
8. 19992000÷7的余数是多少？
解析：0.
9.求123456789101112……199200除以9的余数是________;
解析：3.
10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?
解析：7
11.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .
解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×
21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.
12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？
解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .
小学五年级奥数余数同余练习题
小学五年级奥数
余数同余练习题
1、一个两位数去除251，得到的余数是41、求这个两位数
2、用一个自然数去除另一个整数，商是40,余数是16。被除数，除数，商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
3、某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
4、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），得1993天是星期几
5、一个数除以三余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数
6、一个数除以5余三，除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小自然数
7、一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合此条件的最小自然数
&一个布袋中装有小球若干个，如果每次取出3个，最后剩1个；如果每次取5个
或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？
9、69、90和125倍某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
10、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8,余数是11被除数、除数、余
数这四个数的和是463,求除数
12、某数除以3余1,除以4余2,除以5余3,除以6余4,求这个数最小是多少？
13、某数除以除以8余3,除以9余4,除以12余乙在1000以内这样的数有哪几个？
14、用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋。这
批贷至少有多少袋
15、57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零。求284被这个自然数除的余数
16、判定288和214对于模37是否同余，74与20呢?
17、求乘积418X 814X 1616除以13所的得余数
小学奥数 同余问题 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数
同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除
例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）
能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．
⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；
⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
奥数余数和同余讲义及答案
数学教师解题能力培训之四数的整除
（4）余数和同余教室姓名学号
【知识要点】
1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：
被除数=除数×商+余数
2、同余的概念：
两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。
3、同余最基本的性质是：
几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。
【典型例题】
例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？
解：
因为：
被除数=除数×8+16，并且被除数+除数=463―8―16＝439，所以除数=（439－16）÷（8+1）=47，被除数=47×8＋16=392.例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？
解：
被3除余2的数有2，5，8，11，…其中8又能被5除余3，并且满足条件最小的，而［3，5］=15，所以8+15=23，23+15=38，38+15=53，53满足了被7除余4这个条件，并且最小。
例3、五
（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？
解：
［3,4,5,6］=60, 60－1=59(人).例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？
解：
设除数为m,正确的商位q，余数为r，那么错写被除数后，除数仍为m，商为q－3，余数仍为r。因为：171=m×q+r
六年级奥数同余问题附答案
六年级奥数同余问题附答案
1、求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢?
437≡3(mod7)
309≡1(mod7)
由“同余的可乘性”知：
437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)
又因为1993≡5(mod7)
所以：437×309×1993≡3×5(mod7)
≡15(mod7)≡1(mod7)
即：437×309×1993被7除余1。
2、70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这个行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这个行数最右边的一个数被6除的余数是几?
思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是能够的，但计算量太大。
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?
0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是
0，1，3，2，3，1，0，……
结果余数有类似的规律，继续观察，能够得到：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……
能够看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。
思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。
(完整版)小学奥数同余问题
同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，
，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7
时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么（的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
k也就是的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
小学奥数训练题余数与同余_通用版(无答案)
余数与同余
1、两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？
2、两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被 13除余几？
3、用108除一个数余100，假设改用36除这个数，那么余数是几？
4、 1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。
5、用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数
这个100位数除以9余几？
6、把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？
7、求这样的三位数，它除以9所得的余数等于组成它的三个数字的平方和。
8、求以下各数除以11的余数：
9、将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。
10、大小两数之和是789，大数去掉个位数字后等于小数。求大数。
11、分别求满足以下条件的最小自然数：
(1)用3除余2，用5除余1，用7除余1；
(2)用3除余1，用5除余2，用7除余2；
(3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。
12、一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。
13、 A，B，C三人绕校园一周的时间分别为6分、7分、11分。由开始点A出发后，B 比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C初次同时通过开始出发的地点是在A出发后多少分钟？
14、有一类自然数，其中每一个数与2的和都是5的倍数，与5的差都是6的倍数。问：这类自然数中最小的是几？
15、有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。
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小学奥数同余问题Prepared on 21 November 2021
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52
小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再
加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1.同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）
“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2.同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减
性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么（的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
k也就是的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2.除以19，余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几最后余数是几
分析与解答：
这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？
则
所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1.求下列算式中的余数。
（1）（2）
（3）（4）
2.6254与37的积除以7，余数是几？
3.如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？
同余问题（二）
【例题分析】
例1.除以7，余数是几？
分析与解答：
例2.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？
分析：假设这个自然数为a
那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：
一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：
105，210，315，……
分别被3，5，7除余2的数是
2，107，212，317，……
最小的自然数是2。
回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？
稍加变式，可以写成：
这样同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，……
那么同时被3，5，7余8的数有：
8，113，218，323，……
其中最小的自然数为8。
所以余数是5
刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？
分析与解答：
看了下面的算式，你就会明白的。
小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。
例4.除以3的余数是几为什么
分析与解答：
在上式的加项中，显然可以被3整除，因此只须计算被3除余数是几。
由于
因此
由此可知，只须计算被3除的余数，它又等于被3除的余数。
由于，所以
所以余数是1
【模拟试题】
1.今天是星期日，再过天又是星期几？
2.求除以3所得的余数。
3.某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？
4.有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？
5.若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克若每箱装17千克，最后还余多少千克
6、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。
7、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。
8、求2001×2000除以7的余数。
9、求123×345+234×456除以11的余数。
10、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？
11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。
12、两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。
13、有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几？
14、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几？
15、3867×4253＝1644□351，求□里的数。4937×6845＝3379□765，求□里的数。
16、两个自然数相除，商8余16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少？17、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。
18、2002×2002-2001除以9的余数是多少？
19、当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少？
20、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？
21、有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3。这个数除以12，余数是多少。
22、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？
23、有一个数加上22的和被9除余3，这个数加上35的和被9被余几？
B组
26、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。这堆苹果共有多少个？
27、有一个数被5和11整除均余4，被3正好整除，这个数最小是几？
28、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的两位数。
29、一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余7，这个数最小是几？
30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组6.3元，第二组7.7元，第三组6.3元，第四组9.1元，又知道每本练习本价格都超过1角，求数学学习小组共有多少人（提示：练习本单价是总价的公约数。）
31、五年级两个班的学生一起排队出操，如果8人排一行，多出一个人；如果11人排一行，同样多出一个人。这两个班最小共有多少人（提示：如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。）