2018年秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法习题课件(新版)新人教版
精选推荐018-2019学年度九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 解一元二次方
21.2.3解一元二次方程-公式法学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣32．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）A．y=B．y=C．y=D．y=3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜54．若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2 B．m＜﹣1 C．1＜m＜2 D．0＜m＜15．方程x2﹣3|x|﹣2=0的最小一个根的负倒数是（）A．B．C．D．6．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，07．一元二次方程x2﹣4x+3=0的解是（）A．x=1 B．x1=﹣1，x2=﹣3 C．x=3 D．x1=1，x2=38．以x=为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c=0 B．x2+bx﹣c=0 C．x2﹣bx+c=0 D．x2﹣bx﹣c=09．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，110．方程2x2﹣6x+3=0较小的根为p，方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（）A．3 B．2 C．1 D．11．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是（）A．1+B．C．D．12．关于x的方程x（x+6）=16解为（）A．x1=2，x2=2 B．x1=8，x2=﹣4 C．x1=﹣8，x2=2 D．x1=8，x2=﹣2二．填空题（共6小题）13．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是，求根公式是．14．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac ＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．15．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．16．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．17．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为，确定的值，当时，把a，b，c的值代入公式，x1，x2= 求得方程的解．18．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为．三．解答题（共5小题）19．（1）用配方法解方程：3x2﹣12x+9=0．（2）用公式法解方程：3x2﹣9x+4=0．20．x2﹣2x﹣15=0．（公式法）21．用适当的方法解方程：（1）（5x+3）2﹣4=0；（2）2x2﹣4x+1=0．22．（1）解一元二次方程：x2﹣3x=1（2）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，求四边形ABFD 的周长．23．〔1〕若，则x的取值范围是；〔2〕在〔1〕的条件下，试求方程x2+|x﹣1|﹣3=0的解．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：∵﹣4x2+3=5x∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．故选：B．2．解：∵4y2=12y+3∴4y2﹣12y﹣3=0∴a=4，b=﹣12，c=﹣3∴b2﹣4ac=192∴y==．故选C．3．解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，∴△=9+20=29，∴x=，则较小的根a=，即﹣2＜a＜﹣1，故选：A．4．解：∵a=1，b=1，c=﹣1，∴△=1﹣4×1×（﹣1）=5＞0，则x=，∴方程的较大根m=，∵2＜＜3，∴＜＜1，故选：D．5．解：设|x|=y此方程变形为y2﹣3y﹣2=0，解得：y=，∴|x|=或|x|=＜0（舍），则x=或x=﹣，∴最小的根为﹣，它的负倒数是=，故选：A．6．解：解方程2x2﹣2x﹣1=0得：x=1±，设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根，∴a=，∵1＜＜2，∴2＜1+＜3，即1＜a＜．故选：C．7．解：a=1，b=﹣4，c=3△=16﹣12=4＞0x=解得：x1=3，x2=1；故选D．8．解：根据求根公式知，﹣b是一次项系数，二次项系数是1或﹣1，常数项是﹣c或c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．9．解：方程﹣x2+3x=1整理得：﹣x2+3x﹣1=0，则a，b，c依次为﹣1；3；﹣1．故选：A．10．解：2x2﹣6x+3=0，这里a=2，b=﹣6，c=3，∵△=36﹣24=12，∴x==，即p=；2x2﹣2x﹣1=0，这里a=2，b=﹣2，c=﹣1，∵△=4+8=12，∴x==，即q=，则p+q=+==2．故选：B．11．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0中，a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴x==，∴一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根中较大的根是．故选：B．12．