2017年高考仿真卷理科数学试卷(含答案)

2017年高考仿真卷理科数学试卷（含答案）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合{}(,)|0A x y y ==，{}22(,)|1B x y x y =+=，C A B = ，则C 的子集的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为（ ）A ．．1 D ．03．设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（ ）A.若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥B.若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβC.若,//,m n m n αβ⊥⊥，则//αβD.若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ4．在等比数列{}n a 中，119a =，前五项的积为1，则4a =（ ） A ．3± B ．3C ．13±D ．135．定义运算,,,,x x y x y y x y ≤⎧=⎨>⎩ 则“|1|1a a a -=- ”是“不等式2210ax x +->有解” 的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6．若函数1()()cos 21x f x a x e =--是奇函数，2()(1)()1x x f x e g x e -=+，则24()g x dx ππ⎰=（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．12- 7．已知函数141(),1,2()log ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若()()g x f x =，则{}|(2)1x g x ->=( )A ．{}|0x x <B ．{}|04x x x <>或C ．{|2x x <或6}x >D ．{}|2x x <8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（ ）A．2 C.3 D．9．已知函数()2017ln 2017f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）10．若数列{}n a 满足11(21)(23)(21)(23)lg(1)n n n a n a n n n++-+=+++，且13a =，则100a =（ ）A ．402B ．603C ．201201lg99+D ．402201lg99+11．已知三棱锥A BCD -,ABC BCD ∆∆都是边长为1的等边三角形, 若1AD ≠,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．32π B ．2π C.32π 或2π D12．已知A B C 、、是直线l 上的三点，向量OA ,OB ,OC 满足：[]()2'(1)ln(1)0OA f x f OB x OC -+++= ,设()(1)h x f x ex =--，则方程ln 3()2x h x x =+的根的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3第Ⅱ卷（本卷均为必做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,2452a a +=,103a =-，则{}n S 的最大值为 .14．已知实数,x y 满足2102,22110x y x z x y x y -+≥⎧⎪≤=--⎨⎪+->⎩的最小值为m,最大值为n,则y n x m --的取值范围为______________.15．已知向量a e ≠ ，||1e = ，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥- ，则a 在e 方向上的投影为____________.16．已知A B C ∆中，c o s c o s s i n A B C ab c +=,则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象经过三点511(0,1),(,0),(,0)1212ππ，且在区间5111212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有唯一的最值，且为最小值． （1）求出函数()()sin f x A x ωϕ=+的解析式；（2）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（3）若1()2f α=-且)32,125(ππα∈，求α2cos ；18．（本小题满分12分）已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2n+2对n∈N *成立．（1）证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）设函数2()log (2)f x x =+，12()()()n n b f a f a f a =+++ ，是否存在正整数m ，使113ni i m b =≥∑对*n N ∀∈都成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分） 已知向量cos ,12x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,cos 22x x n ⎫=⎪⎭ ，函数()1f x m n =⋅+ （1）已知锐角 ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若4A π=，方程()f B k =有解，求k 的取值范围.(2) ABC ∆中，若34A π=，sin B =ABC ∆的面积为2，求BC 边上的中线AD 的长.20．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDS 中，面A B C D 为矩形，S D A D ⊥,且平面SAD ⊥平面ABCD,AD a =(0)a >，2AB AD =,点E 在棱CD 上,满足CD=4DE .ABC（1）求证：AE ⊥平面SBD ；（2）若二面角A SBD --SD .21. （本小题满分12分）已知函数()f x x =．