集合与命题的常见错误归纳分析
数学中的集合与命题逻辑关系分析
数学中的集合与命题逻辑关系分析数学作为一门严谨的科学，集合论和命题逻辑是其重要的基础理论。
本文将对数学中的集合与命题逻辑的关系进行分析，并探讨它们在数学推理和证明中的应用。
一、集合论基础集合是数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的对象所组成的整体。
集合论研究的是集合的性质、运算以及集合之间的关系。
集合可以用数学符号表示，比如用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
集合间的关系包括等于、包含、相交等。
两个集合相等表示它们具有完全相同的元素。
一个集合包含另一个集合，表示前一个集合中的所有元素都属于后一个集合。
两个集合相交表示它们有共同的元素。
二、命题逻辑基础命题逻辑是研究命题与命题间关系的数学分支。
命题是陈述性句子，其可以被判定为真或假。
命题逻辑通过符号和运算符号来表达、连接和分析命题。
命题之间有与、或、非等常见的逻辑连接词。
与运算表示两个命题同时为真时整体命题才为真。
或运算表示两个命题中至少一个为真时整体命题为真。
非运算表示对命题的否定。
三、集合与命题逻辑的关系1. 集合与命题的关系集合中的元素可以看作是命题，而集合本身可以看作是表示多个命题的逻辑组合。
比如，集合A可以表示为{a, b, c}，其中a、b、c是具体的命题。
这样，集合A就表示了这些命题的逻辑组合。
2. 集合运算与命题逻辑的关系集合运算和命题逻辑运算有着一定的对应关系。
并集运算可以看作是命题的或运算，表示两个集合中的元素组成的集合。
交集运算可以看作是命题的与运算，表示两个集合中同时满足的元素组成的集合。
补集运算可以看作是命题的非运算，表示集合中不满足某个条件的元素组成的集合。
3. 集合与命题逻辑在数学推理中的应用集合与命题逻辑在数学推理和证明中起着重要的作用。
通过对集合中的元素进行逻辑分析，可以推导出集合的性质和运算规律。
通过命题逻辑的推理规则，可以证明一些数学定理和命题。
集合论与命题逻辑的结合，为数学推理提供了一个严密的逻辑基础。
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算【一】知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素〔假设A a ∉那么B a ∈〕，那么称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，那么A ＝B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法〔VENN 图〕.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N ＋或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R.【二】疑难知识导析1.符号⊆，，⊇，，＝，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“＝”两种情况，同样“⊇”包括“”和“＝”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围、用集合表示不等式〔组〕的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断、空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B ＝Φ易漏掉的情况.5.假设集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.假设集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、VENN 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有N 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n2－1【三】经典例题导讲【例1】 集合M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝，那么M ∩N ＝〔 〕A 、〔0，1〕，〔1，2〕B 、｛〔0，1〕，〔1，2〕｝C 、｛Y ｜Y ＝1，或Y ＝2｝D 、｛Y ｜Y ≥1｝ 错解：求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么、事实上M 、N 的元素是数而不是实数对（X ，Y ），因此M 、N 是数集而不是点集，M 、N 分别表示函数Y ＝X2＋1（X ∈R ），Y ＝X ＋1（X ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集、 正解：M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ∈R ｝、 ∴M ∩N ＝｛Y ｜Y ≥1｝∩｛Y ｜（Y ∈R ）｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， ∴应选D 、注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分｛X ｜Y ＝X2＋1｝、｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝、｛（X ，Y ）｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，这三个集合是不同的、【例2】 A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝，B ＝｛X ｜AX －2＝0｝且A ∪B ＝A ，求实数A 组成的集合C 、 错解：由X2－3X ＋2＝0得X ＝1或2、当X ＝1时，A ＝2， 当X ＝2时，A ＝1、错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B ＝时，仍满足A ∪B ＝A.当A ＝0时，B ＝，符合题设，应补上，故正确答案为C ＝｛0，1，2｝、正解：∵A ∪B ＝A ∴B A 又A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝＝｛1，2｝∴B ＝或{}{}21或 ∴C ＝｛0，1，2｝ 【例3】M ∈A ，N ∈B ， 且集合A ＝{}Z a a x x ∈=,2|，B ＝{}Z a a x x ∈+=,12|，又C ＝{}Z a a x x ∈+=,14|，那么有： 〔 〕A 、M ＋N ∈A B. M ＋N ∈B C.M ＋N ∈C D. M ＋N 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵M ∈A ，∴M ＝2A ，A Z ∈，同理N ＝2A ＋1，A ∈Z ， ∴M ＋N ＝4A ＋1，应选C错因是上述解法缩小了M ＋N 的取值范围.正解：∵M ∈A ， ∴设M ＝2A1，A1∈Z ， 又∵N B ∈，∴N ＝2A2＋1，A2∈ Z ，∴M ＋N ＝2（A1＋A2）＋1，而A1＋A2∈ Z ， ∴M ＋N ∈B ， 应选B.【例4】 集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0｝，集合B ＝｛X ｜P ＋1≤X ≤2P －1｝、假设BA ，求实数P 的取值范围、错解：由X2－3X －10≤0得－2≤X ≤5、 欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ P 的取值范围是－3≤P ≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B ＝时，符合题设、正解：①当B ≠时，即P ＋1≤2P －1P ≥2.由B A 得：－2≤P ＋1且2P －1≤5.由－3≤P ≤3.∴ 2≤P ≤3②当B ＝时，即P ＋1》2P －1P 《2.由①、②得：P ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝、A ∪B ＝，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题、【例5】 集合A ＝｛A ，A ＋B ，A ＋2B ｝，B ＝｛A ，AC ，AC2｝、假设A ＝B ，求C 的值、分析：要解决C 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式、解：分两种情况进行讨论、〔1〕假设A ＋B ＝AC 且A ＋2B ＝AC2，消去B 得：A ＋AC2－2AC ＝0，A ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故A ≠0、∴C2－2C ＋1＝0，即C ＝1，但C ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解、〔2〕假设A ＋B ＝AC2且A ＋2B ＝AC ，消去B 得：2AC2－AC －A ＝0，∵A ≠0，∴2C2－C －1＝0，即（C －1）（2C ＋1）＝0，又C ≠1，故C ＝－21、点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.【例6】 设A 是实数集，满足假设A ∈A ，那么a -11∈A ，1≠a 且1（A.⑴假设2∈A ，那么A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶假设A ∈A ，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A （ －1∈A （ 21∈A （ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，那么A ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶A ∈A （ a -11∈A （a --1111∈A （111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知A ∈A 时，a -11∈A ， 1－a 1∈A .