高考整理——函数及其表示(有知识点框图)整理版
高一函数应用知识点总结图
高一函数应用知识点总结图一、函数及函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将每个自变量映射到唯一的因变量上。
2. 自变量和因变量：自变量是函数中的输入量，因变量是函数中的输出量。
3. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
二、函数的图象及性质1. 函数的图象：函数的图象是自变量和因变量之间的关系在直角坐标系中的图形表示。
2. 函数的单调性：函数在定义域内的增减情况。
3. 函数的奇偶性：函数在定义域内的对称性。
4. 函数的周期性：函数在定义域内的重复性。
三、初等函数及其性质1. 幂函数：f(x) = x^n (n为常数)。
2. 指数函数：f(x) = a^x (a>0, a≠1)。
3. 对数函数：f(x) = loga(x) (a>0, a≠1)。
4. 三角函数：sin(x), cos(x), tan(x)等。
5. 反三角函数：arcsin(x), arccos(x), arctan(x)等。
四、函数的运算1. 函数的和、差、积、商：(f+g)(x) = f(x) + g(x)，(f-g)(x) = f(x) - g(x)，(f*g)(x) = f(x) * g(x)，(f/g)(x) = f(x) / g(x)。
2. 复合函数：(f∘g)(x) = f(g(x))。
3. 反函数：若f(x)的定义域和值域交换，则g(x)为f(x)的反函数，记作g(x) = f^(-1)(x)。
五、函数的应用1. 建立数学模型：利用函数构建实际问题的数学模型，解决现实生活中的问题。
2. 函数的最值：利用函数图象和性质求函数的最大值和最小值。
3. 函数的增长率：函数在某一点的导数即为其增长率，用以描述函数增长和减少的趋势。
4. 函数的变化率：函数的导数描述了函数在各个点的变化率，应用于相关变化的问题中。
六、导数和微分1. 导数的定义：函数在某一点的导数定义为函数在该点处的切线斜率。
(完整版)高考函数知识点总结(全面)
高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 （1)函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。
②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域。
B C ⊆（2)构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法:（1） 定义法 (2)变量代换法 （3)待定系数法(4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。
求函数定义域的主要依据： (1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零;（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。
复合函数定义域：已知f （x ）的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出。
三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=f （x ）中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则①当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f （x ）用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
数学高考知识点总结函数
数学高考知识点总结函数一、函数的基本概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种对应关系，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素之间的关系。
如果对于集合X中的每一个元素x，都有集合Y中的唯一元素y与之对应，那么我们就称这种对应关系为函数。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
1.2 函数的表示函数可以用不同的形式进行表示，常见的表示形式包括：① 变量关系式表示：y=f(x)或者y=f(x₁,x₂,…,xₙ)。
② 表格表示：将自变量和因变量的对应关系列成表格。
③ 图像表示：通过绘制函数的图像来表示函数的关系。
二、函数的性质2.1 奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数的一种性质，它们的定义如下：① 奇函数：如果对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么我们称函数f(x)是奇函数。
② 偶函数：如果对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么我们称函数f(x)是偶函数。
奇函数以原点对称，而偶函数以y轴对称。
2.2 周期函数如果函数f(x)满足对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，其中T为一个正常数，那么我们称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
2.3 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质，可以分为严格单调增、严格单调减、非严格单调增、非严格单调减四种类型。
2.4 凹凸性函数的凹凸性描述了函数图像的凹凸形状，它可以分为凹函数和凸函数两种类型。
2.5 极值函数的极值是指函数在一定区间内取得最大值或最小值的点，可以分为最大值和最小值两种。
三、函数的图像3.1 函数的图像基本性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何形象，它具有以下基本性质：① 函数的图像可以用方程y=f(x)来表示。
