湖北省荆州市2015年高二学年质量检查数学(理科)试题(word版)

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精品：【全国市级联考】湖北省荆州市2015-2016学年高二下学期质量检测数学试题(原卷版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数121i i-+在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.已知α，β是空间中两个不同的平面，l 为平面β内的一条直线，则“//l α”是“//αβ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知命题p 和命题q ，若p q ∧为真命题，则下面结论正确的是（）A ．p ⌝是真命题B ．q ⌝是真命题C ．p q ∨是真命题D ．()()p q ⌝∨⌝是真命题4.已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（）A ．20x y -+=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．20x y ++=5.若a ，[]0,1b ∈，则不等式221a b +≤成立的概率为（） A ．16πB ．12πC ．8πD ．4π6.“互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（）A ．10B ．20C ．30D ．407.已知x ，y 满足不等式430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．3B ．132C ．12D ．15 8.阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（）A ．39B ．21C ．81D ．1029.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，a 为半径的圆被双曲线C 截得劣弧长为23a π，则双曲线C 的离心率为（）A ．65BCD 10.已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则a 的最小值是（）A ．14B ．12C ．1D ．2 11.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=12.若函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1()2y f x x =-+的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．14.已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）的标准差是a = ．15.甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．16.已知函数()ln a f x x x=+，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12k ≤恒成立，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．已知男、女生成绩的平均值相同．（1）求a 的值；（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．18.在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点(2,0)且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线1l ，2l ，1l 与曲线C 交于A ，B 两点2l 与曲线C 交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点P ，并求出定点P 的坐标．19.已知函数322()1f x x ax a x =+--，0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤在[1,)+∞上有解，求实数a 的取值范围．20.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别交直线l ：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．21.已知函数()x f x e x a =-+，21()x g x x a e =++，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求a 的取值范围；（3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：121x x e +<．22.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220， [)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数．。

2015-2016学年湖北省荆门市高二上学期期末理科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年湖北省荆门市高二上学期期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：142分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间Y 统计结果如下：办理业务所需的时间Y/分 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时，据上表估计第三个顾客等待不超过4分钟就开始办理业务的概率为（）A．0.22 B．0.24 C．0.30 D．0.312、已知直线y=kx+m（m≠0）与圆x2+y2=169有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条 B．66条 C．72条 D．78条3、设P，Q分别为圆x2+（y﹣3）2=5和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．2 B．+ C．4+ D．34、椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．5、方程（x2+y2﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）A．一条直线B．一条射线C．一条直线和一个圆D．一条射线和一个圆6、下列命题中正确的个数为（）①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．A ．1B ．2C ．3D ．47、如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x 值是（）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．08、工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元9、把38化为二进制数为（）A ．101010（2）B ．100110（2）C ．110100（2）D ．110010（2）10、若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（） A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0 B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0 C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0 D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞011、已知直线ax+2y ﹣1=0与直线（a ﹣4）x ﹣ay+1=0垂直，则实数a 的值为（） A ．0 B ．﹣4或2 C ．0或6 D ．﹣412、某校高二年级有10个班，若每个班有50名同学，均随机编号1，2，…50，为了了解他们对体育运动的兴趣，要求每班第15号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A ．抽签法B ．系统抽样C ．随机数表法D ．有放问抽法第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．14、若（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+…+a2014+a2016等于．15、某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102）．已知P（90≤ξ≤100）=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为．16、点P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标为．三、解答题（题型注释）17、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率一次为k1、k2，满足4k=k1+k2．（i）当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii ）求△OPQ 面积的取值范围．18、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．19、（Ⅰ）从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax 2+bx+c 的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？（Ⅱ）已知（+2x ）n ，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．20、为了研究“数学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．甲班：87、83、90、70、66、71、82、72、67、57、67、72、57、58、68、74、87、78、69、58乙班：71、80、81、82、90、65、57、73、85、86、91、95、86、67、68、75、96、88、89、69（Ⅰ）作出甲、乙两班学生成绩茎叶图；并求甲班数学成绩的中位数和乙班学生数学成绩的众数；（Ⅱ）学校规定：成绩不低于80分的为优秀，请写出下面的2×2联列表，并判断有多大把握认为“成绩游戏与教学方式有关”．下面临界值表供参考：（参考公式：K 2=）21、已知一圆经过点A （3，1），B （﹣1，3），且它的圆心在直线3x ﹣y ﹣2=0上．（1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点C （3，0），求线段CD 的中点M 的轨迹方程．22、已知p ：2x 2﹣3x+1≤0，q ：x 2﹣（2a+1）x+a （a+1）≤0 （1）若a=，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围．（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．参考答案1、D2、A3、D4、C5、A6、B7、C8、C9、B10、C11、C12、B13、．14、﹣22015．15、1016、（﹣5，﹣2）17、（Ⅰ）+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．（ii）S△OPQ∈（0，1）．Eξ=3×0.2=0.6，Dξ=3×0.2×0.8=0.48．19、（Ⅰ）24（种）；（Ⅱ）3432．20、（Ⅰ）86；（Ⅱ）有97.5%以上的把握认为成绩优秀与教学方式有关．21、（1）（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（2）（x﹣）2+（y﹣2）2=22、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：第三个顾客等待不超过4分钟包括：①第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，②第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，③第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时3分钟，④第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，⑤第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，⑥第一个顾客办理业务用时3分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，且这此时事件彼此是互斥的，分别计算各个事件的概率，利用互斥事件概率加法公式，可得答案．解：第三个顾客等待不超过4分钟包括：①第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，②第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，③第一个顾客办理业务用时1分钟，且第二个顾客办理业务用时3分钟，④第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，⑤第一个顾客办理业务用时2分钟，且第二个顾客办理业务用时2分钟，⑥第一个顾客办理业务用时3分钟，且第二个顾客办理业务用时1分钟，且这此时事件彼此是互斥的，故第三个顾客等待不超过4分钟的概率P=0.1×0.1+0.1×0.4+0.1×0.3+0.4×0.1+0.4×0.4+0.3×0.1=0.31，故选：D考点：互斥事件的概率加法公式．2、试题分析：直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答．解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=169上的整数点共有12个，分别为（5，±12），（﹣5，±12），（12，±5），（﹣12，±5），（±13，0），（0，±13），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条．综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选：A．考点：直线与圆的位置关系．3、试题分析：先求出椭圆上的点与圆心的距离，P，Q两点间的最大距离是椭圆上的点与圆心的距离加上圆的半径．解：∵设P，Q分别为圆x2+（y﹣3）2=5和椭圆+y2=1上的点，∴圆心C（0，3），圆半径r=，设椭圆上的点为（x，y），则椭圆上的点与圆心的距离为：d===≤2，∴P，Q两点间的最大距离是2+=3．故选：D．考点：椭圆的简单性质．4、试题分析：根据题意，设出直线AB的方程，利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点到直线AB的距离等于半焦距，从而可求椭圆的离心率．解：由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：即bx+ay﹣ab=0∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点∴原点到直线AB的距离为∴a2b2=c2（a2+b2）∴a2（a2﹣c2）=c2（2a2﹣c2）∴a4﹣3a2c2+c4=0∴e4﹣3e2+1=0∴∵0＜e＜1∴故选C．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．5、试题分析：将方程等价变形，即可得出结论．解：由题意（x2+y2﹣1）（﹣1）=0可化为﹣1=0或x2+y2﹣1=0（x﹣3≥0）∵x2+y2﹣1=0（x﹣3≥0）不成立，∴x﹣4=0，∴方程（x2+y2﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是一条直线．故选：A．考点：曲线与方程．6、试题分析：根据四种命题之间的关系分别求出对应的命题，然后进行判断即可．解：①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题为：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0，错误，当末位数字是5也满足条件．，故①错误，②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为：若“一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，正确此时三角形为等腰三角形，根据逆否命题的等价性知原命题的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图象关于原点对称”正确，则根据逆否命题的等价性知命题的逆否命题正确；故③正确，④“每个正方形都是平行四边形”，正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误；故④错误，⑤设f（x）=x|x|=，则函数f（x）为增函数，则当a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分必要条件．故⑤错误，故正确的个数是2，故选：B考点：命题的真假判断与应用．7、试题分析：由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，进而得到答案．解：由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数y==|x|的值，若输出结果为2，则|x|=2，则x=2或x=﹣2，故选：C考点：程序框图．8、试题分析：根据线性回归方程=50+80x的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可．解：根据线性回归方程为=50+80x，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A正确；∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C错误；当月工资为210元时，210=50+80x，解得x=2，此时劳动生产率约为2000元，D正确．故选：C．考点：线性回归方程．9、试题分析：可以做出四个选项中的二进制数字对应的十进制数字，结果验证到第二个就得到结果，注意两个进位制的转化．解：可以验证所给的四个选项，在A中，2+8+32=42，在B中，2+4+32=38经过验证知道，B中的二进制表示的数字换成十进制以后得到38，故选B．考点：算法的概念．10、试题分析：根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，故选C；考点：命题的否定．11、试题分析：根据两直线垂直的性质，两直线垂直时，它们的斜率之积等于﹣1，解方程求得a的值．解：直线ax+2y﹣1=0与直线（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，a≠0时，它们的斜率之积等于﹣1，可得﹣×=﹣1，a=0时，直线y=和x=垂直，适合题意，故选：C．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．12、试题分析：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．故选：B．考点：系统抽样方法．13、试题分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．故答案为：．考点：循环结构．14、试题分析：（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，可得：当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．即可得出．解：∵（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，∴当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．∴a2+a4+…+a2014+a2016=﹣22015．故答案为：﹣22015．考点：二项式定理的应用．15、试题分析：根据考试的成绩ξ服从正态分布N（100，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=100对称，根据P（90≤ξ≤100）=0.3，得到P（100≤ξ≤110）=0.3，从而得到P（110≤ξ）=0.2，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（100，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（90≤ξ≤100）=0.3，∴P（100≤ξ≤110）=0.3，∴P（110≤ξ）=0.2，∴该班数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10故答案为：10．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．16、试题分析：设出点（2，5）关于直线x+y=0对称的点的坐标，根据中点在对称直线上和垂直直线的斜率之积为﹣1，列出方程组，解方程组可得对称点的坐标．解：设点P（2，5）关于直线x+y=0对称的点的坐标为（x，y），则⇒，故答案为：（﹣5，﹣2）．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．17、试题分析：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，利用待定系数法能求出椭圆方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质，结合已知条件推导出当k变化时，m2是定值．（ii）利用椭圆弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，∴椭圆方程为+=1，把点（，）代入，得k2=1，∴椭圆方程为+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，∴4k=k1+k2==，∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，验证△＞0成立．∴当k变化时，m2是定值．（ii）S△OPQ=|x1﹣x2|•|m|=，令=t＞1，得S△OPQ==＜1，∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．考点：椭圆的简单性质．18、试题分析：（Ⅰ）根据频率和为1，求解得a=0.03；（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，根据平均数值公式求解即可．（Ⅲ）ξ～B（3，0.2），根据二项分布求解概率列出分布列，求解数学期望及方差即可．解：（Ⅰ）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；（Ⅱ）由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（Ⅲ）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的频率为0.2；则ξ～B（3，0.2），ξ=0，1，2，3；P（ξ=0）=C30×0.23=；P（ξ=1）=C31×0.82×0.2=；P（ξ=2）=C32×0.8×0.22=；P（ξ=3）=C33×0.23=，∴ξ的分布列为：Eξ=3×0.2=0.6，Dξ=3×0.2×0.8=0.48．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．19、试题分析：（Ⅰ）根据顶点在第一象限和顶点在第三象限两种情况分类讨论，求出结果．（Ⅱ）第k+1项的二项式系数为C n k，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．解：（Ⅰ）抛物线经过原点，得c=0，当顶点在第一象限时，a＜0，﹣＞0，即，则有3×4=12（种）；当顶点在第三象限时，a＞0，﹣＜0，即a＞0，b＞0，则有4×3=12（种）；共计有12+12=24（种）．（Ⅱ）∵C n4+C n6=2C n5，∴n2﹣21n+98=0，∴n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数=C73（）423=，T5的系数=C74（）324=70．当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数=C147（）727=3432．考点：二项式定理的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．20、试题分析：（Ⅰ）根据所给数据，作出甲、乙两班学生成绩茎叶图，从而求出甲班数学成绩的中位数和乙班学生数学成绩的众数；（Ⅱ）根据茎叶图分别求出甲、乙班优秀的人数与不优秀的人数，列出列联表，利用相关指数公式计算K2的观测值，比较与临界值的大小，判断成绩优秀与教学方式有关的可靠性程度．解：（Ⅰ）甲、乙两班学生成绩茎叶图如图所示：甲班数学成绩的中位数=70.5；乙班学生数学成绩的众数86（Ⅱ）2×2列联表为：∴K2==6.4＞5.024，有97.5%以上的把握认为成绩优秀与教学方式有关．考点：独立性检验的应用．21、试题分析：（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．解：（1）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有=，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径r=．所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上任意一点，可设D（2+cosα，4+sinα）．∵C（3，0），点M是线段CD的中点，∴有x=，y=，消去参数α得：（x﹣）2+（y﹣2）2=．故所求的轨迹方程为：（x﹣）2+（y﹣2）2=考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系．22、试题分析：（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以a=时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p∧q为真，∴p，q都为真；∴，∴；∴实数x的取值范围为；（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；∴，∴；∴实数a的取值范围为．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．。

