配套K12课标通用2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1变化率与导数导数的计算学案理

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全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.3导数与函数的综合应用课件文北师大版

当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－2) －2 －2，－23 －23 －23，＋∞
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
c
c－3227
所以，当 c>0 且 c－3227<0，存在 x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－23， x3∈－23，0，使得 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由 f(x)的单调性知，当且仅当 c∈0，3227时，函数 f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c 有三个不同零点．
解 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝x－2 3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)，
(2)因 V(r)＝5π(300r－4r3)(0<r<5 3)，故 V′(r)＝π5(300－12r2)，故 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(因 r＝－5 不在定义域内，舍去)．当 r∈(0,5)时，V′(r)>0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数．由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 所以当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大.
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x) ＋

(统考版)高考数学全程一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数导数的计算学生用书

第一节变化率与导数、导数的计算·最新考纲·1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝√x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．·考向预测·考情分析：本节主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等．学科素养：通过导数的几何意义考查数学抽象的核心素养，导数的四则运算考查数学运算的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记5个知识点1．平均变化率及瞬时变化率(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：ΔyΔx＝________________．(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：limΔx→0ΔyΔx＝____________．[提醒] f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的______________，记作y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝____________．3．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是________________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为________________．[提醒] 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．基本初等函数的导数公式(1)[f(x)±g(x)]′＝________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝________________；]′＝________________(g(x)≠0)．(3)[f(x)g(x)二、必明2个常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )(2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) (二)教材改编2．[选修2－2·P18T 5改编]已知函数f (x )＝x (19＋ln x )，若f ′(x 0)＝20，则x 0等于( )A ．e 2B ．1 C.ln 2 D ．e3．[选修2－2·P19T 2改编]曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．(三)易错易混4．(混淆f ′(x 0)与[f (x 0)]′的区别)已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________． 5．(混淆“在”与“过”的区别)已知函数f (x )＝x 3＋x －16，若直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，则直线l 的方程为________________．(四)走进高考6．[2021·全国甲卷]曲线y ＝2x −1x +2在点(－1，－3)处的切线方程为________________．提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一导数的概念及其运算 [基础性]1．函数f (x )＝cos xsin x 的导函数f ′(x )＝( ) A ．tan x B ．－1tan x C ．－1cos 2xD ．－1sin 2x2．[2022·四川省南充市测试]已知函数f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f (e)＝( ) A ．－e B ．e C ．－1 D ．13．[2022·华中师范大学第一附中模拟]设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋[f′(23)]x2－x，则f′(1)＝________．4．[2022·山东省实验中学考试]设f(x)＝a e x＋b ln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，则a＋b＝________．5．求下列函数的导数：(1)y＝x2sin x；(2)y＝x sin (2x+π2)cos (2x+π2)；(3)y＝cos xe x. 反思感悟[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．考点二导数的几何意义及其应用 [综合性]角度1 求切线方程[例1] (1)[2022·山西临汾市高三一模]曲线y ＝x 2＋2e x在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．x ＋2y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0C ．x －2y ＋2＝0D ．2x －y ＋2＝0(2)设函数f (x )＝13x 3＋43，则曲线y ＝f (x )过P (2，4)的切线方程为________．听课笔记：反思感悟求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y −f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．角度2 求切点坐标[例2] [2022·广东广州测试]已知点P (x 0，y 0)是曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线与直线y ＝8x －11平行，则( )A ．x 0＝2B ．x 0＝－43 C ．x 0＝2或x 0＝－43D ．x 0＝－2或x 0＝43听课笔记：反思感悟求切点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标．角度3 求参数的值或范围[例3] (1)[2021·广东省七校联考]已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在点(1，f (1))处的切线经过原点，则实数a ＝( )A ．1B ．0C ．1e D ．－1(2)[2022·湖北九师质检]已知函数f (x )＝x 2＋x ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －ay －1＝0平行，则实数a ＝________．听课笔记：反思感悟利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒] (1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．【对点训练】1．[2022·黄冈模拟]已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为( )A．(1，3) B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)2．[2021·湖北省荆州市高三质检]函数y＝e x－1－2x在点(1，f(1))处的切线方程为________．3．[2021·西安五校联考]已知函数f(x)＝a e x＋b(a，b∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________．4．[2022·辽宁葫芦岛模拟]若一直线与曲线y＝ln x和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．微专题13,导数与其他知识的交汇交汇创新[例] 对正整数n，设曲线y＝(2－x)x n在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，}的前n项和等于________．则数列{a nn+2解析：因为y＝(2－x)x n的导数为y′＝－x n＋n(2－x)x n－1，则y′|x＝3＝－3n－n·3n－1＝－3n －1(n ＋3)，所以切线方程为y ＋3n ＝－3n －1(n ＋3)(x －3)，令x ＝0，切线与y 轴交点的纵坐标为a n ＝(n ＋2)·3n，所以a nn +2＝3n，则数列{a nn +2}的前n 项和S n ＝3(1−3n )1−3＝3n +1−32.答案：3n +1−32名师点评破解曲线的切线与数列相交汇问题的关键 (1)会求切线方程，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；(2)会求数列的通项公式，一般可根据题意寻找其转化桥梁，如本题，求出切线与y 轴交点的纵坐标，即可求出数列的通项公式；(3)活用公式，若可判断出数列为等差(比)数列，则直接利用其前n 项和公式得出结论． [提醒] 导数还可以与不等式、向量、三角函数、解析几何等交汇．[变式训练] 定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝cos x (π2≤x ≤π)的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α>β>γB ．β>γ>αC ．γ>α>βD ．γ>β>α第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算积累必备知识一、 1．(1)f (f f )−f (f f )f f −f f(2)fffff →ff (f f +ff )−f (f f )ff2．(1)瞬时变化率(2)fffff→f f(f+ff)−f(f)ff3．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)4．0 nx n－1cos x－sin x a x ln a e x ff ff f f f5．(1)f′(x)±g′(x) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(3)f′(f)f(f)−f(f)f′(f)[f(f)]f三、1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．解析：f′(x)＝19＋ln x＋x·1x＝20＋ln x，由f′(x0)＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.答案：B3．解析：由y＝－5e x＋3得，y′＝－5e x，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)．即5x＋y＋2＝0.答案：5x＋y＋2＝04．解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，于是f(2)＝－8.答案：－85．解析：设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3f02＋1，所以直线f的方程为f＝(3f02+1)(f－f0)＋f03＋f0－16，因为直线f过原点，所以0＝(3f02 +1)(0－f0)＋f03＋x0－16，整理得：x03＝－8，所以x0y0＝－26，f′(x0l 的方程为y＝13x.答案：y＝13x6．解析：y′＝(2x−1x+2)′＝2(x+2)−(2x−1)(x+2)2＝5(x+2)2，所以y′|x＝－1＝5(−1+2)2＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.答案：y＝5x＋2提升关键能力考点一1．解析：f ′(x )＝−sin 2x −cos 2xsin 2x＝－1sin 2x.答案：D2．解析：由题意得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，所以f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，即f ′(e)＝－1e .所以f (e)＝2e f ′(e)＋ln e ＝－1.答案：C3．解析：因为f (x )＝x 3＋[f ′(23)]x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2＋2[f ′(23)]x －1.所以f ′(23)＝3×(23)2＋2[f ′(23)]×23－1. 解得f ′(23)＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0. 答案：04．解析：f ′(x )＝a e x＋bx ， ∴{f ′(1)=ae +b =ef ′(−1)=ae −1−b =1e，解得{a =1，b =0，∴a ＋b ＝1.答案：15．解析：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)∵y ＝x sin (ff +ff )cos (ff +ff ) ＝ff x sin (4x ＋π) ＝－f f x sin 4x .∴y ′＝－f f sin 4x －ff x ·4cos 4x ＝－ff sin 4x －2x cos 4x . (3)y ′＝(fff f f f)′＝(fff f )′f f −fff f (f f )′(f f )f＝－fff f +fff ff f.考点二例1 解析：(1)y ＝x 2＋2e x 的导数为y ′＝2x ＋2e x，可得在(0，f (0))处的切线的斜率为2，且切点为(0，2)，则切线的方程为y ＝2x ＋2，即2x －y ＋2＝0.(2)设切点为(f 0，13f +0343)，因为f ′(x )＝x 2，所以f ′(x 0)＝x 02，从而得到切点处的切线方程为f −(13f 03+43)＝x 02(x －x 0)，将(2，4)代入，化简得到f −033f 02＋4＝0，即(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2.当x 0＝－1时，切线方程为x －y ＋2＝0；当x 0＝2时，切线方程为4x －y －4＝0. 答案：(1)D (2)x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0例2 解析：由y ＝x 3－x 2＋1得y ′＝3x 2－2x ，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 02－2x 0，又切线平行于直线y ＝8x －11，所以3x 02－2x 0＝8，所以x 0＝2或－43.当x 0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y －5＝8(x －2)，即8x －y －11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；当x 0＝－43时，切点为(−43，−8527)，切线方程为y ＋8527＝8(x +43)，即y ＝8x ＋20327，与已知直线平行．答案：B例3 解析：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，∴切线方程为y ＝x －1＋a ，故0＝0－1＋a ，解得a ＝1.(2)因为f (x )＝x 2＋x ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋ln x ＋1，则函数f (x )＝x 2＋x ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2＋1＝3，又该切线与直线x －ay －1＝0平行，所以1a ＝3，所以a ＝13.答案：(1)A (2)ff 对点训练1．解析：设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 02－1＝2，∴x 02＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 03－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3.∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．答案：C2．解析：由题得f (1)＝e 1－1－2＝－1，所以切点坐标为(1，－1)．由题得f ′(x )＝ex －1－2，∴k ＝f ′(1)＝－1，所以切线方程为y ＋1＝－(x －1)， ∴x ＋y ＝0. 答案：x ＋y ＝03．解析：由题意，得f ′(x )＝a e x，则f ′(0)＝a ，又f (0)＝a ＋b ，所以函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －(a ＋b )＝a (x －0)，即y ＝ax ＋a ＋b .又该切线方程为y ＝2x ＋1，所以{a =2，a +b =1，解得{a =2，b =−1，所以a －b ＝3.答案：34．解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有{1f 0=2f f 0，f 0=ln f 0，f =02ff 0，解得a ＝2e. 答案：2e微专题○13 导数与其他知识的交汇变式训练解析：由题意，得g ′(α)＝1＝g (α)，∴αh (x )＝ln x ，得h ′(x )＝1x .令r (x )＝ln x －1x ，可知r (1)<0，r (2)>0，故1<βφ(x )＝cos x (π2≤x ≤π)，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，∴cos γ＋sin γ＝0，sin (γ+π4)＝0，γ∈[π2，π]，∴γ＝3π4.综上可知，γ>β>α.答案：D。

