人教版高中数学必修二导学案第四章第三节空间两点间距离

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高中数学必修二《空间两点间的距离公式》导学案

4、情景设计
问题
问题猜想
答疑
在平面上任意两点A ，B 之间距离的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ，B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
（2）空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
[1]
问题
问题设计意图
答疑
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？
类比平面直角坐标系中，方程表示的图形。
作业：习题4.3 A组2 . 3题
（4）如果是空间中任意一Βιβλιοθήκη 到点之间的距离公式会是怎样呢？
[2]
练习
1.先在空间直角坐标系中标出A,B两点，再求他们之间的距离：
（1）A (2，3，5），B (3，1，4)
（2）A（6，0，1），B (3，5，7)
2.在Z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。
3.求证：以点A(10，-1，6),B(4，1，9),C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形。
4.3.2空间两点间的距离公式导学案
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式

人教A版高中数学必修二4.3.2 空间两点间的距离公式课件

1.点P(x , y , z) 在下列坐标平面
中的射影点为：
(1）在xoy平面射影点为 P1_____(x_,_y,_0_) _;
(2)在xoz平面射影点为 P2______(x_,0_,_z)_;
(3)在yoz平面射影点为 P3______(0_,_y,_z_) ;
z P2
P3
P(x,y,z)
O
方法一：过M点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。点P0在坐标系xOy中的坐
标x、y依次是P点的横坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P1在z轴
上的坐标z就是P点的竖坐标。
x
xＸ
z
z P1
1
•o
1
1
P点坐标为
•P
(x,y,z)
y Ｙ
y
•
P0
方法二：过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z) 就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
y
P1 x
2.点P(x , y , z) 关于坐标平面的对称点：
（1）关于xoy平面对称的点P1为_（_x_，_y_，_-_z）___; （2）关于yoz平面对称的点P2为_（_-_x，__y，__z）___; （3）关于xoz平面对称的点P3为_（_x_，__-y_，__z）__;
z
P(x,y,z)
O
y
x
探究3：空间两点间的距离公式
平面直角坐标系
平面上两点间的距离公式是什么？
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2

高一数学必修二导学案：2.3.2 空间两点间的距离

10．（1）求点关于平面的对称点的坐标；
（2）求点关于坐标原点的对称点的坐标；
（3）求点关于点的对称点的坐标；
11．已知点，的坐标分别为，，
当为何值时，的值最小．最小值为多少？
12．在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．
问题3．平面直角坐标系中两点，的线段的中点坐标是什么？
空间中两点，的线段的中点坐标又是什么？
【课堂研讨】
例1、求空间两点，间的距离．
例2、平面上到坐标原点的距离为的点的轨迹是单位圆，其方程为．
在空间中，到坐标原点的距离为的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．
例3、证明以，，为顶点的是等腰三角形．
例4、已知，，求：
（1）线段的中点和线段长度；
（2）到，两点距离相等的点的坐标满足什么条件．
【学后反思】
课题:2.3.2空间两点间的距离检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．在空间直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，
，则的形状是．
2．若，，，则的中点到点的距离是．
课题:2.3.2空间两点间的距离
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
【课前预习】
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？
问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．
3．点与点之间的距离是．
4．在轴上有一点，它与点之间的距离为，

高中数学 4.3.2空间中两点间的距离公式导学案新人教版必修2-新人教版高一必修2数学学案

高中数学高一年级必修二第四章第4.3.2节：空间中两点间的距
离公式
导学案
Ａ．学习目标
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
Ｂ．学习重点、难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

Ｃ．学法指导
通过运用空间直角坐标系的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和
兴趣。

D ．知识链接
与距离有关的一些实物，同时距离公式的应用
E ．自主学习
教师提出问题：提出学生在生活中对距离的认识，引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

F.合作探究
1．引导学生思考、交流、讨论，对空间中两点间的距离进行讨论
2．推导出空间两点间的距离公式
G.课堂小结
由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？
H ．达标检测
1、在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离
2在空间直角坐标系中，已知两点A 、B 坐标，求出它们之间的距离：
(1) A(2,3,5) B(3,1,4)；(2)A(6,0,1) B(3,5,7)
)
3,2( A
3在z轴上求一点M，使得点M到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。