解：原方程变形为：x2+6x﹣16=0，x==∴x1=﹣8，x2=2，故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是b2﹣4ac，求根公式为．14．解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义．15．解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．16．解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9=0，整理得：7x2+44x+1=0，这里a=7，b=44，c=1，∵△=442﹣28=1908，∴x==．故答案为：．17．解：利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为一般式方程，确定a，b，c的值，当△＞0时，把a，b，c的值代入公式，x1，x2=求得方程的解．故答案是：一般式方程；a，b，c；△＞0；．18．解：方程x2﹣12x+31=0，变形得：x2﹣12x=﹣31，配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，开方得：x﹣6=±，解得：x=6+或x=6﹣，当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．故答案为：6+三．解答题（共5小题）19．解：（1）两边同除以3，得x2﹣4x+3=0，移项，得x2﹣4x=﹣3，配方，得x2﹣4x+4=﹣3+4，（x﹣2）2=1，x﹣2=±1，x1=3，x2=1；（2）∵a=3，b=﹣9，c=4，∴△=b2﹣4a c=（﹣9）2﹣4×3×4=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根为x=，x1=，x2=．20．解：∵x2﹣2x﹣15=0．∴a=1，b=﹣2，c=﹣15，∴b2﹣4ac=4+60=64＞0，∴x=，∴x=5或﹣3．21．解：（1）方程整理得：（5x+3）2=4，开方得：5x+3=2或5x+3=﹣2，解得：x1=﹣，x2=﹣1；（2）这里a=2，b=﹣4，c=1，学习K12教育资料学习K12教育资料 ∵△=16﹣8=8，∴x==．22．解：（1）这里a=1，b=3，c=﹣1， ∵△=9+4=13，∴x=．（2）∵△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ， ∴CF=AD=2cm ，AC=DF ，∵△ABC 的周长为16cm ，∴AB+BC+AC=16cm ，∴四边形ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD =AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm ．23．解：（1）∵=|x ﹣1|=1﹣x ， ∴x ﹣1≤0，即x ≤1．故答案为x ≤1．（2）由x ≤1，方程化为：x 2﹣x ﹣2=0， 则（x ﹣2）（x+1）=0，∴x ﹣2=0或x+1=0，∴x 1=2，x 2=﹣1．。
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法作业_1
第十八页，共十九页。
内容 总结 (nèiróng)
No 第二十一章 一元二次方程(fāngchéng)。解：x1＝0，x2＝3。解：x1＝x2＝－2。解：x1＝－5，x2＝1。7．请
选择你认为适当的方法解下列方程(fāngchéng)．。10．若一元二次方程(fāngchéng)式x2－8x－3×11＝0的两根为a， b，。x2－4x－5＝0。解：x1＝0，x2＝4。∴x1＝－a，x2＝－b.。(4)用因式分解法解方程(fāngchéng)x2－kx－16＝0 时，得到的两根均为整数，。2
问题：
(1)方程x2－3x＋2＝0的两个根是( ) C A．x1＝－1，x2＝1 B．x1＝x2＝－1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝x2＝2
第十六页，共十九页。
(2)(2019·通辽)一个菱形的边长是方程(fāngchéng)x2－8x＋15＝0的一个根，
其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )
解：直接开平方法，x1＝1＋ 3 ，x2＝1－ 3 解：公式法，x1＝－12 ，x2＝1
(2)x2＝2x＋4；
(4)3(2x－5)＝2x(2x－5).
解：配方法，x1＝1＋ 5 ，x2＝1－ 5
解：因式分解法，x1＝52，共十九页。
8．方程(fāngchéng)3x(x＋1)＝3x＋3的解为(D ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
第十二页，共十九页。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.3公式法解方程(同步课本图文结合详解)
x-6.8
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0) 2a
否则原方程无解. 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
九年级数学上册第21章一元二次方程
1.（无锡·中考）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数 根，则a满足（ ） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【解析】选A.当a-5=0时，有实数解x= 1 ，此时a=5;当
x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,x 2来自3 210
23 2
3,
即：x1= x2= 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
4
a 5 0 时，应满足 b2 4ac 16 4(a 5) 0 ，解得a≥1，综上所
述a≥1.
