2019版高考数学复习复数计数原理与概率随机变量及其分布第六节随机变量及其分布课件

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高考数学必背知识点及公式归纳总结大全

高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高中数学理科是10本书,其中的数学公式非常多,那么关于高考数学的公式及知识点有哪些呢?以下是小编准备的一些高考数学必背知识点及公式归纳总结，仅供参考。

高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。

必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分。

2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。

3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分。

必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

文科：选修1—1、1—2。

选修1--1：重点：高考占30分。

1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考;2、圆锥曲线;3、导数、导数的应用(高考必考)。

选修1--2：1、统计;2、推理证明：一般不考，若考会是填空题;3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。

理科：选修2—1、2—2、2—3。

选修2--1：1、逻辑用语;2、圆锥曲线;3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)。

2019版高考数学(理)高分计划一轮课件：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布 10-2

(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题．( × )
(4)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．( × )
2．教材衍化 (1)(选修 A2－3P18 例 3)6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在240 种 D．120 种
解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C324＝561 种，∴某一种假货必须在内的不同取法有 561 种．
(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334＝5984 种． ∴某一种假货不能在内的不同取法有 5984 种． (3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C125＝2100 种． ∴恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2100 种．
冲关针对训练 (2018·武汉模拟)若从 1,2,3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种解析共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，∴共有不同的取法有 C45＋C44＋C25C24＝66(种)．故选 D.
①0 排在个位能被 5 整除的四位数有 A11·(C14C24)A33＝144 个；
②0 排在十、百位，但 5 必须排在个位有 A12·A11(C14C13)·A22 ＝48 个；
③不含 0，但 5 必须排在个位有 A11·(C31C24)A33＝108 个．由分类加法计数原理得所求四位数共有 300 个．
方法技巧 1．求解有限制条件排列问题的主要方法
2.解决有限制条件排列问题的策略 (1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置． (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．提醒：(1)分类要全，以免遗漏． (2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数． (3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．

第9章第1讲计数原理、概率、随机变量及其分布

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5．(2019·上海普陀区模拟)2019年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为__1_6_8___．
[解析] 分步考虑：从 8 所高校中选 2 所，有 C28种选法；依题意必有 2 位同学被同一所学校录取，则有 C23C12种录取方法；另一位同学被剩余的一所学校录取，所以共有 C28·C23·C12＝168 种录取方法．
最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是
(D)
A．210
B．84
C．343
D．336
第九章计数原理、概率、随机变量及其分布
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[解析] (1)第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的 3 人中选 1 人当文娱委员，有 3 种选法．
第九章计数原理、概率、随机变量及其分布
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分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
第二步，从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有 4 种选法，再选体育委员有 3 种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有 3×4×3＝36(种)．
(2)若每个台阶上每一个只站一人有 A37种；若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人共有 C13A27种，所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 A37＋C13A27＝336 种．故选 D．

2019版高考数学一轮复习第九章复数、计数原理与概率、随机变量及其分布第四

考点一二项展开式中特定项或系数问题
[锁定考向]
二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．常见的命题角度有： (1)求展开式中的某一项； (2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求 n 的值或参数的值．
x)
15－ r
，
5 由题意知 5－ r 为非负整数，得 r＝0 或 6， 6 ∴符合要求的项的个数为 2.
答案：2
角度二：求展开式中的项的系数或二项式系数 3．(2018· 湖州调研)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8 的展开式中，含 x3 的项的系数是 A．121 C．74 B．－74 D．－121 ( )
解析：法一： (1－ x)5＋(1－ x)6＋(1－ x)7＋(1－ x)8 1－ x5[1－1－ x 4] 1－ x5－ 1－ x9 ＝＝， x 1－ 1－ x
4 4 (1－ x)5 中 x4 的系数为 C5 ＝ 5，－ (1－ x)9 中 x4 的系数为－ C9 ＝
1 r 9－2r r ＝ C9－ x ，令

2
9－ 2r＝ 3，得 r＝3， 13 21 3 C9－＝－，故选

所以 x 项的系数为
3
2
2
C.
答案：C
2．若(1＋3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n＝________.
x－ 4 8 的展开式中的有理项共有 ________项． 2 x
1
解析： ∵Tr＋ 1＝ Cr 8( x) ∴ r 为 4 的倍数，

通用版2019高考数学二轮复习第一部分专题十二计数原理、概率、随机变量及其分布列课件理(普通生)

所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为4690.
(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的
分布列和数学期望 E(X)．
[解] 随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck4CC31360－k(k＝0,1,2,3)．所以 P(X＝0)＝CC04C31036＝16，P(X＝1)＝CC14C31026＝12， P(X＝2)＝CC24C13016＝130，P(X＝3)＝CC34C31006＝310. 所以随机变量 X 的分布列为：
答案：C
5.[二项式系数或各项系数的最值只
x
有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项是 ( )
A．－7
B．7
C．－28
D．28
解析：因为只有第 5 项的二项式系数 Cn4最大，所以n2＝4，即 n
＝8.x2－
1 3 8
x
的展开式的通项公式为
Tr＋1＝Cr8x28－rx2－
解析：令
x＝1，则x＋
3xn＝4n，所以x＋
3 n x
的展开式中，
各项系数和为 4n，又二项式系数和为 2n，所以42nn＝2n＝32，解
得
n＝5.二项展开式的通项
Tr＋1＝Cr5x5－r
3xr＝Cr53rx5－
3 2
r，令
5
－32r＝2，得 r＝2，所以 x2 的系数为 C2532＝90，故选 C. 答案：C
D．80
解析：x2＋2x5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr＝
C
r 5
·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为
C52·22＝40.

