高考理科数学卷(21)

合集下载

2021年高考理科数学全国1卷(word版,含答案)

2021年高考理科数学全国1卷1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图所示，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图所示，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图所示：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图所示，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图所示，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图所示，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图所示，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。

新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)

绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。

2022年全国甲卷数学(理科)高考真题原卷及参考答案

既然已经出发，就一定能到达！2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若1z =−，则1zzz =−（）。

A ．1−+B ．1−C ．1i 33−+ D ．1i 33−− 2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差- 2 -3．设全集{2,1,0,1,2,3}U =−−，集合{}2{1,2},430A B x x x =−=−+=∣，则()U A B =ð（）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}−D ．{2,0}−4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．20 5．函数()33cos x x y x −=−在区间ππ,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．6．当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2−，则(2)f '=（） A ．1− B ．12− C ．12D ．17．在长方体1111ABCD A B C D −中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒ C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒既然已经出发，就一定能到达！8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B C D 9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（）A B ． C D ．410．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A ．2 B ．2 C ．12 D ．1311．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（） A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦12．已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016全国高考数学卷理科1压轴题第21题分析

(2016全国卷1理21题)已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点。

（1）求a 的取值范围。

（2）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：.221<+x x考点分析：零、方程根、图象交点问题的相互转化。

不等式的单调性转化。

如何用导数求最值。

难度系数：0.1解：（1）：零点2)1()2(0)(--=-⇔=⇒x e x a x f x 有两个零点。

221)1()2(,--=-=x e x y a y x两条曲线有两个交点。

接下来画图即可。

首先验证1=x 不是其零点。

因为接下来讨论过程中1=x 不在定义中。

32432)1()54()1()2)(1(2)1(-+-=-----='x x x e x e x x e x y x x x 所以2y 在)1,(-∞递减，),1(+∞递增，大致图象为：所以只有当0>a 时图象21,y y 才有两个交点。

即函数)(x f 有两个零点。

（2）：)2)(1()(a e x x f x +-='，由于0>a 所以)(x f 在)1,(-∞上单调递减。

设21x x <。

由（1）知),1(),1,(21+∞∈-∞∈x x ，所以)1,(22-∞∈-x 。

所以)2()(022212121x f x f x x x x ->=⇔-<⇔<+由于0)1()2()(22222=-+-=x a e x x f x 所以22)2()2(2222x x e x ex x f ---=-- 下面构造函数1,)2()(2>---=-x e x xe x g x x).)(1()(2x x e e x x g --='-所以当1>x 时)(0)(x g x g ⇒<'在),1(+∞递减。

所以0)1()(=<g x g 。

所以0)2(2<-x f 恒成立。

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(学生版+解析版)

2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合M ＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |13≤x ≤5}，则M ∩N ＝（）A ．{x |0＜x ≤13}B ．{x |13≤x ＜4}C ．{x |4≤x ＜5}D ．{x |0＜x ≤5}2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．（5分）已知（1﹣i ）2z ＝3+2i ，则z ＝（） A ．﹣1−32iB ．﹣1+32iC ．−32+iD ．−32−i4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.65．（5分）已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为（）A ．√72B ．√132C ．√7D ．√136．（5分）在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A ﹣EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ．设甲：q ＞0，乙：{S n }是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A '，B '，C '满足∠A 'C 'B '＝45°，∠A 'B 'C '＝60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A 'B 'C '的高度差AA '﹣CC '约为（）（√3≈1.732）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（5分）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tan α＝（）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√15310．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A ．13B ．25C ．23D ．4511．（5分）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O ﹣ABC 的体积为（） A ．√212B ．√312C ．√24D ．√3412．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝6，则f （92）＝（）A ．−94B ．−32C ．74D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023新高考数学1卷21题

2023新高考数学Ⅰ卷第21题21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．【参考答案】（1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ （3）52()11853n n E Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【基本思路】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设()i i P A p =，由题意可得10.40.2i i p p +=+，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【详细解析】⑴记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+ ()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.⑵设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ⑶因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315n n n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-L ，故52()11853n n E Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．。

2020年全国II卷理科数学高考试卷(含答案)

下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。

下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块。

已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 A. 5 B. 255C. 355D.456.数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点。

若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．329.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10. 已知△ABC 是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上。

若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32C. 1D．11. 若2233,x y x y ---<-则A. 1(1)0n y x -+>B. 1(1)0n y x -+<C. ln 0x y ->D. 10n x y -<12. 01-周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列12...n a a a 满足 {}10,1(1,2,...)a i ∈=,且存在正整数m ,使得i i (1,2,...)m a a i +==成立,则称其为01-周期序列,并满足i i (1,2,...)m a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期,对于周期为m 的0-1序列12,,...n a a a , 11()(1,2,...1)m i i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1的序列中,满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023新高考一卷数学21题

2023新高考一卷数学21题随着教育体制的不断更新和改革，2023年的新高考制度将正式实施。

其中，数学是高考科目中的重要一环。

本文将围绕2023新高考数学科目的一卷试卷中的第21题展开详细阐述和解答。

通过对该题的分析和解答过程，我们将帮助学生逐步思考、理解，并掌握解题的技巧和方法。

21. 若正数a、b、c满足条件abc=1，证明a^3 + b^3 + c^3 ≥a^2 + b^2 + c^2。

一、题目理解和思路确定1.1 首先，我们要理解题目的意思。

题目给出了一个条件：正数a、b、c满足abc=1。

我们需要证明不等式a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2 +b^2 + c^2成立。

1.2 接下来，我们可以通过尝试具体的数值来验证不等式是否成立，例如取a=1，b=2，c=0.5。

将这些数带入不等式中，验证其是否满足。

二、正面证明法2.1 我们可以采用正面证明法来证明该不等式。

即，从已知条件和基本的数学性质出发，逐步推导得出结论。

2.2 首先，根据条件abc=1，我们可以得到ab=1/c，ac=1/b，bc=1/a这三个等式。

2.3 接着，我们将不等式右侧的每项展开：a^2 + b^2 + c^2 = (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2。

2.4 将第2步中的三个等式带入上述展开的式子中，得到a^2 +b^2 + c^2 = (1/c)^2 + (1/b)^2 + (1/a)^2。

2.5 进一步化简上述式子，得到a^2 + b^2 + c^2 = 1/c^2 +1/b^2 + 1/a^2。

2.6 同理，我们将不等式左侧的每一项展开，并代入第2步中得到的三个等式：a^3 + b^3 + c^3 = (abc)(a+b+c)。

2.7 根据条件abc=1，我们可以将上述式子化简为a^3 + b^3 +c^3 = a+b+c。

2.8 现在我们将不等式a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2 + b^2 + c^2重新表述为a+b+c ≥ 1/c^2 + 1/b^2 + 1/a^2。

2021年高考新课标2数学(理)试卷及答案

2021年高考新课标2数学（理）试卷及答案2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷二ⅱ）第ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设子集m=｛0,1,2｝，n=?x|x2?3x?2≤0?，则m?n=()a.｛1｝【答案】d【ks5u解析】b.｛2｝c.｛0，1｝d.｛1，2｝把m=｛0,1,2}中的数,代入不等式x2-3x+2≤0,经检验x=1,2满足用户。

