八年级数学下册 1.4 角平分线的性质和判定(第1课时)课件 (新版)北师大版
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八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
北师大版数学八下1.4角平分线课件
2.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，
使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相
等．
A
A
D
O
C B
D C
O
B
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D， 交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC 证明：
1、判断题 (1)∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = DC ( × )
(2)∵ DC⊥AC于C，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( × )
B
A
D
C
A B
D
C
(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC于C ，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( √ )
A
不必再证全等
B
D C
∴点P即为所求
O
A
P
D
C B
四、课堂小结 角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线判定定理
定理
在一个角形内部，到角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上
探究二：
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件
结论
你能写出这个定理的逆命题？
逆命题：一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
真命题 ？ 假命题 ？
角平分线性质定理的逆命题
一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
条件
结论
已知： 点P为∠AOB内一点 PD丄OA, PE丄OB,垂足分别 为D、E ， PD＝PE.
小结： 角平分线性质判定定理 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
最新北师版八下数学1.4 角平分线(第1课时) 课件
三、 达标训练
2.如图 ,在 △ABC中 ,∠C=90°,AB= 10, AD是 △ABC的一条角平分线.
若 CD= 3,则△ABD的面积为
.
三、 达标训练
2.如图 ,在 △ABC中 ,∠C=90°,AB= 10, AD是 △ABC的一条角平分线.
若 CD= 3,则△ABD的面积为
.
三、 达标训练
二、 合作探究
二、 合作探究
二、 合作探究
例2 如图，在 △ABC中，AB=AC=2 5 ，BC=4.点E为BC边上移动点， 连接AE，作∠AEF=∠B，EF于△ABC的外角∠ACD的平分线交于点 F.当EF⊥AC时，求EF的长.
二、 合作探究
二、 合作探究
二、 合作探究
变式练习 如图，已知△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高， BE是角平分线，且交AD于P. (1)求证：AE=AP； (2)如果∠C=30°，AE=1，求AC的长.
BD,则 ∠A=
.
二、 合作探究
例1 如图,在四边形 ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且 AE=1（AB+AD），求∠ABC+∠ADC的度数.
2
二、 合作探究
二、 合作探究
变式训练 如图,Rt△ABC 中 ,∠C= 90°,AD 平分 ∠CAB,交 CB于点 D,DE⊥AB于点 E,AC= 7 cm,△DEB 的周长为 12cm. (1)求证:AC=AE; (2)求△ABC的周长.
径画弧,两弧交于点P,作射 线BP,射线BP与AC交于点D,若AD=
BD,则 ∠A=
.
一、 前置学习
2.如图,在△ABC中,∠C=60°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,
1.4.1角平分线的性质与判定(教案)2021-2022学年八年级数学下册北师大版(安徽)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。它是几何图形中非常重要的元素，因为它可以帮助我们解决许多与角度相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。在三角形ABC中，点D是角A的平分线上的一个点，如何利用角平分线的性质来证明BD=CD？
c.解决实际问题时角平分线的应用：学生在面对复杂几何问题时，如何发现并利用角平分线来解决。
-难点解析：提供多层次的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步提升在复杂图形中识别和应用角平分线的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“1.4.1角平分线的性质与判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个角平均分成两个相等角的情况？”比如，在制作风筝时，我们可能需要将一个角平分以保持风筝的平衡。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角平分线的奥秘。
2.教学难点
a.角平分线性质的深度理解：学生需要理解角平分线性质的内在逻辑，而不仅仅是记住性质本身。
-难点解析：如何引导学生从角的分割线出发，理解为什么会存在“角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等”这一性质。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。它是几何图形中非常重要的元素，因为它可以帮助我们解决许多与角度相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。在三角形ABC中，点D是角A的平分线上的一个点，如何利用角平分线的性质来证明BD=CD？
c.解决实际问题时角平分线的应用：学生在面对复杂几何问题时，如何发现并利用角平分线来解决。
-难点解析：提供多层次的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步提升在复杂图形中识别和应用角平分线的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“1.4.1角平分线的性质与判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个角平均分成两个相等角的情况？”比如，在制作风筝时，我们可能需要将一个角平分以保持风筝的平衡。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角平分线的奥秘。
2.教学难点
a.角平分线性质的深度理解：学生需要理解角平分线性质的内在逻辑，而不仅仅是记住性质本身。
-难点解析：如何引导学生从角的分割线出发，理解为什么会存在“角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等”这一性质。
八年级数学下册 1.4 角平分线 角平分线的性质定理和判定定理指的是什么素材 (新版)北师大版
角平分线的性质定理和判定定理指的是什么？
难易度：★★★★
关键词：角平分线 -角平分线的性质定理和判定定理
答案：
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这角的平分线上。
【举一反三】
典题：在下列空格内填上正确或错误：
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
（3）角的平分线是到角两边距离相等的点的集合．
（4）角平分线是角的对称轴．
思路导引：此题主要考查角平分线的性质以及逆定理，还要注意角平分线是射线而不是直线或线段．根据性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断．
标准答案：
解：答案分别为：正确；正确；正确；错误．
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等，符合角平分线的性质定理，正确；
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上，符合角平分线的性质定理的逆定理，正确；
