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数学高三一轮复习必修三步步高第二章 习题课

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【步步高】高中数学 第二章 习题课配套训练 苏教版必修3

【步步高】高中数学 第二章 习题课配套训练 苏教版必修3

习题课一、基础过关1．一个单位有职工160人，其中有业务人员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样方法抽出样本，则在20人的样本中应抽取管理人员的人数为________．2．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是________．①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人做样本②从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个做样本③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个做样本④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本3．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为________．4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．5．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．6．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝________. 7．某学校为了了解2012年高考语文科的考试成绩，计划在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科300名考生，理科600名考生，艺术类考生200人，体育类考生70人，外语类考生30人，如果要抽120人作为调查分析对象，则按科目分别应抽多少考生？8．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？二、能力提升9． 某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生总数的一半，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是________．10．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的5.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．11．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．12．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中的一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．(1)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．三、探究与拓展13．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个．(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个．(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个．答案1． 4 2.③ 3.2 4.8,16,10,6 5.37 20 6．1927． 解 从1 200名考生中抽取120人作调查由于各科目考试人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层抽样，抽样时每层所抽人数按1∶10分配．∴300×110＝30(人)，600×110＝60(人)， 200×110＝20(人)，70×110＝7(人)，30×110＝3(人)． 所以抽取的文科，理科，艺术类，体育类，外语类考生分别是30人，60人，20人，7人，3人．8． 解 用分层抽样抽取样本．∵20500＝250，即抽样比为250. ∴200×250＝8,125×250＝5， 50×250＝2. 故O 型血抽8人，A 型血抽5人，B 型血抽5人，AB 型血抽2人．抽样步骤：①确定抽样比250； ②按比例分配各层所要抽取的个体数，O 型血抽8人，A 型血抽5人，B 型血抽5人，AB 型血抽2人．③用简单随机抽样法分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本．9． 960 10．36 11．80012．解 (1)设登山组人数为x ，在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有x ×40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ×10%＋3xc 4x＝10%；解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝100%－50%－10%＝40%，即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)在游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15(人)． 13．解 (1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，号码为00,01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．①确定抽取个数．因为3010＝3，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001， (299)②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第4列的数“1”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“1”开始向右读，每次读三位，凡不在000～299中的数跳过去不读，遇到已 经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个 体的号码．。

【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录

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第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。

步步高大一轮复习讲义数学答案

步步高大一轮复习讲义数学答案

步步高大一轮复习讲义数学答案第一章：概率论基础1.1 集合与概率题目：设集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A与B的交集、并集和差集。

答案：•交集：A∩B = {3,4,5}•并集：A∪B = {1,2,3,4,5,6,7}•差集：A-B = {1,2}1.2 条件概率与事件独立题目：某班级有40名男生和30名女生，从中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。

答案： - 总人数：40 + 30 = 70 - 抽到男生的概率：40/70 = 4/72.1 随机变量与离散型随机变量题目：设随机变量X表示投掷一枚骰子出现的点数，求X 的概率分布。

答案：X123456P(X)1/61/61/61/61/61/62.2 连续型随机变量与概率密度函数题目：设随机变量X表示一位学生的身高，其概率密度函数为f(x) = 0.01，0<x<100，求X在区间[50,70]的概率。

答案： - X在区间[50,70]的概率：P(50<=X<=70) =∫(50,70)0.01dx = 0.01*(70-50) = 0.23.1 矩阵与线性方程组题目：解下列线性方程组： - 2x + 3y = 8 - 3x + 2y = 7答案： - 通过消元法可得：x = 1，y = 23.2 行列式与矩阵的逆题目：求下列矩阵的逆矩阵： - A = [1, 2; 3, 4]答案： - A的逆矩阵：A^(-1) = [ -2, 1/2; 3/2, -1/2]第四章：数学分析基础4.1 极限与连续题目：求极限lim(x->0)(sinx/x)的值。

答案： - 极限lim(x->0)(sinx/x) = 14.2 导数与微分题目：求函数y=3x^2的导数。

答案： - y的导数：dy/dx = 6x以上是《步步高大一轮复习讲义》中关于数学部分的答案，希望对你的复习有所帮助。

祝你学习顺利！。

高中数学步步高必修3学案第二章 章末检测试卷

高中数学步步高必修3学案第二章 章末检测试卷

章末检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．某公司从代理的A,B,C,D四种产品中,按分层抽样的方法抽取容量为110的样本,已知A,B,C,D四种产品的数量比是2∶3∶2∶4,则该样本中D类产品的数量为()A．22 B．33C．40 D．55【参考答案】C【试题解析】根据分层抽样,总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等,∴样本中D类产品的数量为110×42＋3＋2＋4＝40.2．已知总体容量为106,若用随机数法抽取一个容量为10的样本,下面对总体的编号最方便的是()A．1,2,…,106 B．0,1,2,…,105C．00,01,…,105 D．000,001,…,105【参考答案】D【试题解析】由随机数抽取原则可知选D.3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高,由此建立的身高与年龄的线性回归方程为y＝7.19x＋73.93,用这个方程预测这个孩子10岁时的身高,正确的叙述是()A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm以下D．身高在145.83 cm左右【参考答案】D【试题解析】回归直线是用来估计总体的,所以我们求的值都是估计值,所以我们得到的结果也是近似的,只要把自变量的值代入线性回归方程即可求得结果为145.83 cm.4.一个容量为200的样本,其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)上的频率为( ) A.0.11 B.0.5 C.0.45D.0.55考点 频率分布表 题点 求指定组的频率 【参考答案】D【试题解析】由题中表格可知样本数据落在[20,60)上的频数为20＋30＋35＋25＝110,故其频率为110200＝0.55.5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92考点 众数、中位数、平均数的综合 题点 茎叶图中的中位数和平均数 【参考答案】A【试题解析】将这组数据从小到大排列,得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为91＋922＝91.5.平均数为x ＝91＋－4－2－1＋0＋1＋2＋3＋58＝91.5.6.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图,分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],则在区间[98,100)上的频数为( )A.10B.30C.20D.40考点 频率分布直方图 题点 求指定组的频率 【参考答案】C【试题解析】区间[98,100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200,所以区间[98,100)上的频数为100×0.200＝20,故选C.7.若数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2,则3x 1＋5,3x 2＋5,…,3x n ＋5的平均数和标准差分别为( ) A.x ,s B.3x ＋5,sC.3x ＋5,3sD.3x ＋5,9s 2＋30s ＋25 考点 方差与标准差 题点 求平均数与标准差 【参考答案】C【试题解析】∵x 1,x 2,…,x n 的平均数为x , ∴3x 1＋5,3x 2＋5,…,3x n ＋5的平均数为3x ＋5, s ′2＝1n [(3x 1＋5－3x －5)2＋…＋(3x n ＋5－3x －5)2]＝1n ×32[(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2]＝9s 2. ∴s ′＝3s .8.在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各项中,一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差s ≤2；③平均数x ≤3且标准差s ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4. A.①② B.③④ C.③④⑤D.④⑤考点方差与标准差题点方差与其它数字特征的综合运算【参考答案】D【试题解析】①②③不符合,④符合,若极差等于0或1,在x≤3的条件下,显然符合指标；若极差等于2且x≤3,则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2,(2)1,3,(3)2,4,符合指标.⑤符合,若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标,故选D. 9.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为()A.64B.54C.48D.27考点频率分布直方图题点求频数【参考答案】B【试题解析】前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62,所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32,故第四组频数为0.32×100＝32,所以a＝22＋32＝54.故选B.10.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查,随机抽取了50名学生的体重(kg),将所得数据整理后,画出了频率分布直方图,如图所示,体重在[45,50)内适合跑步训练,体重在[50,55)内适合跳远训练,体重在[55,60)内适合投掷相关方面训练,估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为()A.4∶3∶1B.5∶3∶1C.5∶3∶2D.3∶2∶1考点 频率分布直方图 题点 求频数 【参考答案】B【试题解析】体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5,体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.30,体重在[55,60)内的频率为0.02×5＝0.1, ∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1,∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1,故选B.11.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为105.4,则x ,y 的值分别为( )A.5,7B.6,8C.6,9D.8,8 考点 茎叶图 题点 茎叶图的应用 【参考答案】B【试题解析】∵甲组数据的中位数为106, ∴x ＝6.又∵乙组数据的平均数为105.4, ∴89＋106＋(100＋y )＋109＋1155＝105.4,解得y ＝8.综上,x ,y 的值分别为6,8.故选B.12.下列关于线性回归的判断,正确的个数为( )①若散点图中所有的点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的点A ,B ,C ；③已知线性回归方程y ^＝0.50x －0.81,则当x ＝25时,y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. A.0 B.1 C.2 D.3 【参考答案】D【试题解析】能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义,知只有按最小二乘法求得回归系数a ^,b ^,得到的直线y ^＝b ^x ＋a ^才是回归直线,所以①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81,解得y ^＝11.69,所以③正确；④正确,所以选D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下： 甲：3,4,5,6,8,8,8,10； 乙：4,6,6,6,8,9,12,13； 丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲________,乙________,丙________. 【参考答案】众数 平均数 中位数【试题解析】甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征.甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数x ＝4＋6×3＋8＋9＋12＋138＝8；丙：该组数据的中位数是7＋92＝8. 14.甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示：则参加运动会的最佳人选应为________. 考点 方差与标准差 题点 平均数与方差的计算 【参考答案】丙【试题解析】从表格中可以看出乙和丙的平均成绩最好,但丙发挥得比乙稳定,故最佳人选应为丙.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a 的值为________. 考点 分层抽样的方法 题点 由比例关系求抽取个数 【参考答案】30 【试题解析】由题意知,1245＋15＝30120＋a,解得a ＝30. 16.从一堆苹果中任取20个,并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下：则这堆苹果中,质量不少于．．．120克的苹果数约占苹果总数的________%. 考点 频率分布表 题点 求累计频率 【参考答案】70【试题解析】∵质量不少于120克的频数为14, ∴频率为1420×100%＝70%.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.15. (1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人,则应在第三车间抽取多少名工人？ 考点 分层抽样的方法题点 由各层比例关系求每层抽取个数. 解 (1)依题意有x1 000＝0.15,解得x ＝150.(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350,第二车间的工人数是100＋150＝250, ∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400. 设应从第三车间抽取m 名工人,则有m 400＝501 000,解得m ＝20,∴应在第三车间抽取20名工人.18.(12分)有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况,特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学A ,B 两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查.A 班5名学生得分为：5,8,9,9,9；B 班5名学生得分为：6,7,8,9,10(单位：分).请你估计A ,B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 A 班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8, 方差s 21＝15×[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4； B 班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8,方差s 22＝15×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2. ∴s 21＞s 22,∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些.19.(12分)某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图,为了了解工薪阶层对月工资的满意程度,要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访,则[30,35)(百元)月工资段应抽出多少人？考点 频率分布直方图 题点 求指定组的频数解 月工资落在[30,35)(百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15,而0.15÷5＝0.03,所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1,所以[30,35)(百元)月工资段应抽出320×100＝15(人).20.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h),试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面的茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？解 (1)由观测结果可绘制茎叶图如图.从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”,“3.”上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”,“1.”上,由此可看出A 药的疗效更好.(2)设A 药观测数据的平均数为x ,B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得, x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3, y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得,x ＞y ,因此可以看出A 药的疗效更好.21.(12分)某市2017年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表； (2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准,污染指数在0～50之间时,空气质量为优；在51～100之间时,为良；在101～150之间时,为轻微污染；在151～200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 考点 频率分布直方图 题点 画频率分布直方图解 (1)频率分布表：(2)频率分布直方图如图所示.(3)答对下述两条中的一条即可：①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的115；有26天处于良的水平,占当月天数的1315；处于优或良的天数为28,占当月的天数的1415,说明该市空气质量基本良好.②轻微污染有2天,占当月天数的115；染污指数在80以上的接近轻微染污的天数为15,加上处于轻微污染的天数,共17天,占当月天数的1730,超过50%,说明该市空气质量有待进一步改善.22.(12分)某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(1)已知两变量线性相关,求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的线性回归方程,分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2,a ^＝y －b ^t .考点 回归直线题点 求回归直线解 (1)由所给数据计算得 t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4, y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3, ∑i ＝1n(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28,∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14,b ^＝∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2＝1428＝0.5, a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3,故所求线性回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知,b ^＝0.5＞0,故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2019年的年份代号t ＝9代入(1)中的线性回归方程,得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8,故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.。

