高中数学双曲线抛物线知识点总结
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
高中数学知识点---椭圆、双曲线、抛物线
高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-by a x ，因式分解得到0x ya b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
(完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点
标准
方程
（焦点在 轴）
（焦点在 轴）
定 义
第一定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦点弦的几条性质
设直线过焦点F与抛物线 >0）交于 ，
则：（1） =
（2）
（3）通径长：
（4）焦点弦长
直线与抛物线的位置
抛物线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
切线
方程
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
椭圆上到焦点的最大（小）距离
最大距离为：
最小距离为：
相关应用题：远日距离
近日距离
椭圆的参数方程
（ 为参数）
（ 为参数）
椭圆上的点到给定直线的距离
利用参数方程简便：椭圆 （ 为参数）上一点到直线 的距离为：
直线和椭圆的位置
椭圆 与直线 的位置关系：
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点 （ ）到准线 （ ）的距离为
渐近线
方程
( )
( )
共渐近线的双曲线系方程
（ ）
（ ）
直线和双曲线的位置
双曲线 与直线 的位置关系：
利用 转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
通径：
过双曲线上一点的切线
双曲线抛物线知识点总结
标准图
参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
几何性质
开口方向
右
左
上
下
焦点位置
X正
X负
Y正
Y负
焦点坐标
准线方程
范围
对称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
离心率
通 径
2p
焦半径
焦点弦长
引申
焦点弦长 的补充，
以 为直径的圆必与准线 相切
若 的倾斜角为 ，
若 的倾斜角为 ，则
双曲线知识点总结
定义
在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线
标准方程
焦点在x轴
焦点在y轴
－ ＝1(a>0，b>0)
－ ＝1(a>0，b>0)
标准图
几
何
性
质
1.范围
x≥a或x≤－a
y∈R
x∈R
y≤－a或y≥a
2.对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
3.顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
4.渐近线
y＝± x
y＝± x
5.离心率
6.实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
焦点三角形
1.余弦定理:∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数大于F1F21的点的轨迹叫做椭圆。
符号语言：|MF,| |MF2| 2a 2a 2c将定义中的常数记为2a,贝①.当2a卩人时，点的轨迹是椭圆_____________双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数小于F”的点的轨迹叫做双曲线。
符号语言：MF t - MF22a 2a 2c将定义中的常数记为2a，贝①.当2a FE时，点的轨迹是双曲线_____________________ ②•当2a |吋2时，点的轨迹是两条射线③.当2a卩占时，点的轨迹不存在焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mn 02 2与双曲线仔笃1共焦点的双曲线系方程可设为:a b2y1 ba kb kx22 2 2 2与双曲线笃 耸1共渐近线的双曲线系方程可设为： $ 爲a ba b三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线I （I 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做AB x , x 2 p -2^（为弦AB 的倾斜角）sin直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于 A （x i ,y i ）,B x 2,y 2，则椭圆（或双曲线、抛 物线）的弦长公式：AB x , x 2| —k 2J x , x 2 2 4%卷—k22 2 2 2与椭圆負b 2 1共焦点的椭圆系方程可设为：和冷1 k b 2标准方程2y 2px (p o )图形焦点坐标(p ,0) 2 (匕0) 2 （0月2(0,上) 2准线方程x& 2x E 2 y 舟 yi范围x 0, y R x 0, y Ry 0,x Ry 0,x R对称性 关于x 轴关于y 轴顶点坐标 (0,0)焦半径M X o ,y o|MF | X 。
高考双曲线抛物线知识点
高考双曲线抛物线知识点高考数学考试中，高中数学知识占据了很大的比重，其中双曲线和抛物线是高考必考的重要知识点。
本文将对双曲线和抛物线的相关概念、特点以及应用进行介绍，帮助考生全面理解和掌握这两个知识点。
1. 双曲线的概念和特点双曲线是由二次方程的图像所得，常见的双曲线方程有两种形式：$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ 和 $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$，其中 a 和b 是正实数。
双曲线的形状特点是两支分离，且与坐标轴无交点。
双曲线的中心在坐标原点 O(0,0) 处。
在坐标平面上，双曲线的两个分支分别向 x 轴和 y 轴无限延伸。
2. 双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用。
例如，光的折射是双曲线的一个重要应用。
当一束光从一个介质折射到另一个介质中时，光的传播路径将形成一个双曲线。
这个现象在眼镜、显微镜、望远镜等光学仪器中都有应用。
此外，双曲线还广泛应用于电磁场、无线通信和经济学等领域。
在电磁场中，电荷的分布和电场力线之间的关系可以由双曲线来描述。
在无线通信中，天线辐射和接收的信号模式也可以用双曲线表示。
在经济学中，供求关系也可以通过双曲线来进行分析和预测。