现在证明A ，1－a 1， a -11三数互不相等.①假设A ＝a -11，即A2－A ＋1＝0 ，方程无解，∴A ≠a -11②假设A ＝1－a 1，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴A ≠1－a 1③假设1－a 1 ＝a -11，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否那么证明欠严谨.【例7】 设集合A ＝｛a ｜a ＝12+n ，n ∈N ＋｝，集合B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝，试证：A B 、证明：任设a ∈A ，那么a ＝12+n ＝（n ＋2）2－4（n ＋2）＋5 （n ∈N ＋），∵ N ∈N ×，∴ N ＋2∈N ×∴ A ∈B 故 ①显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝＝｛b ｜b ＝1)2(2+-k ，k ∈N ＋｝知1∈B ，于是A ≠B ②由①、② 得A B 、点评：〔1〕判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系、〔2〕判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义、【四】典型习题导练1、集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0，X ∈Z ｝，B ＝｛X ｜2X2－X －6》0， X ∈ Z ｝，那么A ∩B 的非空真子集的个数为〔 〕A 、16B 、14C 、15D 、322、数集｛1，2，X2－3｝中的X 不能取的数值的集合是〔 〕A 、｛2，－2 ｝B 、｛－2，－5 ｝C 、｛±2，±5 ｝D 、｛5，－5｝3. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，那么P ∩Q 等于〔 〕A 、PB 、QC 、D 、不知道4. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛（X ，Y ）｜Y ＝X2，X ∈R ｝，那么必有〔 〕A 、P ∩Q ＝B 、P QC 、P ＝QD 、P Q5、假设集合M ＝｛11|<x x ｝，N ＝｛x ｜2x ≤x ｝，那么M N ＝ 〔 〕A 、}11|{<<-x xB 、}10|{<<x xC 、}01|{<<-x xD 、∅6.集合A ＝｛X ｜X2＋（M ＋2）X ＋1＝0，X ∈R ｝，假设A ∩R ＋＝，那么实数M 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿、7.〔06高考全国II 卷〕设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--假设()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
高中生集合与函数概念学习中的典型错误及归因研究
Ｄ ． ， （ ） ＝ √ Ｙ １， 占 （ ｖ ） ： √ ．
一 Ｙ Ｊ—
解 集 的 并集 。
用 必要 条 件 代替 ， 解 集可 能扩 大 【 例６ １已知 方 程 一 ２ “＋ ４ ： ０的 两 根
答 错 误 的原 因 。 人在 学 习时 应 在错 误 中找 到
中图分类号 ： Ｇ ４ ２
文献标识 码： Ａ
文章编 号： １ ６ ７ ４ － ０ ９ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ８（ ａ ） ． ０ １ ５ ７ — ０ ２
面对 数学 练 习题 ， 我 们 因 为对 习题 有 了
正 确 的 解 决方 法和 解 答 思 路 ， 往往 忽 略了解
创 新 教 育
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｅ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｉ ｎ ｎ ｏ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｒ ： ａ ｌ ｄ ！
高 中生 集 合 与 函数 概 念 学 习 中的典 型 错 误 及 归因研 究
胡 晓飞 杨惠娟 （ 昭通学院 数学 与统 计学院 云南 昭通
解数 学题 时经常需要 分类讨论 。 分 类 讨 论 的原 则 ：（ １ ） 不遗漏， 即 划 分 所 得 的 子
个 数 学 习题 的解 决 ， 可 以采 取 多种 不
口 ） ， 且 Ｂ： Ｒ， 求 实数 ａ的取 值 范 围。 项 的总 和 应 该 等于 母 项 ；（ ２ ） 每 次 划分 应 对 过程清晰， 思 维 合 理而 经 济， 具 有 事 半 功 倍 学 生 可能 出错 的原 因 ：（ １ ） 不 清 楚 条 件 按 照同一 标 准 亍；（ ３ ） 不 重复 ， 即 划 分 得 的作用。 而 策 略 性 错误 有 两 个 含义 ： 一 是 策 与 条件 之 间的联 系 ， 以 及 条件 和 结 论 之 间的 子项 之 间 是不 相 容 的并 列关 系， 不 能是 交 叉 略 产生 错 误 的导 向， 因而 未能 使 问题 得 到 解 关系， 想 不 到 用 数 形 结 合 的 方 法 帮助 理 解 关 系或 是 从 属关 系；（ ４ ） 划 分应 当按 照层次 决； 二是 策 略 明显 地 增 加 了解 题 过 程 的难 题 意 ；（ ２ ） 会应 用数 形 结 合 的 方 法 ， 但会 因 逐 级 进行 。 度， 如果 加 上 时 间限制 这 个 因 素 ， 问题 很 有 为 考虑 不 全面 而忽 略 ａ ＝ １ 也成立。 【 例４ 】若 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｍ ｘ ＋ｍ ｘ － （ － ３， 对 可能得 不到解决。 策 略 性 错 误 主 要 表 现 为 １ ． ２概念、 性质 混 淆不 清 Ｘ∈ Ｒ ， ＿ 厂 （ ） ＞０恒 成 立 ， 求 ｌ 的取 值 范 围。 不 能 正 确识 别模 式 常见 的表现 有：（ １ ） 临近 概 念辨 别不 清 ； 学 生 可 能 出 错 的原 因是 没有 考 虑 ＝０ 西 蒙 等人 从 ２ ０ 世纪５ Ｏ 年代起 ， 以信 息 （ ２ ） 基本 数学 概 念 理 解 不透 彻 ； 的情况 。 分 类 不 当 的一 个 常 见 表 现 是 以 偏 １ １ 加 工 观 点 对 人 解 决 问题 的 过 程 进 行 了一 系 忽略特例， 这和 学 生 解题 时 的分 类意 【 例２ 】若 Ａ＝ 扛ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， Ｂ＝ ｛ ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， ｃ： 概全、 列研 究 ， 得 出 人 们 所 面 临 的 问 题 大 多数 是 １ 识 不强 、 思 考 问题 不 周密 有关 。 通 过 模 式 识 别 来 解 决 的 。函数 的 值 域 问题 ｛ （ 五 ） ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， 这 三个 集 合 分 别表 示 什么？ ２ ． ２ 不 等价 变 换 是 重点 ， 对 学生来说也 是难 点 。 求 值 域 的 学 生可 能 出错 的原 因：（ １ ） 对 集 合 描 述 在 某 些 球 解 题 中， 由于对 作 为解 题依 据 方 法 一 般 有 数形 结合法 、 换元法、 分离 常数 法的定义不清楚 ， 不 知 道 各 个 符 号 表 示 的 的 命 题 进 行 不 等 价 变 换 ， 常 导 致 解 集 的 缩 法、 判 别 式 法 和 利 用 导 数 求 出 单 调 性 进 而 意 义 ；（ ２ ） 虽然 知 道各 个 符 号 表 示 的意 义 ， 小或扩 大， 这 是 学 生 经 常 出现 的 一 种 逻 辑 求 得 函 数 的 值 域 。哪 一 种 类 型 用 哪 一种 方 但记 不 清 楚 反比例 函数 的 值 域 和 图像 。 错误。 法就需 要学生进行模式 辨认 。 辨 认 的 正 确 １ ． ３忽略公式、 性 质 成 立 的 条 件 用 充分 条 件 代 替 ， 解 集 可能 缩 小 与 否决 定 着所 提 取 的方 法 合 适与 否， 从 而决 形 式 地 记忆 性 质 、 公式 ， 不 注 重 公式 成 【 例５ 】解 不等 式 ｌ ｏ ｇ ， （ ４ ｘ － ３ ） ＞ ０． 定 解题 的结 果 正 确与 否。 立 的 条件 ， 对 公式 、 性 质 的 本 质 和应 用 缺 乏 ｒ ３ ＞１ 深刻理解， 因此 不 考虑 是 否 具 备应 有条 件 ，
高中生集合与函数概念学习中的典型错误及归因研究
高中生集合与函数概念学习中的典型错误及归因研究摘要：函数是高中数学的核心内容，是高考考查的重点，也是学生学习的难点。
学生在解集合和函数问题时，表现的错误是多种多样的，一般表现为知识性错误、逻辑性错误、策略性错误和心理性错误四个方面。
关键词：高中生集合与函数典型错误归因面对数学练习题，我们因为对习题有了正确的解决方法和解答思路，往往忽略了解答错误的原因。
人在学习时应在错误中找到正确的答案。
所以，当学生在解答习题时，答案是否存在错误并不重要，重要的是教师是如何帮助学生面对和绝对错误，学生解题出错的原因，除了学生的知识结构不完善之外，还应该考虑到学生的认知结构。
所以将学生解题时发生的错误分为知识性错误、逻辑性错误、策略性错误和心理性错误四个方面。
1 知识性错误1.1 题意理解不正确正确理解题意是正确解题的关键，正确理解题意就是将题目所给的信息全部消化接受并进行分解和编码。
如分清题目的“已知”与“未知”，“条件”与“结论”，透彻地理解其中每个概念的含义，解释它们之间的联系。
如学生可能出错的原因：（1）不清楚条件与条件之间的联系，以及条件和结论之间的关系，想不到用数形结合的方法帮助理解题意；（2）会应用数形结合的方法，但会因为考虑不全面而忽略a=1也成立。