九年级数学上册第21章一元二次方程
2.（烟台·中考）方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2， 则 (x1-1)(x2-1)=______. 【解析】由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个实数根 为 x1 1 2 ，x2 1 2 ，所以
2
2
（4）配方、用直接开平方法解方程.
(x+ p )2= p2 -q 24
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法21.2.4一元二次方
两边直接开平方, 得x-2=0, ∴x1=x2=2.
(4)移项, 得(2x-3)2-(3x-2)2=0,
因式分解, 得 [(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]=0,
即 (5x-5)(-x-1)=0,
∴5x-5=0或-x-1=0, ∴x1=1, x2=-1.
锦囊妙计
选择适当的方法解一元二次方程
已知一元二次方程(含有待定字母)的一个根求 另一个根的方法
(1)根据一元二次方程的根与系数的关系列 二元一次方程组
求解；
(2)把已知根代入原方程, 求出待定字母的 值, 再解一元二次
方程或由根与系数的关系求 出它的另一个根.
题型三 利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值
例题 3
设 x1, x2 是方程 2x2- 6x-1=0 的两个根, 不解方程, 求下
第二十一章 一元二次
方程
*
因式分解法
一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
因式分解法
* 一元二次方程的根与系数的
关系
考场对接
考场对接
题型一 选取适当的方法解一元二次方程
例题1 选取适当的方法解方程： (1)9x2-4=0；(2)x2+4x+1=0；
(3)x2-4x+4=0；(4)(2x-3)2=(3x-2)2.
−
=- +2+ =- +2-2=- .
锦囊妙计
常用的代数式变形方法汇总
题型四 根的判别式和根与系数的关系的综合运用
例题4 已知关于x的一元二次方程x2+2(m+ 1)x+m2-1=0．
章丘市九中九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1第1课时直接开平方法
导入新课
复习引入
1.如果 x2=a , 那么x叫做a的平方根. 2.如果 x2=a(a ≥0) , 那么x= a . 3.如果 x2=64 , 那么x=±8 . 4.任何数都可以作为被开方数吗 ？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
一 直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程 问题 : 一桶油漆可刷的面积为1500dm2 , 李林用 这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面 , 你能算出盒子的棱长吗 ？ 解 : 设一个盒子的棱长为x dm , 那 么一个正方体的表面积为6x2dm2 , 可 列出方程 10×6x2=1500 ,
x(x3+3)2=55, , ② 得 x3 5， 或 x3 5.③
于是 , 方程(x+3)2=5的两个根为 x1 3 5,x2 3 5
解题归纳
上面的解法中 , 由方程②得到③ , 实质上 是把一个一元二次方程〞降次” , 转化为两个一 元一次方程 , 这样就把方程②转化为我们会解的 方程了.
典例精析
例2 解以下方程 : 〔1〕(x＋1)2= 2 ; 解析 : 第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体 , 就可以运用直接开平方式求解.
解 : 〔1〕∵x+1是2的平方根 ,
∴x+1= 2 .
即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2 .
〔2〕(x－1)2－4 = 0 ;
解析 : 第2小题先将－4移到方程的右边 , 再同 第1小题一样地解.
