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2011全国一高考数学(理)word版、可编辑、高清无水印

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅰ卷第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A）13（B）3（C）6（D）9(6)已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A)23(B)33(C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14-(C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45 (B)35 (C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II) 第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年湖北高考数学试题及答案(理科)

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（（A ）（3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（）（A ）（－1，1）（B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,A B A CO P O A P A B A Cλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（）（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为（）（A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）aa a abbbbOOOO(A) (B) (C) (D)263451 （A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 （10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数求ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),(1,0)a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+ 为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF+为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()nnn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'()n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑Oc ylxQ 1Q 2Q 3 1a 2a 3a r 2 r 12003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

2011年湖北高考数学试题

(湖北卷)数学(理工类)一、选择题：1. i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫⎪-⎝⎭=A.- iB.-1C. iD.12.已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =A. 1[,)2+∞B. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C. ()0,+∞D. 1(,0][,)2-∞+∞3.已知函数11()3sin cos ,f x x R θθ--=-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A. |,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B. |22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C. 5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 4.将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A. n=0B. n=1C. n=2D. n ≥35．已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.26.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a -+=-+(a ＞0,且0a ≠).若()2g a =，则()2f =A ．2 B.154 C. 174D. 2a 7.如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A ．0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.5768.已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a ⊥ b.若x,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为A..[-2，2]B.[-2，3]C.[-3，2]D.[-3，3]9.若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.即不充分也不必要的条件 10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。

2011年高考数学试卷湖北理

2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(理类)【选择题】【1】．i 为虚数单位，则2011i 1i 1⎪⎭⎫⎝⎛-+=（）.（A ）-i （B ）-1 （C ）i （D ）1 【2】．已知{}1,log |2>==x x y y U,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1|x x y y P ,则U P =ð( ).(A)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 (C) ()+∞,0 (D) (]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,210,【3】．已知函数()cos ,f x x x x =-∈R .若()1f x ≥，则x 的取值范围为( ).(A) π|π+π+π,3x k x k k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭Z (B) π|2π+2π+π,3x k x k k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭Z (C) π5π|π+π+,66x k x k k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭Z (D) π5π|2π+2π+,66x k x k k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭Z 【4】．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（）.（A ）n =0 （B ）n =1 （C ）n =2 （D ）n ≥3【5】．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<＝( ).(A)0.6 (B)0.4 (C)0.3 (D)0.2 【6】．已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()20,x x f x g x a a a a -+=-+>≠()且.若(2)g a =，则(2)f =（）.(A)2 (B)154 (C) 174(D) 2a 【7】．如图，用12,,K A A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且12,A A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知12,,K A A 正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（）.(A)0.960 (B)0.864 (C)0.720 (D)0.576【8】．已知向量(,3)x z =+a ,(2,)y z =-b ,且⊥a b .若x,y 满足不等式1x +y ≤，则z 的取值范围为( ). (A)[]2,2- (B) []2,3- (C) []3,2- (D) []3,3-【9】．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（）.(A)必要而不充分的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件【10】．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300()2tM t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量.已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-（太贝克／年），则(60)M =( ). (A) 5太贝克 (B) 75ln 2太贝克 (C) 150ln 2太贝克 (D) 150太贝克【填空题】【11】．18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 .(结果用数值表示) 【12】．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 .（结果用最简分数表示）【13】．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.【14】．如图，直角坐标系xOy 所在平面为α，直角坐标系x Oy ''（其中y '轴与y 轴重合）所在的平面为β，45xOx '∠=.（Ⅰ）已知平面β内有一点P '，则点P '在平面α内的射影P 的坐标为；（Ⅱ）已知平面β内的曲线C '的方程是22(220x y ''+-=，则曲线C '在平面α内的射影C 的方程是 .【15】．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相．邻．的着色方案共有种.（结果用数值表示）【解答题】【16】．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知11,2,cos 4a b C ===. （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求cos()A C -的值.【17】．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求最大值.（精确到1辆/小时）【18】．如下图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合.（Ⅰ）当1CF =时，求证：1EFAC ⊥；（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值. 【19】．已知数列{}n a 的前n项和为n S ，且满足：11(0),(,,1)n n a a a a rS n r r *+=≠=∈∈≠-N R .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k *∈N ，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，试判断：对于任意的m *∈N ,且2m ≥，12,,m m m a a a ++是否成等差数列，并证明你的结论.【20】．平面内与两定点12(,0),(,0)(0)A a A a a ->连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m ∈-⋃+∞，对应的曲线为2C .设12,F F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△12F NF 的面积2S m a =.若存在，求12tan F NF ∠的值；若不存在，请说明理由.【21】．（Ⅰ）已知函数()ln 1,(0,)f x x x x =-+∈+∞，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设,(1,2,k k a b k=…)n 均为正数，证明：（1）若1122a b a b ++…+12n n a b b b ≤++…+n b ，则1212b b a a …1n b n a ≤；（2）若12b b ++…1n b +=,则12121b b b b n≤…2212n b n b b b ≤++…+2n b .。