② 函数的图像关于y轴对称，当且仅当函数f(-x)=f(x)时。
③ 函数的图像可以用表格来表示，通过将自变量和因变量的对应关系列成表格。
3.2 常见函数的图像常见的函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，它们都有各自的特点和图像形状。
高三数学知识点汇总总结图
高三数学知识点汇总总结图高三阶段是学生们备战高考的关键时期，无论是在复习还是应试过程中，数学都是一门重要的科目。
为了帮助同学们更好地掌握高三数学知识点，我将以图表的形式进行总结。
通过这个图表，同学们可以快速浏览，并且可以根据自己的需求详细学习相关知识点。
一、函数与方程高三数学知识点总结图1.1 一元一次方程1.1.1 一元一次方程的解法1.1.2 一元一次方程的应用1.2 二次函数1.2.1 一般式、顶点式和因式分解式 1.2.2 图像的判断与性质1.2.3 二次函数的应用1.3 一元二次方程1.3.1 一元二次方程的解法1.3.2 一元二次方程的应用1.4 不等式1.4.1 一元一次不等式1.4.2 一元二次不等式1.4.3 不等式组1.5 指数与对数1.5.1 指数与对数的定义与性质1.5.2 指数与对数的运算1.5.3 指数与对数方程1.6 三角函数1.6.1 正弦函数、余弦函数和正切函数 1.6.2 弧度制与角度制的转换1.6.3 三角方程二、数列与数学归纳法高三数学知识点总结图2.1 等差数列2.1.1 等差数列的通项公式2.1.2 等差数列的前n项和2.1.3 等差数列的应用2.2 等比数列2.2.1 等比数列的通项公式2.2.2 等比数列的前n项和2.2.3 等比数列的应用2.3 递推数列2.3.1 递推数列的定义与性质2.3.2 递推数列的通项公式2.3.3 递推数列的应用2.4 数学归纳法2.4.1 数学归纳法的基本思想与步骤 2.4.2 利用数学归纳法证明命题2.4.3 数学归纳法的应用三、几何与向量高三数学知识点总结图3.1 平面几何3.1.1 直线与平面的方程3.1.2 角的性质与扇形的计算3.1.3 圆与圆锥的性质3.1.4 集合与不等式3.2 空间几何3.2.1 空间直线与平面的位置关系 3.2.2 空间图形的计算3.2.3 空间几何的投影3.3 向量3.3.1 向量的定义与运算3.3.2 向量的坐标与平面向量3.3.3 向量的夹角与共线定理3.3.4 向量的应用通过以上的总结图，同学们可以清晰地看到高三数学的知识点架构。
函数总结知识框架图
函数总结知识框架图
函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在学习函数的过程中，我们需要对函数的基本概念、性质、图像和应用有一个清晰的认识。
本文将通过总结函数的知识框架图，帮助大家更好地理解和掌握函数的相关知识。
1. 函数的基本概念。
函数是一种对应关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
在函数中，自变量的取值范围称为定义域，而对应的因变量的取值范围称为值域。
函数通常用
f(x)或者y来表示，其中x为自变量，y为因变量。
2. 函数的性质。
函数有着许多重要的性质，例如奇偶性、单调性、周期性等。
其中，奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，单调性是指函数在定义域上的单调变化性质，周期性是指函数图像在一定区间内具有重复性的性质。
3. 函数的图像。
函数的图像是函数的重要表现形式之一，通过函数的图像我们可以直观地了解函数的性质和特点。
常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，它们在坐标系中有着不同的表现形式。
4. 函数的应用。
函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学中，成本函数、收益函数等都是函数的应用；在物理学中，位移函数、速度函数、加速度函数等也都是函数的应用。
通过函数，我们可以描述和分析许多实际问题，为解决问题提供了重要的数学工具。
通过以上对函数的知识框架图的总结，我们可以清晰地了解函数的基本概念、性质、图像和应用。
掌握了这些知识，我们就可以更好地理解和运用函数，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识)
函数基础知识大全§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 求函数解析式的常用方法： 1、换元法（ 注意新元的取值范围）2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）3、整体代换（配凑法） 4.赋值法：3.映射的定义：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f :A →B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。
高三数学知识点梳理图
高三数学知识点梳理图在高中阶段，数学是学生们面临的挑战之一。
为了更好地理解和掌握高三数学知识点，下面将对高三数学的各个知识点进行梳理和总结。
本文将以图表的形式呈现，以便读者更清晰地理解数学知识的结构和关联。
一、函数与方程1. 函数的基本概念函数是一种映射关系，它将一组自变量映射到对应的因变量。
函数的表示方法有函数表达式、图像和数据表等形式。
2. 一次函数一次函数是指次数为1的多项式函数。
它的图像呈线性关系，表示为y = kx + b。
3. 二次函数二次函数是指次数为2的多项式函数。
它的图像呈抛物线形状，表示为y = ax^2 + bx + c。
4. 指数函数与对数函数指数函数是以一个常数为底数，自变量为指数的函数。
对数函数则是指数函数的反函数。
指数函数和对数函数关系密切，互为逆运算。
二、数列与数列极限1. 等差数列等差数列是指数列中后一项减去前一项的差恒定的数列。
它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列等比数列是指数列中后一项除以前一项的商恒定的数列。
