第四章-传热学数值计算方法
《传热学》第四章 导热数值解法基础
高斯－赛德尔迭代法 ——将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值
高斯－赛德尔迭代法的优点 ——由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值， 使运算过程接近真实值的时间缩短
第三节 非稳态导热的数值计算
研究对象——一维非稳态导热问题 一、显式差分格式
一维非稳态导热内节点差分方程：
第二节 稳态导热的数值计算
一、内节点离散方程的建立
常物性、无内热源的二维稳态导热中，均分网格的表达式：
对于每个内节点，差分方程均可写出，但尚需补充边界节点 的差分方程，才能得到描述整个导热问题的完整方程组。
由于泰勒级数展开法对复杂情况的处理存在困难， 边界节点差分方程一般用热平衡法来建立。
二、边界节点离散方程的建立
《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
——以右边界为例 1.第一类边界条件：
边界
2.第二类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
传热学计算公式
Nu = 2+0.6(Re^1/2)(Pr^1/3) 。F=Q/kK*△tm F 是换热器的有效换热面积。Q 是总的换热量。k 是污垢系数一般取0.8-0.9K。是传热系数。△tm 是对数平均温差。
传热学三种传热方式可以分开学。传热学相较于理论力学，工程热力学，流体力学而言还是比较简单的，一般大学生掌握了高等数学完全可以自学的。
学习传热学必须有耐心，了解几种换热方式和常见的几个常数公式（努谢尔特数、格拉晓夫数、伯努利常数，傅里叶常数，而且常常推导下几个常用常数公式间的关系，你会惊奇地发现他们其实不少是远亲的），其实解决传热学问题绝大多数都是在和导热系数较劲，有时候是直接涉及。
扩展资料：
在热对流方面，英国科学家牛顿于1701年在估算烧红铁棒的温度时，提出了被后人称为牛顿冷却定律的数学表达式，不过它并没有揭示出对流换热的机理。传热学作为学科形成于19世纪。
1804年，法国物理学家毕奥在热传导方面得出的平壁导热实验结果是导热定律的最早表述。稍后，法国的傅里叶运用数理方法，更准确地把它表述为后来称为傅里叶定律的微分形式。
1860年，基尔霍夫通过人造空腔模拟绝对黑体，论证了在相同温度下以黑体的辐射率(黑度)为最大，并指出物体的辐射率与同温度下该物体的吸收率相等，被后人称为基尔霍夫定律。
传热学计算公式范文
传热学计算公式范文
传热学是物理学的一个分支，研究能量在物体之间的传递过程。在传
热学中，有许多重要的计算公式可以用于解决热传导、对流和辐射等传热
现象。下面将介绍一些常见的传热学计算公式。
热传导是物质内部由高温区向低温区传递热量的过程。热传导热量的
大小与物体的温度差、物体的热导率以及物体的尺寸等因素有关。下面是
一些常用的热传导计算公式：
1.热流密度公式:
热流密度（q）是单位时间内通过单位面积的热量传递量，可以由下
式计算：
q = -k * (dT/dx)
其中，k是物体的热导率，dT/dx是温度梯度。
2.热传导率（k）：
物体的热传导率是描述物质导热能力的物理量，可以用以下公式计算：k=Q*L/(A*ΔT)
其中，Q是通过物体的热量，L是物体的长度，A是传热的横截面积，ΔT是温度差。
3.热阻（R）：
热阻是描述物质阻碍热传导的程度的物理量，可以用以下公式计算：R=L/(k*A)
其中，L是物体的长度，k是物体的热导率，A是传热的横截面积。
对流是物体表面与流体之间的热传递方式，流体通过对流来接触物体表面并将热量带走。对于对流传热的计算，常用的公式有：
1.流体的对流换热公式:
流体通过对流来接触物体表面并带走热量，可以由下式计算：
q = h * A * (T - Tfluid)
其中，h是对流换热系数，A是物体表面积，T是物体表面的温度，Tfluid是流体的温度。
2.对流换热系数（h）：
对流换热系数描述了流体的传热能力，它可以由以下公式计算：
h=(Nu*k__)/L
其中，Nu是Nusselt数，k__是流体的导热系数，L是流体经过的长度。
计算重点公式传热学
计算重点公式传热学
传热学是研究热能在物质之间传递的学科，涵盖了热传导、热对流和热辐射三种传热方式。在工程和科学领域中，计算传热是非常重要的，可以用来优化和设计各种热能设备和系统。下面将介绍一些重要的传热计算公式。
1.热传导计算公式
热传导是通过分子间的相互作用传递热能的方式。对于常见的一维热传导问题，可以使用傅里叶热传导定律进行计算：
q = -kA(dT/dx)
其中，q是单位时间内通过物体的热量流率，k是物质的热导率，A 是传热截面积，dT/dx是温度梯度。
如果传热是在不同的材料之间进行，还需要考虑热传导的界面热阻。界面热阻的计算公式为：
R=1/(hA)
其中，R是界面热阻，h是对流传热系数。
2.热对流计算公式
热对流是通过流体的对流传递热能的方式。对于流体中的对流传热，可以使用牛顿冷却定律进行计算：
q=hAΔT
其中，q是单位时间内通过物体的热量流率，h是对流传热系数，A 是传热表面积，ΔT是流体和物体之间的温度差。
对流传热系数h可以通过实验测量或者经验公式进行估算，常用的计
算公式有Nusselt数和普朗特数。
3.热辐射计算公式
热辐射是通过物体表面的电磁辐射传递热能的方式。对于黑体辐射，
可以使用斯特藩—玻尔兹曼定律进行计算：
q=σAε(T^4)
其中，q是单位时间内通过物体的热量流率，σ是斯特藩—玻尔兹曼
常数，A是物体的表面积，ε是物体的辐射率，T是物体的温度。