2018届高三数学一轮复习：第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算

第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f'=()A.-B.-C.-D.-2.已知f(x)=x(2016+lnx),若f'(x0)=2017,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e3.(2016济宁模拟)曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)的切线方程为()A.y=3x-1B.y=-3x-1C.y=3x+1D.y=-3x-14.(2016贵州贵阳一模,6)曲线y=xe x在点(1,e)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,则的值为()A.-B.-C.D.5.(2016重庆适应性测试)若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=()A. B.2 C. D.26.(2014江西,11,5分)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.7.已知f(x)=3lnx-2xf'(1),则曲线y=f(x)在点A(1,m)处的切线方程为.8.曲线y=alnx(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a=.9.求下列函数的导数:(1)y=x·tanx;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=.10.已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a 的值,并判断两切线是否为同一条直线.B组提升题组11.(2017河南郑州二中期末)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A. B.- C. D.-或12.已知f(x)=lnx,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m的值为()A.-1B.-3C.-4D.-213.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.14.函数f(x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于.15.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.16.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.答案全解全析A组基础题组1.C∵f(x)=cosx,∴f'(x)=-cosx+·(-sinx),∴f(π)+f'=-+·(-1)=-.2.B f'(x)=2016+lnx+x×=2017+lnx,由f'(x0)=2017,得2017+lnx0=2017,则lnx0=0,解得x0=1.3.A由题意得y'=(x+1)e x+2,则曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1.4.D y'=e x+xe x,则y'|x=1=2e,∵切线与直线ax+by+c=0垂直,∴-=-,∴=,故选D.5.B依题意,设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0,对于y=2lnx+1,易知y'=,则有y'=,于是有解得x 0=,a=2,选B.6.答案(e,e)解析令f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1,设P(x0,y0),则f'(x0)=lnx0+1=2,∴x0=e,此时y0=x0lnx0=elne=e,∴点P的坐标为(e,e).7.答案x-y-3=0解析由题意得f'(x)=-2f'(1),所以f'(1)=3-2f'(1),即f'(1)=1.∴m=f(1)=-2f'(1)=-2,所以所求切线方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.8.答案8解析令f(x)=y=alnx,则f'(x)=,∴在x=1处的切线的斜率为a,∵f(1)=aln1=0,故切点为(1,0),∴切线方程为y=a(x-1),令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a,∵a>0,∴所围成的三角形的面积为×a×1=4,∴a=8.9.解析(1)y'=(x·tanx)'=x'tanx+x(tanx)'=tanx+x·'=tanx+x·=tanx+.(2)y'=(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(3)因为y===e x+e-x-=e x+e-x-,所以y'=(e x)'+(e-x)'-'=e x-e-x-.10.解析易知:曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g'(1)=-a.又f'(1)=g'(1),所以a=-3.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0;曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两切线不是同一条直线.B组提升题组11.D∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,∴f'(x)的图象开口向上,则排除②④.若f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=; 若f'(x)的图象为③,则a2-1=0,且-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-.综上知选D.12.D∵f'(x)=,∴直线l的斜率k=f'(1)=1,又f(1)=0,∴切线l的方程为y=x-1.g'(x)=x+m,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0+m=1,y0=x0-1,y0=+mx0+(m<0),由此可解得m=-2.13.答案解析由y=x2-lnx,得y'=2x-(x>0),设点P 0(x0,y0)是曲线y=x2-lnx上到直线y=x-2的距离最小的点,则y'=2x0-=1,解得x0=1或x0=-(舍).∴点P0的坐标为(1,1).∴所求的最小距离==.14.答案解析f'(x)==,则f'(-1)=-4,故切线方程为y=-4x-2,切线在x,y轴上的截距分别为-,-2,故所求三角形的面积为.15.解析f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为∪.16.解析(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=.又因为f'(x)=a+,则有a+=,所以a=1,b=3.故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知,f'(x)=1+,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。

课标通用2018届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算课件理201709023115

(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(
(3) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
(4)[f(ax＋b)]′＝f ′(ax＋b).(
2
) )
1 (5)若 f(x)＝f ′(a)x ＋lnx(a>0)，则 f ′(x)＝2x f ′(a)＋ x .(
1 3 4 y－3x0＋3＝x2 0(x－x0)，
2 3 4 2 y＝x0·x－ x0＋ . 3 3
∵点
2 3 4 2 P(2，4)在切线上，∴4＝2x0－ x0＋， 3 3
2 3 2 2 即 x3 － 3 x ＋ 4 ＝ 0 ，∴ x ＋ x － 4 x 0 0 0 0 0＋4＝0，
x 1 x (2)由题可得：y＝sin －cos2 ＝－ sinx， 2 2
1 1 1 ∴y′＝－2sinx ′＝－ (sinx)′＝－ cosx. 2 2
1＋ x＋1－ x 1 1 2 (3)y＝＋＝＝， 1－ x 1＋ x （1－ x）（1＋ x） 1－x
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0 且 a≠1) f(x)＝lnx
f ′(x)＝ex
1 f ′(x)＝xlna(a>0，且 a≠1)
1 f ′(x)＝x
4.导数运算法则
f (x)±g′(x) ； (1)[f(x)± g(x)]′＝____________
f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝__________________ f ′(x)g(x)－f(x)g′(x) f （x） 2 [ g ( x )] (3) ′＝___________________ (g(x)≠0). g（x）