高中数学知识点总结(第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布分类加法计数原理与分步乘法计数原理)

第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.二、常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.考点一分类加法计数原理1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.答案：362.如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点).解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案：53.若椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；当m ＝5时，n ＝6,7，共2个.故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.答案：204.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________.解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).答案：240考点二分步乘法计数原理[典例精析](1)已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )A.6B.12C.24D.36(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.[解析] (1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).[答案](1)A(2)120[解题技法]利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.[题组训练]1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.答案：632.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.答案：186考点三两个计数原理的综合应用[典例精析](1)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A.24B.48C.72D.96(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60B.48C.36D.24[解析](1)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.故共有24＋48＝72种涂色方法.(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.[答案](1)C(2)D(3)B[解题技法]1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.[题组训练]1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案：40[课时跟踪检测]A级1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，∵P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.120解析：选A分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A.32个B.34个C.36个D.38个解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝2(种).共有2×2×2×2×2＝32(个)子集.5.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A.3B.4C.6D.8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个.故共有8个等比数列.6.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A.6种B.12种C.18种D.24种解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A 或B 处，若8放在B 处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A 处，也有3种方法，所以共有6种方法.7.(2019·郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A.4 320种B.2 880种C.1 440种D.720种解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法.3 4 12 D 34 A C B 98.(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个解析：选B由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个).9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(种).第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种).答案：2 88010.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.答案：8B级1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A.24种B.4种C.43种D.34种解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个解析：选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A.24种B.72种C.84种D.120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→C―→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.4.(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300－3，－2，－1，0，1，2，若a，b，c∈M，则：5.已知集合M＝{}(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.。

2019人教A版高中数学知识点梳理 ----第九章统计与概率

第九章概率统计必修二统计、概率选择性必修三第六章计数原理第七章随机变量及其分布第八章成对数据的统计分析一. 两个计数原理、排列与组合1．分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n 步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．3. 排列组合定义(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示．4. 排列数与组合数的公式与性质公式(1)A m n＝＝n！（n－m）！(2)C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝性质(1)0！＝；A n n＝(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝(3) （不定系数转为定系数）kC n k=＝（0≤k≤n,k∈N）题组1．1. 有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的方法有种2.5人分到三家医院，每个医院至少一人，有___________种分法.3. 3名女生和4名男生排成一排，在下列情形中各有多少种？列式并写出结果.(1)如果女生全排在一起_________________(2)如果女生都不相邻_________________(3)如果女生不站两端_________________ (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻) _________________(5)其中甲不站左端,乙不站右端_________________4.证明结论：kC n k=nC n−1k−10≤k≤n,k∈N二. 二项式定理1.二项式定理2.(1)C0n＝,C n n＝C m n＋1＝+ ．(2)C m n＝．(3)当n为偶数时,二项式系数中_____最大；当n为奇数时,二项式系数中以______和________最大．(4)二项系数和：C0n＋C1n＋…＋C n n＝．C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝________．题组2. 回归课本1．(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中2x的系数是（）A. 60B. 80C. 84D. 1202．求(9x3√x )n展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则展开式的常数项为；有理项有_______项。

高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理理

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解法 2：a＝b 时有 4 种情况，故椭圆个数为 4×8－4＝28 个． (2)根据“凸数”的特点，中间的数字只能是 3,4,5，故分三类，第一类，当中间数字为“3”时，此时有 2 种(132,231)；第二类，当中间数字为“4”时，从 1,2,3 中任取两个放在 4 的两边，故有 6 种；第三类，当中间数字为“5”时，从 1,2,3,4 中任取两个放在 5 的两边，故有 12 种；根据分类加法计数原理，得到由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 2＋6＋12＝20.
有 1 个；a＝4 时，有 3 个；a＝6 时，有 5 个；a＝8 时，有 7 个，
共有 1＋3＋5＋7＝16 个．
若焦点在 y 轴上，则 b>a，b＝3 时，有 1 个；b＝4 时，有 1 个；b＝5 时，有 2 个；b＝6 时，有 2 个；b＝7 时，有 3 个；b ＝8 时，有 3 个．共有 1＋1＋2＋2＋3＋3＝12 个．故共有 16＋ 12＝28 个．
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4．已知某公园有 5 个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法
的种数为 __2_0___(用数字作答)．
解析：分两步，第一步选一个门进有 5 种方法，第二步再选一个门出有 4 种方法，所以共有 5×4＝20 种走法．
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一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P 点处进，Q 点处出，沿图中线路游览 A，B，C 三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点 O 外)
的游览线路有____4_8____种．(用数字作答)
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2019版高考数学一轮复习第九章复数、计数原理与概率、随机变量及其分布第一节数系的扩充

