《矩阵轮》向量范数1

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1-向量范数与矩阵范数

2. 齐次性，即 aA a A (a R) 3. 三角不等式，即对则称
N ( A) A
A, B Rnn ,总有 A B A B
AB A B
4. 矩阵乘法不等式，即对 A, B Rnn ,总有为 R nn 上矩阵
A
的范数（或模）。
在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定
AX X
1 1
max aij
1 j n i 1
n
AX X
AX

2 2
max ( AT A)
n
∞―范数（行模） A max X X 0
T 其中 max ( A A) max i 1i n
max aij
1i n j 1
T i 为 A A 的特征值。
A2
。
其中 x (1, 2, 3) ,
1 2 0 A 1 2 1 0 1 0
X Y X Y
将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 设
N(X ) X
是定义在 R n 上的实值函数，
X 0, X 0
如果它满足三个条件：
① 非负性，即 ② 齐次性，即则称 N ( X ) X 为
பைடு நூலகம்Rn
当且仅当
(a R)
X 0
aX a X
③ 三角不等式，即对 X , Y Rn,总有
X X X
1
1 2 3 6 (1) 2 (3) 14
2 2 2
2
max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数定义2 设
N ( A) A

线性代数中的基础概念常见符号表示,向量范数与矩阵范数

线性代数中的基础概念常见符号表示，向量范数与矩阵范数常见的符号表示\mathbb{R} : 实数集\mathbb{C} : 复数集\mathbb{R}^n : n维实数空间\mathbb{C}^n : n维复数空间\mathbb{R}^{m\times n} : 所有m \times n的实矩阵构成的集合\mathbb{C}^{m\times n} : 所有m \times n的复矩阵构成的集合\mathbf{x} : 列向量[\mathbf{x}]_i, x_i : 向量\mathbf{x}的第i个元素\mathbf{A} :矩阵a_{ij}, [\mathbf{A}]_{ij}:矩阵第i行的第j个元素向量：\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n即\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, x_i \in \mathbb{R}, i \in \{1, 2, \cdots, n\}\\向量的转置：\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{x}^T = [x_1, x_2, \cdots, x_n] (列向量转置成为了行向量)向量的共轭转置：\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n,\mathbf{x}^H = [x_1^*, x_2^*, \cdots, x_n^*]（x_i与x_i^*互为共轭）矩阵:\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}即\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 &\mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix},a_{ij} \in \mathbb{R}, \mathbf{a}_j \in \mathbb{R}^m, i \in \{1, 2, \cdots, m\}, j \in \{1, 2, \cdots, n\}\\矩阵的转置：\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} &\cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2m} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times m}, \mathbf{B} = \mathbf{A}^T \Leftrightarrow b_{ij} =a_{ij}\\性质：•\mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T•(\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}•(\mathbf{A+B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T矩阵的共轭转置：\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}\mathbf{A}^H = \begin{bmatrix} a_{11}^* & a_{21}^* & \cdots & a_{m1}^* \\ a_{12}^* & a_{22}^* & \cdots &a_{m2}^* \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n}^* & a_{2m}^*& \cdots & a_{mn}^* \\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times m}, \mathbf{B} = \mathbf{A}^H \Leftrightarrowb_{ij} = a_{ij}^*\\性质：•\mathbf{(AB)}^H = \mathbf{B}^H \mathbf{A}^H•(\mathbf{A}^H)^H = \mathbf{A}•(\mathbf{A+B})^H = \mathbf{A}^H + \mathbf{B}^H矩阵的迹（trace）： \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}, tr(\mathbf{A}) = \sum_i^n a_{ii}性质：•tr(\mathbf{A}^T) = \mathbf{A}•tr(\mathbf{A+B}) = tr(\mathbf{A}) + tr(\mathbf{B})•tr(\mathbf{AB}) = tr(\mathbf{BA})\mathbf{0} 表示一个元素全为0的向量或矩阵\mathbf{1} 表示一个元素全为1的向量或矩阵单位向量：\mathbf{e}_i = [0, \cdots, 0, 1, 0 \cdots, 0]^T，\mathbf{e}_i只有一个位置为1，其余是0单位矩阵（identity matrix）：\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{bmatrix}\\对角矩阵（diagonal matrx）：\text{diag}(a_1, \cdots, a_n) = \begin{bmatrix} a_1 & & \\ & \ddots & \\ & & a_n \end{bmatrix}\\上三角矩阵（upper triangle matrix）\mathbf{L} = \begin{bmatrix} l_{11} & l_{12} & \cdots & l_{ln} \\ & l_{22} & \cdots & l_{2n} \\ & & \ddots & \vdots\\ & & & l_{nn} \end{bmatrix}\\关于上三角矩阵：•上三角矩阵的逆是上三角矩阵•上三角矩阵和上三角矩阵相乘，仍是上三角矩阵下三角矩阵（lower triangle matrix）\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{11} & & & \\ u_{12} & u_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ u_{1n} &u_{2n} & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix}\\关于下三角矩阵：•下三角矩阵的逆是上三角矩阵•下三角矩阵和上三角矩阵相乘，仍是下三角矩阵向量乘法与数乘如\mathbf{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T \in\mathbb{R}^n, \mathbf{y} = [y_1, y_2, \cdots, y_n]^T \in \mathbb{R}^n, \alpha \in \mathbb{R},•向量数乘：\alpha \mathbf{x} = [\alpha x_1, \alpha x_2, \cdots, \alpha x_n]^T•向量乘法（内积）：<\mathbf{x}, \mathbf{y}> =\mathbf{x}^T \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i•如果\mathbf{x}^T \mathbf{y} = 0, 则说\mathbf{x}和\mathbf{y}是正交的。