2011年高考数学湖北卷(理科)-带答案

2011年高考数学湖北卷(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（）(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð（） (A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B) 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（） (A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭4.将两个顶点在抛物线22y px =()0p >上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（）(A)0n = (B) 1n = (C) 2n = (D) 3n ≥ 5.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=（）(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6 6.已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若()2g a =，则()2f =（） (A)2a (B) 2 (C)154 (D) 1747.如图，用K 、12A A 、三类不同的原件连接成一个系统，当K 正常工作且12A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、12A A 、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.5768.已知向量()(),3,2,a x z b y z a b =+=-⊥，且，若x ，y 满足不等式1x y +≤，则z的取值范围为：(A) []3,3- (B)[]3,2- (C)[]2,2- (D) []2,3- 9.若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。

2011湖北高考数学试题及答案(理科)

试卷类型：A2010年普通咼等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。

在用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3. 填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

A.- iB.-1C. iD.12.已知 U = ： y | y = log 2 x, x 1,P= y|y= —, x 2 ,则C U P = L x J3.已知函数f （x ）z ；3s in r-cosf,x ・R ，若f （x ）_1，则x 的取值范围为{ Tl l JI lA. x|k 二 _x _k 「？,k ZB. x 12 k 二 _ x _ 2k 二：k ZI3J I 3Ji5 ii5 iC. {x|kx_k ,k = Z} D. {x|2k x_2k ,k ^ Z}6 6 6 61. i 为虚数单位，贝U(-二 A.［丄，：：） B.2 C. 0, ：：D.1 ,0][^^::)11-14.将两个顶点在抛物线y2=2px(p . 0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则A. n=0B. n=1C. n=2D. n _3试卷类型：A5 •已知随机变量■服从正态分布N 2, a2，且P( <4)= 0.8，则P( 0 V < 2)=A .0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.26. 已知定义在R上的奇函数fx和偶函数g x满足f xg x =a2 - a22( a >0,且a = 0).若g 2 = a，则f 2 =A. 2B. 15C. 17D. a24 47. 如图，用K、A“ A2三类不同的元件连接成一个系统。

2011年湖北高考数学试题及答案(理科)

一、第一天：指定时间地点集合.乘火车赴广州开始轻松愉快的香港.澳门之旅不含餐.住火车上第二天：早上抵达广州，汽车赴深圳：团友在领队的带领下从皇岗进入香港，前往维多利亚两岸游览：参观会展中心，金紫荆广场（游览30分钟）。

赴香港海洋公园（游览3小时），后乘室外观光电梯前往大树湾参观古建筑群“集古村”等，前往香港的风水宝地----浅水湾，祈求正财神保佑，游览完毕后乘车登太平山，俯瞰“东方之珠”---香港的美丽夜景，乘船游览维多利亚港观两岸夜景（游览约45分钟）；在此可近距离观赏九龙及香港岛幻美的灯光.（含中晚餐）住：香港第三天：早餐后，游览香港神庙----黄大仙庙（游览30分钟），随后参观珠宝展示中心（90分钟）、百货商场（90分钟），欣赏不同款式的珠宝钻石的制作过程，更可随心购买心爱的首饰及纪念品，参观香港的免税商店，体验香港购物天堂的乐趣，后参观尖沙咀落成在海滨长廊上的“星光大道”，以香港电影业发展史及旨在表扬幕前巨星和幕后电影工作者成就为主题的星光大道设于尖沙咀海滨长廊。

后前往国际著名DFS免税店。

香港市区酒楼用晚餐；（含早中晚餐）住：香港第四天：早餐后，前往码头乘船前往澳门（乘船约50分钟），游览澳门标志性建筑物圣保罗教堂遗迹大三巴牌坊、异国情调的澳督府，参观澳门起源及最古老庙宇妈祖庙，后车游望海观音，澳门大桥，观澳门九九回归广场标志莲花台，珠宝店，手信店，可自费前往著名的威尼斯人度假酒店游览观光（门票160元/人自理，）晚上10:30分经拱北关口抵珠海；（含早中晚餐）住：珠海第五天：早餐后，外观九州城，百货店（45分钟），珠宝店(60分钟)游情侣路（车游），珠海标志----渔女像（车游），中餐后乘车返回广州，晚上乘火车返程。

（含早中餐）住火车上第六天：上午抵达，结束愉快的行程回到温暧的家。

二、接待标准1、交通：，株州至广州往返为非空调硬卧，景区间空调旅游汽车，香港至澳门海上飞船2、住宿、珠海，二星酒店，香港三星酒店双标间（有彩电、空调、独卫；产生单男单女的情况下，由我社安排三人间，如果客人不愿意住三人间，则由客人自行补足房差）3、用餐：全程含3早7正（内地段正餐10人一桌，8菜1汤；港澳段正餐10人一桌，7菜1汤，均不含酒水。

2011年高考湖北省数学试卷-理科(含详细答案)

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类解析)本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ 【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ，则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ，则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为；（Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 .【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ，所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos //⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有种.（结果用数值表示）【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=cn=1 n=2n=3n=4∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ，当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值．本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。

2011年湖北高考理科数学试卷及答案详解 WORD版 (答案超级详细)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i解析：选B 。