秋高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修1-1(2

2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.3 导数的几何意义学案新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.3 导数的几何意义学案新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

1。

3 导数的几何意义学习目标：1。

理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程．(重点）2。

理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．（重点）3。

理解在某点处与过某点的切线方程的区别．（难点、易混点）［自主预习·探新知]1．导数的几何意义（1)切线的定义设点P(x0,f（x0）)，P n(x n，f（x n））是曲线y＝f(x）上不同的点，当点P n（x n,f（x n））（n ＝1,2,3，4…）沿着曲线f(x）趋近于点P（x0,f（x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线,且PT的斜率k＝lim，错误!＝f′（x0）．Δx→0（2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′（x0)的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，f(x0））处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f（x0)＝f′（x0）(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点?［提示］不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x）在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′（x0)是一个确定的数；当x 变化时,f′(x)是x的一个函数,称为f(x）的导函数(简称导数)，y＝f(x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝错误!错误!.［基础自测］1．思考辨析（1）直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．（)（2）过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点．（）（3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点（x0，f（x0)）处无切线．(4)函数f（x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′（x)之间是有区别的．( ）［答案］（1)×（2）×（3）×（4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B[由f′（x0)＝0知，曲线y＝f(x)在点（x0，f(x0））处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]3．如图315所示，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′（5）＝（）【导学号：97792127】图3.1。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算理(2021年最新整理)

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第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算一、选择题1．设函数f（x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x）在x＝5处的切线的斜率为( ）A．－错误! B．0 C.错误! D．5解析因为f(x)是R上的可导偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x）在x＝0处取得极值，即f′(0）＝0,又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0,即曲线y＝f（x）在x＝5处的切线的斜率为0，选B。

答案 B2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数,且满足f（x)〉0,xf′（x）＋f(x）〈0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有( )．A．af(b）<bf(a）B．bf（a)<af(b)C．af(a)〈f(b) D．bf(b)〈f(a)解析构造函数F（x)＝错误!（x>0)，F′（x）＝错误!，由条件知F′(x）〈0,∴函数F（x）＝错误!在(0，＋∞）上单调递减，又a〉b〉0，∴错误!〈错误!,即bf（a)〈af（b）．答案B3．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋错误!x（a〉0),则f（2)的最小值为( ）．A．12错误!B．12＋8a＋错误!C．8＋8a＋错误!D．16解析f（2）＝8＋8a＋错误!，令g(a)＝8＋8a＋错误!,则g′(a)＝8－错误!,由g′(a）〉0得a>错误!，由g′（a）<0得0<a〈错误!,∴a＝错误!时f（2）有最小值．f（2）的最小值为8＋8×错误!＋错误!＝16.故选D.答案D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x），且满足f(x)＝2xf′（1)＋ln x，则f′(1)＝（)．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x）＝2xf′（1)＋ln x，得f′(x）＝2f′(1)＋错误!，∴f′(1)＝2f′（1）＋1，则f′（1)＝－1。

(课标通用)2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1变化率与导数、导数的计算学案理

§3.1 变化率与导数、导数的计算考纲展示► 1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．考点1 导数的概念及运算法则1.导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx为函数y＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0________.函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝ lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx 为f (x )的导函数．答案：f x 0＋Δx －f x 0Δx2．基本初等函数的导数公式续表答案：0 αxα－1cos x －sin x e x a xln a xx ln a3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________； (2)[f (x )g (x )]′＝________； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．答案：(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝________，即y 对x 的导数等于________的导数与________的导数的乘积．答案：y u ′·u x ′ y 对u u 对x(1)[教材习题改编]在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.则运动员的速度v ＝________，加速度a ＝________.答案：－9.8t ＋6.5，－9.8(2)[教材习题改编]f (x )＝cos x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0处的切线的倾斜角为________．答案：3π4导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错． (1)若函数f (x )＝2x 3＋a 2，则f ′(x )＝________.答案：6x 2解析：本题易出现一种求导错解：f ′(x )＝6x 2＋2a ，没弄清函数中的变量是x ，而a 只是一个字母常量，其导数为0.(2)函数y ＝ln xe x 的导函数为__________．答案：y ′＝1－x ln xx e x解析：y ′＝1x ·e x －e x·ln x x 2＝1－x ln xx e x，易用错商的求导法则．[典题1] 分别求出下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x .[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .[点石成金] 导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．考点2 导数运算的应用[典题2] (1)[2017·吉林实验中学高三]函数f (x )的导函数f ′(x )，对∀x ∈R ，都有f ′(x )>f (x )成立，若f (ln 2)＝2，则满足不等式f (x )>e x 的x 的范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(ln 2，＋∞)D ．(0，ln 2)[答案] C [解析] 设F (x )＝f xex，F ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex>0，∴F (x )在定义域R 上单调递增，不等式f (x )>e x即F (x )>1， ∵f (ln 2)＝2，∴F (ln 2)＝1，即F (x )>F (ln 2)， ∴x >ln 2，故选C.(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________.[答案] －2 017[解析] 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x，所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2016)＋2 0162 016，即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.(3)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．[答案] 212[解析] 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.[点石成金] 在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．1.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A．－1 B．－2C．2 D．0答案：B解析：∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f′(x)＝4ax3＋2bx.又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－4a－2b＝－2.2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2 017(x)＝( )A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x答案：C解析：f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 017(x)＝cos x.考点3 导数的几何意义导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________．答案：P(x0，y0) 切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)曲线y＝2x3－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．答案：21解析：因为y′＝6x2－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k＝6×22－3＝21.求曲线的切线方程：确定切点；求导数；得出斜率；写出切线方程． (1) 曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为__________．答案：3x －y －1＝0解析：依题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即3x －y －1＝0.(2)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝__________. 答案：12解析：易知点(1，a )在曲线y ＝ax 2－ln x 上，y ′＝2ax －1x，∴y ′|x ＝1＝2a －1＝0，∴a ＝12.[考情聚焦] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求切线方程[典题3] (1)[2017·河北唐山模拟]曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0 D ．(e －1)x －y －1＝0 [答案] C[解析] 由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)[2017·四川雅安模拟]设曲线y ＝e x＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝( )A ．3B ．1C ．2D ．0[答案] C[解析] ∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2， ∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2.(3)过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条[答案] A[解析] 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 2－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋7，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y ＝7＞0；当x 0＝2时，y ＝－1＜0.结合函数y ＝2x 30－6x 20＋7的单调性可得方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A.角度二求切点坐标[典题4] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．[答案] (e ，e)[解析] 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．角度三求参数的值[典题5] (1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] C[解析] ∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ，m ＝1，即a ＝1，∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 上存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线， ∴f ′(x )存在零点， ∴x ＋1x－a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(x ＞0)．[点石成金] 1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．2．已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .3．(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.[方法技巧] 1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即[f (x 0)]′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． [易错防范] 1.曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过点(0,0)的切线y ＝0的两侧．真题演练集训1．[2014·大纲全国卷]曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案：C 解析：y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D 解析：y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y ＝－2x －1解析：由题意可得，当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.答案：1－ln 2解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))，则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln x 2＋，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.5．[2015·陕西卷]设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．答案：(1,1)解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导；第二步，得结论；第三步，解后反思．[典例1] [改编题]求函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数． [思路分析][解] 解法一：y ′＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′ ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. 解法二：设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v cos v＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. 温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．方法二构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导；第三步，得出结论．[典例2] 证明：当x ＞1时，有ln 2(x ＋1)＞ln x ·ln(x ＋2)．[思路分析][证明] 构造辅助函数f (x )＝x ＋ln x (x ＞1)，于是有f ′(x )＝x ln x －x ＋x ＋x x ＋2x .因为1＜x ＜x ＋1，所以0＜ln x ＜ln(x ＋1)，即x ln x ＜(x ＋1)ln(x ＋1)．则在(1，＋∞)内恒有f ′(x )＜0，故f (x )在(1，＋∞)内单调递减．又1＜x ＜x ＋1，则f (x )＞f (x ＋1)，即x ＋ln x ＞x ＋x ＋，所以ln 2(x ＋1)＞ln x ·ln(x ＋2)．技巧点拨要证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＞0，则F (x )在(a ，b )内是增函数，同时F (a )≥0，则有x ∈(a ，b )时，F (x )＞0，即证明了f (x )＞g (x )．同理可证明f (x )＜g (x )．但要注意，此法中所构造的函数F (x )在给定区间内应是单调的．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误[典例3] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[易错分析] 没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错．[解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32. 当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564. [答案] A易错提醒1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．。