2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 2.1 第2课时 函数的定义域与值域

2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第二章 2.1 第2课时 函数的定义域与值域

第2课时 函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝3xx －2＋lg(3－x )； (3)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}． (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －2≠0，3－x >0，解得2<x <3.所以函数的定义域为(2,3)．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>0，2x －5≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，x ≠52，所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2，52∪⎝⎛⎭⎫52，3.思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1 求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1.解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158， 由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y ＝x ＋1－x －1的值域．解 函数的定义域为[1，＋∞)， y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1， 由本例(4)知函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x ＋1＋x －1≤22， ∴0<2x ＋1＋x －1≤2， ∴函数的值域为(0，2]．思维升华 求函数值域的一般方法(1)分离常数法．(2)反解法．(3)配方法．(4)不等式法．(5)单调性法．(6)换元法．(7)数形结合法．(8)导数法．跟踪训练1 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ； (3)y ＝x 2＋x ＋1x.解 (1)方法一 y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1,1]．方法二 由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y1＋y .因为x 2≥0，所以1－y1＋y≥0. 所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1,1]． (2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)， 所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(3)方法一 由y ＝x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2. 得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 方法二 令y ′＝1－1x 2＝(x ＋1)(x －1)x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时y ≥3；函数在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．定义域与值域的应用例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解 令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y ＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞) 解析 由于函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，即ax －2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a ≥2 021x 在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<2 021x ≤1，故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案 3解析 f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1，则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∵f (x )在[1，b ]上为增函数， ∴函数值域为⎣⎡⎦⎤1，12(b －1)2＋1. 由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体． 一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________. 答案 12解析 因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝________. 答案 1解析 令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数 f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析 由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)． ∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.(2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________． 答案 [2，4]解析 对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案 D 解析 因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}，故D 正确．2．函数y ＝x －1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 D 解析 函数y ＝x －1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x ＝1时，该函数取得最小值1，故函数y ＝x －1＋1的值域为[1，＋∞)．3．在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域和值域均为(0，＋∞)， 函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求； 函数y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求； 函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求； 故答案为D. 4．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(1,2)B ．(1，＋∞)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ≥0，log 2x ≠1，x >0，解得x ≥1且x ≠2，故函数f (x )的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．5．(2020·云南曲靖模拟)函数y ＝－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，0] B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0 D.⎝⎛⎦⎤－12，0 答案 C解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12.故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0. 6．(2020·云南玉溪一中模拟)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1)D ．(－4,0)∪(0,1]答案 A解析 要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1，故选A.7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14－x －3·2x－4的定义域为( ) A ．[2，＋∞ ) B ．(－∞ ，2] C ．[－2，＋∞ ) D ．(－∞ ，－2]答案 A解析 由题意得⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x－4≥0， 即22x －3·2x －4≥0.∴(2x －4)(2x ＋1)≥0，解得x ≥2.故选A.8．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤－254，－4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 函数y ＝x 2－3x －4的图象如图所示．因为y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－254≥－254，由图可知，m 的取值从对称轴的横坐标32开始，一直到点(0，－4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3. 9．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________． 答案 [－1,7]解析 要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]． 10．函数f (x )＝3x ＋2x ，x ∈[1,2]的值域为________．答案 [5,7]解析 令g (x )＝3x ＋2x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋23x ，x >0， 易证g (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上是增函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数， 从而得f (x )的值域为[5,7]．11．若函数f (x )＝x －2＋2x ，则f (x )的定义域是________，值域是________． 答案 [2，＋∞) [4，＋∞) 解析 x －2≥0⇒x ≥2，所以函数f (x )的定义域是[2，＋∞)； 因为函数y ＝x －2，y ＝2x 都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4， 故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4，＋∞)．12．函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为________．答案 [26＋4，＋∞)解析 令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥2 6＋4，当且仅当t ＝6t 即t ＝6时等号成立．∴函数的值域为[26＋4，＋∞)．13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.14．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)．15．(2020·贵阳一中、云南师大附中、南宁三中联考)新定义运算⎝⎛⎭⎪⎫a c bd ＝⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ，ad ≥bc ，bc －ad ，ad <bc ，若f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x －1x －2 2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，72时，f (x )的值域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，94 B.⎣⎡⎭⎫0，74 C.⎝⎛⎭⎫74，94 D.⎣⎡⎦⎤0，94 答案 D 解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－(x －1)(x －2)，2≥(x －1)(x －2)，(x －1)(x －2)－2，2<(x －1)(x －2)，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，0≤x ≤3，x 2－3x ，x <0或x >3，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，72， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝94，f (x )min ＝f (3)＝0， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94. 16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.。

【步步高】高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I函数的奇偶性与周期性文

【步步高】高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I函数的奇偶性与周期性文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性文1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( √)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案④解析对于④，f(x)＝e x－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，故y＝e x－e－x为奇函数．而y＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y ＝cos x为偶函数．2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.答案0解析由f(x＋1)是偶函数得f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x－1)，即－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＋f(x＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 c ＜a ＜b 解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析 函数的周期是2， 所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f (－x )＝－f (x )． ∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln x x，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)．答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确．(2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )，G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数． 题型二 函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1fx ＋2＝－1－1f x＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ， ③若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝____________.答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________． 答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11) 解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e2ax ＋3x (e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ， 解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误．解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x ) ＝k －2x2x ＋k ＋k ·2x－1·1＋k ·2x1＋k ·2x 2x＋k＝k 2－122x＋11＋k ·2x2x＋k. 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域． (2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．[失误与防范]1．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x2；④y ＝log 22－x2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________． 答案 ①解析 对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x 在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x－2－x2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________． 答案 －4解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x－1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________． 答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.答案2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，53解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数， ∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数， ∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53.12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________． 答案 7解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.14．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①②解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ， 则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确； 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1，且f (x )是周期为2的周期函数．∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误． 15．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．。

