不动点原理及其应用

题目：不动点原理及其应用

摘要

本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。

关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用

Abstract

In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too.

Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.

目录

引言 (1)

1.压缩映射原理 (1)

1.1压缩映射原理（距离空间） (1)

1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7)

2.Schauder不动点定理 (9)

3不动点定理的应用 (11)

总结 (12)

参考文献 (14)

引言

在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder 不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。

1压缩映射原理

1.1压缩映射原理（距离空间）

定义1.1.1：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，若存在数01θ≤≤，使

得对所有01θ≤≤，有()(),,Tx Ty x y ρθρ≤，则称T 是压缩映射。【1】

定理1.1.1：设X 是完备的距离空间，距离为ρ，T 是由X 到其自身的映射，且对任意的,x y X ∈，不等式

()(),,Tx Ty x y ρθρ≤， （1.1.1）

成立，其中θ是满足不等式01θ≤≤的常数，那么T 在X 中存在唯一的不动点，既存在唯一的x X ∈使得T x -

=x -

，x -

可用迭代法求得. 证明：在X 中任意取定一点0x ，并令

10,21x Tx x Tx ==，......1,n n x Tx +=......，由

()()()()12010100,,,,;x x Tx Tx x x x Tx ρρθρθρ=≤= ()()()()223121200,,,,;x x Tx Tx x x x Tx ρρθρθρ=≤=

...............

可证明

()()100,,n n n x x x Tx ρθρ+≤ ()1,2,3.....n =

()()()()1121,,,...,n n p n n n n n p n p x x x x x x x x ρρρρ+++++-+≤+++

()()1100...,n n n p x Tx θθθρ++-≤+++

()

()()000,01,.11n n n

x Tx x Tx θθθρρθ

θ

-=

≤--

由于 01θ≤≤，所以0n

θ→，则{}n x 是X 中的基本点列，由X 的完备性可知{}

n x 收敛于X 中某一点x -

，由（1.1.1）式可知，T 是连续映射，在1,n n x Tx +=中，令n →∞，可得

T x -

=x -

，

因此x -

是T 的一个不动点。

下证唯一性：设另有y -使得y T y --

=，则

,,,,x y T x T y x y ρρθρ---

-

--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭

因为01θ≤≤，所以,0x y ρ--⎛⎫= ⎪⎝⎭

，即x y --

=，唯一性成立。 定理1.1.2：设T ：X X →是X 上的映射，若对于某个自然数k ，k T 有唯一不动点，则T 以同一点作为唯一不动点。【2】

证明：设0x X ∈是k T 的唯一不动点，00k T x x =，则()()000k k Tx T T x T Tx ==，因此0Tx 是k T 的不动点，由唯一性可知00Tx x =，又因为T 的每一个不动点肯定是k T 的不动点，因此T 的不动点是唯一的。 例1.1.1

设(),K s t 是矩形,a s t b ≤≤上的连续函数，(),,sup a s t b

K s t M ≤≤=<∞，对于每个

μ∈Φ有

()()(),,t

a

x t K t dt t μτϕ=+⎰ （1.1.2）

()[],t C a b ϕ∈，求证这个方程在[],C a b 中存在唯一解。

证明：考虑映射[][]:,,T C a b C a b →，

()()()()[],,,t

a

Tx t K t dt t x C a b μτϕ=+∀∈⎰，

则有

()()()()()()(),t

a

Tx t Ty t K t x y d μ

ττττ

-=-⎰

()()sup a t b

M x t y t t a μ≤≤≤--

()()=,M t a x y μρ- （1.1.3）

对此进行归纳，

()()()

()()(),!

n

n

n n n t a T x t T y t M x y n μρ--≤ ()()()()11n n T x t T y t ++-

()()()()()=,t

n n a

K t T x T y d μ

ττττ-⎰

()()1

1

1,!

n

t

n n a M

a d x y n μ

ττρ++≤-⎰ ()()

()

1

1

1=,1!n n n t a M x y n μ

ρ+++-+ （1.1.4）

因此对任意的自然数n,

()()()()(),sup n n n n a t b

T x T y T x t T y t ρ≤≤=-

()

(),!

n n

n M b a x y n μρ-≤

（1.1.5）

当n 足够大时，使

()

1!

n n

n M b a n μ-<，

则n T 是[],C a b 上的压缩映射，由于[],C a b 完备，因此n

T 有唯一的不动点，根据定理1.1.2，T 有同一不动点，是方程的解。

例1.1.2

设T 是压缩映射，求证n T 也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.

证明：（1）因为T 是压缩映射，因此存在存在()0,1γ∈，使得