湖北省荆州市部分县市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

湖北省荆州市部分县市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=（i为虚数单位），z的共轭复数为，则在复平面内i对应当点的坐标为( )A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，即可得到复数i对应当点的坐标．解答：解：复数z=====﹣1+i，i=1﹣i，在复平面内i对应当点的坐标为（1，﹣1）．故选：C．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，基本知识的考查．2．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）＜0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|0＜x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x≥1} D．{x|x≤1}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），然后根据集合的基本运算求解即可．解答：解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）＜0}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，∴∁U B={x|x≥1}，即A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}故选：B．点评：本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．3．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R使x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )A．{a|a≥1} B．{a|a≤﹣2或1≤a≤2} C．{a|﹣2≤a≤1} D．{a|a≤﹣2或a=1}考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由命题p可得：a≤（x2）min，解得a≤1；由命题q可得：△≥0，解得a≥1或a≤﹣2．由命题“p且q”是真命题，可知p，q都是真命题，即可解出．解答：解：命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴a≤（x2）min，∴a≤1；命题q：“∃x∈R使x2+2ax+2﹣a=0”，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2．若命题“p且q”是真命题，则，解得a≤﹣2或a=1．则实数a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．故选：D．点评：本题考查了复合命题的真假判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与几十年令，属于基础题．4．函数y=sin2x+acos2x的图象左移π个单位后所得函数的图象关于直线x=﹣对称，则a=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后求出平移后的解析式，根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案．解答：解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ），tanφ=a，函数y=sin2x+acos2x的图象左移π个单位后所得函数y=sin（2x+2π+φ）=sin （2x+φ），的图象，函数的图象关于直线x=﹣对称，∴φ=k，k∈Z，φ=kπ+，k∈Z，∵tanφ=a，∴a=tan（kπ+）=﹣1．故选：C．点评：本题主要考查三角函数的辅角公式，三角函数的图象的平移变换，考查正弦函数的对称性问题．属基础题．5．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B（﹣，0），C（，0），A（0，），则△ABC的面积S=，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为=，故选：C．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．6．甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种．A．30 B．36 C．60 D．72考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．解答：解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．综上，由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选：A ．点评：本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键． 7．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列共有( ) A ．6项 B ．8项 C ．10项 D ．12项考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先设数列的通项公式为a 1q n ﹣1，则前三项之积：a 13q 3=2，后三项之积：a 13q 3n ﹣6=4两式相乘得即a 12q n ﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n ．解答：解：设数列的通项公式为a 1q n ﹣1则前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n﹣3，a 1q n ﹣2，a 1q n ﹣1．∴前三项之积：a 13q 3=2，后三项之积：a 13q 3n ﹣6=4两式相乘得：a 16q 3（n ﹣1）=8，即a 12q n ﹣1=2又a 1•a 1q •a 1q 2…a 1q n ﹣1=64， ∴=64，即（a 12qn ﹣1）n =642，∴2n=642，∴n=12 故选D ．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．8．在△ABC 中，若a=4，b=3，cosA=，则B=( )A ．B ．C ．或πD ．π考点：余弦定理．分析：cosA=，A∈（0，π），可得，由正弦定理可得：，即可得出sinB．而a＞b，可得A＞B．即可得出．解答：解：∵cosA=，A∈（0，π），∴=．由正弦定理可得：，∴sinB===．∴A＞B．∴B为锐角，∴．故选：A．点评：本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．9．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离心率为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为FF'的中点，E为FP的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求|PF|，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点因为O为FF'的中点，E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，所以OE∥PF'因为|OE|=a，所以|PF'|=2a又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，所以x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．10．定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为( )A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．解答：解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D点评：本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，考生共需作答5题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，横棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．从某校2015届高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为20．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，求出视力在0.9以上的频率，即可得出该班学生中能报A专业的人数．解答：解：根据频率分布直方图，得：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20；故答案为：20．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用频率分布直方图，会求某一范围内的频率以及频数，是基础题．12．己知集合，A={x|x=2k，k∈N}，如图所示程序框图（算法流程图），输出值x=11．考点：程序框图．分析：按照程序框图的流程，写出前几次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果．解答：解：经过一次循环得到的结果为x=5经过第二次循环得到的结果为x=3经过第三次循环得到的结果为x=7经过第四次循环得到的结果为11，满足条件执行输出故输出值为11故答案为11．点评：解决程序框图中的循环结构时，常用的方法是写出前几次循环的结果，找规律．13．已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0，则+的最小值为9．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=﹣2，b=﹣1，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解答：解：不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，∴a=﹣2，b=﹣1，∵点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=5++≥5+2=9当且仅当m=n=时取等号，即+的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了不等式的解法和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是2015届高考考查的重点内容．14．当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n）．则（1）S（4）=86．（2）S（n）=．考点：等比数列的前n项和．专题：规律型．分析：（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n﹣1）=2n﹣1．S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]=[1+3+5+…+15]+ [N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]．由此能求出S（4）．（2）由S（n）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2n）]，知S（n）=4n ﹣1+S（n﹣1）（n≥1），由此能推导出．解答：解：（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n﹣1）=2n﹣1．S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]=43+S（3）=43+42+S（2）=43+42+41+S（1）=86．（2）S（n）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2n）]，∴S（n）=4n﹣1+S（n﹣1）（n≥1），又S1=N（1）=1，∴．点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比当选列的前n项和公式、通项公式的灵活运用，注意总结规律，认真解答．一、选考题：【几何选讲选做题】（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=6，AB=8，则OE=5．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：立体几何．分析：利用条件，可以证明EB=ED=EC，再利用三角形的中位线，即可求得OE的长．解答：解：由题意，连接OD，BD，则OD⊥ED，BD⊥AD∵OB=OD，OE=OE∴Rt△EBO≌Rt△EDO∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC，∴ED=EC∴EB=EC∵O是AB的中点，∴OE=AC∵直角边BC=6，AB=8，∴AC=10，∴OE=5，故答案为：5点评：本题考查圆的切线的性质，考查圆的性质，考查三角形中位线的性质，属于基础题．【坐标系与参数方程选做题】16．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则点A到这条直线的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．专题：计算题；压轴题．分析：把极坐标方程化为普通方程，把点A的极坐标化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求出点A到这条直线的距离．解答：解：直线，可化为x+y﹣1=0，点A可化为，根据点到直线的距离公式，故答案为．点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，两角和的正弦公式，以及点到直线的距离公式的应用．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=﹣，且C为锐角，求sinA．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先化简函数f（x）=cos（2x+）+sin2x，然后根据正弦函数的最大值是1，最小值是﹣1，求出函数f（x）的最大值，进而求出它的最小正周期即可；（Ⅱ）首先根据f（x）的解析式，f（）=﹣，求出角C的正弦值，进而求出角C的大小；然后求出角B的正弦、余弦，最后根据两角和的正弦公式，求出sinA的值即可．解答：解：（1）f（x）=cos（2x+）+sin2x=，所以当sin2x=﹣1时，函数f（x）的最大值为，它的最小正周期为：=π；（2）因为==﹣，所以，因为C为锐角，所以；因为在△ABC 中，cosB=，所以，所以．点评：本题主要考查了三角函数的最值以及最小正周期的求法，属于基础题．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．19．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x 1 2 3 4P点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．20．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求的值．考点：直线与平面所成的角；简单空间图形的三视图；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出=0，=0后即可证明BN⊥平面C1B1N；（2）求出平面NCB1的一个法向量，利用与此法向量的夹角求出直线C1N与平面CNB1所成的角（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知⊥，利用向量数量积为0求出a的值，并求出．解答：（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．…以B为坐标原点，分别以BA，BB1，BC所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）∵=（4，4，0）•（﹣4，4，0）=﹣16+16=0=（4，4，0）•（0，0，4）=0∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；…（2）解：设n2=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则则；…（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则，∵MP∥平面CNB1，∴．又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB=1时，MP∥平面CNB1∴…点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确．21．某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a （3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．解答：解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，L max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）万元；当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）3万元．点评：本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地2015届高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．22．已知f（x）=e x﹣t（x+1）．（1）若f（x）≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的t≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）求证：1n+2n+…+（n﹣1）n≤n n（n∈N*）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）（x＞0）恒成立．设（x≥0），则，从而求出p（x）在x∈[0，+∞]单调递增，p（x）≥p（0）=1（x=1时取等号），进而t≤1；（2）设x1、x2是任意的两实数，且x1＜x2，故g（x2）﹣mx2＞g （x1）﹣mx1设F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单增，而故m＜3；（3）由（1）知，x+1≤e x=e（x+1）﹣1，∴x≤e x﹣1取，则．从而1n+2n+…+（n﹣1）n≤n n（n∈N*）．解答：解：（1）（x＞0）恒成立．设（x≥0），则∴p（x）在x∈[0，+∞]单调递增，p（x）≥p（0）=1（x=1时取等号），∴t≤1；（2）设x1、x2是任意的两实数，且x1＜x2，故g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1设F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单增，即F'（x）=g'（x）﹣m＞0恒成立．即对任意的t≤﹣1，x∈R，m＜g'（x）恒成立．而g′（x）=e x﹣t﹣≥2﹣t=﹣t+2=﹣1≥3，故m＜3；（3）由（1）知，x+1≤e x，∴x≤e x﹣1，取，则．，，∴1n+2n+…+（n﹣1）n≤n n（n∈N*）点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，求参数的范围，不等式的证明，导数的应用，有一定的难度．。