【配套K12】2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数的综合应用真题演练集训理

2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.3 导数的综合应用真题演练集训理新人教A 版1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 答案：D解析：∵ f (0)＝－1＋a ＜0，∴ x 0＝0.又x 0＝0是唯一的整数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f－1≥0，f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e－1－－1]＋a ＋a ≥0，－－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又a ＜1，∴ 32e≤a ＜1，故选D.2．[2014·陕西卷]如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x答案：A解析：设所求函数解析式为y ＝f (x )，由题意知f (5)＝－2，f (－5)＝2，且f ′(±5)＝0，代入验证易得y ＝1125x 3－35x 符合题意，故选A.3．[2014·辽宁卷]当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝x －x 3－x 2－4x －x 2x 6＝－x 2－8x －9x＝－x －x ＋x＞0，∴φ(x )在(0,1]上单调递增， φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－x －x ＋x4，当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0；当x ∈(－1,0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上可知，a 的取值范围为[－6，－2]．4．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.(1)解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )． (ⅰ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点． (ⅱ)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点．(ⅲ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2－(x 2－2)e x2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0. 从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.5．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围．(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)解：由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f 1－f 0≤e －1，f －1－f0≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m－m >e －1；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m＋m >e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．6．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)，讨论h (x )零点的个数．解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x ＜0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a ＜－54，则f (1)＜0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)＜0，故x ＝1不是h (x )的零点．当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x ＞0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数． ①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3＜a ＜0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a3，1上单调递增，故在(0,1)上，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫ －a 3＝2a3－a3＋14. a ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＞0，即－34＜a ＜0，则f (x )在(0,1)上无零点．b ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点．c ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＜0，即－3＜a ＜－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54＜a ＜－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3＜a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a ＞－34或a ＜－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54＜a ＜－34时，h (x )有三个零点．课外拓展阅读巧用导数妙解有关恒成立、存在性问题“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．方法一分离参数法[典例1] [改编题]设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] A[解析] 解法一：f ′(x )＝1x－a ，g ′(x )＝e x －a ，由题意得，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≤0恒成立，即当x ∈(1，＋∞)时，a ≥1x恒成立，则a ≥1.因为g ′(x )＝e x－a 在(1，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )＞g ′(1)＝e －a .又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则必有e －a ＜0，即a ＞e. 综上，可知a 的取值范围是(e ，＋∞)．解法二：f ′(x )＝1x－a ，g ′(x )＝e x－a .由题意得，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≤0恒成立，即当x ∈(1，＋∞)时，a ≥1x恒成立，则a ≥1.当a ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(1，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上无最值，不符合题意；当0＜a ≤e 时，由g ′(x )＞0得x ＞ln a ，又ln a ≤1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上无最值，不符合题意；当a ＞e 时，由g ′(x )＞0得x ＞ln a ，又ln a ＞1，故g (x )在(1，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，此时有最小值，为g (ln a )＝eln a－a ln a ＝a －a ln a .由题意知ln a ＞1，所以a ＞e. 综上，可知a 的取值范围是(e ，＋∞)．技巧点拨在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题结果取交集．一般而言，在同一“问题”中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集．方法二构造函数法[典例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2xx ，x ＋x ＞，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0][答案] D[解析] |f (x )|≥ax ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－－x 2＋2x ≥ax x，①x ＋ax x ＞②(1)由①得x (x －2)≥ax 在区间(－∞，0]上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ＜0时，有x －2≤a 在区间(－∞，0]上恒成立，所以a ≥－2.(2)由②得ln(x ＋1)－ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ＞0)，则h ′(x )＝1x ＋1－a (x ＞0)，可知h ′(x )为减函数．当a ≤0时，h ′(x )＞0，故h (x )为增函数，所以h (x )＞h (0)＝0恒成立；当a ≥1时，因为1x ＋1∈(0,1)，所以h ′(x )＝1x ＋1－a ＜0，故h (x )为减函数，所以h (x )＜h (0)＝0恒成立，显然不符合题意；当0＜a ＜1时，对于给定的一个确定值a ，总可以至少找到一个x 0＞0，满足h (x 0)＝ln(x 0＋1)－ax 0＜0成立．如当a ＝12时，取x 0＝4，则h (x 0)＝ln 5－2＜0成立，可知当0＜a ＜1时，不符合题意．故a ≤0.由(1)(2)可知，a 的取值范围是[－2,0]．方法探究本题的切入点不同，构造的函数也是不相同的，也可以构造函数结合选项利用函数图象及排除法去完成．典例2也可以通过构造函数求解，但是在问题的求解中如果可以分离出参数，尽量用分离参数法去求解．相对而言，多数题目都可以采用分离参数法去求解，而且采用分离参数法对于问题的求解会相对容易．方法三等价转化法[典例3] 设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.由g ′(x )＞0得x ＜0或x ＞23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上是单调递减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上是单调递增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527， g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )max .由(1)可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0；当12＜x ＜1时，h ′(x )＞0. 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．温馨提示如果一个问题的求解中既有“存在性”又有“恒成立”问题，那么需要对问题作等价转化，使之变成与典例2、典例3相关的问题去求解，这里一定要注意转化的等价性、巧妙性，防止在转化中出错而使问题的求解出错．。

2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数、导数的计算真题演练集训理

2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数、导数的计算真题演练集训理新人教A 版1．[2014·大纲全国卷]曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案：C 解析：y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D 解析：y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y ＝－2x －1解析：由题意可得，当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.答案：1－ln 2解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))，则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋x 2＋，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.5．[2015·陕西卷]设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．答案：(1,1)解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导；第二步，得结论；第三步，解后反思．[典例1] [改编题]求函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数． [思路分析][解] 解法一：y ′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.解法二：设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′＝y u ′·u v ′·v x ′ ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v cos v＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. 温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．方法二构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导；第三步，得出结论．[典例2] 证明：当x ＞1时，有ln 2(x ＋1)＞ln x · ln(x ＋2)． [思路分析][证明] 构造辅助函数f (x )＝x ＋ln x(x ＞1)，于是有f ′(x )＝x ln x －x ＋x ＋x x ＋2x.因为1＜x ＜x ＋1，所以0＜ln x ＜ln(x ＋1)，即x ln x ＜(x ＋1)ln(x ＋1)．则在(1，＋∞)内恒有f ′(x )＜0，故f (x )在(1，＋∞)内单调递减．又1＜x ＜x ＋1，则f (x )＞f (x ＋1)，即x ＋ln x＞x ＋x ＋，所以ln 2(x ＋1)＞ln x ·ln(x ＋2)．技巧点拨要证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＞0，则F (x )在(a ，b )内是增函数，同时F (a )≥0，则有x ∈(a ，b )时，F (x )＞0，即证明了f (x )＞g (x )．同理可证明f (x )＜g (x )．但要注意，此法中所构造的函数F (x )在给定区间内应是单调的．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误[典例3] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[易错分析] 没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错． [解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.[答案] A易错提醒1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．。

2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数导数的计算课件理

f(x)=ln x
导数 f '(x)=⑥ 0 f '(x)=⑦ αxα-1 f '(x)=⑧ cos x f '(x)=⑨ -sin x f '(x)=⑩ axln a f '(x)= ex
1 x ln a f '(x)=
1 f '(x)= x
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
(4)因为(ln x)'= 1
x
,所以
1 x
'=ln x.
(×)
(5)y=cos 3x由函数y=cos u,u=3x复合而成. (√)
1.下列求导运算正确的是 ( )
A. x '=1x1+
1 x2
B.(log2x)'=
1 x ln 2
C.(3x)'=3xlog3e D.(x2cos x)'=-2sin x
x 0 x
②
lim
x 0
f (x0 x)f (x0)
. x
lim y x 0 x
(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f '(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的③ 切线的斜率 .相应地,切线方程为④ y-y0=f '(x0)(x-x0) . (3)函数f(x)的导函数
2
4.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)