【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)2.2函数的单调性与最值文档专练 文

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§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．结论M 为最大值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数． ( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( √ ) 2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.5．函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞)解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪 可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断． 解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a， 解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 函数的单调性是对某个区间而言的． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析 依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 二、填空题6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 8．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D 解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a ， 当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x <a )， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， ∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.5．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。

【步步高】高中数学 第2章章末检测基础过关训练 新人教B版必修3

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章末检测一、选择题1．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ( ) A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系2．由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于－1，那么对于样本1，x1，－x2，x3，－x4，x5的中位数可以表示为 ( )A.12(1＋x2) B.12(x2－x1)C.12(1＋x5) D.12(x3－x4)3．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是 ( ) A．7,11,18 B．6,12,18C．6,13,17 D．7,12,174．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图 2.由这两个散点图可以判断( )图1 图2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关5．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是 ( ) A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是246．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是 ( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样7．已知施肥量与水稻产量之间的回归直线方程为y ^＝4.75x ＋257，则施肥量x ＝30时，对产量y 的估计值为 ( )A ．398.5B ．399.5C ．400D ．400.58．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.379．如果在一次实验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的回归直线方程是 ( )A.y ^＝x ＋1.9 B.y ^＝1.04x ＋1.9C.y ^＝0.95x ＋1.04 D.y ^＝1.05x －0.9A ．30%B ．70%C ．60%D ．50% 二、填空题11．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数x 及其标准差s 如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是12.已知一个回归直线方程为y ＝1.5x ＋45(x i ∈{1,5,7,13,19})，则y ＝________. 13．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．14．某单位为了了解用电量Y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由表中数据得回归直线方程y＝b x＋a中b＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为________．三、解答题15．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女(1)求出表中字母m、n(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？16．为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？(2)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(3)若次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体高一学生的良好率是多少？17．为了研究三月下旬的平均气温(x )与四月棉花害虫化蛹高峰日(Y )的关系，某地区观察了2007已知x 27℃，试估计2013年四月化蛹高峰日为哪天？18．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)甲：9,10,11,12,10,20； 乙：8,14,13,10,12,21.(1)在右面给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．章末检测1．C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.A 9.B 10.B 11.乙 12.58.5 13．0.030 3解析 因为5个矩形面积之和为1，即(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.035)×10＝1，所以a ＝0.030.由于三组内学生数的频率分别为：0.3,0.2,0.1，所以三组内学生的人数分别为30,20,10.因此从[140,150]内选取的人数为1060×18＝3.14．40解析 ∵x ＝14(14＋12＋8＋6)＝10，y ＝14(22＋26＋34＋38)＝30，∴a ^ ＝y －b ^x ＝30＋2×10＝50.∴当x ＝5时，y ^＝－2×5＋50＝40.15．解 (1)由题意M ＝80.16＝50，落在区间165.5～169.5内数据频数m ＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，频率为n ＝0.08，总频率N ＝1.00.(2)频率分布直方图如下：(3)该所学校高一女生身高在149.5～165.5 cm 之间的比例为0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76＝342(人)．16．解 (1)∵前三组的频率和为2＋4＋1750＝2350<12，前四组的频率之和为2＋4＋17＋1550＝3850>12， ∴中位数落在第四小组内．(2)频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08，又∵频率＝频数样本容量，∴样本容量＝频数频率＝120.08＝150.(3)由图可估计所求良好率约为：17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.17．解 由题意知：x ≈29.13，y ＝7.5，∑6i ＝1x 2i＝5 130.92，∑6i ＝1x i y i ＝1 222.6， ∴b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x y∑6i ＝1x 2i－6x2≈－2.2，a ^＝y －b ^x ≈71.6，∴回归直线方程为y ^＝－2.2x ＋71.6.当x ＝27时，y ^＝－2.2×27＋71.6＝12.2，据此，可估计该地区2013年4月12日或13日为化蛹高峰日．18．解 (1)茎叶图如图所示：(2)x 甲＝9＋10＋11＋12＋10＋206＝12，x 乙＝8＋14＋13＋10＋12＋216＝13，s 2甲＝16×[(9－12)2＋(10－12)2＋(11－12)2＋(12－12)2＋(10－12)2＋(20－12)2]≈13.67，s 2乙＝16×[(8－13)2＋(14－13)2＋(13－13)2＋(10－13)2＋(12－13)2＋(21－13)2]≈16.67.因为x 甲<x 乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s 2甲<s 2乙，所以甲种麦苗长的较为整齐．。

步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 2.3.2

步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 2.3.2

2.3.2 离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X 和Y ，X 和Y 的分布列如下：思考1 试求E (X )，E (Y ).答案 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝710，E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 能否由E (X )与E (Y )的值比较两名工人技术水平的高低？ 答案 不能，因为E (X )＝E (Y ).思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 答案 样本方差. 1.方差及标准差的定义设离散型随机变量X 的分布列为(1)方差：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i ；(2)标准差为：D (X ). 2.方差与标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小. 3.方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X ). 知识点二 两点分布与二项分布的方差类型一 求离散型随机变量的方差、标准差 例1 已知η的分布列为(1)求方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y ).解 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6. (2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536.反思与感悟 对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程.跟踪训练1 (1)已知随机变量ξ的分布规律如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.(2)已知X 的分布列为若η＝2X ＋2，则D (η)的值为答案 (1)53 (2)209解析 (1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，－a ＋c ＝13，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝13，c ＝12.D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13×⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59，D (ξ)＝53. (2)E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝12×⎝⎛⎭⎫－1＋132＋13×⎝⎛⎭⎫0＋132＋16×⎝⎛⎭⎫1＋132＝59，故D (η)＝22×59＝209. 例2 某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差. 解 (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P (ξ＝0)＝0.02，P (ξ＝1)＝0.98， 所以由D (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.(2)用X 表示抽得的正品数，则X ～B (10,0.98)，所以D (X )＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差D (X )≈0.44.反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p (1－p )；若其服从二项分布，则其方差为np (1－p )(其中p 为成功概率).跟踪训练2 (1)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.(2)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)，则D (3ξ)等于( ) A.10 B.30 C.15 D.5 答案 (1)13(2)A解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得：p ＝13.(2)由题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， D (ξ)＝5×13×23＝109，D (3ξ)＝9D (ξ)＝9×109＝10.类型三 方差的实际应用例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA ，ξB 分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).解 E (ξA )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125. E (ξB )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D (ξA )＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D (ξB )＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E (ξA )＝E (ξB )，D (ξA )<D (ξB )，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好. 反思与感悟 1.本题采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论. 2.均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断. 跟踪训练3 A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和，求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取得最小值.解 (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋D ⎝⎛⎭⎫100－x 100Y 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)， 当x ＝6002×4＝75时，f (x )＝3为最小值.1.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A.6B.9C.3D.4 答案 A解析 E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.2.已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________.答案 0.4 0.1 0.5解析 由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1.21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X ，Y ，已知E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y )，则自动包装机________的质量较好.(填“甲”或“乙”) 答案 乙解析 在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好.4.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和D (ξ).解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了. 则P (ξ＝1)＝C 13C 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以，ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；D (ξ)＝13(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差D (X )或标准差越小，则随机变量X 偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X 的取值越分散.2.求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值； (2)求X 取每一个值的概率；(3)写出随机变量X 的分布列； (4)由均值、方差的定义求E (X )，D (X ).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E (X )和D (X ).一、选择题1.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A.8 B.15 C.16 D.32 答案 C2.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于( ) A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 答案 C解析 ∵ξ～B (10,0.02)，∴D (ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( )A.E (X )＝0，D (X )＝1B.E (X )＝12，D (X )＝12C.E (X )＝0，D (X )＝12D.E (X )＝12，D (X )＝1.答案 A解析 由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝(－1)×12＋1×12＝0，D (X )＝12×(－1－0)2＋12×(1－0)2＝1.4.已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( ) A.0 B.2 C.1 D.12答案 A解析 由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23(n－2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.5.已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A.6,2.4 B.2,2.4 C.2,5.6 D.6,5.6答案 B解析 若两个随机变量Y ，X 满足一次关系式Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )，D (X )时，则有E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.6.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量ξ的方差为( )A.65B.1825C.625D.18125 答案 B解析 由题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25， 故D (ξ)＝3×25×⎝⎛⎭⎫1－25＝1825. 二、填空题7.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的标准差为________. 答案3512解析 依题意X 的分布列为故E (X )＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝72，D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－722×16＋⎝⎛⎭⎫2－722×16＋⎝⎛⎭⎫3－722×16＋⎝⎛⎭⎫4－722×16＋⎝⎛⎭⎫5－722×16＋⎝⎛⎭⎫6－722×16＝3512. 8.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为________. 答案 60,96解析 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题意知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6， E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42×D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中成绩的均值与方差分别是60与96.9.若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又知E (X )＝49，D (X )＝2，则x 1＋x 2＝________. 答案179解析 由题意可得：E (X )＝23x 1＋13x 2，D (X )＝⎝⎛⎭⎫x 1－492×23＋⎝⎛⎭⎫x 2－492×13， ∴⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝49，⎝⎛⎭⎫x 1－492×23＋⎝⎛⎭⎫x 2－492×13＝2.解得x 1＋x 2＝179.10.设d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差D (ξ)＝________. 答案 30d 2 解析 E (ξ)＝x 10，D (ξ)＝d 219(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d 2.三、解答题11.一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的均值与方差. 解 (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13， ∴E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝43. (2)由已知η＝30ξ， ∴E (η)＝30E (ξ)＝60， D (η)＝900D (ξ)＝1 200.12.为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求： (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的分布列和均值. 解 (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115. 所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415， P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215， P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115. 随机变量X 的分布列为因此，E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.11 13.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下： A 组：10,11,12,13,14,15,16B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解 (1)P (t ≥14)＝C 13C 17＝37. (2)当a ＝25时，假设乙的康复时间为12天，则符合题意的甲有13天，14天，15天，16天，共4人；若乙的康复时间为13天.则符合题意的甲有14天，15天，16天，共3人；若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天，16天，共2人；若乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天，共1人.当乙的康复时间为其他值时，由于甲的最大康复时间为16天，均不符合题意.所以符合题意的甲、乙选择方式共4＋3＋2＋1＝10种.因为甲、乙组合情况共C 17×C 17＝49种，又因为任何组合情况都是等可能的，故P (t 甲>t 乙)＝1049. (3)a ＝11或a ＝18.。