3. 抛物线的概念和特点抛物线是由二次方程的图像所得，常见的抛物线方程是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a、b 和 c 是实数且a ≠ 0。
抛物线的形状特点是开口方向，即上开或下开，取决于抛物线方程中 a 的正负。
抛物线的对称轴是与 y 轴平行的直线，其方程为 x = h，其中 h 是实数。
抛物线的顶点是位于对称轴上的点，其坐标为 (h, k)，其中 k 是实数。
4. 抛物线的应用抛物线在现实生活中也有许多实际应用。
例如，抛物线的形状是喷泉水柱的弹射轨迹，喷泉中的水从喷嘴射出后形成一个抛物线形状的水柱。
这种形状使得喷泉的水能够均匀地覆盖大面积区域，增加景观效果。
此外，抛物线还广泛应用于桥梁设计、体育运动和火箭发射等领域。
关于抛物线的知识点总结
关于抛物线的知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，它在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
本文将从几个方面介绍抛物线的知识点。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上的一条曲线，它的定义是到一个定点的距离与定直线的距离相等。
抛物线的形状呈现对称性，具有开口朝上或朝下的特点。
抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴的交点。
抛物线的对称轴是垂直于抛物线的轴线，通过抛物线顶点的直线。
抛物线的焦点是到定直线距离相等的那个定点。
二、抛物线的方程抛物线的方程可以用一般形式和顶点形式来表示。
一般形式的抛物线方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，a不等于0。
顶点形式的抛物线方程是y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k是常数，(h,k)是抛物线的顶点坐标。
通过顶点形式的方程可以直接得到抛物线的顶点坐标和对称轴的方程。
三、抛物线的应用抛物线在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线是描述自由落体运动的理想模型。
在工程学中，抛物线是设计桥梁和建筑物的重要参考。
在经济学中，抛物线可以用来描述成本、收入和利润等变量之间的关系。
四、抛物线与其他曲线的关系抛物线与直线、圆和双曲线都有密切的关系。
当抛物线的开口趋向于无限大时，抛物线可以近似为一条直线。
当抛物线的形状接近于圆时，抛物线可以看作是一个圆的一部分。
当抛物线的焦点和顶点之间的距离等于焦距时，抛物线可以近似为一个双曲线。
五、抛物线的美学价值抛物线不仅在数学中具有重要的意义，还在艺术和建筑中有着广泛的应用。
许多建筑物、雕塑和艺术品都使用了抛物线的形状，给人以美的享受和审美的愉悦。
总结起来，抛物线是数学中的一个重要概念，它具有独特的形状和性质。
抛物线在日常生活和科学研究中有广泛的应用，可以用来描述自由落体运动、设计建筑物和研究经济变量等。
抛物线与其他曲线有密切的关系，可以近似为直线、圆和双曲线。
抛物线不仅在数学中有价值，还在艺术和建筑中具有美学价值。
双曲线和抛物线的知识点
双曲线和抛物线的知识点双曲线和抛物线是高中数学中常见的两种曲线，它们有着丰富的几何和物理意义，被广泛应用在各个学科中。
本文将从基本概念、公式和性质，以及应用角度出发，全面探讨这两种曲线的知识点。
一、基本概念1. 双曲线双曲线是由平面上离心率大于1的两个点F1和F2，到该平面上任意一点P的距离之差等于常数2a（a>0）所确定的点集。
通常我们用双曲线的标准方程来表示，即：x^2/a^2-y^2/b^2=1 或 y^2/b^2-x^2/a^2=1其中，a表示离心率，b表示双曲线的半轴长。
2. 抛物线抛物线是由平面上一个定点F（称为焦点）和到该点的距离等于其到某一条定直线L（称为准线或对称轴）的距离d所确定的点集。
通常我们用抛物线的标准方程来表示，即：y=ax^2+bx+c其中，a、b、c分别表示抛物线的系数。
二、公式和性质1. 双曲线双曲线的标准方程可以化为下面的形式：y=b/a*sqrt(x^2-a^2) 或 y=b/a*sqrt(a^2-x^2)由此可以得到双曲线的几何性质：（1）双曲线的渐近线方程为y=±b/a*x，它们分别与x轴成正负45度的角。
（2）双曲线有两个分支，两个分支关于y轴对称。
（3）双曲线关于它的两个渐近线对称，任意一点到其中一条渐近线的距离与到另一条渐近线的距离之差等于常数2a（a>0）。
2. 抛物线抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），正负号取决于a的符号。
抛物线的渐近线是y=±∞（当a=0时）或y=ax+b（当a≠0时），从而可以得到抛物线的几何性质：（1）抛物线关于它的准线对称。
（2）焦距等于抛物线的半轴长。
（3）抛物线的平面曲率半径在顶点处为无穷大，其他点处为y 轴的绝对值与一阶导数的比值。
（4）当抛物线的焦点在x轴上时，它是一个完美的反射面，任何入射到抛物线上的线段都会被反射到焦点（这就是开普勒使用抛物面反射望远镜原理的基础）。
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点高中数学中，学习曲线是一个非常重要的内容。
其中，双曲线作为一种特殊的曲线形状，具有一些独特的性质和特点。
在这篇文章中，我们将深入探讨高中双曲线的知识点，包括定义、图像、方程、性质等方面。
一、双曲线的定义双曲线可以通过平面上的一个定点F（焦点）和一条定直线（准线）L来定义。
对于平面上的任意点P，它到焦点F的距离减去到准线L的距离等于一个常数e，即PF - PL = e。
这个常数e被称为离心率，决定了双曲线的形状。
二、双曲线的图像双曲线的图像可以被看作是一条平滑的弧线，同时具有两个非常重要的分支。
这两个分支在焦点F处相交，并逐渐远离准线L。
曲线呈现出向两个方向无限延伸的形状，就好像是两个永远不会相交的直线。
三、双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程如下：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1其中a和b分别代表椭圆横轴半径和纵轴半径。
这个方程表达了双曲线在坐标平面上的形状和位置。
当a^2大于b^2时，双曲线的分支打开向左右两个方向；当a^2小于b^2时，双曲线的分支打开向上下两个方向。
另外，一般方程形如：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0这个方程描述了双曲线的一般形式，其中A、B、C、D、E和F为常数。
通过求解这个方程，我们可以确定双曲线的具体方程和形状。
四、双曲线的性质双曲线有许多独特的性质和特点，以下是其中一些重要的性质：1. 零点性质：双曲线的方程中，x和y坐标可同时或分开取零值。
这与其他曲线形状有所不同，是双曲线独有的性质。
2. 渐近线性质：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支相切。