所以挑选d.2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1?2?i，则z1z2?（）a.-5【答案】b【ks5u解析】b.5c.-4+id.-4-iz1=2+i,z1与z2关于虚轴对称，∴z2=-2+i,∴z1z2=-1-4=-5,故选b.3.设向量a,b满足用户|a+b|=10，|a-b|=6，则a?b=()a.1【答案】a【ks5u解析】b.2c.3d.5|a+b|=10,|a-b|=6,，∴a+b+2ab=10，a+b-2ab=6,联立方程Champsaurab=1,故挑选a.4.钝角三角形abc的面积是1，ab=1，bc=2，则ac=()22222a.5【答案】b【ks5u解析】b.5c.2d.1第1页共1页1112acsinb=?2?1?sinb=∴sinb=,2222π3ππ∴b=,或.当b=时，经计算δabc为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。

4443π∴b=，采用余弦定理，b2=a2+c2-2accosb,Champsaurb=5.故挑选b.4?sδabc=5.某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率就是0.75，已连续两为优良的概率就是0.6，未知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率就是（）a.0.8b.0.75c.0.6d.0.45【答案】a【ks5u解析】设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p,则据题有0.6=0.75?p,解得p=0.8,故选a.6.例如图，网格纸上正方形小格的边长为1（则表示1cm）,图中粗线孔颖草的就是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，低为6cm的圆柱体毛坯焊接获得，则焊接掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）a.17b.5c.10d.1279273【答案】c【ks5u解析】加工前的零件半径为3，高6，∴体积v1=9π?6=54π.?加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2.∴体积v2=4π?4+9π?2=34π.∴削掉部分的体积与原体积之比=54π-34π10=.故选c.54π277.继续执行右图程序框图，如果输出的x,t均为2，则输入的s=（）a.4b.5c.6d.7【答案】c【ks5u解析】第2页共2页x=2,t=2,变量变化情况如下：msk131252273故选c.8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=a.0b.1c.2d.3【答案】d【ks5u解析】f(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a-1.x+1∴f(0)=0,且f′(0)=2.联立解得a=3.故选d.?x?y?7≤0?9.设x,y满足用户约束条件?x?3y?1≤0，则z?2x?y的最大值为（）?3x?y?5≥0?a.10b.8c.3d.2【答案】b【ks5u解析】图画出来区域，所述区域为三角形，经比较斜率，所述目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,获得最大值z=8.故挑选b.10.设f为抛物线c:y2?3x的焦点，过f且倾斜角为30°的直线交c于a,b两点，o 为坐标原点，则△oab的面积为（）a.3393b.c.63d.983244【答案】d【ks5u解析】第3页共3页设点a、b分别在第一和第四象限，af=2m,bf=2n，则由抛物线的定义和直角三角形科学知识可以得，33332m=2?+3m,2n=2?-3n，Champsaurm=(2+3),n=(2-3),∴m+n=6.4422139∴sδoab=??(m+n)=.故挑选d.24411.直三棱柱abc-a1b1c1中，∠bca=90°，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bm与an所成的角的余弦值为（）a.1b.2c.10530d.1022【答案】c【ks5u解析】例如图，分别以c1b1，c1a1，c1c为x,y,z轴，创建坐标系。

对2007年浙江省高考数学卷理科第21题的分析

对2007年浙江省高考数学卷理科第21题的分析2007年浙江省高考数学卷理科第21题目可以说是一道具有悬念的非常有挑战的考题，考生在解答的过程中充满了挣扎。

本文将对此题的解答方法进行细致的分析，并就其中所涉及的各种数学思想进行研究，以期为今后类似题目的解答提供参考。

2007年浙江省高考数学卷理科第21题的内容如下：已知正数x, y满足xy = (x + y)2，且(x + y)2 = 14，求 x + y值。

此题考查的是平方及其与等式之间的关系，此类题目也是一般雅思、托福、SAT数学考试中经常出现的类型。

首先，考生必须弄清楚给定条件，然后根据条件来解决问题。

先解求x, y的值，令x2 = a，y2 = b，则可得a + b = 14，ab = 14，联立式则有a = 7, b = 2.令x=√a，y =b，则可得x = 7, y = 2.由于给定的条件与式子已经非常简单，那么答案就很简单了，有x + y = 9.在数学中，需要深入掌握平方及相关关系，以及等式的性质，熟练掌握平方右侧两数相等，左右乘积也相等的性质，有助于解决更复杂的问题，并能从中掌握到数学解题的一般思路。

此外，可以尝试用实际的例子来模拟考题的意图，比如说用数学中的等式：2x + 3y =7，其中x,y分别为2,1时，可以结合已知条件进行数学推理，从而获得更加熟练的解题方法。

在本题中，考生需要熟练掌握数学中平方及相关关系，同时可以尝试用实际的例子来模拟题目，这样就可以更好地掌握数学解题的一般思路，从而更快、更准确地解题。

综上所述，2007年浙江省高考数学卷理科第21题目涉及了平方及其与等式之间的关系，这是一道非常有挑战的考题，考生需要熟悉基本的数学思想，灵活运用它们，以期能解决类似题目。

2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理科）注意事项:1．答卷前,考生务必将自己地姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号。