1.2 概念、性质混淆不清常见的表现有：（1）临近概念辨别不清；（2）基本数学概念理解不透彻；学生可能出错的原因：（1）对集合描述法的定义不清楚，不知道各个符号表示的意义；（2）虽然知道各个符号表示的意义，但记不清楚反比例函数的值域和图像。
1.3 忽略公式、性质成立的条件形式地记忆性质、公式，不注重公式成立的条件，对公式、性质的本质和应用缺乏深刻理解，因此不考虑是否具备应有条件，生硬的加以套用。
【例3】下列各对函数中，相同的是（）选A的原因是不领会算术平方根的意义；选B的原因是忽略对数性质成立的条件，真数要大于0；选C的原因是：（1）忽略二次根式乘法法则成立的条件，（2）知道成立的条件，并且列出算式，但计算结果出错，学生会两边同时开方，得或，原因是受到初中解一元一次不等式的影响，而没有正确使用一元二次不等式的解题方法。
高中数学总结归纳点拨 集合解题错误剖析
集合解题错误剖析集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析．一、忽视空集的特殊性例1 若{}0322=--=x x x A ，{}02=-=ax x B ，且B B A =I ，求由实数a 组成的集合C .错解： 由{}0322=--=x x x A ，解得{}3,1-=A .∵B B A =I ，∴A B ⊆，从而{}1-=B 或{}3=B .当{}1-=B 时，由02)1(=--⨯a ，解得2-=a ；当{}3=B 时，由023=-⨯a ，解得32=a . 故由实数a 组成的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=32,2C .剖析：因为由交集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有A ∅=∅I ，所以错解又忽视了B =∅时的情况. 正确的解法是：①当B ≠∅时，同上解法，得2-=a 或32=a ； ②当B =∅时，由02=-ax 无实数根，解得0=a ．综上可知，实数a 组成的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=32,0,2C .例 2 已知{}14A x x x =∈<->R 或，，{}23B x a x a =∈≤≤+R ，若A B A =Y ，求实数a 的取值范围.错解 ∵A B A =Y ，∴2423a a a >⎧⎨+⎩，≤，或3123a a a +<-⎧⎨+⎩，≤． 解得234a a <<-或≤，，故实数a 的取值范围是423a a <-<或≤.剖析：因为由并集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有A A ∅=U ，所以错解还是忽视了B =∅时的情况. 正确的解法是：①当B ≠∅时，同上解法，解得423a a <-<或≤；②当B =∅时，由32+>a a ，解得3>a .综上可知，实数a 的取值范围是24>-<a a 或.二、忽视元素的互异性例3 已知集合{}22342M a a =++，，，{}207422N a a a =+--，，，，且{}37M N =I ，，求实数a 的值．错解：{}37M N =Q I ，，2427a a ∴++=． 解得 1a =，或5a =-．剖析：当5a =-时，N 中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去5a =-．当1a =时，{}0731N =，，，，故正确结果是1a =．三、忽视元素与集合的概念例4 设A B M N ，，，为非空集合，A B =∅I ，{}M A =的真子集，{}B N =的真子集，则M N =I ．错解：M N =∅I ．剖析：此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M N ，是分别由A ，B 的真子集构成的集合，因而M ，N 的元素都是集合，显然∅既是M 又是N 的元素． 正解：{}M N =∅I ．四、忽视隐含条件例5 设全集{}22323U a a =+-，，，{}212A a =-，，{}5U A =ð， 求实数a 的值．错解：Q {}5U A =ð，5U ∴∈，且5A ∉，2235a a ∴+-=， 解得 2a =或4a =-．剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件A U ⊆．正解：应继续对a 的值是否适合A U ⊆进行验证，当2a =时，214135a -=-=≠，此时{}23A U =⊆，．当4a =-时，218195a -=--=≠，此时{}92A =，不是U 的子集． 所以a 的值只能为2．。
数学错题分析
数学错题分析一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假（概括为一假即假）；┐p真<=>p假，┐p假<=>p真（概括为一真一假）。
集合及命题中的易错问题
集合及命题中的易错问题集合及命题是数学中最基本的概念之一，它是进一步学习其他数学知识的基础。
因此，集合及命题在高中数学中有比较重要的地位。
但是由于二者的概念比较抽象，许多学生在解题过程中会因某些原因而出现错误，为此应了解关于集合及命题中的易错点。
标签：集合；命题；易错问题易错点一：不能正确理解集合概念，忽视隐含条件一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合【1】。
“集合”这一简单概念中包含了其自身的特性特点，而这些特性特点正是学生容易忽视的隐含条件。
比如，忽视空集。
空集是不含任何元素的集合，，则表示集合A与B没有公共元素。
另外，在处理有关的问题时，一定要分两种情况进行讨论。
再比如，忽视集合元素的互异性。
集合中的元素具有三个特性：无序性、确定性、互异性。
集合中元素的互异性，即集合中任何两个元素都是不同的。
例1：若集合，求实数m的取值范围。
【错解】由得实数m的取值范围是【错因分析】产生错误的原因是漏掉空集。
事实上，由“空集是任何集合的子集”可知，当N= 时也满足已知条件，故此题漏了一个解。
【正解】（1），或由得（2）由得当m=0时，方程mx=1 无解，即N=Φ由可知，当N=Φ时也满足题意，故当m=0时，也符合题意。
综上所述得：实数m的取值范围是{0，-2，}例2：已知集合，求的值。
【错解】由，根据集合的相等，只有可得或或【错因分析】当时，题中两集合均有元素1，这与集合中元素互异性相悖。
【正解】舍去，故易错点二：混淆否命题及命题的否定，混淆充分条件与必要条件“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论，而“命题p的否定”只是否定命题p的结论，搞清他们的区别是解决此类问题的关键。
此外，p是q的充分条件表示为，p是q的必要条件表示为。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，故在解决这类问题时，一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析
集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：1．代表元素意义不清致误例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由⎩⎨⎧-=-=+3252y x y x 得⎩⎨⎧==21y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，所以A I B ＝{(1，2)}例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2}1|{≥=y y B A I例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。
错解：}32{，-==B A分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。
集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。
例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A错解：B分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．2 忽视集合中元素的互异性致错例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ⊇B ，求a 的值．错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．分析 当a ＝１时，A 中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．例6 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 错解：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２．（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．分析 上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
集合与命题的常见错误归纳分析
集合与命题的常见错误归纳分析B03151101 陈慧高一数学的开篇知识就是集合与命题，而命题的很多知识都是建立在集合的基础上的。
这部分知识点的掌握都比较重要。
但实际上同学们这部分有些知识都掌握得并不是很好，甚至是一些贯穿整个集合于命题知识的内容，这些问题我们不可以忽视。
我在教育实习期间，帮老师批改作业，与同学积极交流，及时总结一些常见错题，得到一些一手资料，现给出相关归纳分析。
1. 错误点：关于集合小范围可推出大范围问题这个问题的出错率相当之高，而且贯穿于整个命题学习过程中，尤其是在学习命题推出关系的时候，对这个问题掌握的好坏程度直接影响了做题的正确性。
例1. 判断命题“若2<a ，则2<a ”的真假。
错解：由2<a ，可得22<<-a ,因为a 在小于2的同时必须大于2-，所以不可以直接推出2<a 。
故此命题为假命题。
分析：之所以学生会犯这类错误，就是不明白我们从小范围可以直接推出大范围。
