第一节勾股定理的探索和应用

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勾股定理的探索和证明及应用

17.1勾股定理（1）
勾股定理（1）
看
发们映友现，直家
一
什我角作相么们三客传
看
？也角， 25 来形发 00
观三现年
察边朋前下的友，
面某家一
的种用次图数砖毕案量铺达
，关成哥看系的拉看，地斯
你同面去
能学反朋
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。
B
10 6
左图右图
A的面积
4 16
B的面积
9 9
C的面积
？？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
C A
B
C A
B
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图
16
B的面积
9 9
C的面积
13 25
SA SB SC
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
在西方又称毕达
勾a
c弦
哥拉斯定理耶！
b
股
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 A 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方
。
c2=a2 + b2
b
c a2=c2－b2
b2 =c2-a2
a2 + b2 = c2
证法三：
伽菲尔德证法:
a bc

1.1探索勾股定理说课课件

3题图
研究拓展
• 学生自主操作
• 在给定方格纸中，有一个顶点都在格点的正方形ABCD，存在一个顶点也都在格点的直角三角形ABE以其边长AB 为斜边。现分别以三角形的直角边AE、 BE为边长向三角形外作两个正方形，此时三个正方形的面积有什么关系呢？按这样的方式又可以作出四个新的小正方形，这四个小正方形和正方形ABCD的面积又有什么关系呢？
提出问题
实验探究
教
得出结论
学
例题讲授
过
程
练习反馈
设计
研究拓展
课堂小结
布置作业
实验探究
• 旧知引出探究方向 • 运算推演进行探究
旧知引出探究方向
a
b
a
a b2 a2 2ab b2
b
运算推演进行探究
直角三角形AOB的两直角边分别为3和4，三个顶点均在格点上，分别以三边为边长向三角形外作三个正方形，试求三个正方形的面积。（每个方格的边长取“1”）
得出结论
勾股定理（gou-gutheorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方.
B
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜
c
边为c，那么 a2 b2 c2
a
C
b
A
或表示为 BC2 AC2 AB2
例题讲授
如图，三角形ABC中，AB⊥AC （1）若BC=25，AB=20，求AC的长度；（2）若BC=10，AB:AC=4：3，求三角形 ABC的面积。
学情分析
• 八年级学生具有一定的几何图形视察能力，抽象思维、逻辑推理能力也有了一定的发展；
• 所授班级学生基础较好，大部分学生求知欲强，学生希望老师创设可以引发他们思考的问题情境，让他们进行实际操作，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会。