2014-2015学年湖北省荆州市高二(下)期末数学试卷(文科)

2014-2015 学
湖
省荆州
高
期
数学小题 5 ，共 60 .在小题给出的四个选项中，只有一项是确的，小题选出答案，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑.多涂、涂或涂错均得 0 . 2 2 1． 2015 春•荆州期 “xy=0”是“x +y =0”的 A．充必要条 B．必要充条 C．充要条 D．既充也必要条考点题必要条、充条计算题．
2 2
充要条的判断．
析因 x +y =0，可得 x，y=0，再根据充要条的定进行判断解答解 xy=0，或者 x=0，或 y=0 或 x=y=0 2 2 x +y =0，可得 x=y=0， 2 2 “x +y =0”⇒“xy=0” 2 2 “xy=0”是“x +y =0”的必要充条，故选 B 点评题要考查充条和必要条的定，是一道基础题，考查的知识点比较单一． 2． 2015 春•荆州期 A． C．命题“∃x0∈R，x0 +1 0”的否定是 2 ∀x∈R，x +1 0 2 ∃x0∈R，x0 +1≤0
2
1，其圆心 C B． x +
2
点 1，0 关于直线 x+y=0 对 y+1
2
，
y﹣1
2
=1
=1
C．
x﹣ 1
2
+y =1
2
圆的标准方程．
第2 共 13
题直线圆．析利用点 a，b 关于直线 y=﹣x 的对点 ﹣b，﹣a ，求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答解圆心点 1，0 关于直线 y=﹣x 对，可得圆心 0，﹣1 ，再根据半径等于 1， 2 2 可得所求的圆的方程 x + y+ =1，故选 B．点评题要考查求圆的标准方程，利用了点 a，b 关于直线 y=﹣x 的对点 ﹣ b，﹣a ，属于基础题． 6． 2015 春•荆州期 A． +∞﹚ 考点利用导数研究函数的单调性．题导数的综合应用．析求出原函数的导函数，导函数小于 0 求出自变函数的单调区间可求．解答因解 f x =2lnx+ ，得 f′ x = 域 0，+∞ ，．函数 f x =2lnx+ 的单调递 ﹣∞， ] B．区间是 C ． [ ，1 D． [1，

湖北省荆州中学2015-2016学年高二下学期第一次(3月)质量检测数学(文)试题(word含答案)

荆州中学高二年级下学期第一次质量检测数学卷（文科）命题人：审题人：一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知b 是实数，若i bi -+21是纯虚数，则b=( ) A ．2 B ．﹣2 C ．21 D ．21- 2.已知命题P ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0，则￢p 是( )A ．∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＞0B ．∀x ∈R ，x 2+2x+2≤0C ．∀x ∈R ，x 2+2x+2＞0D ．∀x ∈R ，x 2+2x+2≥03.我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A ．2B ．3C ．4D ．54.且回归方程是=0.95x+2.6，则t=( )A ．4.7B ．4.6C ．4.5D ．4.45.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y=cosx（x ∈R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x ∈R ）是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①6.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），如果x 1+x 2=6，那么|AB|=( )A ．8B ．10C ．6D ．47. 函数f （x ）=e x sinx 的图象在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为（）A ．0B ．C ．1D ．8.对于曲线C ：11422=-+-k y k x ，给出下面四个命题：（1）曲线C 不可能表示椭圆；（2）若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则251<<k ；（3）若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4；（4）当1＜k ＜4时曲线C 表示椭圆，其中正确的是( )A ．（2）（3）B ．（1）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）9.设函数f （x ）在x=x 0处可导，则hx f h x f h )()(000lim-+→( ) A ．与x 0，h 都有关 B ．仅与x 0有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关10.若函数ax x x x f -+=22ln )(存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a 的取值范围是（）A.(]6,-∞-B. (][)+∞⋃-∞-,26,C.[)+∞,2D.()()+∞⋃-∞-,26, 11.若方程x 3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m 的取值范围是（）A ．[﹣2，2]B ．（0，2]C ．[﹣2，0）∪{2}D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 12.已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 也是抛物线C 2：)0(22>=p px y 的焦点，C 1与C 2的一个交点为P ，若PF ⊥x 轴，则双曲线C 1的离心率为( )A ．12+B ．22C ．122-D ．13+二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13.函数f （x ）=（x 2+x+1）e x （x ∈R ）的单调减区间为．14.正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第个等式中.15.定义在R 上的函数f （x ）满足：f ′（x ）＞1﹣f （x ），f （0）=6，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则不等式e x f （x ）＞e x +5（其中e 为自然对数的底数）的解集为．16.已知椭圆)2(12:222>=+a y a x C 的左右焦点分别为21,F F ,离心率为e ,直线a ex y l +=:,P 为点1F 关于直线l 对称的点,若21F PF ∆为等腰三角形,则a 的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题10分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：m 2﹣15m ＜0，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求m 的取值范围.18.（本题12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．（1）求这组数据的平均数M ；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．19.（本题12分）某电视台推出某种游戏节目，规则如下:选手面对1-8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段流行歌曲，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调査中，得到如下2x2列联表（Ⅰ）判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关，说明你的理由；（Ⅱ）若在这次场外调査中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并从中抽取两名幸运选手，求两名幸运选手不在同一年龄段的概率.(视频率为概率）（参考公式：其中22(),.()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++）20. （本题12分）观察下题的解答过程：已知正实数b a ,满足1=+b a ，求1212+++b a 的最大值. 解：2322)12(21222+=++≤⋅+a a a ,23221221222+=++≤⋅+b b b 相加得43)1212(2212212=++≤+++=⋅++⋅+b a b a b a ,221212≤+++∴b a 等号在21==b a 时取得，即1212+++b a 的最大值为22 请类比上题解法，使用综合法证明下题：已知正实数z y x ,,满足2=++z y x ，求证：21121212≤+++++z y x21.（本题12分）设M 是焦距为2的椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）上一点，A 、B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=﹣．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）上点N （x 0，y 0）处切线方程为+=1，若P 是直线x=2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C 、D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．22.（本题12分）已知函数f （x ）=x ﹣alnx （a ∈R ）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f （x ）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h （x ）=f （x ）+，求函数h （x ）的单调区间；荆州中学高二年级下学期第一次质量检测数学卷（文科）参考答案1-5ACBCB,6-10 ABABC.11-12 CA.13.[]1,2-- 14.6 15.()+∞,0 16.317解：命题p 为真命题时，将方程11222=--m y m x 改写为11222=-+my m x ，只有当1﹣m ＞2m ＞0，即310<<m 时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，若命题q 为真命题时，0＜m ＜15，∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，∴p ，q 中有一真一假；当p 真q 假时，无解；当p 假q 真时，，解得1531<≤m综上：m 的取值范围为1531<≤m 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：90～100分的频率为0.1，100～110分的频率为0.25，110～120分的频率为0.45，120～130分的频率为0.15，130～140分的频率为0.05；∴这组数据的平均数M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113（分）（Ⅱ）∵第五组130～140分数段的人数为2人，频率为0.05；故参加的总人数为 2÷0.05=40人．第一组共有40×0.01×10=4人，记作A 1、A 2、A 3、A 4；第五组共有2人，记作B 1、B 2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A 1，A 2}、{A 1，A 3}、{A 1，A 4}、{A 2，A 3}、{A 2，A 4}、{A 3，A 4}；{A 1，B 1}、{A 2，B 1}、{A 3，B 1}、{A 4，B 1}；{A 1，B 2}、{A 2，B 2}、{A 3，B 2}、{A 4，B 2}；{B 1，B 2}．共有15种结果，设事件A ：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P （A ）=158． 18. (1）由所以有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。

湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷(解析版)

湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是（） A.相交且过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离【答案】C 【解析】试题分析：∵圆C 的圆心为（0，0），半径2r =，而圆心到直线l 的距离2d r ===所以直线l 与圆C 相切考点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 2．已知y x ,之间的几组数据如下表假设根据上表数据所得线性回归方程为11a x b y +=, 某同学根据上表中前两组数据求得的直线方程为22a x b y +=, 则以下结论正确的是（） A.2121,a a b b >> B.2121,a a b b <> C.2121,a a b b >< D.2121,a a b b << 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知6n =，713,26x y == 12713043121524666267351491625366()2b +++++-⨯⨯==+++++-⨯，122930a =，而由直线方程的求解可得22b =，把(1,0)代入可得22a =-， ∴1212,b b a a <>考点：线性回归方程的求解3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为（）A.20B.14C.10D.7 【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a ==; 第二次循环2,14i a ==；第三次循环3,7i a ==；第四次循环4,20i a ==；第五次循环5,10i a ==；第六次循环6,5i a ==；……，输出的a 值的周期为5∵跳出循环的i 值为2015，∴第2014次循环的20a =. 考点：循环结构的程序框图4．统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队全年丢失了79个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析 ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】试题分析：因为甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失7912，所以甲队技术比乙队好，故①正确；因为甲队比赛丢失球的个数的标准差为1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6.所以乙队发挥比甲队稳定，故②正确；乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确，考点：平均数，方差，标准差5．题文天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率用1, 2, 3, 4表示下雨, 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A.236 B.216C.41D.非ABC 的结果【答案】C【解析】试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为90.2536= 考点：随机数的含义与应用6．如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在到原点的距离为2的点, 则实数a 的取值范围是（）A.)3,1()1,3(⋃--B.)3,3(-C.[－1, 1]D.]3,1[]1,3[⋃-- 【答案】D 【解析】试题分析：圆22()()8x a y a -+-=的圆心(,)a a ，半径r =由于圆22()()8x a y a -+-=∴≤≤∴1||a ≤≤解得13a ≤≤或31a -≤≤-∴实数a 的取值范围是[3,1][1,3]-- 考点：点到直线的距离公式，圆的标准方程7．若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1,则事件A 与B 的关系是（）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对【答案】D 【解析】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件；但若在不同实验下，虽有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 不一定对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的考点：互斥事件与对立事件 8．已知直线1+=bkxb y 与圆10022=+y x 有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有（）A.60条B.66条C.70条D.71条【答案】A 【解析】试题分析：22100x y +=，整点为(0,10)±，(6,8)±±，(8,6)±±，(10,0)±，如图，共12个点，直线1x ya b+=（a,b 为非零实数），∴直线与x,y 轴不平行，不经过原点，任意两点连线有212C 条，与x,y 轴平行的有14条，经过原点的有6条，其中有两条既过原点又与x,y 轴平行，所以共有212C +12-14-6+2=60考点：圆与圆锥曲线综合 9．我班制定了数学学习方案星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A.50种B.51种C.140种D.141种【答案】D【解析】试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种考点：排列组合问题10．如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面α分别与直线BC, AD相交于点G, H, 有下列四个结论, 其中正确的个数是（）①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点;②存在一个平面0α, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上;③对于任意的平面α, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】试题分析：①取AD 的中点H ，BC 的中点G ，则EGFH 在一个平面内，此时直线GF ∥EH ∥BD ，因此不正确；②不存在一个平面0α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③对于任意的平面α，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，可以证明几何体AC-EGFH 的体积是四面体ABCD 体积的一般，故③正确. 考点：棱柱、棱台、棱锥的体积二、填空题 11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为 . 【答案】9(8888) 【解析】试题分析：012345673(22222222)23232323232323236560=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵0123656089898989=⨯+⨯+⨯+⨯，∴把三进制数3(22222222)化为九进制数的结果是9(8888)考点：进位制 12．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯= 考点：相互独立事件的概率乘法公式 13．已知)1,0(,∈y x , 则1212222222+-+++-+++x y x y y x y x 22222+--++y x y x 的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：从所给式子的几何意义考虑，即找点(,)x y 到（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四点的距离之和最小（其中)1,0(,∈y x ），显然当2x =，2y =时距离之和最小为考点：两点间距离公式的应用14．集合}1)1()1(|),{(},1|1||||),{(22≤-+-=≤-+-=y x y x B y a x y x A ,若集合∅=B A , 则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,3] 【解析】试题分析：先分别画出集合{(,)||||1|1}A x y x a y =-+-≤，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤表示的平面图形，集合A 表示一个正方形，集合B 表示一个圆.如图所示，其中(1,1)A a +，(1,1)B a -，欲使A B =∅，只须A 或B 点在圆内即可，∴22(11)(11)1a +-+-≤或22(11)(11)1a --+-≤，解得：11a -≤≤或13a ≤≤，即13a -≤≤ 考点：简单的线性规划问题15．如图, P 为60的二面角βα--l 内一点, P 到二面角两个面的距离分别为2、3, A 、B 是二面角的两个面内的动点,则△PAB 周长的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：如图，作出P 关于两个平面,αβ的对称点M 、N ，连接MN ，线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C ，D ，连接MP ，NP ，CP ，DP ，则△PAB 的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN,当A 与C 重合，B 与D 重合时，由两点只见线段最短可以得出MN 即为△PAB 周长的最小值，根据题意可知：P 到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角l αβ--，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120° 根据余弦定理有：2222MN MP NP MP NP COS MPN =+-⋅⋅∠22146246()762=+-⨯⨯⨯-=∴MN =∴△PAB 周长的最小值等于考点：三角形周长的最小值求法，二面角的定义和求法.三、解答题 16．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数;（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本, 员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元, 求甲乙同时被抽到的概率.【答案】（1）平均收入为2400，中位数为2400；（2）甲、乙同时被抽到的概率为1001【解析】试题分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率. 试题解析：（1）可求出第一个小矩形的高度为0.0002 平均收入为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯375005.0325015.0275025.0225025.017502.012501.02400元中位数为2400元（面积分为相等的两部分; （3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人, 月收入在3500元至4000元之间的有50人, 由分层抽样可知, 甲、乙同时被抽到的概率为1001 考点：频率分布直方图 17．（本小题满分12分）标号为0到9的10瓶矿泉水.（1）从中取4瓶, 恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式, 作为射击的靶子, 规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下）, 把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A 、B 、C 三名垃圾回收人员, 每个瓶子1角钱.垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66. 【解析】试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有3537=C 种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论试题解析：（1）取4张红卡, 其中有2张连在一起, 组成3个组合卡, 6张白卡排成一排, 插入3个组合卡, 有3537=C 种方法, 然后在卡片上从左到右依次编号, 取出红色卡, 一种插法对应一种取数字的方法, 所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合, 因为每组数的数字大小是固定的, 数字小的挂下面.所以共有252003538210=C C C .（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关, 他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以66212=C .考点：考查排列、组合的实际应用18．（本小题满分12分）如图, 已知圆M ()2244x y +-=, 直线l 的方程为20x y -=,点P 是直线l 上一动点, 过点P 作圆的切线PA 、PB , 切点为A 、B ．（1）当P 的横坐标为165时, 求∠APB 的大小; （2）求证经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点, 并求出所有定点的坐标．【答案】（1）∠APB ＝60°；（2）84(0,4),,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设可知，圆M 的半径2r =，168(,)55P ，∠MAP=90°，根据MP=2r ，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB 的大小；（2）设P 的坐标，求出经过A 、P 、M 三点的圆的方程即可得到圆过定点. 试题解析：解（1）由题可知, 圆M 的半径r ＝2, 168(,)55P , 因为PA 是圆M 的一条切线, 所以∠MAP ＝90°又因MP＝4=＝2r, 又∠MPA ＝30°, ∠APB ＝60°; （6分）（2）设P （2b, b ）, 因为∠MAP ＝90°, 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径, 方程为 ()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即()22(24)40x y b x y y +--+-= 由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩, 解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 考点：直线与圆的综合问题，圆过定点，19．（本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD 中, BC F AB E ∈∈,（1）如果E 、F 分别为AB 、BC 中点, 分别将△AED 、△DCF 、△BEF 沿ED 、DF 、FE 折起, 使A 、B 、C 重合于点P.证明在折叠过程中, A 点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.（2）如果F 为BC 的中点, E 是线段AB 上的动点, 沿DE 、DF 将△AED 、△DCF 折起,使A 、 C 重合于点P, 求三棱锥P －DEF 体积的最大值.【答案】（1）证明见解析，A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上.（2 【解析】试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.试题解析：（1）解：∵E 、F 分别为正方形边AB 、BC 中点, 在平面图中连接AF, BD 交于O 点, AF 交DE 于M, 可知O为三角形DEF 的垂心.三角形AED 在沿DE 折叠过程中, AM 始终垂直于DE, ∴A 在过M 且与DE 垂直的平面上, 又AM ＝52, ∴A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上. （2）∵PD ⊥PF, PD ⊥PE, ∴PD 垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF 面积最大时, 三棱锥P －DEF 体积最大.设PE ＝t,α=∠EPF ,αcos 211)2(22t t t -+=+-,tt 22cos -=α 48321)22(12122-+-=--=∆t t t t t S PEF , 当34=t 时932max =V . 考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算20．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC∩BD=O,AA 1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（1）求证 A 1C ∥平面BMD;（2）求证 A 1O ⊥平面ABCD;（3）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值.【答案】（1）（2）证明详见试题分析（3【解析】试题分析：（1）连结MO ，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明（2）由已知条件推导出BD ⊥面A1AC ，12AO AC == （3）通过作辅助线确定直线MB 与平面1BDC 所成的角，然后求出其正弦值试题解析：（1）证明：连结MO ，∵1,AM MA AO OC ==，∴MO ∥1AC ，∵MO ⊂平面BMD ，1AC ⊄平面BMD ∴A 1C ∥平面BMD.（2）证明：∵1BD AA ⊥，BD AC ⊥，∴BD ⊥平面1A AC于是1BD AO ⊥，AC BD O =，∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=12又∵1AA =160o AAC ∠=，∴1AO AC ⊥，又∵1AO BD ⊥，∴1AO ⊥平面ABCD.（3）解：如图，以O 为原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，由题意知1(0,0,3)A ，A ，(C (0,1,0)B ，(0,1,0)D -，∵11(AC AC ==-，∴1(C -∵3()22M，∴3()22MB =--，(0,2,0)DB =，1(1,3)BC =--，设平面1BC D 的法向量为(,,)nx y z =，则12030n DB y n BC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取x =(3,0,2)n =∴332cos ,MB n --<>==∴直线BM 与平面1BC D =. 考点：立体几何的证明与求解21．（本小题满分13=5+5+3分）已知点),(00y x P 是圆:C 8)2()2(22=-+-y x 内一点（C 为圆心）, 过P 点的动弦AB.（1）如果)1,1(P , 72||=AB , 求弦AB 所在直线方程.（2）如果)1,1(P , 当PAC ∠最大时, 求直线AP 的方程.（3）过A 、B 作圆的两切线相交于点M , 求动点M 的轨迹方程.【答案】（1）1=y （2）1+-=x y （3）8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x【解析】试题分析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y ；（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当xy zNC 最大时, 角CAP 最大；（3）求出圆C 在A 、B 处的切线方程，可得AB 的方程，点P 00(,)x y 在AB 上，即可得出结论.试题解析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当NC 最大时, 角CAP 最大, 又NC ≤PC, 所以当N 、P 重合时, PAC ∠最大, 此时PC PA ⊥, 故PA 的方程为 1+-=x y（3）因为过A 、B 的圆心的两条切线相交, 所以P 点异于圆心C.设),(,),(2211y x B y x A , ),(//y x M , 圆C 在A 、B 处的切线方程分别为 8)2)(2()2)(2(11=--+--y y x x , 8)2)(2()2)(2(22=--+--y y x x , 它们交于点M , 所以8)2)(2()2)(2(/1/1=--+--y y x x ,8)2)(2()2)(2(/2/2=--+--y y x x这两式表明 A 、B 两点在直线8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x 上, 即AB 的直线方程为8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x , P 在AB 上,所以8)2)(2()2)(2(/0/0=--+--y y x x所以M 的轨迹方程为 8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x考点：直线和圆的方程的应用。