它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 数列极限数列极限是指数列中的数随着项数的增加逐渐趋于某个常数。
数列极限的计算可使用极限运算法则。
三、三角函数与解三角形1. 基本角与三角函数基本角是指正弦、余弦、正切函数在0°-90°范围内的取值对应的角度。
三角函数是以单位圆上的点对应的坐标值为函数值。
2. 各角坐标及公式三角函数有诸多坐标及公式，如同角三角函数的互换关系、和差化积公式、倍角公式等。
掌握这些公式对于解三角形和解三角方程十分重要。
四、平面解析几何1. 点和坐标平面解析几何中的基本概念包括点、坐标和距离等。
点是平面上的一个位置，坐标用有序数对来表示。
2. 直线和曲线直线是两个点之间最短的曲线，曲线则是由多个点连成的线条。
直线可由两点确定，而曲线需通过给定的函数方程描述。
高中函数知识点总结思维导图
高中函数知识点总结思维导图1. 函数及其性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
函数可以用数学符号或图形表示。
1.2 函数的性质•定义域：函数的输入值可能取的所有实数的集合•值域：函数的输出值可能取的所有实数的集合•单调性：函数的增减特性•奇偶性：函数在自身关于原点对称时，称为奇函数；否则称为偶函数2. 数学符号的应用2.1 函数的表示法•映射法：使用箭头表示函数的对应关系•例子：f(x) = x^2，表示函数f的定义域为实数集，值域为非负实数集。
2.2 函数的性质表示法•表格法：将函数的定义域和值域以表格的形式表示•例子：x -2 -1 0 1 2f(x) 4 1 0 1 43. 函数的图像与图象3.1 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表现形式，可以通过作图得到。
作图时，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
3.2 函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系中的全体点的集合。
图象的特点有： - 函数左右对称：奇函数的图象关于y轴对称，偶函数的图象关于原点对称 - 函数上下对称：在平面直角坐标系中，函数的图象上的每一点M关于x轴都有对称点N(x,-y)4. 特殊函数4.1 常数函数常数函数是定义域为全体实数的函数，且对应的函数值都相等。
4.2 一次函数一次函数表示为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不等于0。
一次函数的图象是一条直线。
4.3 二次函数二次函数表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。
二次函数的图象是一条抛物线。
4.4 幂函数幂函数表示为f(x) = ax^n，其中a和n为常数，a不等于0。
幂函数的图象随着指数n的增大而变成越来越陡峭或平缓的曲线。
4.5 指数函数指数函数表示为f(x) = a^x，其中a为常数，a大于0且不等于1。
指数函数的图象呈现指数增长或指数衰减的趋势。
4.6 对数函数对数函数表示为f(x) = log(a, x)，其中a为常数，a大于0且不等于1。
函数知识点框图总结
函数知识点框图总结一、函数的定义和概念1.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，将一个或多个自变量映射到一个或多个因变量，其具有唯一性和确定性。
1.2 函数的符号表示函数一般表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数也可以表示为y=f(x)。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
1.4 函数的相关概念一次函数、二次函数、多次函数、三角函数、指数函数、对数函数、复合函数、反函数等。
二、函数的性质和基本函数2.1 函数的奇偶性奇函数和偶函数的定义和性质。
2.2 函数的周期性周期函数的概念和特点。
2.3 函数的单调性单调增函数和单调减函数的定义和特点。
2.4 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等的概念和性质。
三、函数的图像和性态3.1 函数的图像绘制绘制函数的图像需要确定函数的定义域、值域和性态。
3.2 函数的对称性关于y轴对称、关于x轴对称、关于原点对称的函数的特点。
3.3 函数的极值和拐点函数的极值和拐点表现在图像上为山峰和谷底，变化趋势的拐点等。
四、函数的运算和性质4.1 函数的四则运算函数的加减乘除的运算规则和性质。
4.2 复合函数的运算复合函数的定义和运算规则。
4.3 函数的导数函数的导数表示了函数的变化率，是函数运算中的重要概念。
五、函数的应用5.1 函数模型函数可以用来描述各种自然现象和社会现象的规律和模型。
5.2 最优化问题利用函数的性质可以求解最值问题，如最大值、最小值等。
5.3 函数的应用举例数学、物理、化学、经济等领域中对函数的应用案例。
六、函数的解析式和方程6.1 函数的解析式将函数用符号表示的公式称为函数的解析式。
6.2 函数的方程函数的方程是指满足特定条件的函数的数学关系式。
七、函数的增长和减少7.1 函数的趋势函数的增长趋势和减少趋势是评价函数性态的重要指标。
7.2 函数的导函数导函数表示了函数的增长和减少的变化趋势。
高中函数知识点总结图
高中函数知识点总结图函数是高中数学中重要的概念之一，它在数学中具有广泛的应用。
函数可以描述数学中的关系，从而帮助我们解决各种问题。
在高中阶段，我们学习了许多与函数相关的知识点，本文将以图表的形式总结这些知识点。
1.函数的定义与表示函数是一个数学对象，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数可以用各种方式表示，例如函数表达式、函数图像、函数关系式等。
2.函数的定义域与值域函数的定义域是指输入的自变量的取值范围，值域是指函数的输出的因变量的取值范围。
定义域和值域可以是实数集合、整数集合、有理数集合等。
3.线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的表达式为y = kx + b，其中k和b分别是函数的斜率和截距。
