二次全等(作业及答案)

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二次函数全等问题8个习题的答案

x二次函数的全等问题答案1.解⑴令y=0得，-x 2+2x +3=0 解得x 1=−1，x 2=3 ∴A(-1,0) B(3,0) 令x=0得y=3 ∴ C(0,3)⑵延长BD 交y 轴于点E （如图） ∵B （3，0） C （0，3）∴ OB=OC=3 ∴∠OBC=∠OCB∵∠PCB=∠CBD ∴∠PCO=∠EBO在△PCO 和△EBO 中∴△PCO ≅△EBO ∴OP=OEy=-x 2+2x +3=−(x −1)2+4 ∴D(1,4) 设y BD =kx +b 将B （3，0），D （1，4）代入得解得 ∴y BD =-2x+6令x=0得y=6 ∴E(0,6) ∴ OE=6 ∴OP=6 ∴P(6,0)2.解⑴令y=0得x 2−2x −3=0 解得x 1=-1 x 2=3∴A(-1,0) B(3,0)y=x 2-2x-3=(x −1)2−4 ∴对称轴为直线 x=1 ⑵过P 作PN ⊥对称轴于N （如图） ∵MN ⊥x 轴 ∴∠1+∠2=90° ∵∠BMP=90°∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3∵∠BEM=∠MNP=90°，BM=PM∴△BEM ≅△PNM ∴ME ＝PN ，MN ＝BE ∵E （1，0）B(3，0) ∴MN=BE=2设M （1,m ）(m<0)则PN=ME=-m ∴P(1-m , m-2)将P(1-m, m-2)代入y=x 2-2x-3得 m-2= 1−m 2−2 1−m −3 解得 m 1=−1 m 2=2(舍) ∴P （2，-3） 3.解⑴设抛物线解析式为y=a(x −1)2+13将原点（0，0）代入得 0=a+13 解得 a=-13∴y=-13(x −1)2+13=−13x 2+23x ∴抛物线解析式为y=−13x 2+23x∠PCO=∠EBO CO=BO ∠COP=∠BOE=90° 0=3k+b 4=k+b k=-2b=6N（3,0）E312⑵如图，过O 作OM ⊥OE 交EF 于H ，再分别过E ，M作x 轴垂线，垂足分别为B ，N 将E （3,m ）代入y=−13x 2+23x 得m=−13×32+23×3=−1 ∴ E(3,-1) ∴OB=3 BE=1 ∵∠1+∠2=90°, ∠2+∠3=90°∴∠1=∠3 ∵∠OEF=45°, ∠EOM=90° ∴∠OEM=∠OME ∴OE=OM 又∵∠OBE=∠ONM ∴∆OBE ≅∆MNO ∴MN=OB=3 ON=BE=1 ∴M （-1，-3）设直线EF 解析式为y=kx+b 将E （3，-1）F （-1，-3）代入得解得∴y=12x −52⑶如图，过O 作OC ⊥EF 于C∵O （0，0） E （3，-1） ∴OE= 32+（−1）2= 10 在Rt ∆OEC 中 OC=OEsin45°= 10×22= 5设P （x,12x −52）则PE= （x −3)2+(12x −52+1)2= 54(x −3)2= 52(3−x) (x ≤3) S ∆POE =12∙PE ∙OC=12×523−x × 5=−54x +154(−52≤x ≤3)4.解⑴∵A （-1，0）对称轴是直线x=1 ∴B(3,0) ∴ AB=4∵AB=2CO ∴ CO=2 ∴C(0,2)将A （-1，0） B （3，0） C （0，2）代入得解得∴ y=−23x 2+43x +2 ⑵ OP-OQ=2∵C, D 关于对称轴对称 C （0，2） ∴D （2，2） ∴DE=2∵DE ⊥x 轴于E ∴ E （2，0）∴OE=2 ∴ DE=OE∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°∴∠1=∠3 又∵∠POE=∠QED=90°-1=3k+b -3=-k+b K=12B=-520=a-b+c 0=9a+3b+c 2=c a=−23 b=43c=2∴∆POE ≅∆QED ∴OP=EQ ∵EQ=OQ+OE ∴OP=OQ+OE ∴OP-OQ=OE=25解：（1）如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，∴∠NAD=∠OBA （同角的余角相等）．在△AOB 与△DNA 中，，∴△AOB ≌△DNA （SAS ）．同理△DNA ≌△BMC ．∵点P （0，4），AP=t ，∴OA=OP ﹣AP=4﹣t ．故答案是：DNA 或△DPA ；4﹣t ；（2）由题意知，NA=OB=t ，则OA=4﹣t ．∵△AOB ≌△BMC ，∴CM=OB=t ，∴OM=OB+BM=t+4﹣t=4， ∴C （4，t ）．又抛物线y=ax 2+bx+c 过点O 、C ，∴解得 b=41t ﹣4a ；（3）当t=1时，抛物线为y=ax 2+（41t ﹣4a ）x ，NA=OB=1，OA=3．∵△AOB ≌△DNA ，∴DN=OA=3， ∴D （3，4），∴直线OD 解析式为为：y=34x．联立，得，消去y ，得ax 2+（﹣﹣4a ）x=0，解得 x 1=0，x 2=4+，即抛物线与直线OD 总有两个交点．因为抛物线与线段OD 只有唯一的公共的O ①当a ＞0时，4+＞3，只有交点O ，所以a ＞0满足题意； ②当a ＜0时，若4+＞3，则a ＜﹣．又∵a ＜0∴ a ＜﹣．若4+＜0，则得a ＞﹣．又∵a ＜0，所以﹣＜a ＜0．综上所述，a 的取值范围是a ＞0或a ＜﹣或﹣＜a ＜0．（4）抛物线为y=ax 2+（41﹣4a ）x ，∴顶点坐标是（﹣at8+2，﹣（t ﹣16a ）2）．又∵对称轴是直线x=2-t21∴﹣+2=2﹣，解得a=41t 2，∴顶点坐标为：（2﹣，﹣（1﹣4t ）2），即（2﹣，﹣（t ﹣41）2）．∵抛物线开口向上，且随着t 的增大，抛物线的顶点向上移动， ∴只与顶点坐标有关， ∴t 的取值范围为：0＜t≤41 6.解：存在把C （-3，h ）代入抛物线y=12x 2+12x −2得 H= 12×(−3)2+12× −3 −2=1 ∴C(-3,1)∵ Rt △AOB ≅Rt ∆CDA ∴OA=CD=1,OB=AD=3-1=2以AB 为边在AB 右侧作正方形ABPQ ，过P 作PE ⊥OB 于E ，QG⊥x轴于G则△PBE≅∆AQG≅∆BAO∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1 ∴P（2，1）Q(1,-1)y=12x2+12x−2，当x=2时y=1,当x=1时y=-1∴P、Q两点在抛物线上∴在抛物线（对称轴右侧）上存在点P（2，1）Q（1，-1）使四边形ABPQ是正方形7.解：⑴将D(−3，92)代入y=-12x2+C9 2=−12×(−3)2+C解得C=6∴y=−12x2+6⑵如图设AC与BD的交点为E，过D作DM⊥AC于M 过B作BN⊥AC于N∵S∆ADC=S∆ABC∴12∙AC∙DM=12∙AC∙BN∴ DM=BN∴12∙EC∙DM=12∙EC∙BN∴S∆DCE=S∆BCE设∆BCD中BD边上的高为h∴12∙DE∙h=12∙BE∙h∴ BE=DE ∴AC平分BD令y=0得−12x2+6=0解得x1=−23x2=23∴A −23，0 ,B（23，0）∵D(-3,92) ∴BD中点E(32,94)设直线AC解析式为y=kx+b将A −23，0E(32,94)代入得解得0=23k+b 9=3k+bK=3310B=95∴y AC =3 310x +95⑶如图∵P,Q 在x 轴上方若∆APB 是直角三角形，则∠APB=90°若Rt ∆AQP ≅Rt ∆ABP 则AB=AQ∠APQ =∠APB =90°即B,P,Q 三点共线显然一条直线不可能与一个抛物线有3个交点。

2020届中考数学专题复习二次函数_二次函数解决实际问题专题训练及参考答案

二次函数--二次函数解决实际问题1. 如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2B.43m2C.83m2 D.4m2 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m ，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A.－20mB.10mC.20mD.－10m5. 某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流下落点B 离墙距离OB 是( )A.2米B.3米C.4米D.5米6. 如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A.3cm2B.323cm2C.923cm2D.2723cm2 7. 若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y ＝－x2＋8x ＋9，且售价x 的范围是1≤x≤3，则最大利润是( )A.16元B.21元C.24元D.25元8. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3600元9. 如图，隧道的截面是抛物线，可以用y ＝－116x2＋4表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是( )A.不大于4mB.恰好4mC.不小于4mD.大于4m ，小于8m10. 如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm ，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为 m.11. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y ＝－29x2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为米.12. 如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M 点5m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取 m.13. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)，当x ＝米时菜园的面积最大.14. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.15. 已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式：y ＝－x2＋1200x －357600，则卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润为________元.16. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y ＝－35x2＋3x ＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.18. 一种进价为每件40元的T 恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T 恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T 恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？19. 如图，某足球运动员站在点O 练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x2＋bx ＋c 表示，且抛物线时的点C 到墙面OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？参考答案：1—9 CACCB CCAA10. 2511. 512. 1513. 1514. 25215. 600 240016. 2217. 解：(1)y ＝－35x2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194，∵－35＜0，∴函数的最大值是194.答：演员弹跳的最大高度是194米； (2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC ，所以这次表演成功. 18. 解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x2＋1300x －36000(60≤x≤90).配方，得y ＝－10(x －65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x ＝65时，y 有最大值6250，因此，当该T 恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.19. 解：(1)由题意得：函数y ＝at2＋5t ＋c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5＝c 3.5＝0.82a －5×0.8＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2516c ＝12，∴抛物线的解析式为：y ＝－2516t2＋5t ＋12，∴当t ＝85时，y 最大＝4.5；(2)把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82＋5×2.8＋12＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门.20. 解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3，172)，把B(0,4)，C(3，172)代入y ＝－16x2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝4－16×32＋3b ＋c ＝172，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝4，所以抛物线解析式为y ＝－16x2＋2x ＋4，则y ＝－16(x －6)2＋10，所以D(6,10)，所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA 的交点为(2,0)或(10,0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过；(3)令y ＝0，则－16(x －6)2＋10＝8，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，则x1－x2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m.。

重庆市九龙坡区高2023届学业质量调研抽测(第二次)高三数学试卷及参考答案

重庆市九龙坡区高2023届学业质量调研抽测（第二次）高三数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2,0,2M =-，{}5,0,5N =-，{}5,2,2,5T =--，则（）A ．M N =∅B ．M N T= C ．()M N T T= D ．()M N T T= 2．已知复数z 满足345i z z +=+，i 是虚数单位，则2z =（）A ．2i-B ．2iC ．1i+D ．1i-3．下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80%分位数为（）A ．75B ．77.5C ．78D ．78.54．正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等），正多面体共有5种，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．连接正方体中相邻面的中心（如图1），得到另一个柏拉图体，即正八面体P ABCD Q --（如图2），设E ，F ，H 分别为PA ，PB ，BC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．AP 与CQ 为异面直线B ．经过E ，F ，H 的平面截此正八面体所得的截面为正五边形C ．平面PAB ⊥平面PCDD ．平面EFH ∥平面PCD5．已知拋物线C ：()220y px p =>与直线240x y --=交于A ，B 两点，且AB =，设抛物线C 的焦点为F ，则AF BF +=（）A ．B ．7C ．6D ．56．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、，太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（）A ．1560种B ．2160种C ．2640种D ．4140种7．已知三棱锥P ABC -的顶点都在以PC 为直径的球M 的球面上，PA BC ⊥．若球M 的表面积为48π，4PA =，则三棱雉P ABC -的体积的最大值为（）A ．163B ．323C ．643D ．328．已知偶函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当π02x <<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．ππππ,,2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．πππ,0,332⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

二次函数练习题(含答案)