4如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.。

人教版高中数学必修2-4.3《空间两点间的距离公式》教学设计

4.3.2空间两点间的距离公式(名师：周娟)一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习,理解空间两点间距离的概念、体会平面点的距离与空间点的距离之间的关系,会用距离公式表示空间中两点间的距离,在直观想象、数学抽象中感受距离的几何意义.(二)学习目标1.了解平面两点间的距离与空间两点间的距离之间的关系.2.理解空间两点间的距离公式的概念.3.掌握用距离公式计算空间两点间的距离的方法.(三)学习重点1.不同维度下距离公式的特点.2.两点间的距离公式的含义.3.空间中两点间的距离的计算方法.(四)学习难点1.平面距离与空间距离的差别.2.距离公式的几何意义.3.建立适当的空间直角坐标系计算空间两点间的距离.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第136页至第137页,填空:在空间中,点P (x ,y ,z )到坐标原点O 的距离|OP |在空间中,P 1(x 1,y 1,z 1)与P 2(x 2,y 2,z 2)的距离|P 1P 2|(2)写一写:线段中点的坐标是什么？在空间直角坐标系中,若已知点A (x 1,y 1,z 1)与点B (x 2,y 2,z 2),则线段AB 的中点坐标是121212(,,)222x x y y z z +++.2.预习自测1.已知空间三点的坐标为A (1,5,2-),B (2,4,1),C (p ,3,q +2),若A 、B 、C 三点共线,则p 、q 的值分别为( )A.3,2B.2,3C.3-,2D.3,2-答案：A.2.正方体不在同一平面上的两顶点为A (1-,2,1-),B (3,2-,3),则正方体的体积是()A.16B.192C.64D.48答案：C.3.点P (1,2,3)关于点Q (4,5,6)的对称点的坐标为()A.(7,8,9)B.(9,8,7)C.(5,7,9)D.(9,7,5)答案：A.(二)课堂设计1.知识回顾（1）空间一点M 的坐标可以用三元有序实数组(x ,y ,z )来表示,有序实数组(x ,y ,z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作M (x ,y ,z ).（2）点(x ,y ,z )关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(x ,y ,-z );关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为(-x ,y ,z );关于坐标平面zOx 的对称点的坐标为(x ,-y ,z ).（3）中点公式：1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点的坐标为(122x x +,122y y +,122z z +). 2.问题探究探究一重温平面距离,认识空间距离。

高中数学人教A版必修2导学案：4.3.2空间两点间的距离公式

§4.3.2空间两点间的距离公式【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材P136-137,用红色笔对重点内容进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。

2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC 层可以不做。

3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。

【学习目标】1.掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算和证明。

2.培养观察、分析、联想的能力以及归纳概括的能力，认识新公式产生的过程和根源培养逻辑思维能力。

3.运用类比的办法，体验从二维空间过度到三维空间的过程，激发学习兴趣和探求知识规律的愿望培养勇于探索的精神。

【学习重点】空间两点间的距离公式及应用【学习难点】公式的推导【知识链接】1.平面两点的距离公式？2. 我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系x y表示.那么假设我们建立一个空后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(,)x y z表示出来呢？间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(,,)3. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？【预习、探究案】（预习教材P136~ P137，找出疑惑之处）探究一：点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离？探究二：如果OP 是定长r ,那么2222x y z r ++=表示什么图形？探究三：记忆公式：空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式12PP =注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中121212,,,,,x x y y z z 可换位置；探究四：例 1 求点1(1,0,1)P -与2(4,3,1)P -之间的距离变式：求点(0,0,0)A 到(5,2,2)B -之间的距离探究五：例 2 在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是(1,2,3)A - ，(2,2,3)B -,15(,,3)22C ,求证：ABC ∆是直角三角形.【课堂小结】我的疑问：（至少提出一个有价值的问题）今天我学会了什么？【训练案】（时间：15分钟）1．空间两点(3,2,5)A -,(6,0,1)B -之间的距离是（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P ，则点P 为（）.A ．(9,0,0)B ．(-1 ,0,0)C ．(9,0,0) ,(-1 ,0,0)D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB = （）.A ．10BCD ．3。

人教版高中数学必修2全册导学案及答案

人教版高中数学必修2全册导学案及答案全文表达流畅，无影响阅读体验的问题。

为了确保文章的质量，我认为在回答你的提问之前，有必要对导学案和答案的特点进行一下了解。

人教版高中数学必修2全册导学案是教师在备课过程中为了引导学生自主学习而准备的一份辅助教材。

它通常包含了本课时的学习目标、学习内容的整理、学习方法指导和相关习题等。

这些内容对于学生来说是非常重要的，因为通过导学案，学生可以在自主学习的过程中得到更好的指导和帮助。

作为导学案的一部分，答案的提供也是非常重要的。

学生在自学过程中，可以通过对答案的核对来检验自己的学习情况，找出自己的问题所在，并及时进行纠正和补充学习。

根据题目要求，我将按照导学案的格式布局，提供必修2全册的导学案及答案。

这样你可以更方便地进行自主学习，并通过对答案的核对来加深对数学知识的理解。

导学案及答案第一章函数与导数1.1 函数的概念与表示学习目标：1. 了解函数的基本概念；2. 掌握用集合、映射等方法表示函数的方法。

学习内容：1. 函数的定义；2. 函数的表示方法；3. 函数的性质。

学习方法指导：1. 仔细阅读教材相关内容，理解函数的定义；2. 注意区分自变量和因变量的概念；3. 多做一些例题，加深对函数表示方法的理解。

习题：1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(1)的值；2. 函数y = x^2的图象为抛物线，确定该函数的定义域和值域。