这些渐近线在无穷远处与曲线趋于平行，给予双曲线一种无限延伸的视觉效果。
3. 对称性质：双曲线关于y轴和x轴分别具有对称性。
这意味着曲线的左右分支和上下分支在对称轴上是对称的。
4. 焦点性质：焦点是双曲线的重要特征，它定义了曲线的形状和定位。
曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线的知识要点
曲线与方程一般地，如果曲线C 与方程()0,=y x F 之间有以下两个关系：① 曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x F 的解；② 以方程()0,=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点。
那么，我们把方程()0,=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程()0,=y x F的曲线。
圆的方程1、圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹是圆。
这个定点就是圆心、定长就是半径。
2、（1）圆的标准方程是()()222rb y a x =-+-其中：圆心()b a C ,，半径r（2）圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 其中：0422>-+F E D椭圆1、椭圆的定义：两定点1F 、2F ，动点M 满足122MF MF a +=（常数122a F F >），则动点M 的轨迹是椭圆。
问：122a F F =时如何？ 问：122a F F <时如何？2、椭圆的性质双曲线1、 双曲线的定义：若定点1F 、2F ，122MF MF a -=（常数122a F F <），则动点M 的轨迹是双曲线。
又： （1）当122a F F =时如何？ （2）当122a F F >时如何？再：关注？2、双曲线的性质：抛物线1．抛物线的定义：平面上与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中：点F叫做抛物线的焦点；定直线l叫做抛物线的准线。
注：若点F在直线l上，则轨迹为过点F垂直于l的直线。
2．抛物线的标准方程的四种形式及其性质：注：p的几何意义。
（1）（2）（3）常见的基础题型1、判定曲线是否方程的曲线，方程是否曲线的方程：2、求圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程（1）圆（2）椭圆、双曲线 （3）抛物线3、 知圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程，写到标准：（1）圆：配方法（圆心、半径）（2）椭圆：122=+yx问1：焦点在x 轴？问2：焦点在y 轴？（3）双曲线：122=-y x问1：焦点在x 轴？问2：焦点在y轴？特别地：共渐进线的双曲线系？（4）抛物线：常见的综合性问题：1、求曲线方程的一般方法：（1）直接法（仅一个动点）；特别：利用定义法省略化简（2）代入法（两个及以上动点）。
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m nλλ-=≠，与双曲线22221x y a b-=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为54； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a ==54。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
（2）∵双曲线经过点M （0，12），∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。
∴222144b c a =-=。
∴标准方程为22114425y x -=。
（3）设双曲线的方程为2222x y a b λ-=(3,A -在双曲线上∴(2231916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。
求双曲线的离心率e 的取值范围。
解：直线l 的方程为1x ya b-=，级bx+ay-ab=0。
高中数学双曲线抛物线知识点总结学习资料
双曲线的点的轨迹。
考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程ny x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为54； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a ==54。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
（2）∵双曲线经过点M （0，12），∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。
∴222144b c a =-=。
∴标准方程为22114425y x -=。
（3）设双曲线的方程为2222x y a bλ-=(3,A -在双曲线上∴(2231916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。
求双曲线的离心率e 的取值范围。
解：直线l 的方程为1x ya b-=，级bx+ay-ab=0。
由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离1d =，同理得到点（-1，0）到直线l 的距离2d =，122abs d d c=+==。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。
- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。
3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。
- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。
- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。
- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。
- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。
渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。
4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。
- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。
- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。
5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。
- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。
- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。
6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。
7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。
椭圆双曲线抛物线知识点
椭圆双曲线抛物线知识点椭圆、双曲线和抛物线是常见的曲线形状，它们在数学和物理中有广泛的应用。
本文将介绍椭圆、双曲线和抛物线的基本定义、性质、方程和常见应用。
一、椭圆（ellipse）椭圆是一个平面上的闭合曲线，该曲线的各点到两个定点（称为焦点）的距离之和是一个常数。
椭圆有两个焦点和两个短轴，两个短轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆的长轴是通过焦点的直线，长轴的一半称为椭圆的半长轴，短轴的一半称为椭圆的半短轴。
椭圆的数学表达式为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别是椭圆半长轴和半短轴的长度。
椭圆的性质：1.椭圆是轴对称的，关于x轴和y轴都有对称性。
2.椭圆的离心率0<e<1，离心率越接近0，椭圆越圆。
3.椭圆的周长可以用椭圆的长轴和半短轴的长度计算。
椭圆的应用：1.椭圆的几何性质使它在图形设计和艺术中有广泛的应用。
2.椭圆的光学性质使它在透镜和镜面的设计中有应用。
3.椭圆在天体力学中用来描述行星的轨道。
4.椭圆在密码学中用来生成加密算法的公钥和私钥。
二、双曲线（hyperbola）双曲线是一个平面上的开放曲线，该曲线的各点到两个焦点的距离之差是一个常数。
双曲线有两个焦点和两个短轴，两个短轴的中点称为双曲线的中心。
双曲线的长轴是通过焦点的直线，长轴的一半称为双曲线的半长轴，短轴的一半称为双曲线的半短轴。
双曲线的数学表达式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b分别是双曲线半长轴和半短轴的长度。
双曲线的性质：1.双曲线有两条渐进线，它们与双曲线的轴相切。
2.双曲线是非对称的，关于x轴和y轴没有对称性。
3.双曲线的离心率e>1，离心率越大，双曲线越扁。
4.双曲线的焦点和顶点与轴的关系可以用双曲线的方程来确定。
双曲线的应用：1.在物理学中，双曲线用来描述光学中的反射和折射现象。
2.在工程学中，双曲线用于设计天线的形状，以提高信号接收和发送的效果。
3.在经济学中，双曲线用来描述供求曲线和价格变动趋势。
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双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
方程 22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ±(0,)c ±渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率 (1)ce e a => (1)ce e a=> 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称准线方程 2a x c =±2a y c=±a 、b 、c 的关系 222c a b =+考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程ny x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为54； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。
_x_ O_y_x_ O_y解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a ==54。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
（2）∵双曲线经过点M （0，12），∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。
∴222144b c a =-=。
∴标准方程为22114425y x -=。
（3）设双曲线的方程为2222x y a bλ-=(3,23A -Q 在双曲线上 ∴(22331916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。
求双曲线的离心率e 的取值范围。
解：直线l 的方程为1x ya b-=，级bx+ay-ab=0。
由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离122d a b=+，同理得到点（-1，0）到直线l 的距离222d a b=+，122abs d d c=+==。
由s ≥45c ，得2ab c ≥45c，即252c ≥。
于是得22e ≥，即42425250e e -+≤。
解不等式，得2554e ≤≤。
由于e ＞1＞0，所以e的取值范围是2e ≤≤ 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=o ，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。
解：∵1290F AF ∠=o∴222124AF AF c +=又︱AF 1︱=3︱AF 2︱，∴12222AF AF AF a -==即2AF a =， ∴222222212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，∴c a ==即2e =。
题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即2222220Ax By C b x a y a b ++=⎧⎨-=⎩，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：2121l x x y y =-=- 【例4】如图，已知两定点12(F F ，满足条件212PF PF-=u u u u r u u u r的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、B 两点，如果AB =且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r，求（1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程；（3）m 的值和△ABC 的面积S 。