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试数学试卷(理科）命题人：武汉中学严少林审题人：武汉四中李文溢全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数211ii i-+- 等于（） A. i B. 0 C.-i D.1+i2．设x x x x f ln 42)(2--=，则函数()f x 单调递增区间为（A ） ),0(+∞ （B ）)0,1(-和),2(+∞ （C ）),2(+∞ (D))0,1(- 3．函数()y f x =的图象如图所示，若0()f x dx m π=⎰，则20()f x dx π⎰等于（）A ．mB ．2mC ．m -D ．04．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A. y x =B. y =C.y x =±D.32y x =± 5．曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．2eB ．22eC ．24eD ．292e 6．下列命题错误的是（）A 、命题“若0m >，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根，则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝:，均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题，则,p q 均为假命题7.棱长均为3三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x 则（第3题图）( )A 、6B 、36 C 、63 D 、1 8．已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)(x f y =的大致图象是( )9．如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若三角形ABF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）ABCD10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面11．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20xxf x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >ABC1A 1C 1D 1B DEF12．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ=+=-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（） A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．复数4312ii++的虚部为 .14．用数学归纳法证明某命题时，左式为nn 111.4131211--++-+- （n 为正偶数），从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.15．设21 , F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，点P 在双曲线的左支上，且||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的取值范围是． 16．已知()0,x ∈+∞，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1nax n x +≥+，则a 等于 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知命题p ：[]0,2,12≥-∈∀a x x ，命题q ：022,0200=-++∈∃a ax x R x ，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数2()ln f x x a x =+．（1）当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若函数2()()g x f x x=+在[1,4]上是减函数,求实数a 的取值范围．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．OSBC20. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为,,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A ．（1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当25PG PH -<时，求实数t 的取值范围． 21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+．（1）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值；（2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）求证：1111ln(1)35721n n +>+++++（n ∈*N ）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

湖北省宜昌一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

湖北省宜昌市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题本试题卷共4页，三大题21小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线24x y =的准线方程是（） A ． y=﹣1B ． y =﹣2C ． x =﹣1D ．x=﹣22. 已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．51 C ．53 D ．57 3．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的 ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件 4．将八进制数135(8)转化为二进制数是 ( )A ．1110101(2)B ．1010101(2)C ．111001(2)D ．1011101(2)5. 如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是（）A ．34m <<B ．72m >C ．732m <<D ．742m <<6. 以下三个命题中：①设有一个回归方程23y x ∧=-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．其中真命题的个数为（）数的个数是 ( ) A ．36 B ．32 C ．24 D ．208. 设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（） A ．21ξξD D > B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关9. 设,,a b m 为整数(0)m >，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对m 同余记为(mod )a b m ≡，已知12322020201C C 2C 2a =++++ (2019)20C 2+, (mod10)a b ≡，则b 的值可以是（） A ．2015B ．2013C ．2011D ．200910．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若∆ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )A B ．2 C D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11. 某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是．随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 0612．下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是__________13. 已知7270127()x m a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a +++⋅⋅⋅+= .14. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，则直线1AB 和1BC 所成的角是．15. 已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>，O 为坐标原点，离心率2e =，点M 在双曲线上．(1)则双曲线的方程为；(2)若直线l 与双曲线交于,P Q 两点，且0OP OQ ⋅=uu u r uuu r .则2211OP OQ+的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知命题:P 函数log (12)a y x =-在定义域上单调递增；命题:Q 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立．若P Q ∨是真命题，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110)后得到如下图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （Ⅲ）若从车速在[80,90)的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数ξ的分布列及数学期望.18 . （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，点N 是PC 的中点，求二面角N BQ C --的余弦值；（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB .19.（本小题满分12分）已知函数4()f x ax x=+．（1）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；（2）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率． 20. (本小题满分13分）等差数列{n a }的各项均为正有理数，1a ＝3，前n 项和为n S ，等比数列{n b }中，1b ＝1，22b S ＝64，{n a b }是公比为64的等比数列． (Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)证明：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.21．（本小题满分14分）如图，设F 是椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线l 为2a x c=-，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知8,MN =且2PM MF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ；（3）求三角形ABF 面积的最大值。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★ 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607, -i 的共轭复数为 i 选 A . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估计总体.3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.4.设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】 C考点：正态分布密度曲线.5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A 【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(xg是R上的减函数，由符号函数1,0s g n0,01,0xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0s g n[()]0,0s g n1,0xg x x xx->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≥”的概率，2p为事件“1||2x y-≤”的概率，3p为事件“12xy≤”的概率，则（）A．123p p p<<B．231p p p<<C．312p p p<< D．321p p p<<【答案】B（1）（2）（3）考点：几何概型.8．将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()b a b≠同时增加(0)m m>个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（）A．对任意的,a b，12e e> B．当a b>时，12e e>；当a b<时，12e e<C．对任意的,a b，12e e< D．当a b>时，12e e<；当a b<时，12e e>【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙=. 【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意， 30=∠BAC ，105=∠ABC ，在A B C ∆中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③所以11)2NB MA NA MB -==-=，11NB MA NAMB+=+=正确结论的序号是①②③.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB =. 【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015-2016年湖北省荆州中学高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2015-2016学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下面哪些变量是相关关系（）A．出租车费与行驶的里程B．房屋面积与房屋价格C．人的身高与体重D．铁块的大小与质量2．（5分）设一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．12.8 3.6B．2.8 13.6C．12.8 13.6D．13.6 12.8 3．（5分）“曲线C上的点的坐标都是方程=0的解”是“方程=0是曲线C的方程”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要4．（5分）已知命题p：∃x∈（0，），使得cosx≥x，则该命题的否定是（）A．∃x∈（0，），使得cosx＞x B．∀x∈（0，），使得cosx≥x C．∃x∈（0，），使得cosx＜x D．∀x∈（0，），使得cosx＜x 5．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2014？B．i≤2016？C．i≤2018？D．i≤2020？6．（5分）下列函数是正态分布密度函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=7．（5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为（）元．A．45B．46C．D．8．（5分）12名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业4人，则不同的分配方案共有（）种．A．B．C．D．9．（5分）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到P（n）=，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（）A．0B．1C．D．10．（5分）过椭圆+=1内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．5x﹣3y﹣13=0B．5x+3y﹣13=0C．5x﹣3y+13=0D．5x+3y+13=0 11．（5分）设（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，当a0+a1+a2+…+a n=254时，n等于（）A．5B．6C．7D．812．（5分）如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON的长为（）A．2B．4C．8D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=．14．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．15．（5分）若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．16．（5分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．三、计算题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）某班共有36名学生，其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于，则男生比女生多几人？19．（12分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p 为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．20．（12分）为了解荆州中学学生健康状况，从去年高二年级体检表中抽取若干份，将他们的体重数据作为样本．将样本的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求样本的容量；（Ⅱ）以荆州中学的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高二年级的所有学生中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）有红、黄、蓝、白4种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入如图所示编号为1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子只放一只小球．（1）放置小球满足：“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k （1≤k≤5，且j≠k）使得j号盒子与k号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；（2）记X为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求X的概率分布和数学期望E（X）．22．（12分）如图已知，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．2015-2016学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下面哪些变量是相关关系（）A．出租车费与行驶的里程B．房屋面积与房屋价格C．人的身高与体重D．铁块的大小与质量【解答】解：A、由出租车费与行驶的里程的公式知，是确定的函数关系，故A 不对；B、房屋面积与房屋价格，是确定的函数关系，故B不对；C、人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故C对；D、铁块的大小与质量，是确定的函数关系故D不对．故选：C．2．（5分）设一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．12.8 3.6B．2.8 13.6C．12.8 13.6D．13.6 12.8【解答】解：设该组数据为x1，x2，…，x n；则新数据为x1+10，x2+10，…，x n+10；∵==2.8，∴==10+2.8=12.8，∵S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，S′2=[（x1+10﹣（+10））2+（x2+10﹣（+10））2+…+（x n+10﹣（+10））2]，=S2=3.6，故选：A．3．（5分）“曲线C上的点的坐标都是方程=0的解”是“方程=0是曲线C的方程”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要【解答】解：如果曲线C上的点的坐标都是方程=0的解，同时以方程=0的解为坐标的点又都在曲线C上，则方程=0是曲线C的方程，曲线C是方程=0的曲线，这里只满足曲线C上的点的坐标都是方程=0的解，不能得到方程=0是曲线C的方程；反之，方程=0是曲线C的方程，可得曲线C上的点的坐标都是方程=0的解．∴“曲线C上的点的坐标都是方程=0的解”是“方程=0是曲线C 的方程”的必要非充分条件．故选：B．4．（5分）已知命题p：∃x∈（0，），使得cosx≥x，则该命题的否定是（）A．∃x∈（0，），使得cosx＞x B．∀x∈（0，），使得cosx≥x C．∃x∈（0，），使得cosx＜x D．∀x∈（0，），使得cosx＜x 【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定为：∀x∈（0，），使得cosx＜x，故选：D．5．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2014？B．i≤2016？C．i≤2018？D．i≤2020？【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：i=2，S=；第2次循环：i=4，S=；…第1008次循环：i=2016，S=；此时，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．故选：B．6．（5分）下列函数是正态分布密度函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=【解答】解：由正态密度函数的特征f（x）=可知，当δ=1，μ=0时，正态密度函数f（x）===为标准正态密度函数，故选：B．7．（5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为（）元．A．45B．46C．D．【解答】解：第一个矩形的面积是0.10，第二个矩形的面积是0.24，第三个矩形的面积是0.36，第四个矩形的面积是1﹣0.70=0.30；前面两个矩形的面积和是0.34，故将第三个矩形分成4：5即可，∴中位数是40+×10=．故选：D．8．（5分）12名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业4人，则不同的分配方案共有（）种．A．B．C．D．【解答】解：首先把12个人平均分成3组，共有个小组，再把这三个小组作为三个元素分到三个企业，这样就有一个全排列，共有A33种结果，根据分步计数原理知共有A33=C124C84C44故选：A．9．（5分）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到P（n）=，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（）A．0B．1C．D．【解答】解：∵P（1）=P（0），P（2）=P（0），P（3）=P（0），P（4）=P（0），P（5）=P（0）．∴P（0）=1﹣（P（1）+P（2）+P（3）+P（4）+P（5））=1﹣（1﹣（）5）P（0），∴P（0）=．故选：C．10．（5分）过椭圆+=1内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．5x﹣3y﹣13=0B．5x+3y﹣13=0C．5x﹣3y+13=0D．5x+3y+13=0【解答】解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直线方程为y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故选：A．11．（5分）设（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，当a0+a1+a2+…+a n=254时，n等于（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n∴令x=1得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+a n，而a0+a1+a2+…+a n=254==2n+1﹣2，∴n=7故选：C．12．（5分）如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON的长为（）A．2B．4C．8D．【解答】解：∵椭圆，∴a=9，根据椭圆的定义得：|MF2|=18﹣2=16，而ON是△MF1F2的中位线，∴，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则= 5.25．【解答】解：∵=3.5∴=﹣=3.5+0.7×2.5=5.25．故答案为：5.2514．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，﹣1] ．【解答】解：由程序框图可得分段函数：∴令，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；故答案为：[﹣2，﹣1]15．（5分）若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．【解答】解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点，∴≤，解得﹣1≤a≤3，∴在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为=故答案为：．16．（5分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．【解答】解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）三、计算题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？【解答】解：（1）由题意可得，∴化简可得，n2﹣9n+14=0∵n≥3∴n=7（2）无常数项，其中时r=3.5∉Z，故不存在18．（12分）某班共有36名学生，其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于，则男生比女生多几人？【解答】解：（1）现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，共有C362种，恰有1名班干部当选代表的C301C61种，恰有1名班干部当选代表的概率：=，（2）没有班干部的种数C302种，故至少有1名班干部当选代表的概率为：1﹣=，（3）设男生有n人，则女生有36﹣n人，则有条件可知：=，解得n=15或n=21，而n＞18，所以n=21所以男生比女生多6人．19．（12分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p 为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，若q真，则a≥﹣1，∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）∴，解得：2≤m≤3．20．（12分）为了解荆州中学学生健康状况，从去年高二年级体检表中抽取若干份，将他们的体重数据作为样本．将样本的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求样本的容量；（Ⅱ）以荆州中学的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高二年级的所有学生中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12，∴设第一小组的频率为x，由频率分布直方图得：6x+（0.037+0.013）×5=1，解得x=0.125，∴第二小组的频率为2x=0.25，∴样本的容量n==48．（Ⅱ）由频率分布直方图，得体重超过60公斤的学生所占频率为：0.125×3+（0.037+0.013）×5=0.625，从全省高二年级的所有学生中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，则X有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.625），P（X=0）=0.3753=0.052734375，P （X=1）==0.263671875， P （X=2）==0.439453125，P （X=3）==0.244140625，∴X 的分布列为：EX=3×0.625=1.875．21．（12分）有红、黄、蓝、白4种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入如图所示编号为1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子只放一只小球．（1）放置小球满足：“对任意的正整数j （1≤j ≤5），至少存在另一个正整数k （1≤k ≤5，且j ≠k ）使得j 号盒子与k 号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；（2）记X 为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．【解答】解：（1）4种颜色的球放置在5个不同的盒子中，共有45种放法，满足条件的发放分为两类：①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有2×=120，所求的概率为P==；（2）X 的可能的值为2，3，4，5．则：P （X=2）==，P （X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==；所以X的概率分布列为：E（X）=2×=．22．（12分）如图已知，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵，∴AF1⊥AF2∵∠AF1F2=60°，∴F1F2=2AF1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴2a=AF1+AF2，2c=F1F2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）∵，∴c=1，点F1（﹣1，0），F2（1，0）．①若AB垂直于x轴，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）由消去y得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0∵△=8k2+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴=（1+k2）（x1x2+x1+x2+1）==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∵，∴∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）综合①、②可得：．所以当直线l垂直于x 时，取得最大值；当直线l与x轴重合时，取得最小值﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