因为满足小范围的事物必定在大范围里也是成立的，比如说“他是一个男人”一定可以推出“他是一个人”，因为“男人”这个小范围一定包含在“人”这个大范围当中。
解决问题的方法：必须经常强调“从小范围可以推出大范围”这句话以加深同学印象，当然更要说明为什么这句话成立了。
如分析中的这个形象的例子就可以常常告诫同学要记住以记住“从小范围可以推出大范围”这句话。
正解：由2<a ，可得22<<-a ，因为a 满足22<<-a 这个小范围，所以也一定可以推出a 满足2<a 这个大范围。
所以命题为真。
2. 错误点：命题的否定形式常常思考得不够透彻，或者不知道否定形式的写法是怎么样的例2. 写出命题“男生爱踢足球”的否命题。
错解：男生不爱踢足球。
分析：思维过于直观，认为对命题的否定就是对命题中谓语“爱”的否定“不爱”就可以了。
解决问题方法：从否命题的定义以及些否命题的步骤走下手，先把命题写成“如果……那么……”的形式，然后分别对条件和结论写否定形式就是命题的否定形式了。
数学错题分析
一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
集合常见错误分析
集合问题中常见错误分析朝阳区丁益祥特级教师工作室 周明芝解集合问题时，若对集合的基本概念理解不透彻，或思考不全面，常常致错，为此，本文对集合解题时提出几点注意，希望引起重视．1. 注意集合中元素的含义集合中元素是有一定意义的，对此，稍有疏忽就会导致解题失误．例 1. 设{}A x y x y x y N =+=∈(,)|,*46，，{}B x y x y x y N =+=∈(,)|,,*327，则A B =___________．错解：由方程组46,327x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：1,2.x y =⎧⎨=⎩ 故{}A B =12，． 错因分析：导致错误的原因是没有正确理解集合元素的含义，A 、B 中的元素是有序数对，即表示平面直角坐标系中的点，故{}A B =()12，．2. 注意集合中元素的互异性集合中任何两个元素都是不同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素，因此集合中元素是没有重复的，忽视互异性会引出错解．例2．已知集合A a ={}13，，，集合B a a =-+{}112，，如果B A ⊆，求a 的值． 错解：若a a 213-+=，即a a 220--=，则a =-1或a =2；若a a a 21-+=，即a a 2210-+=，则a =1．综上，所求a 的值为-1，1，2．错因分析：当a =1时，A 中有两个相同的元素1，与集合元素的互异性矛盾，因此a =1应舍去，所以满足题意的a 值为-1，2．3. 注意∅的特殊性 ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，与任何集合的并集等于集合本身，忽视它的特殊性，同样会造成解题错误．例 3. 已知集合{}{}A x axB x x x =+==--=||105602，，若A B ⊆，求由实数a 组成的集合C ．错解：因为{}A aB A B =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭=-⊆178，，，， 所以-=--=1718a a 或，即a a ==-1718或，所以C =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1718，． 错因分析：导致错误的原因是漏掉A =∅的情形，当a =0时，A =∅亦满足条件，可得C =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭01718，，． 4. 注意取等的可能性例 4. 已知{}{}A x x B y y x a x A =-<<==+∈|,|12，，{}C z z x x A ==∈|,2，且B C C =，求实数a 的取值范围．分析：由已知得：{}|12B y a y a =-<<+，{}|04C z z =≤<，由B C C = 得B C ⊆，又12a a -<+，知B ≠∅，故有10,2 4.a a -≥⎧⎨+≤⎩ 解得12a ≤≤． 注：不要忽略a +=24的情况．5. 注意参数范围的等价性当参数包含于多个元素的表达式时，运算过程中容易扩大参数的取值范围，应注意检验，否则会发生错解．例5. 已知集合{}{}A a aB a a a =-+=-+-31312122，，，，，，且A B ={}-3，求实数a 的值．错解：由{}A B =-3，知33213a a -=--=-或，即01a a ==-或．错因分析：当a =0时，{}{}A B =-=--301311，，，，，，此时{}A B =-31，，与A B {}=-3矛盾，应舍去．6. 注意分类讨论的重要性例 6. 已知集合{}{}A B x x ax b =-=-+=11202，，|，若B ≠∅，且A B A = ，求实数a 和b 的值．分析：因为A B A =，故B A ⊆，又B ≠∅，故B 中含一个或两个元素，通过讨论，可求出：0,1,1,11 1.a a a b b b ===-⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩或或 7. 注意条件隐含性例7. 全集{}22,3,23S a a =+-，{}|21|2A a =-，，{}5S A =ð，求实数a 的值． 错解：因为{}5S A =ð，所以55∈∉S A 且，从而a a 2235+-=． 解得：a a ==-24或．错因分析：导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为S 是全集，所以A S ⊆． 当a a S =-=∈2213时，||，符合题意；当a =-4时，||219a S -=∉，不符合题意，故a =2．注：在解有关含参数的集合题时，需要进行验证结果是否满足题中的条件（包含隐含条件）．高考集合问题常见类型解析湖南省 黄爱民 赵长春集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点.本文结合近年高考集合题， 对其常见类型加以分类解析，供参考。
集合问题的常见错误简析
集合问题的常见错误简析集合是数学学习中极为重要的知识点。
通过对集合知识的学习，能够为其他数学知识的学习奠定基础，能够让我们对于相关知识的掌握程度更为牢靠。
[1]通过集合问题常见错误的分析，不仅能够让我们更好地避免此类错误的再次发生，也有助于我们对于集合相关知识的深入领会。
關键词：集合知识常见错误问题分析前言集合是我们数学学习过程中不可忽视的一个重要知识点，通过该知识点的学习，我们能够更加夯实自身数学基础，对于其他问题的进一步学习和掌握奠定基础。
而集合学习过程中容易出现一些错误，如能对这些常见错误进行分析，必可真正让我们对该内容予以系统掌握。
[2]一、集合学习重要性集合属于最基本的数学语言范畴，融合了集合概念、集合与集合之间的关系以及集合的运算等相关知识。
集合作为数学表达工具，具有至关重要的作用。
集合属于高中数学的基本概念，能够为后续函数的学习奠定良好的基础，在每年的高考中，集合这一知识内容都占有一席之地，属于每年的必考考点，在高中数学学习中具有举足轻重的作用。
通过这些内容的学习，有助于对有关函数知识内容的掌握，为函数的学习打下扎实的基础，有助于提升我们分析与解决问题的能力，能够实现数学知识与技能的提升，进而显著提高学习效率。
[3]二、集合问题常见错误分析1.忽视集合为空集情形例题1：已知，，如果计算出实数p的取值范围。
错解：假设的两个根是x1，x2，由于，故该方程具有两个正根，推算出因此，实数p的取值范围是（-∞，-1）。
剖析：我们在对这类题型进行解答的过程中，经常对空集是任何集合的子集这一内容忽略，在上面的解题方法中，就对的特殊情形忽略了，当，可以推算出，则该方程无解，该类错误是由于分类讨论不全面系统导致的，因此，实数p的取值范围是（-∞，1）。
2.忽视结合中的元素互异例题2：假设，，并且集合A与集合B相交，其取值范围为{2，5}，请计算出实数a的值。
错解：通过该题的题意可以得出，由可以得出a=3或者a= ±1。
2019年高考数学集合与函数易错点分析
2019年高考数学集合与函数易错点分析1.实行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图实行求解。
2.在应用条件时，易忽略是空集的情况。
3.你会用补集的思想解决相关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。
6.求解与函数相关的问题易忽略定义域优先的原则。
7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。
8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。
9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存有反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存有反函数，此函数不一定单调。
10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示。
12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。
这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?。
基于学生错误类型的数学考试质量分析——聚焦集合、命题与不等式
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研究背景
笔者在上 海市某高 中一年级 挑选 了一个班 级， 对该班 ３ 名学 生在期 中数学试卷 中的错误 ７ 进 行分析．该高 中是上海市浦东新 区的一个 区 重点， 高一年级共有约 ３ ０ ５ 名学生． 本次期 中考
试 主要考查学 生对 集合、命题与不等 式 内容的 掌握情况．
二、研 究框架 本文 的研 究框 架 主要借 鉴 Ｎ ｔａ Ｍｏ ｓｏ ｉ ｖｈ － ｓ
三、 典型错误分析 以下笔者给 出六个例子， 它们分别对应六种 错误类型， 同时也是学生卷面 中的常见错误， 使