（3）角的平分线是到角两边距离相等的点的集合，符合角平分线的性质定理的逆定理，正确；
（4）因为对称轴是一条直线，而角平分线是射线，所以角平分线是角的对称轴，错误．。
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时 角平分线》教案
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。
本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。
但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。
三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。
2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.角平分线的性质。
2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。
五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。
2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。
3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。
4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。
六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。
2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。
3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。
同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。
同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。
在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。
八年级数学下三角形的证明1.4角平分线第1课时角平分线的性质与判定习题北师大
【点拨】如图，作 DH⊥AB，DH 交 BA 的延长线于点 H. ∵BD 平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4. ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.
【答案】B
*4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E.有下列结论： ①CD＝ED；②AC＋BE＝AB； ③∠BDE＝∠BAC；④DA 平分∠CDE. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
证明：过点 G 作 GH⊥AC 于点 H，如图所示． 方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，且 BD 交 CF 于点 D，∴GD⊥CF. ∵AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， ∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB，易得 CD＝CH， AB＝AH.∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
【答案】B
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB， 且 AD 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 AB＝6 cm，求△DEB 的周长．
解：∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，CADD＝ ＝EADD， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB. ∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB 的周长为 6 cm.
13．(中考·长春)感知：如图①，AD 平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°， ∠B＝90°.易知 DB＝DC. 探究：如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∠ABD＜90°.求证： DB＝DC.
1.4 角平分线第1课时(课件)八年级数学下册(北师大版)
是( B )A. PC＝PD
B.∠CPO＝
∠DOPC.∠CPO＝∠DPO来自D.OC＝ODC
P
O
2.如图所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，
若DA=5 cm，DE=5 cm，∠ACD=30°，则∠DCE的
度数为( A )A.30°
D.60°
B.40°
C.50°
D
B
三、即学即练，应用知识
3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
B
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
二、自主合作，探究新知
跟踪练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
ED⊥AB于点D.若AC=3cm，则AE+DE=
3cm .
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
BE=5，BC=4，则点E到AB的距离是 3cm
∴PD=PE.
∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
四、课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离
相等的点在这个角的平分线上.
辅助线添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
五、当堂达标检测
1.如图所示，P是 ∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA
探究一：角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,
A
求证：PD=PE.
D
C
证明：∵OC平分∠AOB
P
1
∴∠1=∠2
B.∠CPO＝
∠DOPC.∠CPO＝∠DPO来自D.OC＝ODC
P
O
2.如图所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，
若DA=5 cm，DE=5 cm，∠ACD=30°，则∠DCE的
度数为( A )A.30°
D.60°
B.40°
C.50°
D
B
三、即学即练，应用知识
3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
B
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
二、自主合作，探究新知
跟踪练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
ED⊥AB于点D.若AC=3cm，则AE+DE=
3cm .
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
BE=5，BC=4，则点E到AB的距离是 3cm
∴PD=PE.
∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
四、课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离
相等的点在这个角的平分线上.
辅助线添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
五、当堂达标检测
1.如图所示，P是 ∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA
探究一：角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,
A
求证：PD=PE.
D
C
证明：∵OC平分∠AOB
P
1
∴∠1=∠2
北师大版八年级下册数学：1.4角平分线课件
则∠BAP__________∠CAP.