湖北省荆州中学高二数学下学期第二次双周考试题理(2021学年)

湖北省荆州中学20１7-２01８学年高二数学下学期第二次双周考试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(湖北省荆州中学2０17－２０１8学年高二数学下学期第二次双周考试题理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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湖北省荆州中学201７-2018学年高二数学下学期第二次双周考试题理一．选择题（本大题共12小题，每小题５分,共６0分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卷上填涂所选答案的序号)１.椭圆x2＋4y2=１的离心率为( )A.3B．34ﻩＣ．3ﻩＤ．232．1sin=x是0cos=x的( )条件A．充分不必要 B.必要不充分ﻩＣ．充要ﻩﻩ D.既不充分也不必要3．某中学高二年级组采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为１，２,…，96０,抽到的３２人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷Ａ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B,其余的人做问卷Ｃ,则抽到的人中,做问卷B的人数为( ）ﻫ A.７B.8 Ｃ．9 D．104. 通过随机询问２００名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量Ｋ2的观测值ｋ≈4.８９２,参照附表,得到的正确结论是（）Ｐ(K2≥k)0。

１00．05０。

０25ｋ 2.70６ 3.841 5.0２4A．有97。

5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有9７。

５%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关"C．在犯错误的概率不超过5％的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关"5. 如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向，从Ａ到H 可走的不同的旅游路线的条数为( ）A.14B.15 ﻫＣ．1６ D.１７6．直线()11y k x =-+与椭圆2219x y m+=恒有公共点,则m 的取值范围是( )A ． 9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ Ｂ。

湖北省荆州中学2015-2016学年高二下学期第一次(3月)质量检测数学(理)试题含答案

荆州中学高二年级下学期第一次质量检测数学卷(理科）命题人：张静审题人：魏士芳一、选择题（共20个小题，每小题5分，本题满分60分) 1．命题“32,10x R x x ∃∈-+>"的否定是（）A ． 32,10x R x x ∀∈-+≤ B ．32,10x R x x ∃∈-+<C ．320,10x R x x ∃∈-+≤ D ．不存在32,10x R x x ∈-+>2．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有（）种 A ．90 B ．180 C ．270 D ．540 3．“1a ="是“方程22220xy x y a +-++=表示圆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现1k +次正面向上的概率，那么k 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．函数()sin xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（）A ．0B ．4πC ．1D ．326．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为F 1，F 2,以|F 1F 2｜为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1，2），则此双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2214y x -=D ．2212x y -=7．若函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,2)-B ．(,3)(6,)-∞-+∞ C ．(3,6)- D ．(,1)(2,)-∞-+∞8．我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=>与半椭圆22221(0)y x x b c +=<合成的曲线称作“果圆”（其中222,0ab c a b c =+>>>）．如图，设点F 0,F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1、A 2和B 1、B 2是“果圆”与,x y 轴的交点,若△F 0F 1F 2是腰长为1的等腰直角三角形,则,a b 的值分别为（）A ．5，4B ．72C ．21,2D ．629．若方程330x x m -+=在[0,2]上只有一个解，则实数m 的取值范围是（）A ．[2,2]-B ． (0,2]C ．[2,0){2}-D ．(,2)(2,)-∞-+∞10。

湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学5月月考试题理

湖北省荆州中学2016年5月月考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟总分：150分）参考公式：随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（其中d c b a n +++=）0.50 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