()()()()2111121112i i i i i i i i i +++++===--+，故2011201111i i i i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则UP =(A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭(B)10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：选D{}{}2log ,10U y y x x y y ==>=>，11,202P y y x y y x ⎧⎫⎧⎫==>=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故U P =12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，即为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解析：选A.()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()1f x ≥得：1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，于是522,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解之即得A 。

2011年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析

2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5 分）（2011?湖北）i 为虚数单位，则（）2011=（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5 分）（2011?湖北）已知U={y|y=log 2x，x＞1} ，P={y|y= ，x＞2} ，则C u P=（）A．[ ，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）3．（5 分）（2011?湖北）已知函数f（x）= sinx﹣c osx，x∈R，若f（x）≥1，则x 的取值范围为（）A．B．{x|k π+ ≤x≤kπ+π，k∈Z} {x|2k π+ ≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．D．{x|k π+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z} {x|2k π+ ≤x≤2kπ+ ，k∈Z}24．（5 分）（2011?湖北）将两个顶点在抛物线y =2px （p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥32），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）5．（5 分）（2011?湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，a A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2x﹣x﹣a6．（5 分）（2011?湖北）已知定义在R 上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a +2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）=（）2A．2 B．C．D．a7．（5 分）（2011?湖北）如图，用K、A 1、A 2 三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且 A 1、A 2 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2 正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5768．（5 分）（2011?湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y 满足不等式|x|+|y|≤1，则z 的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]9．（5 分）（2011?湖北）若实数a，b 满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b 互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0 是a 与b 互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）（2011?湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011?湖北）（x﹣）1815的展开式中含x的项的系数为_________．（结果用数值表示）12．（5分）（2011?湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为_________．（结果用最简分数表示）13．（5分）（2011?湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_________升．14．（5分）（2011?湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′O y′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；2（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）+2y 2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．15．（5分）（2011?湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________种，（结果用数值表示）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2011?湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；C）的值．（II）求cos（A﹣17．（12分）（2011?湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．18．（12分）（2011?湖北）如图，已知正三棱柱A BC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；A F﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．（Ⅱ）设二面角C﹣19．（13分）（2011?湖北）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；**（Ⅱ）若存在k∈N，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N．论成等差数列，并证明你的结20．（14分）（2011?湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，．请说明理由21．（14分）（2011?湖北）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2⋯，n）均为正数，证明：⋯≤1；（1）若a1b1+a2b2+⋯a n b n≤b1+b2+⋯b n，则222（2）若b1+b2+⋯b n=1，则≤⋯≤b1．+b2+⋯+b n2011年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5 分）考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：n 由复数的运算公式，我们易得=i，再根据i2011的周期性，我们易得到（）的结果．解答：解：∵=i∴（）2011 2011=i =i 3 =﹣i故选 A2011 点评：本题考查的知识点是复数代数形式的混合运算，其中根据复数单调幂的周期性，将i3转化为i 是解答本题的关键．2．（5 分）考点：对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合U 中的函数的值域和P 中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U 中不属于集合P 的元素构成的集合为集合 A 的补集，求出集合P 的补集即可．