第四章-传热学数值计算方法
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《传热学》第4章-导热问题的数值解法
v数 值 解 法 ： 有 限 差 分 法 （ finite-difference ） 、 有 限元法（finite-element） 、边界元法（boundaryelement） 、分子动力学模拟（MD）
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−
∂t ∂x
i
,
j
∆x
+
∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−
∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...
∂t ∂x
i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知
《传热学》第四章 导热数值解法基础
——以右边界为例 1.第一类边界条件：
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
谢谢观看
《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
谢谢观看
《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程
第四章导热问题数值解法基础_传热学
y o
∆x
(i, j) P (i,j-1) S ∆x
(i+1,j) E
x
QV为单位时间控制体内热源 的发热量； 的发热量；ΔΕ为控制体单
位时间内热能的增加量。 位时间内热能的增加量。
由导热傅立叶定律
QW = QE = QS = QN =
N (i,j+1) (i-1,j) W P (i,j-1) S ∆x ∆x (i, j)
∆x
S
建立离散方程的方法一 建立离散方程的方法一： 泰勒级数展开 方法一： 泰勒级数： 泰勒级数：
ti +1, j ( ∆x ) 2 ( ∆x ) 3 ∂t ∂ 2t ∂ 3t = t i , j + ( ) i , j ∆x + ( 2 ) i , j + ( 3 )i , j + ••• 2! 3! ∂x ∂x ∂x
近代发展（1985年-至今） 近代发展（1985年 至今） Singhal 在“Numerical Heat Transfer “撰文 指出了促使数值传热学应用于实际应解决的问 题 前后处理软件的快速发展 巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接 数值模拟（DNS)和大涡模拟 LES)的发展 和大涡模拟（ 数值模拟（DNS)和大涡模拟（LES)的发展 大型商业软件投放市场 1993年 PHOENICS对中国的禁运被解除 对中国的禁运被解除， 1993年， PHOENICS对中国的禁运被解除，中国 科技大学火灾实验室首先买进了使用权
走向工业应用阶段（1975-1984年 走向工业应用阶段（1975-1984年） 1979年 国际杂志Numerical 1979年，国际杂志Numerical Heat Transfer 创刊，分为Application 创刊，分为Application 和 Fundamentals 1979年 1979年，大型通用软件 PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic Series)问世 Numerical Integration Code Series)问世 1979年 Lconard创建了优于中心差分格式的 1979年，Lconard创建了优于中心差分格式的 QUICK格式 格式( QUICK格式(精度高和稳定性好 ） 1980年 Patanker教授的名著 教授的名著“ 1980年，Patanker教授的名著“Numerical Flow” Heat Transfer and Fluid Flow”出版 随后，许多商用软件如FLUENT,Star FLUENT,Star随后，许多商用软件如FLUENT,Star-CD, CFX 问世
∆x
(i, j) P (i,j-1) S ∆x
(i+1,j) E
x
QV为单位时间控制体内热源 的发热量； 的发热量；ΔΕ为控制体单
位时间内热能的增加量。 位时间内热能的增加量。
由导热傅立叶定律
QW = QE = QS = QN =
N (i,j+1) (i-1,j) W P (i,j-1) S ∆x ∆x (i, j)
∆x
S
建立离散方程的方法一 建立离散方程的方法一： 泰勒级数展开 方法一： 泰勒级数： 泰勒级数：
ti +1, j ( ∆x ) 2 ( ∆x ) 3 ∂t ∂ 2t ∂ 3t = t i , j + ( ) i , j ∆x + ( 2 ) i , j + ( 3 )i , j + ••• 2! 3! ∂x ∂x ∂x
近代发展（1985年-至今） 近代发展（1985年 至今） Singhal 在“Numerical Heat Transfer “撰文 指出了促使数值传热学应用于实际应解决的问 题 前后处理软件的快速发展 巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接 数值模拟（DNS)和大涡模拟 LES)的发展 和大涡模拟（ 数值模拟（DNS)和大涡模拟（LES)的发展 大型商业软件投放市场 1993年 PHOENICS对中国的禁运被解除 对中国的禁运被解除， 1993年， PHOENICS对中国的禁运被解除，中国 科技大学火灾实验室首先买进了使用权
走向工业应用阶段（1975-1984年 走向工业应用阶段（1975-1984年） 1979年 国际杂志Numerical 1979年，国际杂志Numerical Heat Transfer 创刊，分为Application 创刊，分为Application 和 Fundamentals 1979年 1979年，大型通用软件 PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic Series)问世 Numerical Integration Code Series)问世 1979年 Lconard创建了优于中心差分格式的 1979年，Lconard创建了优于中心差分格式的 QUICK格式 格式( QUICK格式(精度高和稳定性好 ） 1980年 Patanker教授的名著 教授的名著“ 1980年，Patanker教授的名著“Numerical Flow” Heat Transfer and Fluid Flow”出版 随后，许多商用软件如FLUENT,Star FLUENT,Star随后，许多商用软件如FLUENT,Star-CD, CFX 问世