对于非黑体的辐射传热，还需要考虑辐射率和视觉系数等因素。
4.综合传热计算
在实际问题中，常常会有多种传热方式同时存在。此时，需要将不同
第4-6次课：传热学基础知识和重要参数计算
周围空间发出热辐射；b 可以在真空中传播；c 伴随能量形 式的转变；d 具有强烈的方向性；e 辐射能与温度和波长均
有关；f 发射辐射取决于温度的4次方。
(4) 辐射换热：物体间靠热辐射进行的热量传递，它与单纯的 热辐射不同，就像对流和对流换热一样。 (5) 辐射换热的特点 a 不需要冷热物体的直接接触；即：不需要介质的存在，在 真空中就可以传递能量
铁块, M1 300oC
屋都是双层玻璃，以利于保温。如何解释其道
理？越厚越好？
建筑传热学主要研究热量传递的具体方式及其影响因素。 ⑴传热的三种基本方式及各自的规律； 图1 传热学与热力学的区别 ⑵建筑工程中实际传热过程的规律； ⑶提出控制传热（强化传热和削弱传热）的基本方法。 水，M2 20oC
自然界与生产过程到处存在温差 传热非常普遍 建筑节能本质上就是改变热量的传递结果，必须充 分利用传热学的规律
1
镜反射
漫反射
自然界中不存在理论上所定义的白体、黑体或透明体，自然界中不透明物体 多数介于黑体与白体之间，近似称为灰体（grey body）。工程上多数建筑 材料均近似为灰体，以便计算。
黑体
能吸收投入到其表面上的所有热辐射的物体，包括所 有方向和所有波长，因此，相同温度下，黑体的吸收
能力最强。同时，黑体也能发射一切波长的辐射。
由于外力作用（如风吹、泵压 ）迫使流体产生流动，受迫对 流速度取决于外力的大小，外 力愈大，对流愈强。 在夏季闷热气候中，通过受迫 对流加强室内与室外热量交换 ，可以带来更大的热舒适性。
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
= ti, j
+
∂t ∂x
i,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
+
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i
,
j
=
ti+1, j − ti, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式 （向前差分）
舍去高阶项
ti−1, j
3
4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程都是线性代 数方程。 n个未知节点温度，n个代数方程式：
a11t1 + a12t2 + L + a1 jt j + L + a1ntn = b1
a21t1 + a22t2 + L + a2 jt j + L + t2ntn = b2
传热学
第4章 导热问题的数值解法
Numerical method for heat conduction
概述
v 解析解：求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数
形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。但 是，工程技术中遇到的许多导热问题具有复杂的形状或边界 条件，无法得出其分析解
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
第四版：3-2，3-31，3-48
2020/3/30
1
第四章 导热问题的数值解法
Numerical Method for Heat Conduction
主要内容（重点掌握）：
➢导热问题数值求解的基本思想 ➢内外节点离散方程的建立 ➢非稳态导热问题的数值解法
2020/3/30
3
§4-0 引言
36
n=N
w (m-1,n)
(m,n+1)
n e (m+1,n)
s (m,n)
(m,n-1)
y
n=1
m=1来自百度文库
m
x
m=M
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37
20
2.节点方程组的求解
思路：写出所有内节点和边界节点的离散方程； 使得——未知节点个数=代数方程式个数
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
➢ 直接求解：矩阵求逆，高斯消元法等经过有限次运算获得代数方程的精确解。 ➢ 迭代法：给出初场，在迭代中不断改进，直至满足收敛条件为止。
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y
n=1
m=1
m
x
m=M
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1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
传热学公式总结
传热学公式总结
在物理学中，传热学是一个重要的分支领域，研究物质之间热量的传递方式和规律。在实际应用中，我们常常需要利用传热学公式来计算热传导、对流和辐射等过程中的热量变化。本文将对传热学中常用的公式进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
1. 热传导方程
热传导是物质内部由于温度差异而引起的热量传递过程。热传导的速率可以根据傅里叶定律描述：
q = -kA(dT/dx)
其中，q表示单位时间内通过横截面A传导的热量，k为材料的热导率，dT/dx表示单位长度内温度的变化率。这个公式说明了热量传导与温度梯度之间的关系，温度梯度越大，热传导速率就越大。
2. 热对流公式