课标通用2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1变化率与导数导数的计算学案理2017101

§3.1 变化率与导数、导数的计算考纲展示► 1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．13．能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝的导数．x4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．考点 1 导数的概念及运算法则1.导数的概念函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0处的导数：Δyf x 0＋Δx －f x 0 称函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0处的瞬时变化率 lim＝ lim为函数 yΔx →0 Δx Δx →0Δx Δy ＝ f (x )在 x ＝ x 0处的导数，记作 f ′(x 0)或 y ′|x ＝ x 0，即 f ′(x 0)＝ lim＝Δx →0Δxlim Δx →0________.函数 f (x )的导函数：称函数 f ′(x )＝limΔx →0fx ＋Δx －f xΔx 为 f (x )的导函数．f x 0＋Δx－fx 0答案：Δx2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝________ f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝e xf ′(x )＝________ f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝________- 1 -续表基本初等函数导函数f(x)＝ln x f′(x)＝________f(x)＝log a xf′(x)＝________(a＞0，a≠1)1 1答案：0αxα－1cos x－sin x e x a x ln ax x ln a3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)g(x)]′＝________；f x f xg x－f x g x(3)[g x]′＝(g(x)≠0)．[g x]2答案：(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．答案：y u′·u x′y对u u对x(1)[教材习题改编]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.则运动员的速度v＝________，加速度a＝________.答案：－9.8t＋6.5，－9.8π( ，0)处的切线的倾斜角为________．(2)[教材习题改编]f(x)＝cos x在点23π答案：4导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错．(1)若函数f(x)＝2x3＋a2，则f′(x)＝________.答案：6x2解析：本题易出现一种求导错解：f′(x)＝6x2＋2a，没弄清函数中的变量是x，而a只是- 2 -一个字母常量，其导数为0.ln x(2)函数y＝的导函数为__________．e x1－x ln x答案：y′＝x e x1·e x－e x·ln xx1－x ln x解析：y′＝＝，易用错商的求导法则．e x 2 x e x[典题1]分别求出下列函数的导数：(1)y＝e x ln x；1 1(x2＋x3)；(2)y＝x＋xx x(3)y＝x－sin cos ；2 2(4)y＝ln 1＋2x.1 1[解](1)y′＝(e x)′ln x＋e x(ln x)′＝e x ln x＋e x·＝e x x).x(ln x＋1 2(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.x2 x31 1(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.2 21(4)∵y＝ln 1＋2x＝ln(1＋2x)，21 1 1∴y′＝··(1＋2x)′＝.2 1＋2x1＋2x[点石成金]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．考点2导数运算的应用- 3 -[典题2](1)[2017·吉林实验中学高三]函数f(x)的导函数f′(x)，对∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)＝2，则满足不等式f(x)>e x的x的范围是()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(ln 2，＋∞)D．(0，ln 2)[答案] Cf x f x e x－f x e x f x－f x[解析]设F(x)＝，F′(x)＝＝>0，e x e x 2 e x∴F(x)在定义域R上单调递增，不等式f(x)>e x即F(x)>1，∵f(ln 2)＝2，∴F(ln 2)＝1，即F(x)>F(ln 2)，∴x>ln 2，故选C.1(2)已知f(x)＝x2＋2xf′(2016)＋2 016ln x，则f′(2016)＝________.2[答案]－2 0172 016[解析]由题意得f′(x)＝x＋2f′(2016)＋，所以f′(2016)＝2 016＋2f′(2x2 016016)＋，即f′(2016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.2 016(3)在等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．[答案]212[解析]因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2).....(x－a8)]′.x＝(x－a1)(x－a2).....(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2).. (x)a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.[点石成金]在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．1.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1 B．－2- 4 -C．2 D．0答案：B解析：∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f′(x)＝4ax3＋2bx.又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－4a－2b＝－2.2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2 017(x)＝()A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x答案：C解析：f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 017(x)＝cos x.考点3导数的几何意义导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________．答案：P(x0，y0)切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)曲线y＝2x3－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．答案：21解析：因为y′＝6x2－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k＝6×22－3＝21.求曲线的切线方程：确定切点；求导数；得出斜率；写出切线方程．(1) 曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为__________．- 5 -答案：3x－y－1＝0解析：依题意得y′＝(x＋1)e x＋2，则曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.(2)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.1答案：2解析：易知点(1，a)在曲线y＝ax2－ln x上，1y′＝2ax－，x1∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝.2[考情聚焦]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求切线方程[典题3](1)[2017·河北唐山模拟]曲线y＝e x－ln x在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0[答案] C1[解析]由于y′＝e－，所以y′x＝1＝e－1，故曲线y＝e x－ln x在点(1，e)处的切线x方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.1(2)[2017·四川雅安模拟]设曲线y＝e x＋ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂2直，则实数a＝()A．3 B．1C．2 D．0[答案] C[解析]∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，- 6 -1∴f′(0)＝e0＋a＝2，解得a＝2.2(3)过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()A．3条B．2条C．1条D．0条[答案] A[解析]由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x30－3x0)，那么切线的斜率为k＝3x20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x30－6x20＋7＝0.令y＝2x30－6x20＋7，则y′＝6x20－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7＞0；当x0＝2时，y＝－1＜0.结合函数y＝2x30－6x20＋7的单调性可得方程2x30－6x20＋7＝0有3个解．故过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3 条，故选A.角度二求切点坐标[典题4]若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．[答案](e，e)1[解析]由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，xn)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．角度三求参数的值[典题5](1)若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()A．－1 B．0C．1 D．2[答案] C[解析]∵两曲线的交点为(0，m)，∴Error!即a＝1，∴f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x，则f′(0)＝0，f(0)＝1.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0，∴a＋b＝1.1(2)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是2- 7 -________．[答案][2，＋∞)1[解析]∵f(x)＝x2－ax＋ln x，21∴f′(x)＝x－a＋.x∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，1∴x＋－a＝0有解，x1∴a＝x＋≥2(x＞0)．x[点石成金] 1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．2．已知斜率k，求切点A(x0，f(x0))，即解方程f′(x0)＝k.3．(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.[方法技巧] 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．[易错防范] 1.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过点(0,0)的切线y＝0的两侧．真题演练集训- 8 -1．[2014·大纲全国卷]曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1答案：C解析：y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0 B．1C．2 D．3答案：D1解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.x＋13．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y＝－2x－11解析：由题意可得，当x>0时，f(x)＝ln x－3x，则f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，则在x点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案：1－ln 2解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x21＋1))，则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，x11y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，x2＋11 1 x2化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，x1 x2＋1 x2＋1依题意，得Error!1解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.215．[2015·陕西卷]设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂x直，则P的坐标为________．答案：(1,1)1 解析：y′＝e x，曲线y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)x- 9 -1 1 1的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)．因为两切线x2 x m2垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一公式法利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导；第二步，得结论；第三步，解后反思．π[典例1][改编题]求函数y＝sin2( 3)的导数．2x＋[思路分析]ππ( 3)]′[解]解法一：y′＝2sin2x＋3)[sin(2x＋πππ( cos ·′＝2sin2x＋3) (2x＋3 )3) (2x＋ππ(2x＋cos 3 )＝4sin3) (2x＋2π(4x＋3 ).＝2sinπ 解法二：设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，3则y′＝y u′·u v′·v x′＝2u·cos v·2＝4sin v cos v- 10 -ππ＝4sin (2x＋3)cos(2x＋3 )2π＝2sin(4x＋.3 )温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．方法二构造法有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导；第三步，得出结论．[典例2]证明：当x＞1时，有ln2(x＋1)＞ln x·ln(x＋2)．[思路分析]ln x＋1[证明]构造辅助函数f(x)＝(x＞1)，于是有f′(x)＝ln xx ln x－x＋1ln x＋1.x x＋1ln2x因为1＜x＜x＋1，- 11 -所以0＜ln x＜ln(x＋1)，即x ln x＜(x＋1)ln(x＋1)．则在(1，＋∞)内恒有f′(x)＜0，故f(x)在(1，＋∞)内单调递减．又1＜x＜x＋1，则f(x)＞f(x＋1)，ln x＋1ln x＋2即＞，ln x ln x＋1所以ln2(x＋1)＞ln x·ln(x＋2)．技巧点拨要证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，则F(x)在(a，b)内是增函数，同时F(a)≥0，则有x∈(a，b)时，F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)．同理可证明f(x)＜g(x)．但要注意，此法中所构造的函数F(x)在给定区间内应是单调的．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误15[典例3]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a＝()425 21A．－1或－B．－1或64 47 25 7C．－或－D．－或74 64 4[易错分析]没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错．[解析]因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，则在该点处的切线斜率为k＝3x20，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30.3又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.215 25当x0＝0时，切线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；4 643 27 27 27 27 15当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－2 4 4 4 4 41.25综上，a的值为－1或－.64- 12 -[答案] A易错提醒1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．- 13 -。