读者对错 误分类系统有一个更为清晰的认识．
（Ｙ杀 ；Ｄ ＝＋ ． ｃ ） （ｙｘ ）
错解： Ａ） （ ．
错 误 分 析 ：当 Ｘ ＞ ０时， Ｙ＝ Ｘ＋ 土 ≥ ２ 学 ，
生忽略了Ｘ＞ｏ Ｋ个条件， 而在 （ 。＋。 ） 一。 ， ｏ 上应 用平均不等式， 于误解定理 或定义． 属
例 ５ 已知集合 ｛ｘ ＋ ２ ， ）＝ ．，｝ 则整 ［ ４， ７
２ １年第 ７ ０１ 期
数学教学
’３ 一ｓ
基 于学生 错 误 类型 的数 学考 试 质 量分 析
一
聚 焦 集 合、 题 与 不 等 式 命
２０ １ 华东师范大学数学系硕士研究生 袁思情 赵纪诺 ０２ ４
直 以来， 考试作为一种有效的评价学生的 方式始 终贯穿在教学活 动之中．教师通 过测试
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重难点归纳(带答案)
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重难点归纳单选题1、若集合A ={x ∣|x |≤1,x ∈Z }，则A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A ={x ∥x ∣≤1,x ∈Z } ={−1,0,1}，则A 的子集个数为23=8个，故选：D.2、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C3、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B ={−2,−1,1}，则A ∩(∁U B )={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.4、已知集合A={x|x+2x−4<0}，B={0,1,2,3,4,5}，则(∁R A)∩B=（）A．{5}B．{4,5}C．{2,3,4}D．{0,1,2,3}答案：B分析：首先化简集合A，再根据补集的运算得到∁R A，再根据交集的运算即可得出答案.因为A={x|x+2x−4<0}=(−2,4)，所以∁R A={x|x≤−2或x≥4}.所以(∁R A)∩B={4,5}故选：B.5、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可. 解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.6、设集合A={x|x2=1},B={x|ax=1}．若A∩B=B，则实数a的值为（）A．1B．−1C．1或−1D．0或1或−1答案：D分析：对a进行分类讨论，结合B⊆A求得a的值.由题可得A={x|x2=1}={1,−1}，B⊆A，当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B={1a }，则1a=1或1a=−1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D.7、下列命题中正确的是（）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x−1)2(x−2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而 ϕ 不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.8、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.多选题9、设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆NC．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2答案：ABC解析：根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD.对于A，若a<−1，则3+a<2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a>4，则显然任意x∈M，则x>4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N=R，则{a<23+a>4，解得1<a<2，故C正确；对于D，若M∩N=∅，则{a≥23+a≤4，不等式无解，则若M∩N≠∅，a∈R，故D错误.故选：ABC.10、定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合B={1,2,3}的孙子集的是（）A．∅B．{1}C．{1,2}D．{1,2,3}答案：BC分析：根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B的关系，即可确定正确选项.A：∅为集合B的真子集，当不是非空集，不合要求；B：{1}为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；C：{1,2}为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；D：{1,2,3}为集合B的子集，但不是真子集，不合要求.故选：BC11、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．B∩A=B D．A=B=C解析：根据集合A,B,C中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其它角，比如−330∘，所以A选项错误.对于B选项，锐角是小于90∘的角，故B选项正确.对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.对于D选项，A,B,C中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC小提示：本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.填空题12、已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．，+∞）．答案：{0}∪[94分析：分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，，故成立；解得x=13当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，；解得a≥94综上所述，a的取值范围是{0}∪[9，+∞）．4，+∞）．所以答案是：{0}∪[9413、已知命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是___________.答案：a>18分析：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.因为命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，当a=0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是假命题，不合题意；当a≠0时，得{a>0Δ=1−8a<0，解得a>18.所以答案是：a>18小提示：关键点点睛：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题求解是解题关键.14、已知集合A={x|x≥4或x<−5}，B={x|a+1≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围_________．答案：{a|a<−8或a≥3}分析：根据B⊆A，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B⊆A，只需a+3<−5或a+1≥4，解得a<−8或a≥3．所以实数a的取值范围{a|a<−8或a≥3}.所以答案是：{a|a<−8或a≥3}解答题15、用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．答案：(1){0,2，4，6，8，10}；(2){−2，−1，2}(3){(1，2)}分析：（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以构成的集合为{0,2,4,6,8,10}，（2）(x+1)(x2−4)=0的根为x1=−1,x2=2,x3=−2，所以所有实数根组成的集合为{−2,−1,2}，（3）联立y=x+1和y=2x，解得{x=1y=2，所以两个函数图象的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)}。
数学中的集合与命题逻辑关系分析
数学中的集合与命题逻辑关系分析数学是一门严谨而又具有普遍适用性的学科，其中集合论和命题逻辑作为数学的基础，对于各个领域的研究都起着重要的作用。
本文将对数学中的集合与命题逻辑关系进行分析，以揭示它们之间的内在联系和相互作用。
一、集合与其元素的关系在数学中，集合是由一组明确定义的对象所组成的。
集合与其中的元素之间存在着紧密的关系。
1.1 包含关系在集合理论中，一个集合可以包含另一个集合。
若集合A中的每个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集。
可以用符号表示为A ⊆ B，其中“⊆”表示子集关系。
举个例子，假设集合A为自然数的集合{1, 2, 3}，集合B为正整数的集合{1, 2, 3, 4, 5}。
可以看出A的每个元素都是B的元素，因此A 是B的子集，即A ⊆ B。
1.2 相等关系集合中的元素完全相同时，称这两个集合相等。
可以用符号“=”表示。
以前述例子为基础，若集合C为自然数的集合{1, 2, 3}，则A = C，因为A和C中的元素完全相同。
二、命题逻辑中集合的应用命题逻辑是研究命题之间的推理关系和逻辑结构的学科，而集合论在命题逻辑中扮演着重要的角色。
2.1 命题与真值集合命题是陈述性语句，其要么为真，要么为假。
在命题逻辑中，集合论常用来表示命题的真值集合。
以“p：今天是晴天”为例，它可以是一个命题。