传热学的数值解法
导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。
只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。
求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。
数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。
由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。
1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。
1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。
传热学第4章 导热问题的数值解法
各种飞行器和汽车空气动力学船舶水动力学环境工程中污染物的排放和流出水力和海洋学各种机车中的发动机和燃气轮机涡轮机械泵和风机中旋转通道内部的流动扩散等燃烧空气动力学火灾和爆炸电气和电子工程设备的冷却化学工艺过程中的混合分离和聚合建筑物内部和外部环境海上建筑物的负荷气象学中的天气预报20151011导热问题的数值解法40引言3cfdnht的区别与联系计算传热学或数值传热学numericalheattransfernht与计算流体动力学computationalfluiddynamicscfd的主要研究内容是一致的不少文献把热流问题的数值计算一概称为cfd就它们的发展史来说计算传热的发展史在很大程度上也就是计算流体动力学的发展史
2014-10-1
-9-
第4章 导热问题的数值解法——§4-0 引言
●第二阶段，开始走向工业应用阶段(1975－1984)
（5）1981年英国的CHAM公司把PHOENICS软件正式投入市场，开创了 CFD&NHT商用软件市场的先河。 （6）1982年Rhie与Chou提出了同位网格方法。 随着计算机工业的进一步发展，CFD/NHT的计算逐步由二维向三维，由规则 区域向不规则区域，由正交坐标系向非正交坐标系发展。于是，为克服棋盘 形压力场而引入的交错网格的一些弱点，1982年Rhie与Chou提出了同位网格 方法[50]。这种方法吸取了交错网格成功的经验而又把所有的求解变量布臵在 同一套网格上，目前在非正交曲线坐标系的计算中得到广泛的应用。 （7） SIMPLER与SIMPLEC算法 关于处理不可压缩流场计算中流速与压力的耦合关系的算法，在这一段时期 内也有进一步的发展，先后提出了SIMPLER，SIMPLEC算法。
理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法。 3、三种方法的特点 (1) 分析法 a. 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b. 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c. 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性； 与实验法相比成本低。 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵
2014-10-1
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第4章 导热问题的数值解法——§4-0 引言
●第二阶段，开始走向工业应用阶段(1975－1984)
（5）1981年英国的CHAM公司把PHOENICS软件正式投入市场，开创了 CFD&NHT商用软件市场的先河。 （6）1982年Rhie与Chou提出了同位网格方法。 随着计算机工业的进一步发展，CFD/NHT的计算逐步由二维向三维，由规则 区域向不规则区域，由正交坐标系向非正交坐标系发展。于是，为克服棋盘 形压力场而引入的交错网格的一些弱点，1982年Rhie与Chou提出了同位网格 方法[50]。这种方法吸取了交错网格成功的经验而又把所有的求解变量布臵在 同一套网格上，目前在非正交曲线坐标系的计算中得到广泛的应用。 （7） SIMPLER与SIMPLEC算法 关于处理不可压缩流场计算中流速与压力的耦合关系的算法，在这一段时期 内也有进一步的发展，先后提出了SIMPLER，SIMPLEC算法。
理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法。 3、三种方法的特点 (1) 分析法 a. 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b. 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c. 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性； 与实验法相比成本低。 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵
传热学4-导热数值解法基础2013
第四章 导热数值解法基础
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
第四章-传热学数值计算方法资料
Thermal
如果源项是常数，则在离散方程的建立过程中不会带 来任何困难；当源项是所求变量的函数时，源项的数 值处理十分重要，有时甚至是数值求解的关键所在。
应用较为广泛的一种处理方法是把源项局部线性化
S SC SPTP
SC常数， SP 是S 随T 而变化的曲线在P点的斜率。 表示在TP的附近以直线代替曲线。
①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
2020-11-2
太原理工大学
16 /72
§4.2-4 非 线 性
Thermal
若离散化方程是一个线性的代数方程，式中的各项系数均为已
知数，联立求解代数方程组可得到温度场。
