不动点原理及其应用
不动点原理
不动点原理不动点原理是数学中一个重要的概念，它在函数论、集合论、逻辑学等领域都有广泛的应用。
不动点原理最早由法国数学家布劳尔巴基提出，并在后来的发展中得到了广泛的推广和运用。
不动点原理的核心思想是寻找一个函数的不动点，即满足f(x)=x的点，这个概念在数学中有着重要的意义。
在函数论中，不动点原理被广泛应用于证明存在性定理。
通过构造适当的函数，可以利用不动点原理证明某些方程存在解。
例如，对于连续函数f(x)，如果存在一个点x使得f(x)=x，那么这个点x就是函数f的不动点。
利用不动点原理，可以证明某些非线性方程存在解，这对于解决实际问题具有重要意义。
在集合论中，不动点原理也有着重要的应用。
通过不动点原理，可以证明一些集合的存在性和性质。
例如，对于一个映射T，X→X，如果存在x∈X使得T(x)=x，那么x就是这个映射的不动点。
利用不动点原理，可以证明某些映射的不动点存在性，进而推导出一些集合的性质和结论。
在逻辑学中，不动点原理被用于证明一些命题逻辑和谓词逻辑的性质。
通过构造适当的函数或映射，可以利用不动点原理证明一些逻辑命题的存在性和性质。
例如，对于一个命题逻辑公式φ(x)，如果存在一个变元x使得φ(x)与x等价，那么这个x就是φ(x)的不动点。
利用不动点原理，可以证明一些逻辑命题的存在性和性质，推导出一些逻辑结论。
总之，不动点原理是数学中一个重要的概念，它在函数论、集合论、逻辑学等领域都有着广泛的应用。
通过寻找函数或映射的不动点，可以证明一些方程、集合、逻辑命题的存在性和性质，具有重要的理论和实际意义。
不动点原理的发展和应用，对于推动数学理论的发展和解决实际问题具有重要的意义。
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理是函数分析中的一项基本定理，又称为Banach不动点定理。
该定理是由波兰数学家斯蒂芬·巴拿赫于1922年提出的。
巴拿赫不动点定理可以简单地表述为：在完备度量空间中，连续映射必有不动点。
这个定理的意义在于，对于一些映射或者变换，必然存在一个点不会移动，这个点就被称作“不动点”。
而根据巴拿赫不动点定理，只要一个映射是连续的并且作用于完备度量空间，那么它必然存在不动点。
这个定理有很多应用，下面列举一些常见的：
1.在求解微积分方程、微分方程、积分方程时，巴拿赫不动点定理是很重要的工具。
2.在数值分析中，巴拿赫不动点定理可以用于求解线性方程组、优化问题以及非线性方程组的数值解。
3.在动力学系统中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些系统存在定点。
4.在实际应用中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些算法的收敛性以及求解某些不动点问题。
总之，巴拿赫不动点定理是数学中的一项重要定理，它的实际应用十分广泛。
不动点法原理
不动点法原理不动点法是一种数值计算方法，用于寻找方程$f(x)=x$ 的解，其中 $f(x)$ 是一个给定的函数。
它的原理是通过迭代的方式逼近不动点，即在每一次迭代中，将上一次迭代得到的结果作为输入，通过函数计算得到新的结果，直到满足某个终止条件为止。
具体来说，假设我们要解方程 $f(x)=x$，首先选择一个初始值$x_0$，然后迭代地计算 $x_1=f(x_0), x_2=f(x_1), x_3=f(x_2),\ldots$，直到达到满足终止条件的解。
终止条件可以是两次迭代之间的解的差值小于某个给定的阈值，或者设定一个最大迭代次数。
不动点法的关键是选择一个合适的函数 $f(x)$，使得方程$f(x)=x$ 的解也是 $f(x)$ 的不动点。
这通常可以通过对原方程进行变换得到。
一般来说，选择一个合适的初始值也对迭代的结果产生影响，过大或过小的初始值都可能导致迭代发散或者无法收敛到正确的解。
举个例子来说明不动点法的应用。
假设我们要解方程 $x^2-3x+2=0$，可以将这个方程变形为 $x=g(x)$ 的形式，其中$g(x)$ 是一个适当的函数。
我们可以令 $g(x)=x^2-3x+2$，这样原方程的解也就成了 $g(x)$ 的不动点。
选择一个初始值$x_0=0$，经过迭代计算，我们可以得到 $x_1=g(x_0)=-2,x_2=g(x_1)=0, x_3=g(x_2)=0, \ldots$，当迭代到 $x_2$ 时，解已经收敛，并且满足 $g(x_2)=x_2$，因此 $x_2$ 就是原方程的一个解。
总结来说，不动点法通过迭代计算来逼近方程$f(x)=x$ 的解，关键是选择适当的函数 $f(x)$ 和初始值 $x_0$，从而找到方程的不动点作为解。
不动点定理及应用张石生
不动点定理及应用张石生不动点定理是数学分析中的一个重要定理，也是实分析的基础之一。
它是通过将函数与自身的某个值进行比较，来研究函数性质的一个方法。
在实际问题中，不动点定理具有广泛的应用，如经济学、物理学、计算机科学等领域。
不动点定理的基本概念是，对于一个给定的函数f(x)，如果存在一个点c使得f(c)=c，那么c就是f的一个不动点。
换句话说，不动点是指函数f的输入和输出相等的点。
不动点定理的核心思想是通过迭代法逼近不动点。
最著名的不动点定理是B a n a c h不动点定理（也称为完备性原理），它的形式是：在完备度量空间中，任何一个压缩映射都有唯一的不动点。
其中，完备度量空间指的是一个具有一个完整的度量的空间，而压缩映射指的是一个将空间元素映射到自身并保持距离不变的映射。
不动点定理的应用非常广泛。
以下列举一些典型的应用领域。
1.经济学：在经济学中，不动点定理常常用于证明经济学模型中的均衡存在和稳定性。
例如，通过将供求函数模型转化为一个演化方程，可以证明在某些条件下存在一个不动点，表示市场均衡；而通过分析不动点的稳定性，可以研究市场的长期发展趋势。
2.物理学：在物理学中，不动点定理常用于分析非线性方程的解的存在性与性质。
例如，在动力系统的研究中，可以将动力学方程表示为一个不动点问题，通过分析不动点的性质来研究系统的稳定性和演化行为。
3.计算机科学：在计算机科学中，不动点定理常常用于程序的求解和优化。
例如，在编译器优化中，可以将程序转化为一个抽象语法树，通过对抽象语法树的变换来求解程序的不动点，以达到提高程序性能的目的。
4.几何学：在几何学中，不动点定理常用于证明几何变换的存在性和特性。
例如，在拓扑学中，可以通过不动点定理来研究拓扑空间的连续映射和同胚映射的性质。
综上所述，不动点定理是数学分析中的一个重要定理，它通过引入不动点的概念，研究函数的性质和方程的解的存在性。
在实际应用中，不动点定理被广泛用于经济学、物理学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
不动点收敛定理
不动点收敛定理引言：在数学中，不动点收敛定理是一种重要的收敛性证明方法，它在多个领域有着广泛的应用。
不动点收敛定理指出，对于某种函数或操作，如果存在一个不动点，即函数或操作的输出与输入相等的点，那么通过迭代运算，可以将输入逐步靠近不动点，从而实现收敛。
本文将介绍不动点收敛定理的基本概念、原理以及应用。
一、不动点的定义：在函数论中，给定一个函数 f(x)，如果存在一个实数 a，使得 f(a) = a，那么 a 就是函数 f(x) 的不动点。
不动点可以看作是函数f(x) 的输入与输出相等的点，即满足 f(a) = a 的点。
二、不动点收敛定理：不动点收敛定理是指，如果一个函数 f(x) 在某个区间上连续且导数存在，且在该区间上 f'(x) 的绝对值小于 1，那么通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，其中 x_0 是初始值，可以将 x_n 逐步靠近不动点 a。
定理的证明如下：假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且导数存在，且在该区间上f'(x) 的绝对值小于 1。
我们设 x_0 是初始值，通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，我们希望证明 x_n 逐步靠近不动点 a。
根据函数的导数存在性，我们可以使用拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，存在一个点c，使得f(c) - f(x_0) = f'(c)(x_0 - c)。
由于 f'(x) 的绝对值小于 1，所以 |f'(c)| < 1，从而我们可以得到 |f(c) - f(x_0)| < |x_0 - c|。
接下来，我们将证明在每一步迭代中，x_n 与不动点 a 的差值不断减小。
假设在第 n 步迭代后，x_n 与不动点 a 的差值为 d_n = x_n - a，那么根据迭代运算有 x_{n+1} = f(x_n)。
我们可以将x_{n+1} 和 a 分别表示为 x_{n+1} = a + d_{n+1} 和 a + d_n，其中 d_{n+1} = x_{n+1} - a。
泛函分析中的不动点定理及应用
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的空间以及变换等概念。
在泛函分析中，不动点定理是一项极为重要的结果，它在许多领域都具有广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、证明以及在泛函分析中的应用实例。
一、不动点定理概述不动点定理是泛函分析的基础定理之一，它指出在一定条件下，对于某个变换，总存在至少一个点在变换之后保持不变。
换句话说，就是存在一个点，该点在经过变换后仍然等于它自身。
不动点定理有多种形式，其中最著名的定理之一是巴拿赫不动点定理(Banach Fixed-Point Theorem)，该定理也被称为压缩映像原理(Contraction Mapping Principle)。
二、巴拿赫不动点定理及其证明巴拿赫不动点定理是泛函分析中最为经典的不动点定理之一，它具体表述为：若给定一个完备的度量空间，并且在该度量空间上定义了一个压缩映像，那么该压缩映像至少存在一个不动点。