假设集合S为所有使得p成立的条件，那么S就是p的真值集合。
2.2 命题之间的关系在命题逻辑中，各个命题之间有不同的关系，包括与、或、非等关系。
集合论可以用来表示这些关系。
以两个命题p和q为例，可以定义它们之间的关系如下：1）p与q的合取，即p和q都为真的情况。
可用集合论表示为p ∩ q。
2）p与q的析取，即p和q至少一个为真的情况。
可用集合论表示为p ∪ q。
3）非p的否定，即p为假的情况。
可用集合论表示为S - p，其中S为全部可能的命题。
三、集合与命题逻辑的相互引用虽然集合论和命题逻辑是独立的学科，但它们在数学中经常相互引用，互为补充。
高中数学集合与常用逻辑用语专题复习-2
易错点，若，则实数的值为A．B．C．D．或或【错解】由得或，解得或或，所以选D．【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当时，A=B={1,1，y}，不满足集合元素的互异性；当时，A=B={1,1,1}也不满足元素的互异性；当时，A=B={1，−1,0}，满足题意．集合中元素的特性：（1）确定性.一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；（2）互异性.集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素（3）无序性.集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系1．集合{x –1，x 2–1，2}中的x 不能取得值是A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】当x =2时，x –1=1，x 2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =3时，x –1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x =4时，x –1=3，x 2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =5时，x –1=4，x 2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B ．【答案】B错点2误解集合间的关系致错已知集合，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是A ．B ．C ．D ．【错解】因为，所以，所以，故选B ．【试题解析】因为，所以，则集合是集合B 中的元素，所以，故选D ．【参考答案】D（1）元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作（或）；如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.2．若集合，，则有A ．B ．C ．D ．【解析】，，故.故选B ．易错点3忽视空集易漏解已知集合，，若，则实数m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有，所以错解中忽略了时的情况.【试题解析】∵，∴.，①若，则，即，故时，；②若，如图所示，则，即.由得，解得.又∵，∴.由①②知，当时，.【参考答案】C（1）对于任意集合A ，有，，所以如果，就要考虑集合可能是；如果，就要考虑集合可能是.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即，.3．集合，若，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【解析】当时，集合，满足题意；当时，，若，则，∴，所以，故选B ．是B 的充分条件与A 的充分条件是B 的区别设,则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【错解】选A ．【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.【试题解析】若，则，但当时也有，故本题选B ．【参考答案】B（1）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，即B ⇒A 且A B ；（2）“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ，即A ⇒B 且.4．已知，，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【解析】由基本不等式得，，由，又因为的一个充分不必要条件是，则，故选A．错点5命题的否定与否命题的区别命题“且”的否定形式是A．B．C．D．【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词；对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“且”的否定形式是“”．故选D．【参考答案】D1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．2．命题的否定（1）对“若p，则q”形式命题的否定；（2）对含有逻辑联结词命题的否定；（3）对全称命题和特称命题的否定．学！科网（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．5．已知，则¬p是¬qA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】∵，∴5x−2>3或5x−2<−3，∴x>1或，∴¬p：.∵，∴x2＋4x−5>0，∴x>1或x<−5，∴¬q：−5≤x≤1，∴¬p⇒¬q，但¬q¬p，故¬p是¬q的充分不必要条件．【答案】A将命题的否定形式错误地认为：，∴x2＋4x−5<0导致错误．一、集合1．元素与集合的关系：.2．集合中元素的特征：（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.3．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或4．集合间的基本关系（或）是任何非空集合的真，个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非）子集关系的传递性，即.）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.5．集合的基本运算）二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题命题表述形式原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若，则逆否命题若，则2．四种命题间的关系都是任意(所有)的任两个()）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.等价转化法判断充分条件、必要条件的充分不必要条件是的充分不必要条件；的必要不充分条件是的必要不充分条件；的充要条件是的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则①若，则p是q的充分条件；②若，则p是q的必要条件；③若，则p是q的充分不必要条件；④若，则p是q的必要不充分条件；⑤若，则p是q的充要条件；⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.三、逻辑联结词、全称量词与存在量词1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p且q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p或q”；对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作，读作“非p”．2．复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：p q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假3．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等4．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：含有逻辑联结词的命题的真假判断：）中一假则假，全真才真．）中一真则真，全假才假．p与真假性相反．学科网注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.1．（2018浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A．B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知集合，，则A．B．C．D．3．（2018新课标全国Ⅲ文科）已知集合，，则A．B．C．D．4．（2018天津文科）设集合，，，则A．B．C．D．5．（2018浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（2018天津文科）设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2018北京文科）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知集合A=，B=，则A．A B=B．A BC．A B D．A B=R9．（2017新课标全国Ⅱ文科）设集合，则A．B．C．D．10．（2017北京文科）已知全集，集合，则A．B．C．D．11．（2017北京文科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（2016四川文科）设p:实数x，y满足且，q:实数x，y满足，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．已知集合，则实数a的值为A．−1B．0C．1D．214．已知集合,,则A．B．C．D．15．设命题p:,则为A．