但实际问题中，Kp 、KE和Ke或线性化源项的系数SC、SP是温度 T的函数，这样离散化方程的系数aE、aW、aP本身也成为温度的 函数，方程非线性采用拟线性化的方法求解（迭代）。
21 /72
源项线性化方法举例：
Thermal
eg1. 已知：S=5-4T, 可能的线性化形式有：
(1) SC 5, SP 4
(2) SC 5 4TP, SP 0 相当于设S 为常数，当S 的表达式很复杂时，
这样做或许是唯一的一种选择。
(3) SC 5 7TP, SP 11
这给出了比实际S-T关系更陡的曲线，其结果使迭代
S
2020-11-2
1
已知曲线
传热学—第4章 热传导问题的数值解法
(k ) t max
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
传热学(4)-数值解法
（1）有限差分法
（2）有限元方法
（3）边界元方法
（1）有限差分法
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替， 这些离散点 称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散 变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和 来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分 方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值 方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
第四章 导热问题数值解基础
1 、重点内容：
① 掌握导热问题数值解法的基本思路；
② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立
节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两 种差分格式及其稳定性。
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在 定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着 计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求 解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主 要有以下几种：
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的
温度tm-1,n
tm 1,n t x 2 2t tm ,n x x m ,n 2 x 2 x3 3t 3 6 x m,n x 4 4t 4 24 x m,n
将上两式相加可得
tm 1,n tm 1,n
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其 过程如下： • 首先划分各节点的类型； • 其次，建立节点离散方程； • 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时， 有：
tm , n 1 (tm 1,n tm 1,n tm ,n 1 tm ,n 1) 4
传热学第四章导热问题的数值解法
三.灰体表面间的辐射换热
由于灰体表面存在着多次的反射和吸收，计算起来比 黑体复杂得多，为了计算方便我们引进了两个概念： 1.投入辐射G和有效辐射J G—单位时间内投射到表面单位面积上的总辐射能。 J—单位时间内离开该表面单位面积的总辐射能。
G(投入辐射) (1-α)G(反射辐射) αG (吸收辐射) J(有效辐射) E= ε Eb (本身辐射)
定义：表面1发出的辐射能直接落到表面2上的百分数， 称表面1对表面2的角系数，记为X1,2，同理有X2,1。 角系数是一个无量纲能量百分比。引入角系数是为了说 明两个表面之间的辐射换热量与它们之间的相对位置有 很大关系。 角系数为几何因子，其值取决于物体的几何特性（形状、 尺寸及物体的相对位置）而与物体的种类和温度无关。
i =1 n
表面为凸面或平面时，有何性质？
3.可加性
从表面1上发出落到表面2上的总能量，等于落到表 面2各部分的能量之和。于是有：
X 1， 2 = X 1， 2 a + + X 1， 2 n = ∑ X 1， 2i
i =a n
设表面由a、b两部分组成，写出其可加性表 达式。
三.角系数的计算
或写成：
Eb − J q = ， 1− ε
ε
1− ε 称为表面辐射热阻 εA
2.灰体表面间的辐射换热
考虑两个等温的漫灰表面组成的二维封闭系统，表 面1、2间的Φ为： φ1, 2 = A1 J 1 X 1, 2 − A2 J 2 X 2,1
J 1 A1 = A1 Eb1 − (1 / ε 1 − 1)φ1, 2 J 2 A2 = A2 Eb 2 − (1 / ε 2 − 1)φ 2,1
本节讨论的是被透热介质隔开的两固体表面间的辐射换 热。透热介质是指不参与热辐射的介质，最常见的是空 气。
传热学课件：第四章 数值解法
（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解： 第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
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传热学-第4章-热传导问题的数值解珐
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点 控制容积的热平衡为： 控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。 ） 值不为零： （3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界： 平直边界节点： 平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件 需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件 的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2
传热学 数值解法
-l
2.