如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
E 如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
相信自己 探究尝试
如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，
若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
课堂检测
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上， 若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE， 则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= 3 ，则PE=____.
E B
角平分线的性质定理 A
角平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等．
O
)1 )2
P C
几何语言：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
E B
你会用吗?
巩固训练.
已知:如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
D
几何语言： ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。
O
) )
E
P C
B
典型例析
例题：在△ABC中，∠BAC =60°，点D 在BC上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别为 E，F，且 DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°，∴ ∠BAD=30° 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10 ∴DE=1/2AD=1/2×10=5.
北师大版八年级数学下册1.4 角平分线的性质和判定课件
4.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E. 求证：AC＝BC. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB， BC⊥OA ∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90° 又∠ACE＝∠BCD ∴△ACE≌△BCD(ASA) ∴AC＝BC
知识点2：角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 几何语言： ∵____P__B_=_P_C_______， _P_B_⊥__A_B__，P__C_⊥__A_C__， ∴AP平分∠BAC.
1.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝____5____cm.
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝____5____cm.
3.(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90° ∵D是BC中点，∴BD＝CD ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴BE＝CF
又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
∴OC＝OD
(2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC＝PD ∴点P落在CD的垂直平分线上 ∵OC＝OD ∴点O落在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线
Байду номын сангаас
11.如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． 求证：BD＝2CD.
证明：如图，过D作DE⊥AB于E ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90° ∴DE＝DC 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30° ∴BD＝2DE，∴BD＝2CD
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。
八年级数学下册 1.4 角平分线(第1课时)课件 (新版)北师大版
解：如图所示：点P为∠BAC的 角平分线与MN的垂直平分线的交
16．(10分)如图，AB＝CD，S△PAB＝S△PCD， 求证：OP平分∠BOD.
解：证明(zhèngmíng)：作PM⊥OB于点M， PN⊥OD于点N， ∵S△PAB＝S△PCD，AB＝CD， ∴PM＝PN.∵PM⊥AB，PN⊥CD， ∴OP平分∠BOD
第一页，共10页。
•
1.4 角平分线(第1课时)
• 得分(dé fēn)________ 卷后分________ 评价________
1．角平分线的性质定理(dìnglǐ)：角平分线上的点
这个角的两边(liǎngbiān)的距离相等
到
．
2．角平分线的判定定理(dìnglǐ)：在一个角的内部，
到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上．
第13题图
第14题图
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别(fēnbié)为40，50，
其三条则角S平△分AB线O相∶交S△于B点COO，∶S△C4A∶O5＝∶6
．
第七页，共10页。
三、解答题(共40分) 15．(10分)如图所示，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在 道路AB，AC交叉区域内建一个仓库P，使点P到两条道路的 距离相等，且PM＝PN.你能设计出点P的位置吗？
求△BDE的周长．
解：△BDE的周长＝AB
＝4(cm)
第4题图
第5题图
6．(8分)如图，已知AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB于点D，
PE⊥AC于点E，求证(qiúzhèng)：PE＝PD.
证明(zhèngmíng)：连接AP，在△APC与△APB中，AC＝A
AP＝AP，PC＝PB，∴△APC≌△APB(SSS)，
16．(10分)如图，AB＝CD，S△PAB＝S△PCD， 求证：OP平分∠BOD.
解：证明(zhèngmíng)：作PM⊥OB于点M， PN⊥OD于点N， ∵S△PAB＝S△PCD，AB＝CD， ∴PM＝PN.∵PM⊥AB，PN⊥CD， ∴OP平分∠BOD
第一页，共10页。
•
1.4 角平分线(第1课时)
• 得分(dé fēn)________ 卷后分________ 评价________
1．角平分线的性质定理(dìnglǐ)：角平分线上的点
这个角的两边(liǎngbiān)的距离相等
到
．
2．角平分线的判定定理(dìnglǐ)：在一个角的内部，
到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上．
第13题图
第14题图
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别(fēnbié)为40，50，
其三条则角S平△分AB线O相∶交S△于B点COO，∶S△C4A∶O5＝∶6
．
第七页，共10页。
三、解答题(共40分) 15．(10分)如图所示，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在 道路AB，AC交叉区域内建一个仓库P，使点P到两条道路的 距离相等，且PM＝PN.你能设计出点P的位置吗？
求△BDE的周长．
解：△BDE的周长＝AB
＝4(cm)
第4题图
第5题图
6．(8分)如图，已知AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB于点D，
PE⊥AC于点E，求证(qiúzhèng)：PE＝PD.