热对流是通过流体介质的热传递方式，常见于气体和液体中。热对流可以根据牛顿冷却定律进行计算：
q = hA(Ts - T∞)
其中，q表示通过表面积A从物体表面传递的热量，h为热对流系数，Ts为表面温度，T∞为流体的远场/环境温度。牛顿冷却定律的基本思想是热量传递与温度差和表面积之间成正比，而且逆向传热过程中的温度差往往比较小。
3. 辐射传热公式
辐射传热是通过电磁波辐射的方式进行的，不需要物质介质。具体的辐射传热公式可以根据斯特藩-玻尔兹曼定律给出：
q = εσA(T⁴s - T⁴∞)
其中，q为单位时间内通过表面积A传递的辐射热量，ε为发射率（表征表面辐射能力的一种无量纲值），σ为斯特藩-玻尔兹曼常数，Ts为表面温度，T∞为远场/环境温度。斯特藩-玻尔兹曼定律说明了辐射热量与表面温度的四次方成正比，这意味着一个小的温度提高可以显著增加辐射传热率。
第四版传热学第四章习题解答
第四章
复习题
1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。
2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。
3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，
为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。
4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数
用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。
5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之．
6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？
7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？
8．有人对一阶导数
()()()
2
21,253x t t t x t i n i n i n i
n ∆-+-≈
∂∂++
你能否判断这一表达式是否正确，为什么？ 一般性数值计算
4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。试用数值方法对Bi=0.1,1,10的三种情况计算下列特征方程的根:)6,2,1( =n n μ
3,2,1,tan ==
n Bi
n
n μμ
并用计算机查明，当2
.02≥=δτ
a Fo 时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计
算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。
Bi n n =μμtan
Fo=0.2及0.24时计算结果的对比列于下表：
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
第三节 非稳态导热问题的数值计算
三、边界节点方程式的建立
2.隐式差分格式 对前图，若以点t1k+1进行热平衡分析，经整理后可得： （1+2BiFo+2Fo）t1k+1=2Fo（t2k+1+Bitfk+1）+t1k
四、显式与隐式差分格式的区别：
1.显式差分格式有稳定性条件，即： △x、△ 的选取要受 Fo≤1/（2Bi+2）（一维）或Fo≤1/（2Bi+4）（二维）条件 的制约，而隐式格式则无此约束，△x、△可任意选取； 2.显式只要知道了k△ 时刻的温度分布，则（k+1）△时刻 的温度分布可直接简单地解得，而隐式则需解出（k+1）△ 时刻的节点方程组，才能得此时的温度分布。
Fo t i 1 t i 1 t i
k 1
k
上式与显式不同的是：不能据k△时刻的温度分布直接 得到（k+1）△时刻的温度分布，仅得到此时刻各节点间的 方程式，要得到温度分布，还需解节点方程，故此种格式是 无条件稳定的，即△ 、△x可据情况任意选取。
第三节 非稳态导热问题的数值计算
t
2
x
2
i, j
t i 1 , j t i 1 , j 2 t i , j x
传热基本方程式及其相关参数的计算方法
t q n
热导率，W/m•℃
（4-3）
传热速率不仅与温度梯度成正比，还与传热面积成正比，即
t Q A n
课程名称：化工原理 Http://www.swust.net.cn
4.2.2 热导率
t q n
q t n
物理意义：温度梯度为1时，单位时间内通过单位面积的传热 量，在数值上等于单位温度梯度下的热通量，λ 越大，导热性 能越好。 （1）固体的热导率 纯金属：t↑, λ↓ ; 非金属： ρ↑或 t↑, λ↑。 λ=λ0（1+αt） 式中λ、 λ0——固体分别在温度t、273K时的热导率，W/(m• K); α——温度系数，对大多金属材料为负值，大多非金属 材料为正值，1/K。
课程名称：化工原理
Http://www.swust.net.cn
4. 2 热传导（导热Conduction）
4.2.1 傅立叶定律（Flourier’s law）
（1）温度场（Temperature field） 物体（或空间）各点温度在时空中的分布称为温度场。 t = f （ x， y ， z ， θ ） （5-2） 温度相同的点所组成的面称为等温面。温度不同的等温 面不可能相交，为什么？ n t t （2）温度梯度 两等温面的温度差 Δt与其间的垂直距离Δn之比在Δn趋 于零时的极限，即
图5-9 多层圆筒壁的热传导