1. 若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（） A ．m ＞1B ．m ＞0C ．m ＞﹣1 D ．﹣1＜m ＜02. 若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为A ．120,4x x ==B ．121,5x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=3. 对于二次函数y =﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x =1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44. 将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A ．y =（x ﹣1）2+4B ．y =（x ﹣4）2+4C ．y =（x +2）2+6D ．y =（x ﹣4）2+6 5. 在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6. 如图，抛物线y =－x 2+2x +m +1交x 轴于点A （a ，0）和B （B ，0），交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D .下列四个判断：①当x >0时，y >0；②若a =－1，则b =4；③抛物线上有两点P （x 1,y 1）和Q （x 2,y 2），若x 1<1< x 2，且x 1+ x 2>2，则y 1> y 2；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G ，F 分别在x 轴和y 轴上，当m =2时，四边形EDFG 周长的最小值为，其中正确判断的序号是（）（A）①（B）②（C）③（D）④7. 二次函数（）的图象如图所示，下列说法：①，②当时，，③若（，）、（，）在函数图象上，当时，，④，其中正确的是（）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④8.如图，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣39.如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2 C．cm2 D．cm210. 已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A． 1 B．2 C．3 D．411. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0 ②a﹣b+c＜0 ③阴影部分的面积为4 ④若c=﹣1，则b2=4A．12.二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．13. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4A C ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 54 ，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．区域① 区域② 区域 ③岸堤 ABCDE FG H 第22题图x yOABDlC 备用图x yO ABDl C E15. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：1.B2.D3.C4.B5.C6.C7.B8.B9.C 10.B 11③④ 12.13. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？考点：二次函数的应用．.专题：应用题分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，可得出AE =2BE ，设BE =a ，则有AE =2a ，表示出a 与2a ，进而表示出y 与x 的关系式，并求出x 的范围即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可．解答：解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，区域① 区域② 区域 ③岸堤 ABCDE FG H 第22题图∴AE=2BE，设BE=a，则AE=2a，∴8a+2x=80，∴a=﹣x+10，2a=﹣x+20，∴y=（﹣x+20）x+（﹣x+10）x=﹣x2+30x，∵a=﹣x+10＞0，∴x＜40，则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）；（2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．点评：此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4A C．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】：（1）A （－1，0），y ＝ax ＋a ；（2）a ＝－ 25 ；（3）P 的坐标为（1，－ 2677 ）或（1，－4）【解析】：（1）A （－1，0）∵直线l 经过点A ，∴0＝－k ＋b ，b ＝k∴y ＝kx ＋k令ax 2－2ax －3a ＝kx ＋k ，即ax 2－( 2a ＋k )x －3a －k ＝0∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标为4备用图∴－3－ka＝－1×4，∴k＝a∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F设E（x，ax2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a S△ACE ＝S△AFE －S△CFE＝12(ax2－3ax－4a)(x＋1)－12(ax2－3ax－4a)x＝12(ax2－3ax－4a)＝12a(x－32)2－258a∴△ACE的面积的最大值为－25 8a∵△ACE的面积的最大值为5 4∴－258a＝54，解得a＝－25（3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0 解得x1＝－1，x2＝4∴D（4，5a）∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1设P （1，m ）①若AD 是矩形的一条边，则Q （－4，21a ）m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P （1，26a ）∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°∴AD 2＋PD 2＝AP 2∴5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a －5a )2＝( －1－1 )2＋( 26a )2即a 2＝ 17 ，∵a ＜0，∴a ＝－ 77∴P 1（1，－ 2677 ）②若AD 是矩形的一条对角线则线段AD 的中点坐标为（3 2 ，5a2 ），Q （2，－3a ）m ＝5a －( －3a )＝8a ，则P （1，8a ）∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°∴AP 2＋PD 2＝AD 2∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a －5a )2＝5 2＋( 5a )2即a 2＝ 14 ，∵a ＜0，∴a ＝－ 12∴P2（1，－4）综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形点P的坐标为（1，－2677）或（1，－4）15. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.分析：（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AD，根据角越小角的对边越小，可得PA 在在射线AC与AD之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得答案；（3）根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据解方程组，可得P点坐标．解答：解：（1）由A、B点的函数值相等，得A、B关于对称轴对称．A（4﹣0），对称轴是x=1，得B（﹣2，0）．将A、B、D点的坐标代入解析式，得，解得，抛物线所对应的二次函数的表达式y=x2﹣x﹣4；（2）如图1作C点关于原点的对称点D，OC=OD=OA=4，∠OAC=∠DAO=45°，AP在射线AC与AD之间，∠PAO＜45°，直线AD的解析式为y=﹣x+4，联立AD于抛物线，得，解得x=﹣4或x=4，∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，P点的横坐标的取值范围是﹣4＜m＜0；（3）存在P点，使∠QPO=∠BCO，如图2，设P（a，a2﹣a﹣4），由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°．∴△PQO∽△COB，∴=即=，化简，得a2﹣3a﹣8=0．解得a=，a=（不符合题意，舍），a2﹣a﹣4=（）2﹣﹣4=，P点坐标为（，）．点评：本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用了角与对边的关系：角越小角的对边越小得出PA在在射线AC与AD之间是解题关键，利用了相似三角形的判定与性质．。

中考二次函数应用题(及答案解析)

中考二次函数应用题(及答案解析)二次函数应用题1．2022年2月，北京冬奥会成功举办，吉祥物纪念品等深受人们喜爱．某商店在冬奥会前购进数量相同的甲、乙两种纪念品，分别花费10400元，14000元，已知乙种纪念品比甲种纪念品每个进价多9元．(1)求甲、乙两种纪念品每个的进价．(2)经销中发现，甲种纪念品每个售价46元时，每天可售40个，乙种纪念品每个售价45元时，每天可售80个，商店决定甲种纪念品降价，乙种纪念品提价．结果甲种纪念品单价降1元可多卖4个，乙种纪念品单价提1元就少卖2个，若某天两种纪念品共销售140个，则这天最大利润是多少？2．2022年冬奥会成功在北京张家口举行，奥林匹克精神鼓舞了越来越多的年轻人从事冰雪运动，在长8m ，高6m 的斜面上，滑雪运动员P 从顶端腾空而起，最终刚好落在斜面底端，其轨迹可视为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，设斜面所在直线的函数关系式为1y kx b =+，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为2214y ax x c =++，设运动员P 距离地面的高度为()m h ，腾空过程中离开斜面的距离为()m d ，回答下列问题：(1)分别求出1y 、2y 与x 之间的函数关系式；(2)求出d 的最大值和此时点P 的坐标．3．因为疫情，体育中考中考生进入考点需检测体温．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下：时间x （分钟） 01 2 3 4 5 6 7 8 9 915x <≤ 人数y （人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 (1)研究表中数据发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y 与x 之间的函数关系式．(2)如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？4．跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线2117:1126C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出（即A 点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当运动员运动到距A 处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C 2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？5．冰墩墩（BingDwenDwen ）．是2022年北京冬季奥运会的吉样物．它将银猫形象与富有超能量的冰晶外壳结合．头部外壳造型取自冰雪运动头盔．装饰彩色光环．整体形象酷似航天员．冬奥会期间．某商家开始古样物“冰墩墩“纪含品的销售．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元．且不高于52元．销售期间发现．当销售单价定为44元时．每天可出售300个．销售单价每上涨1元．每天销量减少10个．现商家决定提价销售．设每天销售量为y 个．销售单价为x 元(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时．商家每天获利2400元：(2)将纪念品的销售单价定为多少元时．商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？6．某服装厂批发应季T 恤衫，其单价y （元）与一次批发数量x （件）（x 为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 7．嘉琪第一期培植盆景与花卉各40盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是120元，花卉的平均每盆利润是15元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．嘉琪计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）．(1)第二期盆景的数量为_________盆，花卉的数量为_________盆；(2)用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；(3)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？8．某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元．销售单价x （元/千克） 1011 销售量y （千克） 300 270(1)求y 与x 的函数关系式：(2)根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？9．为了优化人居环境、提升城市品质，某小区准备在空地上新建一个边长为8m 的正方形花坛；如图，该花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中，O 为对称中心，点E 、F 分别在AB 、AD 上，AE ＝AF ，G 、H 分别为BE 、DF 的中点．(1)设m AE x =，请用x 的代数式表示四边形OHFG 的面积S （单位：2m ）；(2)已知：小正方形ABCD 中，在△AFG 、四边形OHFG 内分别种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是80元、60元；其余部分种植草坪，每平方米的种植成本为95元．若另外的3块正方形区域也按相同方式种植，问：在这个花坛内种植花卉和草坪至少需要花费多少元？10．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x 元，每天的销售利润为w 元．(1)求w 与x 的函数关系式；(2)每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？(3)每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？【参考答案】二次函数应用题1．(1)甲、乙两种纪念品每个进价分别为26元、35元(2)2000元【解析】【分析】（1）设甲种纪念品每个进价为m 元，则乙种纪念品每个进价为()9m +元，根据购进甲乙两种纪念品的数量相等列出方程即可求解；（2）设甲种纪念品每个降价x 元，则每天销售甲种纪念品()404x +个，进而每天销售乙种纪念品140(404)(1004)x x -+=-个，表示出乙种纪念品的单价提高了多少元，最后利用甲乙两种纪念品的利润和等于一天的总利润列出函数关系式求解即可．(1)解：设甲种纪念品每个进价为m 元，则乙种纪念品每个进价为()9m +元由题意，得10400140009m m =+．解得26m =．经检验26m =是原方程的解．此时935m +=．即甲、乙两种纪念品每个进价分别为26元、35元．(2)解：设甲种纪念品每个降价x 元，则每天销售甲种纪念品()404x +个．进而每天销售乙种纪念品140(404)(1004)x x -+=-个．比原来销售80个少(420)x -个，因此乙种纪念品的单价提高了(210)x -元．设每天的销售毛利为y 元，则(4626)(404)[4535(210)](1004)y x x x x =--++-+--．整理，得212(10)2000(520)y x x =--+≤≤．当10x =时，y 取得最大值，最大值为2000．即这一天销售的最大利润是2000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用及二次函数性质的应用求最大值问题，解题的关键是理解题意，找出题目中数量关系，列出方程或函数关系式．2．(1)1364y x =-+，2211684y x x =-++； (2)max 85d =m ，P (4，5) 【解析】【分析】（1）把点（8，0）和（0，6）分别代入直线的函数关系式1y kx b =+，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式2214y ax x c =++，，进而得出答案；（2）设与抛物线2211684y x x =-++相切，且与1364y x =-+平行的直线：334y x h =-+，那么切点就是所求的点P ，直线1364y x =-+与直线334y x h =-+之间的距离就是所求的距离．(1)解：把点（8，0）和（6，0）代入直线 1y kx b =+得，806k b b +=⎧⎨=⎩ 解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴1364y x =-+把点（8，0）和（6，0）代入抛物线2214y ax x c =++得， 210=8846a c c⎧⨯+⨯+⎪⎨⎪=⎩ 解得186a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴2211684y x x =-++ (2)解：设与抛物线2211684y x x =-++相切的直线为334y x h =-+，联立2y 与3y 得：211684x x -++34x h =-+，化简得：20168x x h ++-=- ∵抛物线2y 与直线3y 相切∴20168x x h ++-=-有两个相等的实数根 ∴ ∆＝114()(8)08h -⨯-⨯-= 解得8h =∴3384y x =-+ 联立抛2y 和3y 解得：45x y =⎧⎨=⎩ 此时点P 的坐标为（4，5）如图，过点A 作AC ⊥直线3y ，垂足为点C ，∵ 直线AC 与直线1y 垂直且过点A (0，6)∴直线AC 的解析式为4463y x =+联立3y 和4y 得34384463y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得242518225x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 点C 的坐标为（2425，18225）线段AC 的长度就是所求的 d ，max 408255d ===．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数图像的综合题，解题的关键是数形结合，熟练掌握抛物线的三种解析式，特别是顶点式；还要注意当直线与抛物线相切时距离最大；两条直线互相垂直的直线：121k k =-．3．(1)210180y x x =-＋(2)排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(3)2【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x ＝7时，w 的最大值＝490，当9＜x ≤15时，210≤w ＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解．(1)根据表格中数据可知，当x ＝0时，y ＝0，∴二次函数的关系式可设为：y ＝ax 2＋bx ，将()()1,1703450，，代入，得 17093450a b a b =⎧⎨=⎩＋＋解得：10180a b =-⎧⎨=⎩， ∴9分钟内y 与x 之间的函数关系式()21018009y x x x =-≤≤＋； (2)设第x 分钟时的排队人数为w 人，()810915y x =<≤由题意可得：w ＝y −40x ＝210140(09)81040(915)x x x x x ⎧-≤≤⎨-≤⎩＋＜， ①当0≤x ≤9时，w ＝−10x 2＋140x ＝−10（x −7）2＋490，∴当x ＝7时，w 的最大值＝490，②当9＜x ≤15时，w ＝810−40x ，w 随x 的增大而减小，∴210≤w ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810−40x ＝0，解得：x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m ＋2）≥810，解得m ≥118， ∵m 是整数，∴m ≥118的最小整数是2， ∴一开始就应该至少增加2个检测点．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y 与x 之间的函数关系式是本题的关键．4．(1)213482y x x =-++ (2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．【解析】【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C 2：y =-18x 2+bx +c 求出b 、c 的值即可写出C 2的函数解析式；（2）设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，解出m 即可． (1)由题意可知抛物线C 2：y ＝﹣18x 2+bx +c 过点（0，4）和（4，8），将其代入得： 2414488c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得：324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线C 2的函数解析式为：213482y x x =-++； (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得： ﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，整理得：（m ﹣12）（m +4）＝0，解得：m 1＝12，m 2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．5．(1)50元(2)52元；2640元【解析】【分析】（1）根据题意直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量的取值范围，根据销售量×（售价-进价）=2400，解方程求出在自变量范围内的解即可；（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．(1)解：由题意得：300104410740y x x =--=-+（）， ∴y 与x 之间的函数关系式为107404452y x x =-+≤≤（）；当获利2400元时，由题意得：10740402400x x -+-=（）（），整理得：211432000x x -+=，解得：125064x x ==，，∵4452x ≤≤，∴50x =，∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；(2)根据题意得：2210740401011402960010572890w x x x x x =-+-=-+-=--+（）（）（），∵-10＜0，∴当57x ＜时，w 随x 的增大而增大，∵4452x ≤≤，∴当52x =时，w 有最大值，最大值为2640，∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是2640元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在2b x a=-时取得． 6．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+；当x >400时，y =70；综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+ =()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．7．(1)40x +，60x -(2)212404800W x x =-++，215900W x =-+(3)6x =时，W 最大，最大利润为5778元【解析】【分析】（1）根据第二期培植盆景与花卉共100盆，培植的盆景比第一期增加x 盆列式即可；（2）根据利润＝平均利润×销售数量列式计算即可；（3）表示出总利润W ，根据二次函数的性质求出最大值即可．(1)解：由题意得：第二期盆景的数量为()40x +盆，则花卉的数量为()()1004060x x -+=-盆，故答案为：40x +，60x -；(2)解：由题意得：21(40)(1202)2404800W x x x x =+-=-++，()2156015900W x x =-=-+；(3)解：由题意得：22122404800159002255700W W W x x x x x -++--+=++=+=， ∵对称轴为254x =，而x 为正整数， ∴当6x =时，5778W =，当7x =时，5777W =，∵57785777>，∴6x =时，W 最大，最大利润为5778元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，找到合适的数量关系列出算式是解题的关键． 8．(1)y =－30x +600(2)当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元【解析】【分析】（1）根据待定系数法设y =kx +b (k ≠0)，代入数值组成二元一次方程组求解即可；（2）设每天获得的纯利润为W 元，可列出二次函数表达式，根据二次函数的性质可得．(1)解：设y =kx +b (k ≠0)根据题意得：10+=30011+=270k b k b ⎧⎨⎩，解得：=-30=600k b ⎧⎨⎩∴y =－30x +600(2)解：设每天获得的纯利润为W 元，根据题意得：W =(－30x +600)(x －6) －200=－30x 2+780x －3800=－30(x －13)2+1270∵－30＜0∴抛物线开口向下∵抛物线对称轴为x =13，销售单价不得高于12元∴当x ≤12时，W 随x 的增大而增大∴当x =12时，W 有最大值，W 最大值=－30× (12－13)2+1270=1240 （元）答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元【点睛】本题考查的是求一次函数的解析式和二次函数的应用，学会用待定系数法求解析式和求最大值是解题的关键．9．(1)21=44S x -+ (2)5475元【解析】【分析】（1）分别计算出AGF 和四边形AGOH 的面积即可得到答案；（2）首先计算出正方形ABCD 中种草坪部分的面积，再根据题意可用x 表示出总共的花费，最后根据二次函数的性质即得出答案．(1)解：∵AE x =，4AB =∴4BE x =-， ∴122EG BG x ==-， ∴112222AG AE EG x x x =+=+-=+， ∴2111()224122AGF AG A S F x x x x =⋅=⨯=++． ∵O 为对称中心，∴O 到AD 的距离等于O 到AB 的距离等于422=， ∴1=22242AGO AHO AGO AGOH S S G x S S A +==⋅⋅⨯+=四边形 ∴2211=4()444A OH GF AG S S x Sx x x -=+-+=-+四边形； (2) 解：在正方形ABCD 中，种植草坪的面积为221144()(4)1244AGF ABCD S S x S x x x --=⨯-+--+=-正方形， ∴在正方形ABCD 中，需要费用为2221180()60(4)95(12)515138044x x x x x x ++-++-=-+， ∴在这个花坛内种植花卉和草坪需要花费2224(5151380)2060552020(3)5475x x x x x -+=-+=-+．∴当3x =时，在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用最低，为5475元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出等式．10．(1)w ＝−8x 2＋32x ＋480；(2)每件商品应降价2.5元；(3)每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【解析】【分析】（1）设每件商品应降价x 元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润可列出关于x 的关系式；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案；（3）把w 关于x 的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．(1)解：由题意得w ＝（40−30−x ）（4×0.5x ＋48）＝−8x 2＋32x ＋480，答：w 与x 的函数关系式是w ＝−8x 2＋32x ＋480；(2)解：由题意得，510＝−8x 2＋32x ＋480，解得：x 1＝1.5，x 2＝2.5，所以为尽快减少库存每件商品应降价2.5元；答：每天要想获得510元的利润，每件应降价2.5元.(3)解：∵w ＝−8x 2＋32x ＋480＝−8（x −2）2＋512，∴当x ＝2时，w 有最大值512，此时售价为40−2＝38（元），答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．。