回答非选择题时,将解析写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。

1．设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则（）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉2．已知12i z =-,且0z az b ++=,其中a ,b 为实数,则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-3．已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3==-=a b a b ,则⋅=a b （）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行地人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期地比值,用到数列{}n b :1111b α=+,212111b αα=++,31231111b ααα=+++,…,依此类推,其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <5．设F 为抛物线2:4C y x =地焦点,点A 在C 上,点(3,0)B ,若||||AF BF =,则||AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．326．执行下边地程序框图,输出地n =（）位:3m ）,得到如下数据:样本号i 12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量i y 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵地根部横截面积与平均一棵地材积量；（2）求该林区这种树木地根部横截面积与材积量地样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木地根部横截面积,并得到所有这种树木地根部横截面积总和为2186m ．已知树木地材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木地总材积量地估计值．附:相关系数i=122=1=1()(), 1.89617()7().3nii n niii i x x y y r x x y y -=-≈--∑∑∑．20．（12分）已知椭圆E 地中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 地方程；（2）设过点()1,2P -地直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴地直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT TH =．证明:直线HN 过定点．21．（12分）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++.（1）当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处地切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点,求a 地取值范围．（二）选考题,共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做地第一题计分．22．[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 地参数方程为3cos 2,2sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 地极坐标方程为sin 03m ⎛⎫⎪⎝=⎭π++ρθ．（1）写出l 地直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点,求m 地取值范围．23．[选修4-5:不等式选讲]（10分）已知a ,b ,c 都是正数,且3332221a b c ++=,证明:（1）19abc ≤；（2）12a b c b c a c a b abc++≤+++．2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考解析注意事项:1．答卷前,考生务必将自己地姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. A2. A3. C.4. D5. B6. B7. A8. D9. C 10.D 11. C12. D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 31014. ()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；15. 316. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题:共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．（一）必考题:共60分．17. （1）证明:因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-,所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-,所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅,即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-,所以2222a b c =+；（2）解:因为255,cos 31a A ==,由（1）得2250b c +=,由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-, 则50502531bc -=,所以312bc =,故()2222503181b c b c bc +=++=+=,所以9b c +=,所以ABC 地周长为14a b c ++=.18. （1）因为AD CD =,E 为AC 地中点,所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD 中,因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==,所以ABD CBD ≌△△,所以AB CB =,又因为E 为AC 地中点,所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ,DE BE E ⋂=,所以AC ⊥平面BED ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ,由（1）知,AC ⊥平面BED ,因为EF ⊂平面BED ,所以AC EF ⊥,所以1=2AFC S AC EF ⋅△,当EF BD ⊥时,EF 最小,即AFC △地面积最小.因为ABD CBD ≌△△,所以2CB AB ==,又因为60ACB ∠=︒,所以ABC 是等边三角形,因为E 为AC 地中点,所以1AE EC ==,3BE =,因为AD CD ⊥,所以112DE AC ==,在DEB 中,222DE BE BD +=,所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如下图所示地空间直角坐标系E xyz -,则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,1A B D ,所以()()1,0,1,1,3,0AD AB =-=-,设平面ABD 地一个法向量为(),,n x y z =,则030n AD x z n AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,取3y =,则()3,3,3n = ,又因为()331,0,0,0,,44C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以331,,44CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ,所以643cos ,77214n CF n CF n CF⋅===⨯,设CF 与平面ABD 所成地角地正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,所以43sin cos ,7n CF θ== ,所以CF 与平面ABD 所成地角地正弦值为437.19.（1）样本中10棵这种树木地根部横截面积地平均值（1）解:设椭圆E 地方程为221mx ny +=,过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭,则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得13m =,14n =,所以椭圆E 地方程为:22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --,所以2:23+=AB y x ,①若过点(1,2)P -地直线斜率不存在,直线1x =.代入22134x y+=,可得26(1,)3M ,26(1,)3N -,代入AB 方程223y x =-,可得26(63,)3T +,由MT TH = 得到26(265,)3H +.求得HN 方程:26(2)23y x =--,过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -地直线斜率存在,设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=,可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩,且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--,将(0,2)-,代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=,将(*)代入,得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立,综上,可得直线HN 过定点(0,2).-21. （1）()f x 地定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处地切线方程为2y x =（2）()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x xa x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1xg x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -……,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 地取值范围为(,1)-∞-（二）选考题,共10分．请考生在第22按所做地第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.（1）因l :sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=,所以1sin 2ρθ⋅为。

高考真题的分析与解—2022年全国甲卷理科数学第21题

解法要点：1．指对同构与换元；2．复合函数的零点；3．极值点偏移．【2022年全国甲卷理T21/21】已知函数()ln xe x xf x x a -+-=．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．【答案】（1）(,e 1]-∞+．解法一：（1）设ln 1t x x =-≥，则ln e e e xx x t x-==，()0e 0e t t f x t a a t ≥⇔+-≥⇔≤+， ∴min (e )e 1t a t ≤+=+，a 的取值范围为(,e 1]-∞+．（2）()0e 0e t tf x t a a t =⇔+-=⇔=+，e t a t =+有唯一解t ，1122ln ln x x x x t -=-=，（一）（极值点偏移）设11()(ln )(ln )g x x x x x =---．（二）21211ln ln x x x x -=-．解法二：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2111()e 1x f x x x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭1111e 1e 11x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()0f x =，得1x =，当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减；当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)e 1f x f a ≥=+-，若()0f x ≥,则e 10a +-≥，即1a e ≤+，所以a 的取值范围为(,1]e -∞+．（2）由（1）知，()f x 一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设121x x ，要证121x x <，即证121x x <，因为121,(0,1)x x ∈，即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为()()12f x f x =，即证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x-+--->∈+∞，即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．下面证明1x >时，1e 11e 0,ln 02x x x x x x x ⎛⎫->--< ⎪⎝⎭．设11(),e e xx g x x xx =->，则11122111111()e e e 1e e 1x x x x x g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111e 1e 1e e x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()()22e 1111,e e 0x x x x x x x x x x x ϕϕ-⎛⎫=>=-=⎪⎭'> ⎝，所以()()1e x ϕϕ>=，而1e e x <，所以1e e 0xx x->，所以()0g x '>，所以()g x 在(1,)+∞单调递增，即()(1)0g x g >=，所以1e e 0xx x x ->，令11()ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则2222211121(1)()10222x x x h x x x x x ----⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭，所以()h x 在(1,)+∞单调递减，所以()(1)0h x h <=，所以11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，综上所述，1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以121x x <．。

2011年全国卷1高考理科数学试题含答案word版

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021年全国高考乙卷数学(理)试题(解析版)