传热学 第4章-导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
1、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；
② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2、掌握内容：数值解法的实质。
3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：
（1） 有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法
数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 分析解法与数值解法的异同点：
1、 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z)；② ),,,(τz y x g Q =。
2、 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立
一、 解法的基本概念
1、 实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
传热学Db公式
传热学db公式
db单位怎么转换？
1.dB基本上是一个比例数值，也就是一种倍数的表示单位。也就是测试数据与参考标准的相对差异表示。
2.计算公式上： dB = 10log （P1/P2）= 20 log （V1 / V2）（P代表功率，V代表电压）1.1 dB = 1.1 倍，2 dB = 1.25倍，3 dB = 1.4倍，6 dB = 2 倍，10 dB = 3 倍，20 dB = 10 倍，30 dB = 30 倍。其它就可以用上述数值换算，并不困难。(反过来– 6 dB 就是 1/2 = 0.5)
2.在换算时要把握一个原则，dB数值的相加等于倍数的相乘。
例如：40 dB = 20dB + 20 dB = 10 * 10 = 100 倍
db转换公式？
1.dB基本上是一个比例数值，也就是一种倍数的表示单位。也就是测试数据与参考标准的相对差异表示。
2.计算公式上： dB = 10log （P1/P2）= 20 log （V1 / V2）（P代表功率，V代表电压）
db化简公式？
以功率为例：
信号功率为X = 100000W = 10^5W
基准功率为Y=1W
dB的值：Lx(dB) = 10*lg(10^5W/1W) dB= 10*lg(10^5) dB= 50 dB
同理：
X = 10^-15
Lx(dB) = 10*lg(X) dB= 10*lg(10^-15) dB= -150 dB
一般来讲，在工程中，dB和dB之间只有加减，没有乘除。用得最多的是减法。
dBm 减 dBm 实际上是两个功率相除，信号功率和噪声功率相除就是信噪比（SNR）。比如：30dBm - 0dBm = 1000mW/1mW = 1000 = 30dB。
第四章 热传导问题的数值解法
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4 1 tm ,n (2tm1,n 2tm ,n1 tm ,n1 tm1,n 6 x y 3x 2 2x 2 qw ) 2
从所有方向流入控制体的总热量＋ 控制体内热源生成热
＝ 控制体内能的增量
稳态、无内热源时：
从所有方向流入控制体的总热量＝0
§4-2 内节点离散方程的建立方法
内节点离散方程的推导（热平衡法）
传热学 Heat Transfer
(m,n+1)
y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
y
(m,n-1)
内节点 基本方法：
Taylor（泰勒）级数展开法 控制容积平衡法(热平衡法) 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
传热学 Heat Transfer
Step-4: 设置温度场的迭代初值 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限 差分法中主要采用迭代法，对被求温度场预先设定一个解，这个解 称为初场，并在求解过程中不断改进。
max
传热学-第4章-导热数值解法基础
Δy
i+1,j
Δx
ΦTP = λ
ti , j +1 − ti , j Δy
时
Δx ×1
Δx ti +1, j − ti , j Φ RP = λ Δy × 1 Δx ti , j −1 − ti , j Φ BP = λ Δx ×1 Δy
Φ LP = λ
ti −1, j − ti , j
Δy × 1
节能减排，创建和谐社会 第四章 导热数值解法基础
环境与能源工程学院 ( SEEE )
二阶导数的中心差分表达式 [1]-[2]相加
在表示温度对时间的一阶导数时只采用向前或向后差分 表达式——温度对时间的中心差分表达式求解非稳态导 表达式 中心差分 热问题将导致数值解的不稳定，参考：《工程传热学》 导致数值解的不稳定 以常物性、无内热源、二维稳态导热为例 P(I,j)
环境与能源工程学院 ( SEEE )
第四章 导热数值解法基础
4-2 稳态导热问题的数值计算
4.2.1 内节点温度差分方程 可以用Taylor级数展开法或热平衡法 级数展开法 当
Δx = Δ y
λ = Const
时
ti +1, j + ti −1, j + ti , j +1 + ti , j −1 − 4ti , j = 0
传热学公式+例题总结!老衲亲手整理!考试中会出现的公式都在里面!