解答：解：由集合U 中的函数y=log 2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U= （0，+∞），同样：P=（0，），得到C U P=[ ，+∞）．故选A．点评：此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．3．（5 分）考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用两角差的正弦函数化简函数f（x）= sinx﹣c osx，为一个角的一个三角函数的形式，根据f（x）≥1，求出x 的范围即可．解答：解：函数f（x）= sinx﹣c osx=2sin（x﹣），因为 f （x）≥1，所以2sin（x﹣）≥1，所以，所以f（x）≥1，则x的取值范围为：{x|2k π+ ≤x≤2kπ+π，k∈Z}故选 B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型．4．（5 分）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．线与线，每条直分析：根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直的三角形有 2 个．抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样解答： 2解：y=2px（P＞0）的焦点F（，0）2等边三角形的一个顶点位于抛物线y=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x 轴轴对称），两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，C故选点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性．5．（5 分）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．题：计算题．专2X服从正态分布N（2，σ），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的分析：根据随机变量特点，得到P（0＜ξ＜2）= P（0＜ξ＜4），得到结果．2解答：解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ4≥）=P（ξ＜0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．C．故选钟形的曲线，其对称轴为x=μ，点评：本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈x轴，但永不与x 轴相交，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴为渐近线的．因此说曲线在正负两个方向都是以6．（5 分）考点：函数奇偶性的性质．x﹣xaf（x）+g（x）=a﹣分析：由已知中定义在R 上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足+2（a＞0，且a≠0），我x x﹣a们根据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g（x）的另一个方程f（x）+g（x）=a﹣+2，并由此求出 f （x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a 求出 a 值后，即可得到f（a）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R 上的奇函数，g（x）是定义在R 上的偶函数x﹣xa由f（x）+g（x）=a﹣+2 ①x x﹣a得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣+2=﹣f（x）+g（x）②x﹣x﹣a，g（x）=2 ①②联立解得 f （x）=a由已知g（a）=a∴a=22 ﹣2∴f（a）=f（2）=2 ﹣2=B故选点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，函数奇偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出 f．（x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a 求出 a 值，是解答本题的关键7．（5 分）考点：相互独立事件的概率乘法公式．题：计算题．专分析：首先记K、A 1、A2 正常工作分别为事件A、B、C，易得当K 正常工作与 A 1、A2 至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A 2 至少有一个正常工作”与“A 1、A2 都不正常工作”为对立事件，易得A1、A 2 至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．K、A1、A2 正常工作分别为事件A、B、C；解答：解：根据题意，记则P（A）=0.9；A 1、A2 至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）=1﹣0.2×0.2=0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864 ；B．故选点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系．8．（5 分）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单线性规划的应用．题：数形结合．专分析：根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的=（x+z，3），=（2，y﹣z），⊥，构造出件|x|+|y|≤1 对应的平面区域，并求出各个角点一个关于x，y，z 的方程，即关于Z 的目标函数，画了约束条．的坐标，代入即可求出目标函数的最值，进而给出z 的取值范围解答：解：∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y ﹣z=0，即z=2x+3y∵满足不等式|x|+|y|≤1 的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1 时，z 取最大值3，当x=0，y=﹣1 时，z 取最小值﹣3，为[﹣3，3]故z 的取值范围D故选点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，简单线性规划的应用，其中利用平面向量的垂直的坐标运算法则，求出目标函数的解析式是解答本题的关键．9．（5 分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．题．专题：压轴分析：我们先判断φ（a，b）=0? a 与b 互补是否成立，再判断 a 与b 互补? φ（a，b）=0 是否成立，再根据充要．条件的定义，我们即可得到得到结论解答：b=0a﹣解：若φ（a，b）=﹣则=（a+b）0，两边平方解得ab=0，故a，b 至少有一为b=0，故b≥0，即 a 与b 互补不妨令a=0 则可得|b|﹣而当 a 与b 互补时，易得ab=0a﹣b=0此时﹣即φ（a，b）=0故φ（a，b）=0 是a 与b 互补的充要条件C故选点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断φ（a，b）=0? a 与b 互补与 a 与b 互补? φ（a，b）=0 的真假，是解答本题的关键．10．（5 分）考点：有理数指数幂的运算性质．题．压轴专题：计算题；分析：由t=30 时，铯137 含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M' （t）=M 0×，再由M' （30）=M 0×=﹣10ln2，求出M 0，然后能求出M （60）的值．解答：解：M' （t）=M 0×，M' （30）=M 0×=﹣10ln2，∴M 0=600．∴．D．故选点评：本题考查有理数指数幂的运算法则，解题时要注意导数的合理运用．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5 分）考点：二项式定理．专题：计算题．15的项的系数．分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为15，求出展开式中含x解答：解：二项展开式的通项为令得r=215所以展开式中含x 的项的系数为故答案为17点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．