答案：3＋5i
必
过
易
错
关
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小． 3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集
2 中来．例如，若 z1，z2∈C，z2 ＋ z 1 2＝0，就不能推出 z1＝z2＝0；
z2<0 在复数范围内有可能成立．
答案：A
2－ i 2．已知 i 为虚数单位，a∈ R，若为纯虚数，则复数 z＝2a＋ a＋ i 2i 的模等于 A. 2 B. 11 C. 3 ( D. 6 )
2－i 解析：由题意得，＝ti(t≠0)， a＋i ∴2－i＝－t＋tai，
－t＝2， ∴ ta＝－1，
t＝－2，解得 1 a＝， 2
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 a＋ bi(a， b∈ R)的数叫复数，其中 a， b 分别是它的实部和虚部．若 b＝ 0，则 a＋ bi 为实数；若 b≠ 0，则 a＋ bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，则 a＋ bi 为纯虚数． (2)复数相等：a＋ bi＝ c＋ di⇔ a＝c 且 b＝d (a，b，c，d∈ R)． (3)共轭复数： a＋ bi 与 c＋ di 共轭⇔ a＝c，b＝－d (a， b， c， d∈ R)． (4)复数的模： ―→ 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z＝ a＋ bi(a，b∈ R)的模，记作 |z|或 |a＋ bi|，即 |z|＝ |a＋ bi|＝
[小题纠偏]
1．设复数 z1＝2－i，z2＝a＋2i(i 是虚数单位，a∈R)，若 z1· z2∈R，则 a＝________.
解析：依题意，复数 z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i 是实数，因此 4－a＝0，a＝4.

人教版高考数学总复习第十一章计数原理概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列、均值与方差

3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基础知识 4.基本方法 5.基本能力 6.基本应用
3.(多选题)(离散型随机变量的概念)下列随机变量 X 是离散型随机变量的是( ) A．某市每天查到违章驾车的车辆数 X B．某网站中的歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数 X C．一天内的温度 X D．射手对目标进行射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，用 X 表示该射手在一次射击中的得分【解析】选 ABD.因为 A，B，D 的结果均可以一一列出，而 C 不能一一列出．
第六节离散型随机变量及其
分布列、均值与方差
第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
知识梳理·思维激活考点探究·悟法培优
【考试要求】 1．了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及数字特点 2．掌握离散型随机变量的分布列 3．掌握离散型随机变量的均值与方差【高考考情】考点考法：离散型随机变量的分布列、均值及方差是高考考查重点，一般以实际问题为命题载体，考查分布列、均值与方差在决策问题中的应用．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，难度中档．核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理
x＋0.1＋0.3＋y＝1，【解析】选 D.由
7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，
解得 y＝0.4.
6．(离散型随机变量的方差)有甲、乙两种品牌的手表，它们的日误差分别为 X，Y(单位：s)，其分布列如下：
X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1
Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则两种品牌中质量好的是__________．【解析】E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝0.2，D(Y)＝1.2. 因为 E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲品牌质量好．答案：甲

2019年高考数学计数原理、概率、随机变量及其分布复习指导(最适用、最全面)

