2018年秋九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.3 相似三角形 23.3.2 相似三角形的判定(2)练习课件 (新版
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[推荐学习]2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.1相似三角形同步23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念 1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________．2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1＝∠B＝50°，∠C＝70°，则∠2＝________°，AD（）＝（）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.图23－3－38．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD 的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC 中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．图23－3－712．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A2B2C2的相似比为________．13．已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别为1和 3.若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH 的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG于点Q，则QI ＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 322. B3．解：∵Rt △ADC ∽Rt △DBC ，∴AC DC ＝DC BC ，即3DC ＝DC 4， ∴DC 2＝12，则DC ＝2 3，∴△ADC 与△DBC 的相似比为32 3＝32.4．D ． 5．B6．70 AC ED 7．解：(1)AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)AO A ′O ＝BO B ′O ＝AB A ′B ′.(3)AD AB ＝AE AC ＝DE BC.8．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°.(2)∵△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD.又∵AC＝4，BC＝6，∴CD＝4×46＝83.9．C [解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴△ADE∽△EFC，共3对．故选C.10．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．11．解：(1)∵AD＝4，DB＝8，∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，∴ADAB＝412＝13.(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB.∵DE＝3，∴3BC＝13，∴BC＝9.12 2∶5[解析] ∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5.设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，∴AB∶A2B2＝2∶5，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.13． 214．2∶515．∵AB∥GH∥DC，∴△CGH∽△CAB，△BGH∽△BDC，∴GHAB＝CHCB，GHDC＝BHBC，∴GH AB ＋GH DC ＝CH CB ＋BH BC＝1. ∵AB ＝2，DC ＝3，∴GH 2＋GH 3＝1，∴GH ＝65. 16． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论．设另外两条边的长分别为x ，y (x <y )． 根据题意，得5x ＝6y ＝73或5x ＝63＝7y 或53＝6x ＝7y， 所以x ＝157，y ＝187或x ＝52，y ＝72或x ＝185，y ＝215. 故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。
华师大版九上 第23章 图形的相似 23.3.4 相似三角形的应用(33张PPT)
课后作业（思维拓展）
解：设AE＝x， 则BF＝20－10.2－x. ∵ME∥BD， ∴△AME∽△DAB.
∵NF∥AC，∴△BNF∽△BCA.
故路灯的高度约为6.8m．
课后作业（思维拓展）
14．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面 积为1.5 m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正 方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方 案如图1，乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方 案较好？试说明理由．(加工损耗忽略不计，计算结果 中可保留分数)
【思路分析】根据题意得出
，进而得出
△ABO∽△CDO，再利用三角形的性质即可求出答案．
典例精析
【答案】15 【方法归纳】在具体测量操作过程中，一定要构建出能
使两三角形相似的必要条件后才能运用相似三角形的性 质求解
典例精析
知识点3 借助标杆、直尺或平面镜测量物体的高度 【例3】 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB
第23章 图形的相似
新知预习
1．利用影长测量物体的高度通常利用相似三角形的性质， 即相似三角形的对应边的比_ 相等 ___或在同一时刻物
_ 高___与_ 影长___的比相等原理解决． 2．利用相似测量河(塘)的宽度或距离时，测量不能直接
到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图， 三点应_ 在一条直线上___． 3．借助标杆或直尺测量物体的高度，用相似三角形对应 边的比_ 相等___的性质求物体的高度.
他先测得留在墙上的影高 (CD)为1.2m，又测得地面部 分的影长(BC)为2.7m，他测 得的树高应为多少米？
课后作业（能力提升）
解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m，树高为 h m，
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 【教案】相似三角形
相似三角形【知识与技能】1.知道相似三角形的概念；2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长；4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似.【过程与方法】在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.【情感态度】培养学生严谨的数学思维习惯.【教学重点】掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.【教学难点】熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数.一、情境导入，初步认识复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？二、思考探究，获取新知 1.相似三角形的有关概念：由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似.三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？ 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A=A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，C A AC C B BC B A AB ''=''=''，那么△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”.由于∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，所以A 与A ′是对应顶点，B 与B ′是对应顶点，C 与C ′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记C A ACC B BC B A AB ''=''=''=k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC ∽△A ′B ′C ′，它的相似比为k ，即指B A AB''=k ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比应是B A AB''，就不是k 了，应为多少呢？同学们想一想. 如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比k=1，你会发现什么呢？C A ACC B BC B A AB ''=''=''=1，所以可得AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,AC=A ′C ′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？2.△ABC 中，D 是AB 上任意一点，过D 作DE ∥BC,交AC 边于E ，那么△ADE 与△ABC 是否相似？【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得BC DE AC AE =，通过度量发现ABADBC DE =，所以可以判断出△ADE 与△ABC 相似.思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？（2）若是DE ∥BC,DE 与BA 、CA 延长线交于E 、D ，那么△ADE 与△ABC 还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.例1 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长.解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、运用新知，深化理解1.如图所示，DE∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长.2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E 是边AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，BE 的延长线交CD 的延长线于点G.（1）求证：BCAEGB GE =; （2）若GE=2,BF=3，求线段EF 的长.【答案】1.（1）DE ∶BC=2∶5 （2）AE=6,BC=235. 2.（1）证明：∵AD ∥BC ，∴△GED ∽△GBC ，∴BCEDGB GE =.又∵ED=AE, ∴BCAEGB GE =. （2）设EF 的长为x,则由（1）知BCAEGB GE =, 又∵GB GE BC AE =,∴BFEFGB GE =,即3322xx =++,解得x 1=-6（舍去）,x 2=1,∴EF=1.【教学说明】第2题教师适当，小组讨论后独立完成. 四、师生互动，课堂小结你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解.。
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 相似三角形
∴ ∴CE＝6AE，∴AE:AC＝1:7.