12．（5 分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．2分析：本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30 个饮料中取 2 瓶，共有C30种结果，满足条件的事件 2 是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C27种结果，计算可得其概率；根据对立事件的概率得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，2试验发生所包含的事件是从30 个饮料中取 2 瓶，共有C30=435 种结果，满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，2它的对立事件是没有过期的，共有C27=351 种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到P=1﹣= = ，故答案为：点评：本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的概率，在解题时若从正面考虑比较麻烦，可以从事件的对立事件来考虑．本题是一个基础题．13．（5 分）考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第 5 节的容积．解答：解：由题设知，解得，∴= ．故答案为：．点评：本题考查等式数列的通项公式和前n 项和公式，解题时要注意公式的灵活运用．14．（5 分）考点：平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；压轴题．分析：（I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点P′在平面上的射影P 距离x 轴的距离不变是2，距离y 轴的距离变成 2 cos45°，写出坐标．（II ）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程．解答：解：（I）由题意知点P′在平面上的射影P 距离x 轴的距离不变是2，距离y 轴的距离变成 2 cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P 的坐标为（2，2）2 （II ）设（x′﹣）+2y 2﹣2=0 上的任意点为A（x0，y0），A 在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x= x0，y=y0，∵，∴2 2∴（x﹣1）+y =1，2 2故答案为：（2，2）；（x﹣1）+y =1．点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查两个坐标系之间的坐标关系，是一个比较简单的题目，认真读题会得分．15．（5 分）考点：归纳推理；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据所给的涂色的方案，观测相互之间的方法数，得到规律，根据这个规律写出当n 取不同值时的结果数；利用给小正方形涂色的所有法数减去黑色正方形互不相邻的着色方案，得到结果．解答：解：由题意知当n=1 时，有 2 种，当n=2 时，有 3 种，当n=3 时，有2+3=5 种，当n=4 时，有3+5=8 种，当n=5 时，有5+8=13 种，当n=6 时，有8+13=21 种，6当n=6 时，黑色和白色的小正方形共有 2种涂法，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21 种结果，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64﹣21=43 种结果，故答案为：21；43点评：本题考查简单的排列组合及简单应用，考查观察规律，找出结果的过程，是一个比较麻烦的题目，当作为高考题目比前几年的排列组合问题不难．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10 分）考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出 c 的平方，把a，b 及cosC 的值代入求出 c 的值，从而求出三角形ABC 的周长；（II ）根据cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，然后由a，c 及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由 a 小于 c 得到 A 小于C，即 A 为锐角，则根据sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答： 2 2 2解：（I）∵c ﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，=a +b∴c=2，∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5 ．（II ）∵cosC= ，∴sinC= = = ．∴sinA= = = ．∵a＜c，∴A ＜C，故A 为锐角．则c osA= = ，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC= ×+ ×= ．基础一道点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是题．17．（12 分）考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．题：应用题．专分析：（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200 时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（II ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为 f （20）=1200，然后在区间[20，200] 上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x 值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200] 上的最大值．v（x）=ax+b解答：解：（I）由题意：当0≤x≤20 时，v（x）=60；当20＜x≤200 时，设再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（II ）依题并由（I）可得当0≤x＜20 时，f（x）为增函数，故当x=20 时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200 时，x，即x=100 时，等号成立．当且仅当x=200﹣所以，当x=100 时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100 时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，/小时．为3333辆即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约答：（I）函数v（x）的表达式/小时．/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆为100辆（II ）当车流密度于中等题．点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属18．（12 分）考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．题：计算题．专E F，NF，AC1，根据面面垂直的性质可知NF 为EF 在侧面A1C 内的射影，分析：（I）过E作EN⊥AC 于N，连接根据，得NF∥AC ，又AC 1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂线定理可得结论；A FM E 根据三垂线定理得EM⊥AF，则∠EMN 是二面角C﹣N作NM ⊥AF 与M ，连接（II ）连接A F，过E的平面角即∠EMN= θ，在直角三角形CNE 中，求出NE，在直角三角形AMN 中，求出MN ，故﹣tanθ=，根据α的范围可求出最小值．