计算的数学理论课程报告_梁国宏(2013100147)

计算的数学理论课程报告
1. 请论述原始递归函数、递归函数、递归集合、递归可枚举集合、图灵可计算、0-型语言之间的关系。

(1) 原始递归函数与递归函数的关系：
12,,11112,,,(x ,,x )(g(x ,,x ),,(x ,,x )),h ,k n n k n k f g g k n h f g f g g =设是k 元部分函数，g 是个元部分函数，令
称函数是由和g 合成得到的。

12,,,k f g g g 如果和都是全函数，则h 也是全函数。

12h ,,
,k f g g g 如果是由可计算函数和合成得到的，则h 也是可计算函数。

2g k h g 设是元全函数，是一个常数。

函数h 由下述等式给出
h(0)=k,
h(t+1)=g(t,h(t)),
称是由经过原始递归运算得到的。

1111121,n n n n n f g n n n h f f ++设和分别是元和元全函数，元函数由下述等式给出
h(x ,,x ,0)=(x ,,x ),
h(x ,,x ,t+1)=g(t,h(x ,,x ,t)x ,,x ),
称h 是由和g 经过原始递归运算得到的。

可计算函数经过原始递归运算得到的函数也是可计算的。

初始函数包括： 1(x )x 1,
(x )0,
(x ,,x )x ,1.
n i n i s n i n =+==≤≤后继函数：零函数：投影函数：u 由初始函数经过有限次合成和原始递归得到的函数称作原始递归函数。

由原始递归函数经过合成或原始递归得到的函数仍是原始递归函数。

每一个原始递归函数都是可计算的。

原始递归函数类是可计算函数类的子集。

ker A(0,x)=x+1, A(k+1,0)=A(k,1),
A(k+1,x+1)=A(k,A(k+1,x)),
Ac mann 函数的定义如下：
Ackermann 函数就是以一种新的递归方式定义的，它是可计算的，但不是原始递归的。

从而可计算函数类真包含原始递归函数类。

因此，原始递归函数类是可计算函数类的真子集。

11111(x ,
,x ,t)t (x ,,x ,t)min (x ,,x ,t)(x ,
,x ,t)min (x ,,x ,t)min n n n n n t t t P P P P t P 设是一个谓词，如果存在使为真，则等于使为真的的最小值；否则没有定义。

运算“”称作极小化。

11(x ,,x )min (x ,,x ,t)n P n n t f P f =是一个元部分函数，称是由谓词经过极小化
运算得到的。

111(x ,,x ,t)n 1(x ,,x )min{g(x ,
,x ,t)0}n n n t f f +==设g 是一个元全函数，若
则称是由函数g 经过极小化运算得到的。

由初始函数经过有限次合成、原始递归和极小化运算得到的函数称作部分递归函数。

部分递归的全函数称作递归函数。

部分递归函数是部分可计算函数。

递归函数是可计算函数。

综上可知，原始递归函数类是可计算函数类的子集，原始递归函数类是可计算函数类的真子集；又递归函数是可计算函数，所以原始递归函数类是递归函数类的真子集。

(2) 递归集合与递归可枚举集合的关系：
B B N B B B={x N (x)}
B g g χ⊆∈↓设，如果的特征函数是可计算的，则称集合是递归的。

如果存在部分可计算函数使得
则称集合是递归枚举的。

递归集合必是递归可枚举集合，即递归可枚举集合真包含递归集合。

B B B 集合是递归的当且仅当和是递归可枚举的。

B B=W.n ∈集合是递归可枚举的当且仅当存在n N 使得
一方面，自然数集合的所有子集是不可数的。

另一方面，只有可数个可计算谓词和可数个部分可计算函数，从而只有可数个递归集和可数个可枚举集。

因此，一定存在非递归集和非递归可枚举集。

K={n N }
n n W ∈∈令
K 是递归可枚举的，但不是递归的。

K 不是递归可枚举的。

(3) 图灵可计算与其他的关系：
A ,A f f f f f μ设是上的部分函数，如果存在图灵机计算则称是图灵部分
可计算的。

如果上的全函数是图灵部分可计算的，则称是图灵可计算的。

图灵机和语言是等价的，即图灵部分可计算函数类就是部分可计算函数类。

F
m f f 元部分函数是部分可计算的当且仅当是图灵部分可计算的。

(4) 0-型语言与其他的关系：
一个语言能被图灵机接受当且仅当它是递归可枚举的。

一个语言能被总停机的图灵机接受当且仅当它是递归的。

B (1)B (2)B (3)B (4)B 设非空，则下述命题是等价的：
是递归可枚举的，即是一个部分可计算函数的定义域；
是一个原始递归函数的值域；
是一个可计算函数的值域；
是一个部分可计算函数的值域。

{}={}⊆⊆原始递归函数全递归函数部分递归函数图灵可计算函数
2. 理论上均以数论函数（自然数集合上的函数）讨论计算问题，但实际应用中必然涉及实数集合上的函数的计算问题。

如何基于数论函数可计算来讨论实数集合上的可计算问题？
解：
相比理论上的以数论函数（自然数集合上的函数）讨论计算问题，实际中当我们及到实数集合上的函数的计算问题时，我认为可以利用实数集合与自然数集合之间的关系和某种编码方法（如配对函数）来实现实数集合上的函数计算问题的研究。

众所周知，任一个实数均可以表示成两个整数相除的形式，如：
1
2Z R Z =
在实数轴上，由于正、负实数关于0对称，即正、负实数是一一对应的，所以在这里仅讨论非负实数，负实数的计算问题可同比考虑。

对任一个正实数()i R ，均存在一对数偶
()()12,i i N N <>与其一一对应，然而由配对函数,2(21)1x x y y <>=+-可知，任一对数偶和
它的编码是一一对应的，同时在这里约定00,0=<>，这样就可以构造编码到非负实数间的一一对应关系，进而就可以讨论实数集合上的函数的计算问题。

最终将n R R →形式的函数计算问题划归为n N N →形式上的函数计算问题。

3. 有如下的一个递归函数的定义：
F(x) : if x=0 then 1 else x ·F(x-1)
请说明这是一个单调、连续泛函，并请给出求其最小不动点的过程。

解：。