压缩映像的定义如下：对于给定的度量空间(X, d)，若存在一个常数0 < k < 1，对于任意的 x, y ∈ X，满足d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y)，则称映像 f 是一个压缩映像。
巴拿赫不动点定理的证明基于完备性和收敛性的概念。
具体的证明过程略显复杂，在此不展开叙述，但是通过巴拿赫不动点定理的证明，我们可以得出一个重要结论：在完备的度量空间上，压缩映像的不动点是唯一的。
三、不动点定理的应用实例不动点定理在许多领域中都有着广泛的应用，以下是其中两个典型的应用实例：1. 应用于微分方程不动点定理在微分方程的研究中扮演着重要角色。
许多微分方程可以转化为积分方程，然后利用不动点定理证明解的存在性和唯一性。
例如，在实数轴上关于初始值问题的微分方程中，可以通过构造合适的算子和空间，将微分方程转化为一个算子方程，然后运用不动点定理证明方程存在解。
2. 应用于经济学模型在经济学领域中，不动点定理也有着广泛的应用。
不动点的性质与应用
不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点121、- 二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若为函数)(x f y =的不动点，则必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢答：当然有 例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(2242422=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121=-=x x⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x ⇒另外两解4514,3±-=x ， 故函数12)(2-=x x g 的稳定点是1、21-、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）ο1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即00)(x x f =000)())((x x f x f f ==⇒，故也是函数)(x f y =的稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况； 综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．（2）ο1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.121例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。
不动点理论及其应用
不动点理论及其应用主要内容：●不动点理论—压缩映像原理●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录：一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、 引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。
这个重合点就是一个不动点。
函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。
二、 压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。
定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。
X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ， 满足下面三个条件：（1）。
0),(≥y x ρ， 而且0),(=y x ρ， 当且仅当 y x =； （2）。
),(),(x y y x ρρ=；（3）。
),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤， （X ,,∈∀z y x ）。
这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。
定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。
定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<<a ， 使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。
三、 在微分方程中的应用定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==.00)(),,(y x y y x f dx dy假设 ),(y x f 在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00内连续，而且对 y 满足Lipschitz 条件，则上述问题在区间],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解，其中.|),(|max },,min{),(y x f M Maa h R y x ∈>=（1）。
不动点法求递推数列通项的高等数学背景原理及运用
不动点法求递推数列通项的高等数学背景原理及运用不动点法是一种通过寻找函数的不动点来求解方程或确定函数的性质的数学方法。
在代数方程的求解中，不动点法常常用于找到方程的解，而在递推数列的通项求解中，不动点法则用于确定递推函数的不动点，进而求得通项公式。
在递推数列中，我们常常需要求解一个递推关系式，例如：\[a_{n+1}=f(a_n)\]其中\(a_1\)为初始值，\(f(x)\)为一个给定的函数。
不动点法的思路是，我们假设递推数列的极限值为不动点\(x^*\)，即\(x^*=f(x^*)\)，然后通过构造递推数列来逼近该不动点。
当递推数列的极限等于该不动点时，即可得到通项公式。
为了使用不动点法求解递推数列的通项，以下是一些关键的数学背景原理及运用：1.不动点定理：不动点定理是不动点法的基础原理，它表述了对于一个连续函数\(f(x)\)，如果存在一个数\(x^*\)使得\(f(x^*)=x^*\)，则称\(x^*\)为\(f(x)\)的不动点。
根据不动点定理，如果\(f(x)\)在一个区间上连续可导，且在该区间上的导数绝对值小于1，则必然存在一个不动点\(x^*\)。
基于这个定理，我们可以使用不动点法来求解递推数列的通项。
2.递推数列的不动点：对于递推数列问题，我们需要先确定函数\(f(x)\)的形式，并通过求解\(f(x)=x\)的根来找到不动点。
这个根所对应的值就是递推数列的极限，即通项。
通过这个不动点，我们可以得到递推数列的通项公式。
3.迭代方法：在实际运用不动点法求解递推数列时，由于不能直接得到不动点的值，我们通常使用迭代方法来逼近不动点。
迭代法的基本思路是从初始值开始，通过逐次迭代运算来逼近不动点。
通过对迭代公式的选择和精确度控制，我们可以获得递推数列的极限值，并从中推导出通项。
具体地，运用不动点法求解递推数列的步骤如下：步骤1：确定递推关系式\(a_{n+1}=f(a_n)\)，并选择初始值\(a_1\)。
数学中不动点理论及其应用分析
数学中不动点理论及其应用分析不动点理论是数学中一个重要的概念和工具，被广泛应用于不同的学科和领域，例如动力系统、函数方程、微分方程、经济学等。
本文将对不动点理论进行详细分析，并探讨其在数学中的应用。
不动点是指一个函数中的某个点，在施加函数变换后，其值保持不变。
即对于函数f(x)，若存在x使得f(x) = x，则x即为f的不动点。
不动点理论主要关注寻找函数的不动点，并研究其性质和存在条件。
在数学分析中，不动点理论由Banach不动点定理和Brouwer不动点定理两大支柱构成。
Banach不动点定理也被称为压缩映射原理，它是20世纪最重要的数学发现之一，为数学中不动点理论的研究奠定了基础。
Banach不动点定理的核心思想是基于完备度的概念。
如果在某个度量空间中，存在一个压缩映射，即满足d(f(x), f(y)) ≤ q · d(x, y)(0＜q＜1)，其中d(x, y)代表x和y之间的距离，则这个压缩映射必有一个不动点。
换句话说，如果将一个空间的点映射到自身，并且映射过程中距离会不断缩小，那么必然存在一个点保持不变，这个点即为不动点。
Brouwer不动点定理则更加普遍，它适用于拓扑空间中的紧集合。
该定理表明，任何连续映射都至少有一个不动点。
虽然定理的证明相对复杂，但其结论确实深刻而重要。
不动点理论在数学的各个领域都有广泛的应用。
其中，动力系统是其中之一。
动力系统研究的是在时间推移下，系统如何演化的数学模型。
通过不动点理论，我们可以确定系统演化的稳定状态，即系统的不动点。
不动点的稳定性分析在动力系统研究中起着至关重要的作用。
不动点理论还被应用于函数方程和微分方程的研究。
对于给定的方程，通过找到方程的不动点，可以解决方程的存在性及唯一性问题。
这对于数学建模和分析具有重要意义。
此外，不动点理论还在经济学、物理学等学科中有广泛的应用。
在经济学中，通过构建经济模型的不动点，可以研究经济系统的平衡状态和稳定性。
不动点法原理
不动点法原理
不动点法是一种数值解法，用于求解非线性方程的近似根。
其原理是通过迭代逼近，寻找一个函数的不动点，即函数自身与迭代函数相等的点。
考虑一个非线性方程f(x) = 0，不动点法的目标是找到一个函
数g(x)，其中x是方程的根，使得g(x) = x。
通过将方程f(x) = 0转化为x = g(x)，我们可以尝试使用迭代方法来求解根的近似值。