二次全等(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：全等三角形的__________相等，____________相等．问题2：一般三角形全等的判定定理有：_________________________；直角三角形全等的判定定理有：_________________________．问题3：在为证两个三角形全等准备条件时，看到平行，会怎么想？看到垂直，会怎么想？问题4：要证明边相等、角相等，可以考虑证明两个三角形全等，同时为了证明全等，可以先证明前一个全等为之准备条件，也就是二次全等，主要强调全等的工具性．按照这个思路，请完成下面的填空：已知：如图，AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点．求证：BF=CF．要证BF=CF，则需证明△ABF≌△ACF．要证明△ABF≌△ACF，需要找_______条件，其中必须有一组_______．因为AB=AC，AF是公共边，经分析只能证明_______．结合已知条件AB=AC，DB=DC，AD为公共边，可利用三角形全等的判定定理_______先证明_______．二次全等（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABO≌△ADO．证明：如图，在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（_____）∴__________________在△ABO和△ADO中______________________∴△ABO≌△ADO（_____）①AAS；②ASA；③SAS；④AB=AD；⑤BC=DC；⑥；⑦．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②⑤⑥①B.②④⑦③C.①④⑦③D.①⑤⑥②答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定2.已知：如图，点A，C在EF上，BC=AD，AB=CD，AE=CF．求证：∠E=∠F．证明：如图，在△ABC和△CDA中____________________∴__________________∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∴∠3=∠4在△ABE和△CDF中___________________________∴_________________________∴∠E=∠F（全等三角形对应角相等）请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②；③；④；⑤△ABC≌△CDA（SSS）；⑥△ABC≌△CDA（SAS）；⑦△ABE≌△CDF（SAS）；⑧△ABE≌△CDF（SSA）．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①⑤③⑧B.①⑤④⑦C.②⑥③⑧D.②⑥④⑦答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形判定3.已知：如图，AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点．求证：BF=CF．证明：如图，在△ADB和△ADC中_________________________∴△ADB≌△ADC（_____）∴_______________________在△ABF和△ACF中_________________________∴△ABF≌△ACF（_____）∴BF=CF请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②；③SSS；④SAS；⑤SSA；⑥∠ABD=∠ACD（全等三角形对应角相等）；⑦∠1=∠2（全等三角形对应角相等）；⑧；⑨．以上空缺处依次填写正确的是( )A.②③⑦⑧④B.②③⑥⑨⑤C.①④⑦⑧④D.①④⑥⑨⑤答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形判定4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，E，F分别是DA，BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．求证：△EOD≌△FOB．证明：如图，∵AB∥DC∴∠1=∠2在△ABD和△CDB中____________________∴△ABD≌△CDB（_______）∴__________________∵AE=CF∴AE+AD=CF+CB即ED=FB在△EOD和△FOB中_______________________∴△EOD≌△FOB（AAS）①；②；③SAS；④SSA；⑤AAS；⑥；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次填写正确的是( )A.①⑤⑥⑨B.②③⑦⑧C.②④⑦⑧D.②③⑥⑨答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定5.如图，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD．E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，∠ABF=∠CBF，连接CF，交ED于点G．求证：DE⊥CF．证明：如图，在Rt△ABE和Rt△DCE中∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）∴_________________在△ABF与△CBF中_________________∴_______________∴_______________∴∠2=∠3∵∠BCD=90°∴∠3+∠4=90°∴∠2+∠4=90°∴∠DGC=90°∴DE⊥CF请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠1=∠2（全等三角形对应角相等）；②∠1=∠3（全等三角形对应角相等）；③∠ABE=∠DEC（全等三角形对应角相等）；④；⑤；⑥△ABF≌△CBF（SAS）；⑦△ABF≌△CBF（SSS）；⑧∠AFB=∠CFB（全等三角形对应角相等）．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①⑤⑦②B.②⑤⑦①C.①④⑥②D.③④⑥⑧答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形判定。

八年级上册数学三角形全等证明之二次全等(含答案)

第2节三角形全等证明之二次全等在证明线段相等或者角相等时,常见的方法是通过证明线段或角所在的三角形全等来证明线段或者角相等.但有的时候,根据题目条件无法简单地通过一次全等证明来得到最终的结论,这时就需要证明两次三角形全等,即证明图中的两对三角形全等.这种方法较多见于对称型全等和旋转型全等的题目中.一、典型例题[例]图2-1是某产品商标的示意图,已知AB ＝CD,∠A ＝∠D,有人认为△ABC ≌△DCB,他的思考过程是:∵AB ＝CD,∠A ＝∠D,BC ＝CB,∴△ABC ≌△DCB.你认为这个思考过程对吗？如果正确,请指出他用的是判定三角形全等的哪个定理？如果不正确,请写出你的思考过程.解:他的思考过程不正确.在△ABE 和△DCE 中,∵{∠AEB =∠DEC∠A =∠D AB =DC∴△ABE ≌△DCE （AAS ）.∴AE ＝DE,BE ＝CE.∴AE+EC ＝DE+EB,即AC ＝BD.在△ABC 和△DCB 中,∴{AC =BDAB =DC BC =CB∴△ABC ≌△DCB （SSS ）.二、培优巩固练习篇1.如图2-2所示,点A,E,C 在一条直线上,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:△ABE ≌△ADE.图2-2图2-12.如图2-3所示,点A,E,F,C 在一条直线上,AE ＝CF,分别过点E,F 作DE ⊥ AC,BF ⊥AC,连接AB,CD,且AB ∥CD,连接BD 交AC 于点C.求证:△DEG ≌△BFG.3.如图2-4所示,AB ＝AC,DB ＝DC,F 是AD 延长线上的一点.求证:BF ＝CF.4.如图2-5所示,AE 是∠BAC 的角平分线,EB ⊥AB 于点B,EC ⊥AC 于点C,点D 是AE 上一点.求证:BD ＝CD.5.如图2-6所示,DE ⊥AC,BF ⊥AC,AD ＝BC,DE ＝BF.求证:AB ∥DC.图2-3C图2-4图2-5图2-66.如图2-7所示,点E,F 在BD 上,且AB ＝CD,BF ＝DE,AE ＝CF.求证:AO ＝CO.7.如图2-8所示,AB 之间有一条河.想要测量AB 的长,但无法过河接近点A,于是在AB 外任取一点D,在AB 的延长线上任取一点E,连接ED 和BD,并延长BD 到点G,使DG ＝DB,延长ED 到点F,使DF ＝DE,连接FG,并延长FG 到点H,使点H,D,A 在一条直线上,则HG ＝AB.试说明这种测量方法的原理.8.如图2-9所示,在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,∠ABC ＝∠ADE ＝90°,BC 与DE 相交于点F,且AB ＝AD,AC ＝AE,连接CD,EB.求证:(1)∠CAD ＝∠EAB;（2）CF ＝EFDH图2-8图2-99.如图2-10所示,在等边△ABC 内取一点D,使DA ＝DB,在△ABC 外取一点E,使∠DBE ＝∠DBC,且BE ＝BA,则∠BED ＝_______°.10.如图2-11所示,∠BAC 是钝角,AB ＝AC,点D,E 分别在AB,AC 上,且CD ＝BE.试说明:∠ADC ＝∠AEB.一个同学的解法是这样的: 在△ACD 和△ABE 中, ∵{AB =AC BE =CD ∠BAE =∠CAD ∴△ABE ≌△ACD.∴∠ADC ＝∠AEB.这种解法遭到了其他同学的质疑.理由是错在不能用“SSA ”判定三角形全等.请你给出正确的解法.图2-10CB AC B答案解析1.证明:在△DEC和△BEC中,{∠1=∠2 EC=EC ∠3=∠4∴△DEC≌△BEC（ASA）.∴DE＝BE.∵∠3＝∠4,∴∠DEA＝∠BEA.在△ABE和△ADE中,{AE=AE∠AEB=∠AEDBE=DE∴△ABE≌△ADE（SAS）.2.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AFB＝90°＝∠CED. ∵AE＝CF,∴AE+EF＝CF+FE,即AF＝CE.∵AB∥CD,∴∠A＝∠C.在△ABF和△CDE中,{∠A=∠C AF=CE∠AFB=∠CED ∴△ABF≌△CDE（ASA）.∴DE＝BF.在△BFG和△DEG中,{∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS）.3.证明:在△ABD和△ACD中,{AB=AC BD=CD AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD＝∠CAD.在△BAF和△CAF中,{AB=AC∠BAF=∠CAF AF=AF∴△BAF≌△CAF（SAS）.∴BF＝CF.4.证明:∵AE是∠BAC的角平分线, ∴∠CAE＝∠BAE. ∵EB⊥AB,EC⊥AC, ∴∠ECA＝∠EBA＝90°.在△CAE和△BAE中,{∠CAE=∠BAE ∠ECA=∠EBA AE=AE∴△CAE≌△BAE（AAS）.∴AC＝AB.在△CAD和△BAD中,{AC=AB ∠CAD＝∠BAD AD=AD∴△CAD≌△BAD（SAS）.∴BD＝CD.5.证明:∵DE ⊥AC,BF ⊥AC, ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°, ∠AFB ＝∠CED ＝90°, 在Rt △ADE 和Rt △CBF 中,∵{AD =CB DE =BF ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）.∴AE ＝CF.∴AE+EF ＝CF+FE,即AF ＝CE.在△AFB 和△CED 中,∵{AF =CE∠AFB =∠CED DE =BF∴△AFB ≌△CED （SAS ）. ∴∠BAF ＝∠DCE.∴AB ∥DC.∴AO ＝CO.6.证明:∵BF ＝DE, ∴BF-EF ＝DE-FE,即BE ＝DF. 在△ABE 和△CDF 中, {AB =CDAE =CF BE =DF∴△ABE ≌△CDF （SSS ）.∴∠B ＝∠D.在△AOB 和△COD 中,{∠AOB =∠COD∠B =∠D AB =CD∴△AOB ≌△COD （AAS ）7.解:在△BED 和△GFD 中,{DB =DG∠BDE =∠GDF DE =DF∴△BED ≌△GFD （SAS ）.∴∠EBD ＝∠FGD.∴∠ABD ＝∠HGD.在△ABD 和△HGD 中,{∠ABD =∠HGDBD =GD∠BDA =∠GDH∴△ABD ≌△HGD （ASA ）.∴HG ＝AB.8.证明:（1）在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,{AC =AE AB =AD ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC-∠DAB ＝∠DAE-∠DAB,即∠CAD ＝∠EAB.（2）在△ACD 与△AEB 中, {AC =AE∠CAD =∠EAB AD =AB∴△ACD ≌△AEB （SAS ）.∴CD ＝BE,∠ACD ＝∠AEB.∵Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）, ∴∠ACB ＝∠AED.∴∠ACB-∠ACD ＝∠AED-∠AEB,即∠DCF ＝∠BEF.又∵∠DFC ＝∠BFE, ∴△DFC ≌△BFE （AAS ）.∴CF ＝EF.9.解:如图2所示,连接CD.∵△ABC是等边三角形, ∴AB＝BC＝CA.∵BE＝BA,BA＝BC, ∴BE＝BC.在△BDC和△BDE中,{BD=BD∠DBE=∠DBC BE=BC∴△BDC≌△BDE（SAS）. ∴∠BED＝∠BCD.在△BCD和△ACD中,{BC=AC BD=AD CD=CD∴△BCD≌△ACD（SSS）.∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴∠BED＝30°.10.证明:因为∠BAC是钝角,故过点B,C分别作CA,BA的垂线,垂足分别为点F, G,如图3所示.在△ABF和△ACG中,{∠F=∠G=90°∠FAB=∠GACAC=AB∴△ABF≌△ACG（AAS）.∴BF＝CG.在Rt△BEF和Rt△CDG中,{BF=CGBE=CD∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL）.∴∠ADC＝∠AEBEDC BA。