E作EN⊥AC 于N，连接E F，NF，AC 1，由直棱柱的性质可知，底面ABC ⊥侧面A1C解答：解：（I）过∴EN⊥侧面 A 1CNF 为EF 在侧面A1C 内的射影在直角三角形CNF 中，CN=1则由，得NF∥AC 1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C由三垂线定理可知EF⊥A 1CM EN作NM ⊥AF 与M ，连接（II ）连接A F，过由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF∴∠EMN 是二面角C﹣A F﹣E的平面角即∠EMN= θ设∠FAC=α则0°＜α≤45°，在直角三角形CNE 中，NE= ，在直角三角形AMN 中，MN=3sin α故tanθ= ，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时 F 与C1 重合推理论证能象能力、点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查了空间想力和运算求解能力．19．（13 分）考点：等差数列的性质；数列递推式．题：综合题；转化思想．专分析：（I）由已知中a n+1=rS n，我们可以得到以a n+2=rS n+1，两式相减后结合数列前n 项和定义，我们可以判断出数列{a n} 中从第二项开始，后一项与前一项之间的关系，因为式子中含有参数r，故我们可以对r 进行分类讨论，即可得到答案．（II ）根据（I）的结论，我们同样要对r 进行分类讨论，结合等差数列的判定方法，即要判断a m+1，a m，a m+2 是否成等差数列，即判断a m+1+a m+2=2a m 是否成立，论证后即可得到答案．解答：解：（I）由已知a n+1=rS n，则a n+2=rS n+1，两式相减得a n+2﹣a n+1=r（S n+1﹣S n）=ra n+1即a n+2=（r+1）a n+1又a2=ra1=ra∴当r=0 时，数列{a n} 为：a，0，0，⋯；1，a≠0，∴a n≠0当r≠0 时，由r≠﹣由a n+2=（r+1）a n+1 得数列{a n} 从第二项开始为等比数列n﹣2∴当n≥2 时，a n=r（r+1）a综上数列{a n} 的通项公式为（II ）对于任意的m∈N * ，且m≥2，am+1，a m，a m+2 成等差数列，理由如下：当r=0 时，由（I）知，∴对于任意的m∈N * ，且m≥2，am+1，a m，a m+2 成等差数列；当r≠0，r≠﹣1时∵S k+2=S k+a k+1+a k+2，S k+1=S k+a k+1*若存在k∈N，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，则2S k=S k+1+S k+2∴2S k=2S k+a k+2+2a k+1，即a k+2=﹣2a k+1由（I）知，a2，a3，⋯，a n，⋯的公比r+1=﹣2，于是*对于任意的m∈N，且m≥2，a m+1=﹣2a m，从而a m+2=4a m，∴a m+1+a m+2=2a m，即a m+1，a m，a m+2成等差数列*综上，对于任意的m∈N，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列．点评：本题考查的知识点为等差数列、等比数列的基础知识，同时考查了推理论证能力，以及特殊与一般的思想．20．（14分）考点：轨迹方程；圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题；压轴题；动点型；开放型；分类讨论．分析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A1、MA2M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M 轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，222当m=﹣1时，C1方程为x，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），+y=a2 F2（a，0），假设在C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a，的充要条件为，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF1NF2的值．解答：解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），当x≠±a时，由条件可得，222即mx﹣y（x≠±a），=ma又A1（﹣a，0），A2（a，0）的坐标满足mx 222﹣y=ma．当m＜﹣1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；222当m=﹣1时，曲线C的方程为x，C是圆心在原点的圆；+y=a当﹣1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；2（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C1方程为x+y 22 =a，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），F2（a，0），2对于给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a，的充要条件为由①得0＜|y0|≤a，由②得|y0|=，当0＜≤a，即，或时，2存在点N，使S=|m|a，当，即，或时，不存在满足条件的点N．当m∈[，0）∪（0，]时，由=（﹣a﹣x0，﹣y0），=（a﹣x0，﹣y0），2222可得=x0﹣（1+m）a=﹣ma+y0．令=r1，||=r2，∠F1NF2=θ，2则由=r1r2cosθ=﹣ma，可得r1r2=，2从而s=r1r2sinθ==﹣，于是由S=|m|a，2可得﹣=|m|a，即tanθ=，2综上可得：当m∈[，0）时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a，且tanθ=2；2S=|m|a，且tanθ=﹣2；当m∈（0，]时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积当时，不存在满足条件的点N．合和数点评：此题是个难题．考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整形结合的思想．其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．题：计算题；证明题；综合题；压轴题．专值，最终求性和极分析：（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，分析该零点两侧导函数的符号，确定函数的单调得函数的最值；（Ⅱ）（1）要证⋯≤1，只需证ln≤0，根据（I）和∵a k，b k（k=1，2⋯，n）均为正数，从而有lna k≤a k﹣1，即可证明结论；（2）要证≤⋯，根据（1），令a k=222（k=1，2⋯，n），再利用分数指数幂的运算法则即可证得结论；要证⋯≤b1+⋯+b n，记 +b2222．令a k=（k=1，2⋯，n），同理可证．s=b1+b2+⋯+b n解答：解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），令f′（x）=﹣1=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；故函数f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0；（II）（1）由（I）知，当x∈（0，+∞）时，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x﹣1，∵a k，b k（k=1，2⋯，n）均为正数，从而有lna k≤a k﹣1，得b k lna k≤a k b k﹣b k（k=1，2⋯，n），求和得≤a1b1+a2b2+⋯+a n b n﹣（b1+b2+⋯+b n）∵a1b1+a2b2+⋯a n b n≤b1+b2+⋯b n，****---- ∴≤0，即ln≤0，∴⋯≤1；（2）先证≤⋯，令a k=（k=1，2⋯，n），则a1b1+a2b2+⋯+a n b n=1=b1+b2+⋯b n，b1+b2+⋯bn于是由（1）得≤1，即≤n=n，∴≤⋯，222②再证⋯≤b1+b2+⋯+b n，222记s=b1．令a k=（k=1，2⋯，n），+b2+⋯+b n222则a1b1+a2b2+⋯+a n b n=（b1）=1=b1+b2+⋯b n，+b2+⋯+b n于是由（1）得≤1，b1+b2+⋯bn即⋯≤s=s，222∴⋯≤b1+b2+⋯+b n，综合①②，（2）得证．点评：此题是个难题．本题主要考查函数、导数、不等式证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想．。