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A. 12i - B. 12i +C. 1i +D. 1i -【答案】C 【解析】【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.2. 已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （） A. ∅ B. SC. TD. Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，ST T =.故选：C.3. 已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（） A. p q ∧ B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. ()p q ⌝∨【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin 0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ． 4. 设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A. ()11f x -- B. ()11f x -+C. ()11f x +-D. ()11f x ++【答案】B 【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不奇函数；对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5. 在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（） A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D 【解析】【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B === 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A. 60种 B. 120种C. 240种D. 480种【答案】C 【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7. 把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，则()f x =（） A. 7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭B. sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭ C. 7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D. sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+, 所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.8. 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（） A.79B.2332C.932D.29【答案】B 【解析】【分析】设从区间0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．9. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（）A.⨯+表高表距表目距的差表高B.⨯-表高表距表目距的差表高C. ⨯+表高表距表目距的差表距D.⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而CH CE EH CG EH EG =-=-+，即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差．故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 10. 设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A. a b <B. a b >C. 2ab a <D. 2ab a >【答案】D 【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab .()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >. 综上所述，2ab a >成立. 故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.11. 设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A. 2⎫⎪⎪⎣⎭B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 20,2⎛ ⎝⎦D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤；当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．12. 设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（） A. a b c << B. b c a << C. b a c << D. c a b <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 11f x x =+,()()ln 121g x x =+，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系. 【详解】()()2222ln1.01ln1.01ln 10.01ln 120.010.01ln1.02a b ===+=+⨯+>=,所以b a <;下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+,则()00f =,()2121x f x x -='=+ 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>,()1x >+,()0f x '>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=,即2ln1.011>,即a c >;令()()ln 121g x x =+,则()00g =,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即ln1.021,即b <c ;综上，b c a <<, 故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4 【解析】【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程0my +=化简得y =，即b a =，同时平方得2223b a m=，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键. 14. 已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．15. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，13sin 32ABCSac B ac ===，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =（负值舍去）. 故答案为：22.16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCD A BC D -中，12,1AB BC BB ===， ,E F 分别为棱11,BC BC 的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF -. 故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.810.3 10.0 10.29.99.810.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==.（2）依题意，20.320.1520.1520.0225y x -==⨯==，0.0360.04220.007610+=，2212210s s y x +-≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 18. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．【答案】（12（270【解析】【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2BC a =，由已知条件得出0PB AM ⋅=，求出a 的值，即可得出BC 的长；（2）求出平面PAM 、PBM 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ，则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得22a =，故22BC a =；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则22AM ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-，由11112020m AM y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，设平面PBM法向量为()222,,n x y z =，22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,1BP =--，由222220220n BM x n BP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，314cos ,1472m n m n m n⋅<>===⨯⋅，所以，270sin ,1cos ,m n m n <>=-<>=因此，二面角A PM B --【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.19. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【解析】【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列; （2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】（1）由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-, 由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b nS b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n 项和与项的关系，数列的前n 项积与项的关系，其中由1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,得到1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，进而得到111221n n n nb b b b +++=-是关键一步；要熟练掌握前n 项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.20. 设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．【答案】（1）1a =；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）由题意求出'y ，由极值点处导数为0即可求解出参数a ；（2）由（1）得()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-，1x <且0x ≠，分类讨论()0,1x ∈和(),0x ∈-∞，可等价转化为要证()1g x <，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-在()0,1x ∈和(),0x ∈-∞上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--，()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-，又0x =是函数()y xf x =的极值点，所以()'0ln 0y a ==，解得1a =；（2）由（1）得()()ln 1f x x =-，()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-，1x <且0x ≠，当 ()0,1x ∈时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x >-<， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；同理，当(),0x ∈-∞时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x <->， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；令()()()1ln 1h x x x x =+--，再令1t x =-，则()()0,11,t ∈+∞，1x t =-，令()1ln g t t t t =-+，()'1ln 1ln g t t t =-++=，当()0,1t ∈时，()'0g t <，()g t 单减，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=；当()1,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单增，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=；综上所述，()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-在()(),00,1x ∈-∞恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数a ，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.21. 已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【答案】（1）2p =；（2）【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p 的等式，即可解出p 的值；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求出直线PA 、PB ，进一步可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求出AB 以及点P 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB △面积的最大值. 【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x x y y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值321202⨯=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=+【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于1可得211k=+，解得3k =±，所以切线方程333430x y -+-=或333430x y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()433πρθ+=-或2cos()433πρθ-=+【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23. 已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.。

2021年全国统一高考理科数学试卷(全国甲卷)(含详细解析)

2021年全国统一高考理科数学试卷(全国甲卷)(含详细解析)2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号；2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑选项，非选择题在答题卡上作答；3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

1.(5分) 设集合M={x|0<x<4}，N={x|≤x≤5}，则M∩N=（）A。

{x|0<x≤} B。

{x|≤x<4} C。

{x|4≤x<5} D。

{x|0<x≤5}2.(5分) 对某地农村经济情况进行抽样调查，得到收入频率分布直方图。

下列结论中不正确的是（）A。

低于4.5万元的农户比率估计为6%B。

不低于10.5万元的农户比率估计为10%C。

农户年收入平均值不超过6.5万元D。

有一半以上的农户年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.(5分) 已知，则z=（）A。

-1-i B。

-1+i C。

+i D。

-i4.(5分) 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。

已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）1.5、1.2、0.8、0.65.(5分) 已知双曲线C的两个焦点为F1和F2，点P在C上且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A.≈1.259 B。

C。

D.6.(5分) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E、F、G。

该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（）A。

B。

C。

D.7.(5分) 等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:{Sn}是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.(5分) 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。