步步高高三复习用书 第二章 2.2 精品

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§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( √ ) 题组二 教材改编2.[P39B 组T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________. 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3.[P31例4]函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是________.答案 24.[P44A 组T9]若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________. 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三 易错自纠5.函数y ＝212log (4)x -的单调递减区间为________.答案 (2，＋∞)6.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________. 答案 －6解析 由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6. 7.(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________. 答案 0 22－3解析 f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞). 故选D.(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________. 答案 [－1,0]，[1，＋∞) 解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4； 当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图.由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞). 命题点2 解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增.证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增. 引申探究如何用导数法求解本例？解 ∵f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，∵1≤x ≤2， ∴1≤x 3≤8， 又1＜a ＜3， ∴2ax 3－1＞0， ∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法. (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”. (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接. 跟踪训练 (1)函数22311()3x x y -+=的单调递增区间为( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 B解析 易知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. ∴函数22311()3x x y -+=的单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，34. (2)函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，32解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. 题型二 函数的最值1.(2017·浙江)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定.随着b的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关.随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.2.(2017·宁波九校联考)设函数f (x )＝log 2x ＋ax ＋b (a ＞0)，若存在实数b ，使得对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ，则t 的最小值是( ) A.2 B.1 C.34 D.23答案 D解析 f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ， 可得－1－a ≤f (x )≤1＋a 恒成立， ∴－1－a ≤f (x )min ＝f (t )＝log 2t ＋at ＋b ， ①1＋a ≥f (x )max ＝f (t ＋2)＝log 2(t ＋2)＋a (t ＋2)＋b ， 即－1－a ≤－log 2(t ＋2)－a (t ＋2)－b ，②①＋②可得－2－2a ≤log 2t ＋at ＋b －log 2(t ＋2)－a (t ＋2)－b ， 化为log 2t t ＋2≥－2，解得t t ＋2≥14，解得t ≥23，则t 的最小值为23.3.函数f (x )＝⎝⎛⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________. 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________.答案 26－6解析 当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小典例 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式典例 若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8)答案 B解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)， 由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.命题点3 求参数范围典例 (1)(2017·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.a ＝－3B.a ＜3C.a ≤－3D.a ≥－3 答案 C解析 y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.∴a 的取值范围是a ≤－3.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1答案 C解析 由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13. 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式19(log )0f x >的解集为________________.答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增.∴19(log )f x ＞f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x ＞f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴191log 2x ＞或191log 0,2x -＜＜解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3.1.(2018届台州路桥中学检测)如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( ) A.a ≤－3 B.a ≥－3 C.a ≤5 D.a ≥5答案 A解析 由题意得，函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，所以二次函数的单调递减区间为(－∞，1－a ]，又函数在区间(－∞，4]上单调递减，所以1－a ≥4，所以a ≤－3. 2.函数y ＝212log (6)x x -++的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3 B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6＞0，得－2＜x ＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2,3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若函数f (x )在R 上递增， 则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1， 所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件.4.(2017·衢州质检)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f ()f (x )－ln x ＝1，则f (e)等于( ) A.2 B.1 C.0 D.e 答案 A解析 由题意得f (x )－ln x 为常数，设为a ， 则f (a )－ln a ＝a ，又f (a )＝1，∴1－ln a ＝a ，∴a ＝1， 因此f (e)＝ln e ＋1＝2.5.(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <a D.c <a <b答案 C解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)， ∴a ＞b ＞c .故选C.6.(2017·浙江镇海中学竞赛)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x ≤3，2＋log a x ，x ＞3(a ＞0，且a ≠1)的值域为[3，＋∞)，则实数a 的取值范围为( )A.(1,3]B.(1,3)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞) 答案 A解析 当x ≤3时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3的值域为[3，＋∞)，当x ＞3时，2＋log a x ≥3，即x ＞3时，log a x ≥1＝log a a ，a ＞1，且x ＞3时x ≥a 恒成立.∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围是(1,3].7.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________.答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞).8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________. 答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数g (x )的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1).9.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是______________. 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1.10.定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值为________.答案 6解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.11.已知f (x )＝xx －a (x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.(1)证明 设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增.(2)解 设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.12.函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值.解 f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a 22－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数. ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去. ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数 答案 D解析 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在(|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).15.函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x ).则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝12. 令x ＝13， 可得f ⎝⎛⎭⎫19＝12f ⎝⎛⎭⎫13＝14.由③结合f ⎝⎛⎭⎫13＝12，可知f ⎝⎛⎭⎫23＝12，令x ＝23， 可得f ⎝⎛⎭⎫29＝12f ⎝⎛⎭⎫23＝14，因为19<18<29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝34.16.已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围.解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }.(2)设g (x )＝x ＋a x－2， 当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数. 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2， 所以a >2.。