2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算教师用书文新人教版

2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算教师用书文新人教版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.设y ＝x 2e x，则y ′＝( ) A.x 2e x＋2x B.2x e xC.(2x ＋x 2)e xD.(x ＋x 2)e x解析 y ′＝2x e x＋x 2e x＝(2x ＋x 2)e x. 答案 C2.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1D.e解析由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B3.曲线y ＝sin x ＋e x在点(0，1)处的切线方程是( ) A.x －3y ＋3＝0 B.x －2y ＋2＝0 C.2x －y ＋1＝0D.3x －y ＋1＝0解析 y ′＝cos x ＋e x，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 答案 C4.(2017·成都诊断)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.eB.－eC.1eD.－1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.答案 C5.(2017·昆明诊断)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A.－1B.12C.－2D.2解析 ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 答案 A 二、填空题6.若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，解得a ＝12.答案 127.(2017·长沙一中月考)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 08.(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 三、解答题9.已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e xD.y ＝x 3解析若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 答案 A12.(2017·合肥模拟)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A.1B.32C.52D. 2解析点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y ＝x －2的距离等于2， ∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2. 答案 D13.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x(x >0).∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)14.已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0).若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线.解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1). 所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。

高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第三章导数及其应用3.1变化率与导数、导数的计算Wor

第三章导数及其应用§ 3.1 变化率与导数、导数的计算考纲展现 ? 1. 认识导数观点的实质背景．2．理解导数的几何意义．3．能依据导数定义求函数y ＝c ( c 为常数) ， y ＝ x ， y ＝ x 2， y ＝x 3， y ＝ 1x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法例求简单函数的导数，能求简单复合函数 ( 仅限于形如 y ＝f ( ax ＋ b ) 的复合函数 ) 的导数．考点 1 导数的观点及运算法例1. 导数的观点函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数：称函数y ＝ ( ) 在 x ＝ x 0 处的刹时变化率 lim y＝limfx 0＋ x － f x 0为函数y ＝f xxxx →0 x →0f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数，记作 f ′(x ) 或 y ′|x ＝ x ，即 f ′(x ) ＝ limy ＝ lim ________.0 0 0x →0x →0函数 f ( x ) 的导函数：称函数 f ′(x ) ＝f x ＋ x －f x 为 f ( x ) 的导函数．limxx →0f x ＋x － f x答案：x2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f ( x ) ＝ (为常数 )f ′( ) ＝ ________C Cxf ( x ) ＝x α ( α ∈ Q *)f ′(x ) ＝ ________f ( x ) ＝ sin x f ′(x ) ＝ ________f ( x ) ＝ cos xf ′( ) ＝ ________xf ( x x′( ) ＝ ________) ＝ efxf ( x ) ＝ a x ( a ＞0， a ≠1)f ′(x ) ＝ ________续表基本初等函数导函数f ( x ) ＝ln xf ′(x ) ＝ ________ f ( x ) ＝log a xf ′(x ) ＝ ________( a ＞ 0， a ≠1)α －1x x1 1答案： 0 αxcos x － sin x e a lnaxx ln a3．导数的运算法例(1)[ f ( x ) ± g ( x )] ′＝ ________； (2)[ f ( x ) g ( x )] ′＝ ________；(3) fxfx g x － f x gx．g x′＝[ g x2( g ( x ) ≠0)答案： (1) f ′(x ) ± g ′(x )(2) f ′(x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′(x ) 4．复合函数的导数复合函数 y ＝f ( g ( x )) 的导数和函数y ＝ f ( u ) ，u ＝g ( x ) 的导数间的关系为 y x ′＝ ________，即 y 对 x 的导数等于 ________的导数与 ________的导数的乘积．答案： y u ′· u x ′ y 对 uu 对 x(1)[ 教材习题改编 ] 在高台跳水运动中， t s 时运动员相对于水面的高度( 单位： m)是 h ( t )＝－ 4.9 t 2＋ 6.5 t ＋10. 则运动员的速度 v ＝ ________，加快度 a ＝ ________.答案：－ 9.8 t ＋ 6.5 ，－ 9.8π(2)[ 教材习题改编 ] f ( x ) ＝ cos x 在点2 ， 0 处的切线的倾斜角为 ________．3π答案： 4导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法例用错．(1) 若函数f ( x) ＝ 2x3＋ a2，则 f ′(x)＝________.答案： 6x2分析：此题易出现一种求导错解： f ′(x)＝6x2＋2a，没弄清函数中的变量是x，而 a 只是一个字母常量，其导数为0.ln x(2) 函数y＝e x的导函数为 __________．1－x ln x答案： y′＝xx e1x xxx·e－ e·ln1－x ln x分析： y′＝x2＝x e x，易用错商的求导法例．[典题 1]分别求出以下函数的导数：(1)y＝e x ln x；(2)y＝211；x x＋x＋x3(3)y＝ x－sinx xcos；22(4)y＝ln1＋ 2x.x x x x1x1[ 解] (1) y′＝ (e) ′ln x＋e(ln x)′＝e ln x＋e·x＝e ln x＋x .3122(2)∵ y＝x＋ 1＋x2，∴y′＝3x－x3.(3)∵＝x1x，∴y1－ sin′＝ 1－ cos .y22x1(4)∵ y＝ln1＋ 2x＝2ln(1 ＋2x) ，111∴y′＝2·1＋2x·(1＋2x)′＝1＋2x.[ 画龙点睛 ]导数的运算方法(1)连乘积形式：先睁开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：察看函数的结构特色，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转变为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确立复合关系，由外向内逐层求导．考点 2导数运算的应用[典题 2](1)[2017·吉林实验中学高三] 函数f ( x) 的导函数 f ′(x)，对? x∈R，都有f ′(x)> f ( x)建立，若 f (ln 2)＝ 2，则知足不等式 f ( x)>e x的 x 的范围是()A．(1 ，＋∞)B．(0,1)C．(ln 2，＋∞ )D．(0 ， ln 2)[ 答案]C[ 分析]f x f x x－ f x x f x－f x设 F( x)＝x， F′(x)＝x2＝x>0，e e∴F( x)在定义域R上单一递加，不等式f ( x)>e x即F( x)>1，∵f (ln 2)＝2，∴ F(ln 2)＝ 1，即F( x)> F(ln2) ，∴x>ln 2，应选C.(2) 已知f ( x) ＝1x2＋ 2xf′(2 016)＋ 2 016ln x，则 f ′(2 016)＝________. 2[ 答案]－2 017[ 分析]由题意得f ′()＝x＋2′(2 016)＋2 016 ，所以f′(2 016) ＝ 2 016 ＋ 2 ′(2 x f x f201616)＋2 016，即 f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.(3) 在等比数列 { a n} 中，a1＝ 2，a8＝ 4，函数f ( x)＝ x( x－ a1)·(x－a2)· ·(x－ a8)，则f ′(0)的值为________．[ 答案]212[ 分析]因为 f ′(x)＝ x′·[( x－ a1)( x－a2)· ·(x－ a8)]＋[( x－ a1)( x－a2)· ·(x－ a8)]′· x ＝( x－ a1)( x－ a2)· ·(x － a8)＋[( x－ a1)( x－ a2)· ·(x－ a8)]′· x ，所以f ′(0)＝(0－ a1)(0－ a2)· ·(0－ a8)＋0＝ a1a2· · a8.因为数列{ a n}为等比数列，所以 a2a7＝a3a6＝ a4a5＝ a1 a8＝8，所以 f ′(0)＝84＝212.[ 画龙点睛 ]在求导过程中，要认真剖析函数分析式的特色，紧扣法例，记准公式，预防运算错误．1. 若函数f ( x)＝ ax4＋ bx2＋ c 知足f ′(1)＝ 2，则f′( － 1) ＝ ()A．－ 1B．－ 2 C．2D．0答案： B分析：∵ f ( x)＝ ax4＋ bx2＋c，∴f ′(x)＝4ax3＋2bx.又 f ′(1)＝2，∴4 ＋2b ＝2，a∴f ′(－1)＝－4a－2b＝－2.2．设f ( x) ＝ sin x， f ( x)＝f′(x)， f ( x)＝f′(x)，， f( x) ＝f′* n n－1( x) ， n∈ N ，01021则 f2 017 (x)＝()A．sin x B．－ sin xC．cos x D．－ cos x答案： C分析： f ( x)＝ f′(x)＝cos x， f ( x)＝ f′(x)＝－sin x， f ( x)＝ f ′(x)＝－cos x，102132f 4(x) ＝3′()＝sinx，，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 017(x) ＝cosx.f x考点 3导数的几何意义导数的几何意义函数 f ( x)在点x0处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝ f ( x)上点________处的________( 刹时速度就是位移函数(t ) 对时间t的导数 ) ．相应地，切线方程为 ________．s答案： P( x， y )切线的斜率y－y＝ f ′(x )( x－ x )00000曲线y＝2x3－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．答案： 21分析：因为y′＝6x2－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k＝6×22－3＝ 21.求曲线的切线方程：确立切点；求导数；得出斜率；写出切线方程．(1)曲线y＝x e x＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为__________ ．答案： 3x－y－ 1＝ 0分析：依题意得 y′＝( x＋1)e x x＋ 2，则曲线y＝x e ＋ 2x－ 1 在点 (0 ，－ 1) 处的切线的斜率k＝(0＋1)e 0＋ 2＝ 3，故曲线y＝x e x＋ 2x－ 1 在点 (0 ，－ 1) 处的切线方程为y＋ 1＝ 3x，即 3x －y－1＝0.