第二十一章 一元二次方程
配方式
第1课时 直接开平方式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点〕 2.运用开平方式解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点〕
21.2 解一元二次方程 教学设计与反思
我班共有学生46人。
从整体来说，学生的学习积极性还是比较强的，与上一学年比较学习风气有了明显的好转，学习的兴趣浓了，学习的主动性增强了。但两极分化现象比较严重，尖子生不够突出。学生两极分化十分严重，优等生比例偏小，学习发展生所占比例太大，其中发展生大多数对学习热情不高，不求上进。而其中的优等生大多对学习热情高，但对问题的分析能力、计算能力、、概括能力存在严重的不足，尤其是所涉及的知识拓展和知识的综合能力方面不够好，学生反应能力弱。
教学重难点
重点
解一元二次方程配方法的步骤
难点
解一元二次方程配方法中的“配”
教学策略与设计说明
通过复习旧知识让学生在不知不觉中进入了新知识；自主学习与合作交流：通过自学使学生初步认识配方法的过程，通过交流掌握配方法的每一步要领。在教学中教师注意引领点拨。
教学过程
教学环节（注明每个环节预设的时间）
教师活动
教学设计
基本信息
名称
21.2解一元二次方程
课时
ห้องสมุดไป่ตู้第二节
所属教材目录
人民教育出版社第二十一章一元二次方程
教材分析
本章在已经学习了一元一次方程二元一次方程组以及可化为一元一次方程的分式方程的基础上出现的。因此教学之前应先了解学生过去已学习过有关方程的哪些具体知识，学习中存在的哪些问题等，这样的调查有助于加强本章教学的针对性。还点出了高次方程的解法思想——降次。该章是今后学习二次函数、高中代数等基础，具有承上启下的作用。因此它在整个中学代数中占有重要地位。一元二次方程不论在“解”上还是“列”上都较一元一次方程难的多，因此在教学时注意时时复习，循序渐进。本节学习“配方法”。它是在已学过的“平方根”基础上（复习）引出“特殊”一元二次方程的解法，在此基础上运用“完全平方公式”写成（配方）“特殊”一元二次方程形式（结构），转化为学过的知识进行解一般一元二次方程；把它推广到一般就得到了下节学习的内容——公式法
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
人教版初中数学九年级第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程学案(1)
一元二次方程应用利用一元二次方程可以：一、一元二次方程主要是解决实际问题：主要解决：1、传播、分支问题；握手、写信，循环比赛问题；2、平均变化率问题；3、数字问题；4、利润问题；5、图形的面积问题；5、利润问题；6、方案设计问题等。
二、解分式方程（成平方关系、成倒数关系）三、对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解：一、相互问题（传播、循环）例：（传染问题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？练习：1.有两人患了红眼病，经过两轮传染后共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
列得方程：解得：x=2.某人患了流感,经过两轮传染后共64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人?（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?3.某电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后就会有144台电脑被感染，设每轮传染中平均一台电脑传染x台电脑，则依题意可列方程为______________-4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000问题2：（分蘖问题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？练习：为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定利用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=______．解：类型二：“握手”、“比赛”、“赠礼物”1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法(听课)课
21.2.3 因式分解法
解：(1)原方程可化为(x－5)2＝4， ∴x－5＝±2，∴x1＝7，x2＝3. (2)∵b2－4ac＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，
－2± 40
－1＋ 10
－1－ 10
∴x＝ 2×3 ， ∴x1＝
3
，x2＝
3
.
(3)原方程可化为(x＋ 2)(x＋ 3)＝0，
∴x＋ 2＝0 或 x＋ 3＝0，∴x1＝－ 2，x2＝－ 3.
21.2.3 因式分解法
目标二 能选择合适的方法解一元二次方程
例 2 教材补充例题 选择合适的方法解一元二次方程：
(1)4(x－5)2＝16; (2)3x2＋2x－3＝0； (3)x2＋ 2x＝－ 3(x＋ 2)．
[解析] 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法； (2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．
21.2.3 因式分解法
【归纳总结】一元二次方程的解法选择： 1．选择顺序：直接开平方法——因式分解法——公式法(或配方 法)． 2．若方程为(mx＋n)2＝p(p≥0)型，则用直接开平方法． 3．若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积，则可用 因式分解法． 4．若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则可用配方法． 5．公式法和配方法可解任意的一元二次方程．
21.2.3 因式分解法
解：(1)因式分解，得 x(3x－5)＝0，于是得 x＝0 或 3x－5＝0， 5
所以 x1＝0，x2＝3. (2)因式分解，得(x－3)(x＋4)＝0，于是得 x－3＝0 或 x＋4＝0， 所以 x1＝3，x2＝－4.