） 1. 设复数i z +=1（i 是虚数单位），则=+22z z（） A ．i +1 B ．i +-1 C ．i -1 D ．i --12. 已知命题：06,:2<-+∈∃x x R x p ，则命题p ⌝是（）A ．06,2≥-+∈∃x x R xB ．06,2≥-+∈∀x x R xC ．06,2>-+∈∃x x R x D ．2,60x R x x ∀∈+-≤3. 已知命题0],2,1[:2≥-+∈∀a x x x p ，命题031),,0[:0200=+-+∞∈∃a x x x q ，则“43<a ”是“p 且q ”为真命题的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件4. 若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（）A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n5. 下列推理是归纳推理的是（）A ．由1=131n a a n =-，，求出123,,s s s ，猜出数列{}n a 的前n 项和的表达式B ．由于x x x f sin )(=满足()()f x f x -=对x R ∀∈都成立，推断x x x f sin )(=为偶函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质6. 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4 种颜色可供使用，则不同的染色的方法数为（） A ．24 B ．60 C ．48 D ．727. 先后抛掷红、蓝两枚骰子，事件:A “红骰子出现3点”，事件:B “蓝骰子出现的点数为奇数”，则()P A B =（）A.61 B. 31 C. 21 D. 3658. 要证：222210a b a b +--≤，只需证明（）A ．22210ab a b --≤ B ．4422102a b a b ++--≤ C ．222()102a b a b +--≤ D ．22(1)(1)0a b --≥ 9. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（）A B.2 10. 设曲线1*2014()n y xn N +=∈在点(1,2014)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令2014log n n a x =，则122013a a a +++的值为（）A ．2014B ．2013C ．1D ． 1-11. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，12F F = P 是y 轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF ∆的内切圆半径为，则椭圆的离心率是（）A ．4 B ．3 C ．10D ．412. 设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，1()(2f e e =为自然对数的底数)，则不等式2(ln )f x x <的解集为（）A ．(0,)2eB ．C ．1(,)2e eD ．(2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.3|32|x dx -⎰=14. 某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）．根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为5.175.6^+=x y ，则表中t 的值为．15. 观察下列等式：①2cos 22cos1αα=-②42cos 48cos 8cos 1ααα=-+③642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-④8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+⑤108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++- 可以推测，m n p -+= __ ___.16. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(-=-x e x f x．下列命题：①当0<x 时，)1()(+=x e x f x； ②函数)(x f 有五个零点；③若关于x 的方程m x f =)(有解，则实数m 的取值范围是)2()2(f m f ≤≤-； ④对2|)()(|,,1221<-∈∀x f x f R x x 恒成立．其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）设命题3:()()2x p f x a =-函数是R 上的减函数，命题:q 函数[]2()43(0,)f x x x x a =-+∈的值域为[]1,3-，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分12分）设*N n ∈且1cos sin -=+x x ，请归纳猜测x x nncos sin +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测x x nn cos sin +的值，不必证明．）19. （本小题满分12分）某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一、高二学生中各抽出100人的成绩作为样本．对高一年级的100名学生的成绩进行统计，得到成绩分布的频率分布直方图如右图：(1)若规定60分以上(包括60分)为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该校大量高一学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的合格人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和期望()E X ； (3)若高二年级这次知识竞赛的合格率为60%，由以上统计数据画出2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系” ．20. （本小题满分12分）已知函数)(12ln )(R a x x a x f ∈++=．（1）当1=a 时，求)(x f 在),1[+∞∈x 最小值；（2）若)(x f 存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）． 21. （本小题满分12分）已知定点()1,0C -及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与椭圆相交于,A B 两点.(1)若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； (2)在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）设函数()213213x f x x e x x -=--()x ∈R ．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，用数学归纳法证明：*n ∀∈N ，1!nx x en ->．二。

湖北省荆州市部分县市2015届高三上期末考试理科数学试题及答案

（3）∵ M（ 2,0,0 ）．设 P(0,0, a) 为 BC 上一点 , 则 MP ( 2,0, a) , ∵MP// 平面 CNB 1,
∴ MP n2 MP n2 ( 2,0, a) (1,1,2) 2 2a 0 a 1.
又 PM 平面 CNB1 , MP // 平面 CNB1 , ∴当 PB=1 时 MP// 平面 CNB1
（ 2）设数列 bn 满足 b1 b2 a1 a2
bn an
1 1 2n
n N 求 bn 的前 n 项和 Tn .
19．（本小题满分 12 分）一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1，2，3，4；白色卡片 3 张，编号分别为 2，3，4；从盒中任取 4 张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相
4a1 6d 8a1 4d a1 (2n 1)d 2a1 2(n 1)d 1
解得 a1 1, d 2 因此 aa 2n 1 n N ,,,,,,,,,,,,,,,,
5分
（2）已知 b1 b2 a1 a2
bn an
1 1 2n
当 n=1 时， b1 1 a1 2
当n
2 时， bn an
1 1 2n
1 (1 2 n 1 )
11. 20
12. 11
13 . 9
5
6
7
8
9 10
C
A DA A
D
14. 86
4n 2 3
15 5
2 16
2
三解答题
17 【解】（1） f x cos2 xcos sin2 x sin 1 cos2x
3
3
2
1
3
11
13
cos2x

荆州中学高二下学期数学测试卷(2)2015.3.12

荆州中学高二下学期数学测试卷（2) 2015.3.12 WJ—、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．椭圆22110x y +=的焦距．．比短轴．．长 ( ) A1-B．2-C ．2D ． 42．向量a＝(1,2,)x , b ＝(2,,1)y -，若||a, 且a b ⊥，则x y +的值为( )A ．2-B ．2C ．1-D ．13．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l α⊥”是l m ⊥且l n ⊥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不要条件4．已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为( )A ．225B ．1225+C ．2225-D ．1225-5．下列选项中，说法正确的是( )A ．若命题“p q ∨”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题；B ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题．．．是真命题； C ．命题“若a b =- ，则a b =” 的否命题．．．是真命题； D ．命题“若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++ 构成空间的另一个基底”的逆否命题．．．．为真命题； 6．如图，已知二面角l αβ--为60 ，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，点B β∈，BD l ⊥，D 为垂足，且2AC =，3CD =，1DB =，则AB 的长度为 ( )A ．4 B． C． D7．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，则斜率为k 的直线与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（）Aα第6题图βCDBlαA ．221ke -> B ． 221k e -< C ．221e k -> D ．221e k -<8．抛物线22y x =的焦点为F ，其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且||2MF =，则双曲线的离心率为（）AB ．2 CD9.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面为正方形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，M 为底面所在平面内的一个动点，若动点M 到点C 的距离等于点M 到面PAD 的距离，则动点M 的轨迹为（）A ．椭圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线10．已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别是线段B B 1，AB 和1A C 上的动点，观察直线CE 与F D 1，CE 与1D G ．给出下列结论： ①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ；②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ； ④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ．其中正确结论的序号是（） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置.) 11．命题“2(0,),2xx x ∀∈+∞≥”的否定是．12．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽米．13．在空间直角坐标系中，点(0,0,0)O ，点(1,1,1)A 和点(3,4,5)B 构成的OAB 的面积是．14．从---321123、、、、、中任取三个不同的数作为椭圆方程ax by c 220+-=中的系数，则确定不同的椭圆的个数为______________。