答案：1. 将x = 1带入函数f(x)，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。

2. 函数y = x^2的定义域为全体实数集R，值域为非负实数集[0,+∞)。

......根据上述导学案的格式，我将为你提供人教版高中数学必修2全册的导学案及答案。

由于篇幅限制，本文无法将全册的导学案及答案一一列出。

但你可以根据此示例并借鉴此格式，自行拟定其他章节的导学案及答案。

希望上述内容对你有所帮助，祝你学习顺利！。

人教课标版高中数学必修2导学案-两点间的距离

3.3.2两点间的距离【学习目标】掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题，体会数形结合的优越性.【学习过程】一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完后和本组同学讨论）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?二、新课导学：探究：1、求B(3，4)到原点的距离是多少?2、在平面直角坐标系中，任意两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离是多少?（自学课本内容，了解两点间距离公式的推导原理，在下面写出大致的推导过程，并把不明白的地方用红笔标注出来）两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =特殊地：(,)P x y 与原点的距离为三、合作探究例1：已知点(8,10),(4,4)A B-求线段AB的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),A B-，在x轴上求一点，使PA PB=,并求PA的值.（写完后，打开课本P105，检查自己所写与课本是否一样,还有没有不同的方法，写出来）学法指导：设P（x,0）将PA PB=转化为关于x的方程求解。

例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.学法指导：先建立适当的坐标系，用坐标表示有关变量，然后进行代数运算，最后把运算结果“翻译”成几何关系.四、交流展示1.自主完成课本P106练习1、2，写在课本上即可.2. 已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，求证：ABC∆是等腰三角形.3.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.五、达标检测1. 两点(1,3),(2,5)A B-之间的距离为（）.A．B．C D．32. 以点(3,0),(3,2),(1,2)---为顶点的三角形是（）三角形.A B CA．等腰B．等边C．直角D．以上都不是3. 直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值（）.A．2-B．2C．1D．1-4.求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.。

高中数学二 4.3. 空间直角坐标系导学案

4。

3．1空间直角坐标系 4。

3。

2空间两点间的距离公式学习目标:知识与技能：(1）理解空间直角坐标系及相关概念;(2）利用右手直角坐标系会建立空间直角坐标系；（3）会求空间一点的坐标．（4)掌握空间两点的距离公式。

过程与方法：用类比的思想研究空间直角坐标系，进一步将空间的位置转化为坐标表示。

用两点间的距离公式求任意两点间的距离．情感态度与价值观:通过观察图形，理解并掌握恰当的建立空间直角坐标系的方法，培养数形结合的思想．培养学生分析问题与解决问题的能力．学习重点、难点:重点：会利用两点间的距离公式求两点距离;难点：能够恰当的建立空间直角坐标系；教学过程：一：回顾预习案：1、数轴上的点与什么一一对应？，平面直角坐标系的点与什么一一对应？,空间直角坐标系的点与什么一一对应？.请你快速阅读课本134—137页，独立完成下面的问题2、空间直角坐标系Oxyz 的定义:(1）空间直角坐标系中的点与有序实数组（x ，y ，z ）一一对应。

（2）(x ，y ，z ）称为空间直角坐标系的坐标，x 称为横坐标，y 称为纵坐标，z 为竖坐标O 、A 、B 、C 四点坐标分别为：O(0,0，0）,A ，B ，C ，3、(1）在空间直角坐标系中,坐标平面xOy ， xOz ，yOz 上点的坐标有什么特点？(2）在空间直角坐标系中，x 轴、y 轴、z 轴上点的坐标有什么特点?4、空间两点),,(),,,(22221111z y x P z y x P（1）21P P = 。

(2）设21P P 的中点是),,(0000z y x P ，则=0x ，=0y ，=0z。

二、讨论展示案：合作探究展示点评例1、(1)点(2,0,3)M在空间直角坐标系中的位置是（）A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上（2)在空间直角坐标系中,有以下四种说法：①在x轴上的点的坐标一定是(0,,)b c；②在yOz平面上的点的坐标一定是(0,,)b c；③在z轴上的点的坐标一定是(0,0,)c；④在xOz平面上的点的坐标一定是(,0,)a c，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．②③④例2、在长方体''''OABC D A B C-中，Array ===，写出',,','OA OC OD3,4,'2D C A B的坐标例3、如图，正方形''''E F G H I J-的棱长为a，,,,,,OABC D A B C分别为'','',',,,'C D D A A A AB BC CC的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标例4、正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，M 、N 分别为棱1CC 、AD 的中点,求线段MN ,1C N 的长．[例5、点(,2,1)P x 到(1,1,2)M ，(2,1,1)N 的距离相等，求x 的值。