2019年高考数学计数原理、概率、随机变量及其分布复习指导第一节计数原理与排列、组合教材细梳理1．两个计数原理1．分类加法计数原理中各类办法之间是相互独立的，并列的，互斥的．分步乘法计数原理中各步之间是相互依存的．2．“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同元素中取出m 个元素，按一定顺序排成一列”，而排列数是指这种排列的个数．知识微思考1．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )(4)如果完成一件事情有n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i (i ＝1,2,3，…，n )，那么完成这件事共有m 1m 2m 3…m n 种方法．( )(5)在分步乘法计算原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( ) (6)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (7)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (8)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (9)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.( )(10)A m n ＝n A m －1n －1.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (7)× (8)√ (9)√ (10)√ 2．如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：可交换某两个元素的位置，判断对结果是否产生影响，产生影响的是排列问题，否则是组合问题．四基精演练1．(选修2－3·习题1.2A 组改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )A ．16B ．13C ．12D ．10答案：C2．(选修2－3·习题1.2A 组改编)从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到ab的不同值的个数为( )A ．6B ．8C ．12D ．16答案：C3．(选修2－3·习题A组改编)某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．3种B．6种C．9种D．18种答案：C4．(选修2－3·习题1.2B组改编)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：325．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)安排3名志愿者完成3项工作，每人完成一项，则不同的安排方式共有________．答案：6考点一计数原理及应用[简单型]——运用数据分析、提升数学运算1．使用分类加法原理时首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2．(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3．使用两个基本原理进行计数的基本思想是“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．1．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种解析：选B．法一：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9(种)．法二：班级按a，b，c，d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用“树形图”表示如下：∴共有9种不同的监考方法．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9解析：选B．分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B．3．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种B．460种C．480种D．496种解析：选C．完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360(种)方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120(种)方法．由分类加法计数原理可知：不同涂法有360＋120＝480(种)．考点二排列的应用[高频型]——发展数学建模、提升数学运算[例1](1)若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．解析：由于B，C相邻，把B，C看作一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A排在中间的3个位置中，有A13＝3种排法，其余的4个元素任意排，有A44种不同排法，故不同的排法有2×3×A44＝144(种)．答案：144(2)在数字1,2,3与符号“＋”“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有________种．解析：本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”“－”，有A22种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A33种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有A22A33＝12(种)．答案：12[母题变式]1．若本例(2)中条件“任意两个数字都不相邻”改为“1,2,3这三个数字必须相邻”，则这样的全排列方法有________种．解析：用捆绑法，有A33A33＝36(种)．答案：362．若本例(2)中条件变为：符号“＋”与“－”都不相邻，则这样的全排列有________种．解析：A 33A 24＝72(种)．答案：721．求解有限制条件排列问题的主要方法(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置． (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类． [易错提醒] (1)分类要全，以免遗漏．(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数．(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．1．某市内公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为( )A ．48B ．54C ．72D ．84解析：选C．先把3名乘客进行全排列，有A33＝6种排法，排好后，有4个空，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空中，有A24＝12种排法，则共有6×12＝72(种)候车方式．2．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168解析：选B．歌舞类节目设为a1，a2，a3，小品类节目设为b1，b2，相声类节目设为c，先排a1，a2，a3不相邻，顺序如○b1○b2○c○，共A33A34种方法，b1b2相邻前提下○b1b2○c○插空法共A22A33A22种方法，所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34－A22A33A22＝A33·(A34－4)＝6×20＝120.考点三组合问题[简单型]——发展数学建模、提升数学运算1．组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．2．两类含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．1．2107年天津全运会之际，某单位要从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：分两类：第1类是有1名女生，共有C12·C26＝2×15＝30(种)；第2类是有2名女生，共有C22·C16＝1×6＝6(种)．由分类加法计数原理得，共有30＋6＝36(种)．答案：362．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．6种B．12种C．18种D．20种解析：选D．分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输一局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一个前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．考点四排列、组合的综合应用[探究型]——发展数学建模、提升数学运算4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：将4项工作分成3部分，每部分至少有1项工作，共有C24＝6(种)方法，再分别分给3人，由分步乘法计数原理知，共有C24×A33＝36(种)不同方法．答案：D(2)(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．解析：由题意可得，第1类取出的4个数都是奇数，有A45个，第2类取出的4个数中有1个偶数，有C14C35A44个，由分类加法计数原理，得共有A45＋C14C35A44＝120＋960＝1 080(个)．答案：1 080(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理得，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)．1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列． (3)由分类加法计数原理计算总数．2．分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题．①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．解析：①有1名女生的选派方法有C12C34＝8(种)．②有2名女生的选派方法有C22C24＝6(种)．∴不同的选派方案共有8＋6＝14(种)．答案：144．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴全运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：先分组再分配，共有C16C15C242A22·A44＝1 080(种)分配方案．答案：1 080发展数学建模、数学运算(应用型)模型1计数原理、排列、组合与实际应用问题相结合对于排列、组合都是以生活实际问题为背景，加以限制条件，并结合计数原理进行考查．[例4]小陈家来了六位同学(四女两男)，包括他共7人，小陈从果园里摘了7个大小不同的百香果，每人一个．小陈把最小的一个留给自己，4位女同学中的一人拿最大的一个，则百香果的不同分法共有()A．96种B．120种C．480种D．720种解析：可分两步：第一步，4位女同学中的一人拿最大的一个的分法种数为C14；第二步，余下5人的分法种数为A55，根据分步乘法计数原理，百香果的不同分法共有C14A55＝480(种)，故选C．答案：C模型2排列、组合与新定义相结合排列、组合常与数学中的新定义结合考查，利用其它知识进行求解．[例5](2016·高考全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个解析：当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个，故选C．答案：C课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·邵阳模拟)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为()A．24B．48C．60 D．72解析：选B．先排个位，再排十位，百位，千位，万位，依次有2,4,3,2,1种排法，由分步乘法计数原理知：2×4×3×2×1＝48.2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长、1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()A．20 B．16C．10 D．6解析：选B．当选a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．3．(2018·自贡一模)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上点的坐标，则确定的不同的点的个数为()A．36 B．32C．33 D．34解析：选C．不考虑限定条件的情况下，确定的不同的点的个数为C12C13A33＝36，但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同的点只有3个，故最终确定的不同的点的个数为36－(A33－3)＝33.4．(2018·诸暨一模)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别，同时为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店各选择一家，且每家酒店至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有() A．96种B．124种C．130种D．150种解析：选D．可以把五个参会国的人员分成三组，一种是按照1,1,3分；另一种是按照1,2,2分．当按照1,1,3分时，共有C35A33＝60种方法；当按照1,2,2分时，共有C25C23A33A22＝90种方法．