春中考数学《二次函数：全等三角形的存在性问题》课件

理解偏差
对于全等三角形的理解存在偏差，导致在应用判定定理时出现错误。
判定方法的实际应用
解题技巧
在解决二次函数问题时，利用全等三角形的存在性判定可以简化
解题过程。
实际应用
全等三角形的存在性判定在实际生活中也有广泛的应用，例如在几何图形的设计和制作中。
拓展应用
通过全等三角形的存在性判定，还可以进一步探究二次函数图像中的其他几何性质和规律。
高难度练习题3
题目内容涉及二次函数的最值求解和全等三角形的证明，以及数学思想的运用。
基础练习题答案
详细解答每个基础练习题的解题思路和步骤，帮助学习者掌握基础知识。
中等难度练习题答案
详细解答每个中等难度练习题的解题思路和步骤，提高学习者的解题能力。
高难度练习题答案
详细解答每个高难度练习题的解题思路和步骤，激发学习者的创新思维和数学素养。
总结词
基础题目是全等三角形存在性问题的入门级题目，主要考察学生对基础概念和公式的掌握程度。
详细描述
基础题目通常包括简单的图形变换、基本的全等条件和简单的计算。通过这些题目，学生可以熟悉全等三角形存在性问题的基本解题思路和方法，为解决更复杂的问题打下基础。
中等难度题目解析
总结词
中等难度题目是在基础题目上的提升，需要学生具备一定的推理和问题解决能力。
详细描述
这类题目通常涉及到更复杂的图形变换、多个全等条件的应用以及一些计算技巧。学生需要通过仔细分析图形和条件，逐步推导出结论，并能够运用所学知识解决实际问题。
高难度题目解析
总结词
高难度题目是全等三角形存在性问题的最高级别题目，对学生的推理、计算和问题解决能力有很高的要求。

中考必练二次函数综合应用题(带答案)

中考必练二次函数综合应用题(带答案)二次函数应用题1．某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）．(1)若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；(2)若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；(3)市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．2．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．x>），请你分别用x的代数式来表示销售(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（40量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元．(2)在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？3．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？4．某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与一次批发数量x（件）（x为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 5．问题提出(1)如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，点E 在BC 上，2BE EC =，连接FE 并延长交DC 的延长线于点G ，求CG 的长；问题解决(2)如图②，某生态农庄有一块形状为平行四边形ABCD 的土地，其中4km AB =，6km BC =，60B ∠=︒．管理者想规划出一个形状为EMP 的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点E 是AD 的中点，点P 、M 分别在BC 、AB 上，PM AB ⊥．设BP 的长为(km)x ，EMP 的面积为y 2(km )．①求y 与x 之间的函数关系式；②为容纳更多的游客，要求EMP 的面积尽可能的大，请求出EMP 面积的最大值，并求出此时BP 的长．6．某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的成本y （万元）与产品数量x （件)之间具有函数关系220100y x x =++，B 城生产产品的每件成本为60万元．(1)当A 城生产多少件产品时，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？(2)从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A ，B 两城运费的和最小？7．安徽省在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y （万元）与年产量x （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额-生产费用）(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）(2)求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）：并求年产量多少万件时，所获毛利润最大(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润8．某商场销售一款服装，经市场调查发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如表格所示．同时，商场每出售1件服装，还要扣除各种费用150元．销售单价x（元/件）260240220销售量y（件）637791(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，商场每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)4月底，商场还有本款服装库存580件．若按（2）中获得最大月利润的方式进行销售，到12月底商场能否销售完这批服装？请说明理由．9．某商店购进一批成本为每件30元的商品，销售单价为40元时，每天销售量为80件，经调查发现，销售单价每上涨1元，每天销售量减少2件．设该商品每天的销售量y （件）与销售单价x（元）．(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)求当销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(4)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？10．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？【参考答案】二次函数应用题1．(1)10元/千克(2)2244w x x =-+（515x ≤≤，且x 为正整数）最大值是242元，最小值为170元(3)106 107 108【解析】【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；（3）由题意得：2340244350x x a ≤-++≤，由二次函数的对称性可知x 的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a 值．(1)解：根据题意得342524x --=（），解得10x =．答：该日瓯柑的单价是10元/千克；(2)解：根据题意得222342524422212112121124]2[w x x x x x x x =--=-+=--+-=--+（）（）（），由题意得515x ≤≤，且x 为正整数，∵20-＜，∴11x =时，w 有最大值是242元，∵11-5=6，15-11=4，抛物线开口向下，∴5x =时，w 有最小值是22511242170--+=（）元；则w 关于x 的函数表达式为：23425244[]w x x x x =--=-+（）（515x ≤≤，且x 为正整数）；(3)解：由题意得2340244350x x a ≤-++≤，∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数，∴由二次函数的对称性可知，x 的取值为9，10，11，12，13当9x =或13时，2244234x x -+=；当10x =或12时，2244240x x -+=，当11x =时，2244242x x -+=．∵补贴后不超过350元，234+106=340，242+108=350，∴当106a =或107或108时符合题意．答：所有符合题意的a 值为：106，107，108．【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x 的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．2．(1)y=1000−10x ，w =−10x 2＋1300x −30000；(2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【解析】【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得y ＝600−（x −40）×10＝1000−10x ，利润w ＝（1000−10x ）（x −30）＝−10x 2＋1300x −30000；（2）首先求出x 的取值范围，然后把w ＝−10x 2＋1300x −30000转化成y ＝−10（x −65）2＋12250，结合x 的取值范围，求出最大利润．(1)解：由题意得：销售量y=600−（x −40）×10=1000−10x ，销售玩具获得利润w =（1000−10x ）（x −30）=−10x 2＋1300x −30000；(2)解：根据题意得10001054045x x -≥⎧⎨≥⎩，解之得：45≤x ≤46，w ＝−10x 2＋1300x −30000＝−10（x −65）2＋12250，∵a ＝−10＜0，对称轴是直线x ＝65，∴当45≤x ≤46时，w 随x 增大而增大．∴当x ＝46时，w 最大值＝8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．3．(1)10300y x =-+，1030x ≤≤；(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元．【解析】【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ 即10300y x =-+，由题意可得，10x ≥，103000x -+≥，解得1030x ≤≤即10300y x =-+，1030x ≤≤，(2)解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =--+=-+-，∵100-<，开口向下，对称轴为20x，1030x ≤≤ ∴当20x时，w 有最大值，为1000元，【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式．4．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+；当x >400时，y =70；综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+=()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．5．(1)1CG =(2)①2311388y x x =-+；②EMP 面积的最大值为21213km 32，此时BP 的长为11km 2 【解析】【分析】（1）证明FEB GEC △∽△，依据相似三角形的性质进行求解即可；（2）①分点P 在点H 左侧和右侧两种情况讨论求解即可；②由二次函数的性质可得解．(1)在矩形ABCD 中，90ABC BCD BCG ∠=∠=∠=︒，∵FEB GEC ∠=∠，∴FEB GEC △∽△，∴BF BE CG CE =， ∵4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，2BE EC =，∴2BF =，4BE =，2CE =，∴242CG =， ∴1CG =.(2)①过点E 作EH //AB 交BC 于点H ，交射线MP 于点G ，易得四边形ABHE 是平行四边形， ∴4EH AB ==.∵EH //AB ，PM AB ⊥，∴60PHG B ∠=∠=︒，EG PM ⊥，即EG 是PME △边MP 上的高.∵点E 是AD 的中点，∴3BH AE ==.如图1-1，当点P 在点H 左侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=+=+=. 如图1-2，当点P 在点H 右侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=-=-=， ∴PME △的边MP 上的高112x EG -=. 在Rt MBP 中，3sin 60x MP BP =⋅︒=∴2113113113222x x y MP EG x -=⋅==. ②)222311333111213112y x x x x ⎫==-=-⎪⎝⎭ ∴当112x =时，1213y =最大 ∴EMP 21213，此时BP 的长为11km 2. 【点睛】本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键．6．(1)A 城生产20件，最小值是5700万元；(2)从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A ，B 两城运费的和最小．【解析】【分析】（1）设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则W 等于A 城生产产品的总成本加上B 城生产产品的总成本，由此可列出W 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（2）设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，分别用含n 的式子表示出从A 城把该产品运往D 地的产品数量、从B 城把该产品运往C 地的产品数量及从B 城把该产品运往D 地的产品数量，再列不等式组求得n 的取值范围，然后用含n 的式子表示出A ，B 两城总运费之和P ，根据一次函数的性质可得答案．(1)解：设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则22010060(100)W x x x =+++-2406100x x =-+2(20)5700x =-+，∴当20x时，W 取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；(2) 设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为(20)n -件，从B 城把该产品运往C 地的产品数量为(90)n -件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为(1020)n -+件，运费的和为P （万元），由题意得：20010200n n -⎧⎨-+⎩，解得1020n ，3(20)(90)2(1020)P n n n n =+-+-+-+60390220n n n n =+-+-+-2130n n =-+130n =-+，根据一次函数的性质可得：P 随n 增大而减小，∴当20n =时，P 取得最小值，最小值为110，∴从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A 、B 两城运费的和最小．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质．7．(1)21(0100)10y x x =≤≤，130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤，年产量75万件时，所获毛利润最大； (3)今年最多可获得1080万元的毛利润【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w 与x 之间的函数关系式；（3）首先求出x 的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．(1)解：设y 与x 之间的函数关系式为2y ax =，21000100a =⨯，得110a =，即y 与x 之间的函数关系式为21(0100)10y x x =≤≤；设z 与x 的函数关系式为z kx b =+，3010020b k b =⎧⎨+=⎩，得1,1030k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即z 与x 的函数关系式为130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)解：由题意可得， 2211130(75)112510105W zx y x x x x ⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，即W 与x 之间的函数关系式为21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当75x =时，W 取得最大值，此时1125W =，即年产量75万件时，所获毛利润最大；(3)解：∵今年投入生产的费用不会超过360万元，∴360y ≤，令y =360，得2136010x =，解得：x =±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y ≤360时，0＜x ≤60， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当60x =时，W 取得最大值，此时1080W =，即今年最多可获得1080万元的毛利润．【点睛】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．8．(1)724510y x =-+ (2)当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元(3)不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据表格数据判断为一次函数，设y kx b =+，用待定系数法求出解析时；（2）利润=单件利润⨯销售数量，化简为二次函数的顶点式，根据函数性质判断；（3）计算按（2）中获得最大月利润的方式进行销售时的数量，与580比较．(1)解：由表格可知，此函数为一次函数，故设y kx b =+；则有24077{22091k b k b +=+=，解得710245k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 724510y x ∴=-+； (2)设销售利润为w 元，由题意得：7(150)(245)10w x x =--+ 273503675010x x =-+- 27(250)700010x =--+ 7010a =-<， w ∴有最大值，∴当250x =时，w 取最大值，7000w =最大，答：当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元；(3)当250x =时，70y =（件），70(124)560580⨯-=<，∴12月底不能销售完这批服装．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，解题关键用待定系数法求出一次函数解析式，注意二次函数最值讨论时,一般整理成顶点式，再通过看a 值确定最大值或最小值． 9．(1)y ＝－2x ＋160(2)定价为55元时，每天的销售利润有最大值为1250(3)销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元(4)70元【解析】【分析】（1）根据题意可得y 与x 的关系式；（2）由题意得w =（x -30）（-2x +160）=-2（x -55）2+1250，即可求解；（3）根据二次函数的关系式和单价的取值范围可得最大利润；（4）由题意可得：（x -30）（-2x +160）=800，再根据函数的图象可得答案．(1)依题意得，y ＝80－2（x －40）＝－2x ＋160；(2)由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，∴当55x =时，w 有最大值，此时，1250w =，(3)20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ≤≤，∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；(4)由题意得：(30)(2160)800x x --+≥，解得：4070x ≤≤，∴销售单价最多为70元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．10．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【解析】【分析】设这种台灯应涨价x 元，那么就少卖出10x 个，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：设售价为x 元，根据题意得：()()()2306001040106512250W x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦，∴当x ＝65时，12250y =最大，答：这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式是解答本题的关键．。