证明(zhèngmíng)：连接AP，在△APC与△APB中，AC＝A
AP＝AP，PC＝PB，∴△APC≌△APB(SSS)，
北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件
= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
1.4第1课时角平分线的性质与判定(教案)2023-2024学年八年级下册数学北师大版(安徽)
其次，我发现学生在小组讨论环节表现得很积极，他们能够主动提出问题并尝试解决问题。这说明他们具备了良好的合作意识和探究精神。然而，在讨论过程中，我也注意到有些学生发言不够积极，可能是因为他们对角平分线知识还不够熟悉。在今后的教学中，我会更加关注这部分学生，鼓励他们多参与讨论，提高他们的自信心。
此外，实践活动环节，学生们的动手操作能力得到了锻炼，他们能够根据所学知识进行实际操作。但我也发现，部分学生在操作过程中对尺规作图的规范性掌握不够，导致作图不准确。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，加强学生对尺规作图的训练，提高他们的作图技巧。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的基本概念、性质和判定方法，以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.角平分线的判定：探讨如何判断一条线是否为角的平分线，即根据角的平分线的性质进行逆定理的证明和应用。
本节课将紧密围绕教材内容，通过实际例题和练习，使学生在掌握角平分线基本概念的基础上，深入理解和运用其性质与判定方法。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的几何直观：通过观察和操作角的平分线，让学生直观感知角平分线的性质，提高空间想象能力。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，关于教学内容，我意识到角平分线的性质与判定这部分知识对学生来说并不容易理解。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释，但感觉仍有部分学生掌握得不够扎实。我考虑在下一节课中，通过增加更多实际操作和互动环节，让学生在实践中更好地理解和应用这些性质和判定方法。
此外，实践活动环节，学生们的动手操作能力得到了锻炼，他们能够根据所学知识进行实际操作。但我也发现，部分学生在操作过程中对尺规作图的规范性掌握不够，导致作图不准确。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，加强学生对尺规作图的训练，提高他们的作图技巧。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的基本概念、性质和判定方法，以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.角平分线的判定：探讨如何判断一条线是否为角的平分线，即根据角的平分线的性质进行逆定理的证明和应用。
本节课将紧密围绕教材内容，通过实际例题和练习，使学生在掌握角平分线基本概念的基础上，深入理解和运用其性质与判定方法。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的几何直观：通过观察和操作角的平分线，让学生直观感知角平分线的性质，提高空间想象能力。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，关于教学内容，我意识到角平分线的性质与判定这部分知识对学生来说并不容易理解。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释，但感觉仍有部分学生掌握得不够扎实。我考虑在下一节课中，通过增加更多实际操作和互动环节，让学生在实践中更好地理解和应用这些性质和判定方法。
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.4《角平分线(第一课时)》课件
P
问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长 度有什么关系?
点到直线的距 离垂线段最短
相等(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
角平分线性质：角平分线上的点到这个角的 两边距离相等，这个性质是我们以前用折纸的方 法得到的。
思
结合我们前面学习的定
考
理的证明方法，你能 写出这
分 析
个性质的证明过程吗？
新北师版初中数学八年级下册
1.点P是线段AB的垂直平分线上的一点，PB=6cm，
则PA=_6___cm
P
2.已知：如图，线段AB外两点P、Q， A B 且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与
线段 AB的关系是__P_Q_垂__直__平__分__线__段__A_B__ Q
3.如图，你能找出图中哪条线段
（3）垂直距离。
不能少了任何一个.
定理的作用： 证明线段相等。
你能写出“上述定理：角平分线 思
上的点到这个角的两边距离相等”
考 分
的逆命题吗?
析
逆命题：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
它是真命题吗？如果是，请你证明这个命题?
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，
到角的两边的距离相等） 1 2
E
又∵BC=8，BD=5
∴CD=BC-BD=8-5=3
∴DE=3
C
D
B
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，
求证：CF=EB。
证明：∵AD平分∠CAB
A
DE⊥AB，∠C＝90°
∴CD＝DE(角平分线的性质)
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