矩阵的范数

矩阵的范数文章目录•前言•一、诱导范数（Induced norm）••谱范数•二、向量式范数（Entry-wise norm）••F-范数•三、Schatten 范数（Schatten norm）•四、矩阵2-范数•总结前言矩阵分析学习笔记之矩阵范数。

三类重要的矩阵范数：诱导范数（Induced norm），向量式范数（Entry-wise norm），Schatten 范数（Schatten norm）。

矩阵A ∈ K m × n A\in K^{m\times n}A∈Km×n表示其定义在实数域或者复数域上。

一、诱导范数（Induced norm）诱导范数也称算子范数（operator norm）。

诱导p-范数的定义如下：∥ A ∥ p = s u p x ≠ 0 ∥ A x ∥ p ∥ x ∥ p \Vert A\Vert_p=\underset{x\neq 0}{\rm sup}\frac{\Vert Ax \Vert_p}{\Vert x\Vert_p}∥A∥p=x=0sup∥x∥p∥Ax∥p特别的，当p = 1 p=1p=1时，有∥ A ∥ 1 = max ⁡ 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}\vert a_{ij}\vert∥A∥1=1≤j≤nmax i=1∑m∣aij∣也就是绝对值的列和的最大值。

当p = ∞ p=\inftyp=∞时，有∥ A ∥ ∞ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i\lem}\sum_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert∥A∥∞=1≤i≤mmax j=1∑n∣aij∣也就是绝对值的行和的最大值。

矩阵论-第二章 -程云鹏版

n
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
2
1、向量范数的概念及l 范数
p
定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值 x ，满足以下三个条件 1) 非负性：当x 0 时，x 0; 当 x =0 时，x =0 2) 齐次性：ax a x , (a K , x V ) 3) 三角不等式：x y x y （x, y V ) 则称 x 为V上向量x的范数，简称向量范数。
F
l
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
14
定理 mn mn nn A C , 且 P C 与 Q C 设都是酉矩阵，则
PA
F
A
F
AQ
F
推论：和A酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相 H B Q AQ 则 A F B F ，其中Q是酉矩同的，即若阵。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
15
2、几种常用的矩阵范数
定理：已知 C 和 C 上的同类向量范数，设 Ax 是 C mn 上的矩阵范 A C mn ，则函数 A max X =1 数，且与已知的向量范数相容。称此矩阵范数为 “由向量导出的矩阵范数”简称为从属范数。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications

向量的一范数

向量的一范数一、什么是向量的一范数向量的一范数是指将向量中所有元素的绝对值相加所得的值，称之为向量的一范数。

在数学上，向量的一范数用符号 ||x||1 表示，其中 x 是指向量。

二、向量的一范数的意义向量的一范数具有以下几个重要的意义：1.向量的一范数可以用来衡量向量的大小，即向量的绝对大小。

2.向量的一范数可以用来描述向量中所有元素的绝对大小及它们对向量总大小的贡献程度。

3.向量的一范数可以用来约束优化问题中的解向量的大小，例如 L1 正则化问题中，就是将要最小化的目标函数加上约束项，使解向量满足一定的大小范围。

三、向量的一范数的计算方法对于一个 n 维向量 x，它的一范数可以用以下公式计算：||x||1 = |x1| + |x2| + … + |xn|其中，|xi| 表示 xi 的绝对值。

四、向量的一范数的特性向量的一范数具有以下几个特性：1.向量的一范数始终为非负数。

2.当向量所有元素均为0时，向量的一范数等于0。

3.向量的一范数是一种不可微的函数。

4.向量的一范数具有次可加性，即对于两个向量 x 和 y，有：||x+y||1 ≤ ||x||1 + ||y||1五、向量的一范数的应用向量的一范数在各个领域都有重要的应用。

例如：1.机器学习中的稀疏表示：在处理高维数据时，可以通过对特征向量进行 L1 正则化来使其更加稀疏，从而提高模型的性能。

2.图像和信号处理中的边缘检测：可以使用一范数作为求解梯度的目标函数，从而实现边缘检测的目的。

3.优化问题中的约束：在某些问题中，需要对解向量的大小进行限制，可以通过添加一范数项来实现约束。

六、总结向量的一范数是一种重要的向量范数，具有广泛的应用场景，可以用来衡量向量的大小、约束解向量的大小以及在机器学习和数据处理等领域中发挥重要作用。

矩阵的1范数

矩阵的1范数
求矩阵的1，和2范数
1.向量的范数：
0范数，向量中⾮零元素的个数。

1范数，为绝对值之和。

2范数，就是通常意义上的模。

⾮穷范数，就是取向量的最⾮值。

但是向量的范数和矩阵的范数关系不⾮，百度了好久也没看到狠⾮的东西，下⾮我来总结⾮下：
矩阵的范数：（是矩阵之间距离度量的⾮法）
A=[010;100;-100]
A=
010
100
-100
>> norm(A,1)
ans =
矩阵的2范数（norm(A,2)）：指矩阵A与矩阵A的转置相乘后得到B，再对矩阵B的最⾮特征值开⾮，还是例⾮：
A=[010;100;-100];
>>B=A*A';
>> [V,D]=eig(B)%V是特征向量，D是特征值V=
01.00000
-0.70710-0.7071
-0.707100.7071
D=
000
010
002
>> sqrt(2)
ans =
1.4142
>> norm(A,2)
ans =
1.4142
既然矩阵的2范数是距离度量的⾮种，那么矩阵的2范数越⾮，则两矩阵的相似性越⾮。