#[湖北]2011年全国高考理科数学试题及答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷三大题21小题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

在用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫⎪-⎝⎭=A ．- iB ．-1C ．iD ．12．已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =A ．1[,)2+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．1(,0][,)2-∞+∞3．已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 4．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥35．已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ．0．6B ．0．4C ．0．3D ．0．26．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a-+=-+（a ＞0,且0a ≠）．若()2g a =，则()2f =A ．2B ．154C ．174D ．2a7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北

高等学校招生全国统一考试（湖北卷）（四）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫⎪-⎝⎭=A ．- iB ．-1C ．iD ．12．已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =A ．1[,)2+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．1(,0][,)2-∞+∞3．已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 4．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥35．已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ．0．6 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．26．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a-+=-+（a ＞0,且0a ≠）．若()2g a =，则()2f =A ．2B ．154C ．174D ．2a7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为A ．0．960B ．0．864C ．0．720D ．0．5768．已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，3]C ．[-3，2]D ．[-3，3]9．若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要的条件10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。

2011年湖北省高考数学试卷(理科)及答案

2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i为虚数单位，则（）2011=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．12．（5分）已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁U P=（）A．[，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）3．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（）A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z} B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z} 4．（5分）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥35．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.26．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1）．若g（a）=a，则f（a）=（）A．2 B．C．D．a27．（5分）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5768．（5分）已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，3]C．[﹣3，2]D．[﹣3，3]9．（5分）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为．（结果用数值表示）12．（5分）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为．（结果用最简分数表示）13．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．14．（5分）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y 轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为；（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是．15．（5分）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．17．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．18．（12分）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n ∈N*，r∈R，r≠﹣1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈（Ⅱ）若存在k∈N*，使得S k+1N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．20．（14分）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明：（1）若a1b1+a2b2+...a n b n≤b1+b2+...b n，则 (1)（2）若b1+b2+…b n=1，则≤…≤b12+b22+…+b n2．2011年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•湖北）i为虚数单位，则（）2011=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1【分析】由复数的运算公式，我们易得=i，再根据i n的周期性，我们易得到（）2011的结果．【解答】解：∵=i∴（）2011=i2011=i3=﹣i故选A2．（5分）（2011•湖北）已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁U P=（）A．[，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）【分析】先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到C U P=[，+∞）．故选A．3．（5分）（2011•湖北）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（）A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z} B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}【分析】利用两角差的正弦函数化简函数f（x）=sinx﹣cosx为一个角的一个三角函数的形式，根据f（x）≥1，求出x的范围即可．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），因为f（x）≥1，所以2sin（x﹣）≥1，所以，所以f（x）≥1，则x的取值范围为：{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}故选：B4．（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥3【分析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有2个．【解答】解：y2=2px（P＞0）的焦点F（，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，故选C5．（5分）（2011•湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故选C．6．（5分）（2011•湖北）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f （x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1）．若g（a）=a，则f（a）=（）A．2 B．C．D．a2【分析】由已知中定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠0），我们根据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g （x）的另一个方程﹣f（x）+g（x）=a﹣x﹣a x+2，并由此求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（a）=a求出a值后，即可得到f（a）的值．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数由f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2 ①得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣x﹣a x+2=﹣f（x）+g（x）②①②联立解得f（x）=a x﹣a﹣x，g（x）=2由已知g（a）=a∴a=2∴f（a）=f（2）=22﹣2﹣2=故选：B7．（5分）（2011•湖北）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576【分析】首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）=0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）=1﹣0.2×0.2=0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864；故选B．8．（5分）（2011•湖北）已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，3]C．[﹣3，2]D．[﹣3，3]【分析】根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的=（x+z，3），=（2，y﹣z），⊥，构造出一个关于x，y，z的方程，即关于Z的目标函数，画了约束条件|x|+|y|≤1对应的平面区域，并求出各个角点的坐标，代入即可求出目标函数的最值，进而给出z的取值范围．【解答】解：∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，即z=2x+3y∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，当x=0，y=﹣1时，z取最小值﹣3，故z的取值范围为[﹣3，3]故选D9．（5分）（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】我们先判断φ（a，b）=0⇒a与b互补是否成立，再判断a与b互补⇒φ（a，b）=0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论．【解答】解：若φ（a，b）=﹣a﹣b=0，则=（a+b），两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|﹣b=0，故b≥0，即a与b互补；若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0，若a=0，b≥0，此时﹣a﹣b=﹣b=0，同理若b=0，a≥0，此时﹣a﹣b=﹣a=0，即φ（a，b）=0，故φ（a，b）=0是a与b互补的充要条件．故选C．10．（5分）（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克【分析】由t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出M'（t）=M0×，再由M'（30）=M0×=﹣10ln2，求出M0，然后能求出M（60）的值．【解答】解：M'（t）=M0×，M'（30）=M0×=﹣10ln2，∴M0=600．∴．故选D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011•湖北）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为17．（结果用数值表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为15，求出展开式中含x15的项的系数．【解答】解：二项展开式的通项为令得r=2所以展开式中含x15的项的系数为故答案为1712．（5分）（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为．