根据分类加法计数原理可得安排方法共有60＋90＝150种．5．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B．依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个)．6．(2018·石家庄模拟)一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在4场比赛中，甲队胜、平、负(包括顺序)的情况共有()A．7种B．13种C．18种D．19种解析：选D．设S i表示第i场胜、P i表示第i场平，F i表示第i场负，积4分可分2胜2负，1胜2平1负或4平三类，其中2胜2负有S1S2F3F4，S1F2S3F4，S1F2F3S4，F1S2S3F4，F1S2F3S4，F1F2S3S4，共6种．1胜2平1负有S1P2P3F4，S1P2F3P4，S1F2P3P4，P1S2P3F4，P1S2F3P4，F1S2P3P4，P1P2S3F4，P1F2S3P4，F1P2S3P4，P1P2F3S4，P1F2P3S4，F1P2P3S4，共12种．4平有P1P2P3P4共1种，由分类加法计数原理有6＋12＋1＝19种．7．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28解析：选C．由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．8．(2018·武邑一模)将6名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为________．解析：可以分为以下两类：(1)甲地安排3人，乙地安排3人，有C36＝20种方法；(2)甲地安排2人，乙地安排4人，有C46＝15种方法．根据分类加法计数原理可得，不同的安排方法种数为20＋15＝35.答案：359．(2018·平罗一模)从5名学生中选出4名参加A，B，C，D四科的竞赛(假设每名学生仅能参加一科的竞赛)，其中甲不能参加A，B两科的竞赛，则不同的参赛方案种数为________．解析：可分为以下两步：(1)先从5名学生中选出4名，分为甲参加和甲不参加两种情况，甲参加时，选法有C34＝4种，甲不参加时，选法有C44＝1种；(2)安排科目——甲参加时，先排甲，再排其他人，排法有C12A33＝12种，甲不参加时，排法有A44＝24种．故不同的参赛方案种数为4×12＋1×24＝72.答案：7210．已知集合N＝{a，b，c}⊆{－5，－4，－2,1,4}，若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是________．解析：依题意知，集合N最多有10个，其中对于不等式ax2＋bx＋c＜0没有实数解的情况可转化为需要满足a＞0，且Δ＝b2－4ac≤0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有{1，－4,4}，{1，－2,4},2种情况，因此满足条件的集合N的个数是10－2＝8.答案：8B级能力升级练(20分钟，30分)1．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A．20 B．25C．32 D．60解析：选C．依据题意知，最后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.2．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为()A．1 860 B．1 320C．1 140 D．1 020解析：选C．当A，B节目中只选其中一个时，共有C12C36A44＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有C26A22A23＝180种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．3．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对解析：选D．依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有C23＋C23＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D．4．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”、“546”为“驼峰数”．由数字1,2,3,4,5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为()A．25 B．28C．30 D．32解析：选C．由数字1,2,3,4,5这五个数字构成的无重复数字的三位“驼峰数”中，1在十位的有A24＝12个，2在十位的有A23＝6个，3在十位上的有A22＝2个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.5．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．解析：A＝{1}时，B有23－1＝7种情况；A＝{2}时，B有22－1＝3种情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{1,2}时，B有22－1＝3种情况；A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．答案：176．数字“2 016”中，各位数字相加和为9，称该数为“至尊四位数”．用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2 016的“至尊四位数”共有________个．解析：依题意知：符合条件的四个数字可分为以下两组：0,1,3,5与0,2,3,4.由0,1,3,5组成的大于2 016的“至尊四位数”有2A33＝12个；由0,2,3,4组成的“至尊四位数”有3A33＝18个．由分类加法计数原理可得：共有12＋18＝30个“至尊四位数”．答案：30第二节二项式定理教材细梳理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)，其中右端为(a ＋b )n 的二项展开式．2．二项展开式的通项公式第k ＋1项为：T k ＋1＝C k n an －k b k . 3．二项式系数(1)定义：二项式系数为：C k n (k ∈{0,1,2，…，n })． (2)二项式系数的性质1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n an －r b r是二项展开式的第r 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( )(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．( ) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．( )(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n.( ) (9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.( )(10)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中不可能有常数项．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)× (9)× (10)× 2．二项展开式第k ＋1项的二项式系数与第k ＋1项的系数有什么区别？提示：二项展开式第k ＋1项的二项式系数为C k n ，而它的第k ＋1项的系数等于它的二项式系数C k n 与其他常数以及符号的乘积．四基精演练1．(选修2－3·1.3例2改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10答案：B2．(选修2－3·习题1.3A 组改编)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( ) A ．3516B ．358C ．354D ．105答案：B3．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )2展开式中常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B4．(选修2－3·习题1.3A 组改编)若(1＋ax )7(a ≠0)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则a ＝________.答案：35．(探究题)(教材探究题)如图杨辉三角中的第二行，第三行，第四行，第五行中的1,2,3,4之和等于第六行的“10”，所体现的性质为1＋2＋3＋…＋C 1n －1＝________.答案：C 2n考点一展开式中的特定项或系数[高频型]——提升数学运算x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：设展开式的第k ＋1项为T k ＋1，k ∈{0,1,2,3,4,5}，所以T k ＋1＝C k 5(2x )5－k (x )k ＝C k 525－kx 5－k 2，令5－k 2＝3得，k ＝4，即T 5＝C 4525－4x 5－42＝10x 3. ∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4. 答案：A [母题变式]1．在本例(1)中，条件不变，展开式中系数最大的项是第几项．解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·x 5－r 2，第r 项的系数为26－r C r －15 第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15 ∴⎩⎪⎨⎪⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2.当r ＝1时，T 2＝24C 15x 92，当r ＝2时，T 3＝23C 25x 4，故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，已知条件不变，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r 可知，当r ＝6时．常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1.[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．答案：C(2)(2018·河北唐山一模)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20D ．20解析：∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(3)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C ．答案：C [母题变式]1．在本例(1)中，求此展开式的常数项．解：⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中常数项为1＋C 26＝16. 2．在本例(3)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．2．求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．1．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40 D．80解析：选C．由二项式定理可得，原式展开式中含x3y3的项为x·C25(2x)2(－y)3＋y·C35(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40，故选C．2．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.解析：由题意知a4为含x项的系数，根据二项式定理得a4＝C23×12×C22×22＋C33×13×C12×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C33×13×C22×22＝4.答案：16 4考点二二项展开式的系数和问题[高频型]——提升数学运算[例3](1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.[母题变式]若本例中条件“x的奇数次幂项”变为“奇数项”，则a＝________.解析：奇数项分别为：a，(6a＋4)x2，(a＋4)x4，∴a＋(6a＋4)＋(a＋4)＝32，∴a＝3.答案：3(2)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20D ．40解析：选D ．令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的常数项即为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中1x 的系数与x 的系数的和.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k ·(－1)k.令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中1x的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的常数项为80－40＝40.1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立．因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中(1)各项系数之和为f (1)． (2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.3．(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为。