具体而言，我们从一个初始值x_0开始，通过不断迭代计算 x_n+1 = g(x_n)，直到找到满足|g(x_n+1) -
x_n+1| < ε的近似根，其中ε是预设的误差容限。
迭代函数g(x)的选择对于不动点法的收敛性至关重要。
为了确保收敛性，g(x)必须满足Lipschitz条件，即存在一个常数L，
使得对于任意的x和y，有|g(x) - g(y)| ≤ L|x - y|。
这意味着函
数g(x)的斜率不能太大，以保证迭代过程不会发散。
不动点法的收敛性可由不动点定理来保证。
根据不动点定理，如果g(x)在某个区间[a, b]上满足Lipschitz条件，并且|x - g(x)| ≤ k < 1对于该区间上的所有x都成立，那么不动点法将以任
何初始值x_0属于[a, b]为近似根的初始值而收敛。
不动点法的优点是简单易实现，但其收敛速度较慢，需要选择合适的迭代函数和初始值，以及控制误差容限。
此外，不动点法在某些情况下可能发散或者陷入周期性振荡，因此需要对问题进行仔细分析和调试。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用1 引言大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述．2 背景介绍把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理．3 基本的定义及定理定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件：①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ； ②对称性：),(y x ρ=),(x y ρ；③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素． 则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ．注 距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ容易看到①、②、③都满足．定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则称X 为完备的距离空间．定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式),(),(y x a y x ρρ≤T T （1）成立，则称T 是压缩映射．压缩映射必是连续映射，因为当x x n →时，有0),(),(→≤x x a Tx Tx n n ρρ．例 设[]10，X =，Tx 是[]10，上的一个可微函数，满足条件：()[][]()1,01,0∈∀∈x x T ，以及 ()[]()1,01∈∀<≤'x a x T ，则映射X X T →:是一个压缩映射．证()()[]()()y x a y x a y x y x T Ty Tx Ty Tx ,1,ρθθρ=-≤--+'=-=()10,,<<X ∈∀θy x ，得证．定义4 设X 为一集合，X X T →:为X 到自身的映射（称为自映射），如果存在,0X x ∈使得00x Tx =，则称0x 为映射T 的一个不动点．例如平面上的旋转有一个不动点，即其旋转中心，空间中绕一轴的旋转则有无穷多个不动点，即其旋转轴上的点均是不动点，而平移映射a x Tx +=没有不动点．如果要解方程(),0=x f 其中f 为线性空间X 到自身的映射（一般为非线性的），令,I f T +=其中I 为恒等映射：,x Ix =则方程()0=x f 的解恰好是映射T 的一个不动点．因此可以把解方程的问题转化为求不动点的问题．下面就来介绍关于不动点的定理中最简单而又应用广泛的压缩映射原理：定理1[3](P36) 设X 是完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点． 证 任取,0X x ∈并令ΛΛ,,,,11201n n Tx x Tx x Tx x ===+ （2）下证()2的迭代序列是收敛的，因T 是压缩映射，所以存在,10<≤a 使得()()y x a Ty Tx ,,ρρ≤，因此 ()()()();,,,,00101021Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=()()()();,,,,002212132Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=…………一般地，可以证明()()()();,,,,00111Tx x a x x a Tx Tx x x nn n n n n n ρρρρ≤≤≤=--+Λ于是对任意自然数p n ,，有()()()+++≤++++Λ211,,,n n n n p n n x x x x x x ρρρ()p n p n x x +-+,1ρ≤()0011,)(Tx x a a a p n n n ρ-++++Λ()()()0000,1,11Tx x aa Tx x a a a n p n ρρ-≤--= （3）由于10<≤a ，因此，当n 充分大时，(),,ερ<+p n n x x 故}{n x 是X 中的基本点列，而X 是完备的，所以存在_0_0,x x X x n →∈使得成立．再证_0x 是T 的不动点．易证，若T 是压缩映射，则T 是连续映射，而,lim _0x x n n =∞→因此,lim _0x T Tx n n =∞→所以_0_0_0,x x x T 即=是T 的一个不动点．最后，我们证明不动点的唯一性，若存在X x ∈*，使得,**x Tx =则,,,,*_0*_0*_0⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x a Tx x T x x ρρρ 而_0*_0*,0,,1x x x x a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛<即所以ρ．证毕．注 （i ）由（2）定义的序列收敛，且收敛到T 的唯一不动点，且迭代与初始值0x 的取法无关．（ii ）误差估计式 方程x Tx =的不动点*x 在大多数情况下不易求得，用迭代程序,1n n Tx x =+即得到不动点*x 的近似解，在（3）式中令()()00*,1,,Tx x aa x x p nn ρρ-≤∞→得 （4） 此即误差的先验估计，它指出近似解n x 与精确解*x 之间的误差．如果事先要求精确度为(),,*ερ≤x x n 则由()ερ≤-00,1x Tx aa n，可计算出选代次数n ，在（4）式中取01,1Tx x n ==代入得()()0*0,1,x Tx aa xTx ρρ-≤．上式对任意初始值均成立，取10-=n x x ，即得()()1*,1,--≤n n n x x aax x ρρ， 此式称为后验估计，可从n x 与其前一步迭代结果1-n x 的距离来估计近似解与精确解*x 之间的误差．所以，压缩映射原理，不仅给出了不动点的存在性，而且给出求解方法，同时还指明了收敛速度及误差．（iii ）a 值越小迭代收敛的速度越快．（iv ）在T 满足()()()y x y x Ty Tx ≠<,,ρρ （5） 的条件下，T 在X 上不一定存在不动点．如令[)[)()+∞∈++=+∞=,011,,0x xx Tx X ，我们容易证明对一切[)y x y x ≠+∞∈,,0,时，有()()[)∞+<，但0,,,T y x Ty Tx ρρ中没有不动点．又如，若令x arctgx Tx R X +-==2π，，则T 满足条件（5），因任取,,,y x R y x ≠∈则由中值公式()()y x T y x Ty Tx ,,'在ξξ-=-之间，由于()，故得11'22<+=ξξξT ()()y x Ty Tx y x Ty Tx ,,,ρρ<-<-即， Tx 但没有不动点，因任何一个使x Tx =的x 须满足,2π=arctgx 在R 内这样的x 不存在．（v ）压缩映射的完备性不能少． 如设(]1,0=X ，定义T 如下：2xTx =，则T 是压缩映射，但T 没有不动点．这是由于(]1,0空间的不完备性导致的．（vi ）压缩映射条件是充分非必要条件． 如()[]b a x f ,映为自身，且 ()()y x y f x f -≤- ， （6）任取[],,1b a x ∈令()[]n n n x f x x +=+211 ， （7） 该数列有极限**,x x 满足方程()**xxf =，但由（6），（7）可得11-+-≤-n n n n x x a x x ，相当于,1=a 不是10<<a ，即不满足压缩映射的条件．定理 1从应用观点上看还有一个缺点，因为映射T 常常不是定义在整个空间X 上的，而仅定义在X 的子集E 上，而其像可能不在E ，因此要对初值加以限制，有以下结果：定理2 [4]（P193-194）设T 在Banach 空间的闭球()(){}r x x X x r x B B ≤∈==00_,:,ρ上有定义，在X 中取值，即T ：()X r x B →,0_又设[),1,0∈∃a 使得()()(),,,,,0_y x a Ty Tx r x B y x ρρ≤∈∀有()(),1,00r a Tx x -≤ρ且则迭代序列（2）收敛于T 在B 中的唯一不动点．证 只需证明(),,B x B B T ∈∀⊂ ()Tx x ,0ρ()()Tx Tx Tx x ,,000ρρ+≤()r a -≤1()x x a ,0ρ+()r ar r a =+-≤1，因此()B ，B T B Tx ⊂∈所以,由定理1B 在知T 中有唯一的不动点，证毕．有时T 不是压缩映射，但T 的n 次复合映射nT 是压缩映射，为了讨论更多方程解的存在性、唯一性问题，又对定理1进行了推广．定理3[5]（P21）设T 是由完备距离空间X 到自身的映射，如果存在常数10,<≤a a 以及自然0n ，使得()()()X y x y x y T x Tn n ∈≤,,,00ρρ， （8）那么T 在X 中存在唯一的不动点．