ACEE＝ACGB＝16，
【答案】D
11．△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，以AC为斜边作△ACD与△ABC相 似，则AD的长为________．
(1)若BD＝20，求BG的长；
DFCF＝32
解：(1)∵GF∥BC，
∵DFBCFD＝＝2320，，∴∴BDFGC＝F＝8. DBGG＝32.
(2)求CCMD的值．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DMG∽△BAG，
∴DAMB ＝DBGG，∴DAMB ＝32， ∴DCMD ＝32，∴CCMD ＝12.
2．如图，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为( )
C
A．28°
B．32°
C．42°
D．52°
3．【中考·兰州】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝( )
BC
B
B′C′
A．2
4 B.3
C．3
D.196
4．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，△ADB∽△ABC，AD＝4，CD＝8. (1)求AB的长；
HS版九年级上
第23章 图形的相似
23.3相似三角形 1.相似三角形
新知笔记 1 成比例；相等 2 见习题 3 相似
提示：点击 进入习题
1B 2C 3B 4 见习题 5A
答案显示
6A 78 8 见习题 9C 10 D
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
第23章 23.3 3.相似三角形的性质
A．9 C.12
B．10 D．13
8．某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使
得水池的一边在△ABC的边BC上，△ABC中，边BC＝60m，高AD＝30m.
则水池的边长应为( B )Βιβλιοθήκη A．10mB．20m
C.30m
D．40m
9．(青海中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝
13．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝ 40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形 EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG 的交点为M. (1)求证：AAMD ＝HBCG； (2)求这个矩形EFGH的周长． (1)证明：∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC.∵AM为△AHG的高，AD为△ ABC的高，∴AAMD ＝HBCG；
解：设△ABC的周长为x，则△ADE的周长为x－16.因为
AD AB
＝
AE AC
，∠EAD
＝∠CAB，所以△EAD∽△CAB，所以
x－16 x
＝
AD AB
＝
3 5
，解得x＝40，所以
△ABC和△ADE的周长分别是40和24.
7．如图，在△ABC中，EF∥BC，AEEB＝12，S梯形BCFE＝8，则S△ABC是( A )
5．(北京中考)如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点．若S△CMN ＝1，则S四边形ABNM＝ 3 .