3.3空间两点间距离公式

A．(1,0,0)B．(－1,0,0)
C．(1,0,0)或(0，－1,0)D．(1,0,0)或(－1,0,0)
5、已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
6、点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为________．
收获感想
(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度．
三、自主展示（质疑点评）
1、已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求此时的|AB|.
2、课本例4课本例5
四、整理学案（归纳小结）
五、自主检测（巩固提升）
1、在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
教材整理1长方体的对角线
阅读教材P92“练习”以下至P93“公式计算”以上部分，完成下列问题．
1、长方体的对角线：如图连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为__
2、若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则对角线长d＝___.
教材整理2空间两点间的距离公式
阅读教材P93“公式计算”以下至P94“例4”以上部分，完成下列问题．
A．9B. C．5D．2
2、若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为( )
A. B．25C．5D.
3、在空间直角坐标系中，设A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|＝，则实数a的值是( )
A．3或5B．－3或－5C．3或－5D．－3或5
4、设点P在x轴上，它到P1(0, ，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )

人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件

那么，如何求空间中两点间的距离呢？
在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究.
y
y2
P2(x2, y2)
y1 P1(x1高c的长方体的对角线，怎么求？
z
P
O y
x
探究：
如果 OP 是定长r,那么x2 y2 z2 r2
z
在空间中，到定点的距离
等于定长的点的轨迹是
P
以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
O
y
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？
如图，设P1、P2是空间中任意两点，且点P1 （x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
答案：(0, 0, 3)
1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为 A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=___2__. 2．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离相等，则x、y、z满足的关系式是______2_x_+_2_y_-_2_z_-_3_=.0
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA 2 MB 2
即 (0 4)2 (0 1)2 (z 7)2 (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
解之得 z 14
9
所以所求点的坐标是
(0, 0,14).
9
【变式练习】在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1， -3,1）的距离相等.
P1P2 = (x2 - x1 )2 +(y2 - y1 )2 +(z2 - z1 )2 .