2022年全国高考数学(理科)真题及答案解析

2022年高考（乙卷）数学（理科）真题及答案解析一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则( )A. 2∈MB. 3∈MC. 4∉MD. 5∉M2.已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则( )A. a=1，b=−2B. a=−1，b=2C. a=1，b=2D. a=−1，b=−23.已知向量a，b满足|a⃗|=1，|b⃗ |=√3，|a⃗−2b⃗ |=3，则a⃗·b⃗ =( )A. −2B. −1C. 1D. 24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n}:b1=1+1a1，b2=1+1α1+1a2，31231111bααα=+++，⋯，依此类推，其中a k∈N∗(k=1,2,⋯).则( )A. b1<b5B. b3<b sC. b6<b2D. b4<b75.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )A. 2B. 2√2C. 3D. 3√26.执行右边的程序框图，输出的n=( )A. 3B. 4C. 5三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)．(1)证明：2a 2=b 2+c 2;(2)若a =5，cosA =2531，求ΔABC 的周长．18. 如图，四面体ABCD 中AD ⊥CD ，AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，E 为AC 中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD;(2)设AB =BD =2，∠ACB =600，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值．19. 某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：m 2)和材积量(m 3)，得到如下数据：样本数号i 12345678910 总和根部横截面积x i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y i0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.403.9并计算得∑x i 210i=1=0.038，∑y i 210i=1=1.6158，∑x i 10i=1y 1=0.2474．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量： (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r =∑(x i −x )n i=1(y i −y )√∑(x i −x )2ni=1∑(y i −y )2n i=1，√1.896≈1.377．20. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过A(0,−2)，B(32,−1)两点(1)求E 的方程;(2)设过点P(1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明：直线HN 过定点． 21. 已知函数f(x)=ln(1+x)+axe −x ．(1)当a =1时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程：解：由题设，|a⃗−2b⃗ |=3，得|a⃗|−4a⃗⋅b⃗ +4|b⃗ |2=9，代入|a⃗|=1，|b⃗ |=√3，有4a⃗⋅b⃗ =4，故a⃗·b⃗ =14.【答案】D【解析】【分析】本题考查社会生活中的数列的比较大小，考查运算推导能力，属于基础题．利用递推关系进行大小的比较．【解答】解：由已知b1=1+1a1，b2=1+1a1+1a2，1a1>1a1+1a2，故b1>b2;同理可得b2<b3，b1>b3,又因为1a2>1a2+1a3+1a4，故b2<b4，于是得b1>b2>b3>b4>b5>b6>b7>...，排除A．1 a2>1a2+1a3+...1a6，故b2<b6，排除C，而b1>b7>b8，排除B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题．【解答】解：易知抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)，于是有|BF|=2，故|AF|=2，注意到抛物线通径2p=4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，于是有|AB|=√22+22=2√2．6.【答案】B【解析】8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列前 n 项和中的基本量计算，属于基础题．根据题干列出等式求得 a 1 与 q ，进而求出 a 6 ．【解答】解：设等比数列 {a n } 首项 a 1 ，公比 q ．由题意， {a 1+a 2+a 3=168a 2−a 5=42 ，即 {a 1(1+q +q 2)=168a 1q(1−q 3)=42 ，即 {a 1(1+q +q 2)=168a 1q(1−q)(1+q +q 2)=42解得， q =12 ， a 1=96 ，所以 a 6=a 1q 5=3 ．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥体积，最值计算．【解答】解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是边长为 a 的正方形，底面所在圆面的半径为 r ，则 r =√22a ，所以该四棱锥的高 ℎ=√1−a 22，所以体积V =13a 2√1−a 22，设 a 2=t (0<t <2) ，V =13√t 2−t32 ， (t 2−t 32)′=2t −3t 22，当 0<t <43 ， (t 2−t 32)′>0 ，单调递增，当 43<t <2 ， (t 2−t 32)′<0 ，单调递减，所以当 t =43 时， V 取最大，此时 ℎ=√1−a22=√33，10.【答案】D【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的计算，属于中档题．根据题意计算出P甲，P乙，P丙，然后作差比较大小．【解答】解：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙由题意P甲=p1[p2(1−p3)+p3(1−p2)]=p1p2+p1p3−2p1p2p3，P乙=p2[p1(1−p3)+p3(1−p1)]=p1p2+p2p3−2p1p2p3，P丙=p3[p1(1−p2)+p2(1−p1)]=p1p3+p2p3−2p1p2p3，所以P丙−P甲=p2(p3−p1)>0，P丙−P乙=p1(p3−p2)>0，所以P丙最大．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题．【解答】解：由题意，点N在双曲线右支.记切点为点A，连接AD，则AD⊥MN，|AD|= a，又|DF1||=c，则|AF1|=√c2−a2=b.过点F2作F2B⊥MN交直线MN于点B，连接F2N，则F2B//DA，又点D为F1F2中点，则|F2B|=2|DA|=2a，|F1B|=2|AF1|= 2b．由cos∠F1NF2=35，得sin∠F1NF2=45，tan∠F1NF2=43所以|F2N|=|F2B|sin∠F1NF2=5a2，|BN|=|F2B|tan∠F1NF2=3a2．故|F1N|=|F1B|+|BN|=2b+3a2，由双曲线定义，|F1N|−|F2N|=2a，则2b−a=2a，即ba =32，所以e=√1+b2a2=√1+94=√132.(此题是否有另外一解，待官方公布)12.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的对称性，周期性，属于拔高题．【解答】解：若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2−x)=g(2+x)，因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(−x)+g(2+x)=5，故f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数.由g(2)=4，f(0)+g(2)=5，得f(0)=1.由g(x)−f(x−4)=7，得g(2−x)= f(−x−2)+7，代入f(x)+g(2−x)=5，得f(x)+f(−x−2)=−2，f(x)关于点(−1,−1)中心对称，所以由于E 为AC 中点∴EF ⊥AC 当ΔAFC 的面积最小时∴EF ⊥BD在RtΔDEB 中，∵BE =√3，DE =1∴EF =√32，BF =32如图，以点E 为坐标原点，直线AC 、EB 、ED 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． C(−1,0,0)、A(1,0,0)、B(0,√3,0)、D(0,0,1)、F(0,√34,34)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,0) ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√34,34)设平面ABD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z) 可得{BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0设y =1∴m ⃗⃗⃗ =(√3,1,√3)设m⃗⃗⃗ 与CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为α，CF 与平面ABD 所成角的为θ ∴sinθ=|cosα|=|m ⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |·|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=4√37所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为4√37．【解析】本题考查面面垂直的判定，及线面角的求解，属于中档题．19.【答案】解：(1)设这种树木平均一课的根部横截面积为x ，平均一个的材积量为y ，则x =0.610=0.06，y =3.910=0.39．(2)r =∑x i n i=1y i −nx y√(∑x i 2n i=1−nx 2)(∑y i 2n i=1−ny 2)=0.2474−10×0.06×0.39√0.038−10×0.062√1.6158−10×039)2=0.0134√0.002×0.0948=0.01340.01×√1.896=0.01340.01377=0.97； (3)设从根部面积总和为X ，总材积量为Y ，则XY =xy ，故Y =3.90.6×186=1209(m 3). 【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题．20.【答案】解：(1)设E 的方程为x 2a 2+y2b 2=1，将A(0,−2)，B(32,−1)两点代入得。