二次函数压轴题之全等三角形的存在性(习题及答案)

例题示范先填写思路分析；再对比过程示范例1：如图，已知直线y =kx -6与抛物线y =ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，且点A (1，-4)为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，F 是y 轴上一动点，在y 轴右侧的抛物线上是否存在一点P ，使△POE 与△POF 全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】①将A (1，-4)代入y =kx -6，可以求出k =___，直线解析式为________；再由直线解析式可知点B _____．已知抛物线顶点A (1，-4)，设顶点式_____________，又因为点B 也在抛物线上，所以可求得抛物线解析式__________________．②研究抛物线解析式，可知点C (，)，研究直线解析式可知D (，)．（注意有无特殊角）【过程示范】解：（1）将A (1，-4)代入y =kx -6，得k =2∴y =2x -6令y =0，解得，x =3∴B (3，0)由点A (1，-4)是抛物线的顶点，设y =a (x -1)2-4，二次函数压轴题之全等三角形的存在性（习题）把B(3，0)代入，解得，a=1∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3第二问：全等三角形的存在性【思路分析】①分析不变特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，动点为_______________；进一步在两个三角形中进行研究，发现定线段_____，所以两个三角形都不确定．②考虑形成因素，画图，求解：三角形形状不明确，则考虑两个三角形的对应关系：注意到△POE与△POF有公共边，则OP和OP应该是一组_______，则OE要么和_____对应，要么和______对应．I当OE与OF对应，此时根据OE=OF=___，能找到合适的___个点F的位置，分别记为F1，F2（x轴上方为F1）．①考虑E，F1，O，P四点组成的△OPE和△OPF1，此时，这两个三角形满足：OE=OF1，OP=OP，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．可确定OP为∠EOF1的________．②考虑E，F2，O，P四点组成的△OPE和△OPF2，此时，这两个三角形满足：OE=OF2，OP=OP，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．则确定OP为∠EOF2的________．II当OE与PF对应，此时，这两个三角形满足：OE=PF，OP=OP，考虑两种情况：①当OE，PF在OP的异侧时，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．若这两个角相等，说明___∥___，则此时四边形OEPF为__________，借助其特征，可求出点P．②当OE，PF在OP的同侧时，要想全等，需满足两组对应边的夹角相等即可，此时可进一步分析可得四边形OEFP为等腰梯形，结合点P的范围，在y轴右侧的抛物线上，此种情况不存在符合题意的点P．③结果验证：考虑点P还要在y轴右侧的抛物线上，将点P 代入抛物线解析式验证．【过程示范】I 当△POE ≌△POF 时，OE =OF =1∴F 1(0，1)，F 2(0，-1)①当OF 1=OE 时，此时∠F 1OP =∠EOP ，则l OP ：y =x∴223y x y x x =⎧⎨=--⎩则32123212x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或32123212x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（舍）∴P 1(3212+，3212+)②当OF 2=OE 时，此时∠F 2OP =∠EOP ，则l OP ：y =-x∴223y x y x x =-⎧⎨=--⎩则11321132x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩或11321132x y ⎧-=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩（舍）∴P 2(1132+，1132--)II 当△POE ≌△OPF 时，当OE ，PF 在OP 的异侧时，分析可得四边形OEPF 为平行四边形（矩形），此时，P 与A 重合，P 3(1，-4)．当OE ，PF 在OP 的同侧时，分析可得四边形OEFP 为等腰梯形，此时不存在符合题意的点P ．综上，点P 的坐标为(3212+，3212+)，(1132+，1132--)，(1，-4)．巩固练习1.已知抛物线23632y x bx =++经过点A (2，0)，顶点为P ，与x 轴的另一交点为B ．（1）求b 的值及点P ，点B 的坐标．（2）如图，在直线3y x =上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，试说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-6，0)，B(2，0)和C(0，3)，点D是该抛物线的顶点，AC，OD相交于点M．（1）求点D的坐标．（2）在x轴下方的平面内是否存在点N，使△DBN与△ADM 全等？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．63.已知抛物线212y x bx c =-++过点(-6，-2)，与y 轴交于点C ，且对称轴与x 轴交于点B (-2，0)，顶点为A ．（1）求该抛物线的解析式和点A 的坐标．（2）若点M 是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M 的直线MN 与y 轴交于点N ，是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△OMB 全等？若存在，请求出直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．思考小结回顾全等三角形存在性问题的处理流程：分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，在两个三角形中逐层分析确定的角、边长，把公共边作为对应边．分析形成因素：根据分析得到的不变特征，结合两个三角形全等的判定，同时考虑两个三角形出现的对应关系，综合在一起分析．画图求解：根据上面的分析，画出符合题意的图形，结合图形特征，设计方案．结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【参考答案】例题示范第一问思路分析：①2；y =2x -6；(3，0)；y =a (x -1)2-4；y =x 2-2x -3②(0，-3)；(0，-6)第二问思路分析：①O ，E ；P ，F ；OE②对应边；OF ；PFI 1；两；①角平分线；②角平分线；II OE ；PF ；矩形巩固练习1.（1）43b =-，(423)P -，，B (6，0)；（2）存在，(223)D ，，理由略．（3）存在，16103()39M -，，理由略．2.（1）D (-2，4)；（2）存在，24()55N -，，理由略．3.（1）21242y x x =--+，A (-2，6)；（2）存在，122y x =-+或y =6，理由略．。