高中数学《空间直角坐标系空间两点间的距离公式》导学案

4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课前自主预习知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同长度单位的数轴：□1x轴、y轴、z轴，这样就建立了□2空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：□3点O叫做坐标原点，□4x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过□5每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为□6 xOy平面、□7yOz平面、□8zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向□9x轴的正方向，食指指向□10y轴的正方向，如果中指指向□11z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2.空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用□12有序实数组(x，y，z)来表示，□13有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作□14M(x，y，z)．其中□15x叫点M的横坐标，□16y叫点M的纵坐标，□17z叫点M的竖坐标．知识点二空间两点间的距离公式(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝□1x2＋y2＋z2.(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝□2 (x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.1.空间直角坐标系的建立建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．2.空间直角坐标系的画法(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．(2)y轴垂直于z轴、y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的12.3.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．()(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(0，b,0)的形式．()(3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz平面的对称点为(－1，3，2)．()(4)将距离公式中的两点的坐标互换，结果不变．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)如图1所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，PP′在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．(2)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图2所示)，则点C1的坐标是________．(3)M(1,0,3)与N(－1,1，a)两点间的距离为6，则a＝________.答案(1)(2,0,1)(2)(1,1,1)(3)2或43.(教材改编，P138练习T3)已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则()A.三点构成等腰三角形B.三点构成直角三角形C.三点构成等腰直角三角形D.三点构不成三角形答案 D课堂互动探究探究1 确定空间中点的坐标例1 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试写出E ，F ，G ，H 的坐标．解建立如右图所示空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，由平面几何知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 点G 在y 轴上，其横、竖坐标均为0，又CG ＝14CD ，所以GD＝34.故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故HK ＝12，CK ＝18.∴DK ＝78.故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.拓展提升空间中点M坐标的三种确定方法(1)过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定竖坐标．(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作坐标轴的垂线即可确定点M的坐标.【跟踪训练1】如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3).【跟踪训练2】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．解取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝3，可得A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2).探究2空间中点的对称例2在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴对称的点的坐标是________；关于xOy平面对称的点的坐标是________；关于点A (1,0,2)对称的点的坐标是________．解析点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为(－2，－1，－4)．点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴，y 轴的分量均不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以点P 关于xOy 平面的对称点P 2的坐标为(－2,1，－4)．设点P 关于点A 的对称点的坐标为P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －2＋x 2＝1，1＋y 2＝0，4＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－1，z ＝0，故点P 关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标为(4，－1，0)．答案 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)拓展提升(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反；关于原点对称，均相反”这个结论．(2)空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P 1(－x ，－y ，－z )；②关于x 轴(横轴)对称的点的坐标是P 2(x ，－y ，－z )；③关于y 轴(纵轴)对称的点的坐标是P 3(－x ，y ，－z )；④关于z 轴(竖轴)对称的点的坐标是P 4(－x ，－y ，z )；⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5(x ，y ，－z )；⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6(－x ，y ，z )；⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7(x ，－y ，z ).【跟踪训练3】已知在空间直角坐标系中点P (－2,1,4)．(1)求点P 关于y 轴对称的点的坐标；(2)求点P 关于yOz 平面对称的点的坐标；(3)求点P 关于点N (－5,4,3)对称的点的坐标．解 (1)由于点P 关于y 轴对称后，它在y 轴的分量不变，在x 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P 1(2,1，－4)．(2)由于点P 关于yOz 平面对称后，它在y 轴、z 轴的分量不变，在x 轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P 2(2,1,4)．(3)设所求对称点为P 3(x ，y ，z )，则点N 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得－5＝－2＋x 2，4＝1＋y 2，3＝4＋z 2，即x ＝2×(－5)－(－2)＝－8，y ＝2×4－1＝7，z ＝2×3－4＝2，故P 3(－8,7,2).探究3 空间两点间距离公式的应用例3 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P .证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，由空间两点间的距离公式得|AP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(0－1)2＝62， |B 1P |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2，∴|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，∴AP ⊥B 1P .拓展提升(1)本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比较，也更体现出了坐标法解题的优越性．(2)依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利用空间中两点间的距离公式可以求距离、证垂直、求角度等，为我们提供了新的解题方法．(3)在空间直角坐标系中，A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22，即平面直角坐标系中的中点坐标公式可推广到空间直角坐标系中.【跟踪训练4】已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5)．(1)求△ABC 中最短边的边长；(2)求AC 边上中线的长度．解 (1)由空间两点间距离公式得|AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29，∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1.