B．C．D．16．“若，则，都有成立”的逆否命题是A．，有成立，则B．，有成立，则C．，有成立，则D．，有成立，则17．已知集合，集合，则集合A．B．C．D．18．已知集合，，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．19．“”是“函数在区间无零点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件20．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是A．B．C．D．且21．已知命题:对任意,总有是的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是A．B．C．D．22．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是A．B．C．D．23．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是A．为真命题B．为真命题C．为真命题D．为真命题24．（2018北京）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．25．已知集合，集合，若，则实数=________．26．若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．27．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．28．下列有关命题的说法一定正确的是________.（填序号）①命题“，”的否定是“，”②若向量，则存在唯一的实数使得③若函数在上可导，则是为函数极值点的必要不充分条件④若“”为真命题，则“”也为真命题29．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题，的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________.。
高考数学复习：集合中常见错误选讲
集合中常见错误选讲
在解有关集合的问题时，我们往往会由于概念不清晰，思路不严谨而造成解题错误．下面就同学们在解题中常出现的错误加以剖析，供同学们参考．高.考-资.源-网
一、对集合中元素概念理解不清而致误
例1 已知，，求．
错解：由题意，得
消去，得
．
， ∴方程无实根，即． 错因剖析：导致出现以上错误的原因在于没有正确认识集合中的元素，误以为题目是求抛物线与抛物线的交点坐标．其实，集合中的元素都是y ，是表示两个函数值域的集合．
正解：
，
， ，，
． 二、忽视空集而致误
例2 已知集合，，若，求实数的值． 错解：由已知，易得，， 当时，；当时，． 综上可知，13m =或12
m =-． 错因剖析：导致出现以上错误的原因在于只考虑到的情形，忽视了B ≠∅仍然符合B A ．（注意：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集） 正解：由已知，易得 {}32A =-，，B
A ∵， 或或∅．
若，由，得13m =； 若
，由，得12m =-； 若，由无解，得． 或12
m =-或0m =． 三、忽视集合中元素的互异性而致误
例3若，
，且，试求实数．
错解：，∴由，
解得 或． 错因剖析：忽视了集合元素的互异性． 正解：∵A ∩B=｛2，5｝，∴由32275a a a --+=，
解得 2a =或1a =±．
当a=1时，
与元素的互异性矛盾，故舍去； 当时，，此时，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-；
当2a =时，
，，此时{}25A B =，满足题意，故2a =为所
求．
高.考-资.源-网
内容总结。
《集合与常用逻辑用语》重点知识梳理、典型题型归纳总结
《集合与常用逻辑用语》重点知识梳理、典型题型归纳总结作者：朱振华来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2013年第09期集合是高中数学中的一个重要概念，是研究数学问题的基础和工具.因此，集合是每年高考必考的内容，考查时以填空题为主，难度不大，主要从两个方面进行考查：一方面是考查集合本身的知识，集合与集合之间的关系，集合的运算等；另一方面是考查集合语言与其他数学知识的综合运用.常用逻辑用语内容的考查主要涉及到：命题的改写、四种命题之间的关系、命题的否定、逻辑联结词与量词、充分必要条件的判断、全称命题与存在性命题的关系等，在高考中常常结合高中数学中其他章节的知识进行考查，具有一定的综合性，常以填空题的形式出现.重点知识梳理一、集合的概念、关系与运算1.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依椐.2.集合的表示方法：列举法、描述法，有的集合还可用Venn图表示，有些集合可用专用符号表示，如N，N，N+，Z，R，Q，等.3.元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x是集合A的元素，则x∈A，否则xA.4.集合与集合之间的关系：（1）子集：若x∈A，则x∈B，此时称集合A是集合B的子集，记作AB；（2）真子集：若AB，且存在元素x∈B，且xA，则称A是B的真子集，记作：AB；（3）相等：若AB，且AB，则称集合A与B相等，记作A=B.5.集合的基本运算：（1）交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}；（2）并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}；6.集合运算中常用结论：（4）由n个元素所组成的集合，其子集个数为2n个；（5）空集是任何集合的子集，即A.在解题中要特别留意空集的特殊性，它常常就是导致我们在解题中出现错误的一个重要原因，要避免因忽视空集而出现错误.7.含参数的集合问题是本部分的一个重要题型，应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用.二、命题及其关系1.命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.2.四种命题的相互关系：4.在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价.5.充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误；（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的；6.证明p是q的充要条件：（1）充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；（2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.三、逻辑联结词与量词2.全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“”表示；“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为x∈M，p（x）.含有存在量词的命题叫做存在性命题，存在性命题：“存在M中任意一个x，使p（x）成立”可用符号简记为x∈M，p（x）.3.全称命题与存在性命题的关系：典型例题剖析题型一集合的概念与运算例1 设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B等于 .解析：由已知可得，集合A是集合{-2，-1，1，2}的非空子集，则A∩B=或{1}.小结：本题考查了映射的概念及集合的交集运算.通过逆向思维，将所有可能出现的集合A中的元素用列举法列出，求两个集合的交集即可.例2 若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B={1，3，x}，则x= .解析：由已知得：BA，所以x2∈A，且x2≠1.当x2=3时，x=±3，经检验都符合题意；当x2=x时，x=0或x=1，经检验x=1舍去，所以，x=0，x=±3.小结：集合中元素的属性，交并补的运算在高考中也经常出现.本题易错的原因是不考虑元素的互异性或考虑问题不全面.例3 已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|2a解析：由题意得，A={x|-1≤x≤2}，当2a≥a+3，a≥3时，B=，此时A∩B=；当a综上所述，当a≥1或a≤-4时，A∩B=.小结：以集合语言和集合思想为载体，考查函数的定义域、值域，方程，不等式，曲线的相交问题.解决有关A∩B=，A∪B=，AB等集合问题时容易忽略空集的情况而出现漏解，因此，我们要关注好分类讨论思想的应用.题型二命题与逻辑联结词例4 设a，b是向量，命题“若a=-b，则|a|=|b|”的逆命题是 .解析：利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题.即原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p”，故答案为“若|a|=|b|，则a=-b”.小结：判断命题的四种形式的关键是准确把握命题的条件和结论，然后根据命题的四种形式进行判断即可，并注意互为逆否命题的两个命题是等价命题，可用其判断命题的真假.例5 已知命题p：关于x的方程x2-x+a=0无实根；命题q：关于x的函数y=-x2-ax+1在[-1，+∞）上是减函数.若q是真命题，p∨q是真命题，则实数a的取值范围是 .解析：若命题p为真，则有Δ=（-1）2-4a14；若命题q为真，则有-a2≤-1，解得a≥2.因为q是真命题，p∨q是真命题，则命题q为假命题，命题p为真命题，所以实数a的取值范围是{a|a>14}∩{a|a小结：含逻辑联结词的命题的判断，其关键是两个简单命题真假的判断.本题先求出命题p，q为真时对应的参数的取值范围，然后根据这两个命题的真假情况分类讨论，利用集合的基本运算求解参数a的取值范围.题型三充分条件与必要条件例6 设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“NM”的 .（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分又不必要条件”）解析：当a=1时，N={1}，此时有NM，则条件具有充分性；当NM时，有a2=1或a2=2得到a1=1，a2=-1，a3=2，a4=-2，故不具有必要性，所以“a=1”是“NM”的充分不必要条件.例7 若a，b为实数，则“0解析：当a>0，b>0时，由01a得不到0小结：从近年高考题来看，充要条件多以填空题的形式出现，与函数、不等式、直线与平面、圆锥曲线等知识联系的很紧密，因此，理解充分条件与必要条件的意义，能够初步判断给定的两个命题之间的关系.题型四含有一个量词的命题的判断与否定例8 命题“对任意x∈R，2x2-3x+1≤0”的否定是 .解析：“对任意x∈R”是一个全称量词，对应的存在量词为“存在x∈R”，命题“对任意x∈R，2x2-3x+1≤0”是一个全称命题，其否定是一个存在性命题，即命题“存在x∈R，2x2-3x+1>0”.小结：命题的否定是指否定这个命题所得出的结论，这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>”的否定用“知能提升训练（作者：朱振华，江苏省海门中学）。