证 由不等式（8），0n T 满足定理1的条件，故0n T存在唯一的不动点，我们证明0x 也是映射T唯一的不动点．其实，由()()()000100Tx x T T x T Tx Tnn n ===+，可知0Tx 是映射0n T 的不动点．由0n T 不动点的唯一性，可得00x Tx =，故0x 是映射T 的不动点，若T 另有不动点1x ，则由,1111100x Tx Tx T x T n n ====-Λ可知1x 也是0n T 的不动点，再由0n T 的不动点的之唯一性，得到,01x x =证毕．4 不动点定理的应用4.1 不动点定理在数学分析中的应用该定理在数学分析中主要用于证明数列的收敛性、方程解的存在性和唯一性及求数列极限． 定理4.1.1 ① 对任一数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得10,,11<<-≤-∈∀-+r x x r x x N n n n n n 恒有 ()A ，则数列{}n x 收敛．② 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：()n n x f x =+1 (),,2,1Λ=n 其中f 为某一可微函数，且()()(),1',B R x r x f R r ∈∀<≤∈∃使得则{}n x 收敛．证 ①此时rr x x r r r x x x x rx xx x np n n pn n k k pn n k k kn p n --≤---=-≤-≤-+++=-++=-+∑∑11.0101011111应用Cauchy 准则，知{}n x 收敛，或利用D ，Alenber 判别法，可知级数()1--∑n n x x 绝对收敛，从而数列()()ΛΛ,2,1011=+-=∑=-n x x xx nk k kn 收敛．② 若()B 式成立，利用微分中值定理：()()()()Λ,3,2,1111=-≤-'≤-=----+n x x r x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ即此时()A 式亦成立，故由①知{}n x 收敛．注 若()B 式只在某区间I 上成立，则必须验证，{}n x 是否保持在区间I 中．例1 设数列{}n x 满足压缩性条件，,,3,2,10,11Λ=<<-≤--+n k x x k x x n n n n 则{}n x 收敛． 证 只要证明{}n x 是基本点列即可，首先对一切n ，我们有11-+-≤-n n n n x x k x x ,121212x x k x x k n n n -<<-<---Λn m >设，则 n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211Λ123122x x k x x k m m -+-<--121x x k n -++-Λ()01121∞→→--<-n x x kk n ，证毕．注 该题体现了不动点定理证明数列的收敛性．例2 证明若()x f 在区间[]r a r a I +-≡,上可微，()1<≤'αx f ，且()()r a a f α-≤-1 , （9）任取()()(),,,,,,112010ΛΛ-===∈n n x f x x f x x f x I x 令则**,lim x x x n n =∞-为方程()x f x =的根（即*x 为f 的不动点）证 已知I x ∈0，今设I x n ∈，则()()()a a f a f x f a x n n -+-=-+1()()a a f a x f n -+-'≤ξ ()之间与在a x n ξ[由（9）](),1r r r =-+≤ααI x n ∈+1即这就证明了：一切I x n ∈应用微分中值定理，1,+∃n n x x 在ξ之间（从而I ∈ξ）()()()()111--+-'=-=-n n n n n n x x f x f x f x x ξ 1--≤n n x x α ()10<<α，这表明()1-=n n x f x 是压缩映射，所以{}n x 收敛．因f 连续，在()1-=n n x f x 里取极限知{}n x 的极限为()x f x =的根． 注 该题体现了不动点定理证明方程解的存在性． 例 3 ()x f 满足()()(),10<<-≤-k y x k y f x f (),,10n n x f x R x =∈∀+令取则{}n x 收敛，且此极限为方程()x x f =的唯一解．证 ① 因为()()01212111x x k x x k x x k x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=-----+Λ所以 n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x -++-+-≤-+-+-+-+++1211Λ()01121x x k k k k n n p n p n -++++≤+-+-+Λ()10101<<--<k x x kk n因为01lim01=--∞→x x k k n n ，所以εε<--<->∀∀∃>∀+011,,,,0x x kk x x N n p N nn p n 有，由Cauchy 准则，知{}n x 收敛．② 设,lim *x x n n =∞→已知()n n x f x =+1，所以()()**lim x f f x f x n n 连续∞→=，所以()x f x x =是*的解．若另有解*y 是()x f x =的解，即()**yf y =，而()()()10******<<-≤-=-k x y k x f y f x y ．所以**x y =，所以()x f x x =是*的唯一解．注 该题既体现了不动点定理证明数列的收敛性又体现了方程解的存在唯一性．定理4.1.2 已知数列{}n x 在区间I 上由()()Λ,2,11==+n x f x n n 给出，f 是I 上连续函数，若f 在I 上有不动点()()***xf x x =即满足()()()()*0*111≥--x x x f x，则此时数列{}n x 必收敛，且极限A 满足()A f A =,若()*式"""">≥改为对任意I ∈1x 成立，则意味着*x 是唯一不动点，并且,*x A =特别，若f 可导，且()(),10I x x f ∈<'<当则f 严增，且不等式()()""""*>≥可该为会自动满足()I x ∈∀1，这时f 的不动点存在必唯一从而*x A =，证 （分三种情况进行讨论）：① 若*1x x >，则()()**12x x f x f x =≥=，一般地，若已证到*x x n ≥，则()()**1x x f x f x n n =≥=+．根据数学归纳法，这就证明了，一切*:x x n n ≥（即*x 是n x 之下界）另一方面，由()*式条件，已有()112x x f x ≤=，由f 单调增，知()()2123x x f x f x =≤=，…．一般地若已证到1-≤n n x x ，由f 单调增，知()()n n n n x x f x f x =≤=-+11，这就证明了n x 单调减，再由单调有界原理，知{}n x 收敛．在()n n x f x =+1里取极限，因()x f 连续，可知{}n x 的极限A 适合方程()A f A =． ② *1x x <的情况，类似可证．③ *1x x =若，则一切n ，*x x n =结论自明．最后，假若()(),10I x x f ∈∀<'<由压缩映射原理可知{}n x 收敛．事实上，这时也不难验证()*条件成立，如：对函数()()x f x x F -≡应用微分中值定理，（注意到()()0,0*>'=x F x F ），知*x在ξ∃与x 之间，使得()()()()()()(),***x x F x x F xF x F x f x -'=-'+=≡-ξξ可见()()(),0*>--xx x f x 即条件()*严格成立，故*lim x xnn =∞→．例4 设()nn n x c x c x x ++=>+1,011（1>c 为常数），求n n x ∞→lim ．解 法一（利用压缩映射）因0>n x ，且0>x 时，0))(()1()1()('2'>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x f c c x c x c x f x ，又由1>c 知111)1()()1()('022<-=-≤+-=<c c c c x c c c x f )0(>∀x ，故)(1n n x f x =+为压缩映射，{}n x 收敛，在nn n x c x c x ++=+)1(1中取极限，可得c x n n =∞→lim ．法二（利用不动点）显然一切0>n x ，令()()x xc x c x f =++=1，知不动点c x =*，而f 单调增加且0)()()()1(22>-++=-+---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-c x x c c x c x x c cx c x cx c x x c x c x ．表明()()()0*111≥--xx x f x 成立，根据不动点方法原理c xnn =∞→lim ．注 该题体现了不动点定理用于求数列极限．定理4.1.3 （不动点方法的推广）设),(y x f z =为二元函数，我们约定，将),(x x f z =的不动点，称为f 的不动点（或二元不动点），已知),(y x f z =为0,0>>y x 上定义的正连续函数，z 分别对x ，对y 单调递增，假若：（1）存在点b 是),(x x f 的不动点；（2）当且仅当b x >时有()x x f x ,>，令()()()()()ΛΛ,4,3,,0,,,21121==>==--n a a f a a a a f a a a f a n n n ， （10）则{}n a 单调有界有极限，且其极限A 是f 的不动点．