(1)讨论()f x 在(0,)+∞的单调性；（2）设*2()k n n N =∈时，()f x 在(0,)+∞的最小值为n a ，求{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设2142n n b a n =++，{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.22．（本小题满分12分） 已知函数21()ln (1)2f x x x b x =+-- （1）若函数()f x 为单调函数，求实数b 的取值范围；（2）当72b ≥时，设()f x 的两个极值点()1212,,x x x x <恰为()2ln h x x mx nx =--的零点，求()1212'2x x y x x h +⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小值.正确教育原创标准卷 第五卷 理科数学试卷参考答案一、选择题1.【答案】C【解析】因为A 是由抛物线2y x =上位于x 轴上及x 轴上方的点组成的集合，B 是由以原点为圆心，1为半径的圆组成的集合，所以C 中元素的个数是1，从而C 的子集个数为2，故选C.考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集. 2.【答案】D【解析】()11122z i i z i -=+⇒==+-，所以22z =-的实部与虚部之和为0.考点：共轭复数，实部，虚部的概念，复数的运算. 3 .【答案】D【解析】两个平面的垂线平行，则这两个平面平行，故选D. 考点：空间点线面位置关系. 4．【答案】A 【解析】因为119a =，前五项的积为()()51524331a a a a a a ⋅⋅⋅⋅==，∴31a =，29,3q q ==±， 433a a q ==±，故选A.考点：等比数列的性质． 5.【答案】A【解析】因为,,,,x x y x y y x y ≤⎧=⎨>⎩ ，且|1|1a a a -=- ，所以|1|a a -≤，1,a a a -≤-≤，即12a ≥; 若不等式2210ax x +->有解，则当0a >时，显然有解，当0a =时，2210ax x +->有解， 当0a <时，∵2210ax x +->有解， ∴440a ∆=+>，∴10a -<<， ∴不等式2210ax x +->有解时1a >-， “12a ≥”是“1a >-”的充分不必要条件. 考点：1.新定义问题；2.绝对值不等式的解法.3.二次不等式有解问题. 6．【答案】C【解析】因为1()(21x f x a x e =--是奇函数， 所以()11xh x a e =--是奇函数，由()()110h h +-=得12a =-，经检验12a =-时有()()0h x h x +-=，所以()11x h x a e =--是奇函数，函数1()()cos 21x f x a x e =--是奇函数，常数a等于12-， 此时2()(1)()cos 21x x f x e g x x e -==-+，∴2244112()cos 2sin 2224g x dx xdx x ππππππ=-=-=⎰⎰ 考点：函数的奇偶性，积分计算. 7．【答案】C【解析】41(),1()2log ,1xx g x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，由()g x 的图象可知(2)1g x ->的解集为{|2x x <或6}x >考点：图象变换,数形结合解不等式. 8．【答案】C【解析】几何体是一个三棱锥与一个三棱柱的组合体，三棱锥的高为1，底为等腰三角形，底长为21，底为等腰三角形，底长为2，所以最大面的面积为3. 考点：三视图 9．【答案】A【解析】因为0x <时()()2017ln 2017f x x x =--，()f x 在(,0)-∞上递增，0x >时，()2017ln(2017)f x x x =-，1'()2017f x x =-，可得()f x 在1(0,)2017上递减，在1(,)2017+∞上递增，所以只有选项A 合题意，故选A ． 考点：1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性． 10．【答案】B 【解析】由11(21)(23)(21)(23)lg(1)n n n a n a n n n++-+=+++，得11lg 2321n n a a n n n n++-=++ ()lg 1lg n n =+-，故10099999821lg100lg99lg 2lg120119919919753a a a a a a-+-++-=-+- ，即10012201a -=，故100603a =，故选B.考点：数列递推式. 11.【答案】B【解析】取BC 中点M ，则有,AM BC DM BC BC AMD ⊥⊥⇒⊥面,所以三棱锥A BCD -的体积是13AMDBC S ∆⨯⨯=，又1s i n 2A M D S A M M D A M D ∆=⋅⋅∠,其中A M M D ==可得1sin 33AMD AMD ∠=∠=±，由余弦定理得，AD =1（舍去）. 从而,A B B DA C C D ⊥⊥,所以三棱锥的外接球直径为AD ，外接球的表面积为24(22S ππ=⨯=. 选B.考点：三棱锥的体积计算及三棱锥的外接球问题. 12．【答案】A【解析】由向量共线的充要条件及[]()2'(1)ln(1)0OA f x f OB x OC -+++=可得'()2(1)l n (1)1f x f x +-+=,即/()12(1)ln(1)f x f x =-++,则'1()1f x x=+,则21)1(/=f ,所以1()12ln(1)ln(1)2f x x x =-⨯++=+，()ln h x x ex =-，'e 1()x h x x -+=．令'()0h x =，得1ex =． 令'()0h x >,得1(0,e x ∈，所以函数()h x 在1(0,)e 单调递增．令'()0h x <,得1(,)e x ∈+∞，所以函数()h x 在1(,)e +∞单调递减．所以，max 111()(e ln 2e e eh x g ==-⋅+=-．设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='． 