概念教学在微积分教学中的体会

作者简介 党生叶 （ ９ １ １７一）。副教授 ，项士。研究方向：教 学生 态学，数学教育等。
（ 收稿 日期 ：２ １ — ３纳 ，提高学 生的认识 。如 讲中值定理 时对 三 大定理 的条件 与结论要进行 小结 ，在 对比的基础 上掌握各 自的使用 范围 。罗 尔定理是拉 格朗 日定理的特殊 情况 ，都适 用一个函数 ，而 柯西 定理 是拉 格 朗 日定理 的推广 ，适 用于两 个函 数 。又比如 定积 分 ，二重 积分定义 的本 质都是和 式的极 限 ，只不过定义 的区域不 同 而已 ，定积 分定义在数 轴的 区『上 ，二 重积分定义在平 面区域上 ； 日 ｊ 定积分 ，重 积分的 物理 背景都可 以理解为实 际生活 中物 体的质 量 ， 只是形状不同罢了；教学中要引导学生对这两个积分从实际背景， 计算 方法 ，典 型例 题等几 方 面进 行小 结归 纳 ，真正 分清 各 自的特 点 ，做题时才能 做到应 用 自如 ，得 心应手 。又比如讲边际函数 与弹 性 函数时 ，重 点要讲明 白边际函数 是绝对改 变量比值的极限 ， 而弹 性是 相对改变 量比值的极 限 ，边际 函数就是数学 中的导数 ，在经济 学 中换 了一个 名字而 已，某 点的边 际函数反应 的是 自变量在此点 改 变一 个单位时 因变量相应 改变的单 位 ，而某 点的弹 性反应的是 自变 量在此处改 变１ ％，因变量相应改变 的百分比 ，弄清楚这本质区别 ， 就不会再感到这两个经济函数深奥难懂 。
微积 分是经管专 业学生 的重要公共基 础课 ，是 后续数学 课和专
业课必不可少 的基础工具 。其不仅能 提供学 习其他 课程的必要 基础 知识 ，也是用 以解 决问题 的工具 ，而且 在培 养学生逻 辑思维 、分 析 问题 与解决问题 的能力等方 面具有重要 的不可替代 的作用 概 念 、 判断 、推 理是人类思 维活动 的三种形式 ， 学概念是数 学知识 的核 数 心 、 学思维 的细胞 、数学 能力的根基 。学 生只有掌握 概念 ，才 能 数 进一步 推理 证明及进 行刨造思维 ，因此加强 数学概念 教学是提高 教
学质量的关键 。
１ 引入概念时要注重实际背景的介绍
微积 分 研 究 的 基 本 对 象 是 “ 函数 ” ，最 基 本 的 概念 是 “ 极 限 ”，最基本 的方法是 “ 极限方 法” ，因而微 积分是变量 数学 。微 积分的概念基 本上都是 以运动面貌 出现的 ，教学 中要研究微 移分 中 ｛ 概念 、定理 、法则的发 生过程及规 律性 ，引导学 生感知形 成正确 的 概念。微积分中的许多概念都是为解决实际问题而产生发展起来 的 ，所以在概 念引入 时介 绍实际背 景 ，就能更好地 引导学生 从实际 问题 中掌握概 念 ， 能用所 学概念 去解决 新的实际 问题。如 介绍 极 并 限概 念时 ，可 列举一些生活 中常 见 的实 例。在 日 常生 活中有这样 的 ４ 进行概念教学时还要注重 改革教学方式 体验 ，如不再给 时钟上发条 。钟摆 的摆 动越来越小 ，一直到最 后停 概念教学 能帮助学 生理清概 念 ，但要 想达到好 的效果还 需要教 以教 师为主导 ，以学生为主体 ”是 公认 止不动 ，若用ｏＯ 示摆 角，这个 过程的数学描述 就是 ，叶ｏ；又 学方法 的配 合。在教学 中 “ （表 （ ） 比如早在 古代人 们就 用增加 多边形边数 的方法来计算 圆的面积 ，即 的教学基本 原则 ，而数 学的抽象性 要求我 们在教学 中要摈弃 传统的 “ 师讲 ，学 生听 ”的单向灌输式 的教学模式 ，提倡学生积极 参与 教 有名的刘徽割圆术【Ｊ 表 示圆的面积 ， 表示 圆内接正 一 ｌ， 边形 的面 的 “ 师生互动 式” 的教学 方法 ，师 生围绕教 学 目标 ，或讨 论 ，或争 积，当边数一无限增加时，多边形的面积无限接近圆的面积： Ｓ 等等 ，让学生 从 不同的实际 问题 中发现规律 ，即某类变量 在无限 变 论，有问有答 ，相互启发 ，循序 渐进 ，突出学生 的主体地位 ，强调 化的过程 中趋 于某常 量 ，从而理解 极限概念 。又比如在讲解 定积分 学生 学习的主 动性 。