证 只需证明{}n a 收敛，因为这样就可在（10）式中取极限，知A 是f 的不动点，下面分两种情况进行讨论：① 若1a a ≤，由f 对x ，对y 的单增性知112),(),(a a a f a a f a =≥=，进而2111123),(),(),(a a a f a a f a a f a =≥≥=，类似：若已推得121,---≥≥n n n n a a a a ，则),4,3(),(),(2111Λ==≥=---+n a a a f a a f a n n n n n n ，如此得{}n a 单调递增．又因a a a f a ≥=),(1，按已知条件这时只能b a ≤（否则b a >按已知条件（2），应有1),(a a a f a =>，产生矛盾），进而),(),(,),(),(121a b f a a f a b b b f a a f a ≤==≤= Λ,),(b b b f =≤，用数学归纳法可得一切b a n ≤，总之n a 单调递增有上界，故{}n a 收敛． ② 若a a ≤1，类似可证{}n a 单调递减有下界b ，故{}n a 收敛．注 按b 的条件可知b 是f 的最大不动点，b x >时不可能再有不动点，情况②时极限b A ≥是不动点，表明此时b A =．例5 若ΛΛ,)(,,)(,)(,031312131311231311--+=+=+=>n n n a a a a a a a a a a ，试证 （1）数列{}n a 为单调有界数列；（2）数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根．证 （利用定理 4.1.3）设3131)(),(y x y x f z +==，显然f 当0,0>>y x 是正值连续函数，对y x ,单增，只需证明 ①b ∃使得),(b b f b =；②),(x x f x >当且仅当b x >① 注意到 f 的不动点，亦即是方程0313=--x x x 的根，分析函数313)(x x x x g --=，因0926)(",3113)('35322>+=--=xx x g xx x g （0>x 时），0)1(',)00('>-∞=+g g ，可知g 在（0，1）内有唯一极小点c x c >,时g x g ,0)('>严增，0)2(,0)1(><g g ，故g 在（0，1）内有唯一零点b （即f 的不动点）．② b x >时0)()(=>b g x g ，即),(x x f x >；事实上，在0>x 的范围也只有在b x >时才有),(x x f x >，因为0)(,0)0(==b g g ，在),0(c 上)(x g 严减，),(b c 上)(x g 严增，所以),0(b 上0)(<x g ，即),(x x f x <．证毕．4．2 不动点定理在积分方程中的应用该定理在积分方程用于证明方程解的存在性、唯一性及连续性． 例6 第二类Fredholm 积分方程的解，设有线性积分方程τττμϕd x t k t t x b a )(),()()(⎰+=，（11）其中[]b a L ,2∈ϕ为一给定的函数，λ为参数，),(τt k 是定义在矩形区域b a b t a ≤≤≤≤τ,内的可测函数，满足+∞<⎰⎰ττdtd t k ba b a 2),(．那么当参数λ的绝对值充分小时，方程（11）有唯一的解[]b a L x ,2∈．证 令τττμϕd x t k t t Tx ba )(),()()(⎰+=．由 []d t d x d t k d x t k ba b a b a ba b a τττττττ222)(),()(),(⎰⎰⎰≤⎰⎰ττττd x dt d t k ba ba b a 22)(),(⎰⎰⎰=及T 的定义可知，T 是由[]b a L ,2到其自身的映射，取μ充分小，使[]1),(2/12<⎰⎰=dtd t k a ba b a ττμ，于是 2/12))()()(,(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰=dt ds s y s x t k Ty Tx b a b a τμρ()()2/122/12)()(),(ds s y s x dtd t k b a b ab a -⎰⎰⎰≤ττμ()),(),(2/12y x dtd t k b a b aρττμ⎰⎰=),(y x a ρ=故T 为压缩映射，由定理1可知，方程（11）在[]b a L ,2内存在唯一的解． 注 该题体现了不动点定理证明第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性．例7 设),(τt k 是定义在三角形区域t a b t a ≤≤≤≤τ,上的连续函数，则沃尔泰拉积分方程)()(),()(t d x t k t x t a ϕτττμ+⎰= （12）对任何[]b a C ,∈ϕ以及任何常数μ存在唯一的解[]b a C x ,0∈．证 作[]b a C ,到自身的映射()()()()(),,:t f d x t k t Tx T ta+=⎰τττμ则对任意的[],,,21b a C x x ∈有 ()()()()()()()[]⎰-=-tad x x t k t Tx t Tx ττττμ2121,()()()t x t x a t M bt a 21max --≤≤≤μ()(),,21x x a t M ρμ-=其中M 表示),(τt k 在t a b t a ≤≤≤≤τ,上的最大值，ρ表示[]b a C ,中的距离，今用归纳法证明),()!/)(()()(21221x x n a t M t x T t x T nnnnρλ-≤- （13）当1=n 时，不等式（13）已经证明，现设当k n =时，不等式（13）成立，则当1+=k n 时，有[]ττττμd x T x T t k t x T t x T k k t a k k )()(),()()(212111-⎰=-++[]),()(!/2111x x ds a s k M k t a k k ρμ-⎰≤++[]),()!1/()(21111x x k a t M k k k ρμ+-=+++，故不等式（13）对1+=k n 也成立，从而对一切自然数n 成立．由（13）()!/)()()(m ax ),(2121n a b M t x T t x T x T x T n n nn n bt a n n -≤-=≤≤μρ ),(21x x ρ对任何给定的参数μ，总可以选取足够大的n ，使得1!/)(<-n a b M n n nμ，因此n T 满足定理3的条件，故方程在[]b a C ,中存在唯一的解．注 该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在三角形区域上解的存在唯一性． 例8 设),(τt k 是[][]b a b a ,,⨯上的连续函数，()[]b a C t f ,∈，λ是参数，方程)()(),()(t f d x t k t x b a +⎰=τττλ， （14）当λ充分小时对每一个取定的)(t f 有唯一解．证 在[]b a C ,内规定距离)()(max ),(t y t x y x bt a -=≤≤ρ．考虑映射())(),())((t f d x t k t Tx b a +⎰=τττλ （15） 当λ充分小时T 是[][]b a C b a C ,,→的压缩映射．因为()()()()()()()()()⎰-=-=≤≤≤≤ba bt a bt a d y x t k t Ty t Tx Ty Tx ττττλρ,max max ,τττλd t y x t k b a bt a )()(),(max -⋅⎰⋅≤≤≤),(y x M ρλ⋅≤此处ττd t k M ba bt a ),(max ⎰=≤≤．故当λ1<M 时，T 是压缩映射，此时根据定理1，方程对任一[]b a C t f ,)(∈解存在唯一，任取初始值逼近，令()()()()t f d x t k t x b a+=⎰τττλ01,，则),(1)*,(01x x MM x x nnn ρλλρ⋅-≤，)(t x n 是第n 次的近似，)(*t x 是精确解．注 该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在矩形区域上解的存在唯一性．例9 设[]1,0C f ∈，求出积分方程ds s x t f t x to )()()(⎰+=λ []()1,0∈t 的连续解．解 法一 据例7方程对一切λ存在唯一解[]1,0)(∈t x ，改写方程))(()(),()()(10t kx ds s x s t k t f t x =⎰+=λ，其中⎩⎨⎧≥<=.,1,,0),(s t s t s t k 由逐次逼近法，取0)(0=t x ，得002201,,,x k x x k x kx x nn ===Λ，则)(lim )(t x t x n n ∞→=在[]1,0C 中收敛，即为原方程之解，容易看出,,)(),()()(),()(1021Λds s f s t k t f t x t f t x ⎰+==λ)(1t x n +()()()∑⎰=+=nk k k ds s f s t k t f 11,λ，其中),,(),(1s t k s t k =du s u k u t k s t k n t n ),(),(),(10-⎰= )2(≥n ，从而 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=-,,)()!1(10),(1s t s t n s t s t k n n ()()()()()()()ds s f n s t s t s t t f t x tn n n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-++=--+011221!1!21λλλλΛ， 故.)