2019年文科数学步步高一轮复习word版3.2 第2课时

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第2课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值典例 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知,当x ＜－2时,f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时,f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时,f ′(x )＜0；当x ＞2时,f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值,在x ＝2处取得极小值.命题点2 求函数的极值典例 (2017·泉州质检)已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ,e 为自然对数的底数). (1)若曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线平行于x 轴,求a 的值；(2)求函数f (x )的极值.解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ,得f ′(x )＝1－a e x . 又曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线平行于x 轴,得f ′(1)＝0,即1－a e＝0,解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－a e x , ①当a ≤0时,f ′(x )＞0,f (x )为(－∞,＋∞)上的单调增函数,所以函数f (x )无极值.②当a ＞0时,令f ′(x )＝0,得e x ＝a ,即x ＝ln a ,当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )＞0,所以f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增,故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f (x )无极值；当a ＞0时,f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ,无极大值.命题点3 根据极值求参数典例 (1)(2017·沧州模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点,则实数c 的取值范围为_______.答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1,由f ′(x )＝0有两个不同的根,可得Δ＝(－4c )2－12＞0,∴c ＞32或c ＜－32. (2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，52 B.⎣⎡⎭⎫2，52 C.⎝⎛⎭⎫2，103 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 C解析 函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根,由f ′(x )＝0有2个不相等的实根,得a ＜－2或a ＞2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根,得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解,又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103,所以2≤a ＜103, 综上,a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103. 思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. ②验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练 (1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A.x ＝1B.x ＝－1C.x ＝1或－1或0D.x ＝0答案 C解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3,∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0,得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x ＜－1时,f ′(x )＜0,当－1＜x ＜0时,f ′(x )＞0,当0＜x ＜1时,f ′(x )＜0,当x ＞1时,f ′(x )＞0,∴x ＝0,1,－1都是f (x )的极值点.(2)函数y ＝2x －1x 2的极大值是________. 答案 －3解析 y ′＝2＋2x 3,令y ′＝0,得x ＝－1. 当x ＜－1或x ＞0时,y ′＞0；当－1＜x ＜0时,y ′＜0.∴当x ＝－1时,y 取极大值－3.题型二 用导数求函数的最值 典例 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ,k ＜1e,求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值.解 f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. ①若k ＝0,则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0, 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减.②若k ≠0,则f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.(ⅰ)若k ＜0,则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减,(ⅱ)若k ＞0,由k ＜1e, 得1k ＞e,则x －1k＜0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立, 所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0, 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减.综上,当k ＜1e时,f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减, 所以f (x )min ＝f (e)＝1e＋k －1, f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.引申探究本例中若函数为“f (x )＝ln x －12x 2”,则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值如何？ 解 由f (x )＝ln x －12x 2, 则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x, 因为当1e ≤x ≤e 时,令f ′(x )＞0,得1e≤x ＜1； 令f ′(x )＜0,得1＜x ≤e,所以f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以f (x )max ＝f (1)＝－12. 思维升华 求函数f (x )在[a ,b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ,b )内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f (a ),f (b ).(3)将函数f (x )的极值与f (a ),f (b )比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.跟踪训练 设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5,若对任意的x ∈[－1,2],都有f (x )＞a ,则实数a 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，72 解析 由题意知,f ′(x )＝3x 2－x －2,令f ′(x )＝0,得3x 2－x －2＝0,解得x ＝1或x ＝－23, 又f (1)＝72,f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727, f (－1)＝112,f (2)＝7, 故f (x )min ＝72,∴a ＜72. 题型三 函数极值和最值的综合问题典例 (2018·珠海调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3,求f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值.解 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x . 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ,因为e x ＞0,所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同.又因为a ＞0,所以当－3＜x ＜0时,g (x )＞0,即f ′(x )＞0,当x ＜－3或x ＞0时,g (x )＜0,即f ′(x )＜0,所以f (x )的单调递增区间是(－3,0),单调递减区间是(－∞,－3),(0,＋∞).(2)由(1)知,x ＝－3是f (x )的极小值点,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1,b ＝5,c ＝5,所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(－3,0),单调递减区间是(－∞,－3),(0,＋∞),所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值,故f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者,而f (－5)＝5e5＝5e 5＞5＝f (0), 所以函数f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值是5e 5.思维升华 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.跟踪训练 若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ,a ＋5)上存在最小值,则实数a 的取值范围是( ) A.[－5,0)B.(－5,0)C.[－3,0)D.(－3,0)答案 C解析 由题意,得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2),故f (x )在(－∞,－2),(0,＋∞)上是增函数,在(－2,0)上是减函数,作出其图象如图所示,令13x 3＋x 2－23＝－23,得 x ＝0或x ＝－3,则结合图象可知,⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0).利用导数求函数的最值典例 (12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ).(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时,求函数f (x )在[1,2]上的最小值.思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f ′(x )＞0,f ′(x )＜0的解区间,并注意定义域.(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a ,要对参数a 进行分类讨论.规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x ＞0), ①当a ≤0时,f ′(x )＝1x－a ＞0,即函数f (x )的单调递增区间为(0,＋∞).[2分] ②当a ＞0时,令f ′(x )＝1x －a ＝0,可得x ＝1a, 当0＜x ＜1a 时,f ′(x )＝1－ax x＞0； 当x ＞1a 时,f ′(x )＝1－ax x＜0, 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a , 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[4分]综上可知,当a ≤0时,函数f (x )的单调递增区间为(0,＋∞)；当a ＞0时,函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ,单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[5分] (2)①当1a≤1,即a ≥1时,函数f (x )在区间[1,2]上是减函数,所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[6分]②当1a ≥2,即0＜a ≤12时,函数f (x )在区间[1,2]上是增函数,所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[7分]③当1＜1a ＜2,即12＜a ＜1时,函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数,在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数.又f (2)－f (1)＝ln 2－a ,所以当12＜a ＜ln 2时,最小值是f (1)＝－a ； 当ln 2≤a ＜1时,最小值为f (2)＝ln 2－2a .[11分]综上可知,当0＜a ＜ln 2时,函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当a ≥ln 2时,函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[12分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较,确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )A.y ＝x 3B.y ＝ln(－x )C.y ＝x e －xD.y ＝x ＋2x答案 D解析 由题可知,B,C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中,函数y ＝x 3单调递增(无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( ) A.283 B.6 C.263D.7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2),f (x )在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增,所以f (x )的极大值为f (－2)＝283. 3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是( )A.(－1,2)B.(－∞,－3)∪(6,＋∞)C.(－3,6)D.(－∞,－1)∪(2,＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6),由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根.∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0,即a 2－3a －18＞0.∴a ＞6或a ＜－3.4.(2017·哈尔滨调研)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B.1C.0D.不存在 答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x 且x ＞0. 令f ′(x )＞0,得x ＞1.令f ′(x )＜0,得0＜x ＜1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值,且f (1)＝12－ln 1＝12. 5.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10,则f (2)等于( )A.11或18B.11C.18D.17或18 答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10,∴f (1)＝10,且f ′(1)＝0,又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时,函数在x ＝1处无极值,故舍去. ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16,∴f (2)＝18.6.(2018·河北三市二联)若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数,则函数f (x )在R 上的极小值为( )A.2b －43B.32b －23C.0D.b 2－16b 3 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2),∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数,∴－3＜b ＜1,则由f ′(x )＞0,得x ＜b 或x ＞2,由f ′(x )＜0,得b ＜x ＜2,∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43. 7.(2017·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9,若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点,则实数a ＝______.答案 5解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由题意知,－3是方程f ′(x )＝0的根,所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0,解得a ＝5.经检验,当a ＝5时,f (x )在x ＝－3处取得极值.8.函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值是正数,极小值是负数,则a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a ),由f ′(x )＝0得x ＝±a ,当－a ＜x ＜a 时,f ′(x )＜0,函数单调递减；当x ＞a 或x ＜－a 时,f ′(x )＞0,函数单调递增,∴f (x )的极大值为f (－a ),极小值为f (a ).∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a ＞0且f (a )＝a 3－3a 3＋a ＜0,解得a ＞22. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 9.函数f (x )＝x e －x ,x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e解析 f ′(x )＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x ),令f ′(x )＝0,得x ＝1. 又f (0)＝0,f (4)＝4e 4,f (1)＝e －1＝1e, ∴f (1)＝1e为最大值. 10.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值,若m ∈[－1,1],则f (m )的最小值为________. 答案 －4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ,由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0,即－3×4＋2a ×2＝0,故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ,由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当m ∈[－1,1]时,f (m )min ＝f (0)＝－4.11.(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎤0，π2上的最大值和最小值. 解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ,所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1,所以f ′(0)＝0,又因为f (0)＝1,所以曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y －1＝0.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1,则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,h ′(x )＜0, 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减. 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0, 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减. 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1, 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 12.(2018·武汉质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞,1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值. 解 (1)当x ＜1时,f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2), 令f ′(x )＝0,解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时,函数f (x )取得极小值f (0)＝0, 函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时,由(1)知,函数f (x )在[－1,0]和⎣⎡⎭⎫23，1上单调递减,在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增. 因为f (－1)＝2,f ⎝⎛⎭⎫23＝427,f (0)＝0, 所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时,f (x )＝a ln x , 当a ≤0时,f (x )≤0；当a ＞0时,f (x )在[1,e]上单调递增, 则f (x )在[1,e]上的最大值为f (e)＝a .故当a ≥2时,f (x )在[－1,e]上的最大值为a ； 当a ＜2时,f (x )在[－1,e]上的最大值为2.13.已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13,则实数m 的值为________.答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ,可得f ′(x )＝x 2－2x －1, 令x 2－2x －1＝0,可得x ＝1±2. 当x ∈(1－2,1＋2)时,f ′(x )＜0, 即函数f (x )在(1－2,1＋2)上是减函数,即f (x )在[0,1]上为减函数,故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1),所以13－1－1＋m ＝13,解得m ＝2.14.(2018·贵州质检)设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |最小时,t 的值为________. 答案22解析 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t , 设f (t )＝t 2－ln t (t ＞0),则f ′(t )＝2t －1t ,令f ′(t )＝0,得t ＝22, 当0＜t ＜22时,f ′(t )＜0,当t ＞22时,f ′(t )＞0, ∴当t ＝22时,f (t )取得最小值.15.若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ,且M ＞0,则实数m 的取值范围是____________. 答案 ⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1解析 f ′(x )＝mx ＋(m －1)＝(m －1)x ＋m x(x ＞0),当m ≤0或m ≥1时,f (x )在(0,＋∞)上单调,此时函数f (x )无最大值.当0＜m ＜1时,令f ′(x )＝0,则x ＝m1－m ,∴当0＜m ＜1时,f (x )在⎝⎛⎭⎫0，m 1－m 上单调递增,在⎝⎛⎭⎫m 1－m ，＋∞上单调递减,∴当0＜m ＜1时,函数f (x )有最大值,最大值M ＝f ⎝⎛⎭⎫m 1－m ＝m ln m 1－m －m .∵M ＞0,∴m ln m1－m－m ＞0,解得m ＞e1＋e,∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1.16.已知函数f (x )＝12x 2＋mx ＋ln x .(1)若m ＝－3,讨论函数f (x )的单调性,并写出单调区间；(2)若f (x )有两个极值点x 1,x 2(x 1＜x 2),且m ≤－322,求f (x 1)－f (x 2)的最小值.解 (1)当m ＝－3时,f (x )＝12x 2－3x ＋ln x ,由题意知x ＞0,且f ′(x )＝x －3＋1x ＝x 2－3x ＋1x,令f ′(x )＞0,得0＜x ＜3－52或x ＞3＋52,令f ′(x )＜0,得3－52＜x ＜3＋52.因此函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－52和⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞上单调递增. (2)由题意知,f ′(x )＝x ＋m ＋1x ＝x 2＋mx ＋1x,则易知x 1,x 2为x 2＋mx ＋1＝0的两个根,且x 1＋x 2＝－m ,x 1x 2＝1, 所以f (x 1)－f (x 2)＝12x 21＋mx 1＋ln x 1－⎝⎛⎭⎫12x 22＋mx 2＋ln x 2 ＝12(x 21－x 22)＋m (x 1－x 2)＋ln x 1－ln x 2 ＝12(x 21－x 22)－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋ln x 1－ln x 2 ＝ln x 1x 2－12(x 21－x 22) ＝ln x 1x 2－12·x 21－x 22x 1x 2＝ln x 1x 2－12⎝⎛⎭⎫x 1x 2－x 2x 1. 记x 1x 2＝t ,由x 1＜x 2且m ≤－322知0＜t ＜1, 且f (x 1)－f (x 2)＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t , 记φ(t )＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t (t ∈(0,1)),则φ′(t )＝2t －t 2－12t 2＝－(t －1)22t 2＜0,故φ(t )在(0,1)上单调递减. 由m ≤－322知(x 1＋x 2)2≥92,从而x 21＋x 22≥52,即x 21＋x 22x 1x 2≥52,故t ＋1t ≥52,结合0＜t ＜1,解得0＜t ≤12,从而φ(t )的最小值为φ⎝⎛⎭⎫12＝34－ln 2, 即f (x 1)－f (x 2)的最小值为34－ln 2.。