区域离散化
网格划分： 用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域 节点:网格线的交点，分内节点和外节点 步长：相邻两节点间距离，在一个方向步长也可不均匀 均分网格: x const
y const
3. 建立节点物理量的代数方程
关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立离散方程是数值求解过程 中的重要环节，是本章的重点内容。
（2）假设一组解（即迭代初场），记为t1(0)、t2(0)、t3(0),由迭代公式逐 一计算出改进值t1(1)、t2(1)、t3(1)。每次计算均用t的最新值代入。
（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之 差小于允许值，此时称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。
( k 1) 1 (k ) (k ) t b a t a t 1 1 12 2 13 3 a11 ( k 1) 1 ( k 1) (k ) t b a t a t 2 2 21 1 23 3 a22 ( k 1) 1 ( k 1) ( k 1) t b a t a t 3 3 31 1 32 2 a33
2 3 4 t 1 t 1 t 1 t 2 3 4 tm-1,n tm,n - x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场分布
y
x
返回
3
4.1.2 导热问题数值求解的基本步骤
1. 数学描述 二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题
传热学第四章-导热问题的数值解法-2
1. 节点离散方程的建立：
(1)内部节点
相邻节点导入控制单元体的热流量= 单元体内能量增量
i-1
i
i+1
A ti( k 1 ) ti(k )A ti( k 1 ) ti(k )c x A ti(k 1 ) ti(k )
x
x
整理，得：
x
x
ti(k 1 )[12 ( a x )2]ti(k)(a x)2[ti( k1 )ti( k1 )]
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x —第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
2.节点方程组的求解： 步骤：
1）选择坐标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性 条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2,3,...... 时刻各节点的温度，直到指定
例 如 t03 t1 3， 但 t0 4<t1 4。
i0 1 2 3 4 5 6 7
t
n
0
100 100 100 100 60
148 -109.6 550
1
100 100 100 80
104 19.2 220.2 -328.9
2
100 100 80
84
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xe xe
fekP
1
fe kE
显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之 间的中点时，fe=0.5, 此时
ke
1 2
kP
kE
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②.调和平均法
Thermal
利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平 均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：
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③.两种方法的比较
Thermal
算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料 导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：
➢ kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面， 节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应
该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均
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Thermal
④. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。
本章内容将是流动与换热数值解的基础
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§4.2 一维稳态热传导
Thermal
§4.2-1 基本方程
一维稳态导热问题的控制方程：
其中：S SC SPTP
d dx
k
dT dx
S
0
相应的离散化方程： aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aP aE aW SPx b SCx
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Thermal
分布假设： dT 由T 对 x 的分段线性的变化算得；
因此，计算 ke 与 kw的方法是否合理就显得非常重要了。
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k 值不均匀性产生的原因
Thermal
由材料的不均匀性引起（如组合材料板）；
材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k 的不均匀。
2. 求解方法
(x)e
①.算术平均法
如图所示，P、E之间，k与x 呈线性 关系，则由P、E两点上的kP 、kE 确 定ke 的关系式为：
达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应 采取的分布方式与所求问题的特性有关。
4. 采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解 的情况提供了一个方便的途径。 也可来指导实验。
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§4.2-3 界面导热系数
1. 问题的提出
Thermal
通用离散方程式 aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aE、aW分别是节点E 与 P 和节点W 与P 间的热导，热导的大小
反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交
界面导热系数ke与kw。当k 是x 的函数时，只知道kP 、kE、 kW，
无法知道ke与kw的值，而ke 与 kw是决定交界面热流量的关键量。
qe
TE
xe
Te kE
Te TP
xe kP
xe
TE TP
kP xe
kE
另一方面，按界面上当量导热系数的含
义，应有： 比较两式可得：
qe
TE
xe
TP ke
(x)e
e
P (x)e- (x)e+ E x
xe xe xe 可看成是串联过程热阻叠加原则的反映
ke
kP
kE
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dx
源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯 性分布进行计算的。
当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也 是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。
以下各节将对离散方程中的各项给予说明
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§4.2-2 网格间距
Thermal
1. 采用不均匀的网格间距
② 工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类 似于热传导方程。如二维位势流动；常物性流体在 直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的 润滑流动；某些通过多孔介质的流动。
③ 导热问题数值解过程中所采用的一些方法与技巧对 于对流问题的数值解也适用。如边界条件的处理、 源项的线性化及代数方程组的求解方法等。
法计算, ke kP xe xe , 这时ke 与kE无关，仅与kP 有关，
不符合物理规律。
(x)e
x x
ke
kP
e
xe
kE
e
xe
e
P (x)e- (x)e+ E x
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xe xw
可以有效地扩大计算功能。
(x)w
WwP
x
(x)e
e
E x
在温度T 随x 变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区 域采用较疏（粗）的网格。
2. 怎样设计一个合适的非均匀网格
因为在问题求解之前，T～ x 的分布是不知道的，那么如何设
计网格呢？？
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①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解 法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的 介绍将在第五章完成。
div ur div(grad) S
t
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二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因
① 热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复 杂性最小，计算方法也比较成熟；
e x
P (x)e- (x)e+ E
ke kE kP kE
xe xe
ke fe kP kE kE fekP 1 fe kE
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ke kE kP kE
xe xe
Thermal
ke fe kP kE kE fekP 1 fe kE
第四章 热传导
主要包含以下内容： • §4.1本章的对象 • §4.2 一维稳态热传导 • §4.3 不稳态一维热传导 • §4.4 二维与三维问题 • §4.5超松弛与欠松弛 • §4.6某些几何上的考虑
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Thermal
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§4.1 本章的对象
Thermal
一、本章研究对象