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 12:46:07 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
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23.3.3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶5 C．25∶9 D.5∶ 32．［2017·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6，求B′D′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且ABDE＝12，所以BC（）＝AC（）＝________，则AB＋BC＋AC（）＋（）＋（）＝________，所以△ABC与△DEF的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE ∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________。
图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求AC和A′C′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B.2∶ 3 C．4∶9 D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1610．如图23－3－39，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1图23－3－3911. 如图23－3－40所示，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则ADAB＝________．图23－3－4012．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm ，△A ′B ′C ′的面积为64 cm 2，求：(1)A ′B ′边上的中线C ′D ′的长； (2)△A ′B ′C ′的周长； (3)△ABC 的面积． 13．［2017·永州］如图23－3－41，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝2，△ACD 的面积为1，则△BCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图23－3－4114．如图23－3－42，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25，则DE ∶EC 等于( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2图23－3－4215．如图23－3－43，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B .如果△ABD 的面积为15，那么△DAC 的面积为( )A ．15B ．10 C. 152 D ．5图23－3－4316．如图23－3－44所示，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，且AE ∶EC ＝2∶1，连结DC ，求S △ADE ∶S △BDC 的值．图23－3－4417．如图23－3－45，AD ，BE 分别是△ABC 的角平分线和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的角平分线和中线，已知∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD .求证：AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE .图23－3－4518．如图23－3－46，矩形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点P.若矩形EFGH 的周长为24，BC＝10，AP＝16，求S△BPC的值．图23－3－461．A 2．A 3．解：由题意知AB A ′B ′＝BD B ′D ′，∴102＝6B ′D ′，解得B ′D ′＝1.2.4．EF DF 12 DE EF DF 12 125．26．157．解：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以6072＝AB A ′B ′＝BCB ′C ′.又因为AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，所以56＝15A ′B ′＝BC24，所以A ′B ′＝18(cm)，BC ＝20(cm)，所以AC ＝60－15－20＝25(cm)，A ′C ′＝72－18－24＝30(cm)．8．C 9.A 10.B11. 22[解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵S △ADE ＝S 四边形BCED ， ∴S △ADE S △ABC ＝12， ∴AD AB＝12＝22. 12．解：(1)∵CD C ′D ′＝AB A ′B ′，∴4C ′D ′＝12， ∴C ′D ′＝8(cm)． (2)∵C △ABCC △A ′B ′C ′＝AB A ′B ′，∴12＝20C △A ′B ′C ′，∴C △A ′B ′C ′＝40(cm)．(3)∵S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB A ′B ′2，∴14＝S △ABC 64，∴S △ABC ＝16(cm)2.13．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝14. ∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3. 故选C.14．A [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴△DEF ∽△BAF .∵S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25，∴DE AB ＝25. ∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3. 故选A. 15．D16．因为AE ∶EC ＝2∶1，所以AE ∶AC ＝2∶3，CE ∶AC ＝1∶3. 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以S △ADE ∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝4∶9. 因为DE ∥BC ，所以BD AB ＝CE AC ＝13.设△ABC 中BA 边上的高为h ，则△BDC 中BD 边上的高也为h ， 所以S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ，所以S △BDC ∶S △ABC ＝BD ∶AB ＝1∶3， 所以S △ADE ∶S △BDC ＝49S △ABC ∶13S △ABC ＝4∶3.17．[证明：∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线，BE ，B ′E ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，AC ＝2AE ，A ′C ′＝2A ′E ′. 又∵AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD ，∴AB A ′B ′＝ADA ′D ′， ∴△BAD ∽△B ′A ′D ′， ∴∠ABC ＝∠A ′B ′C ′. 又∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝2AE 2A ′E ′＝AEA ′E ′， ∴△ABE ∽△A ′B ′E ′， ∴BE B ′E ′＝ABA ′B ′. 又∵AD A ′D ′＝AB A ′B ′，∴AD A ′D ′＝BEB ′E ′，∴AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE . 18．解：设PD ＝x ，则EF ＝x . ∵矩形EFGH 的周长为24， ∴EF ＋EH ＝12， ∴EH ＝12－x . 又∵EH ∥BC ， ∴△AEH ∽△ABC ， ∴EH BC ＝AP AD，即12－x 10＝1616＋x， 解得x 1＝4，x 2＝－8(不合题意，舍去)， ∴x ＝4，即PD ＝4，∴S △BPC ＝12BC ·PD ＝12×10×4＝20.。
徐闻县六中九年级数学上册 第23章 图形的相似23.3 相似三角形23.3.2 相似三角形的判定第2