高中数学步步高必修3学案第二章 2.2.2

高中数学步步高必修3学案第二章 2.2.2

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征.知识点一 众数、中位数、平均数思考 平均数、中位数、众数中,哪个量与样本的每一个数据有关,它有何缺点？【参考答案】平均数与样本的每一个数据有关,它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息,但是平均数受数据中极端值的影响较大. 梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：如果n 个数x 1,x 2,…,x n ,那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数.知识点二 方差、标准差 标准差、方差的概念及计算公式(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示.s ＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差.s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数).(3)标准差(或方差)越小,数据越稳定在平均数附近.s ＝0时,每一组样本数据均为x . 知识拓展：平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,那么mx 1＋a ,mx 2＋a ,mx 3＋a ,…,mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(2)设数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2,则 a .s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]； b .数据x 1＋a ,x 2＋a ,…,x n ＋a 的方差也为s 2； c .数据ax 1,ax 2,…,ax n 的方差为a 2s 2.1.中位数是一组数据中间的数.(×)2.众数是一组数据中出现次数最多的数.(√)3.一组数据的标准差越小,数据越稳定,且稳定在平均数附近.(√)类型一众数、中位数、平均数的应用命题角度1众数、中位数、平均数的计算例1某公司的各层人员及工资数构成如下：人员：经理1人,周工资22 000元；高层管理人员6人,周工资均为1 800元；高级技工5人,周工资均为1 500元；工人10人,周工资均为1 000元；学徒1人,周工资为500元.(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中,平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？考点众数、平均数、中位数的综合题点具体数据中的众数、平均数、中位数解(1)众数为1 000,中位数为1 500,平均数为22 000×1＋1 800×6＋1 500×5＋1 000×10＋500×1≈2 209.1＋6＋5＋10＋1(2)虽然平均数为2 209,但由给出的数据可见,只有经理的周工资在平均数以上,其余的都在平均数以下,故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平.反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.(2)众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中部分数据多次重复出现时,众数往往更能反映问题.(3)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,中位数可能在所给的数据中,也可能不在所给的数据中.(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.(5)因为平均数与每一个样本数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数不具有的性质,也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.跟踪训练1在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.考点众数、平均数、中位数的综合题点具体数据中的众数、平均数、中位数解在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m).答17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m. 命题角度2用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数例2已知一组数据：125121123125127129125128130129 126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 考点众数、平均数、中位数的综合题点频率分布直方图中的众数、平均数、中位数解(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数126,事实上,众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×58＝126.25,事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x ＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3, 平均数的精确值为x ＝125.75.反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征 ①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； ②中位数左右两侧直方图的面积相等；③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际数据可能不一致.跟踪训练2 一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.考点 众数、平均数、中位数的综合题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 众数＝39.99＋40.012＝40；中位数为39.99＋0.225＝39.998；四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2.平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996. 类型二 标准差、方差的应用例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1). 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋18×0＝90；②计算x i －x (i ＝1,2,…,8),得各数据为－1,3,－2,1,4,0,－2,－3； ③计算(x i －x )2(i ＝1,2,…,8),得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9； ④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝448＝5.5；⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.所以这组数据的方差为5.5,标准差约为2.3.反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小.(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小,标准差越小,表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的两边越分散. (3)若样本数据都相等,则s ＝0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其质量,分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差,并说明哪个车间产品比较稳定. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差解 x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；s 2甲＝17[[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57. 所以s 2甲＜s 2乙,故甲车间产品较稳定.1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 C.21.5 D.23 考点 中位数题点 求茎叶图中的中位数 【参考答案】B【试题解析】由茎叶图知,平均气温在20℃以下的有5个月,在20℃以上的也有5个月,恰好是20℃的有2个月,由中位数的定义知,这组数据的中位数为20.故选B.2.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的平均数和方差分别为1和4,若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数,i ＝1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的平均数和方差分别为( ) A.1＋a,4 B.1＋a,4＋a C.1,4 D.1,4＋a考点 平均数题点 由两组数的关系求平均数和方差 【参考答案】A【试题解析】∵x 1,x 2,…,x 10的平均数x ＝1,方差s 21＝4, 且y i ＝x i ＋a (i ＝1,2,…,10),∴y 1,y 2,…,y 10的平均数 y ＝110·(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝110·(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝x ＋a ＝1＋a ,其方差s 22＝110·[(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y 10－y )2]＝110[(x 1－1)2＋(x 2－1)2＋…＋(x 10－1)2]＝s 21＝4. 故选A.3.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示,由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是( )A.73.3,75B.73.3,80C.70,70D.70,75考点 中位数题点 求频率分布直方图中的中位数 【参考答案】A【试题解析】由图可知小于70的有24人,大于80的有18人,则在[70,80)之间的有18人,所以中位数落在[70,80)这组内,且为70＋103≈73.3；众数就是频率分布直方图中最高的矩形底边中点的横坐标,即70＋802＝75.4.若样本数据x 1,x 2,…,x 10的标准差为8,则数据2x 1－1,2x 2－1,…,2x 10－1的标准差为________. 考点 方差与标准差 题点 求标准差 【参考答案】16【试题解析】设样本数据x 1,x 2,…,x 10的标准差为s ,则s ＝8, 可知数据2x 1－1,2x 2－1,…,2x 10－1的标准差为2s ＝16. 5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 利用定义求平均数与方差解 (1)这10个学生体重数据的平均数为x ＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于中间的两个数是71,72,∴这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5.这10个学生体重数据的方差为 s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11, 这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71,中位数为71.5,方差为11,标准差为11.1.标准差的平方s 2称为方差,有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的,在实际应用中一般多采用标准差.2.现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数与标准差是未知的,我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差,但要求样本有较好的代表性.3.在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,因此样本的数字特征也有随机性,用样本的数字特征估计总体的数字特征,是一种统计思想,没有唯一答案.一、选择题1.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人,则该小组数学成绩的平均数,众数,中位数分别为( ) A.85分,85分,85分 B.87分,85分,86分 C.87分,85分,85分D.87分,85分,90分考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 【参考答案】C【试题解析】平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87,众数为85,中位数为85,故选C.2.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：则次品数的平均数为()A.1.1B.3C.1.5D.2考点平均数题点由表或图估计平均数【参考答案】A【试题解析】设数据x i出现的频率为p i(i＝1,2,…,n),则x1,x2,…,x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1,故选A.3.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为()A.65 B.65C.2D. 2 考点方差与标准差题点求方差与标准差【参考答案】D【试题解析】∵样本a,0,1,2,3的平均数为1,∴a＋65＝1,解得a＝－1.则样本的方差s2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2,故标准差为 2.故选D.4.某省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究,将连续5年棉花产量(千克/亩)的统计数据用茎叶图表示,如图所示,则平均产量较高与产量较稳定的分别是()A.甲棉种；甲棉种B.乙棉种；甲棉种C.甲棉种；乙棉种D.乙棉种；乙棉种考点用样本数字特征估计总体数字特征题点平均数与方差的综合应用【参考答案】C【试题解析】根据茎叶图的数据知,甲棉种产量为68,69,70,71,72；乙棉种产量为68,68,69,69,71. ∴甲棉种的平均值x 甲＝15×(68＋69＋70＋71＋72)＝70；乙棉种的平均值x 乙＝15×(68＋68＋69＋69＋71)＝69.甲的方差s 2甲＝15×[(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2, 乙的方差s 2乙＝15×[(68－69)2＋(68－69)2＋(69－69)2＋(69－69)2＋(71－69)2]＝1.2. ∴甲棉种平均产量较高,乙棉种产量较稳定.故选C.5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值为( )A.62,62.5B.65,62C.65,62.5D.62.5,62.5考点 众数、中位数的综合应用 题点 频率分布直方图中的众数、中位数 【参考答案】C【试题解析】∵最高的矩形为第三个矩形, ∴时速的众数的估计值为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4. ∵0.5－0.4＝0.1,0.10.4×10＝2.5,∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.故选C.6.10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ,则有( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 【参考答案】D【试题解析】由已知得a ＝110×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7,b ＝12×(15＋15)＝15,c ＝17,∴c ＞b ＞a .故选D. 7.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ,y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则|x －y |的值为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 【参考答案】D【试题解析】由题意得,x ＋y ＋105＋109＋1105＝108,①(x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2,②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.故选D.8.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6D.62.8,3.6考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 【参考答案】D【试题解析】每一个数据都加上60,所得新数据的平均数增加60,而方差保持不变.9.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲,x 乙,则下列结论正确的是( )A.x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定B.x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定C.x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定D.x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义【参考答案】A【试题解析】甲同学的成绩为78,77,72,86,92,乙同学的成绩为78,82,88,91,95, 所以x 甲＝15×(78＋77＋72＋86＋92)＝81,x 乙＝15×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8.所以x 甲＜x 乙,从叶在茎上的分布情况来看,乙同学的成绩更集中于平均值附近,这说明乙比甲成绩稳定. 二、填空题10.一组数据2,x,4,6,10的平均数是5,则此组数据的标准差是________. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 【参考答案】2 2【试题解析】∵一组数据2,x,4,6,10的平均数是5, ∴2＋x ＋4＋6＋10＝5×5,解得x ＝3,∴此组数据的方差s 2＝15×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8,∴此组数据的标准差s ＝2 2.11.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分),若甲、乙两组学生的平均成绩一样,则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________.考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义 【参考答案】5 甲组【试题解析】由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a5＝76＋85＋89＋98＋975＝89,解得a ＝5.因为s 2甲＝15×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝3145,s 2乙＝15×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝3305, 所以s 2甲＜s 2乙,故成绩相对整齐的是甲组.12.已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到－1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数为________,方差为________. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 求平均数与方差 【参考答案】5743【试题解析】∵－1,0,4,x,7,14的中位数为5, ∴4＋x2＝5,∴x ＝6. ∴这组数据的平均数是－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5,这组数据的方差是16×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝743.三、解答题13.现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据,根据这些数据,以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？ 考点 用样本的数字特征估计总体的数字特征的综合应用 题点 众数、平均数、中位数的综合应用解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5, 故直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数为220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5,∴月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a ,由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5,得a ＝224,即月平均用电量的中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)内的有0.012 5×20×100＝25(户),月平均用电量在[240,260)内的有0.007 5×20×100＝15(户),月平均用电量在[260,280)内的有0.005×20×100＝10(户),月平均用电量在[280,300]内的有0.002 5×20×100＝5(户), 抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15,∴月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取25×15＝5(户).四、探究与拓展14.如图,样本A 和B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为x A 和x B ,样本标准差分别为s A 和s B ,则( )A.x A ＞x B ,s A ＞s BB.x A ＜x B ,s A ＞s BC.x A ＞x B ,s A ＜s BD.x A ＜x B ,s A ＜s B考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差的综合应用 【参考答案】B【试题解析】由题图知,A 组的6个数分别为 2.5,10,5,7.5,2.5,10；B 组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10,所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝254,x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝353.显然x A ＜x B .又由图形可知,B 组数据的分布比A 组的均匀,变化幅度不大,故B 组数据比较稳定,方差较小,从而标准差较小,所以s A ＞s B .15.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂的产量分布如图所示.现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时,980小时,1 030小时,估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时.考点平均数题点由表或图估计平均数【参考答案】50 1 015【试题解析】由分层抽样可知,第一分厂应抽取100×50%＝50(件).由样本的平均数估计总体的平均数,可知这批电子产品的平均使用寿命为 1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时).。