线性函数的图像是一条直线。
4.平方函数平方函数是一类二次函数，它的表达式为y = ax^2 + bx + c。
平方函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
5.指数函数指数函数是一类以底数为指数的函数，它的表达式为y =a^x，其中a是底数。
指数函数的图像随底数的不同而有所变化。
6.对数函数对数函数是指数函数的逆运算，它的表达式为y = loga(x)，其中a是底数。
对数函数的图像是一条曲线，它与指数函数的图像关于y = x对称。
7.三角函数三角函数是描述角度与边的关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像是周期性的波动曲线。
8.函数的性质与变换函数具有多种性质，如奇偶性、周期性、增减性等。
函数还可以通过平移、伸缩、翻转等变换来得到新的函数。
以上是高中数学中常见的函数知识点的总结图。
通过这个图表，我们可以更清晰地了解函数的定义、表示、类型和性质。
在解决实际问题时，我们可以根据问题的要求选择合适的函数类型，并利用函数的性质进行变换和运算，从而得到准确的结果。
函数在数学中的应用非常广泛，不仅仅局限于数学领域。
函数的概念和方法也被应用到物理、化学、经济等各个学科中。
因此，对于高中学生来说，掌握函数的知识是非常重要的，它不仅有助于我们理解数学的本质，还能提高我们解决问题的能力。
高一数学函数知识点结构图
高一数学函数知识点结构图一. 函数的定义及表示方法A. 函数的定义函数是数学中的一种关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
B. 函数的表示方法1. 集合表示法{ (x, f(x)) | 条件 }2. 公式表示法y = f(x)3. 图像表示法绘制 x、y 坐标轴，将函数的图像在坐标平面上标出。
二. 函数的性质及分类A. 函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是所有自变量能取的值的集合，值域是所有相应因变量取的值的集合。
2. 单调性函数在定义域内的变化趋势，可以分为增函数、减函数和常函数。
3. 奇偶性如果 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 是奇函数。
B. 函数的分类1. 代数函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数等。
2. 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3. 反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
三. 函数的图像及其性质A. 基本函数图像2. y = x²3. y = √x4. y = 1/xB. 函数的图像性质1. 平移函数图像在坐标平面上的上下左右移动。
2. 对称函数图像关于某条直线对称，如关于 x 轴对称、y 轴对称、原点对称等。
3. 反比例函数的图像y = 1/x 的图像呈现出“倒U”形状。
四. 函数的运算A. 四则运算1. 加法(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f - g)(x) = f(x) - g(x)3. 乘法(f * g)(x) = f(x) * g(x)4. 除法(f / g)(x) = f(x) / g(x)，其中g(x) ≠ 0 B. 复合函数(f ◦ g)(x) = f(g(x))五. 函数的解析式及其应用A. 一次函数 y = kx + b1. 基本形式及性质2. 直线的斜率及特殊情况B. 二次函数 y = ax² + bx + c1. 抛物线的开口及方向2. 顶点坐标及相关性质C. 指数函数 y = a^x1. 定义及性质2. 经过特定点的指数函数D. 对数函数 y = logax1. 定义及性质2. 换底公式的应用六. 函数方程的解及应用A. 函数方程的解通过求解方程来确定函数的未知量。
高三数学知识点归纳总结图解
高三数学知识点归纳总结图解数学作为高中阶段重要的学科之一，在高三阶段占据了学生学习时间的很大比例。
为了帮助高三学生更好地复习数学知识，本文将对高三数学知识点进行详细的归纳总结，并通过图解的方式展示，以帮助学生更好地理解和记忆。
一、函数与方程1. 函数概念与性质函数是自变量与应变量之间的对应关系，通常用f(x)表示。
函数的图像可以通过画出函数曲线来表示，可以根据函数方程的性质进行分类，如一次函数、二次函数、指数函数等。
2. 方程与不等式方程是含有未知数的等式，解方程就是找出使方程成立的未知数的取值。
不等式是带有不等号的等式，解不等式就是找出满足不等式条件的未知数的取值范围。
二、几何与向量1. 平面几何平面几何研究平面内点、线、面的性质和关系，包括角的概念、直线与平面的交点、多边形的面积等。
在高三阶段，需要熟练掌握平面几何的基本定理和判定方法。
2. 空间几何空间几何主要研究空间内点、线、面的性质和关系，包括空间中的平行关系、垂直关系、距离计算等。
解决空间几何问题时，通常需要利用向量的方法进行计算。
三、概率与统计1. 概率概率是描述事件发生可能性的数值，常用P(A)表示事件A发生的概率。
在高三阶段，需要掌握基本的概率计算方法和常用的概率模型，如排列组合、条件概率等。
2. 统计统计是通过收集、整理和分析数据，对数据进行描述和推断的方法。
在高三阶段，需要学习统计的基本概念和统计图表的绘制方法，如直方图、折线图、散点图等。
四、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列由初项和公差决定，通常用a₁，d表示，数列的通项公式为：an=a₁+(n-1)d。
等比数列由首项和公比决定，通常用a₁，q表示，数列的通项公式为：an=a₁*q^(n-1)。
2. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，通过证明某个命题在第一个数成立和第k个数成立的情况下，在第k+1个数也成立，从而推导出全体正整数都成立。
通过以上对高三数学知识点的归纳总结，相信学生们对于各个知识点的理解和记忆都会更加深入和牢固。