第九章复数计数原理与概率随机变量及其分布

第九章复数计数原理与概率随机变量及其分布第九章的内容主要涉及到复数、计数原理与概率以及随机变量及其分布。

在数学中，复数是由实数和虚数构成的数。

一个复数由实部和虚部组成，可以表示为a + bi的形式，其中a和b分别为实数，i为单位虚数。

复数可以用于描述实数范围之外的数，例如平面几何中的向量、电路中的交流电以及量子力学中的波函数等。

在章节中，我们将学习复数的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法，并学习复数的共轭和模的概念。

计数原理与概率部分主要介绍了排列、组合以及概率的基本概念和计算方法。

在实际问题中，我们经常需要计算不同的排列和组合的情况，而计数原理提供了一种方法来快速计算这些情况。

排列是指从一组对象中选择出若干个对象按照一定顺序排列的结果，组合是指从一组对象中选择出若干个对象不考虑顺序的结果。

概率是一个描述事件发生可能性的数值，可以通过计数原理来计算。

随机变量及其分布是概率论中重要的概念。

随机变量是指一个随机试验的结果所取的值，可以是一个数值，也可以是一个事件。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量只取有限或可数个数值，而连续型随机变量可以取任意数值。

随机变量的分布描述了随机变量每个取值的概率。

常见的离散分布有二项分布、泊松分布等，常见的连续分布有均匀分布、正态分布等。

在章节中，我们将学习这些分布的定义与性质，并学习如何计算随机变量的期望值和方差。

总之，第九章的内容涉及了复数的运算、计数原理、概率、随机变量及其分布的基本概念和计算方法。

这些概念在数学和概率统计的应用中都非常重要，对于解决实际问题具有指导意义。

2019高考数学(理)一轮复习全套学案

2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12，﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。

