轴对称与中心对称-_图文.ppt
第1节 图形的轴对称与中心对称
考点特训营
重难点突破
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
(3)【思维教练】观察图形可猜测AC′与BD是否平行，要证 明线段平行则想到通过证明两个同位角或内错角相等以及 两个同旁内角互补得到，又因为涉及折叠考虑结合三角形 全等进行证明；
【自主作答】
考点特训营
重难点突破
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
(3)若含有中位线，则需利用中位线的位置及数量关系进行等量代换；
2. 与四边形结合：
(1)与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，往往可利用其特殊性质 求解；
(2)若为一般的四边形，则可通过构造特殊的三角形或四边形求解．
考点特训营
重难点突破
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
例 如图①，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在C′ 处，BC′与AD交于点G.
重难点突破
玩转重庆10年中考真题（2008～2017）
(4)【思维教练】点D与点A重合，则表示存在中位线，求 线段长度，结合勾股定理即可求解． 【自主作答】
解：点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4， ∵AD＝8，AB＝6， 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝10， ∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB∥CD， ∴MN是△ABD的中位线，
a2 ＋ (a ＋ 2)2 ， ∵ a>0 ， ∴ a ＝ 1 ， ∴ AE ＝ 1 ， BE ＝ 3 ，
∵ △ PEG 是 由 △ PEA 翻 折 得 到 ， ∴ PA ＝ PG ， ∠ APE ＝
∠ GPE ， ∵ PG⊥EB ， AE⊥EB ， ∴ AE∥PG ， ∴ ∠ AEP ＝
∠GPE＝∠APE，∴AP＝AE＝1，PB＝ 1 0 －1，
《中心对称》PPT课件 人教版九年级数学
如图，已知等边三角形ABC和点O，画△A′B′C′,使
△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称.
作法： 1.连接AO并且延长AO至A′，使AO=A′O；
A
C′
B′
O
2.连接BO并且延长BO至B′，使BO=B′O；
3.连接CO并且延长CO至C′，使CO=C′O；
B
C
则△A′B′C′即为所求.
A′
课堂小结
中心对称，由此图中阴影部分的三个三
角形就可以转化到直角△ADC中，易得
阴影部分的面积为3．
巩固练习
如图，点O是平行四边形的对称中心，
点A、C关于点O对称，有AO=CO， D F
C
那么OE=OF吗？
O
A
EB
解：∵平行四边形是中心对称图形，O是对称中心.
EF经过点O，分别交AB、CD于E、F. ∴点E、F是关于点O的对称点.
探究新知
【思考】两个图形成中心对称需要具备什么条件？
两个图形成中心对称须具备三个条件： ①能找到一个对称中心； ②旋转角为180°； ③这两个图形旋转后能重合.
探究新知
填一填： 如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称 ，则 __O__是对称中心，点A与___C__是对称点， 点B 与__D__是对称点. C
就是成轴对称的图形. （×）
课堂检测
2. 如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心 对称的有（ D ）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积
是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（ B ）
A.2
B.4
C.6
D.8
中心对称与轴对称
中心对称与轴对称一、中心对称1．关于原点对称与点P(x，y)关于原点对称的点是P'(-x，-y)；与曲线f(x，y) = 0关于原点对称的曲线方程是f(-x，-y) = 0．2．关于点M(a，b)对称与点P(x，y)关于点M(a，b)对称的点是P'(2a-x，2b-y)；与曲线f(x，y) = 0关于点M(a，b)对称的曲线方程是f(2a-x，2b-y) = 0．当a = 0，且b = 0时，点M(a，b)即原点．二、轴对称1．关于x轴对称与点P(x，y)关于x轴对称的点是P'(x，-y)；与曲线f(x，y) = 0关于x轴对称的曲线方程是f(x，-y) = 0．2．关于y轴对称与点P(x，y)关于y轴对称的点是P'(-x，y)；与曲线f(x，y) = 0关于y轴对称的曲线方程是f(-x，y) = 0．3．关于直线y = x对称与点P(x，y)关于直线y = x对称的点是P'(y，x)；与曲线f(x，y) = 0关于直线y = x 对称的曲线方程是f(y，x) = 0．4．关于直线y = -x对称与点P(x，y)关于直线y = -x对称的点是P'(-y，-x)；与曲线f(x，y) = 0关于直线y = -x对称的曲线方程是f(-y，-x) = 0．