高一函数知识结构图
函数函数知识结构图定义域和值域函数的基本性质一个函数的构成要素为：定义域，对应关系和值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数相等。
③函 数 及 其 表 示对于定义域内任意一个x ，都有（1）()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数；偶函数图象关于y 轴对称。
（2）()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；奇函数图象关于原点对称。
⑩x 的取值范围叫做函数)(x f y =的定义域；④ 函数的表示法增函数与减函数：定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，（1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数。
（2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。
⑧ （1）函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； （2）函数最大值应该是所有函数值中最大的，即对于任意的x I ∈，都有M x f ≤)(⑨单调性函数值y 的集合叫做函数y=f(x)的值域。
⑤最 值奇偶性②区间表示集合： [a,b]，（a,b ）[a ，b) ,(a ，b]，(-∞,+∞)()(,),a b -∞⋃+∞设,A B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x = ①解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
⑥设,A B 是非空的数集，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的元数y 和它对应，那么称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。
高考函数知识点框架图
高考函数知识点框架图在学习高中数学时，我们会接触到各种各样的数学概念和知识点。
其中一个重要的内容就是函数。
函数是数学中非常基础而且非常重要的一部分，它在高中数学教学中占据着很大的比重。
为了更好地理解和掌握函数的知识，我们可以利用函数知识点框架图来帮助我们整理和梳理相关内容。
首先，我们需要了解函数的基本概念。
函数可以理解为一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素和另一个集合中的唯一一个元素对应起来。
一般来说，我们用字母来表示函数，比如f(x)。
其中，x是自变量，表示函数的输入；而f(x)是因变量，表示函数的输出。
在函数的概念之后，我们需要学习函数的性质和特点。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等等。
奇偶性是指函数的对称性，一个函数具有奇偶性要么关于y轴对称，要么关于原点对称；周期性是指函数在一定区间内的规律重复；单调性是指函数在某个区间内的增减趋势；有界性是指函数在某个区间内的取值范围。
接下来，我们需要学习函数的表示方法。
函数可以通过表格、图像和函数式等形式来表示。
表格形式是最简单直观的一种表示方法，通过列出自变量和因变量的对应关系，我们可以清楚地看到函数的取值情况。
图像形式是将函数的自变量和因变量的对应关系用图形来表示，可以更直观地观察函数的特点和性质。
函数式是用代数表达式来表示函数，通过特定的公式可以计算出函数的输出值。
在函数的表示方法之后，我们需要学习函数的基本类型。
函数的基本类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
线性函数是最简单的一类函数，它的函数式为f(x) = kx + b，其中k和b是常数。
二次函数是一种带有平方项的函数，它的函数式为f(x) = ax²+ bx + c，其中a、b和c是常数。
指数函数和对数函数是互为反函数的两种函数，它们的函数式分别为f(x) = aˣ和f(x) = logₐ(x)，其中a是底数。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的函数式分别为f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)和f(x) = tan(x)。
高考数学函数知识点归纳总结图
高考数学函数知识点归纳总结图数学函数在高考中占据着重要的地位，涉及到各个知识点和考点。
为了方便复习和总结，以下将对高考数学函数知识点进行归纳总结，并在图表中清晰地展示出来。
1. 函数的概念与性质- 函数的定义：函数是一个映射关系，将一个集合的每个元素唯一地对应到另一个集合的元素上。
- 函数的性质：一一对应、有上下界、有上升下降性等。
2. 函数的表示与表达式- 函数的表示方法：显式表达式、隐式表达式、参数方程等。
- 常见函数的表达式：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 函数的图像与性质- 函数图像的基本特征：平移、伸缩、翻折等。
- 常见函数图像的性质：对称性、奇偶性、周期性等。
4. 函数的运算与性质- 函数的四则运算：加法、减法、乘法、除法等。
- 函数的复合运算：两个函数的复合、自反函数等。
- 函数的性质：非负性、单调性、有界性等。
5. 函数的极值与最值- 函数的极值：最大值和最小值。
- 寻找函数的极值：导数法、二次函数最值公式等。
6. 函数的导数与微分- 函数的导数：切线斜率、变化率。
- 导数的定义与计算方法：基本函数的导数、链式法则、导数的性质等。
7. 函数的应用- 函数的应用：最值问题、曲线与切线、速度与距离等。
- 常见函数应用的解题方法：建立方程、化归、综合运用等。
通过以上的归纳总结，我们可以清晰地了解高考数学函数的各个知识点，以及它们的关系和特点。
在复习和应试过程中，我们可以根据这个图表来有针对性地进行学习和练习，提高自己的解题能力和应变能力。
请注意，以上的总结图只是一个示例，你可以根据自己的理解和需要来设计更为合适的图表。