()()(lim )()(01ds s f et f t x t x s t t n n -+∞→⎰+==λλ法二 令ds s x t y t)()(0⎰=，则)()('t x t y =，如果)(t x 满足原方程，则)(t y 必满足方程⎩⎨⎧=+=0)0()()()('y t y t f t y λ （16） 易知方程（16）的解为 ds s f e t y s t t )()()(0-⎰=λ再令 ()()()()()()⎰-+=+=ts t ds s f et f t y t f t x 0λλλ （17）下面证明)(t x 为原方程之解，事实上，因为()t y 满足（16），则)()()()('t x t y t f t y =+=λ 所以ds s x t y t )()(0⎰=，由（17）知ds s x t f t x t )()()(0⎰+=λ，故ds s f e t f t x s t t )()()()(0-⎰+=λλ为原方程的连续解．4.3 不动点定理在线性代数方程组中的应用该定理在线性代数方程组用于证明方程解的存在性、唯一性． 例10 设有线性方程组()n i b x ax i nj j iji ,2,11Λ==-∑=， (18)如对每个1,1<≤∑=a ai nj ij(19)则该方程组有唯一解．证 在空间n R 中定义距离()i i ni y x y x -=≤≤11max ,ρ (其中i x 与i y 分别是x 与y 的第i 分量)，则n R 按照1ρ是一个距离空间，且是完备的．在这个空间中，定义Tx y R R T nn =→,:由下式确定()∑==+=nj i j iji n i b x ay 1,,2,1Λ ，如令 ()()()()2211,y Tx y Tx==，则有()()()()()()()()()()()21112112121max max ,,j j nj ij ni iini x x a y yyyTxTx -=-==∑=≤≤≤≤ρρ()()2111max jj nj ij ni x x a -≤∑=≤≤()()∑-≤=≤≤≤≤nj ij n i j j nj a x x 11211max max由条件（19）可得()()()()()()2121,,x x a TxTx ρρ≤，即T 是压缩映射，从而它有唯一的不动点，即方程有唯一解且可用迭代法求得．上述结果可用于方程组(),,,,,21n n R x x x x b Ax ∈==Λ()()'21,,,n nn ijb b b b a A Λ==⨯ （20） 可知，当n i a aii nji j ij,2,1,,1Λ=<∑≠=时（19）存在唯一的解x ，且用如下的Jacobi 法求出x ，将（20）改写成 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----=+--+-=+---=nn n n nn n nn n nnn n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a ξξξξξξξξξξξξ000221122222221222121111112111211ΛΛΛΛΛΛΛ记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=nn n nnn nnn n n a b ab a b b a a a a a a aa a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ2221112122222211111112000 即为b x A x +=，任取()()()(),,,,002010nnRx ∈'=ξξξΛ用迭代法，令n n b x A x n n ,,2,1,1Λ=+=-，则x x n n =∞→lim ．4.4 不动点定理在微分方程中的应用该定理在微分方程用于证明方程解的存在性、唯一性． 例11 考察微分方程()y x f dxdy,=，00y y x =， （21）其中()y x f ,在整个平面上连续，此外还设()y x f ,关于y 满足利普希茨（R ．Lipschtz ）条件：()(),,,,,,2'''R y y x y y k y x f y x f ∈-≤-其中0>k 为常数，那么通过点()00,y x ，微分方程（21）有一条且只有一条积分曲线． 证 微分方程（21）加上初值条件00y yx =，等价于下面的积分方程()()()dt t y t f y x y xx ,00⎰+=．我们取0>δ，使1<δk ，在连续函数空间[]δδ+-00,x x C 内定义映射:T()()()()[]()δδ+-∈+=⎰000,,0x x x dt t y t f y x Ty xx ，则有()()(()()[]⎰-=≤-xx x x dt t y t f t y t f Ty Ty 002121,,max,δρ()()⎰-≤≤-xx x x dt t y t y k 0021max δ()()().,m ax 21210y y k t y t y k x t δρδδ=-≤≤-因,1<δk 由定理1，存在唯一的连续函数()[]()δδ+-∈000,x x x x y 使()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0000,，由这个等式可以看出，()x y 0是连续可微函数，且()x y y 0=就是微分方程（21）通过点()00,y x 的积分曲线，但只定义在[]δδ+-00,x x 上，考虑初值条件(),000δδ±=±x y yx 并再次应用定理1，使可将解延拓到[]δδ2,200+-x x 上，依次类推，于是可将解延拓到整个直线上．通过上文的论述，我们加深了对不动点定理的理解，了解了求不动点的方法以及相应例题的证明技巧，知道了此定理应用的广泛性，而随着理论和实践的蓬勃发展对不动点定理的研究也将不断深化，所以我们研究的脚步不能停下．。
不动点法原理
不动点法原理不动点法是一种数值计算方法，用于寻找方程的根或者函数的不动点。
在数值分析和计算数学中，不动点法被广泛应用于解决非线性方程和非线性系统的数值求解问题。
它的原理简单而又有效，是一种重要的数值计算工具。
不动点法的原理基于不动点的概念。
在数学中，若函数f(x)满足方程x=f(x)，则x称为函数f的不动点。
换句话说，不动点就是函数值等于自变量的点。
因此，要找到函数f的不动点，就需要解方程x=f(x)。
不动点法的基本思想就是通过迭代的方式，不断逼近方程x=f(x)的解，从而找到函数的不动点。
不动点法的具体步骤如下，首先，选取一个初始值x0，然后通过迭代公式xn+1=f(xn)来计算下一个近似解xn+1。
重复这个迭代过程，直到满足预先设定的精度要求或者迭代次数达到上限为止。
最终得到的近似解xn就是函数的不动点的近似值。
不动点法的收敛性与迭代函数f的性质密切相关。
一般来说，如果迭代函数f在不动点附近满足Lipschitz条件，并且其导数在不动点处的绝对值小于1，那么不动点法就具有局部收敛性。
此外，若迭代函数f是连续的，并且在整个定义域上满足Lipschitz条件，那么不动点法就具有全局收敛性。
不动点法的应用范围非常广泛，涉及到诸多领域。
例如，在经济学中，不动点法可以用于求解一些特定的均衡问题；在物理学中，不动点法可以用于求解一些非线性方程，如调和振动子的运动方程等；在工程领域，不动点法可以用于求解一些复杂的系统方程。
因此，不动点法在实际问题中具有重要的应用价值。
总之，不动点法是一种简单而又有效的数值计算方法，通过迭代的方式来寻找函数的不动点。
它的原理清晰，应用范围广泛，是数值分析和计算数学中的重要工具之一。
通过深入理解不动点法的原理和特性，可以更好地应用它来解决实际问题，为科学研究和工程应用提供有力的支持。
《2024年两类不动点定理及其应用》范文
《两类不动点定理及其应用》篇一一、引言不动点定理是数学领域中一种重要的理论工具，它在分析、微分方程、函数空间等领域都有着广泛的应用。
不动点定理描述了某种数学结构中元素（如函数）的自映射行为，并给出了在特定条件下这些自映射存在固定点的条件。
本文将主要介绍两类不动点定理，并探讨它们在数学及其相关领域的应用。
二、第一类不动点定理第一类不动点定理通常指的是Banach压缩映射原理，也称为压缩映射原理。
这一原理是函数空间理论中重要的不动点定理之一。
其基本思想是：在完备的度量空间中，存在一个压缩映射，该映射具有一个唯一的不动点。
定理表述：设(X,d)是一个完备的度量空间，T是X上的一个压缩映射，即存在一个常数0<q<1，使得对于任意的x,y∈X，有d(Tx,Ty)≤qd(x,y)。
那么T在X中存在唯一的不动点x0，即Tx0=x0。
应用：Banach压缩映射原理在许多领域都有广泛的应用，如在微分方程的数值解法、优化算法的收敛性分析、概率论的随机过程等。
例如，在优化算法中，通过使用压缩映射原理可以证明某些迭代算法的收敛性。
三、第二类不动点定理第二类不动点定理主要指的是Schauder不动点定理和Kakutani不动点定理等。
这类定理主要应用于更一般的拓扑空间或函数空间中。
Schauder不动点定理：设K是一个紧致凸集，T是K到K的一个连续映射，那么T在K中至少有一个不动点。
应用：Schauder不动点定理在偏微分方程、拓扑学、经济学等领域有广泛的应用。
例如，在偏微分方程中，可以通过Schauder不动点定理证明某些非线性偏微分方程解的存在性。
四、结论本文介绍了两类不动点定理及其应用。
第一类不动点定理以Banach压缩映射原理为代表，它在函数空间理论及许多应用领域有着重要的地位。
第二类不动点定理如Schauder不动点定理等，则适用于更一般的拓扑空间或函数空间。
这些不动点定理为解决许多数学问题提供了有力的工具，同时也为其他领域如微分方程、优化算法、概率论等提供了重要的理论支持。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed —point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。
（一）、压缩算子:1、定义： 设（1)X距离空间；（2）算子:T X X →的映射。