高中数学随机变量及其分布讲义及练习

随机变量及其分布要求层次重难点取有限值的离散型随机变量及其分布列C⑴理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．⑵理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．超几何分布A（一）知识内容1．运用计数原理，求随机事件的概率，为求随机变量的分布列打下基础．2．涉及到的主要是古典概型的概率求法，与概率初步相承接．对于直接列出基本事件空间求概率的题型不再收集，属于概率初步中的内容．（二）典例分析：【例1】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，知识框架例题精讲高考要求离散型随机变量二点分布超几何分布二项分布离散型随机变量的分布列板块一：随机事件的概率随机变量及其分布把乙猜的数字记为b，且{0129}，，，，，，若||1a b∈-≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意a b找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为．【例2】从装有3个白球，4个红球的箱子中，把球一个个取出来，到第五个恰好白球全部取出来的概率是_____．【例3】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_____．【例4】某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是______．【例5】（09上海春）一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为______．【例6】6女，4男中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率为0.8，每位男同学能通过测验的概率为0.6．试求：⑴选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．【例7】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a p，的值分别为（）A ．510521a p ==， B ．410521a p ==， C ．521021a p ==， D ．421021a p ==，【例8】（07四川）已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（）A ．112B ．760C ．625D ．516【例9】（08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，，，进行抽样，先将总体分成两个子总体{}12m ，，，和{}12m m n ++，，，（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij P i j n <≤≤的和等于．【例10】（2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081【例11】（2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A ．891B ．2591C ．4891D ．6091【例12】（2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A ．175B ．275C ．375D ．475【例13】（2009安徽10）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（）A ．1B ．12C ．13D ．0【例14】在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为_______．【例15】右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）A ．445B ．136C ．415D ．815【例16】已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为（）A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【例17】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例18】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）A．120B．110C．25D．35【例19】从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A．19125B．18125C．16125D．13125【例20】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．【例21】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴若3n=，求取到的4个球全是红球的概率；⑵若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n．【例22】（2009江苏23）对于正整数2n ≥，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组()a b ，的组数，其中{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{}12a b n ∈，，，，（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率．⑴求2n T 及2n P ；⑵求证：对任意正整数2n ≥，有11n P n>-．【例23】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为1233，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为3255，；记第(*)n n ∈N 次按下按钮后出现红球的概率为n P ． ⑴求2P 的值；⑵当2n n ∈N ，≥时，求用1n P -表示n P 的表达式； ⑶求n P 关于n 的表达式．（一）知识内容1．离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．板块二：离散型随机变量及其分布列（二）典例分析：【例1】以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：⑴ 某城市一天之内发生的火警次数X ；⑵ 某城市一天之内的温度Y ．【例2】写出下列各随机变量可能的取值．⑴ 小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为100元、260元和600 元，记他的旅费为X ；⑵ 正方体的骰子，各面分别刻着123456，，，，，，随意掷两次，所得的点数之和X ．【例3】若()1P X n a =-≤，()1m P X b =-≥，其中m n <，则()P m X n ≤≤等于（）A ．(1)(1)a b --B ．1(1)a b --C ．1()a b -+D ．1(1)b a --【例4】甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且每次不受其他次投篮结果的影响，甲投篮的次数为X ，若甲先投，则()P X k ==_________．【例5】某12人的兴趣小组中，有5名三好生，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中三好生的人数，则(3)P X ==________．【例6】设随机变量的分布列如下：k【例7】设随机变量X 等可能的取值123n ，，，，，如果(4)0.3P X <=，那么（） A ．3n = B ．4n = C ．9n = D ．10n =【例8】设随机变量X 的概率分布列为2()1233iP X i a i ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，，则a 的值是（） A ．1738 B ．2738 C ．1719 D ．2719【例9】已知随机变量X 的分布列为()(123)2iP X i i a===，，，则(2)P X == ．【例10】设随机变量X 的概率分布是()5kaP X k ==，a 为常数，123k =，，，则a =（） A ．2531 B ．3125 C ．12531 D ．31125【例11】设随机变量ξ所有可能取值为1234，，，，且已知概率()P k ξ=与k 成正比，求ξ的分布．【例12】设随机变量X 的概率分布列为()1262k cP X k k ===，，，，，其中c 为常数，则(2)P X ≤的值为（）A ．34B ．1621C ．6364D ．6463【例13】设随机变量X 的分布列为()()123k P X k k n λ===，，，，，，求λ的取值．【例14】已知(12)(1)k p k k k λ==+，，为离散型随机变量的概率分布，求λ的取值．【例15】随机变量X 的分布列()(1234)(1)p P X k k k k ===+，，，，p 为常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．34C ．45D ．56【例16】（2008年北京卷理）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．⑴求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；⑶设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【例17】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：⑴记甲击中目标的次数为ξ，ξ的概率分布及数学期望；⑵乙至多击中目标2次的概率；⑶甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【例18】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量X；乙用一枚硬币掷2次，记国徽面（记为正面）朝上的次数为随机变量Y．⑴求随机变量X与Y的分布列；⑵求甲得到的正面朝上的次数不少于1的概率．⑶求甲与乙得到的正面朝上的次数之和为3的概率；⑷求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率．【例19】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得1-分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列，并求出所得分数不为0的概率．【例20】一袋中装有编号为123456，，，，，的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码．⑴求X的概率分布；⑵求4X 的概率．【例21】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止所需要的取球次数．⑴求袋中所有的白球的个数；⑵求随机变量X的概率分布；⑶求甲取到白球的概率．【例22】一个袋中有5个球，编号为12345，，，，，在其中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布列以及最大号码不小于4的概率．（一）知识内容1．如果随机变量X 的分布列为 X 1 0P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0P 0.8 0.2两点分布又称01-为伯努利分布．2．超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C mn m M N M nNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．（二）典例分析：【例23】某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为____．【例24】在15个村庄中有6个村庄交通不便，现从中任意选取10个村庄，其中有X 个村庄交通不便，下列概率中等于46691015C C C 的是（） A ．(4)P X = B ．(4)P X ≤ C ．(6)P X =D ．(6)P X ≤板块三：二点分布与超几何分布【例25】4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中女生人数，则所选三人中女生人数1ξ≤的概率为（）．A．15B．25C．35D．45【例26】袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是（）A．115B．215C．1315D．1415【例27】从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是______【例28】从一副扑克（无王牌）中随意抽取3张，其中至少有一张是黑桃的概率_______（保留四位有效数字）【例29】袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数X的概率分布．【例30】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球．【例31】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴10件产品中至多有一件废品；⑵10件产品中至少有一件废品．【例32】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．⑴在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；⑵在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．【例33】已知10件产品中有3件是次品．⑴任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；⑵为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？【例34】人类血型有A型，B型，AB型，O型，四种常见血型，现在有100人，其中是A型血的有40人，B型血的有20人，AB型血的有10人，O型血的有30人，从这100人中随机选出两人，问血型不同的概率是多少？【例35】交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，所得奖励是所抽2球的钱数之和，求摸奖人至少不赔的概率．【例36】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，⑴红球的个数不比白球少的概率是多少？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，使总分不少于7分的概率是多少？【例37】已知甲盒内有大小相同的1个红球、1个绿球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球、1个绿球和3个黑球，现从甲乙两个盒子内各任取2球．⑴求取出的4个球中恰有1个红球的概率；⑵求取出的4个球中红球的个数不超过2个的概率．。