对空间直角坐标系的理解(1)三条轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础．(2)一般情况下建立的坐标系是右手直角坐标系，即让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指指向z 轴的正方向．2.点的坐标的确定空间直角坐标系中，空间一点P 的坐标的确定，需三步完成：(1)过P作xOy平面的垂线，垂足为Q；(2)在xOy平面内确定Q的纵、横坐标，即为点P的纵、横坐标；(3)在平面OQP内过P作z轴的垂线，垂足为M，则M的竖坐标即是P点的竖坐标．3.空间两点间的距离公式空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离公式为|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.特别地，点P(x，y，z)与原点O间的距离公式为|OP|＝x2＋y2＋z2.空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广．动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面．课堂达标自测1.下列叙述中，正确的个数是()①空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标可写成(0，b，c)的形式；②空间直角坐标系中，在yOz平面内的点的坐标可写成(0，b，c)的形式；③空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可写成(0,0，c)的形式；④空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标可写成(a,0，c)的形式．A.1 B．2 C．3 D．4答案C解析空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标可写成(a,0,0)的形式，故①错误；在yOz平面内的点的坐标可写成(0，b，c)的形式，故②正确；在z轴上的点的坐标可写成(0,0，c)的形式，故③正确；在xOz平面内的点的坐标可写成(a,0，c)的形式，故④正确．因此选C.2.已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|P A|＝7，则点P的坐标是()A.(0,8,0) B．(0,2,0)C.(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)答案C解析因为点P在y轴上，所以可设P(0，y,0)．因为|P A|＝7，A(2,5，－6)，所以22＋(y－5)2＋62＝7，解得y＝2或y＝8.3．若△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图，则BC边上的中线的长是()A. 2 B．2C. 3 D．3答案C解析由图可知B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,1)，所以BC边的中点坐标为(1,1,0)，所以BC边上的中线长为1＋1＋1＝ 3.4.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________．答案(0，－1,0)解析因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0).5.已知点A(4,4,0)，B(3，a，a－2)，且|AB|＝ 3.(1)若点C的坐标为(2,2,2)，求证：A，B，C三点共线；(2)若点D的坐标为(5,4,1)，试判断△ABD的形状．解(1)由两点间的距离公式得|AB|＝(3－4)2＋(a－4)2＋(a－2)2＝3，解得a＝3，所以B(3,3,1)，所以|AC|＝(4－2)2＋(4－2)2＋(0－2)2＝23，|BC|＝(2－3)2＋(2－3)2＋(2－1)2＝3，又|AB|＝3，所以|AB|＋|BC|＝|AC|，故A，B，C三点共线．(2)|AD|＝(5－4)2＋(4－4)2＋(1－0)2＝2，|BD|＝(5－3)2＋(4－3)2＋(1－1)2＝5，又|AB|＝3，所以|AB|2＋|AD|2＝|BD|2，故△ABD为直角三角形.课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1.在空间直角坐标系中，所有点P(x,2016,2017)(x∈R)的集合表示()A.一条直线B.平行于平面xOy的平面C.平行于平面xOz的平面D.两条直线答案A解析点P的纵坐标与竖坐标不变，只有横坐标发生变化，在空间中表示一条直线．故选A.2.若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A.7 B．－7 C．－1 D．1答案D解析P(－4，－2,3)关于xOy面的对称点为(－4，－2，－3)，点P(－4，－2,3)关于y轴的对称点的坐标(4，－2，－3)，∵点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别为(a，b，c)，(e，f，d)，∴c＝－3，e＝4，∴c＋e＝1.3.已知点A(1－t,1－t，t)，点B(2，t，t)，t∈R，则A，B两点间距离的最小值为()A.55 B.555 C.355 D.115答案 C 解析 |AB |＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝t 2＋2t ＋1＋1－4t ＋4t 2 ＝5t 2－2t ＋2＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. 当t ＝15时，|AB |取最小值 95＝355.4.一束光线自点P (－1,1,1)发出，被yOz 平面反射后到达点Q (－6,3,3)被吸收，则光线所走的路程是( )A.37B.47C.57 D ．35答案 C解析因为点Q (－6,3,3)关于yOz 平面的对称点为Q ′(6,3,3)，所以光线所走的路程为|PQ ′|＝(6＋1)2＋(3－1)2＋(3－1)2＝57.故选C.5.正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，点P 在对角线BD ′上，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 答案 D解析如图所示，过点P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝13|BD′|，所以|DH|＝13|DD′|＝13，|DF|＝23|DA|＝23，|DG|＝23|DC|＝23，所以点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，23，13，故选D.二、填空题6.在空间直角坐标系中，过点A(1,2，－3)作z轴的垂线，交z轴于点M，则垂足M的坐标为________．答案(0,0，－3)解析由于z轴上的点的横、纵坐标都为0，且点M的竖坐标不变仍为－3，所以垂足M的坐标为(0,0，－3).7.在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴对称的点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点O的距离|PO|＝________.答案2解析点(－1，b,2)关于y轴对称的点是(1，b，－2)，所以点(a，－1，c－2)与点(1，b，－2)重合，所以a＝1，b＝－1，c＝0，所以P(1，－1,0)，所以|PO|＝12＋(－1)2＋02＝ 2.8.已知x，y，z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y 2＋z 2的最小值是________．答案 32解析方程C 可看作在空间直角坐标系中点C (x ，y ，z )到点P (3,4，－5)的距离的平方，则x 2＋y 2＋z 2表示点C 到原点O 的距离的平方，可知当点C 在线段OP 上时，|OC |最短，即x 2＋y 2＋z 2取得最小值，为(32＋42＋(－5)2－2)2＝(42)2＝32.三、解答题9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝2，|AD |＝3，|AA 1|＝1，点M 在A 1C 1上，且|MC 1|＝2|A 1M |，点N 在D 1C 上，且为D 1C 的中点，建立适当的空间直角坐标系，求M ，N 两点间的距离．解如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则C (2,3,0)，D 1(0,3,1)，A 1(0,0,1)，C 1(2,3,1)．∵N 为D 1C 的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，12.又|MC 1|＝2|A 1M |，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，1. ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋(3－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12 ＝1576，即M ，N 两点间的距离是1576.B 级：能力提升练10.如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．(1)当2|C 1Q |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，求|PQ |的最小值．解 (1)由题意知点C 1(0,1,1)，点D 1(0,0,1)，点C (0,1,0)，点B (1,1,0)，点P 是体对角线D 1B 的中点，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12. 因为点Q 在棱CC 1上，且2|C 1Q |＝|QC |，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1，23.由空间两点的距离公式，得|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－232 ＝ 1936＝196.(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，设点Q (0,1，a )，a ∈[0,1]．由空间两点的距离公式得 |PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 2 ＝ ⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋12，故当a ＝12时，|PQ |取得最小值22，此时点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12.。