专题25 二次函数与全等三角形存在问题-2022中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版

专题25 二次函数与全等三角形存在问题1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2，点Q（m，n）在抛物线C2上，其中m＞0且n＜0，过点P作PQ∥y轴交抛物线C1于点P，点M是x轴上一点，当以点P、Q、M为顶点的三角形与△AOQ全等时，点M的横坐标为_____．【答案】4【分析】此题首先需要确定全等的对应关系，函数图象向上平移后，两个函数上下间距为1，OA＝1，所以AO与PQ对应，∠AOQ＝∠PQM，可确定OQ＝QM，AQ＝PB，得到两组线段相等后，设点M坐标，以两组线段相等为等量建立方程即可解决问题．【详解】解：∵△AOQ≌△PQM，AO＝PQ∴∠AOQ＝∠PQM，AQ＝PB，OQ＝QM∴AQ2＝PB2，OQ2＝QM2设Q（m，m2﹣2m﹣2），P（m，m2﹣2m﹣3），M（a，0）如图，过点Q作QH⊥AB，垂足为H，则在Rt△OHQ中，OQ2＝（m）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△MHQ中，QM2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△AHQ中，AQ2＝（m+1）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△PHB中，PB2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2a由（m）2+（m2﹣2m﹣2）2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣2）2，解得m＝2由（m+1）2+（m2﹣2m﹣2）2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2，解得a＝﹣2（舍）或a＝4∴点M的横坐标为4．【点睛】此题是代几综合问题，考查了全等关系在二次函数中的应用和二次函数中点坐标与线段长的转换，首先要确定边角的对应关系，发现线段相等后，利用等量建立方程，只要确定了对应关系，此题就好解决了．2．如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30°，在射线OC 上取点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ．在抛物线y =x 2(x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P 、O 、Q 为顶点，且以点Q 为直角顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是__________．【答案】)12233或（）或（【分析】此题应分四种情况考虑：①∠POQ =∠OAH =60°，此时A 、P 重合，可联立直线OA 和抛物线的解析式，即可得A 点坐标；②∠POQ =∠AOH =30°，此时∠POH =60°，即直线OP ：y，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ 、PQ 的长，由于△POQ ≌△AOH ，那么OH =OQ 、AH =PQ ，由此得到点A 的坐标．③当∠OPQ =90°，∠POQ =∠AOH =30°时，此时△QOP ≌△AOH ，由此求得点A 的坐标； ④当∠OPQ =90°，∠POQ =∠OAH =60°，此时△OQP ≌△AOH ，由此求得点A 的坐标；【详解】①当∠POQ =∠OAH =60°，若以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，那么A 、P 重合；由于∠AOH =30°，设A 坐标为（a ，b ），在直角三角形OAH 中，tan ∠AOH =tanba，设直线OA 的方程为y =kx ，把A 的坐标代入得k =b a∴直线OA 的解析式： y，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得 00x y =⎧⎨=⎩，13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ；∴A13）； ②当∠POQ =∠AOH =30°，此时△POQ ≌△AOH ；易知∠POH =60°，则直线OP ：yx，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴P3），即可得A （3；③当∠OPQ =90°，∠POQ =∠AOH =30°时，此时△QOP ≌△AOH ；易知∠POH =60°，则直线OP ：y，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得 00x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴P3）， ∴OPQP =2， ∴OH =OPAH =QP =2， ∴A （2）；④当∠OPQ =90°，∠POQ =∠OAH =60°，此时△OQP ≌△AOH ；此时直线OP：y，联立抛物线的解析式，得：2y xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得xy=⎧⎨=⎩，13xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴P13），∴QPOP=23，∴OH=QPAH=OP=23，∴A23）．综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：，13），（3，（2），23）．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用．3．（2021·陕西·西安市中考三模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(0)，B0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接P A，AD，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的表达式和点P的坐标；（2）在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝−13x2＋3，P4）；（2）存在，点Q的坐标为（0，7）．【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．（2）先求出直线BC 的解析式，从而得点D 的坐标为D2）．可求出AD 并证明CD＝DP ，利用三角函数及等腰三角形性质求出∠ADP ＝120°，则可根据点Q 的位置在y 轴上，分别从两种情况利用SAS 判定两三角形全等的方法来求解．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x（x，将C （0，3）代入得： a （0（3，解得 a ＝−13．∴抛物线的解析式：y ＝−13（x（x−13x 2＋3． ∵y ＝−13x 2x ＋3＝−13（x2＋4， ∴P4）．（2）存在，设直线BC 的解析式：y ＝kx ＋b ，依题意得：3b b +==⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为：y ＝＋3．当xy ＝2， ∴D2）． ∴AD＝4，CD2＝PD ．∵tan ∠ABD ＝DF BF， ∴∠ABD ＝30°．∵l 是抛物线的对称轴，点D 在l 上， ∴AD ＝BD ．∴∠ABD ＝∠BAD ＝30°． ∴∠ADB ＝120°． ∴∠ADF ＝∠BDF ＝60°． ∴∠ADP ＝120°，△QCD 和△APD 中，CD ＝PD ，且点Q 在y 轴上，当点Q 在CD 上方，∠DCQ ＝∠ADP ＝120°，CQ ＝AD 时，△QCD ≌△APD ，设点Q （0，y ），则CQ ＝y －3，即y －3＝4，解得y ＝7， ∴Q （0，7），当点Q 在CD 下方时，∠CDQ ＝120°，此时点Q 在抛物线的对称轴上．综上，当△QCD ≌△APD 时，点Q 的坐标为（0，7）．【点睛】此题属于二次函数综合题，难度较大，涉及到：函数解析式的确定以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路，能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查．4．（2021·北京市九年级月考）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－0)，B (0)，C (0，－3)．（1）求抛物线顶点P 的坐标；（2）连接BC 与抛物线对称轴交于点D ，连接PC ． ①求证：PCD 是等边三角形．②连接AD ，与y 轴交于点E ，连接AP ，在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP 全等．若存在，直接写出点Q 坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点M 是直线BC 上任意一点，连接ME ，以点E 为中心，将线段ME 逆时针旋转60°，得到线段NE ，点N 的横坐标是否发生改变，若不改变，直接写出点N 的横坐标；若改变，请说明理由．【答案】（1）4)P -；（2）①见解析；②存在，2)或(2)--；（3）不改变，N 的理由见解析．【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再用配方法解题；（2）①利用勾股定理求出PC ,PD ,CD 的值，即可求解；②存在，在对称轴上取一点Q ，使得DQ =AD ，连接AQ ,证明()ADP QDC SAS ≅，可解得2)Q ，再根据对称性得到，当点Q '与Q 关于A 对称时，Q CD ADP '≅，解得(2)Q '--；（3）设EN 交DM 于J ，利用全等三角形的性质，证明点N 在对称轴上即可．【详解】解：（1）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (0)，B(0)，C (0，－3)330270c a c a c =-⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩133a b c ⎧=⎪⎪⎪∴=⎨⎪=-⎪⎪⎩2221113()3(4333y x x x ∴=-=--=-4)P ∴-；（2）①设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入 B(0)，C (0，－3)，得3b b ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩3k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩直线BC的解析式为3y x =-当x =2y =-，2)D ∴-2,2,2PD CD PC ∴===CD PC PD ∴==∴PCD 是等边三角形；②存在，理由如下，在对称轴上取一点Q ，使得DQ =AD ，连接AQ ,tan OC ABC OB ∠==30ABC ∴∠=︒ ,DA DB DQ AB =⊥ 30,120DAB ADB ∴∠=︒∠=︒ 60ADQ BDQ ∴∠=∠=︒ 60ADQ CDP ∠=∠=︒ADP CDQ ∴∠=∠,DA DQ DP DC == ()ADP QDC SAS ∴≅ 4AD DQ ∴==2)Q ∴根据对称性可知，当点Q '与Q 关于A 对称时，Q CD ADP '≅，(2)Q '∴--，综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：2)或(2)--；（3）不改变，理由如下，设EN 交DM 于J ， 60MEN CED ∠=∠=︒ MEC NED ∴∠=∠,ME NE EC ED == ()MEC NED SAS ∴≅EMC END ∴∠=∠ EJM DJN ∠=∠ 60MEJ JDN ∴∠=∠=︒ 60CDP CDN ∴∠=∠=︒ N ∴在对称轴上， N ∴【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、配方法求顶点坐标、全等三角形的判定与性质、正切、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．5．如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过()A，()B ，()0,3C 三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接P A ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的表达式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）将CED ∠绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若2PM DN =，求点N 的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）2133y x =-+；（2）存在，点Q的坐标为())2-，()0,7或()-；（3）点N的坐标为⎭【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线BC 的解析式，求出点D 的坐标；方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题；注意分类讨论；（3）先证明CEM DEN ≌，设点M 的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得22443PM x =+，22221433CM x x x =+=，根据224PM CM =求出x的值，然后根据2FN DF DN =-==【详解】解：（1）设抛物线的表达式为(y a x x =-，将点()0,3C 代入后，得(003a -=，解得13a =-．∴抛物线的表达式为(211333y x x x =--=-+．（2）设直线BC 的解析式为y kx b=+，由题意，得03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线BC 的解析式为3y x =+．由抛物线的表达式2133y x =-+，得顶点P 的坐标为)4．当x =32y =+=， ∴点D 的坐标为)2．方法1：设点Q 的坐标为(),x y ．∴()()222220369QC x y x y y =-+-=+-+，(()22222247QD x y x y y =+-=+--+，(()2220428AP =+-=，(()2220216AD =+-=，2CD DP ==．∵在QCD 和APD △中，CD PD =，若两个三角形全等，则有以下两种情况． ①当QC AP =，QD AD =时，22QC AP =，22QD AD =，则222269284716x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得114x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴点Q的坐标为()，)2-．②当QC AD =，QD AP =时，22QC AD =，22QD AP =，则222269164728x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得3307x y =⎧⎨=⎩，441x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴点Q 的坐标为()0,7，()-．综上所述，点Q的坐标为()，)2-，()0,7或()-．方法2：∵点A的坐标为()，点B的坐标为()，点C 的坐标为()0,3，点F的坐标为)，∴AF =4=AD，OB =3OC =，6BC =，2PD DF CD ===． ∴60BDF ADF ADC PDC ∠=∠=∠=∠=︒，120ADP CDF ∠=∠=︒．如图所示，分以下四种情况．①当1Q 在y 轴上，且1Q C AD =时，()1SAS ADP QCD ≅．此时1Q 的坐标为()0,7．②当2Q 在 PD 延长线上，且2Q D AD =时，()2SAS ADP Q DC ≅． ∴此时2Q的坐标为)2-．③当3Q 在AD 延长线上，且3Q D AD =时，()3SAS ADP Q DC ≅．连接3Q P ，∵3ADF Q DP ∠=∠，∴()3SAS ADF Q DP ≅． ∴3Q P AF =．此时3Q的坐标为()．④当4120Q CD ADP ∠=∠=︒且4Q C AD =时，()4SAS ADP Q CD ≅，同理可得，()4SAS ADP Q CE ≅，∴4Q的坐标为()-．综上所述，点Q 的坐标为()0,7，)2-，()或()-．（3）如图所示，∵点D的坐标为)2，点B的坐标为()，∴2DF =，BF =．∴60BDF ADF CDE DCE ∠=∠=∠=∠=︒． ∴CEO 为等边三角形．在CEM 和DEN 中，60CEM DEN ECM EDN CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CEM DEN ≌．∴CM DN =，22PM CM DN ==，设点M的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴)222244343PM x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭．又∵22221433CM x x x =+=，∴224PM CM =，即22444433x x +=⨯，解得)16x =（负值舍去）．∴)16CM DN x ==，∴2FN DF DN =-==∴点N 的坐标为⎭解后反思本题第（2）问考查“在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP △全等”，这里要注意由于对应点的不同，需要有分类讨论的意识．方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =化为方程组22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题．相对于以上两种解法，因为方法1需要解复杂的二元二次方程组，所以方法2的几何方法更为简捷． 6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N 是y 轴负半轴上的一点，且ON =Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO ，QO 与抛物线的对称轴交于点M ，连接MN ，当MN 平分OMD ∠时，求点Q 的坐标．（3）直线BC 交对称轴于点E ，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE ∆与ACD ∆全等时点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）点Q 的坐标为：1Q ，2Q ；（3）若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -．【分析】（1）用待定系数法，直接将,A B 代入解析式即可求解．（2）由MN 平分OMD ∠，MD 平行ON 即可求出OM ON =M 点坐标，由直线OM 解析式即可求出与抛物线交点坐标Q 即可．（3）由,,A C D 三点的坐标可得ACD ∆三边长，由CE 坐标可得PCE ∆和ACD ∆中CD CE =，则另两组边对应相等即可，设P 点坐标为(,)x y ；利用两点间距离公式即列方程求解．【详解】（1）抛物线23y ax bx =+-经过(1,0)A -，(3,0)B 两点，∴309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）如图1，设对称轴与x 轴交于点H ，MN 平分OMD ∠，OMN DMN ∴∠=∠，又//DM ON ，DMN MNO ∴∠=∠， MNO OMN ∴∠=∠，OM ON ∴==．在Rt OHM ∆中，90OHM ∠=︒，1OH =．∴1HM ，1(1,1)M ∴；2(1,1)M -．①当1(1,1)M 时，直线OM 解析式为：y x =，依题意得：223x x x =--．解得：1x 2x点Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，Q ∴点纵坐标1y x =．∴1Q ，②当2(1,1)M -时，直线OM 解析式为：y x =-，同理可求：2Q ，综上所述：点Q的坐标为：1Q，2Q ，（3）由题意可知：(1,0)A -，(0,3)C -，D (1,4)-，AC ∴，AD ，CD ，直线BC 经过(3,0)B ，(0,3)C -，∴直线BC 解析式为3y x =-，抛物线对称轴为1x =，而直线BC 交对称轴于点E ，E ∴坐标为(1,2)-；CE ∴，设P 点坐标为(,)x y ，则222(0)(3)CP x y =-++，则222(1)(2)EP x y =-++，CE CD =，若PCE ∆与ACD ∆全等，有两种情况，Ⅰ．PC AC =，PE AD =，即PCE ACD ∆≅∆．∴2222(0)(3)10(1)(2)20x y x y ⎧-++=⎨-++=⎩，解得：1134x y =-⎧⎨=-⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩，即P 点坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --． Ⅰ．PC AD =，PE AC =，即PCE ACD ∆≅∆．∴2222(0)(3)20(1)(2)10x y x y ⎧-++=⎨-++=⎩，解得：3321x y =⎧⎨=⎩，4441x y =⎧⎨=-⎩，即P 点坐标为3(2,1)P ，4(4,1)P -．故若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．如图，抛物线y 1＝ax 2+bx +34与x 轴交于点A （﹣3，0），点B ，点D 是抛物线y 1的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点C （﹣1，0）．（1）求抛物线y 1所对应的函数解析式；（2）如图1，点M 在抛物线y 1上，横坐标为m ，连接MC ，若∠MCB ＝∠DAC ，求m 的值；（3）如图2，将抛物线y 1平移后得到顶点为B 的抛物线y 2．点P 为抛物线y 1上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线y 2于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线y 2于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与△ACD 全等时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）2113424y x x =--+ ；（2）m （3）P 点坐标为（0，34）或P （2，﹣54）．【分析】(1)根据A 、C 两点的坐标用待定系数法求出解析式；(2)如图，当M 点在x 轴上方时，若∠M 1CB ＝∠DAC ，则DA ∥CM 1，先求直线AD 的解析式，由点C 的坐标可求出直线CM 1的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点M 1的坐标，当点M 在x 轴下方时，由轴对称的性质可求出直线CM 2的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点M 的坐标；(3)先求出y 2的解析式，可设出点P 坐标，表示Q 、R 坐标及PQ 、QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△ACD 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求P 点坐标．【详解】(1)由题意得：3930412a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，抛物线y 1所对应的函数解析式为2113424y x x =--+；(2)当x ＝﹣1时，y ＝113424-++=1，∴D (﹣1，1)，设直线AD 的解析式为y ＝kx +n ， ∴301k n k n -+=⎧⎨-+=⎩，解得：1232k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为y ＝12x +32，如图，①当M 点在x 轴上方时， ∵∠M 1CB ＝∠DAC ， ∴DA ∥CM 1，设直线CM 1的解析式为y ＝12x +b 1， ∵直线经过点C ，∴-12+b 1=0，解得：b 1=12， ∴直线CM 1的解析式为y ＝12x +12， ∴21122113424y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：x =-x =-2舍去)，∴m ＝﹣②当点M 在x 轴下方时，直线CM 2与直线CM 1关于x 轴对称，由轴对称的性质可得直线CM 2的解析式为y ＝-12x -12， ∴21122113424y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：xx舍去)，∴m综合以上可得m(3)∵抛物线y 1平移后得到y 2，且顶点为B (1，0)， ∴()22114y x =--，即y 2=2111424x x -+-，设P (m ，2113424m m --+)，则Q (m ，2111424m m -+-)，∴R (2﹣m ，2111424m m -+-)，①当P 在Q 点上方时，PQ ＝1﹣m ，QR ＝2﹣2m ， ∵△PQR 与△ACD 全等，∴当PQ ＝DC 且QR ＝AC 时，m ＝0， ∴P (0，34)，R (2，﹣14)，当PQ ＝AC 且QR ＝DC 时，无解； ②当点P 在Q 点下方时，同理：PQ ＝m ﹣1，QR ＝2m ﹣2，可得P (2，54-)，R (0，﹣14)，综合可得P 点坐标为(0，34)或P (2，54-)．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()6,0A -和点()4,0B ，与y 轴的交点为()0,3C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由；②若DCB CDB ∠=∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）211384y x x =--+；（2）①存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析；②点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法，把A 、C 、G 三点坐标代入一般式，解方程组可求得抛物线解析式；（2）①分D 在线段AO 上和在线段OB 上两种情况讨论；②由已知点求出D 点坐标，连接DN ,证明DN //BC ，则可证DN 为△ABC 的中位线，根据题意可证DM =DN ，即可求出M 坐标. 【详解】（1）将点A ()6,0-，()0,3C ，()4,0B 代入2y ax bx c =++，得366016400a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得18143a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线解析式为：211384y x x =--+（2）①存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等当D 在线段OA 上，QAP DCO ∠=∠，3AP OC ==时，APQ ∆和CDO ∆全等 tan tan QAP DCO ∴∠=∠OC ODOA OC = 363OD ∴= 32OD ∴=∴点D 坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭由对称性，当点D 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭时，由点B 坐标为()4,0此时点3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OB 上满足条件．②3OC =，4OB =5BC ∴=DCB CDB ∠=∠5BD BC ∴==1OD BD OB ∴=-=则点D 坐标为()1,0-且5AD BD ==连DN ，CM则DN DM =，NDC MDC ∠=∠NDC DCB ∴∠=∠DN BC ∴∥1AN AD NC DB∴== 则点N 为AC 中点．DN ∴是ABC ∆的中位线1522DN DM BC === 32OM DM OD ∴=-= ∴点3,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定定理，锐角三角函数解三角形.能在坐标轴中找准点的坐标与线段之间的关系是解决此题的关键. 9．（2020·四川都江堰·中考二模）如图，抛物线y ＝ax 2+c （a ≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H ．（1）求a 、c 的值；（2）连接OF ，求△OEF 的周长；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）122ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩；（2）（3）存在，点Q（6，Q（6，3）．【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），将点代入解析式即可求a，c的值；（2）求出AB的直线解析为y＝x+2，设F（m，m+2），平移后抛物线解析式y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入，得平移后抛物线解析式为y＝﹣12x2+6x﹣10，进而求出点E的坐标，即可得出结论；（3）当P在x轴上方时，由△PQE≌△POE，可得QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，OH＝Q（6，；当P在x轴下方时，PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，可证明△PKQ∽△QHE，则PK QKQH HE=，则Q（6，3），即可得出结论.【详解】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴AO＝12BC，∵△ABC面积为4，∴12BC•OA＝4，∴OA＝2，BO＝4，∴B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），∵点A，B在抛物线y＝ax2+c上，∴240ca c=⎧⎨+=⎩，∴122ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即a、c的值分别为﹣12和2；（2）如图1，连接OF，由（1）可知：y＝﹣12x2+2，∵B（﹣2，0），A（0，2），∴AB的直线解析为y＝x+2，∵平移后抛物线顶点F在射线BA上，设F（m，m+2），∴平移后抛物线解析式y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，得﹣12（2﹣m）2+m+2＝0，∴m＝6或m＝0（舍），∴F（6，8），∴平移后抛物线解析式为y＝﹣12x2+6x﹣10，当y＝0时，﹣12x2+6x﹣10＝0，∴x＝2或x＝10，∴E（10，0），∴OE＝10，∵F（6，8），∴OF10，EF∴△OEF的周长为OE+OF+EF＝（3）当P在x轴上方时，如图2，∵△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，HQ∴Q（6，，当P在x轴下方时，如图3，∵△PQE≌△EOP，∴PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，∴PK＝6，在Rt△PQK中，QK8，∵∠PQE＝90°，∴∠PQK+∠HQE＝90°，∵∠HQE+∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ，∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，∴△PKQ∽△QHE，∴PK QK QH HE=,∴684 QH=，∴QH＝3，∴Q（6，3），综上所述：满足条件的点Q（6，Q（6，3）.【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，抛物线平移的特点，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题中注意分类讨论的思想.10．已知抛物线y=x2+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交于点B （-2,0），顶点为A．（1）求该抛物线的解析式和A点坐标；（2）若点D是该抛物线上的一个动点，且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形，求点D坐标；（3）若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M的直线MN与y轴交于点N，是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A点的坐标为（﹣2，6）；（2）D点的坐标为：（2，﹣2）；x+2．（3）存在．直线MN的解析式为y=6或y=﹣12【分析】（1）首先依据顶点坐标先求出b 的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）过B 点作CB 的垂线交抛物线与D ，然后过D 点作x 轴的垂线，垂足为E ，通过三角形全等即可求得点D 的坐标．（3）由于三角形的各边，只有OB =2是确定长度的，因此可以以OB 为基准进行分类讨论： ①OB =OM ．因为第二象限内点P 到原点的距离均大于4，因此OB ≠OM ，此种情形排除； ②OB =ON ．分析可知，只有如答图2所示的情形成立；③OB =MN ．分析可知，只有如答图3所示的情形成立．【详解】（1）∵对称轴与x 轴交于点B （﹣2，0），∴A 的横坐标为：x =﹣2， ∴﹣2b a=﹣2，解得；b =﹣2，∴抛物线为y =﹣12x 2﹣2x +c ， ∵抛物线y =﹣12x 2+bx +c 过点（﹣6，﹣2）， ∴代入得﹣2=﹣12×（﹣6）2﹣2×（﹣6）+c ，解得c =4， ∴该抛物线的解析式为：y =﹣12x 2﹣2x +4， ∴y =﹣12x 2﹣2x +4=﹣12（x 2+4x +4）+6）=﹣12（x +2）2+6 ∴A 点的坐标为（﹣2，6）；（2）过B 点作CB 的垂线交抛物线与D ，然后过D 点作x 轴的垂线，垂足为E ， ∵∠CBD =90°，∴∠CBO +∠EBD =90°，∵∠BCO +∠CBO =90°，∴∠EBD =∠BCO ，∠CBO =∠BDE ，∴在△CBO 与△BDE 中EBD BCO BC BDCBO BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CBO ≌△BDE （ASA ）∴DE =OB =2，BE =OC =4∴D点的坐标为（2，﹣2）或（﹣6.2），把（2，﹣2）或（﹣6.2）分别代入y=﹣12x2﹣2x+4，（﹣2，2）合适，（﹣6，2）不合适，∴D点的坐标为：（2，﹣2）图1（3）存在．若以O、M、N为顶点的三角形与△OBM全等，可能有以下情形：（I）OB=OM．由图象可知，OM最小值为4，即OM≠OB，故此种情形不存在．（II）OB=ON．若点M在y轴正半轴上，如答图2所示：图2此时△OBM≌△OMN，∴∠OMB=∠OMN，即点P在第二象限的角平分线上，ON=OB=2，M点坐标为：（4，-4），∴直线PE的解析式为：y=﹣12x+2；若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．（III）OB=MN．∵OB=2，∴第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2，则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合．若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧，易知△OMN为钝角三角形，而△OMB为锐角三角形，则不可能全等；若点M与点A重合，如答图3所示，此时△OBM≌△OMN，四边形MNOB为矩形，图3∴直线MN的解析式为：y=6．综上所述，存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等，直线MN的解析式为y=6，y=﹣12x+2．考点：二次函数综合题．11．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．【答案】（1）如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；（2）依题意得b2＝ac，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，②存在．如图：若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x2﹣2x﹣1＝12，解得：x＝﹣12或x＝32，∴P点的坐标为：（﹣12，12），（32，12）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.。