第2课时 相似三角形的判定(2)1．掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．掌握相似三角形的判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似．3．能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似．重点相似三角形的判定定理2，3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2，3并能灵活应用．难点相似三角形的判定定理的推导及应用．一、情境引入 复习1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角对应相等的两个三角形相似．2．如图，在△ABC 中，点D ，E 是AB ，AC 上的三等分点(即AD ＝13AB ，AE ＝13AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量得什么后可以判断它们是否相似？【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学们说出是应用哪一种方法判断出的．二、探究新知同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE 与△ABC 有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD ＝13AB ，AE ＝13AC ，即是AD AB ＝13，AE AC ＝13，因此AD AB ＝AEAC .△ADE 的两条边AD ，AE 与△ABC 的两条边AB ，AC 对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验，观察教材图，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图中的两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为13，将点E 由点A 开始在AC上移动，可以发现当AE ＝13AC 时，△ADE 与△ABC 相似，此时AD AB ＝AE AC. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并有夹角相等，那么这两个三角形相似．你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？教师在此引导学生证明上述猜想，并在小组内交流，让学生归纳总结出判定定定理2. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似，你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，AB A′B′＝ACA′C′.教师再展示课件，由学生自主完成．例1 如图，在△ABC 中，点D ，E 是AB ，AC 上的点，AB ＝7.8，AD ＝3，AC ＝6，CE ＝2.1，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：解：∵AC＝AE ＋CE ， 而AC ＝6，CE ＝2.1， ∴AE ＝6－2.1＝3.9，∵AD AB ≠AEAC ，∴△ADE 与△ABC 不相似． 你同意小张同学的判断吗？请你说说理由． 解：小张同学的判断是错误的． ∵AD AC ＝36，AE AB ＝3.97.8＝12，∴AD AC ＝AE AB， 而∠A 是公共角，∠A ＝∠A，∴△ADE ∽△ACB.请同学们再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？看课本69页“做一做”．通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似．教师可根据上述结论，再展示例2，可由学生自主完成，教师点评．例 2 在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，A ′B ′＝18 cm ，B ′C ′＝24 cm ，A ′C ′＝30 cm ，试判定它们是否相似，并说明理由．解：∵AB A′B′＝AC A′C′＝BC B′C′＝13， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 三、练习巩固教师展示课件，引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评． 1．如图，△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．第1题图第2题图2．如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的大小．【答案】1.解：△ADE 与△ABC 相似． 理由：∵AD AB ＝22＋4＝13，AE AC ＝ 2.52.5＋5＝13， ∴AD AB ＝AE AC . 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE ∽△ABC. 2．解：∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE， 又∠DAC 是公共角， ∴∠CAE ＝∠BAD＝20°. 四、小结与作业 小结1．相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 2．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 3．根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似． 布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2，3的认识，加深对判定定理的理解．教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力．抛物线形问题1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=-2x2 B．y=2x2 C.212y x=-D 、212y x=第1题第2题2、如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A.2316h t=-B.2316h t t=-+C.2118h t t=-++D.21213h t t=-++3.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A.2254y x=B.2254y x=-C.2425y x=-D.2425y x=第3题第4题4、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A.4米B.3米C.2米D.1米5.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为第5题第6题第7题第8题6、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B（8，9），则这个二次函数的表达式为 ___________ ，小孩将球抛出约 ___________米。
人教版九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.2 相似图形教案 (全国通用版)人教版
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课题名称相似图形
三维目标 1.理解相似图形和相似多边形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。
2.由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察
能力。
难点目标
重点目标理解相似图形和相似多
边形的概念，了解相似形
是两个图形之间的关系
导入示标理解相似图形和相似多边形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系目标三导学做思一：
挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观
察，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢?
学做思二：
在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图
形。
在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。
同学们你还能
说出哪些相似的图形吗?
想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗?你看过哈哈镜吗?哈哈镜
中的形像与你本人相似吗?
学做思三：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。
1.在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的
值.
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【感
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2.如图，△ADE∽△ABC，AD ＝3cm ，AE ＝2cm ，CE ＝4cm ，BC ＝9cm ，求：
(1)BD 、DE 的长；
(2)求△ADE 与△ABC 的周长比．
E D
C
B
A
达标检测
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
教版或修改编辑，敬请您的关注】。
2018-2019学年上学期吉林省长春市 吉大附中数学学科九年级集体备课 第23章图形的相似 23.3相似三角形的设想
四基四能 基本活
逻辑推理
动经验
基本
基本 数学建模
技能
十大思核想心概念
分析教情学情，做到知己知彼。
图形与图 形间的变
换
全等三角 形
基础
相似三角 形
关键
解直角三 角形
圆
集大 成
创设了一种说明“线段的比” 的全新方法，这就相当 于是对数学的一个知识体系的完备过程的补充。
在学习方法上呈现由特殊到一般的过程，培养学生类 比和化归的能力
数学知识的教学，相似三角形
求证：GEA BEC
若、为锐角，且 tan 1 ，tan 1 .求证： 45
2
3
2.了解基本图形、构造基本图形
会证
会用很 多方法
证得 简单
证得 独到
问题1:“过任意点作图中其他任意线的平 行线都可以吗？”
抽象不只是从现实生活中抽象出来的第一维度， 也是数学体系内部从抽象到应用过程的第二维度。
见树木 更见森林
学会在复杂图形中分割基本图形，识别、从而能够构 造相似三角形，建立几何直观、解决问题。
体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、 建立直观想象，以提高学习数学的兴趣和应用意识。
3.动点中的相似，多题归一
3.动点中的相似，多题归一
图中是否存在强相似点？
站在系统高度—— 相似三角形的教学设想
一、建立内在联系，注重类比联想 二、设置一题多解，训练发散思维 三、探索问题本质，实现多题归一 四、提升解题能力，践行核心素养
谢谢大家
站在系统高度 落实核心素养
——相似三角形的教学设想
谢园春
站在系统高度—— 相似三角形的教学设想
• 一、基于课标、面向核心素养下的几何教学 • 二、用类比、转化的思想落实概念，培养核