（结果用最简分数表示）【分析】本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C302种结果，满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C272种结果，计算可得其概率；根据对立事件的概率得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C302=435种结果，满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C272=351种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到P=1﹣==，故答案为：13．（5分）（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．【解答】解：由题设知，解得，∴=．故答案为：．14．（5分）（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）；（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是（x﹣1）2+y2=1．【分析】（I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°，写出坐标．（II）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程．【解答】解：（I）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）（II）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y0），A在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x=x0，y=y0，∵，∴∴（x﹣1）2+y2=1，故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．15．（5分）（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有43种，（结果用数值表示）【分析】根据所给的涂色的方案，观测相互之间的方法数，得到规律，根据这个规律写出当n取不同值时的结果数；利用给小正方形涂色的所有法数减去黑色正方形互不相邻的着色方案，得到结果．【解答】解：由题意知当n=1时，有2种，当n=2时，有3种，当n=3时，有2+3=5种，当n=4时，有3+5=8种，当n=5时，有5+8=13种，当n=6时，有8+13=21种，当n=6时，黑色和白色的小正方形共有26种涂法，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64﹣21=43种结果，故答案为：21；43三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c 得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．17．（12分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．18．（12分）（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E 是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．【分析】（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，根据面面垂直的性质可知NF为EF在侧面A1C内的射影，根据，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂线定理可得结论；（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME根据三垂线定理得EM⊥AF，则∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ，在直角三角形CNE中，求出NE，在直角三角形AMN中，求出MN，故tanθ=，根据α的范围可求出最小值．【解答】解：（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C∴EN⊥侧面A1CNF为EF在侧面A1C内的射影则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C由三垂线定理可知EF⊥A1C（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME由（I）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ设∠FAC=α则0°＜α≤45°，在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时F与C1重合．19．（13分）（2011•湖北）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈（Ⅱ）若存在k∈N*，使得S k+1N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．=rS n，我们可以得到以a n+2=rS n+1，两式相减后结合数列【分析】（I）由已知中a n+1前n项和定义，我们可以判断出数列{a n}中从第二项开始，后一项与前一项之间的关系，因为式子中含有参数r，故我们可以对r进行分类讨论，即可得到答案．（II）根据（I）的结论，我们同样要对r进行分类讨论，结合等差数列的判定方，a m，a m+2是否成等差数列，即判断a m+1+a m+2=2a m是否成立，法，即要判断a m+1论证后即可得到答案．=rS n，则a n+2=rS n+1，两式相减得【解答】解：（I）由已知a n+1a n+2﹣a n+1=r（S n+1﹣S n）=ra n+1=（r+1）a n+1即a n+2又a2=ra1=ra∴当r=0时，数列{a n}为：a，0，0，…；当r≠0时，由r≠﹣1，a≠0，∴a n≠0由a n=（r+1）a n+1得数列{a n}从第二项开始为等比数列+2∴当n≥2时，a n=r（r+1）n﹣2a综上数列{a n}的通项公式为（II）对于任意的m∈N*，且m≥2，a m，a m，a m+2成等差数列，理由如下：+1当r=0时，由（I）知，，a m，a m+2成等差数列；∴对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1当r≠0，r≠﹣1时=S k+a k+1+a k+2，S k+1=S k+a k+1∵S k+2，S k，S k+2成等差数列，则2S k=S k+1+S k+2若存在k∈N*，使得S k+1∴2S k=2S k+a k+2+2a k+1，即a k+2=﹣2a k+1由（I）知，a2，a3，…，a n，…的公比r+1=﹣2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，a m=﹣2a m，从而a m+2=4a m，+1∴a m+a m+2=2a m，即a m+1，a m，a m+2成等差数列+1综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，a m，a m，a m+2成等差数列．+120．（14分）（2011•湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A1、MA2M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C1方程为x2+y2=a2，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），F2（a，0），假设在C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a2，的充要条件为，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tan∠F1NF2的值．【解答】解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），当x≠±a时，由条件可得，即mx2﹣y2=ma2（x≠±a），又A1（﹣a，0），A2（a，0）的坐标满足mx2﹣y2=ma2．当m＜﹣1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当m=﹣1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；当﹣1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C1方程为x2+y2=a2，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），F2（a，0），对于给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a2，的充要条件为由①得0＜|y0|≤a，由②得|y0|=，当0＜≤a，即，或时，存在点N，使S=|m|a2，当，即，或时，不存在满足条件的点N．当m∈[，0）∪（0，]时，由=（﹣a﹣x0，﹣y0），=（a﹣x0，﹣y0），可得=x02﹣（1+m）a2+y02=﹣ma2．令=r1，||=r2，∠F1NF2=θ，则由=r1r2cosθ=﹣ma2，可得r1r2=，从而s=r1r2sinθ==﹣，于是由S=|m|a2，可得﹣=|m|a2，即tanθ=，综上可得：当m∈[，0）时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2，且tanθ=2；当m∈（0，]时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2，且tanθ=﹣2；当时，不存在满足条件的点N．21．（14分）（2011•湖北）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明：（1）若a1b1+a2b2+...a n b n≤b1+b2+...b n，则 (1)（2）若b1+b2+…b n=1，则≤…≤b12+b22+…+b n2．【分析】（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，分析该零点两侧导函数的符号，确定函数的单调性和极值，最终求得函数的最值；（Ⅱ）（1）要证…≤1，只需证ln≤0，根据（I）和∵a k，b k（k=1，2…，n）均为正数，从而有lna k≤a k﹣1，即可证明结论；（2）要证≤…，根据（1），令a k=（k=1，2…，n），再利用分数指数幂的运算法则即可证得结论；要证…≤b12+b22+…+b n2，记s=b12+b22+…+b n2．令a k=（k=1，2…，n），同理可证．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），令f′（x）=﹣1=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；故函数f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0；（II）（1）由（I）知，当x∈（0，+∞）时，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x﹣1，∵a k，b k（k=1，2…，n）均为正数，从而有lna k≤a k﹣1，得b k lna k≤a k b k﹣b k（k=1，2…，n），求和得≤a1b1+a2b2+…+a n b n﹣（b1+b2+…+b n）∵a1b1+a2b2+…a n b n≤b1+b2+…b n，∴≤0，即ln≤0，∴ (1)（2）先证≤…，令a k=（k=1，2…，n），则a1b1+a2b2+…+a n b n≥1=b1+b2+…b n，于是由（1）得≤1，即≤n b1+b2+…bn=n，∴≤…，②再证…≤b12+b22+…+b n2，记s=b12+b22+…+b n2．令a k=（k=1，2…，n），则a1b1+a2b2+…+a n b n=（b12+b22+…+b n2）=1=b1+b2+…b n，于是由（1）得≤1，即…≤s b1+b2+…bn=s，∴…≤b12+b22+…+b n2，综合①②，（2）得证．。

2011年湖北高考理科数学试题及答案-

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð (A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B) 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 (A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D)4.将两个顶点在抛物线22y px =()0p >上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则(A)0n = (B) 1n = (C) 2n = (D) 3n ≥ 5.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6 6.已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若()2g a =，则()2f = (A)2a (B) 2 (C)154 (D) 1747.如图，用K 、12A A 、三类不同的原件连接成一个系统，当K 正常工作且12A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、12A A 、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.5768.已知向量()(),3,2,a x z b y z a b =+=-⊥，且，若x ，y 满足不等式1x y +≤，则z的取值范围为：(A) []3,3- (B)[]3,2- (C)[]2,2- (D) []2,3- 9.若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。

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