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．将直线y=x ﹣绕其与x 轴的交点顺时针旋转90°，所得到的直线的方程为（） A ．y=﹣3x +3 B ．y=﹣3x ﹣3 C ．y=﹣3x ﹣1 D ．y=3x ﹣32．5名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A ．B ．54C ．45D ．4×53．设随机变量ξ～B （n ，p ），且E （ξ）=1.6，D （ξ）=1.28，则（） A ．n=8，p=0.2 B ．n=4，p=0.4 C ．n=5，p=0.32 D ．n=7，p=0.45 4．设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），P （ξ＞1）=p ，则P （﹣1＜ξ＜0）等于（）A ． pB ．1﹣pC ．1﹣2pD ．﹣p5．若=a +b（a ，b 为有理数），则a +b=（）A ．32B ．12C ．0D ．﹣16．今天为星期四，则今天后的第22016天是（） A ．星期二 B ．星期三 C ．星期四 D ．星期五7．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有1名男生和至少有1名女生B ．恰有1名男生和恰有2名男生C ．至少有1名男生和都是女生D ．至多有1名男生和都是女生8．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，则A ，B ，C 中相互独立的有（） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对9．二项式的展开式中的有理项共有（）A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项10．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2014？B．i≤2016？C．i≤2018？D．i≤2020？11．6位同学在2016年元旦联欢中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到3份纪念品的同学人数为（）A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．1或312．x，y是实数，则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）y（单位：万元）之间有下列对应数据：已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为，可预测销售额为82.5万元时约需万元广告费，工作人员不慎将表格中y的第一个数据遗失，该数据为．14．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，5人的名次排列可能有种不同情况．15．A，B，C，D四人站成一排，在A、B相邻的条件下，B、C不相邻的概率为．16．设=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+，其中a i，b i为实数（i=0，1，2，3，4），则a3=．三、解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤）17．已知圆心为C的圆经过点（1，1），（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，（1）求圆C的方程；（2）过A（1，0）的直线交圆C于E、F两点，求弦EF中点M的轨迹方程．18．（1）已知（2﹣x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，求（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2的值；（2）已知（1+的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n．19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）根据频率直方分布图计算该班50位学生期中考试数学成绩的平均数与中位数（精确到个位）；（3）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为X，求P（X=1）．20．已知函数f（x）=ax+．（1）若连续掷两次质地均匀的骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B={f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B发生的概率．（2）从区间（﹣2，2）内任取一个实数a，设事件A={方程f（x）﹣2=0有两个不同的正实数根}，求事件A发生的概率．21．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．22．已知点H在圆D：（x﹣2）2+（y+3）2=32上运动，点P坐标为（﹣6，3），线段PH中点为M，（1）求点M的轨迹方程，（2）平面内是否存在定点A（a，b），使M到O（0，0）、A的距离之比为常数λ（λ≠1），若存在，求出A的坐标及λ的值；若不存在，说明理由；（3）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，N（0，m）使NB⊥NC，求m的范围．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．将直线y=x﹣绕其与x轴的交点顺时针旋转90°，所得到的直线的方程为（）A．y=﹣3x+3 B．y=﹣3x﹣3 C．y=﹣3x﹣1 D．y=3x﹣3【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：令y=0，则=0，解得x=1．因此直线与x轴的交点为（1，0）．将直线y=x﹣绕其与x轴的交点顺时针旋转90°，所得到的直线的斜率k=﹣3．因此所求的直线方程为：y=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+3．故选：A．2．5名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A．B．54C．45D．4×5【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，易得5名同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：5名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一项，每人有4种报名方法；根据分步计数原理，可得共有4×4×4×4×4=45种不同的报名方法；故选：C．3．设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，则（）A．n=8，p=0.2 B．n=4，p=0.4 C．n=5，p=0.32 D．n=7，p=0.45【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于n，p的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果．【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，∴np=1.6，①np（1﹣p）=1.28 ②把①代入②得1﹣p==0.8，∴p=0.2∵np=1.6∴n=8，故选A．4．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P （ξ＞1）=p，即可求出P（﹣1＜ξ＜0）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，1），∴正态曲线关于ξ=0对称，∵P（ξ＞1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p．故选：D．5．若=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．32 B．12 C．0 D．﹣1【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项式定理，得：a=C50+C52×2+C54×4=41，b=﹣C51﹣C53×2﹣C55×4=29，由此能求出a﹣b的值．【解答】解：由二项式定理，得：a=C50+C52×2+C54×4=41，b=﹣C51﹣C53×2﹣C55×4=﹣29∴a+b=41﹣29=12．故选：B．6．今天为星期四，则今天后的第22016天是（）A．星期二B．星期三C．星期四D．星期五【考点】整除的基本性质．【分析】此类题一般用利用二项式定理展开，变为关于7的展开式，求得余数，确定出今天后的第22016天是星期几【解答】解：∵22016=8672=（7+1）672=C6720×7672×10+C6721×7671×11+C6722×7670×12+…+C672672×70×1672，∴22016除7的余数是1，故今天为星期四，则今天后的第22016天是星期五，故选：D．7．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．恰有1名男生和恰有2名男生C．至少有1名男生和都是女生D．至多有1名男生和都是女生【考点】互斥事件与对立事件．【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．【解答】解：至少有1名男生和至少有1名女生，两者能同时发生，故A中两个事件不是互斥事件，也不是对立事件；恰有1名男生和恰有两名男生，两者不能同时发生，且不对立，故B是互斥而不对立事件；至少有1名男生和全是女生，两个事件不可能同时发生，且两个事件的和事件是全集，故C 中两个事件是对立事件，至多有1名男生和都是女生，两者能同时发生，故A中两个事件不是互斥事件，也不是对立事件；故选：B．8．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，则A，B，C中相互独立的有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【考点】随机事件．【分析】根据相互独立事件的定义从而得出结论，【解答】解：由于A中的事件发生与否对于B，C中的事件是否发生不产生影响，同理B（C）中的事件发生与否对于A，C（B）中的事件是否发生不产生影响，故A与B，A与C，B与C是相互独立的，故选：D．9．二项式的展开式中的有理项共有（）A．4项B．5项C．6项D．7项【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项式的展开式中通项公式中，令x的幂指数为整数，求得r的值的个数，可得结论．【解答】解：二项式的展开式中通项公式为T r+1=•2r•，令20﹣为整数，可得r=0，2，4，6，8，10，共计6项，故选：C．10．如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2014？B．i≤2016？C．i≤2018？D．i≤2020？【考点】程序框图．【分析】根据流程图写出每次循环i，S的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案．【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：i=2，S=；第2次循环：i=4，S=；…第1008次循环：i=2016，S=；此时，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．故选：B．11．6位同学在2016年元旦联欢中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到3份纪念品的同学人数为（）A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．1或3【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，“正难则反”考察没交换的情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，“正难则反”考察没交换的情况，①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到3份纪念品的同学人数为1人；②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到3份纪念品的同学人数为0人，实际上，没交换的只有2次，得3份纪念品的同学人数至多为1，故选A．12．x，y是实数，则的最小值是（）A．B．C．D．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】转化为求分别在半圆与直线y=x﹣2上的两点之间的最小距离【解答】解：转化为求分别在半圆与直线y=x﹣2上的两点之间的最小距离．如图所示，可知：在半圆上取点P（1，0）时可得最小值==．∴的最小值是．故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）y（单位：万元）之间有下列对应数据：已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为，可预测销售额为82.5万元时约需10万元广告费，工作人员不慎将表格中y的第一个数据遗失，该数据为30．【考点】线性回归方程．【分析】根据线性回归方程为，令y=82.5，即可求得销售额为82.5万元时所需广告费；根据样本数据的中心在线性回归方程上，即可求得第一个数据的值．【解答】解：∵回归方程为，∴令y=82.5，解得x=10，∴可预测销售额为82.5万元时约需10万元广告费；设表中的第一个数据为a，∴x的平均数为5，y的平均数，∴点（5，）在回归方程为上，∴=6.5×5+17.5，解得a=30，表格中y的第一个数据的值为30．故答案为：10；30．14．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，5人的名次排列可能有78种不同情况．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，甲不是第一名且乙不是最后一名．先排乙，乙得到冠军，有A44=24种排法不同的情况．乙没有得到冠军，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意，甲不是第一名且乙不是最后一名．先排乙，乙得到冠军，有A44=24种排法不同的情况．乙没有得到冠军，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法，有3•3•A33=54种不同的情况．故共有24+54=78种不同的情况．故答案为：7815．A，B，C，D四人站成一排，在A、B相邻的条件下，B、C不相邻的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用列举法先求出基本事件总数，再求出在A、B相邻的条件下，B、C不相邻包含怕基本事件个数，由此能求出在A、B相邻的条件下，B、C不相邻的概率．【解答】解：A，B，C，D四人站成一排，A、B相邻，所有的基本事件有：ABCD，ABDC，BACD，BADC，CABD，CBAD，DABC，DBAC，CDAB，CDBA，DCAB，DCBA，共有12个，其中B、C不相邻的基本事件有：ABDC，BACD，BADC，CABD，DBAC，CDAB，CDBA，DCAB，共有8个，∴在A、B相邻的条件下，B、C不相邻的概率为p=．故答案为：．16．设=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+，其中a i，b i为实数（i=0，1，2，3，4），则a3=﹣256．【考点】二项式定理的应用．【分析】等式两边乘以（1+x）5，对比两边x9的系数得，对比两边x8的系数得，从而求得a3的值．【解答】解：等式两边乘以（1+x）5，可得（1+2x）9=（a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4）•（1+x）5+b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4，对比两边x9的系数得•29=，对比两边x8的系数得，∴，故答案为：﹣256．三、解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤）17．已知圆心为C的圆经过点（1，1），（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，（1）求圆C的方程；（2）过A（1，0）的直线交圆C于E、F两点，求弦EF中点M的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出线段PQ的垂直平分线的方程，确定圆心坐标与半径，写出圆的方程即可．（2）分类讨论，利用CM⊥CM⊥AM，可求弦EF中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）∵P（1，1），Q（2，﹣2），∴且PQ的中点，因此线段PQ的垂直平分线的方程为，即x﹣3y﹣3=0，圆心C的坐标是方程组的解，解得C（﹣3，﹣2），r2=|PC|2=25．∴圆C的方程为（x+3）2+（y+2）2=25．（2）由题知，当M不与A、C重合时，CM⊥AM，则M在以AC为直径的圆上；当M与A、C重合时，显然在以AC为直径的圆上．因为A（1，0），C（﹣3，﹣2），所以M点的轨迹方程为（x﹣1）[x﹣（﹣3）]+（y﹣0）[y﹣（﹣2）]=0，整理得（x+1）2+（y+1）2=5．18．（1）已知（2﹣x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，求（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2的值；（2）已知（1+的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）分别令x=1，x=﹣1，代入已知的等式，化简变形可得（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2的值．（2）由条件利用（1+的展开式的通项公式，可得，计算求得n的值．【解答】解：（1）令x=1，得，令x=﹣1，得，把①②相乘得（a0+a1+a2+a3+a4+…+a50）=（a0﹣a1+a2﹣a3+a4+…﹣a49+a50）=（a0+a2+a4+…+a50）2﹣（a1+a3+a5+…+a49）2=150=1．（2）由于（1+的展开式的通项公式为，由题知，即+=2•，化简可的n2﹣37n+322=0，求得n=14，或n=23．19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）根据频率直方分布图计算该班50位学生期中考试数学成绩的平均数与中位数（精确到个位）；（3）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为X，求P（X=1）．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，计算x的值；（2）利用频率分布直方图，计算平均数与中位数的值；（3）计算分数在[80，90）、[90，100]内的人数，计算P（X=1）的值．【解答】解：（1）根据频率和为1，得x=0.1﹣0.006×3﹣0.01﹣0.054=0.018；（2）利用频率分布直方图，计算平均数为=45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.54+85×0.18+95×0.06=74；设中位数为a，则（a﹣70）×0.054+0.06+0.06+0.1=0.5，解得a=75≈75；（3）分数在[80，90）内的人数为：50×0.018×10=9；在[90，100]内的人数为：50×0.006×10=3；即分数在[80，90）的有9人，分数在[90，100]的有3人，所以P（X=1）==．20．已知函数f（x）=ax+．（1）若连续掷两次质地均匀的骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B={f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B发生的概率．（2）从区间（﹣2，2）内任取一个实数a，设事件A={方程f（x）﹣2=0有两个不同的正实数根}，求事件A发生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型．【分析】（1）先求出f（x）的最小值，然后讨论a的取值，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可；（2）首先求出参数的取值范围，再利用概率公式计算即可．【解答】解：（1）由已知：a＞0，x＞0所以，∴∵f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立，∴当b=1时，a=1，2，3，4，5，6；b=2时，a=2，3，4，5，6；b=3时，a=6，∴P（B）=（2）∵函数y=f（x）﹣2在区间（0，+∞）上有两个不同的正实数根，∴即ax2﹣2x+4=0有两不等的正实数根x1和x2∴，解得，∴=21．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率．【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，﹣3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=﹣3）=0.2×0.1=0.02．X4﹣n件．由题设知4n﹣（4﹣n）≥10，解得，又n∈N，得n=3，或n=4．所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．22．已知点H在圆D：（x﹣2）2+（y+3）2=32上运动，点P坐标为（﹣6，3），线段PH中点为M，（1）求点M的轨迹方程，（2）平面内是否存在定点A（a，b），使M到O（0，0）、A的距离之比为常数λ（λ≠1），若存在，求出A的坐标及λ的值；若不存在，说明理由；（3）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，N（0，m）使NB⊥NC，求m的范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用代入法求点M的轨迹方程，（2）求出==，可得结论；（3）利用韦达定理及向量垂直的结论，即可求m的范围．【解答】解：（1）设点M（x，y），则H（2x+6，2y﹣3），又H在圆上，得（2x+6﹣2）2+（2y﹣3+3）2=32，化简得（x+2）2+y2=8．（2）设M的轨迹交y轴于E、F，由且|EO|=|FO|知，|EA|=|FA|，所以A在x轴上，设M（x，y），则==，所以4+a2=2a+4，a=2或0（舍），即A（2，0），；（3）由消去y得（1+k2）x2+4x﹣4=0，∴，又0=，∴即由．2016年9月6日。

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