令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增， 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减； 所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<， 即2)(<x g ． 所以|()|()h x g x > ，即|()|h x >ln 32x x +． 所以，方程|()|h x =ln 32x x +没有实数解． 考点：向量的几何运算和求导法则的综合运用，应用导数判断函数的单调性,求最值.二、填空题13．【答案】64【解析】由题意得，设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则1152(3)a d a d ++=+且193a d +=-，解得115,2a d ==-，∴890,0a a ><，n=8时，n S 取得最大值为64.考点：等差数列的通项公式及前N 项和的最值问题． 14．【答案】7[13,4--【解析】可行域为一个三角形ABC 内部及边界，其中312(2,),(2,1),(,)233A B C -；直线221x y t --=过点C 取最小值53-，过点B 取最大值5，所以55|t |[0,5]3t z -≤≤⇒=∈，即：m=0,n=5,y nx m--表示可行域中的点与点（0,5）的连线的斜率，由图形分析可知7[13,]4y n x m -∈---. 考点：线性规划 15.【答案】1【解析】若向量a e ≠ ，||1e = ，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则()()2222||||a te a e a tea e-≥-⇔-≥- ，所以22210t a et a e -⋅+⋅-≥，()()224210,a e a e ∆=⋅-⋅-≤ ()210a e ∴⋅-≤ ，1a e ⋅= ，又||1e = ，由向量数量积的几何意义知，a 在e方向上的投影为1.考点：平面向量的数量积的几何意义，模长问题，二次不等式恒成立问题． 16．【答案】【解析】∵cos cos sin A B Ca b c+= ∴cos cos sin sin sin sin A B C A B C +=，即：sin cos sin cos sin sin sin sin B A A B C A B C+= ∵sin 0C ≠∴sin sin sin A B C =,即：2sin ab C c =由余弦定理得C ab c b a cos 2222=-+.故22222cos2sin2(sin cos))4AC BC AB a b c ab C ab CBC AC AC BC ab abC CCπ+++++==⋅=+=+而14sin(≤+πC,则222≤⋅++ACBCABACBCBCAC,故应填答案考点：正弦定理，余弦定理的综合运用．三、解答题17．【答案】（1）()2sin(2)6f x xπ=+；（2）1y=+（3）．【解析】（1）由题意可得函数的周期11521212Tπππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=，又由题意当512xπ=时，0y=，∴5sin2012Aπϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，结合02πϕ<<可解得6πϕ=，再由题意当0x=时，2y=，∴sin16Aπ=，∴2A=.∴()2sin(2)6f x xπ=+．（2）∵'()4cos(2)6f x xπ=+，∴'(0)f=(0)1f=，∴所求切线方程为1y=+.（3）()2sin(2)6f x xπ=+，∵1()2fα=-，∴1sin(2)64πα+=-，∵)32,125(ππα∈，∴32(,)62ππαπ+∈，∴cos(2)6πα+=∴111cos2cos(2)6642428ππαα=+-=--⨯=-.考点：三角函数的图象，导数的几何意义，三角恒等变换.18．【答案】（1）证明见解析，22n n a =-；（2）存在，3,2,1. 【解析】（1）证明：由题，当n ＝1时，a 1＝S 1，故a 1＝0，当n≥2时，由a n ＝S n －S n-1，化简得a n ＝2a n-1＋2,即a n ＋2＝2（a n-1＋2），且a 1＋2＝2, 故数列{a n ＋2}是等比数列，公比为2，首项为2，∴a n ＝2n－2． （2）∵2()log (2)f x x =+ ∴21222212log (2)log (2)log (2)log [(2)(2)(2)]n n n b a a a a a a =++++++=+++122(1+)log 2122n n n n +++==+++=∴12112((1)1n b n n n n ==-++ ∴11211111111122[(1)((22311ni i n nb b b b n n n ==+++=-+-++-=++∑ 由113ni im b =≥∑得66(1)666111n n m n n n +-≤==-+++（*） ∵（*）对*n N ∀∈都成立 ∴66311m ≤-=+ ∵m 是正整数，∴m 的值为1,2,3. ∴使113ni imb =≥∑对*n N ∀∈都成立的正整数m 存在，其值为：1,2,3. 考点：利用n S 与n a 关系证明等比数列，裂项相消法求和，数列求最值问题. 19．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1． 【解析】（Ⅰ）()12cos 2cos 2sin 32+-=x x x x f21cos 21sin 2312cos 1sin 23+-=++-=x x x x 216sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx(,42B ππ∈ 1263B πππ∴<-<,()f B ∈，即k的取值范围为21(,)42.（Ⅱ）ABC ∆中 1010sin =B ，π43=A 22cos ,22sin ,10103cos -===∴A A B()55202021010221010322sin sin ==⨯-⨯=+=B A Csin sin 2b B c C ∴===． 1sin 22ABC S bc A ∆==，∴2,b c ==AD 为BC 边上的中线，2AD AB AC ∴=+22242AD AB AB AC AC =+⋅+即22244AD b c =+= ，从而AD=1考点：1、二倍角公式，降幂公式；2、两角和与差的正弦公式；3、求向量模长. 20．