高中数学必修2教案：4-3-2空间两点间的距离公式

解：以 D 为坐标原点，从 D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．
设 P、Q 分别是直线 BD1 和 CC1 上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0， a, z1 )，则
由正方体的对称性，显然有 x=y． z
要求异面直线 BD1与CC1 间的距离，即求 P、Q 两点间的最短距离．
即 (x 5)2 16 ，解得 x=1 或 x=9
∴x=1 或 x=9 总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．
练习：已知 A(2,5，-6)，在 y 轴上求一点 B，使得|AB|=7．
答案：B(0,2，0)或 B(0,8，0)．
4．思考：1.在 z 轴上求与两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)等距离的点．
2．公式的应用
五．作业
1．课本 P138 练习第 2，4 题 2．课本 P138 习题 4.3 A 组第 3 题
Ｂ组第１题
课后记: 教材分析：
距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．
面 xOy 内的圆，且此圆的圆心即为 A 点在坐标平面 xOy 上射影 A (-1,2，0)．
点 A 到坐标平面 xOy 的距离为 4，球面半径为 5，
∴在坐标平面 xOy 内的圆 A 的半径为 3．
∴点 P 的轨迹是圆 (x 1)2 ( y 2)2 =9，z=0．
小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决．三：巩固练习：
点 P 在坐标平面 xOy 内，∴z=0

高中数学(必修二)导学案

高中数学(必修二)导学案第一章：平面直角坐标系1.1 坐标系的引入- 了解平面直角坐标系的基本概念- 掌握点在平面直角坐标系中的坐标表示方法1.2 平面直角坐标系上的距离公式- 了解平面直角坐标系上两点之间距离的公式- 掌握如何使用距离公式计算两个点之间的距离1.3 直线的斜率- 了解直线斜率的概念及其计算方法- 掌握如何根据两点坐标计算直线的斜率第二章：二次函数2.1 二次函数的图像和性质- 了解二次函数的基本概念和特点- 掌握根据二次函数的参数确定二次函数图像的方法2.2 二次函数的最值和零点- 了解二次函数最值和零点的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据二次函数求解实际问题2.3 二次函数与一次函数的比较- 了解二次函数和一次函数的基本概念及其图像特点- 掌握如何比较二次函数和一次函数的大小关系第三章：三角函数3.1 任意角及其测量- 了解任意角的基本概念及其测量方法- 掌握如何将任意角的三角函数转化为其它角度的三角函数3.2 常用角的三角函数值- 掌握常用角的三角函数值及其推导方法- 掌握如何根据三角函数值求解实际问题3.3 三角函数的图像和性质- 了解三角函数的图像及其性质- 掌握如何根据三角函数图像解决实际问题第四章：概率统计4.1 随机事件与概率- 掌握随机事件和概率的基本概念和运算法则- 掌握如何计算简单事件的概率4.2 条件概率和独立性- 了解条件概率和独立性的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据条件概率和独立性计算事件的概率4.3 离散型随机变量及其分布律- 了解离散型随机变量及其分布律的概念- 掌握如何根据分布律计算离散型随机变量的期望值和方差以上是本章节的导学内容，希望同学们认真学习，做好课后习题。

祝学习愉快！。

2023年人教版高中数学必修二导学案全套

2023年人教版高中数学必修二导学案全套一、导学目的本导学案的目的是为了帮助高中数学研究者系统地研究和掌握2023年人教版高中数学必修二的相关知识，提高研究效果和成绩。

二、导学内容1. 第一章：函数及其表示方法- 研究函数的定义和基本性质- 掌握函数的表示方法及其应用- 理解函数的映射性和单调性2. 第二章：一次函数与二次函数- 研究一次函数和二次函数的定义和性质- 掌握一次函数和二次函数的图象与性质- 认识一次函数和二次函数在实际问题中的应用3. 第三章：指数和对数函数- 研究指数和对数函数的定义和性质- 掌握指数函数和对数函数的图象和性质- 理解指数函数和对数函数在实际问题中的应用4. 第四章：三角函数- 研究三角函数的定义和基本关系- 掌握三角函数的图象和性质- 理解三角函数在几何问题和实际问题中的应用5. 第五章：概率与统计- 研究概率与统计的基本概念- 掌握概率与统计的计算方法- 理解概率与统计在实际问题中的应用三、导学方法本教材使用了多种导学方法，包括课前预、课堂引导、课后练等，以帮助研究者全面提升数学知识和解题能力。

学生可以按照以下步骤进行研究：1. 阅读本章导学案，了解本章研究目标和内容。

2. 预本章内容，查阅相关资料和教辅材料，理解基本概念和原理。

3. 在课堂上认真听讲，参与互动，解答问题。

4. 课后进行题目练，巩固所学知识，掌握解题技巧。

5. 复本章知识，进行检测，查漏补缺。

四、导学评价为了确保研究效果，我们建议研究者在导学过程中进行自我评价和教师评价。

自我评价可以通过课后练和解题过程来进行，教师评价可以通过课堂表现和考试成绩来进行。

五、研究资源研究者可以使用以下资源进行研究：- 人教版高中数学必修二教材- 相关参考书和教辅材料- 互联网上的数学研究网站和视频资源六、结束语通过系统地研究和掌握本教材，相信研究者能够在数学研究中取得更好的成绩。