2021年高考安徽卷理科数学试题及解答

普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第 Ⅱ卷第 3 至第 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么球的表面积公式P ( A + B ) = P ( A ) + P (B ) S = 4πR 2如果事件 A ，B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径P ( A B ) = P ( A ) + P (B )1+ 2 + + n = n (n +1)212 + 22 + + n 2 =n (n +1)(2n +1)6 球的体积公式V = 4 πR 33其中 R 表示球的半径3 3 3n 2 (n +1)21 +2 + + n =4第 I 卷（选择题共 55 分）一、选择题：本大题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为（）(A) f (x ) = x 3, x ∈ [0,+∞)(C) f (x ) = c x, x ∈ (-∞,+∞)（B ） f (x ) = x 3 , x ∈ [- ∞,+∞) (D) f (x ) = 1, x ∈ (0,+∞)x(2)设 l,m,n 均为直线，其中 m,n 在平面α 内，“l ⊥ α ”是 l ⊥ m 且“l ⊥ n ”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件(C)充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(3)若对任意 x ∈R ,不等式 x ≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）(A)a ＜-1(B) a ≤1(C) a ＜1 （D ）a ≥1（4）若 a2 + ai＝-I ，则 a 等于（）（A ）（B ）- （C ）2 （D ）-2 （5）若 A = {x ∈ Z 2 ≤ 22-x8 }， B = {x ∈R | log 2 x 1 }，则 A ⋂ (C R B ) 的元素个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）32 22225 2 2 36 3 11⎨ ⎩⎛π ⎫ （6）函数 f (x ) = 3sin 2x - ⎪ 的图象为C ，⎝⎭ ①图象C 关于直线 x = π 对称；12 ②函数 f (x ) 在区间⎛ - π 5π ⎫， ⎪ 内是增函数； ⎝ 12 12 ⎭π③由 y = 3sin 2x 的图象向右平移 3个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3⎧2x - y + 2 ≥ 0（7）如果点 P 在平面区域 ⎪x - 2 y + 1 ≤ 0 上，点Q 在曲线 x 2 + ( y + 2)2= 1上，那么 PQ ⎪x + y - 2 ≤ 0的最小值为（） 4 （A ） - 1（B ） - 15 （C ） 2 - 1 （D ） - 1（8）半径为 1 的球面上的四点 A , B , C , D 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点间的球面距离为（）（A ） arccos(-) 3（B ） arccos(- ) 3 （C ） arccos(- 1) （D ） arccos(- 1 ) 3 4x 2r 2（9）如图， F 1 和 F 2 分别是双曲线 a 2 - b2 = 1(a 0, b 0) 的两个焦点， A 和 B是以O 为圆心，以 OF 1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2 AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A ）（B ）（C ）2（D ）1 +（10）以φ(x ) 表示标准正态总体在区间（ - ∞, x ）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布 N (μ,σ2) ，则概率 P (ξ- μ σ) 等于（A ）φ(μ+σ) -φ(μ-σ)1 - μ（C ）φ(（B ）φ(1) -φ(-1)（D ） 2φ(μ-σ)σ)（11）定义在 R 上的函数 f (x ) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程 f (x ) = 0在闭区间[- T ,T ]上的根的个数记为 n ，则 n 可能为（）（A ）0 （B ）1 （C ）3（D ）53553x绝密★启用前(在此卷上答题无效)2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第Ⅱ卷(非选择题共 95 分)注意事项:请用 0.5 毫米黑色水签字笔在答．题．卡．上书写作答,在．试．题．卷．上．书．写．作．答．无．效．.二、填空题:本大共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x 3+1 )a的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 .（13）在四面体 O-ABC 中，AB = a , OB = b , OC = c , D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）.（14）如图，抛物线 y =-x 2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A ，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P 1,P 2,…,P n -1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q 1，Q 2，…，Q n -1，从而得到 n -1 个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n -1P n -1P n -1,当 n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .(15)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编．号．）.①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共 6 小题，共 79 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分 12 分）已知 0＜a ＜ π,β为f (x ) = cos(2x +4π)的最小正周期，8a = (tan(a + 1 β),-1), 求 4 2 cos 2 α+ sin 2(α+ β)cos α- sin α .(17) (本小题满分 14 分)如图，在六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，四边形 ABCD 是边长为2 的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1 是边长为1 的正方形，DD 1⊥平面 A 1B 1C 1D 1， DD 1⊥平面 ABCD ，DD 1＝2.(Ⅰ)求证: A 1C 1 与 AC 共面， B 1 D 1 与 BD 共面.(Ⅱ)求证:平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面B 1 BDD 1 ;(Ⅲ)求二面角 A - BB 1 - C 的大小(用反三角函数值表示).(18) (本小题满分14 分)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1 时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.(19)(本小题满分12 分)如图，曲线G 的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B.直线AB 与x 轴相交于点C.（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为a＋2，求证：直线CD 的斜率为定值.(20)(本小题满分13 分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直．到．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩．下．的．果．蝇．的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21)(本小题满分14 分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n与T n－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n＝A n＋B n，其中｛A n｝是一个等比数列，｛B n｝是一个等差数列.数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 55 分.(1)D (2)A (3)B (4)B (5)C (6)C (7)A (8)C (9)D (10)B (11)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分.（12）7（13） 1 a + 1 b + 1c1 （14）（15）①③④⑤三、解答题2 4 43（16）本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力. 本小题满分 12 分.解：因为β为 f (x ) = cos(2x +π) 的最小正周期，故β= π . 8因 a ·b =m ，又 a ·b ＝ cos a tan(a + 1β) - 2，4故cos a tan(a + 1β) = m + 2.4 由于0 a π4 ，所以2 cos 2α+ sin 2(a + β) =2 cos 2 α+ sin(2α+ 2π)cos α+ sin α 2 cos 2α+ sin 2α = =cos α- sin αcos α- sin α 2 c os α(cos α+ sin α) cos α- sin α = 2 cos α1 + tan α = 2 cos αtan(α+ π) = 2(2 + m ).1 - tan α4(17)本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分 14 分. 解法 1（向量法）：以 D 为原点，以 DA ,DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 D - xyz 如图，则有A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0）， A 1 (1,0,2), B 1 (1,1,2), C 1 (0,1,2),D 1 (0,0,2). （Ⅰ）证明： A 1C 1 = (-1,1,0), AC = (-2,2,0),D 1 B 1 = (1,1,0), DB = (2,2,0), ∴ AC = 2 A 1C 1 , DB = 2D 1 B 1 .∴ AC 与A 1C 1平行，DB 与D 1 B 1平行，于是 A 1C 1 与 AC 共面， B 1 D 1 与 BD 共面.（Ⅱ）证明： DD 1 • AC ＝（0，0，2）•（ - 2，2，0）＝0DB • AC ＝（2，2，0）•（ - 2，2，0）＝0， ∴ DD 1 ⊥ AC ，DB ⊥ AC .DD 1与DB 是平面B 1 BDD 1，内的两条相交直线， ∴ AC ⊥ 平面B 1 BDD 1 . 又平面 A 1 ACC 1过AC ，∴ 平面A 1 ACC 1 ⊥ 平面B 1 BDD 1 .（Ⅲ）解： AA 1＝（ - 1，0，2），BB 1＝（ - 1，- 1，2），CC 1＝（0，- 1，2）. 设 n = (x 1 , y 1 , z 1 )为平面A 1 ABB 1的法向量，n • AA 1 = -x 1 + 2z 1 = 0, n • BB 1 = -x 1 - y 1 = 2z 1 = 0, 于是 y 1 = 0, 取z 1 = 1,则z 1 = 2, n = (2,0,1).设 m = (x 2 , y 2 , z 2 )为平面B 1 BCC 1的法向量， m • BB 1 = -x 2 - y 2 + 2z 2 = 0, m • CC 1 = - y 2 + 2z 2 = 0. 于是 x 2 = 0, 取z 2 = 1,则y 2 = 2, m = (0,2,1). cos m , n = m • n = 1 .m n ∴二面角A - BB 1 解法 2（综合法）：5 - C 的大小为π -1arccos .5（Ⅰ）证明： D 1 D ⊥ 平面A 1 B 1C 1 D 1 , D 1 D ⊥ 平面ABCD ，∴ D 1 D ⊥ DA ，D 1 D ⊥ DC , 平面A 1 B 1C 1 D 1 ∥平面 ABCD . 于是C 1 D 1 ∥CD ， D 1 A 1 ∥DA.设 E ，F 分别为 DA ，DC 的中点，连结 EF ， A 1 E , C 1 F , 有 A 1 E ∥ D 1 D , C 1 F ∥ D 1 D , DE = 1, DF = 1. ∴ A 1 E ∥ C 1 F , 于是 A 1C 1 ∥ EF .由 DE =DF =1,得 EF ∥AC ，故 A 1C 1 ∥ AC ,A 1C 1 与 AC 共面.过点 B 1作B 1O ⊥ 平面ABCD 于点O ，则B 1O // A 1 E , B 1O // C 1 F .连结OE ，OF ，于是OE // B 1 A 1，OF // B 1C 1，∴ OE = OF .B 1 A 1 ⊥ A 1 D 1 ,∴ OE ⊥ A D . B 1C 1 ⊥ C 1D 1 ,∴ O F ⊥ CD .所以点 O 在 BD 上，故 D 1 B 1与DB 共面.（Ⅱ）证明： D 1 D ⊥ 平面ABCD ，∴ D 1 D ⊥ AC , 又 BD ⊥AC （正方形的对角线互相垂直），D 1 D 与BD 是平面B 1 BDD 1 内的两条相交直线，∴ AC ⊥ 平面B 1 BDD 1 . 又平面 A 1 ACC 1过AC ，∴ 平面A 1 ACC 1 ⊥ 平面B 1 BDD 1 , (Ⅲ)解：∵直线 DB 是直线 B 1 B 在平面ABCD 上的射影，AC ⊥ DB , 根据三垂线定理，有 AC ⊥ B 1 B .过点 A 在平面 ABB 1 A 1内作AM 则 B 1 B ⊥ 平面AMC ，⊥ B 1 B 于M ，连结MC , MO ,3 2 a 于是 B 1 B ⊥ MC ，B 1 B ⊥ MO ，所以，∠AMC 是二面角 A - B 1 B - C 的一个平面角. 根据勾股定理，有A 1 A = 5, C 1C = 5,B 1 B = 6.OM ⊥ B 1 B , 有 OM ＝ B 1O • OB = B 1 B2 , BM =2 , AM =3 10 , CM = 310 , 3 cos ∠AMC =∠AMC = π - AM 2 + CM 2 - AC 2 2 AM • CM 1= - 1 ,5arccos ,5二面角 A - BB 1 - C 的大小为π - 1 arccos .5（18）本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分 14 分.（Ⅰ）解：根据求导法则得 f '(x ) = 1 -2 In x + 2a, x 0. x x故 F (x ) = xf '(x ) = x - 2 In x + 2a , x 0,于是 F '(x ) = 1 - 2 = x - 2, x 0.x x列表如下：x (0,2) 2 (2,+∞)F ′（x ）- 0 + F(x) ↓ 极小值 F （2） ↑故知 F （x ）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在 x ＝2 处取得极小值 F （2）＝2-2In2+2a .（Ⅱ）证明：由 a ≥ 0知，F (x )的极小值F (2) = 2 - In 2 + 2a 0. 于是由上表知，对一切 x ∈ (0,+∞), 恒有F (x ) = xf '(x ) 0. 从而当 x 0时，恒有f '(x ) 0,故f (x )在（0,+∞）内单调增加. 所以当 x 1时，f (x ) f (1) = 0,即x - 1 - In 2x + 2a In x 0.故当 x 1时，恒有x In 2x - 2a In x + 1.（19）本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分 12 分.解：（Ⅰ）由题意知，A （ a , ）.因为 OA = t , 所以a 2+ 2a = t 2 .由于t 0,故有t = a 2 + 2a .(1)由点 B （0，t ）C （c ,0）的坐标知，直线 BC 的方程为x + y = 1. c t又因点 A 在直线 BC 上，故有2a 2(a + 2) 2(a + 2)2(a + 2)n n -1 n n -2 a -1 n 11 a+ = 1, c t将（1）代入上式，得a + c 解得c = a + 2 + = 1,2(a + 2).（Ⅱ）因为 D (a + 2, 2(a + 2) ), 所以直线CD 的斜率为k CD =a + 2 - c = = = -1,所以直线 CD 的斜率为定值.（20）本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分 13 分. 解：（1）ξ的分布列为（Ⅱ）数学期望为 E ξ＝（Ⅲ）所求的概率2(1⨯ 6 + 2 ⨯ 5 + 3 ⨯ 4) = 2.28P (ξ≥ E ξ) = P (ξ≥ 2) =5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.28 28解：（Ⅰ）我们有T n = T n -1 (1 + r ) + a n (n ≥ 2). （Ⅱ） T 1 = a 1 , 对n ≥ 2反复使用上述关系式，得T = T (1 + r ) + a = T (1 + r )2 + a (1 + r ) + a = ＝ a (1 + r )a -1 + a (1 + r )a -2 + + a n -1 (1 + r ) + a n . ① 在①式两端同乘 1+r ，得 (1 + r )T n = a (1 + r )a + a (1+ r )n -1 + + a n -1 (1 + r )2 + a (1 + r ). ②②-①，得rT n = a (1 + r ) + d [(1 + r ) + (1 + r ) + + (1 + r )]- a n n -1n -2 ＝d[(1 + r )n- 1 - r ]+ a (1 + r )n- a ,r1n即 T =a 1r + d(1 + r )n - dn - a 1r + d .nr 2 r r 2 如果记 A = a 1r + d (1 + r )n , B = - a 1r + d - dn ,nr 2 n r 2 r则T n = A n + B n , 其中{A }是以 a 1r + d (1 + r )为首项，以1 + r (r 0)为公比的等比数列;{B }是以n r 2n1n2a a (a + 2) 2(a + 2) a + 2 - (a + 2 + 2(a + 2) ) 2 2 n-a1r+d-d为首项，-d为公差的等差数列. r 2 r r。