由于知识有限，解释的不好见谅（没有看出2范数和欧⾮距离的关系）。

（⾮⾮上那些讲得迷迷糊糊好点吧）。

矩阵论范数知识点总结

矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。

矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。

本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。

二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。

也可以看成是一个数域上的矩形阵列。

矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。

一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。

三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。

对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。

对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。

矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。

1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。

1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。

矩阵范数和向量范数的关系

矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。

本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。

我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。

矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。

常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。

以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。

向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。

常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。

以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。

矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。

首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。

此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。

例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。

因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。

矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。

例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。

2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。

3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。

我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。

通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。

矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。

矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。

在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。

矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。

而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。

向量和矩阵的范数

向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。

范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。

在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。

二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。

它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。

2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。

它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。

（2）L2范数：也称为欧几里得距离。

它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。

（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。

（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。

三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。

它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。

2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。

它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。

（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。

（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。

（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。

各种向量和矩阵的范数的意义

正则化项可以约束模型的特性。这样就可以将人对这个模型的先验知识融入到模型的学习当中。
范数是正则化的常用方法
12
Outline
1.相关概念——误差和目标函数 2.范数概念 3.向量的范数及含义 4.矩阵的范数及含义
13
范数的概念
范数的目的：对向量及矩阵的“大小”进行度量
14
向量的范数
X∈Rn 为一实向量，X的范式定义如下： L0范数：指向量中非0的元素的个数
8
相关概念——学习
Basis knowledge
x(1) x(2) x(3)
线性模型y=wTx+b
插值法
备注：表来自周老师西瓜书课件
9
相关概念——学习
Basis knowledge
x
=
Y
备注：表来自周老师西瓜书课件
10
相关概念——误差
假定数据集D
Basis knowledge
I(a): 1 if a=true 0 else
39
应用举例—核范数
鲁棒PCA:
低秩结构信息稀疏噪声
40
矩阵范数的含义
|| A || p || vec( A) ||P (| aij | p )1/ p
i 1 j 1 m n
p=1时，为矩阵的1-范数，最小化||A||1范数能让
矩阵A元素稀疏
稀疏矩阵的优点：计算速度更快存储成本低可解释性强（例如：文本分类中，可知哪些词对类别起重要作用）
矩阵范数的含义
文本分类中的应用：
Lasso 找出关键词 Group Lasso 找出关键句子
Hierarchical Lasso 找出关键段
43

向量范数和矩阵范数

最简单的方法是用两向量之间的距离来表示相似度，距离越小，相似度越大。最典型的是Euclidean距离
D( x, y) ? || x y ||2 = ( x - y)T ( x - y)
其他距离测度还包括
n
å Ä Manhat tan 距离 D( x, y) ? | xj yj | ;
j= 1
Ä
Chebyshev距离
（3） ||x y|| ||x|| ||y||。 ("x、y ? C)
例 2 n 维欧氏空间中向量 x 的长度或模定义为
|| x || ( x, x) x12 x22 L xn2
显然向量 x 的模 || x || 也具有下列三条性质：
(1) || x || 0 ，当且仅当 x 时，等号成立。 (2) || x || | | || x || ; ( R)
D(x, y) ?
max j n
|x
P
j
yj |;
å Ä Minkowski距离 D( x, y) ? | xj yj | ;
j= 1
å Ä Chebyshev距离 D( x, y) ? 骣琪琪琪ç桫j=n1 | xj
1
yj
|m
m; ÷
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
d 2( x, y) ? ( x y)T Σ- 1( x - y)T ,
欲证结论。
p
例 10 计算向量
α = (3i, 0,- 4i,- 12)T 的p范数，这里 p = 1, 2,? .
解：
4
å || α ||1= | xk | = | 3i | + | - 4i | + | - 12 | = 19.

矩阵论学习复习资料

x V = X = 1 x 3
x 2 x1 − x 4 = 0 x − x = 0, x4 2 3
5. 设 V1, V2 分别是
V1 = {(x1, x2 L, x2 ) x1 + x2 +L+ xn = 0, xi ∈K} V2 = {(x1, x2 L, x2 ) xi − xi+1 = 0, xi ∈K}
6. 求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形标准形
1 0 3 1 −1 1 − 4 −1 0 A = − 3 − 3 3 , B = 7 1 2 − 2 − 2 2 − 7 − 6 −1
7. 求下列矩阵的最小多项式
a O −1 − 2 6 a A = −1 0 3, B = b −1 −1 3 N b
0 0 1 0
b N b a O a
8.设A 是一个阶方阵，其特征多项式为设是一个6阶方阵阶方阵，最小多项式为m ƒ(λ)=(λ+2)2(λ-1)4, 最小多项式为 A(λ)=(λ+2)(λ-1)3, λ 求出A的若当标准形求出的若当标准形. 的若当标准形 9.对于阶方阵，如果使 m=O成立的最小正整数对于n 阶方阵A，如果使A 对于成立的最小正整数为m，则称是m次幂零矩阵，证明所有阶n-1次幂次幂零矩阵，，则称A是次幂零矩阵证明所有n阶次幂零矩阵彼此相似，并求其若当标准形零矩阵彼此相似，并求其若当标准形. 10. 如果λ1,λ2,…, λs是A 的特征值，则Ak的特征值只能的特征值， …
矩阵论复习一. 线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐线性空间的基，维数与坐标（标变换）标变换） 3. 线性子空间的概念与运算 (1)定义 (2) 运算（交与和，直和）定义运算（交与和，直和）

电子科技大学矩阵理论!