21.2.3 因式分解法
(3)因式分解，得(x－5＋4)(x－5－4)＝0， 于是得 x－1＝0 或 x－9＝0，所以 x1＝1，x2＝9. (4)移项，得 16(2x－1)2－25(x－2)2＝0. 因式分解，得[4(2x－1)＋5(x－2)][4(2x－1)－5(x－2)]＝0， 所以 13x－14＝0 或 3x＋6＝0，
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021
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21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。
能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。
九年级数学上册第21章21.2.1配方法第二课时
21.2.2 配方法 第二课时 配方法
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新知 配方法
(1)配方法定义： 把一元二次方程左边化成一个完全平方式，
右边变成一个非负数，用直接开平方方法来求方程 解，这种方法称为配方法.
(2)用配方法解一元二次方程步骤： ①化：把二次项系数化为1(方程两边都除以 二次项系数)；②移项：把常数项移到方程右边；
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举一反三 1. 填空： (1)x2＋6x＋( 9 )＝(x＋ 3 )2； (2)x2－8x＋( 16 )＝(x－ 4 )2； (3)x2－4x＋( 4 )＝(x－ 2 )2； (4)
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2. 用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方
程变形正确是( B) A. (x－1)2＝2
B. (x－1)2＝4
∴x1＝ 5 －2，x2＝－ 5 －2. (2)2x2＋1＝3x.
解：移项，得2x2－3x＝－1，整理，得
，配x方2 ，3得x6
∴x1＝1，x2＝
1 2
.
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③配方：方程两边都加上一次项系数二分之一平方； ④变形：方程左边配方，右边合并同类项； ⑤开方： 依据平方根意义，方程两边开平方；⑥求解：解一元 一次方程；⑦定解：写出原方程解.
注意：(1)配方目标是为了降次，将一个一元二次方 程转化成两个一元一次方程.
(2)配方法关键一步是配方，即方程两边都加上一次 项系数二分之一平方，千万不要忘了在右边也加上一 次项系数二分之一平方.
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例题精讲 【例】解以下方程： (1)x2＋6x＋5＝0；(2)2x2＋6x＋2＝0. 解 (1)移项，得x2＋6x＝－5， 配方，得x2＋6x＋32＝－5＋32， 即(x＋3)2＝4， 由此可得x＋3＝±2， ∴x1＝－1，x2＝－5.
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新人教版九年级上册数学目录
第二十一章一元二次方程
21.1 一元二次方程
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
21.2.2 公式法
21.2.3 因式分解法
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
21.3 实际问题与一元二次方程
第二十二章二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
22.1.2 二次函数??=??????的图象和性质
22.1.3 二次函数??=??(??-??)??+k的图象和性质
22.1.4 二次函数??=??????+bx+c的图象和性质22.2 二次函数与一元二次方程
22.3 实际问题与二次函数
第二十三章旋转
23.1 图形的旋转
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
23.2.2 中心对称图形
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
24.1.3 弧、弦、圆心角
24.1.4 圆周角
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系24.3 正多边形和圆
24.4 弧长和扇形面积
第二十五章概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
25.1.2 概率
25.2 用列举法求概率
25.3 用频率估计概率。
九年级数学上册21一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第一课时用直接开平方解一元二次
1．方程x2－64＝0解是( D)
A．x＝8
B．x＝－8
C．x＝4
D．x1＝8 ，x2＝－8
2．方程3x2＋9＝0根为( D)
A．3
B．－3
C．±3
D．无实数根
3．(滨州)以下方程中，一定有实数解是( B)
A．x2＋1＝0
B．(2x＋1)2＝0
C．(2x＋1)2＋3＝0
D．( －a)2＝a
4．方程(x＋1)2＝9解是( C)
∵一元二次方程(x－3)2＝1两个解恰好分别是等腰△ABC底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能组成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，4＋4＞2，此时能组成三角形， ∴△ABC周长为：2＋4＋4＝10.