【步步高 学案导学设计】高中数学 3.2 概率习题课 北师大版必修3

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第三章 概率 §2习题课课时目标 进一步理解古典概型的概念，学会判断古典概型．并会运用古典概型解决有关的生活实际问题．1．集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{0,1,2,3,4}，点P 的坐标为(m ，n)，m∈A，n∈B，则点P 在直线x ＋y ＝6上方的概率为( ) A .825 B .725 C .15 D .625 2．下列试验中，是古典概型的是( ) A ．放飞一只信鸽观察它是否能够飞回 B ．从奇数中抽取小于10的正奇数 C ．抛掷一枚骰子，出现1点或2点 D ．某人开车路过十字路口，恰遇红灯 3．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( ) A .34 B .56 C .16 D .13 4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( ) A .16 B .14 C .13 D .12 5．下列试验中，是古典概型的有( ) A ．种下一粒种子观察它是否发芽B ．连续抛一枚骰子，直到上面出现6点C ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是____________．一、选择题1．用1、2、3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( ) A .15 B .14 C .13 D .352．某城市有相连接的8个商场A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A 前往H ，则他经过市中心O 的概率为( )A .23B .13C .34D .123．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回的抽取三次，球的颜色全相同的概率是( ) A .227 B .19 C .29 D .1274．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天某人准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的发车情况．为了尽可能乘上上等车，他采用如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆．那么他乘上上等车的概率是( )A.12B.13C.15D.235．2010年世博会在中国举行，建馆工程有6家企业参与竞标，其中A企业来自陕西省，B，C两家企业来自天津市，D、E、F三家企业来自北京市，现有一个工程需要两家企业联合建设，假设每家企业中标的概率相同，则在中标企业中，至少有1家来自北京市的概率是( )A.15B.25C.35D.456．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.112B.110C.15D.3107．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有______人．8．在集合{x|x＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足log2x为整数的概率是________．9．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．三、解答题10．把一个骰子抛1次，设正面出现的点数为x.(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件)；(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答)?①x的取值是2的倍数(记为事件A)．②x的取值大于3(记为事件B)．③x的取值不超过2(记为事件C)．(3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率．11．某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．能力提升12．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b.求关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率．13．班级联欢时，主持人拟出如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．在建立概率模型时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．因此，我们必须选择恰当的观察角度，把问题转化为不同的古典概型(基本事件满足有限性和等可能性)来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．§2 习题课 双基演练1．D [点P 在直线x ＋y ＝6上方，即指点P 的坐标中的点满足m ＋n >6，(m ，n )的坐标可以是(3,4)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共6种情况，所以点P 在直线x ＋y ＝6上方的概率为65×5＝625.] 2．C [由于试验次数为一次，并且出现1点或2点的概率是等可能的，故选C.] 3．B [该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，所以属于古典概型．事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是56.]4．C [3块字块共能拼排成以下6种情形：2008北京，20北京08，北京2008，北京0820,08北京20,0820北京，即共有6个基本事件．其中这个婴儿能得到奖励的基本事件有2个：2008北京，北京2008， 故婴儿能得到奖励的概率为P ＝26＝13.]5．C [判断一个试验是否为古典概型的关键为：①对每次试验来说，只可能出现有限个试验结果；②对于试验中所有的不同试验结果而言，它们出现的可能性相等．] 6.34解析 从四条线段中任取三条的所有可能结果有4种，其中任取三条能构成三角形的可能有2,3,4；2,4,5；3,4,5三种，因此所求概率为34.作业设计 1．C2．A [此人从小区A 前往H 的所有最短路径有 A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ， A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条，其中经过市中心O 的有4条路径，所以其概率为23.]3．B [有放回地取球三次，假设第一次取红球共有如下所示9种取法．同理，第一次取黄球，绿球分别也有9种情况，共计27种．而三次颜色全相同，共有3种情况，故颜色全相同的概率为327＝19.]4．A [基本事件空间中包括以下六个基本事件：第一辆为上等车，若第二辆为中等车，则乘上下等车；若第二辆为下等车，则乘上中等车．第一辆为中等车，若第二辆为上等车，则乘上上等车，若第二辆为下等车，则乘第三辆车，亦乘上上等车．第一辆为下等车，若第二辆为上等车，则乘上上等车，若第二辆为中等车，则乘不上上等车．所以，他乘上上等车的概率P ＝36＝12.]5．D [从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)共有15种．其中，在中标的企业中没有来自北京市的选法有：(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)共3种．所以“在中标的企业中，没有来自北京市”的概率为315＝15.所以“在中标的企业中，至少有一家来自北京市”的概率为1－15＝45.]6．D [由袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字和为3的事件为1,2.取出小球标注数字和为6的事件为1,5或2,4. ∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P ＝1＋210＝310.]7．120解析 设男教师有n 人，则女教师有(n ＋12)人．由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率P ＝n 2n ＋12＝920，得n ＝54，故参加联欢会的教师共有120人． 8.25解析 当x ＝1,2,4,8时，log 2x 分别为整数0,1,2,3.又因总体共有10个，其概率为410＝25. 9．0.2解析 从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m 的情况是2.5和2.8,2.6和2.9两种，∴概率P ＝210＝0.2.10．解 (1)根据古典概型的定义进行判断得，x 的可能取值情况为：1,2,3,4,5,6. (2)事件A 为2,4,6；事件B 为4,5,6，事件C 为1,2. (3)由题意可知①②③均是古典概型．其中P(A)＝36＝12；P(B)＝36＝12；P(C)＝26＝13.11．解 设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B ，从四个小球中有放回的取两个共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)16种不同的方法． (1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种： (0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)．故P(A)＝416＝14.(2)由(1)知，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)， 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)， P(B)＝416＋316＋216＝916.12．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a>0，b>0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b. 基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， 事件A 发生的概率为P(A)＝612＝12. 13．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型． 用A 1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A 1∪A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝525＝15＝0.2.。