一、n 阶方阵的三角分解
1.上三角矩阵R 的逆 R 1 也是上三角矩阵,且对角元是R 对角元的倒数;
2.两个上三角矩阵 R1、R2 的乘积 R1R2也是上三角
矩阵,且对角元是 R1与R2对角元之积; 3.酉矩阵U 的逆 U 1也是酉矩阵; 4.两个酉矩阵之积 U1U2也是酉矩阵.
返回
返回
返回
返回
(3 )三角 |A | 不 B | ||A ||等 ||B || |式 ,A ,B P m n .
则称映 |||射 |为pmn上的矩阵 . 范数
返回
例 1 设APmn，则
nm
|| A||m1
| aij |
j1i1
nm
1
|| A||m2(
| aij |2)2
j1i1
|A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
返回
定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是矩阵范数，如果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则称矩 |||a |阵 ,|||b |和范 |||c |数相. 容如果 ||A|B |||A ||||B ||
0 0 0 0 0 0
返回
定理 2 设 A C r m n ,且 A B 1 D 1 B 2 D 2 均为 A 的最大秩分解，则
(1) 存在 r阶可逆Q，矩使阵得 B 1 B 2 Q D 1 Q 1 D 2
( 2 ) D 1 H ( D 1 D 1 H ) 1 ( B 1 H B 1 ) 1 B 1 H D 2 H (D 2 D 2 H ) 1 (B 2 H B 2 ) 1 B 2 H

向量范数和矩阵范数

向量范数和矩阵范数在数值计算、线性代数和机器学习等领域中具有广泛的应用，它们可以用于衡量向量和矩阵的大小、距离和相似度等概念。
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。

矩阵和向量范数详解-数值计算方法

度量。Rn空间的向量范数 || ·|| 对任意x, y R满n足条件：
(1)
|| x|| 0 ;
|| x|| 0
x
0
（正定性)
(2) || x|| | | || x|| 对任意 C (齐次性)
(3) || x y|| || x|| || y|| （三角不等式)
定义：向量X
( x1,
gg
范数是绝对值的概念的推广，绝对值是一维概念，绝对值的几何意义就是长度，那么很自然就有了：n维向量长度就是范数。范数可以推广到无穷维空间。
1. 范数
向量范数和向量的模
向量的模表示的是向量的大小，比如向量
X ( x1, x2...x的n )模为
X x12 x22 ...xn2
向量的范数用于衡量一个向量的大小，是更广义
向量和矩阵范数
主要内容
1、什么是范数 2、向量范数 3、矩阵范数
2
1. 范数
范数是什么？
范数具有“长度”的概念，在线下代数、泛函分析等相关数学领域，范数表征的是矢量空间中所有矢量的正长度和大小。范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广。
简单来说向量范数可以理解为向量的长度，矩阵范数可以理解为矩阵的变化大小。
意义：矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵等理论的建树中，都占有极其重要的地位；
定理对任意算子范数 || ·|| 有( A) || A ||
即 A 的谱半径是A的任意一种范数的下界
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax|| || A || || x||
将任意一个特征根所对应的特征向量 u代入 | | || u|| || u|| || Au|| || A || || u||

第五专题矩阵的数值特征（行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）讲解学习

第五专题矩阵的数值特征（行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）讲解学习第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。

下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。

若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) ? tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。