计数原理概率随机变量及其分布知识点易错点总结高考三轮复习冲刺

计数原理、概率、随机变量及其分布一、两个计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

3.两个计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事。

注意:分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终。

(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类。

(2)分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”。

【重点难点易错点】1.根据题目特点恰当选择一个分类标准。

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置。

2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复。

3.分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏。

4.一类元素允许重复选取的计数问题,可以采用分步乘法计数原理来解决,关键是明确要完成的一件事是什么。

用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时,哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据。

5.与数字有关的问题常见的有以下4类:①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”;②在某范围内的数;③各数字的和具有某种特征;④各数字满足某种关系。

6.涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析。

二、排列与组合1.两个概念(1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

高考数学一轮复习第十一章计数原理、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习理

第十一章计数原理、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·茂名模拟)若离散型随机变量X 的概率分布为则X 的数学期望E (X )＝解析由概率分布的性质，a 2＋a 22＝1，∴a ＝1.故E (X )＝12×0＋12×1＝12.答案 122.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________，________.解析由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6 0.43.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差V (X )的值为________.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，∴V (X )＝4×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.答案24254.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是________. 解析由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.答案 4.55.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________. 解析记“不发芽的种子数为Y ”，则Y ～B (1 000，0.1)，所以E (Y )＝1 000×0.1＝100，而X ＝2Y ，故E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. 答案 2006.已知X 的概率分布为设Y ＝2X ＋1，则Y 解析由概率分布的性质，a ＝1－12－16＝13，∴E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.答案 237.(2016·青岛模拟)设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________.解析由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.答案 802438.(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.解析设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以V (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.答案 25二、解答题9.(2016·常州调研)某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，12，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与数学期望E (ξ). 解 (1)甲、乙两人所付车费用相同即为2，4，6元.由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14.都付2元的概率为P 1＝14×12＝18，都付4元的概率为P 2＝12×14＝18，都付6元的概率为P 3＝14×14＝116，故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝516.(2)依题意知，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.P (ξ＝4)＝14×12＝18， P (ξ＝6)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝8)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝10)＝14×14＋12×14＝316，P (ξ＝12)＝14×14＝116.故ξ的概率分布为所求数学期望E (ξ)＝4×8＋6×16＋8×16＋10×16＋12×16＝2.10.(2016·南京、盐城模拟)某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有2人申请A 大学的概率；(2)求被申请大学的个数X 的概率分布与数学期望E (X ). 解 (1)记“恰有2人申请A 大学”为事件A ， P (A )＝C 24×2234＝2481＝827.即恰有2人申请A 大学的概率为827.(2)X 的所有可能值为1，2，3.P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 24×A 23＋C 24A 23A 2234＝4281＝1427， P (X ＝3)＝C 24×A 3334＝3681＝49.X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝1×27＋2×27＋3×9＝27.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则V (X )＝________.解析由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3，又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故V (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65. 答案 6512.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________.解析设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为依题意，E (X )＝3a ＋2b ＝2，又∴2＝3a ＋2b ≥26ab ，则ab ≤16，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝13，b ＝12时上式取等号.答案 1613.(2016·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元. 解析由概率分布性质a 1＋2a 1＋4a 1＝1， ∴a 1＝17，从而2a 1＝27，4a 1＝47.因此获得资金ξ的概率分布为∴E (ξ)＝700×17＋560×7＋420×7＝500(元).答案 50014.(2016·苏北四市质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的背诵正确的概率为p ＝23，背诵错误的概率为q ＝13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”.(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的概率分布及数学期望.解 (1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确4首，错误2首，若第一首和第二首正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，则第三首背诵正确，其余3首可任意背诵对2首.故所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23·13·23·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝1681.(2)因为ξ＝|S 5|的取值为10，30，50. 所以P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081； P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081； P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)＝10×4081＋30×81＋50×81＝81.。