探索勾股定理的应用

探索勾股定理的应用勾股定理是一条古希腊数学定理，它描述了直角三角形中三个边之间的关系。

这条定理的应用非常广泛，涉及到多个领域，包括几何学、物理学、工程学等等。

本文将探索勾股定理在各个领域中的应用，并且分析其重要性和影响。

一、勾股定理在几何学中的应用1. 利用勾股定理可以求解三角形的边长和角度。

根据勾股定理，已知两个边的长度，可以求解出第三条边的长度。

同时，根据三角函数的定义，可以通过勾股定理计算出三角形的角度。

2. 勾股定理可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么它是一个直角三角形。

3. 勾股定理还能帮助我们求解正方形、长方形、菱形等各种几何形状的对角线长度。

根据勾股定理，我们可以通过已知的边长计算出对角线的长度，从而更好地理解和应用几何形状的特性。

二、勾股定理在物理学中的应用1. 在力学中，勾股定理可以用来分解物体的重力和斜面上的摩擦力。

通过勾股定理，我们可以计算出物体在斜面上的加速度和速度。

2. 勾股定理还可以应用在光学中，用来计算光线在介质中的折射角度。

当光线从一个介质射入另一个介质时，根据勾股定理可以求解出折射角的大小，帮助我们理解光的传播规律。

三、勾股定理在工程学中的应用1. 在建筑工程中，勾股定理被广泛应用于测量和定位。

通过利用勾股定理，我们可以准确测量建筑物的高度、宽度、斜度等各种参数，帮助工程师进行准确的建筑设计和施工。

2. 勾股定理还可以应用于电路分析中。

在电路中，我们经常需要计算电阻和电流之间的关系，而这种关系本质上可以归结为勾股定理。

通过应用勾股定理，我们可以更好地理解和解决电路中的问题。

综上所述，勾股定理作为一条基本的数学定理，具有广泛的应用价值。

无论是在几何学中计算图形属性，还是在物理学和工程学中解决实际问题，勾股定理都起到了重要的作用。

正因为如此，我们在学习数学和应用数学知识的过程中，需要深入理解和熟练运用勾股定理。

八年级上1至3章知识点

八年级一至三章知识点第一章勾股定理教学目标：熟悉勾股定理，应用勾股定理。

教学重点：勾股定理应用条件，数学表达式，逆定理的应用。

第一节探索勾股定理知识点1 勾股定理的探索通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理。

在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法。

（1）数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小格子的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可。

（2）图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可。

知识点2 勾股定理及其应用（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系。

（3）应用勾股定理时要注意：勾股定理成立的前提条件是直角三角形在锐角和钝角三角形中不存在这一结论。

应用勾股定理时应分清楚直角边与斜边。

应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论。

知识点3 验证勾股定理用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A第二节一定是直角三角形吗？知识点1 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点2 勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）第三节勾股定理的应用知识点1 判断垂直的方法在实际生活中常用于判断两直线是否垂直，解决问题的一般方法：实际问题数学问题利用勾股定理的逆定理判断垂直。

1.1.1探索勾股定理(教案)

-学会运用勾股定理解决问题：通过实际例题，让学生掌握如何运用勾股定理求解直角三角形的斜边或直角边的长度，强调在实际问题中的应用。
-掌握勾股定理的证明方法：讲解几何拼贴法和代数推导法两种证明方法，帮助学生理解定理的严谨性。
举例：在直角三角形ABC中，设a、b分别为直角边，c为斜边，则勾股定理可表示为：a² + b² = c²。
4.培养学生的数学文化素养，了解勾股定理的历史背景，感受数学在人类文明发展中的价值，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的概念：勾股定理是指直角三角形中，直角边（即“勾”和“股”）的平方和等于斜边（即“弦”）的平方。重点讲解直角三角形的边长关系，使学生明确勾股定理的核心内容。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
另外，小组讨论的环节也让我看到了学生们的合作精神和解决问题的能力。他们能够积极地参与到讨论中，提出自己的见解，也能倾听同伴的意见。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题，需要我适时地引导他们回到正题上。这可能提示我在设置讨论主题时，需要更加明确和具体，以便学生们能够更有针对性地展开讨论。
此外，我觉得在课程中增加实验操作环节是一个不错的尝试，它能够让学生们通过动手实践来加深对勾股定理的理解。但在操作过程中，我也发现有些学生对于实验的步骤和目的不够清晰，导致实验效果不尽如人意。因此，我需要在下一次的实验前，更详细地解释实验步骤和目的，确保每个学生都能够从实验中获得收获。

2.7 探索勾股定理第1课时勾股定理浙教版数学八年级上册课件

分析：(4)设a =3x，则c = 5x，根据a2+b2=c2，得b= 4x，则x=4， a =3x =12.
2.如图，由四个全等的直角三角形及一个小正方形组成一个大正方形，已知直角三角形的短直角边长为3，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为（ B ）
A. 4 B. 25 C. 6
D. 24
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.
例2.如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，求这个点表示的实数.
解：
例3.如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
分析：直角三角形的短直角边长为3，长直角边为3+1=4，则斜边为5. 大正方形的面积为52 =25.
3.丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂
直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，
发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ B ）
A.4米
B.8米
C.10米
D.12米
分析：设旗杆的高为x米，则绳子的长为(x+2)米，根据题意得：x2+62= (x+2)2，解得x=8.
概括一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则
a2+b2=c2.
我国古代把直角三角形中较短的直
角边称为“勾”，较长的直角边称
为“股”，斜边称为“弦”.