【答案】(1)见解析；(2) SD =.【解析】（1）∵平面SAD ⊥平面ABCD=AD, SD AD ⊥∴SD ⊥平面ABCD 又AE ⊂平面ABCD ，从而 SD AE ⊥ 又14DE CD =∴12AD DE AB AD ==∴ADE ∆∽BAD ∆,从而AED ADB ∠=∠, 又090AED DAE ∠+∠=∴090ADB DAE ∠+∠=，即：AE BD ⊥ 又SD BD D = ∴AE ⊥平面SBD.（2）由（1）知，SD ⊥平面ABCD ，又AD CD ⊥,以D 为坐标原点，分别以,,DS DA DC的方向为正方向建立空间直角坐标系，设0(,0,0)S x ，则0(,0,0)DS x =，(0,,2)DB a a = 设面SBD 的一个法向量为(,,)n x y z =6n DS n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩-2,1)00(0,20x x n ay az =⎧⇔⇒=⎨+=⎩， 又∵(0,0,2)AB a = ，0(,,0)SA x a =-∴设面SAB 的一个法向量为(,,)m x y z =00200(,,0)00az m AB m a x x x ay m SA ⎧=⋅=⎧⎪⇔⇒=⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ ，∵cos ,m n m n m n ⋅<>==⋅0x =，故SD = 考点：面面垂直的性质应用，线面垂直的证明及应用空间向量求二面角的方法. 21. 【答案】（1）当1k ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；1k >时，()f x 在) 单调递减，在)单调递增；（2）n a =3）见解析.【解析】（1）由f (x)=x ，得()f x '1-当0k ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞单调递减；当0k >时，若01k <≤，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 若1k >，令()f x ' =0，得当x ∈)．时，()f x ' <0．当x ∈,+∞)时，()f x ' >0．从而()f x 在单调递减，在,+∞)单调递增.综上所述，当1k ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；1k >时，()f x 在) 单调递减，在)单调递增.（2）由（1）知，f (x )在(0，+∞)上有极小值f (1412-n ) =142-n ．∴数列{}n a的通项公式n a =（3）()()2222111111114244144414121n n b a n n n n n n n n n n ⎛⎫===<==- ⎪+++++++⎝⎭+， ∴1111111111142231414n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 考点：利用导数判断函数的单调性，放缩法证明不带式. 22．【答案】（1）(,3]-∞；（2）62ln 25-+． 【解析】（1）∵21()ln (1)2f x x x b x =+--，∴1'()(1)f x x b x=+--， ∵12x x+≥,∴'()0f x ≥在(0,)+∞恒成立，即：12,3b b -≤≤ ∴实数b 的取值范围为(,3]-∞.（2）∵21(1)1'()(1)x b x f x x b x x--+=+--=∴12,x x 是方程2(1)10x b x --+=的两根.因为72b ≥,所以21212(1)40,1,1b x x b x x ∆=-->+=-=, 又因为12,x x 为()2ln h x x mx nx =--的零点，所以22111222ln 0,ln 0x mx nx x mx nx --=--=,两式相减得()()()11212122ln 0xm x x x x n x x x --+--=,得()121212lnx x n m x x x x =-+-,而()1'2h x mx n x=--, 所以()()1212122y x x m x x n x x ⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()()121212121212ln 2x x x x m x x m x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+-+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()11212111222212ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=-++令()12101,2ln 1x t t t y tx t -=<<=-+,由()2212(1)x x b +=-得22212122(1)x x x x b ++=-因为121x x =,两边同时除以12x x +，得212(1)t b t ++=-，因为72b ≥，故1174t t +≥，解得104t <≤，设()12l n 1t G x t t -=-+ ，所以()()()21'201t G t t t --=<+ ，则()y G t =在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，所以()min 162ln 245G t G ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，即()1212'2x x y x x h +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值为62ln 25-+. 考点：利用导数由函数单调性求参数的取值范围，利用导数求函数最值典题透析：数学（理）22题原题：22. 已知函数21()ln (1)2f x x x b x =+-- （1）若函数()f x 为单调函数，求实数b 的取值范围； （2）当72b ≥时，设()f x 的两个极值点()1212,,x x x x <恰为()2ln h x x mx nx =--的零点，求()1212'2x x y x x h +⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小值.【透析】 本题从函数导数的角度考察了函数单调性和极值问题。