希望这个总结图能对你的高考数学复习有所帮助！。
高中数学知识点：函数及其表示知识梳理与考点
函数的概念及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的．(3)函数的三要素是：、和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：、和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2n f(x)，n∈N*1与[f(x)]0f(x)log a f(x)四则运算组成的函数各个函数定义域的交集考点自测：判断下列命题的真假1．对函数概念的理解．(1)如图：以x 为自变量的函数的图象为②④.( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数．( )2．函数的定义域的求法(3)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为(0,1)．( )3．分段函数求值(4)设函数f (x )＝Error!则f (f (3))＝139.( )4．函数解析式的求法(5)已知f (x )＝2x 2＋x －1，则f (x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2.( )典例突破考点一 求函数的定义域【例1】 (2013·山东卷)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )．A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1]练习1：函数y ＝ln (1＋1x )＋1－x 2的定义域为________．【例2】（1）f(x)的定义域为[1,2],f(2x )的定义域为（2）f(2 x )的定义域为[1,2],f(x)的定义域为实际问题使实际问题有意义练习2：已知f(2x )的定义域是[-1,1]，则f(log 2x)的定义域为练习3：已知函数f(x)的定义域为[1,2],则函数g(x)=的定义域是 规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．（2）抽象函数定义域：若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a 求出若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x [a,b]时的值域考点二 求函数的解析式【例3】若f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (x )＝________.练习4：已知f （）=x+2，求f (x )的解析式．练习5：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.)1()2(-x x f b x g ≤≤)(∈1+x x【例4】f(x)为一次函数，且2f(1)+3f(2)=3,2f(-1)-f(0)= -1,则f(x)=练习6：f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式．【例5】定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．练习7：已知f(x)+2f()=x(x 0),则f(x)= 规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．考点二 分段函数及其应用【例6】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝Error!，则f (3)的值为( )．A ．－1B ．－2C ．1D ．2练习8：已知函数f (x )＝Error!则f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．x1A．－3 B．－1或3 C．1 D．－3或1规律方法(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．课堂小结1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．。
高中数学专题知识框架及应用结构图(彩色版)-03函数基本知识总结(二)
一、一次函数函数形式 f (x )＝kx ＋b (k ≠0)k 的正负 k ＞0k ＜0b 的正负b ＞0b ＜0b ＞0b ＜0图 象图象位置 一、二、三象限一、三、四象限一、二、四象限二、三、四象限单 调 性单调递增单调递减二、反比例函数函数形式 f (x )＝kx(k ≠0)k 的正负k ＞0k ＜0图 象图象位置 一、三象限 二、四象限 单 调 性单调递减单调递增三、二次函数函数形式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)a 的正负 a ＞0（开口向上）a ＜0（开口向下）图 象对 称 轴x ＝－b 2a顶 点 ()－b 2a ，4ac －b 24a单 调 性对称轴左侧单调递减； 对称轴右侧单调递增.对称轴左侧单调递增；对称轴右侧单调递减.最 值在x ＝－b2a处取最小值无最大值在x ＝－b2a处取最大值无最小值四、指数函数和对数函数指数函数对数函数函数形式f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)a 的取值0＜a ＜1a ＞10＜a ＜1a ＞1图 象定 义 域R (0，＋∞) 值 域 (0，＋∞) R 过 定 点 (0，1)(1，0)取值特征当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＜0时，y ＞1 当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞1时，y ＜0； 当0＜x ＜1时，y ＞0 当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0 单 调 性 在R 上递减在R 上是递增在(0,＋∞)上递减在(0,＋∞)上递增判 底 线x ＝1y ＝1五、幂函数函数形式 f (x )＝x a 主要形式f (x )＝xf (x )＝x 2f (x )＝x 3f (x )＝21xf (x )＝x －1图 象定 义 域 R R R [0，＋∞) x ∈R ，x ≠0 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) y ∈R ，y ≠0 单 调 性增减，增增增减，减yxo oyx奇偶性奇偶奇非奇非偶奇过定点(0，0)，(1，1)(1，1)其他性质(1)所有幂函数都在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1，1).