2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2(z +z) + 3(z -z) = 4 + 6i ，则z =( ）A.1 - 2iB.1 + 2iC.1 +iD.1 -i答案：C解析：设z =a +bi ，则 z =a -bi ，2(z +z) + 3(z -z) = 4a + 6bi = 4 + 6i ，所以 a = 1 ，b = 1，所以 z = 1 +i .2.已知集合S = {s | s = 2n +1, n ∈Z} ，T = {t | t = 4n +1,n ∈Z}，则S T =()A. ∅B. SC. TD. Z答案：C解析：s = 2n +1，n ∈Z ；当n = 2k ，k ∈Z 时，S = {s | s = 4k +1, k ∈Z} ；当n = 2k +1，k ∈Z 时，T =TS = {s | s = 4k + 3, k ∈Z}.所以T Ü S ，S.故选 C.3.已知命题p : ∃x ∈R ﹐sin x < 1 ；命题q : ∀x ∈R,e|x| ≥1 ，则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝( p ∨q)答案：A解析：根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ，故∃x ∈R ，sin x < 1 ，p 为真命题，而函数 y =y =e|x|为偶函数，且x ≥ 0 时，y =e|x| ≥1，故∀x ∈R ，y =e|x| ≥1恒成立.，则q 也为真命题，所以p ∧q 为真，选 A.4.设函数f ( x) =1-x，则下列函数中为奇函数的是（）1+xA.f ( x -1) -1B.f ( x -1) +1C.f ( x +1) -1D.f ( x +1) +1答案：B解析：1-x 2 2f (x) ==-1+1+x1+x ，f (x) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x) =为奇x函数.5.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P为B1D1 的中点，则直线PB 与AD1所成的角为（）A. π2 B. π3 C. π4 D. π65 4答案：D解析：如图， ∠PBC 1 为直线 PB 与 AD 1 所成角的平面角.易知∆A 1BC 1 为正三角形，又 P 为 A 1C 1 中点，所以∠PBC=π.166. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（） A. 60 种B. 120 种C. 240 种D. 480 种答案：C解析：所求分配方案数为C2A 4 = 240 .7. 把函数 y = f ( x ) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲 2线向右平移 π 个单位长度，得到函数 y = sin( x - π) 的图像，则 f ( x ) = （）3 4 A. sin( x - 7π )2 12 B. sin( x + π )2 12C. sin(2x - 7π)12 D. sin(2x +π) 12答案：B解析：逆向：y= sin(x -π左移ππ) −−−3→y=sin(x +) −横−坐−标变−为原−来的−2倍−→y = sin(1x +π) .4 12 2 12故选 B.8.在区间(0,1) 与(1, 2) 中各随机取1 个数，则两数之和大于7的概率为（）4A.79B.2332 C.932 D.29答案：B解析：由题意记x ∈ (0,1)，y ∈ (1, 2) ，题目即求x +y >7的概率，绘图如下所示. 4S 1⨯1-1AM ⋅AN 1-1⨯3⨯3故P =阴= 2 = 2 4 4 =23.S正ABCD1⨯1 1 329.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点E, H ,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”. GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.表高⨯表距+表高表目距的差B.表高⨯表距-表高表目距的差C.表高⨯表距+表距表目距的差D.表高⨯表距-表距表目距的差答案：A解析：连接 DF 交 AB 于M ，则 AB =AM +BM .记∠BDM =α，∠BFM =β，则MBtan βMBtanα=MF -MD =DF .而tan β=FG，tanα=ED.所以GC EHMB-MB=MB(1-1) =MB ⋅(GC-EH) =MB ⋅GC -EH. tan β tanα tan β tanα FG ED ED故MB = ED ⋅DF =表高⨯表距，所以高AB =表高⨯表距+表高.GC -EH 表目距的差表目距的差-10.设a≠0 ，若x =a 为函数f(x)=a(x -a)2 (x -b)的极大值点，则A.a <bB.a >bC.ab <a2D.ab >a2答案：D解析：若a > 0 ，其图像如图（1），此时，0 <a <b ；若a < 0 ，时图像如图（2），此时，b <a < 0 . 综上， ab <a2.x2 +y2=>>11.设B 是椭圆C ：a2 b2 1(a b 0) 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，PB ≤ 2b ，则C 的离心率的取值范围是（）A.[2,1) 21[ ,1)2 B.2 1.04 C.(0, 2] 21 (0, ]2答案：C解析：x 2y2y 2由题意，点 B (0, b ) ，设 P (x , y ) ，则 0 + 0 = 1⇒ x 2 = a 2 (1- 0 ) ，故 0a 2b 22y 2b 2c 2 PB = x 2 + ( y - b )2 = a 2(1- 0) + y 2 - 2by + b 2 = - y 2 - 2by + a 2 + b 2 ，0 0y 0 ∈[-b ,b ] .b 2 0 0 b 3b 2 0c由题意，当 y = -b 时，PB 2最大，则- ≤ -b ，b 2 ≥ c 2 ，a 2 - c 2 ≥ c 2 ，c = ≤ ，c ∈(0, 0c 2a 22].212. 设a = 2 ln1.01，b = ln1.02 ，c = 1，则（）A. a < b < cB. b < c < aC. b < a < cD. c < a < b答案：B解析:设 f (x ) = ln(1+ x ) -+1，则b - c = f (0.02) ，易得f '(x ) =1 -1+ x当 x ≥ 0 时，1+ x =≥ ，故 f '(x ) ≤ 0 .所以 f (x ) 在[0, +∞) 上单调递减，所以 f (0.02) < f (0) = 0 ，故b < c .1+ 2x 2 1+ 2x = 1+ 2x - (1+ x ) (1+ x ) 1+ 2x(1+ x )2 1+ 2x D.1+ 4x 42 1+ 4x 1+ 4x - (1- x ) (1+ x ) 1+ 4x3y 再设 g (x ) = 2 l n(1+ x ) -+1，则a - c = g (0.01) ，易得g '(x ) =2 1+ x - = 2 ⋅.当0 ≤ x < 2 时， ≥ = 1+ x ，所以 g '(x ) 在[0.2) 上≥ 0 . 故 g (x ) 在[0.2) 上单调递增，所以 g (0.01) > g (0) = 0 ，故 a > c . 综上， a > c > b .二、填空题13. 已知双曲线 C ：x 2 - 2m= 1(m > 0) 的一条渐近线为 3x + my = 0 ，则 C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为 y = ± bx ，由题意得 a 2 = m ， b 2 = 1 ，且一条渐近线方程为 ay =- mx ，则有m = 0 （舍去）， m = 3 ，故焦距为 2c = 4 .14. 已知向量a = (1,3) ， b = (3, 4) ，若(a - λb ) ⊥ b ，则λ =.答案：3 5解析：由题意得(a - λb ) ⋅ b = 0 ，即15 - 25λ = 0 ，解得λ = 3.515. 记 ∆ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c，面积为a 2 + c 2 = 3ac ，则b =.， B = 60︒ ，答案：2解析：1+ 4x 1+ 2x + x 2 3 23 2 5 S= 1 ac sin B = 3ac = ，所以 ac = 4 ，∆ABC2 4由余弦定理， b 2 = a 2 + c 2 - ac = 3ac - ac = 2ac = 8 ，所以b = 2 .16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，PA = PC =2 ，BA = BC =，AC = 2 ，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2）， PA ⊥ 平面 ABC ， PA = 1， AC = AB =5 ， BC = 2 ，俯视图为④.1三、解答题17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和 y ，样本方差分别己为 s 2 和 S 2. 1 2（1）求x ， y ， s 2， s 2：12（ 2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果y - x ≥ 2 ，否则不认为有显著提高 ) 。