(2) 若曲线＝ax 2－ lnx在点(1，) 处的切线平行于x轴，则a＝ __________.y a答案：12分析：易知点 (1 ，a) 在曲线y＝ax2－ ln x 上，1y′＝2ax－x，1∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴ a＝2.[ 考情聚焦 ]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考察题型既有选择题、填空题，也常出此刻解答题的第(1) 问中，难度偏小，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求切线方程[ 典题 3] (1)[2017 ·河北唐山模拟] 曲线y＝ e x－ln x在点 (1 ，e) 处的切线方程为() A．(1 － e) x－y＋ 1＝ 0B．(1 － e) x－y－ 1＝ 0C．(e － 1) x－y＋ 1＝ 0D．(e － 1) x－y－ 1＝ 0[ 答案]C[ 分析]1＝ e－ 1，故曲线y＝e x－ ln x在点 (1 ， e) 处的切线因为 y′＝e－x，所以 y′x＝ 1方程为 y－e＝(e－1)( x－1)，即(e－1) x－ y＋1＝0.x1(2)[2 017·四川雅安模拟 ] 设曲线y＝ e＋2ax 在点(0,1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则实数a＝()A．3B．1 C．2D．0 [ 答案]C[ 分析]∵与直线 x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，01∴f′(0)＝e＋2a＝2，解得 a＝2.(3) 过点A(2,1)作曲线 f ( x)＝ x3－3x的切线最多有()A．3 条B．2 条C．1 条D．0 条[ 答案]A[ 分析]23由题意得， f ′(x)＝3x －3，设切点为 ( x0，x0－ 3x0) ，那么切线的斜率为2k＝3x0－ 3，利用点斜式方程可知切线方程为32x－ x )，将点 A(2,1)代入可得y－( x－ 3x) ＝(3 x－ 3)(0000对于x0 的一元三次方程2362y＝2x3－ 62′＝ 62y′＝0 得0－0＋7＝0.令00＋7，则0－12 0.由x x x yx x32x0＝0或 x0＝2.当 x0＝0时， y＝7＞0；当 x0＝2时， y＝－1＜0.联合函数 y＝2x0－6x0＋7的单32＋7＝ 0有 3个解．故过点A(2,1)3－3x的切线最多有 3调性可得方程 2x0－6x0作曲线 f ( x)＝ x条，应选 A.角度二求切点坐标[典题 4]若曲线 y＝x ln x 上点 P 处的切线平行于直线 2 x－y＋ 1＝0，则点P的坐标是________．[ 答案](e ， e)[ 分析]由题意得′＝ lnx ＋1x，直线 2 －＋ 1＝0 的斜率为 2. 设( ，·＝1＋ lny xx x y P m n)，则1＋ln m＝2，解得 m＝e，所以 n＝eln e＝e，即点 P 的坐标为(e，e)．角度三求参数的值[ 典题 5] (1) 若曲线f ( x) ＝a cos x与曲线g( x) ＝x2＋bx＋ 1 在交点 (0 ，m) 处有公切线，则 a＋ b＝()A．－ 1B．0C．1D．2[答案] C[ 分析 ]∵两曲线的交点为(0 ，m) ，m ＝ a ，∴ ＝ 1，即 a ＝ 1，m∴ f ( x ) ＝ cos x ，∴ ′( ) ＝－ sinx ，fx则 f ′(0) ＝ 0， f (0) ＝1.又 g ′(x ) ＝2x ＋ b ，∴ g ′(0) ＝ b ，∴b ＝ 0，∴ a ＋ b ＝ 1.(2) 若函数 f ( x ) ＝ 1 x 2－ ax ＋ ln x 上存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是2________．[ 答案][2 ，＋∞)[ 分析]∵f ( x ) ＝ 1x 2－ ax ＋lnx ，21∴ f ′(x ) ＝x － a ＋ x .∵ f ( x ) 存在垂直于 y 轴的切线， ∴f ′(x ) 存在零点，1∴x ＋ x － a ＝0 有解，1∴a ＝ x ＋ x ≥2( x ＞ 0) ．[ 画龙点睛 ]1. 注意划分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝ f ( x ) 在点P ( x 0， f ( x 0)) 处的切线方程是 y － f ( x 0) ＝ f ′(x 0)( x － x 0) ；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依照已知点在切线上求解．2 ．已知斜率k ，求切点 ( 0， ( 0)) ，即解方程 ′(0)＝ .A x f x fxk3 ．(1) 依据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P ( x 0， y 0) 既在曲线上又在切线上结构方程组求解．(2) 当切线方程中 x ( 或 y ) 的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.[ 方法技巧]1. f ′(x 0) 代表函数f ( x ) 在x ＝ x 0 处的导数值； [ f ( x 0)]′是函数值f ( x 0) 的导数，而函数值 f ( x 0) 是一个常数，其导数必定为0，即 [ f ( x 0)]′＝ 0.2．对于函数求导，一般要按照先化简再求导的基来源则．求导时，不只要重视求导法例的应用，并且要特别注意求导法例对求导的限制作用，在实行化简时，第一一定注意变换的等价性，防止不用要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数仍是周期函数．[ 易错防备 ] 1. 曲线＝(x ) “在点(0，0)处的切线”与“过点(0，0)的切线”的y f P x y P x y差别：前者P( x0， y0)为切点，尔后者P( x0， y0)不必定为切点．2．利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防备与乘法公式混杂．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的实质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；相同，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝ x3在其过点(0,0)的切线 y＝0的双侧．真题操练集训1．[2014 ·纲领全国卷 ] 曲线y＝x e x－1在点 (1,1)处切线的斜率等于 ()A．2e B．eC．2D．1答案： C分析： y′＝e x－ 1x －1x－ 1处的切线斜率为y′|＝1＝2.＋ xe＝ ( x＋ 1)e，故曲线在点 (1,1)x2．[2014 ·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝－ ln(x＋ 1) 在点 (0,0)处的切线方程为y＝2，ax x则 a＝()A．0B．1C．2D．3答案： D1分析： y′＝ a－x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，所以 a＝3.3．[2016 ·新课标全国卷Ⅲ] 已知f ( x) 为偶函数，当x＜0时， f ( x)＝ln(－ x)＋3x，则曲线 y＝ f ( x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案： y＝－2x－1分析：由题意可得，当x >0 时，f(x) ＝ lnx－ 3，则f′()＝1－ 3，′(1) ＝－ 2，则在x x x f点 (1 ，－ 3) 处的切线方程为y ＋ 3＝－2(x－1)，即y＝－ 2－ 1.x4．[2016 ·新课标全国卷Ⅱ ] 若直线y＝kx＋b是曲线y＝ ln x＋2的切线，也是曲线 y＝ln( x＋1) 的切线，则b＝ ________.答案： 1－ ln 2分析：设 y＝ kx ＋ b 与 y＝ln x＋2和 y＝ln(x＋1)的切点分别为( x1，ln x1＋2)和( x2，ln( x2＋ 1)) ，则切线分别为y－ln1x1－2＝( x－ x1)，x1y－ln( x2＋1)＝x21＋1( x－x2) ，化简得 y＝1x＋ln x1＋1， y＝1x－x2＋ ln( x2＋1) ，x1x2＋1x2＋111依题意，得x1＝x2＋1，x2ln x1＋ 1＝－＋x2＋，2x ＋1解得 x1＝1，从而 b＝ln x1＋1＝1－ln 2.2x15．[2015 ·陕西卷 ] 设曲线y＝e在点 (0,1) 处的切线与曲线y＝x( x＞0)上点 P处的切线垂直，则 P 的坐标为________．答案： (1,1)x x01分析： y′＝e，曲线 y＝e在点(0,1) 处的切线的斜率 k ＝e ＝ 1，设 P( m，n) ，y＝x( x>0)1的导数为 y′＝－12( x>0)，曲线 y＝1( x>0)在点 P 处的切线斜率k2＝－12(m>0)．因为两切线x x m垂直，所以1k 2＝－1，所以＝1，＝ 1，则点P的坐标为 (1,1)．k m n课外拓展阅读求解导数问题最有效的两种解题方法方法一公式法利用导数公式和运算法例求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：第一步，用公式，运用导数公式和运算法例对所给函数进行求导；第二步，得结论；第三步，解后反省．[ 典例 1] [ 改编题 ] 求函数y＝ sin2 2x＋π的导数．3[ 思路剖析 ][ 解]解法一： y′＝2sin 2 ＋πsin2x＋π′33＝2sin2x＋πcos 2x＋π· 2x＋π′333ππ＝4sin 2x＋3 cos 2x＋32π＝2sin 4x＋3 .解法二：设y＝ u2， u＝sin v， v＝2x＋π3，则y′＝y u′·u v′·v x′＝2u·cos v·2＝4sin v cos v＝4sin 2x＋π2 ＋π3 cos x32π＝2sin 4x＋3 .温馨提示当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要依据题中给出的表达式决定是先用四则运算仍是先用复合函数求导法例，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．方法二结构法有些与函数相关的问题没法直接用导数来办理的，需要结构新的函数进行解决，这样的方法称为结构法，其基本的解题步骤是：第一步，结构函数，对要求的函数进行变形，或结构一个新的函数；第二步，运用公式，对变形后的函数或新结构的函数运用导数公式和运算法例进行求导；第三步，得出结论．[ 典例 2]证明：当x＞1时，有ln2(x＋1)＞ln x·ln( x＋ 2) ．[ 思路剖析 ]x＋[证明]构造辅助函数 f ( x)＝x ( x＞ 1)，于是有 f ′(x)＝ln x ln x－x＋x＋x x＋2x.因为 1＜x＜x＋ 1，所以 0＜ ln x＜ln( x＋1)，即 x ln x＜( x＋1)ln( x＋1)．则在 (1 ，＋∞ ) 内恒有f′(x) ＜0，故 f ( x)在(1，＋∞)内单一递减．又 1＜x＜x＋1，则 f ( x)＞ f ( x＋1)，x＋x＋即＞，ln x x＋所以 ln2＞ ln x·ln( x＋2)．( x＋ 1)技巧点拨要证明 f ( x)＞ g( x)，x∈( a， b)，能够结构函数F( x)＝f ( x)－ g( x)，假如 F′(x)＞0，则F( x)在( a，b)内是增函数，同时 F( a)≥0，则有 x∈( a，b)时，F( x)＞0，即证了然 f ( x)＞g( x)．同理可证明 f ( x)＜g( x)．但要注意，此法中所结构的函数F( x)在给定区间内应是单一的．混杂“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误3215[典例 3]若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ＝ x 和 y ＝ a x ＋ 4 x － 9 都相切，则 a ＝ ()25 21A ．－ 1 或－ 64B ．－1 或 4C ．－7或－25D ．－7或74644[ 易错剖析 ] 没有对点 (1,0) 能否为切点进行剖析，误以为是切点而犯错．[ 分析]因为 y ＝ x 3，所以 y′＝ 3 2，x设过点 (1,0) 的直线与 y ＝ x33 ) ，相切于点 ( x ， x则在该点处的切线斜率为k 2＝ 3x 0，所以切线方程为32( x － x 0) ，y － x 0＝ 3x 02 3即 y ＝ 3x x － 2x . 又点 (1,0) 在切线上，所以 x ＝ 0 或 x3＝ 2.0 021525当 x 0＝0 时，切线方程为y ＝ 0，由 y ＝ 0 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切可得 a ＝－ 64；3272727 27215当 x 0＝ 2时，切线方程为 y ＝ 4 x － 4 ，由 y ＝ 4 x － 4 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切，可得 a ＝－ 1.25综上， a 的值为－ 1 或－.[答案]A易错提示1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个重点点，所以求导公式、求导法则及导数的计算原则要娴熟掌握．2．对于已知的点，应先确立其能否为曲线的切点，从而选择相应的方法求解．提示达成课时追踪检测 ( 十三 )。