5．关于直线y = b对称与点P(x，y)关于直线y = b对称的点是P'(x，2b-y)；与曲线f(x，y) = 0关于直线y = b对称的曲线方程是f(x，2b-y) = 0．6．关于直线x = a对称与点P(x，y)关于直线x = a对称的点是P'(2a-x，y)；与曲线f(x，y) = 0关于直线x = a对称的曲线方程是f(2a-x，y) = 0．7．关于直线l：Ax + By + C = 0(A，B不同时为零)对称设点P(x，y)与点P'(x'，y')关于直线l：Ax + By + C = 0(A，B不同时为零)对称，则PP'⊥l，且线段PP'的中点在直线l上，所以⎧⎨⎩y'-yx'- x·AB⎛⎫-⎪⎝⎭= - 1，A ·x' + x2+ B ·y' + y2+ C = 0．(AB≠ 0)解得⎧⎨⎩x' =(B2-A2)x- 2ABy- 2ACA2 + B2，y' =(A2-B2)y- 2ABx- 2BCA2 + B2．当A，B中有一个为0时，上面的结论仍然成立．由此得到：与点P(x，y)关于直线l：Ax + By + C = 0(A，B不同时为零)对称的点是P'⎝⎛⎭⎫(B2-A2)x- 2ABy- 2ACA2 + B2，(A2-B2)y- 2ABx- 2BCA2 + B2；与曲线f(x，y) = 0关于直线l：Ax + By + C = 0(A，B不同时为零)对称的曲线方程是f⎝⎛⎭⎫(B2-A2)x- 2ABy- 2ACA2 + B2，(A2-B2)y- 2ABx- 2BCA2 + B2= 0．此结论不用记，解题时利用轴对称的条件(即垂直平分)即可．前面的6种情形为特例．三、例题选讲【例1】求点A(- 2，3)关于直线l：3x-y- 1 = 0对称的点A'的坐标．解法一：∵直线l：3x-y- 1 = 0的斜率k1 = 3，直线AA'与直线l垂直，∴直线AA'的斜率k2 = -13．由点斜式，得直线AA'的方程为y- 3 = -13(x + 2)，即x + 3y- 7 = 0．解方程组⎧⎨⎩3x-y- 1 = 0，x + 3y- 7 = 0，得交点为M(1，2)，则M为线段AA'的中点，于是可得点A'的坐标为(4，1)．解法二：设A'(a，b)，由直线l为线段AA'的中垂线，得⎧⎨⎩b- 3a +2 ·3 = - 1，3 ·a- 22-b +32- 1 = 0．解得a = 4，b = 1．所以点A'的坐标为(4，1)．【例2】光线自点A(- 3，3)射出，经x轴反射以后过点B(2，5)，求光线自点A到点B所经过的路程．解：与点A(- 3，3)关于x轴对称的点是A'(- 3，- 3)，由对称性知，光线自点A到点B所经过的路程即线段A'B的长度|A'B| =(2 + 3)2 + (5 + 3)2 =89．所以光线经过的路程是89．【例3】已知点M(- 3，5)，N(2，15)，在直线l：3x- 4y + 4 = 0上找一点P，使|PM| + |PN|最小，并求出最小值．解：如图，由平面几何知识知，先作出与点M关于直线l对称的点M'，连结NM'，直线NM'与直线l的交点P即为所求．事实上，若点P'是l上异于点P的点，则|P'M| + |P'N| > |NM'| = |PM| + |PN|．∵k l =34，∴k MM' = -43．所以，直线MM'的方程为y- 5 = -43(x + 3)，即4x + 3y- 3 = 0．解方程组⎧⎨⎩3x- 4y + 4 = 0，4x + 3y- 3 = 0，得⎧⎨⎩x = 0，y = 1，则线段MM'与直线l的交点为Q(0，1)，所以Q是线段MM'的中点，于是得到点M'的坐标为(3，- 3)．直线M 'N 的方程为18x + y - 51 = 0．解方程组⎧⎨⎩18x + y - 51 = 0，3x - 4y + 4 = 0，得交点P 的坐标为833⎛⎫⎪⎝⎭，．此时，|PM | + |PN | = |PM '| + |PN | = |NM '| = (3 - 2)2 + (15 + 3)2= 513．说明：当M 、N 位于直线l 的两侧时， 可在l 上找一点，使||PM | - |PN ||最大． 【例4】在△ABC 中，顶点A (2，1)，B (- 1，- 1)，∠C 的平分线所在直线的方程为x + 2y - 1 = 0．求顶点C 的坐标．解：设点A '(a ，b )与点A 关于直线l ：x + 2y - 1 = 0对称，因为直线l 平分∠ACB ，所以，点A '必在直线BC 上，且线段AA '的中点在直线l 上，AA '⊥l ，因此⎧⎨⎩b - 1a - 2 = 2，a + 22 + 2 · b + 12- 1 = 0， 解得⎧⎨⎩a = 45，b = - 75．故点A '的坐标为 ⎝⎛⎭⎫ 45，- 75 ．所以，直线A 'B 的方程为2x + 9y + 11 = 0． 解方程组⎧⎨⎩2x + 9y + 11 = 0，x + 2y - 1 = 0，得⎧⎨⎩x = 315，y = - 135．所以，顶点C 的坐标为 ⎝⎛⎭⎫ 315，- 135 ．四、巩固练习1．点A (5，1)与点A '关于点M (1，2)对称，则点A '的坐标是 ________ ．(- 3，3) 2．直线l 1：x - 2y + 1 = 0与直线l 2关于点A (2，1)对称，则直线l 2的方程是 ____________________ ．x - 2y - 1 = 03．点P (1，1)与点P '关于直线l ：x - y - 1 = 0对称，则点P '的坐标是 ________ ． (2，0)4．