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12．当m为何值时，方程
是关于x一元二次方程？
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13．已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求xx－ 2＋2yy2的值． 【解】 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0， 变形得：(x2＋4x＋4)＋(y2－6y＋9)＝0， 即(x＋2)2＋(y－3)2＝0， 所以x＝－2，y＝3.
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21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
1．利用直接开平方法解一元二次方程，其依据是__平__方__根__意义，即：假 如x2＝p(p＞0)，则x1＝____，x2＝_____．
2．形如(ax＋m)2＝n(n＞0)一元二次方程，也可利用直接开平方法求
解，即：先利用平方根意义把原方程转化为两个_____一__元__一__次__方ax程＋m＝
A．x＝1或x＝－1
B．x＝3或Байду номын сангаас＝－3
C．x1＝2或x2＝－4
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.4因式分解法解方程(同步课本图文结合详解)
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
九年级数学上册第21章一元二次方程
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0 ∴x1= -5,x2=5.
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程; (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”， 鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
九年级数学上册第21章一元二次方程
跟踪训练
1.你能用分解因式法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
(2)(x+1)2-25=0.
【解析】(x+2)(x-2)=0, 【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0或x-2=0.
∴x+6=0或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
4. (4x 2)2 x(2x 1)
5. 3x(x 2) 5(x 2)
3.x1 3; x2 2.
4.x11 2;x2
4. 7
5
5.x1
2; x2
. 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
3.观察下列各式,也许你能发现些什么?
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
那么a 0或b 0
九年级数学上册 21.2解一元二次方程21.2.2公式法2_1-5
=
3 − 15 3
.
（2）4x2 − 6x = 0 解： a = 4 , b = − 6 , c = 0 .
b2 − 4ac = (−6)2 − 4 4 0 = 36.
− (−6)
x=
3ห้องสมุดไป่ตู้ = 6 6 ,
24
8
3
x1
=
0, x2
=
. 2
他病好下床后，没用真正的牛来酬谢众神，而用面团做成了一百头牛，放在祭坛上烧了，并念念有词地祷告说：“诸位神明，请接受我所许下的承诺吧。它梦见，身子长了整整半尺，自己在吞食梭鱼。 几个月过去了，一只猎鹰已能傲然飞翔，另一只却一直待在枝头纹丝不动。
2、求出b2-4ac的值， 注意：当 b2 − 4ac 0 时，方程无解。 −b b2 − 4ac
3、代入求根公式: x = 2a
4、写出方程的解： x1、x2
四、课堂练习
1.用公式法解下列方程： (1)3x2-6x-2=0 (2)4x2-6x=0 (3) x2+4x+8=4x=11 (4) x(2x-4) =5-8x
玛特迪夫
“真是的，到现在还没来收。 镜子又问：“你不再考虑一下了吗?”狗蛋再次摇了摇头。，猴子在它的果园里种了桃树，兔子在房前菜地里种上蔬菜，山猫则在屋后不远处挖了个鱼塘养鱼
例2 用公式法解下列方程:
(4) x2 +17 = 8x
−b b2 − 4ac x=
2a
解：方程可化为: x2 − 8x +17 = 0
a =1,b = −8,c =17
= b2 − 4ac = (−8)2 − 4117 = −40
∴方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2公式法1
解方程
3x2 1 x10 22
2x222x10
x2x60
x2 3x 1 0 4
3x26x20
4x2 6x0 x24x84x11
x(2x4)58x
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小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2a
4 256 4 16 .
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56
x ;x 1
2
5 12/10/2021
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
跟踪练习 用公式法解下列方程： 1.2x2 +5x-3=0 2.(x-2)(3x-5)=0
3.4x2-3x+1=0
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例题1
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6.
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49.
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
2、求出b2-4ac的值。
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
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X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！