例如 在讲二重 积分时经常 问学生如何求一个 土 定义时 ，通过 任意分 割 、近似计算 、求和 、取极 限四个步骤 完美地 豆 的体 积 ，学 生都喜欢积 极思考 ，把 土豆切 成细 细的土豆丝先估 算 解 决了曲边梯形 的面积 问题 ，产生 了微元法的思 想 ，引入定 积分的 再累加 求和 、取极 限 ，使学 生轻松领 会了微元法 的思想 ．又通俗 易 懂地掌 握了二重 积分的定义 。又 比如 在讲无穷级数 的定义时 ，问学 概念 。 生数列 中无穷 多项如 何求和 ，学生说先求前ｎ 项的和 ，继续提问 目标 ２ 讲解概念 时要讲 清概 念的本 质 是求无穷多项 的和 ，而现 在只求出前ｎ 项的和怎么办 ，提醒学生前面 数学概念 一般比较 抽象 、枯燥， 人们往往容 易忽视 ，直接 影响了 学的数学工 具有没 有办法解 决这个问题 ，用极限这个工 具就完美解 数学教学 的效果 。为 了使学 生真正理解认 识 ，形成科学 概念 ，教 学 决 了 ，在这 一问一答 中级数这个 概念学 生牢 牢掌握 。这些 例子不仅 中在 引入概 念的基础 上还须 准确引导学生 理解 概念 的内涵 ，外延 即 贴近生活 ，生动有趣 ，而且恰 当地体现 了数 学思想 ，更好地 激发了 概念 问的关 系 ，建立 正确的 概念体系 。如 讲导数概念 时 ，学生虽 能 学 生的好奇心 与解决 问题的愿 望 ，保证了概 念教 学的效果 。 背诵定义，但 由于对其本质属性理解不好 ， 做题时常常出错，教学 ５ 结 语 时特别要讲 清 ：函数 在某点处 的导数是 函数在 该点的变化 率 ，反 映 总 之 ，在 徽积 分的 教学 中要 注 重概 念教 学 ，无论 从概 念的 引 了函数 相对 于 自变 量 的变化 快慢 程度 ，实 际问题 中可 表 示瞬 时速 入 ，概念的讲解 ，还是概 念的巩 固复 习 ，都要抓 住概念教学这 条主 度 ，切线 的斜 率等等 ，但它 的本质是变化率 。有些概念表面上看差 不 多 ，如原函数 与不定 积分 、导数 与微分 ，学生常 常分辨 不清 ，教 线 ，启发 学生从实 际背景 中发现规律 ，学习概 念 ，然后又用概念 指 学 中帮 助学 生寻 找它 们 的异 同点 ，从 概念 的 内涵与外 延 上 区别它 导做题 ，把掌握 的概念变 成解决实 际问题的理 论。此外 ，要保证 概 必 师 们 。原函数是一 个函数 ，不定积分是 全体原函数 组成的 函数 族 ，是 念教学 的效果 ， 须改革教 学方式 ，采用 “ 生互动式” 的教学模 个体 与全体 的关 系 ；导数是 增量 比值 的极限 ，微分 是函数增 量的主 式 ，发挥 学生 的主体 能动性 ，启发学 生的思维 ，真正 吸引更多 的学 生 自主地学习微积分 ，用心体会微积分 中的概念的奥妙 。 要部分 ， 二者 又关系 密切 ，一元 函数可微 ，可 导是相互等 价的 。 但 在级数 中绝 对收敛 与条件收 敛也是 非常 容易混淆 的一对概念 ，在讲 解时 要突 出二 者 的区 别与 联系 ，共 同点是两 类级 数本 身都 是 收敛 的 ，区别在 于绝对收 敛的级 数加绝对 值后得到的新级 数收敛 ，而条 件收敛的级数 加绝对 值后得 到的新级 数发 散 ，分清 “ 绝对 ”与 “ 条 件” ，从而 真正理解掌握两概念 。
教 科 园 地
照 煮
Ｑ 第５ 每 期～
概 念 教 学 在 微 积 分教 学 中的体 会
党 生 叶
（ 汉 工业学院数理科学 系 ） 武
摘 要 微积分是经管专业学生的第一 门 共基 础课 ，由于大部分学生为文科学生 ，所以学生在学 习过程 中深感概念、定理 、公 公 式繁 多，学习力 不从心 ：本文主要探讨在微积分教 学中要加强概念教学 ，强调教 师在引入概念时要 注重背景介 绍，讲解概念时要抓住 实质 ，巩 固概念时要 类比！纳 ，另外要保证概念教学的效果 ，还要 注重 “ Ｊ ｊ 师生互动式”的教 学方法： 关键词 概念 教学 微积分 教学方式
３ 巩固概念时要注重类 比归 纳 为 了使学生 巩固概 念 ，正 确地 应用概 念 ，要及时 引导学生进 行
参考文献 ｆ】赵 树嫌 ． 积 分【 ． 京 ：中国人 民 大学 出版社 ，２０ １ 微 Ｍ】 北 ０７ 【 张 燕 生 ． 学 的 思 想 方 法 和 应 用 ［ ． 京 ：北 京 大 学 出版 社 ２ 】 教 ＭＩ 北