北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲

勾股定理第一节探索勾股定理●应知基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的等于的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有。

2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。

（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。

（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。

一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。

【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=，（1）若3,4,a b ==则c = ；（2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。

【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。

3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。

【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2()a b 的值为（）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形问题。

在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还是平方差。

探索勾股定理及其应用

探索勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它用于描述直角三角形中的边长之间的关系。

勾股定理的发现和应用能够帮助人们更好地解决实际问题，尤其在几何学和物理学领域有着广泛的应用。

本文将探索勾股定理及其应用，并展示一些具体的例子来说明它在实际中的应用。

一、勾股定理的发现和表述勾股定理最早可以追溯到公元前六世纪的古代巴比伦人，在巴比伦的数学文献中就有对勾股定理的记录。

但真正将勾股定理发扬光大的是古希腊数学家毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯给出了勾股定理的一种几何证明，并将其作为三角学的重要基础。

勾股定理的表述非常简洁：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

以边长分别为a、b和c的直角三角形为例，勾股定理可以用以下公式表示：a² + b² = c²二、勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛，涉及到几何学、物理学、工程学等领域。

下面将介绍一些常见的应用。

1. 测量三角形的边长勾股定理可以用于测量三角形的边长，特别是在只知道三角形的两个角和一个边长的情况下。

通过勾股定理，我们可以根据两个已知边长的平方和，求得第三个边长的平方，并进一步求得边长的具体数值。

这在实际测量中有着重要的应用，例如测量地图上两点之间的直线距离。

2. 解决几何问题勾股定理可以帮助我们解决各类几何问题，如判断三条边长是否构成直角三角形、判断一个三角形是否为等腰三角形等。

通过应用勾股定理，我们可以快速准确地分析和解决这些问题。

3. 定位和测量在导航和定位领域，勾股定理也起到了重要的作用。

通过勾股定理，我们可以通过已知的距离和角度快速计算位置坐标，实现准确定位。

同时，在测量中，勾股定理也被广泛应用于测量仪器的校准和误差修正。

4. 物理学应用数学中的勾股定理也在物理学中得到了广泛运用。

例如，在研究物体在斜面上滑动时的运动规律时，可以利用勾股定理计算物体在竖直和水平方向上的加速度和速度。

勾股定理也可以应用于研究力学、声学以及光学等领域中。

八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第1课时)》

图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
1.1 探索勾股定理
练一练通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
知识点勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，
分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长
的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知
1.1 探索勾股定理
问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
C A
B
图1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
12 x
解：由勾股定理得： 152+x2=172 , 所以x2=64 , 所以x=8 .
43 解：由勾股定理得：
x2= 32 +42+152 ,
所以x2=169 , 所以x=13 .
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
5.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD的长.
探究新知
1.1 探索勾股定理
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，

第一章勾股定理

要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的
速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？
B
B
A
举一反三
练习1 练习2
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣
的问题，这个问题的意思是：有
一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池的中央有一
根新生的芦苇，它高出水面1尺，
162=256 172=289 182=324 192=361 202=400
212=441 222=484 232=529 242=576 252=625
常见的勾股数： 3,4,5 5,12,13 6,8,10 7,24,25 9,12,15 8,15,17 9,40,41
直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）
内容表示方法
知识树
勾股定理的验证
方法一方法二
方法三
勾股定理
（1）观察图1-1
C A
9个正方形A中含有___ 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。 ____ 正方形B的面积是 9 个单位面积。 ______ 正方形C的面积是
B C 图1-1 A B 图1-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
13
S正方形c
1 4 4 3 1 2
A B
图1-3
C
C
25（面
（1）观察图 1-3、图1-4，并填写下表：（2）三个正方形A，B，C 的面积之间有什么关系？
A B
图1-3
C
C
A
B
图1-4
SA+SB=SC
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）