若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤， 则称T 是X 上的压缩算子.θ为压缩系数.2、性质：压缩算子T 是连续的 证 ：若nx x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→例:11:T R R →，则 ①12Tx x =是压缩算子因为1111(,)(,),2222Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-==②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= )（二）、不动点定理1、定义：设（1）X --—— 是完备的距离空间；（2):T X X →的压缩算子.则T 在X 上存在唯一的不动点*x ，即***,..x X s t x Tx ∃∈=2、注意（1）定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明. （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。
（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。
但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。
初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。
（4）误差估计①事前(或先验）误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。
此方法有时理论上分析困难。
设迭代到第n 步，将*n xx ≈，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11n nn x x Tx x x x θθρρρθθ≤=--②事后(或后验）误差：计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*n x x ≈。
数列中不动点的应用原理
数列中不动点的应用原理什么是数列中的不动点？在数学中，数列是由一系列有序的数构成的序列。
而不动点是指在数列中，某个数与它的后继数相等的情况。
换句话说，不动点是指一个数列中的数，在后继数列中仍然保持不变。
不动点的应用不动点在数学中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的不动点应用。
1.迭代方法迭代方法是一种常见的数值计算方法。
在迭代过程中，我们从一个初始数值出发，按照特定的规则产生一系列数值。
如果存在一个不动点，即某个数在迭代过程中不变，那么我们可以通过不动点来近似求解问题。
例如，我们要求方程f(x) = x的解。
我们可以选择一个初始数x0，然后通过迭代计算来逼近方程的解。
每一步我们将计算：x1 = f(x0)，x2 = f(x1)，依此类推，直到找到最接近方程解的数值。
2.方程求解在实际应用中，我们经常需要求解各种复杂的方程。
而方程的解通常很难通过解析方法求得。
不动点的概念可以帮助我们将方程的求解转化为迭代求解问题。
例如，我们要求方程x^2 = 2的解。
我们可以将方程转化为x = f(x)的形式，其中f(x) = x - (x^2 - 2)/(2x)。
然后我们选择一个初始数x0，通过迭代计算来逼近方程的解。
3.系统稳定性分析不动点的概念在系统稳定性分析中也有重要应用。
在控制系统中，我们经常需要分析系统在各种输入条件下的稳定性。
例如，我们要分析一个线性离散时间系统x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)的稳定性，其中x(k)为系统状态，u(k)为输入。
我们可以通过分析系统的特征值来判断系统的稳定性。
如果系统的特征值全部位于单位圆内，则系统是稳定的。
而特征值位于单位圆上或外部，则系统是不稳定的。
4.进化论不动点的概念在进化论中也有应用。
进化论研究生物的进化过程中的各种变异。
而不动点可以用来描述进化过程中的平衡状态。
例如，我们要分析某个种群在进化过程中的平衡状态。
我们可以将种群的进化过程视为不动点的过程。
不动点定理知识点总结
不动点定理知识点总结一、不动点的定义首先，我们来看一下不动点的定义。
给定函数f: X → X，如果存在x∈X使得f(x) = x，那么x就是函数f的一个不动点。
换句话说，对于函数f，如果存在一个点x，使得f将x映射到它自身，那么x就是函数f的一个不动点。
举个简单的例子，考虑函数f(x) = 2x，显然f的不动点就是x=0，因为f(0) = 2*0 = 0。
此外，函数g(x) = x^2也有不动点x=0，因为g(0) = 0^2 = 0。
不动点的概念看起来很简单，但它在数学分析中有着深远的应用。
接下来，我们将介绍不动点定理的条件以及应用。
二、Banach不动点定理Banach不动点定理是最著名的不动点定理之一，它是由波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）在20世纪初提出的。
Banach不动点定理说的是，如果X是一个完备度量空间，而f: X→X是一个压缩映射（contraction mapping），那么f在X上存在唯一的不动点。
首先，我们来看一下完备度量空间的定义。
给定的度量空间（metric space）(X, d)，如果该空间中任意柯西列（Cauchy sequence）都收敛于X中的某个点，则称X是完备的。
在完备度量空间中，我们可以证明如下的两个定理：定理1：完备度量空间中任何紧集合都是闭的；定理2：完备度量空间上的任何收敛序列都是柯西列。
接着，我们来看一下压缩映射的定义。
给定度量空间(X, d)和函数f: X → X，如果存在一个常数0≤k<1，使得对于任意x, y∈X，有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，那么称f是一个压缩映射。
有了完备度量空间和压缩映射的概念，我们可以给出Banach不动点定理的表述：定理3（Banach不动点定理）：如果(X, d)是一个完备度量空间，而f: X→X是一个压缩映射，那么f在X上存在唯一的不动点。
这个定理的证明是通过构造一个柯西列，利用完备度量空间的性质来证明不动点的存在，并利用压缩映射的性质来证明不动点的唯一性。
不动点法求数列通项的原理
不动点法求数列通项的原理
一、不动点法(特征根法)的概念
不动点法，又称特征根法，是一种用于解决数列求通项的有效方法，该方法通过求解特征根或不动点来求出数列通项。
二、不动点法(特征根法)的原理
不动点法，是把数列的运算转化为求解特征根的问题。
特征根，是指使得其中一特定数列值不变的数。
通常情况下，当一个数列的通项具有对数函数的形式时，它的公式可以求出，但如果它具有指数函数的形式时，就不能用常规的方法求出。
此时，可以用不动点法来求出该数列的通项。
不动点法的基本步骤为：
（1）将数列的前n项归纳成一个大的等比数列；
（2）建立等比数列的递推关系式；
（3）求解递推关系式的特征根；
（4）根据特征根求出数列的通项。
例如，解数列{an}的通项
要解这个数列的通项，可以先将数列归纳成一个大的等比数列，即显然，等比数列 {an} 的公比 = q = 3 ，自然数 n 的取值范围是0 ≤ n ≤ 7
接下来，建立等比数列的递推关系式：
an+1=3·an
可以把它写成递推公式的一般形式：an+1-3an=0
特征方程可以由上式求出：
lamda^2-3lamda+1=0
两个根分别是
lamda_1=1
lamda_2=3
这样，就可以求出数列通项，即
an=A·1^n + B·3^n
设a0=7
则有A+B=7，a1=21，则有3A+B=21。
Banach不动点理论及其在方程组求解中的应用
Banach不动点理论及其在方程组求解中的应用Banach不动点理论是数学中一个重要的概念，它在方程组求解等领域有着广泛的应用。
本文将介绍Banach不动点理论的基本概念和原理，并探讨其在方程组求解中的具体应用。
一、Banach不动点理论概述Banach不动点理论是由波兰数学家斯捷凡·巴拿赫（Stefan Banach）研究并提出的。
它是函数分析中的一个重要分支，研究在完备度量空间中具有某种特定性质的映射的不动点存在性问题。
在数学上，给定一个度量空间X和一个映射T：X→X，如果T存在一个点x∈X，使得T(x)=x，那么我们称x为T的不动点。
Banach不动点理论研究的是在何种条件下，一个映射T必然存在不动点。
二、Banach不动点定理Banach不动点理论的核心定理就是Banach不动点定理，也被称为压缩映像原理。
该定理给出了在完备度量空间中，压缩映射必然存在不动点的条件。
具体表述如下：定理：设X是一个完备度量空间，T：X→X是一个压缩映射。
则T 存在唯一的不动点。
这个定理的意义在于，通过找到一个满足压缩条件的映射T，在完备度量空间中总能找到该映射的不动点。
这为方程组求解提供了一种有效的方法。
三、Banach不动点理论在方程组求解中的应用Banach不动点理论在方程组求解中有着广泛的应用。
我们以线性方程组的求解为例，说明Banach不动点理论在方程组求解中的具体应用。
对于线性方程组Ax=b，其中A是一个已知的n×n矩阵，x和b是未知向量。
我们可以将方程组改写成一个不动点问题：x=T(x)+c，其中T(x)=(I-A)x和c=A·b，I是n阶单位矩阵。
这里T(x)是一个线性映射。
根据Banach不动点定理，如果T是一个压缩映射，那么方程组Ax=b就有唯一解x。
因此，我们可以通过构造一个满足压缩条件的映射T，然后使用Banach不动点定理来求解线性方程组。
在具体操作中，可以使用迭代法来逼近不动点。
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题目：不动点原理及其应用摘要本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。
在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。