(2)图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，并且最多只能出现在两个象限.(3)当幂函数的指数为奇数时，函数为奇函数；当幂函数的指数为偶数时，函数为偶函数.(4)幂函数分类(如右图)Ⅰ当a＞0时，幂函数图象经过(0，0)点和(1，1)点，且在第一象限是增函数.①当0＜a＜1时，曲线上凸；②当a＞1时，曲线下凹；③当a＝1时，表示过(0，0)点和(1，1)点的直线.Ⅱ当a＜0时，幂函数图象总经过(1，1)点，且在第一象限是减函数．Ⅲ当a＝0时，表示过(1，1)点平行于x轴的直线(除去(0，1)点)．(5)在(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴(“指大图低”)．。
高中函数知识点总结图
高中函数知识点总结图1. 函数的定义函数是一个输入-输出关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
数学中常用 f(x) 表示函数 f 在输入 x 下的输出。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
定义域是指所有可能的输入值集合，值域是指所有可能的输出值集合，对应关系是指每个输入值和输出值之间的对应关系。
2. 常见的函数类型2.1. 线性函数线性函数是一种形式为 f(x) = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的倾斜程度，截距 b 决定了直线与 y 轴的交点。
2.2. 幂函数幂函数是一种形式为 f(x) = x^n 的函数，其中 n 是一个实数。
幂函数的图像形状取决于指数 n 的正负和大小。
当 n > 0 时，函数图像递增，当 n < 0 时，函数图像递减。
2.3. 指数函数指数函数是一种形式为 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是底数，x 是指数。
指数函数的图像是一个递增或递减的曲线，底数 a 决定了曲线的陡峭程度。
当 a > 1 时，函数图像递增，当 0 < a < 1 时，函数图像递减。
2.4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一种形式为 f(x) = logax 的函数，其中 a 是底数，x 是函数的值。
对数函数的图像是一条曲线，与指数函数的图像关于直线 y = x 对称。
2.5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像形状是周期性的，它们的周期和振幅决定了图像的特点。
3. 函数的性质和运算3.1. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内是否关于原点对称。
若对于定义域内的任意x，有 f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若对于定义域内的任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数。
3.2. 函数的可导性和导数函数的可导性是指函数在某一点附近是否存在导数。
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函数及其表示
映射 fA B：(A中的任意元素在B中有唯一的元素与之对应)
① A中无剩余
② B不能一对多
` ·A 定义域原象集
·C 值域象集
B中无剩余：满射
一一映射
一对一：单射
函数定义：对于任意的x与唯一的y与之对应
判断同一函数：·定义域相同
·值域相同
·对应法则相同
·分时的分母不等于零
·偶次方根的被开方数大于等于零
·对数的真数大于零
·指数函数和对数函数的底数大于零
函数及定义域：保证有意义·三角函数中y﹦tan x 中，x≠kπ+π/2 其表示·抽象函数：·定义域是x的范围
·同一法则下量的范围相同
·实际情况
①定义法：代入求值
②换元法：整体代换：·根号·分式
函数的解析式·复合形式·三角函数
三要素③待定系数法：已知函数类型
④消元法：·互为相反数·互为倒数
⑤分段函数：·求哪取哪·不重不漏
⑥配方法
①换元法
②配方法：
③判别式法
值域④数形结合法
⑤单调性法
③观察法：有定义域一步步扩大成值域
④分离常数法：反比例形
⑤反表示法
函数的表示：·解析式 ·列表法 ·图像法
同步测试—-函数及其表示
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号
填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列四种说法正确的一个是 （ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的数集B
C ．函数是一种特殊的映射
D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ ） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是
（ ）
A ．x
x
y y =
=,1 B ．1,112-=+⨯-=
x y x x y
C ．33,x y x y ==
D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数2
3212
---=
x x x y 的定义域为
（ ）
A ．]1,(-∞