探索勾股定理及应用

探索勾股定理及应用勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于几何学和物理学等领域。

它是一种描述直角三角形边长关系的定理。

本文将通过探索勾股定理的由来和应用，展示其在实际问题中的重要性。

一、勾股定理的由来勾股定理最早可以追溯到古代的巴比伦人和古埃及人。

然而，它真正被命名为"勾股定理"是在古希腊时期。

据传，古希腊数学家毕达哥拉斯曾提出并证明了这一定理。

他认为，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

这个发现被后来的数学家们广泛接受，并成为数学中的一个重要基础理论。

二、勾股定理的应用1. 几何学：勾股定理是珠宝行业中几何测量的基础。

通过测量三角形的各边长，使用勾股定理可以计算出三角形的其他重要参数，如角度、面积等。

此外，建筑师、设计师等也需要运用勾股定理来计算建筑物的各种尺寸和角度，确保结构的稳定性和美观性。

2. 物理学：勾股定理在物理学中有广泛的应用。

例如在力学中，它可以用来计算物体的斜向位移、速度和加速度等。

在电磁学中，勾股定理可以帮助我们计算电路中电阻、电容和电感等元件的关系。

此外，勾股定理还可以用于测量声波的频率和振幅，帮助研究员们更好地理解声音的传播和特性。

3. 导航与测量：导航和测量也是勾股定理的实际应用领域之一。

例如，通过使用全球定位系统（GPS）来确定两个地点之间的距离，就是基于勾股定理。

勾股定理还可以应用于测量高楼大厦的高度、测量船只之间的距离等实际场景中。

4. 金融和经济学：勾股定理在金融和经济学中的应用也非常广泛。

例如，在金融市场中，人们常常使用勾股定理来计算投资收益率、标准差和风险等指标。

在经济学中，勾股定理可以被用来计算成本、收入和利润等关键指标。

总结：勾股定理是数学中的重要工具，通过探索勾股定理的由来和应用，我们不难发现它在现实生活中具有广泛的应用。

从几何学到物理学，从导航到金融经济，勾股定理的应用无处不在。

因此，深入研究和了解勾股定理的原理和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要的意义。

北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)

= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使站到，
两村的距离相等.你知道应该把站建在距点多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点作 ⊥ 于点，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知

课题名称：探索勾股定理

学生以小组为单位，动手拼接教师深入小组参与活动，并和学生交流。
通过拼图活动，调动学生思维的积极性，给学生提供从事教学活动的机会建立初步的空间观念。
活动四
小结：勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征，人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史，在西方，勾股定理又称“毕达哥拉斯定理”、“百牛定理”、“驴桥定理”等。
个人评价
同学评价
认真
上课认真听讲，作业认真，参与讨论态度认真
上课能认真听讲，作业依时完成，有参与讨论
上课无心听讲，经常欠交作业，极少参与讨论
积极
积极举手发言，积极参与讨论与交流
能举手发言，有参与讨论与交流
很少举手，极少参与讨论与交流
自信
大胆提出和别人不同的问题，大胆尝试并表达自己的想法
有提出自己的不同看法，并做出尝试
二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，并具体化为本节课的具体要求，明晰（学生懂）、具体、可操作、可以依据练习测试题）重点及难点（说明本课题的重难点）
(一)、知识与技能：用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
教学设计方案
课题名称：探索勾股定理
一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、知识结构图以及学习内容的重要性）
《勾股定理》第一节第1课时。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。

2024-2025学年北师版中学数学八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)教学课件

400 m
500 m
解：由勾股定理，
得BC 2 =AB2 - AC 2 =5002 - 4002 =90 000，
即BC=300 m.汽车10 s行驶300 m，那么它1 h行驶的距离为：
300 × 3 600=10 80（0 m）=10（8 km /h）. 10 答：敌方汽车速度为108 km /h.
15
10
152 x2 102 （25 x)2
C
解得：x 10
D
答：E站应建在距A站10千米处.
你是如何做的？与同伴交流.
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
D
A C
B
补
你能将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的关系式表示出来吗？
毕达哥拉斯证法
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为：
____4_×__12_a_b_+_c2__或者__(_a__+__b_)2__
可得等式_4_×__12_a_b_+_c2_=_(_a+_b_)_2 ____
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
1 ×
2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
∴2ab+c2 =a2 +2ab+b2.
∴a2 +b2 =c2.
当堂检测
1.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、 B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．