关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用AbstractIn this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too.Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.目录引言 (1)1.压缩映射原理 (1)1.1压缩映射原理（距离空间） (1)1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7)2.Schauder不动点定理 (9)3不动点定理的应用 (11)总结 (12)参考文献 (14)引言在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder 不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。
1压缩映射原理1.1压缩映射原理（距离空间）定义1.1.1：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，若存在数01θ≤≤，使得对所有01θ≤≤，有()(),,Tx Ty x y ρθρ≤，则称T 是压缩映射。
【1】定理1.1.1：设X 是完备的距离空间，距离为ρ，T 是由X 到其自身的映射，且对任意的,x y X ∈，不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤， （1.1.1）成立，其中θ是满足不等式01θ≤≤的常数，那么T 在X 中存在唯一的不动点，既存在唯一的x X ∈使得T x -=x -，x -可用迭代法求得. 证明：在X 中任意取定一点0x ，并令10,21x Tx x Tx ==，......1,n n x Tx +=......，由()()()()12010100,,,,;x x Tx Tx x x x Tx ρρθρθρ=≤= ()()()()223121200,,,,;x x Tx Tx x x x Tx ρρθρθρ=≤=...............可证明()()100,,n n n x x x Tx ρθρ+≤ ()1,2,3.....n =()()()()1121,,,...,n n p n n n n n p n p x x x x x x x x ρρρρ+++++-+≤+++()()1100...,n n n p x Tx θθθρ++-≤+++()()()000,01,.11n n nx Tx x Tx θθθρρθθ-=≤--由于 01θ≤≤，所以0nθ→，则{}n x 是X 中的基本点列，由X 的完备性可知{}n x 收敛于X 中某一点x -，由（1.1.1）式可知，T 是连续映射，在1,n n x Tx +=中，令n →∞，可得T x -=x -，因此x -是T 的一个不动点。
下证唯一性：设另有y -使得y T y --=，则,,,,x y T x T y x y ρρθρ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为01θ≤≤，所以,0x y ρ--⎛⎫= ⎪⎝⎭，即x y --=，唯一性成立。
定理1.1.2：设T ：X X →是X 上的映射，若对于某个自然数k ，k T 有唯一不动点，则T 以同一点作为唯一不动点。
【2】证明：设0x X ∈是k T 的唯一不动点，00k T x x =，则()()000k k Tx T T x T Tx ==，因此0Tx 是k T 的不动点，由唯一性可知00Tx x =，又因为T 的每一个不动点肯定是k T 的不动点，因此T 的不动点是唯一的。
例1.1.1设(),K s t 是矩形,a s t b ≤≤上的连续函数，(),,sup a s t bK s t M ≤≤=<∞，对于每个μ∈Φ有()()(),,tax t K t dt t μτϕ=+⎰ （1.1.2）()[],t C a b ϕ∈，求证这个方程在[],C a b 中存在唯一解。
证明：考虑映射[][]:,,T C a b C a b →，()()()()[],,,taTx t K t dt t x C a b μτϕ=+∀∈⎰，则有()()()()()()(),taTx t Ty t K t x y d μττττ-=-⎰()()sup a t bM x t y t t a μ≤≤≤--()()=,M t a x y μρ- （1.1.3）对此进行归纳，()()()()()(),!nnn n n t a T x t T y t M x y n μρ--≤ ()()()()11n n T x t T y t ++-()()()()()=,tn n aK t T x T y d μττττ-⎰()()111,!ntn n a Ma d x y n μττρ++≤-⎰ ()()()111=,1!n n n t a M x y n μρ+++-+ （1.1.4）因此对任意的自然数n,()()()()(),sup n n n n a t bT x T y T x t T y t ρ≤≤=-()(),!n nn M b a x y n μρ-≤（1.1.5）当n 足够大时，使()1!n nn M b a n μ-<，则n T 是[],C a b 上的压缩映射，由于[],C a b 完备，因此nT 有唯一的不动点，根据定理1.1.2，T 有同一不动点，是方程的解。
例1.1.2设T 是压缩映射，求证n T 也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.证明：（1）因为T 是压缩映射，因此存在存在()0,1γ∈，使得()(),,Tx Ty x y ργρ≤，则()()222,,T x T y Tx Ty ργργ≤≤，并且假设()(),,n n n T x T y x y ργρ≤成立，那么有：()()()()111,,,,n n n n n n T x T y T x T y x y x y ργργγργρ+++≤≤=，由数学归纳法可知 ()(),,n n n T x T y x y ργρ≤对任意自然数n 成立，由于()0,1γ∈，则()0,1n γ∈，所以n T 是压缩映射。
（2）该命题的逆命题不一定成立，如：()f x =：[][]0,10,1→； ()22x f x =：[][]0,10,1→是压缩映射,()f x =：[][]0,10,1→；不是压缩映射。
若()f x =：[][]0,10,1→；是压缩映射，则有，存在()0,1γ∈使得 ()()2121f x x x x γ-≤-，有()()2121f x f x x x γ-≤-，则差商是有界的。
但若取1212,x x n n ==，有()()()21211f x f x x x -=→∞-，与差商有界矛盾，故证。
例1.1.3 设[](),,,:D a b f D R=⨯-∞∞→满足：（1）f 在 D 上连续；（2）(),y f x y 在 D 上存在，()0,y m f x y M <≤≤，对于任意的(),x y D ∈，方程(),0f x y = 存在唯一的解 ()y x ϕ=.证明：[],C a b 是完备的距离空间，T 是C[a,b]到C[a,b]上的连续映射，()()(),max d x y x t y t =-，T 不是压缩映射，添加一个参数M 进行修正，()()()()()1,T x x f x x M ϕϕϕ=-，[][]1,2,,,C a b x a b ϕϕ∈∈，根据条件，结合中值定理可得：()()()()()()()()()()12112211,,T x T x x f x x x f x x M M ϕϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤-=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()12121,,x x f x x f x x M ϕϕϕϕ⎡⎤=---⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()12212121,.y x x f x x x x x x M ϕϕϕθϕϕϕϕ=--+--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()1212121max 1m m x x x x d x x M Mϕϕϕϕαϕϕ⎛⎫⎛⎫≤--≤--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，T是压缩映射，存在唯一()[],x a b ϕ∈，使得()[],x a b ϕ∈()()()(),,0T x x f x x ϕϕϕ==即.例1.1.4微分方程解的存在性和唯一性(,)dyf x y dx=， 00|x y y = (1.1.6)(),f x y 关于y 满足利普希兹条件：()()'',,f x y f x y K y y -≤-， x ,y ,'y R ∈.(1.1.7)其中K>0为常数，过定点()00,x y 的积分曲线只有一条 与方程（ 1.1.6）等价的积分方程为：()()()00,xx y x y f t y t dt =+⎰， (1.1.8)取δ>0满足1K δ<.在C []00,x x δδ-+中定义映射T ：()()()()00,xx Ty x y f t y t dt =+⎰ []()00,x x x δδ∈-+则有，()()()()()001,212max,,xx x x Ty Ty f t y t f t y t dt δρ-≤⎡⎤=-⎣⎦⎰()()0012maxxx x x K y t y t dt δ-≤≤-⎰()()()0121,2max t x K y t y t K y y δδδρ-≤≤-=. （1.1.9）根据压缩映射原理，存在唯一的连续函数()0y x []()00,x x x δδ∈-+使得：()()()0000,xx y x y f t y t dt =+⎰，由此，()0y y x =就是微分方程过()00,x y 的积分曲线。