希望本导学案能够帮助你在2023年人教版高中数学必修二研究中有所收获！。

高中数学4.3.2空间两点间距离公式导学案新人教A必修2

浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 4.3.2 空间两点间距离公式导学案新人教A版必修2一、预案知识点1：1．在空间直角坐标系中，给定两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|＝ .分外地：设点A(x，y，z)，则A点到原点的距离为：|OA|＝ .2．若点P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，则|P1P2|＝ .3．若点P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，则|P1P2|＝ .二、导案1、学习方针：1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．问题2：在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？问题3 如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|，|OM|的值分别是什么？问题4 基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？扶引在空间中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求点P1、P2之间的距离|P1P2|?1 / 3问题5 设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M，N.那么M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？问题6 若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1，P2之间的距离如何？若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？对于空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点P的坐标是什么？例题分析：例1：求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．例2：如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求MN的长．变式练习1：在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1，－3,1)的距离相等．三、当堂检测:1．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A. 6B. 5 C．2 D. 32．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为( )A．2 5 B．5 2 C．3 2 D．2 32 / 33．点A(1,1,2)与点B(0，－1,3)间的距离为________．4．若A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则z＝________.四、小结与反思:1.怎样获得空间中两点的距离公式?2.获得距离公式过程中运用怎样的数学思想？五、课后作业：1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为( )A.61 B．25 C．5 D.572．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( ) A．9 B.29 C．5 D．2 63．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )A.534B.532C.532D.1324．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( ) A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝43 / 3。

2.3.2空间两点间的距离(2014年人教A版数学必修二导学案)

课题:2.3.2空间两点间的距离
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
【课前预习】
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？
问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．
3．点与点之间的距离是．
4．在轴上有一点，它与点之间的距离为，
则点的坐标是．
5．已知空间中两点和的距离为，求的值．
6．试解释方程的几何意义．
【课后巩固】
7．已知点，在轴上求一点，使．
8．已知平行四边形的顶点，，．
求顶点的坐标．
9．已知：空间三点，，，
求证：，，在同一条直线上．
10．（1）求点关于平面的对称点的坐标；
（2）求点关于坐标原点的对称点的坐标；
（3）求点关于点的对称点的坐标；
11．已知点，的坐标分别为，，
当为何值时，的值最小．最小值为多少？
12．在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．
问题3．平面直角坐系中两点，的线段的中点坐标是什么？
空间中两点，的线段的中点坐标又是什么？
【课堂研讨】
例1、求空间两点，间的距离．
例2、平面上到坐标原点的距离为的点的轨迹是单位圆，其方程为．
在空间中，到坐标原点的距离为的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．
例3、证明以，，为顶点的是等腰三角形．
例4、已知，，求：
（1）线段的中点和线段长度；

高中数学必修二导学案：第四章第三节空间两点间距离

第四章第三节空间两点间距离三维目标1. 了解空间两点间的距离推导，了解空间两点的距离公式；2. 能用距离公式求空间中两点之间的距离;3．渗透数形结合的思想。

___________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1. 在平面直角坐标系中，已知),(111y x p ，),(222y x p ，则21p p =写出推导过程：问题2：类比该公式，你能猜想一下空间两点),,(1111z y x p ，),,(2222z y x p 的距离公式吗？并证明你的结论。

问题3：若点1p 为坐标原点O ，求2OP 的长度是多少？【变式】如果2op 是定长r ，则2222r z y x =++表示什么图形？【学做思2】1. 已知A(2， 5，-6)，在y 轴上求一点B ，使得|AB|=7。

2. 点M ),,(z y x 是空间直角坐标系O xyz 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标并求与对称点的距离：（1）与点M 关于x 轴对称的点；（2）与点M 关于y 轴对称的点；（3）与点M 关于z 轴对称的点；（4）与点M 关于原点对称的点。

【总结】结合平面上点关于轴对称的性质，从这题中你有什么体会？3.已知三角形的三个顶点坐标分别为(214)A -，，，(326)B -，，，(502)C ，，．求过A 点的中线长？4.在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(651)N ，，的距离最小。

达标检测*1. 在空间直角坐标系中，已知(2,3,5)A ，(3,1,4)B ，则A ，B 两点间的距离是2. 已知三点(419)A ---，，，(1016)B --，，，(243)C ---，，，则( ) A ．三点构成等腰三角形 B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形3. 已知A(1－t,1－t ，t)，B(2，t ，t)，则A 、B 两点距离的最小值为( ) A.55 B.555 C.355 D.115*4. 在空间直角坐标系中，若),4,3(),0,4,3(z B A --两点间的距离为10，则=z __________．5. 求点M (4，－3,5)到x 轴的距离。