——热传导
)(21t t A Q -=
δ
λ
212111)(h h t t A f f +
+-=
Φλδ
导热微分方程：
c z
t y t x t a t ρτ·
222222)(Φ+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂
)/(c a ρλ=
肋效率： ＝实际散热量/假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量（ ＝
）
等截面直肋（肋端绝热）
温度分布： θ=θ0ch(m(x-H))/ch(mH),
肋端：
热量：
肋效率：
()()()()
()r o f f f o f r f f o f r f f o o f
r f
A h t t A h t t A A h t t A A A h t t A A ηηηΦ=-+-+=-+=-+()o o o o f h A t t η=-o
η为肋面总效率
（1）、集总参数法（Biv ＜0.1M,M=1（平板）,1/2（圆柱）,1/3（圆球）)
τρθθVc
hA e t t t t -∞
∞
=--=00
2
22
()()hA hV A
cV A V c
h V A a Bi Fo
V A λττρλρτλ=⋅=⋅=⋅
1、 平壁稳态导热 第一类边界条件：
单层：
x t t t t w w w δ
1
21--
=；
221/)(m W t t q w w -=
δλ
多层
∑∑=+=+-=
-=
n
i i
n n
i i
i
n R t t t t q 1
,1
111
1λ
λδ
第三类边界条件：传热问题
2
112
111h h t t q n i i f f ++-=
∑=λδ单位W/m2
2、 圆筒壁稳态导热 第一类边界条件
单层：
1
2
1
1
21r r n r r n
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本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解 法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的 介绍将在第五章完成。
div ur div(grad) S
t
2020-5-3
太原理工大学
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Thermal
二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因
① 热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复 杂性最小，计算方法也比较成熟；
第四章 热传导
主要包含以下内容： • §4.1本章的对象 • §4.2 一维稳态热传导 • §4.3 不稳态一维热传导 • §4.4 二维与三维问题 • §4.5超松弛与欠松弛 • §4.6某些几何上的考虑
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太原理工大学
Thermal
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§4.1 本章的对象
Thermal
一、本章研究对象
e x
P (x)e- (x)e+ E
ke kE kP kE
xe xe
ke fe kP kE kE fekP 1 fe kE
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ke kE kP kE
xe xe
Thermal
ke fe kP kE kE fekP 1 fe kE
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④. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。
本章内容将是流动与换热数值解的基础
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§4.2 一维稳态热传导
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§4.2-1 基本方程
①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
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③.两种方法的比较
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算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料 导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：
➢ kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面， 节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应
该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均
达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应 采取的分布方式与所求问题的特性有关。