高中数学北师大版必修三学案：第二章 习题课

高中数学北师大版必修三学案：第二章 习题课

学习目标1.提高把具体问题的求解转化为算法步骤的能力.2.能正确选择并运用三种逻辑结构框图表示具体问题的算法.3.提高读图能力．知识点一三种逻辑结构思考1我们先后学了三种逻辑结构，你能简述一下什么时候会用到它们吗？思考2循环结构是个难点．你认为循环结构的关键在哪里？需要注意些什么？知识点二用算法框图表示算法设计一个算法的算法框图通常要经过以下步骤：第一步，用____________表述算法步骤．第二步，确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的________表示，得到该步骤的算法框图．第三步，将所有步骤的框图用________连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的算法框图．类型一算法的设计例1已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－1，x ≤－1，x 3，x >－1，试设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值．反思与感悟设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来． 跟踪训练1已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x ≤－1，log 2(x ＋1)，－1<x <2，x 2，x ≥2，试设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值．类型二画算法框图例2设计求1×2×3×4×…×2013×2014的值的算法，并画出算法框图．反思与感悟算法要求指令明确，在有限步内解决问题，故用自然语言设计算法时不能大而化之．一旦用自然语言表述出算法，转换为算法框图相对简单，但画时要用对框图，并尽量使主线在一条纵轴上，以增强算法框图的条理．跟踪训练2如图所示的算法框图的功能是____________________________________．类型三算法在生活中的应用例3以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60，画出求80分以上的同学的平均分的算法框图．反思与感悟在循环结构中，要注意根据条件设置合理的计数变量、累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当、准确．累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1.跟踪训练3乘坐火车时，可以托运货物．从甲地到乙地，规定每张火车客票托运费计算方法：行李质量不超过50kg时按0.25元/kg；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0.35元/kg；超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg.设计输入行李质量，计算出托运的费用的算法，并画出算法框图．1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、选择结构和循环结构，下列说法正确的是() A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．任何一个算法都离不开顺序结构2．下列关于算法框图的描述中，正确的有()①对于一个算法来说，算法框图是唯一的；②任何一个框图都必须有起止框；③算法框图只有一个入口，也只有一个出口；④输出框一定要在终止框前．A．1个B．2个C．3个D．4个3．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，则输出的S等于()A．14B．30C．20D．554．执行如图所示的算法框图，若输出的结果为s＝132，则判断框中应填()A．i≥10B．i≥11C．i≤11D．i≥121．在一个问题中经常要进行多次判断，这就需要选择结构嵌套来进行解决．2．算法问题经常涉及到与现实生活有关的题目，解答时，首先根据题意写出内含的表达式，选择适合的结构，设计算法框图，因此，解题的关键是写出函数解析式．答案精析问题导学知识点一思考1(1)顺序结构每一个算法框图都有．(2)当一个问题需要根据不同的条件选择不同的处理方法时，要用到选择结构；循环结构中必须有选择结构来控制循环．(3)循环结构用于处理需要反复执行同一个算法的问题．思考2在循环结构中，关键是根据条件设置合理的计数变量、累加(乘)变量，需要注意的是控制循环的条件表述要恰当、准确．累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1. 知识点二自然语言框图流程线题型探究例1解算法如下：第一步，输入x的值．第二步，当x≤－1时，计算y＝－x2－1，否则执行第三步．第三步，计算y＝x3.第四步，输出y.跟踪训练1解算法如下：第一步，输入x的值．第二步，当x≤－1时，计算y＝2x－1，否则执行第三步．第三步，当x<2时，计算y＝log2(x＋1)，否则执行第四步．第四步，计算y＝x2.第五步，输出y.例2解算法如下：第一步，设M的值为1.第二步，设i的值为2.第三步，如果i≤2014，则执行第四步，否则转去执行第六步．第四步，计算M乘i，并将结果赋给M.第五步，计算i加1，并将结果赋给i，转去执行第三步．第六步，输出M的值并结束算法．算法框图如图：跟踪训练2计算12－22＋32－42＋…＋992－1002的值解析i＝1，S＝12；i＝2，S＝12－22；i ＝3，S ＝12－22＋32； i ＝4，S ＝12－22＋32－42；i ＝100，S ＝12－22＋32－42＋…＋992－1002，i ＝100＋1>100，终止循环，输出S . 故其功能是计算12－22＋32－42＋…＋992－1002的值． 例3解算法框图如下：跟踪训练3解设行李质量为x kg ，应付运费为y 元，则运费公式： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.25x ，0<x ≤50，0.25×50＋0.35(x －50)，50<x ≤100，0.25×50＋0.35×50＋0.45(x －100)，x >100，整理得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.25x ，0<x ≤50，0.35x －5，50<x ≤100，0.45x －15，x >100.算法步骤：第一步，输入行李质量x .第二步，当x ≤50时，计算y ＝0.25x ，否则，执行下一步．第三步，当x ≤100时，计算y ＝0.35x －5；否则，计算y ＝0.45x －15. 第四步，输出y . 算法框图：当堂训练1．D2．B[②、③正确，对于一个算法来说，算法框图不唯一，与设计有关，故①错．输入、输出的位置，不一定在开始和结束处，故④错．]3．B[由算法框图知：第一次循环，S＝1，i＝1＋1＝2，不满足条件i＞4，继续循环；第二次循环，S＝1＋4＝5，i＝2＋1＝3，不满足条件i＞4，继续循环；第三次循环，S＝5＋9＝14，i＝3＋1＝4，不满足条件i＞4，继续循环；第四次循环，S＝14＋16＝30，i＝4＋1＝5，满足条件i＞4，终止循环，输出S＝30，故选B.]4．B[由题意可知，s为从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11＝132，故需要执行两次循环体．初始条件：s＝1，i＝12；第一次循环：s＝12，i＝11；第二次循环：s＝132，i＝10.由于i的值为10时，应该退出循环体，故B符合题意，故选B.]。

【步步高】高中数学 第二章 习题课配套课件 苏教版必修3

【步步高】高中数学 第二章 习题课配套课件 苏教版必修3
20 1 解析 由于抽取的比例为100＝5，所以抽取的酸奶与成人 1 1 奶粉品牌数之和是10× ＋20× ＝6. 5 5
试一试·双基题目、基础更牢固
4．为了解 1 200 名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中 抽取一个容量为 30 的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间
40 隔 k 为________ ．
题型三
分层抽样
例3 某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收 入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方法抽取 990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方法抽取100 户，进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住 房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数 据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套 以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．
解析 在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分 N 段，k＝ n (N为总体的容量，n为样本的容量)．
N 1 200 ∴k＝ ＝ n 30 ＝40.
研一研·题型解法、解题更高效
题型一 例1
简单随机抽样
今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量
为2的样本．问： (1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少？ (2)个体a不是在第1次被抽到，而是在第2次被抽到的概率是 多少？ (3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？
试一试·双基题目、基础更牢固
3．某大型超市销售的乳类商品有4类：鲜奶、酸奶、婴幼儿 奶粉、成人奶粉，且鲜奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶 粉分别有45种、10种、25种、20种不同的品牌，现从中 抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺的安全检测，若 采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶
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习题课
一、基础过关
1．一个单位有职工160人，其中有业务人员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样方法抽出样本，则在20人的样本中应抽取管理人员的人数为________．
2．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是________．
①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取
200人做样本
②从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个做样本
③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个做样本
④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本
3．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为________．
4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．
5．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
6．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝________. 7．某学校为了了解2012年高考语文科的考试成绩，计划在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科300名考生，理科600名考生，艺术类考生200人，体育类考生70人，外语类考生30人，如果要抽120人作为调查分析对象，则按科目分别应抽多少考生？8．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？
二、能力提升
9． 某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方
法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生总数的一半，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是________．
10．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了
响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表： 其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25
.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．
11．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计
员制作了如下的统计表格：
A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．
12．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中
的一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山
组的职工占参加活动总人数的14
，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．
(1)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
三、探究与拓展
13．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．
(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个．
(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个．
(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个．
答案
1． 4 2.③ 3.2 4.8,16,10,6 5.37 20 6．192
7． 解 从1 200名考生中抽取120人作调查由于各科目考试人数不同，为了更准确地了解
情况，可采用分层抽样，抽样时每层所抽人数按1∶10分配．
∴300×110＝30(人)，600×110
＝60(人)， 200×110＝20(人)，70×110＝7(人)，30×110
＝3(人)． 所以抽取的文科，理科，艺术类，体育类，外语类考生分别是30人，60人，20人，7人，3人．
8． 解 用分层抽样抽取样本．
∵20500＝250，即抽样比为250
. ∴200×250＝8,125×250
＝5， 50×250
＝2. 故O 型血抽8人，A 型血抽5人，B 型血抽5人，AB 型血抽2人．
抽样步骤：①确定抽样比250
； ②按比例分配各层所要抽取的个体数，O 型血抽8人，A 型血抽5人，B 型血抽5人，AB 型血抽2人．
③用简单随机抽样法分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本．
9． 960 10．36 11．800
12．解 (1)设登山组人数为x ，在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、
c ，则有x ×40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ×10%＋3xc 4x
＝10%；解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝100%－50%－10%＝40%，即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
(2)在游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人人数为200×34
×50%＝75(人)；抽取的老年人人数为200×34
×10%＝15(人)． 13．解 (1)总体容量较小，用抽签法．
①将30个篮球编号，号码为00,01， (29)
②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；
③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；
④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．
(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．
①确定抽取个数．因为3010＝3，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93
＝3(个)；
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．
①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001， (299)
②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第4列的数“1”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；
③从数“1”开始向右读，每次读三位，凡不在000～299中的数跳过去不读，遇到已 经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个 体的号码．。

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