向量和矩阵的范数

Ａ的列范数Ａ的“2”范数或Ａ的谱
范数
其中 max ( A A)为A A的最大特征值。
T T
第一章绪论
例2
求矩阵A的各种常用范数
1 2 0 3 A 1 2 1 4 0 1 1
2
n
5
2
2
解:
A 1 max aij 1 j n
i 1
"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维
向量长度概念的一种推广.
数域:数的集合,对加法和乘法封闭.
有理数、实数、复数数域
线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,也称为向量空间。
第一章绪论
5.4.1 向量范数 ( vector norms )
二维，三维的长度概念：
T 2 2 2 R 中，x R ， x x1 x2，其中x x1 , x2 ； T 3 3 2 2 2 R 中, x R ， x x1 x 2 x 3 , 其中x x1 , x 2 , x 3 。
② x 也是 x p 的特例
xi ( x1 因为 max 1i n
p
x2
p
xn
p
)
1
p
(n max xi )
1 i n
p
1
p
n
1
p
xi ( p ) max xi max 1i n
1 i n
x
p
x

( p 时),
所以 x 也是 x p的特例
A 4
3.0237
3.6056
A2
AF

向量范数与矩阵范数

任2种范数在刻画收敛性时等价
定理1.2 对 Rn 上的任意二种向量范数|| ·||a ,|| ·||b ,
均有与向量 x 无关的常数 m 与 M (0<m<M)，使下列的关系成立
m x x M x , x Rn.
a
b
a
证明略.
意义：向量x的某一种范数可以任意小（大）时，该向量的其它任何一种范数也会任意小（大）。
|1| | 2 | | 3 |,
A
1

max

|
5
|

|1|

|
8
|,

14,
| 2 | | 0 | | 2 |
1 5 2
A 2 1
0

3 8 2
|1| | 5 | | 2 |,
A

max

|
2
|

|1|

|
0
|,

13,
| 3 | | 8 | | 2 |
A F
12 22 32

52

12
82

22

02
22

112,
14 21 4
AT
A

21
90
26
4 26 8
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R

矩阵和向量的一范数

矩阵和向量的一范数
矩阵和向量是线性代数中的重要概念，它们广泛应用于多个领域，例如科学、工程、经济学、统计学等。

其中，矩阵和向量的一范数是两种数学对象的重要度量方式之一。

矩阵是一种数学对象，是一组数按照矩形排列的数表。

矩阵的一范数是由所有矩阵中元素的绝对值之和组成的。

例如，对于一个3×3的矩阵A，其一范数可以表示为：
换句话说，矩阵的一范数是矩阵中元素绝对值之和的最大值。

它的计算可以简单地遍历矩阵中的每一个元素，并计算出它们的绝对值之和。

向量是矩阵的一种特殊情况，只有一个维度，可以看作是一个
1×n的矩阵。

向量的一范数是由向量中所有元素的绝对值之和组成的。

例如，对于一个n维向量x，其一范数可以表示为：
换言之，向量的一范数就是向量中每个元素的绝对值之和。

向量的一范数也可以称作“曼哈顿距离”，因为它计算的是从原点出发到向量终点的曼哈顿距离。

矩阵和向量的一范数是两种数学对象的度量方式。

它们广泛应用于多个领域，例如统计学、机器学习和深度学习等。

作为一个度量方式，一范数可以用于回归分析、模型参数正则化等多个应用场景。

在模型参数正则化中，一范数正则化可以用于对模型进行稀疏化处理，即通过最小化一范数来找到最重要的特征，去掉无用的特征，从而达到简化模型的目的。

另外，一范数还常用于检查向量中存在的异常值和异常数据点等。

总之，矩阵和向量的一范数是线性代数中重要的度量方式之一，广泛用于回归分析、模型参数正则化和异常检测等领域。

它们的计算简单明了，容易理解，是数学工具箱中不可或缺的组成部分。

向量与矩阵的范数

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3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数：对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一
确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足下面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
计算方法三⑤
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•矩阵范数的性质：
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
——弗罗贝尼乌斯 (Frobenius)范数简称F范数
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几种常用的矩阵范数：
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数
计算方法三⑤
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Matlab中计算矩阵的范数的命令(函数)：
(1) n = norm(A) 矩阵A的谱范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根
定义：设A非奇异，称||A-1|| ||A|| 为矩阵A的条件数, 记为Cond (A)，即Cond (A)= ||A-1||||A||.
当cond(A)>>1，则方程组称为“病态”的；当cond(A)较小时，则方程组称为“良态”的。
计算方法三⑤
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>>cond(a,p)
通常使用的条件数有：
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX=λX