4. 采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解 的情况提供了一个方便的途径。 也可来指导实验。
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§4.2-3 界面导热系数
1. 问题的提出
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通用离散方程式 aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aE、aW分别是节点E 与 P 和节点W 与P 间的热导，热导的大小
反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交
界面导热系数ke与kw。当k 是x 的函数时，只知道kP 、kE、 kW，
无法知道ke与kw的值，而ke 与 kw是决定交界面热流量的关键量。
ke
kP
xe xe
kE
xe xe
fekP
1
fe kE
显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之 间的中点时，fe=0.5, 此时
ke
1 2
kP
kE
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②.调和平均法
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利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平 均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：
② 工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类 似于热传导方程。如二维位势流动；常物性流体在 直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的 润滑流动；某些通过多孔介质的流动。
③ 导热问题数值解过程中所采用的一些方法与技巧对 于对流问题的数值解也适用。如边界条件的处理、 源项的线性化及代数方程组的求解方法等。
xe xw
可以有效地扩大计算功能。
(x)w
WwP
x
(x)e
e
E x
在温度T 随x 变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区 域采用较疏（粗）的网格。
2. 怎样设计一个合适的非均匀网格
因为在问题求解之前，T～ x 的分布是不知道的，那么如何设
计网格呢？？
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qe
TE
xe
Te kE
Te TP
xe kP
xe
TE TP
kP xe
kE
另一方面，按界面上当量导热系数的含
义，应有： 比较两式可得：
qe
TE
xe
TP ke
(x)e
e
P (x)e- (x)e+ E x
xe xe xe 可看成是串联过程热阻叠加原则的反映
ke
kP
kE
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一维稳态导热问题的控制方程：
其中：S SC SPTP
d dx
k
dT dx
S
0
相应的离散化方程： aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aP aE aW SPx b SCx
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分布假设： dT 由T 对 x 的分段线性的变化算得；
因此，计算 ke 与 kw的方法是否合理就显得非常重要了。
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k 值不均匀性产生的原因
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由材料的不均匀性引起（如组合材料板）；
材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k 的不均匀。
2. 求解方法
(x)e
①.算术平均法
如图所示，P、E之间，k与x 呈线性 关系，则由P、E两点上的kP 、kE 确 定ke 的关系式为：
法计算, ke kP xe xe , 这时ke 与kE无关，仅与kP 有关，
不符合物理规律。
(x)e
x x
ke
kP
e
xe
kE
e
xe
e
P (x)e- (x)e+ E x
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dx
源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯 性分布进行计算的。
当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也 是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。
以下各节将对离散方程中的各项给予说明
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§4.2-2 网格间距
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1. 采用不均匀的网格间距