解：由双曲线的定义可知，曲线E是以12(F F 为焦点的双曲线的左支，且c =a=1，易知1b ==。
故直线E 的方程为221(0)x y x -=<， (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),由题意建立方程组22y=kx-1x -y =1⎧⎨⎩消去y ，得22(1)220k x kx -+-=。
又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B ，有22212212210,(2)8(1)0,20,120.1k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=<-⎪⎪-=>⎪-⎩V解得1k <-。
又∵12AB x x =-===依题意得=，整理后得422855250k k -+=， ∴257k =或254k =。
但1k <<-，∴2k =-。
故直线AB的方程为102x y ++=。
（3）设(,)c c C x y ，由已知OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r，得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=，∴1212(,)(,)(0)c c x x y y x y m m m++=≠。
又12221kx x k +==--212122222()22811k y y k x x k k +=+-=-==--，∴点8()C m m-。
将点C 的坐标代入曲线E 的方程，的2280641m m -=， 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。
∴4m =，C点的坐标为(2)，C 到AB13=， ∴△ABC的面积1123S =⨯=一、抛物线 高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。
（一） 知识归纳（二）典例讲解题型一 抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2y mx =或2(0)x my m =≠。
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；（2）经过点A （2，－3）；（3）焦点在直线x-2y-4=0上；（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱AF ︱=5.解：（1）双曲线方程可化为221916x y -=，左顶点是（-3，0） 由题意设抛物线方程为22(0)y px p =->且32p-=-， ∴p=6.∴方程为212y x =-（2）解法一：经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： y 2＝2px 或x 2＝－2py ．点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝29 点A （2，－3）坐标代入x 2＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝34 ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2＝－34y 解法二：由于A （2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2y mx =或2x ny =，代入A 点坐标求得m=29，n=-34， ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2＝－34y（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
∴焦点为（0，-2），（4，0）。
∴抛物线方程为28x y =-或216y x =。
（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为22(0)y px p =≠，A （m ，-3），由抛物 线定义得p52AF m ==+， 又2(3)2pm -=， ∴1p =±或9p =±，故所求抛物线方程为22y x =±或218y x =±。
题型二 抛物线的几何性质方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处理，例如若P （x 0，y 0）为抛物线22(0)y px p =>上一点，则02p PF x =+。
2、若过焦点的弦AB ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则弦长12AB x x p =++，12x x +可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。
【例6】设P 是抛物线24y x =上的一个动点。
（1） 求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2） 若B （3，2），求PB PF +的最小值。
解：（1）抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。
∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （-1，1）的距离与P 到F （1，0）的距离之和最小。
显然P 是AF 的连线与抛物线的交点， 最小值为5AF =（2）同理PF 与P 点到准线的距离相等，如图： 过B 做B Q ⊥准线于Q 点，交抛物线与P 1点。
∵11PQ PF =， ∴114PB PF PB PQ BQ +≥+==。
∴PB PF +的最小值是4。
题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y ＝x 2，动弦AB 的长为2，求AB 的中点纵坐标的最小值。
分析一：要求AB 中点纵坐标最小值，可求出y 1＋y 2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y 1、y 2是梯形ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x,y)由抛物线方程y ＝x 2知焦点1F(0,)4,准线方程14y =-，设点A 、B 、M 到准线的距离分别为|AD 1|、|BC 1|、|MN|，则|AD 1|＋|BC 1|＝2|MN|，且1MN =2(y+)4，根据抛物线的定义，有|AD 1|＝|AF|、|BC 1|＝|BF|,∴12(y+)4＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2，yxAOPF∴12(y+)24≥ ∴3y 4≥,即点M 纵坐标的最小值为34。