B ．]2,(-∞
C ．]1,21
()21
,(-
⋂--∞ D ． ]1,2
1()21,(-
⋃--∞ 5．设⎪⎩
⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)
0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f
（ ）
A ．1+π
B ．0
C ．π
D ．1-
6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2
与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象
只可能是 （ ）
7．设函数x x x
f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ ）
A ．x x -+11
B ． 11-+x x
C ．x
x +-11
D ．
1
2+x x
8．已知二次函数)0()(2
>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为 （ ）
A ．正数
B ．负数
C ．0
D ．符号与a 有关
9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 （ ）
A ．x b c a c y --=
B ．x c b a c y --=
C ．x a
c b
c y --= D ．x a
c c
b y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为
（ ）
A ．)2,1[-
B ．]1,1[-
C ．)2,2(-
D ．)2,2[-
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 12．若记号“*”表示的是2
*b
a b a +=
，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .
13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.
14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）
①求函数|
1||1|1
3
-++-=
x x x y 的定义域；
②求函数x x y 21-+=的值域；
③求函数1
3
2222+-+-=x x x x y 的值域.
16．（12分）在同一坐标系中绘制函数x x y 22+=，||22
x x y +=得图象.
17．（12分）已知函数x x f x x f x =+-+-)()1
1
()1(，其中1≠x ，求函数解析式.
18．（12分）设)(x f 是抛物线，并且当点),(y x 在抛物线图象上时，点)1,(2+y x 在函数
)]([)(x f f x g =的图象上，求)(x g 的解析式.
19．（14分）动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ；设x
表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数解析式. 20．（14分）
已知函数)(x f ，)(x g 同时满足：)()()()()(y f x f y g x g y x g +=-；1)1(-=-f ，
0)0(=f ，1)1(=f ，求)2(),1(),0(g g g 的值.
参考答案
一、CBCDA BCABC
二、11．－1； 12．c b a c b a *+=+)()*(； 13．4； 14．*,)20
19(20N x y x ∈⨯= ；
三、15． 解：①．因为|1||1|
-++x x 的函数值一定大于0，且1-x 无论取什么数三次方根一定有意
义，故其值域为R ； ②．令
t x =-21，0≥t ，)1(2
12t x -=，原式等于1)1(2
1)1(2122+--=+-t t t ，故1≤y 。
③．把原式化为以x 为未知数的方程03)2()2(2
=-+---y x y x y ，
当
2≠y 时，0)3)(2(4)2(2≥----=∆y y y ，得3
102≤<y ； 当
2=y 时，方程无解；所以函数的值域为]3
10,
2(. 16．题示：对于第一个函数可以依据初中学习的知识借助顶点坐标，开口方向，与坐标轴交点坐标可得；第二
个函数的图象，一种方法是将其化归成分段函数处理，另一种方法是该函数图象关于y 轴对称，先画好y
轴右边的图象.
17．题示：分别取t x =和1
1
-+=
x x x
，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-+=-+--=--+-11)11()(1
2)()11()1(x x x x f t f t x x f x x f t ，联立求解可得结果. 18．解：令c
bx ax x f ++=2)()0(≠a ，也即c bx ax y ++=2.同时
1)(22+++c bx ax =)]([)(12x f f x g y ==+=c c bx ax b c bx ax a ++++++)()(2
22.
通过比较对应系数相等，可得1,0,1===c b a
，也即12+=x y ，22)(24++=x x x g 。
19．解：显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=2)1(1-+x ；当P 在CD 上时，
PA=2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式.
20．解：令
y
x =得：
)0()()(22g y g x f =+. 再令0=x ，即得1,0)0(=g . 若0)0(=g ，令
1==y x 时，得0)1(=f 不合题意，故1)0(=g ；)1()1()1()1()11()0(f f g g g g +=-=，即
1)1(12+=g ，所以0
)1(=g ；那么
)1()0()1()0()10()1(=+=-=-f f g g g g ，
1)1()1()1()1()]1(1[)2(-=-+-=--=f f g g g g .。