二次全等(讲义)

二次全等（讲义）➢ 课前预习1. 回顾七年级上册学习的几何初步填空：遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：由平行想到_____________，____________，____________；由垂直想到__________________，_____________________；由外角想到_________________________________________．2. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO =BO ，CO =DO ，过点O 作EF 交AC于点E ，交BD 于点F ．求证：△BOF ≌△AOE ．➢ 精讲精练1. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，在△ACM ，△CBN 中，AC =CM ，BC =CN ，FCBOE DA∠ACM =∠BCN =60°，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．求证：①△CAN ≌△CMB ；②△CEN ≌△CFB ．NMCFE BA2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接EF ，AG ．求证：①△ADE ≌△ABG ；②EF =DE +BF ．3. 已知：如图，∠A =∠D =90°，AC ，BD 相交于点E ，BE =CE ．求证：△ABC ≌△DCB ．G A BCEDFEDA4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE =CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC 于点E ，FB ⊥AC 于点F ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ，AB =CD ．求证：△DEG ≌△BFG ．FCBGEDA5. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，AD 与BC 相交于点O ．求证：AD ⊥BC ．A6. 已知：如图，在Rt △ABE 和Rt △ACF 中，∠E =∠F =90°，BE =CF ．BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC =∠FAB ．求证：AM =AN ．NFCBM EDA7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ．试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想．A【参考答案】➢课前预习1.同位角；内错角；同旁内角；直角三角形两锐角互余；同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2. 证明：如图，在△BOD 和△AOC 中，BO AOBOD AOCDO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠B =∠A （全等三角形对应角相等）在△BOF 和△AOE 中，B A BO AOBOF AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（对顶角相等） ∴△BOF ≌△AOE （ASA ） ➢ 精讲精练 1. 证明：如图，①∵∠ACM =∠BCN =60° ∴∠MCN =60° ∴∠ACN =∠MCB =120° 在△CAN 和△CMB 中，AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△CAN ≌△CMB （SAS ） ②∵△CAN ≌△CMB∴∠ANC =∠MBC （全等三角形对应角相等） ∵∠ECN =60°；∠FCB =60° ∴∠ECN =∠FCB 在△CEN 和△CFB 中，ECN FCB CN CB ENC FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已证） ∴△CEN ≌△CFB （ASA ） 2. 证明：如图，①∵∠D =∠ABC =90° ∴∠ABG =90° ∴∠D =∠ABG在△ADE 和△ABG 中，AD AB D ABG DE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ②∵△ADE ≌△ABG （已证） ∴AE =AG （全等三角形对应边相等） ∠EAD =∠GAB （全等三角形对应角相等） ∵∠EAF =45°；∠BAD =90° ∴∠BAF +∠EAD =45° ∴∠BAF +∠GAB =45° 即∠GAF =∠45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AFE 和△AFG 中，AE AGEAF GAFAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFE ≌△AFG （SAS ）∴EF =GF （全等三角形对应边相等） ∵GF =BG +BF ∴EF =DE +BF 3. 证明：如图，在△AEB 和△DEC 中，A D AEB DECBE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△AEB ≌△DEC （AAS ）∴AB =DC （全等三角形对应边相等）在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，BC CBAB DC =⎧⎨=⎩（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△DCB （HL ） 4. 证明：如图，∵AE =CF ∴AE+EF =CF+EF 即AF =CE∵DE ⊥AC ；BF ⊥AC∴∠AFB =∠CED =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CDAF CE =⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） ∴BF =DE （全等三角形对应边相等）在△DEG 和△BFG 中，DEG BFG EGD FGBDE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（对顶角相等）（已证） ∴△DEG ≌△BFG （AAS ） 5. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CDAD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△BAO 和△CAO 中，AB AC BAO CAOAO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△BAO ≌△CAO （SAS ）∴∠AOB =∠AOC （全等三角形对应角相等） ∵∠AOB +∠AOC =180° ∴∠AOB =90° ∴AD ⊥BC 6. 证明：如图，∵∠EAC =∠FAB∴∠EAC +∠BAC =∠FAB +∠BAC 即∠BAE =∠CAF 在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF E FBE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已知）（已知） ∴△ABE ≌△ACF （AAS ）∴AE =AF （全等三角形对应边相等）在△AEM 和△AFN 中；E FAE AFEAM FAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已证）（已知） ∴△AEM ≌△AFN （ASA ）∴AM = AN （全等三角形对应边相等） 7. AB =AC ，理由如下：证明：如图， ∵DF ⊥AB ；DE ⊥AC∴∠AFD =∠AED =∠BFD =∠CED =90° ∵AD 平分∠BAC ∴∠FAD =∠EAD 在△AFD 和△AED 中；AFD AED FAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFD ≌△AED （AAS ）∴DF =DE ，AF =AE （全等三角形对应边相等） ∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD在Rt △BFD 和Rt △CED 中BD CDDF DE =⎧⎨=⎩（已证）（已证） ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ） ∴BF =CE （全等三角形对应边相等） ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC。

人教版九年级上册数学二次函数和一元二次方程的关系练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程的关系知识点回顾一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y =0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表：要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由ac b 42-=∆的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，042>-=∆ac b ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时042=-=∆ac b 方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，042<-=∆ac b ，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c )．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点；当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．课后作业 ●基础训练1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________. (3)该函数有最______值,当x=______时,y 最值=________.(4)当x_____时,y 随x 的增大而减小.当x_____时,y 随x 的增大而增大.(5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________;与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________. (7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0. 2.已知下表:(1)求a 、b 、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?3.请画出适当的函数图象,求方程x2=12x+3的解.4.若二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.●能力提升6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=5 3 .(1)求这条抛物线的关系式.CBA x ODyE(2)证明:这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?9.某工厂生产A 产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元, 已知P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. 3.05m4m2.5mxOy(1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?10.已知抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k 的取值范围.11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2= 17, 且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0的两个根. (1)求C 点的坐标;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过A 、B 、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.C BAxOy●综合探究12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是24,24b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:伴随抛物线的关系式_________________伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫-⎪⎝⎭(3)小;52;94-(4)55;22≤≥(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 278; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>2.(1)由表知,当x=0时,ax 2+bx+c=3;当x=1时,ax 2=1;当x=2时,ax 2+bx+c=3.∴31423c a a b c =⎧⎪=⎨⎪++=⎩,∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0.3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标32-和2就是方程x 2=12x+3的解. 4.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---.632BAxyO(2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++ ∴顶点坐标为(-3,2),∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴23351216s v v =+ (4)当v=80时,223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=52.5, ∴23351216s v v =+ 当v=112时,22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=94.5,∴23351216s v v =+ 经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示.∵y=x -2,AD=BC=2,设C 点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x -2,2=m -2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x -2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c,∴201640c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴y=215222x x -+-. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部.∵y=215222x x -+-, ∴顶点为59,28⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵5142<<, ∴顶点59,28⎛⎫⎪⎝⎭在矩形ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=53. ∴31646523c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得981543a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=2915384x x -+. (2)证明:令y=0,得2915384x x -+=0, ∴ 124,23x x ==∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3).设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=94,∴y=94x-3 .由94x-3=0,得x=43.故C为4,03⎛⎫⎪⎝⎭,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.∴点D坐标为(1.5,3.05).∵抛物线顶点坐标(0,3.5),∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).3.05m4m2.5m xOyBDA9:(1)∵P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. ∴W=Qx -P=(-30x+45)-(110x 2+5x+1000)= 224010015x x -+-.(2)∵W=224010015x x -+-=-215(x -150)2+2000. ∵-215<0,∴W 有最大值. 当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元. 当x=150吨,Q=-30x+45=40(元). 10:∵y=2x 2-kx -1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k 2+8>0,∴无论k 为何实数, 抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴恒有两个交点. 设y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且规定x 1<2,x 2> 2, ∴x 1-2<0,x 2-2>0.∴(x 1-2)(x 2-2)<0,∴x 1x 2-2(x 1+x 2)+4<0.∵x 1,x 2亦是方程2x 2-kx -1=0的两个根,∴x 1+x 2=2k ,x 1·x 2=-12,∴124022k --⨯+<,∴k>72. ∴k 的取值范围为k>72. 法二:∵抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即y=2×22-2k -1<0,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72.11:(1)线段OA,OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0 的两个根,∴(1)2(3)(2)OA OB m OA OB m +=⎧⎨=-⎩L g L又∵OA 2+OB 2=17,∴(OA+OB)2-2·OA ·OB=17.③把①,②代入③,得m 2-4(m -3) =17,∴m 2-4m -5=0.解之,得m=-1或m=5. 又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程:x 2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CO ⊥AB, ∴OC 2=OA ·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A,B,E 三点的抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c,则016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ ,解之,得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求抛物线关系式为y=213222x x --. (3)存在.∵点E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt △ACB ≌Rt △AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标(32,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x 2-2x -3(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x -0)2+c(m≠0).∴设抛物线过P 24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴22442ac b b m c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g 解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c. 设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).∵P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在此直线上,∴2442ac b b k c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g , ∴k=2b . ∴伴随直线关系式为y=2bx+c (4)∵抛物线L 与x 轴有两交点,∴△1=b 2-4ac>0,∴b 2<4ac.∵x 2>x 1>0,∴x 1+ x 2= -b a >0,x 1x 2=ca>0,∴ab<0,ac>0.对于伴随抛物线y=-ax 2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax 2+c=0,得x=∴,C D ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,∴又AB=x2-x1=.由AB=CD,得整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).。