集合中常见的几类易错问题
集而错选 答案 ，事实 上集合 Ａ、 表示数集 ，由 均
剖析 ：上述解 答忽 视 了 “ 空集是 任何 集合 的子
离中 ２ １ ０ １年嚣 ９期
数学有数
２ 年高考广东文科数学填 空题典型错解分析 ０ １ １
■ 张景辉
对而 不全． 因此解填 空题 ， 合理分 析和判 断的基 础 在
上 ，既要使得每一个步骤的推理和运算 准确无误 ，又 要保证答 案 的呈 现形式 满足完 整和规范 ． 今年参 笔者
１． ３ 为了解篮球爱好者小李 的投篮命 中率 与打篮
球时 间之 间的关系 ，下表记录了小李某月 １ 到 ５号 号
篮命 中率为 — — ． 标准答案 ：０ ；０５ ． ． ． ５ ３
Ａ＝ｙ ＝ － ＥＲ ＝ｙ ≤ １ ｛ｌ ｌｘ ｝｛ｌ ， ｙ ｙ ｙ∈Ｒ ， ＝ｘ ＝ ， Ｚ ｝忸ｌ ｝Ｂ ｛ｌ Ｘ １ ＝ ｙ ￣ｒ
１ ， ｝当 ∈Ｚ时， ． ≤１ ｘ∈Ｚ ， ＹＥＺ ｎＮ ｛ｙ － ，，｝ ＝ｙ ＝ Ｉ １． ｌ ０
每天 打篮球 时间 （ 单位 ：小 时）与当天投篮命 中率
Ｙ之间的关 系 ：
加高考评卷，并负责文科数学填空题的批改． 本文结
合 自己在改卷过程 中获取到考生填空题中出现的典 型 错解 ，并 探究其发生原 因 ，以便 给 ２ １ ０ ２年参 加高 考 的考生一个警醒．
一
ｌ时间
ｌ
在利用集合的交集、并集或补集求某些元素的范
围时 ， 一定要搞清楚题 中的隐含条件．
例 ５ 已知 Ｐ ｛ｌ ｘ— ＋ ＥＺ ， ｛ｌ －２２ ， ． ＝ｙｙ ３ ｝Ｑ＝ｙｙ ｘ－ ｘ ＝ ＝
式 ，如数 轴 、坐标 系和 Ｖ ｎ ｅｎ图来解 决集合 问题．
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集合与命题的常见错误归纳分析
B03151101 陈慧
高一数学的开篇知识就是集合与命题，而命题的很多知识都是建立在集合的基础上的。
这部分知识点的掌握都比较重要。
但实际上同学们这部分有些知识都掌握得并不是很好，甚至是一些贯穿整个集合于命题知识的内容，这些问题我们不可以忽视。
我在教育实习期间，帮老师批改作业，与同学积极交流，及时总结一些常见错题，得到一些一手资料，现给出相关归纳分析。
1. 错误点：关于集合小范围可推出大范围问题
这个问题的出错率相当之高，而且贯穿于整个命题学习过程中，尤其是在学习命题推出关系的时候，对这个问题掌握的好坏程度直接影响了做题的正确性。
例1. 判断命题“若2<a ，则2<a ”的真假。
错解：由2<a ，可得22<<-a ,因为a 在小于2的同时必须大于2-，所以不可以直接推出2<a 。
故此命题为假命题。
分析：之所以学生会犯这类错误，就是不明白我们从小范围可以直接推出大范围。
因为满足小范围的事物必定在大范围里也是成立的，比如说“他是一个男人”一定可以推出“他是一个人”，因为“男人”这个小范围一定包含在“人”这个大范围当中。
解决问题的方法：必须经常强调“从小范围可以推出大范围”这句话以加深同学印象，当然更要说明为什么这句话成立了。
如分析中的这个形象的例子就可以常常告诫同学要记住以记住“从小范围可以推出大范围”这句话。
正解：由2<a ，可得22<<-a ，因为a 满足22<<-a 这个小范围，所以也一定可以推出a 满足2<a 这个大范围。
所以命题为真。
2. 错误点：命题的否定形式常常思考得不够透彻，或者不知道否定形式的写法是怎么样的
例2. 写出命题“男生爱踢足球”的否命题。
错解：男生不爱踢足球。
分析：思维过于直观，认为对命题的否定就是对命题中谓语“爱”的否定“不爱”就可以了。
解决问题方法：从否命题的定义以及些否命题的步骤走下手，先把命题写成“如果……
那么……”的形式，然后分别对条件和结论写否定形式就是命题的否定形式了。
正解：Step1：命题改写成“如果一个人是男生，那么这个人爱踢足球”；
Step2：分别否定条件和结论：“如果一个人不是男生（是女生），那么这个人不爱踢足球”。
故否命题为：“女生不爱踢足球。
”
例3. 写出命题“已知a 、b 、c 是实数，如果0<ac ，那么)0(02≠=++a c bx ax 有实数根”的否命题。
错解：已知a 、b 、c 是实数，如果0>ac ，那么)0(02≠≠++a c bx ax
分析：这种错误解答包括两方面。
一是没搞清楚“<”的否定形式到底是“>”还是“≥”；二是没有搞清楚该命题的结论表达的含义：“)0(02≠=++a c bx ax 有实数根”的否定是对“有实数根”的否定，不是对方程“02
=++c bx ax ”这个等式成不成立的否定。
解决问题方法：一必须弄清楚很多题目的否定形式是怎么样的，如“=”否定形式为“≠”，“至少”否定形式为“全都不”等等。
二必须分析清楚“)0(02≠=++a c bx ax 有实数根”的含义，知道对它的否定是对哪部分的否定。
正解：已知a 、b 、c 是实数，如果0≥ac ，那么)0(02≠=++a c bx ax 没有实数根。
3. 错误点：被题目似乎正确的面目所蒙蔽，没看到实质上的东西，结果致使功亏一篑 例
4. 判断命题α：“在ABC ∆中，222AB AC BC +=”与命题β ：“A
B C ∆是直角
三角形”是否为等价命题，并说明理由。
错解：由题意，在ABC ∆中，2
22AB AC BC +=，则A B C ∆为直角三角形；而ABC
∆是直角三角形，则由勾股定理可知222AB AC BC +=。
即αββα⇒⇒,。
故α、β为等价命题。
分析：思考的方式是正确的——从等价命题的定义出发，证明αββα⇒⇒,即可。
但是具体过程中忽略了从αβ⇒时，没有考虑应用勾股定理是哪个角为直角的问题。
解决问题办法：强调做题要思考全面，理解清楚题意，避免调入出题者制造的仙境之中。
如此题中要注意哪个角为直角的问题。
正解：由题意，在ABC ∆中，2
22AB AC BC +=，则A B C ∆为直角三角形；而ABC
∆
是直角三角形，可知222）
（直角边）（直角边斜边ηγ+=，但本题并为指出哪个角为直角，所以无法写出具体的式子。
4. 错误点：对文氏图表示法的意义模糊
例5. 已知I 是全集，若M 、P 、S 是I 的3个子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A 、S P M ⋂⋂)(）；
B 、S P M ⋃⋂)(；
C 、的补集S P M ⋂⋂)(；
D 、S P M ⋃⋂)(
错解：A 。
分析：本题的错误只有一个原因造成，就是对集合的基础知识掌握得不牢固。
只要对文氏图法表示了解，那么本题就很容易得出结果。
解决问题方法：强调在集合中非常有用的一个工具——文氏图法。
以及关于文氏图法中的一些意义也要十分清楚。
由于是选择题，本题还可以依次排除错误选项，得到正确答案。
正解：C 因为首先看到所讨论区域是真包含于P M ⋂的，则依此可以排除选项B 、D 。
而所讨论的区域并不包含S 中的任何区域，故A 选项也可排除。
这样只剩下C 了，并且我们可以验证C 的确是正确的。
5. 错误点：做题思路原则上正确，但具体问题分析得不够全面
例6. 若集合{}
Q y x y x a a M ∈+==、,2，则下列结论正确的是：（ ）
A 、Q M ⊆；
B 、Q M =；
C 、Q M ≠⊃；
D 、M Q ≠⊃ 错解：A 。
分析：做错的同学是这样想的：与M 中元素a 相关的数只有x 、y ，而题目中给出了x 、Q y ∈，因此a 也应该是有理数范围内的。
解决问题方法：做这类题还是有一个基本方法可依据的。
分析M 中元素a 的构成，本题a 有两部分组成——x 和y 2，在一部分一部分讨论它们的性质，依此判断a 的性质。
正解：C 因为Q x ∈，且Q y ∈，而2为无理数，y 2就是无理数，再加上有理数x ，最后得到的结果仍然是无理数。
6. 错误点：欠缺分类讨论思想，只是看表象做题
例7. 已知全集R U =，集合{}1--≤=a x x A ，集合{}
2+>=a x x B ，集合{}40≥<=x x x C 或，若B A ⋃的补集C ⊆,求实数a 的取值范围。
错解：因{}1--≤=a x x A ，{}2+>=a x x B ，则{}21+>--≤=⋃a x a x x B A 或，故{}21+<≤--=⋃a x a x B A 的补集，根据B A ⋃的补集C ⊆，{}
40≥<=x x x C 或，得：02<+a 或41≥--a ，即2-<a 或5-≤a ，即2-<a 。
分析：本题错误的原因是因为考虑问题不全面，从题目给出的表面实形式就直接计算下来，而不去讨论其他情况。
解决问题方法：强调分析题意和分类讨论思想。
正解：分两种情况讨论：
（1）若B A ⋃的补集=φ，则R B A =⋃，因此12--≤+a a ，2/3-<a ；
（2）当12--≥+a a 时，{}21+<≤--=⋃a x a x B A 的补集，根据B A ⋃的补集C ⊆，{}
40≥<=x x x C 或，得：02<+a 或41≥--a ，即2-<a 或5-≤a ，即2-<a 。
因此本题a de 取值范围是{}2/3-<a a
[教师点评] 本文总结了学生有关集合与命题方面的若干常见错误，对课堂教学有一定的参考价值。
作者能够思考、归纳、分析学生的解题错误，体现了一名实习生的良好素质。