探索勾股定理—教学设计及点评(获奖版)

探索勾股定理—教学设计及点评(获奖版)第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动探索勾股定理（第1课时）一、教材内容和内容分析一）教学内容本节课是XXX版教材《数学八年级（上）》第一章勾股定理第一节的内容，主要研究勾股定理的探究、证明及简单应用。

二）教学内容分析勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法。

它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路。

因此，可以这样说，勾股定理是数学发展的重要根基之一。

它不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。

教学重点：探究并证明勾股定理二、教学目标和目标解析一）教学目标1.经历探索，验证勾股定理的过程，初步掌握勾股定理，进一步了解等面积法的应用；2.通过不同证明方法的探究，进一步发展空间观念和推理能力，体会数形结合的数学思想；3.借助勾股定理丰富的文化背景，培养学生的人文底蕴和科学精神的核心素养。

二）教学目标解析达成目标1：学生通过分析以特殊的直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表达勾股定理的结论。

通过割补法构造图形验证勾股定理，从而理解直角三角形三边的数量关系。

达成目标2：以赵爽弦图和青朱出入图为载体，了解勾股定理各种证明方法之间的内在联系，即实质都是运用等面积法加以证明。

使学生感受多角度分析问题，多种方法解决问题。

同时，在图形的性质转化成数量关系的过程中，感受数形结合的思想。

达成目标3：通过了解勾股定理发展史，感受勾股定理所蕴含的厚重文化。

同时，增强学生的民族自豪感，感受数学对人类文明的发展所起的积极的推动作用。

三、教学问题诊断分析因为勾股定理反映的内容图形直观，甚至被XXX建议作为与外星人联系的信号。

《探索勾股定理》教学设计

《探索勾股定理》教学设计一、教材分析：1、教材的地位和作用“探索勾股定理”一节是鲁教版《数学》七年级上册第二章“勾股定理”中的第一节第一课时。

勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。

它在数学的发展中起过重要的作用，在现实生活中也有着广泛的应用。

学生通过对勾股定理的探索，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

同时它也为本章后面几节课的学习和探索作铺垫。

所以，虽然本节内容所占章节不多，但在整章中却有着相当重要的地位。

2、教材的重、难点重点：勾股定理的内容及其运用。

难点：由特殊到一般，经过“探索—猜想—归纳—总结”得到勾股定理二、教学目标根据新课程标准和本节内容在整个初中数学中的地位与作用，我从以下三个方面制定了本节课的教学目标。

1、知识与能力目标：能说出勾股定理的内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2、过程与方法目标：在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会由特殊到一般和数形结合的思想方法。

3、情感与价值观目标：通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想情操和民族自豪感，激励学生发奋学习。

三、教法与学法根据本节教材内容和编排特点并针对七年级学生的知识结构和认知规律，为了更有效地突出重点，突破难点，本节课我采用的主要教学方法是：引导发现法。

在教学手段上，我借助了计算机多媒体这一手段来辅助教学。

课前，我利用“Z+Z”超级画板制作了精巧、灵活的课件，并在课堂上适时地播放，化静为动，激发了学生的求知欲望和兴趣，从而使教学目标得以直观完美地体现。

在学法上，学生在教师的组织引导下，采取自主探索、合作交流的研讨式学习方式。

四、教学程序接下来我重点要阐述的是：本节课的教学程序。

根据新课程理念，我将整个教学过程设计成以下六个环节：1、创设情景导入新课：我设置了这样一个问题：一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。