初二数学二次函数试题答案及解析

初二数学二次函数试题答案及解析1.发射一枚炮弹，经过x秒后炮弹的高度为y米，x，y满足y=ax2+bx，其中a，b是常数，且a≠0．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒【答案】B【解析】由于炮弹在第6s与第14s时的高度相等，即x取6和14时y的值相等，根据抛物线的对称性可得到抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x="6+" =10，然后根据二次函数的最大值问题求解．∵x取6和14时y的值相等，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=6+=10，即炮弹达到最大高度的时间是10s．故选：B．【考点】二次函数的应用．2.已知直线y=b（b为实数）与函数 y=的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围 .【答案】0<b≤1.【解析】先作函数图象，只要把图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折即可得到的图像，如图所示，因为函数顶点（2，-1）关于X轴对称的点（2,1），结合图像可看出实数b的取值范围是0<b≤1.【考点】二次函数的图像.3.已知抛物线上有一点M(x，)位于轴下方．(1)求证：此抛物线与x轴交于两点；(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且<，求证：<<．【答案】见试题解析.，)代入函数关系式，根据＜0，就【解析】(1)本小题只需证明，即△＞0．将M(x可以得到.(2)根据根与系数的关系可得，，∴，∴，故．试题解析：（1）∵上有一点M位于x轴下方，∴∴，∴，∴△＞0，∴此抛物线与x轴交于两点；（2）∵，，∴，∴，故．【考点】①二次函数与x轴的交点；②根与系数的关系；③配方法.4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．（1）若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝CF ，求证：△AED ≌△CFD ；（2）当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动，到点A 、B 时停止；设△DEF 的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．【答案】（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC ，为证明△AED ≌△CFD 提供了重要的条件；（2）；（3）【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC ，为证明△AED ≌△CFD 提供了重要的条件；（2）利用S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC ="9" 即可得到y 与x 之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB ，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF ≌△BDE ，利用全等三角形面积相等得到S △ADF =S △BDE 从而得到S △EDF =S △EAF +S △ADB 即可确定两个变量之间的函数关系式．（1）∵∠BAC=90° AB=AC=6，D 为BC 中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45° ∴AD=BD=DC ∵AE=CF∴△AED ≌△CFD （SAS ）（2）依题意有：FC=AE=x ， ∵△AED ≌△CFD∴S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC =9 ∴S △EDF =S 四边形AEDF -S △AEF =9-(6-x)x=x 2-3x+9 ∴；（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB ，∠ABD=∠DAC=45° ∴∠DAF=∠DBE=135° ∴△ADF ≌△BDE ∴S △ADF =S △BDE∴S △EDF =S △EAF +S △ADB =(x-6)x+9=x 2-3x+9 ∴．【考点】动点问题的综合题点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.5. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元。

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做

二次函数与几何综合07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。

几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。

因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。

要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。

要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。

题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。

（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。

解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。

要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。

（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。

解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。

在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。

1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。

2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。

2024年江苏省徐州市邳州市九年级数学中考第二次质量检测试题(含答案)

2024年九年级第二次质量检测数学试题注意事项1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟．2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置．3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．2024的倒数是（）A．B ．C ．2024D ．2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知a ，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（）A ．B ．C ．D ．5．某校组织学生体育锻炼．小明记录了他一周参加锻炼的时间，并绘制了如图所示的统计图．下列数据正确的是（）A ．平均数为70B ．众数为75C ．中位数为70D ．方差为06．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（）A ．B ．C ．D ．1202412024-2024-2242a a a +=()222424aba b -=63222a a a ÷=()329a a =0ab +<0b a ->0ab >a b<()221y x =-+()22y x =-()212y x =-+()242y x =-+22y x =+7．在菱形ABCD 中，于点E ，于点F ，连结EF ．若，则的度数为（）A ．55°B ．57.5°C ．60°D ．62.5°8．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线BD 、CE ，它们交于点M ．以点A 为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若AE 的长为2，则面积的最小值是（）A ．4B ．8C ．D 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．49的平方根是______．10．芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为______．11有意义，则实数x 的取值范围是______．12．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是______°．13．蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是______．AE BC ⊥AF CD ⊥55B ∠=︒AEF ∠ABC △ADE △12AD AB =ADE △MBC △2AB CD ∥22E ∠=︒114DCE ∠=︒BAE ∠14．关于x 的方程有实数根，则k 的取值范围为______．15．若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是______．16．如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC 交AD 于点E ，连接AB ，AC ，若，则的度数是______°．17．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在BC上，且，反比例函数的图象经过点D 及矩形OABC 的对称中心M ，顺次连接点D 、O 、M ．若的面积为4，则k 的值为______．18．如图，在矩形ABCD 中，，，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，，将沿EF 翻折得，连接，当______时，是以AE 为腰的等腰三角形．三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题10分）计算：（1）；（2）．20．（本题10分）（1）解方程：；（2）解不等式组：21．（本题7分）某数学社团以“舌尖上的徐州—我最喜爱的徐州小吃”为主题对所在学校的学生进行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）“A ：徐州把子肉”“B ：徐州菜煎饼”“C ：徐州胡230x x k -+=30BAD ∠=︒ACB ∠14CD CB =()0ky k x=>DOM △6AB =8AD =EF AE ⊥ECF △EC F '△AC 'BE =AEC '△()22024114-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭2214411a a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭322112x x x=---()324;211.3x x x x ⎧--≥-⎪⎨+>-⎪⎩辣汤”“D ：八股油条”．该社团将调查得到的数据整理后，绘制成以下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解决下列问题：（1）样本容量为______；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中D 对应圆心角的度数为______；（4）若该校共有1300名学生，请估计喜欢“C ：徐州胡辣汤”的学生大约有多少人．22．（本题7分）“二十四节气”是中国古代用来指导农事的历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，他们准备了印有“A ：立春”“B ：夏至”“C ：立秋”“D ：冬至”四张节气图案的卡片，这些卡片除图案外无其他差别．两人将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A ：立春”的概率是______；（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C ：立秋”的概率．23．（本题8分）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？24．（本题8分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上．在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若，，求AB 的长．25．（本题8分）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为DE 的观景台，已知，，点E 、C 、A 在同一水平线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45°，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27°，求塔AB 的高度（精确到1m ）．BCD A ∠=∠AC CD =2BD =6m CD =30DCE ∠=︒（参考数据：，，，）26．（本题8分）如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图1的BC 边上作点P ，使；（2）在图2的BC 边上作点P ，使．27．（本题10分）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是______．[探究思考]如图2，已知D 、E 、F 分别是三边的三等分点，且，依次连接DE 、EF 、FD ，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．[发现结论]如图3，已知D 、E、F 分别是三边的n 等分点，且，依次连接DE 、EF 、FD ，则与的面积比是______．28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴分别交于点O 、A ，顶点为B ，连接OB 、AB ．点D 在线段OA 上，作射线BD ，过点A 作射线BD ，垂足为点E ，以点A 为旋转中心把AE 按逆时针方向旋转60°到AF ，连接EF ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）随着点D 在线段OA 上运动．①连接OF ，的大小是否发生变化？请说明理由；sin 270.454︒≈cos 270.891︒≈tan 270.509︒≈ 1.414≈ 1.732≈ABCD BAP BPA ∠=∠PC PD AD +=ABC △13AD BE CF AB BC CA ===DEF △ABC △ABC △1AD BE CF AB BC CA n===DEF △ABC △2y x =+AE ⊥OFE ∠②延长FE 交OB 于点P ，线段PF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）连接DF ，当点F 在该抛物线的对称轴上时，的面积为______．2024年九年级第二次质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共24分）题号12345678选项ACBBCDDA二、填空题（每小题3分，共30分）9． 10． 11． 12．92 13．6 14． 15．9 16．6017．18．或三、解答题（共86分）19．（1）原式（3分）．（2）原式（9分）．20．（1）方程两边同乘，得．解这个一元一次方程，得．检验：当时，，是原方程的解．（2）解不等式①，得．（7分）解不等式②，得．∴原不等式组的解集为．21．（1）50（2）见下图DEF △7±81.410-⨯5x ≥94k ≤16383741216=-+15=()()21212a a a a a ++=⋅++2aa =+()21x -()2213x x =-+13x =-13x =-210x -≠13x =-1x ≤4x <1x ≤（3）36°（4），即该校喜欢“C ：徐州胡辣汤”的学生人数约为520人．22．（1）．（2）（画树状图参照给分）共有12种等可能的结果，其中“两人都没有抽到C ：立秋”的情况有6种．∴P （两人都没抽到立秋）．23．解：设该矩形田地长为x 步．依题得：．解得，．宽为：．答：矩形田地长为36步，宽为24步．24．（1）如图，连接OC ，在⊙O 中，∵，∴．∵．∴．∵AB 是⊙O 的直径，∴，∴，∴，即，∴．∵点C 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．20130052050⨯=1461122==()12864x x -=136x =124x =-1224x -=OA OC =A ACO ∠=∠BCD A ∠=∠ACO BCD ∠=∠90ACB ∠=︒90ACO OCB ∠+∠=︒90BCD OCB ∠+∠=︒90OCD ∠=︒OC CD ⊥AC CD =A D ∠=∠ACO BCD ∠=∠ACO DCB ≌△△2AO BD ==24AB AO ==25．过点D 作，垂足为F ．由题意得：，则在中，∵，∴．在中，∵，∴．设AB 为h ，在中，∵，∴．∴．∴，∴，，∴．在中，∵，∴∴，解得：；∴．答：塔AB 的高度约为11m ．26．（1）（本题解法不唯一，其他解法参照给分）（2）（本题解法不唯一，其他解法参照给分）27．（1）1∶4．（2）与的面积比是定值．DF AB ⊥DE EC ⊥90DEC ∠=︒Rt DEC △sin DEDCE DC ∠=sin sin 3063DE DCE DC =∠⋅=︒⨯=Rt DEC △cos CEDCE DC∠=cos cos306CE DCE DC =∠⋅=︒⨯=Rt ABC △45ACB ∠=︒45ABC ∠=︒AC AB h ==()AE EC AC h =+=+DF EA h ==+3DE FA ==3BF AB AF h =-=-Rt BDF △tan BFBDF DF∠=()()tan tan 2730.5BF BDF DF h h =∠⋅=︒⨯-=()30.5h h ⋅-=+611h =+≈11m AB =DEF △ABC △如图，过点C 作，过点F 作，则，过点C 作，垂足为点G ，与交于点H ．可得，，∴，∴，．，∴．同理得：．∴，∴，∴．（3）．28．（1）当时，，解得，，则点A 的坐标为．对，配方得，则点B 的坐标为．（2）①的大小不发生变化．∵点B 的坐标为，∴，依抛物线的对称性可得．∴为正三角形．，同理得．∵，，∴，∴．∵，∴，∴．∵，且，∴为正三角形，∴．∴．②线段PF 的长度是否存在最大值，最大值为4．如图，过点B 作与FE 的延长线交于点Q ．则，∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，又∵，1lAB ∥2l AB ∥12l l ∥CG AB ⊥2l CHFCGA △△∽13CH CFCG CA ==23HG CG =23HG CG=1212332192ADFABCAB CG AD HGS S AB CG AB CG ⋅⋅===⋅⋅△△29ADF ABC S S =△△29BDE CEF ABC S S S ==△△△6293ADF BDE CEF ABC ABC S S S S S ++==△△△△△13DEF ABC S S =△△13DEF ABC S S =△△2233n n n -+0y =20x +=10x =24x =()4,02y x =+)22y x =-+(2,OEF ∠(2,4OB ==4AB OB ==ABO△60BAE BAO EAO EAO ∠=∠-∠=︒-∠60OAF EAO ∠=︒-∠AB AO =AE AF =()SAS ABE AOF ≌△△AFO AEB ∠=∠AE BD ⊥90AEB ∠=︒90AFO ∠=︒AE AF =60EAF ∠=︒AEF △60EFA ∠=︒906030OFE AFO EFA ∠=∠-∠=︒-︒=︒BQ FO ∥30Q EFO ∠=∠=︒90BEQ AEF ∠+∠=︒60AEF ∠=︒30BEQ ∠=︒Q BEQ ∠=∠BE BQ =ABE AOF ≌△△BE OF =BQ OF =BPQ OPF ∠=∠∴，∴，∴点P 为OB 中点．取OA 中点M ，连接PM ，MF ，则，∴PF 的最大值为4．（3）．注：以上答案仅供参考，如有其他解法请参照给分．PBQ EOF ≌△△OP BP =1122422PF PM MF AB OA ≤+=+=+=4-。