2023年高考数学1卷试题第21题解读

2023年高考数学1卷试题第21题解读一、题目背景2023年高考数学1卷试题第21题是一道关于函数与导数的问题，考查了利用导数研究函数的单调性、极值等知识点，同时要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。

二、题目分析本题主要考查了导数的应用，包括利用导数研究函数的单调性、极值等知识点。

同时，题目还要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。

首先，题目给出了一个函数式：$f(x) = x^{3} - 3x + 2$，并要求求出该函数的单调区间和极值。

然后，根据求导公式，我们可以求出该函数的导数：$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 3$。

接下来，我们需要根据导数判断函数的单调性。

当$f^{\prime}(x) > 0$时，函数单调递增；当$f^{\prime}(x) < 0$时，函数单调递减。

根据导数方程，我们可以得出函数的单调递增区间为$x > 1$或$x < - 1$，单调递减区间为$- 1 < x < 1$。

最后，我们需要求出函数的极值点。

根据极值的定义，当函数在某一点的导数为零且在这一点两侧的导数符号相反时，该点为函数的极值点。

根据导数方程，我们可以得出函数的极值点为$x = 1$，且为极小值点。

三、解题方法本题的解题方法主要是利用导数研究函数的单调性、极值等知识点。

同时，还需要根据实际问题的需要，利用函数图象的变化趋势进行分析。

具体来说，可以按照以下步骤进行解题：1. 求出函数的导数；2. 根据导数判断函数的单调性；3. 求出函数的极值点；4. 根据实际问题的需要，利用函数图象的变化趋势进行分析。

四、结论与启示本题是一道关于函数与导数的问题，考查了利用导数研究函数的单调性、极值等知识点，同时要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。

通过本题的解答，我们可以得出以下结论和启示：1. 利用导数研究函数的单调性和极值是一种有效的数学方法；2. 在解题过程中要善于利用导数方程进行分析和推理；3. 要注意导数在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为数学问题进行分析和解决；4. 在解题过程中要细心审题，注意细节的处理，避免因粗心而犯错；5. 要善于总结解题方法和思路，以便在以后的解题中能够更加高效地解决问题。