直线l 1：2x + 3y + 6 = 0与直线l 2关于直线l ：x + y + 1 = 0对称，则直线l 2的方程是 ____________________ ．3x + 2y - 1 = 05．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 所在的直线分别是直线l 1：x + y - 1 = 0和l 2：x - y + 1 = 0，顶点A 的坐标是(1，0)，|BD | = 42，且顶点B 在第一象限，求顶点B 、C 、D 的坐标．B (2，3)，C (- 1，2)，D (- 2，- 1)解：解方程组⎧⎨⎩x + y - 1 = 0，x - y + 1 = 0，得⎧⎨⎩x = 0，y = 1，则直线l 1与l 2的交点为M (0，1)，点M 就是菱形ABCD 的中心．∵ 顶点A 的坐标是(1，0)，∴ 顶点C 的坐标是(- 1，2)． 由题意，可设顶点B 的坐标为(a ，a + 1)．∵ |BD | = 42，∴ |BD | = 42，∴ |BM | = 22，于是有 (a - 0)2 + (a + 1 - 1)2 = 22，解得a = ± 2，而顶点B 在第一象限，所以a = 2．所以，顶点B 的坐标是(2，3)，从而得到顶点D 的坐标是(- 2，- 1)．6．在等腰△ABC 中，AB = AC ，∠BAC 的平分线所在直线是1所在直线是l 2：x - y - 1 = 0．(1) 若BC 边的中点M 的横坐标为2，求顶点B 、C 的坐标；B (5，4)，C (- 1，- 8)解：解方程组⎧⎨⎩x + 2y + 2 = 0，x - y - 1 = 0，得⎧⎨⎩x = 0，y = - 1，则直线l 1与l 2的交点为A (0，- 1)．∵ AB = AC ，∴ ∠BAC 的平分线l 1垂直平分BC ，垂足是点M ， 又点M 的横坐标为2，∴ 点M 的纵坐标为- 2．由AM ⊥BC ，且k AM = - 12，得k BC = 2，由点斜式，得直线BC 的方程为y + 2 = 2(x - 2)，即2x = 0．解方程组⎧⎨⎩2x - y - 6 = 0，x - y - 1 = 0，得⎧⎨⎩x = 5，y = 4，则顶点B 的坐标是(5，4)，从而得到顶点C 的坐标是(- 1，- 8)． B (5，4)，C (- 1，- 8)或B (- 5，- 6)，C (1，6) (2) 若|BC | = 65，求顶点B 、C 的坐标．解：设BC 边的中点M 的坐标为(- 2b - 2，b )，顶点B 的坐标是(a ，a - 1)，由l 1垂直平分BC ，得k BC = 2，|BM | = 35，所以⎧⎨⎩a - 1 - b a + 2b + 2 = 2，(a + 2b + 2)2 + (a - 1 - b )2 = 35，解得⎧⎨⎩a = 5，b = - 2，或⎧⎨⎩a = - 5，b = 0．所以，顶点B、C的坐标是(5，4)，(- 1，- 8)或(- 5，- 6)，(1，6)．。
第25讲 图形的轴对称与中心对称
中心对称―→两个图形的位置关系，中心对称图形 ―→一个特殊的图形．
注意认真理解轴对称图形和中心对称图形的概念， 等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形．
【例 3】下列图形：①等边三角形；②平行四边形； ③菱形；④函数 y＝1x的图象；⑤函数 y＝kx＋b(k≠0)的 图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( C )
轴对称与轴对称图形
【例1】如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六
边形A′B′C′D′E′F′.下列判断错误的是( )
B
A．AB＝A′B′ C．l⊥BB′
B．BC∥B′C′ D．∠A′＝120°
两个图形关于直线l成轴对称―→对应点的连线被对称轴垂 直平分．
中心对称与中心对称图形
【例2】(1)下列两个字母成中心对称的是( B )
第25讲 图形的轴对称与中 心对称
数学
轴对称与轴对称图形
1．轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠后，能 够与________图形重合．
2．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线 ________的部分能够互相重合．
3．性质：对称轴是任何一对对应点所连线段点为________，关于y轴 的对称点为________．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
真题热身
1．(2014·潍坊)下列标志中不是中心对称图形的是( C )
2．(2014·烟台)下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是 中心对称图形的是( )D
3．(2014·深圳)下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图 形的是(B )
4．(2012·丽水)在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一 个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该 小正方形的序号是(B )