【配套K12】2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算理

第三章导数及其应用 3.1 导数的概念及运算理1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作()00|x x f x y ''＝或，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f xg x ]′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.[1fx ]′＝－f x [fx2(f (x )≠0)．3.[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2答案 C解析 f ′(x )＝e x＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2答案 A解析由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，当t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14.4．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝ .答案－ 2解析因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.5．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程是．答案 5x ＋y ＋2＝0解析因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.题型一导数的计算例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x)′＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos xex )′＝cos x ′·e x－cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2∴y ′＝2cos(2x ＋π3)．(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 (1)2x ＋y ＋1＝0 (2)B解析 (1)设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点2 求参数的值例3 (1)(2016·泉州模拟)函数y ＝e x的切线方程为y ＝mx ，则m ＝ .(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x，得00|e xx x y ＝＝，从而切线方程为000e e ()xxy x x －＝－，又切线过定点(0,0)，从而000e e ()xxx －＝－，解得x 0＝1，则m ＝e. (2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D解析函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)(2017·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12(2)(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，π2|1.x y ∴'＝＝－由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3．求曲线的切线方程典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．错解展示现场纠错解易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，0|x x k y '＝＝＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．1秒 B ．1秒末和2秒末 C ．4秒末 D ．2秒末和4秒末答案 D解析 s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4.(2017·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案 B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 5．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则001|x x y x '＝＝，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e. 6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析由题意可知121(),2f x x -'=g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ . 答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.所以函数在(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)．将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝1＋3a ，解得a ＝1.8．(2016·邯郸模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于．答案 12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)． ∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2. 9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. *10.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为．答案－1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.11．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0|x x y ＝＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．*13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x. (2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。