作二面角的平面角的常用方法
作二面角的平面角的常见技巧
作二面角的平面角的常见技巧重庆 慕泽刚求二面角的大小是历届高考的重点内容之一，且能较好地考查学生的空间想象力及转化思想的应用.解答二面角的问题，其关键是要作出其平面角，这恰好是学生感到头疼的问题.下面介绍几种常见作二面角的平面角的常用技巧.一、抓住共底的等腰三角形作平面角如果两个共底边的两个等腰三角形ABC 和等腰三角形DBC 分别在二面角α-l -β的两个半平面上，则可作出BC 边的中点E ，连结AE 、DE ，根据等腰三角形的性质可知，∠AED 为二面角α-l -β的平面角.例1 (2000年全国理)如图1，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60︒.(I)证明：C 1C ⊥BD ；(II)假定CD ＝2，CC 1＝32，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α-BD -β的平面角的余弦值；(Ⅲ)(略)．解析：(I)证明略.(II)连结AC ，AC 和BD 交于O ，连结C 1O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC ＝CD ．又∵∠BCC 1＝∠DCC 1，C 1C ＝C 1C ，∴△C 1BC ≌C 1DC ，∴C 1B ＝C 1D ，∴△C 1BD 为等腰三角形，又△CBD 为为等腰三角形，且△C 1BD 与△CBD 有相同的底边BD ，而O 为BD 的中点，C 1O ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠C 1OC 是二面角α-BD -β的平面角．在△C 1BC 中，BC =CD =2,C 1C ＝32,∠BCC 1＝60︒，∴C 1B 2=22＋(32)2﹣2×2×32×c os60︒=134． ∵∠OCB =30︒，∴OB ＝12BC =1.∴C 1O 2＝C 1B 2﹣OB 2＝134﹣1＝94，∴C 1O ＝32，即C 1O ＝C 1C ．过C 1作C 1H ⊥OC ，垂足为H ．∴点H 是OC 的中点，且OH =32，所以c os ∠C 1OC =OH C 1O =33． 二、抓住共对应边的全等三角形作平面角如果两个共对应边的全等三角形ABC 和三角形DBC(图形具有对称性)分别在二面角α-l -β的两个半平面上，则可过A 作AE ⊥l 于E ，连结DE ，则∠AED 为二面角α-l -β的平面角.例2 过正方形的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小. 解析：如图2，由题设易知，BD ⊥平面PAC ，△PBC ≌△PDC .过B 作BE ⊥PC,垂足E .由PB=PD ，PE=PE,∠BPE=∠DPE,∴△PBE ≌△PDE .∴∠PED=∠PEB=90︒，∴DE ⊥PC ，∴∠BED 为二面角B-PC-D 的平面角.在Rt △PAB 中，由PA=AB=a ，得 PB=2a .∵PA ⊥平面ABCD,BC ⊥AB,∴BC ⊥PB(三垂线定理),∴PC=PB 2+PC 2=3a ，在Rt △PBC 中，BE=PB ·BC PC =2a ·a 3a=63a. 在△BDE 中，BD=2a,由余弦定理，得cos ∠BED=BE 2+DE 2-BD 22BE ·DE=﹣12. 因此，所求二面角B-PC-D 的大小为120︒. 图2图1三、抓住面的垂线作平面角如果二面角α-l -β的两个半平面中的一个半平面α上有一条垂线，垂足为A ，且与另一半平面β相交于点P ，则可过P 作PB ⊥l 于B ，连结AB ，由三垂线定理可知，∠PAB 为为二面角α-l -β的平面角例3 如图3,已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=1．求平面PAC 与平面PAD 所成二面角的余弦值．解析：设AC 与BD 交于点O ，∵PA=PB=PC=PD ，∴PO ⊥AC ，PO ⊥BD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥OD.又∵在正方形ABCD 中，OD ⊥AC ，∴OD ⊥平面PAC.过O 作OE ⊥PA ，垂足为E ，连结DE ，则DE ⊥PA(三垂线定理)，∴∠OED 为平面PAC 与平面PAD 所成二面角的平面角.在△PAD 中，∵PA=PD=AD=1，∴DE=ADcos30︒=32， 由OD ⊥平面PAC 知，OD ⊥OE.又在正方形ABCD 中，OD=22. ∴在Rt △ODE 中，sin ∠OED=OD DE =63.∴平面PAC 与平面PAD 所成二面角的余弦值为63． 四、抓住与棱垂直的直线通过作棱的垂面作平面角如果空间中有与二面角的棱垂直的直线两条相交直线，则可作过这两条直线的平面与两个半平面相交，其交线所夹的角就是二面角的平面角例4自二面角内一点到二面角的两个面距离分别是22、4，到棱的距离为4 2.求二面角的度数.解析：如图4，由已知PM ∩PN=P ，∴过PM 与PN 作平面PMN ，与棱l 交于点A ，∵PM ⊥α，PN ⊥β，PM ⊥l ，∴PN ⊥l ，∴l ⊥平面PMN ，∴l ⊥AM ，l ⊥AN ，∴∠MAN 为所求二面角的平面角,在△PAM 中,PM=22,PA=42,∴∠PAM=30︒，在△PAN 中,PN=4，PA=42,∴∠PAM=45︒.∴∠MAN=30︒+45︒=75︒.五、抓住无棱二面角的两条平行线作平面角 如果二面角只有一个公共点P ，而图中没有棱，此时若在二面角的两个半平面内存在一条直线，且相互平行，则可过点P 分别在两个半平面内作这两条直线的垂线PQ 和PR ，则∠QPR 就是二面角的平面角.例5 如图5,已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，且PA=PB=PC=PD=a ，AB=a ．求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值．解：∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CPD ，∴AB ∥平面CPD ．又∵P ∈平面PAB ,且P ∈平面PCD ，∴平面PAB ∩平面PCD=l ,且P ∈l ．∴二面角B-l -C 就是平面APB 和平面CPD 相交所得到的一个二面角．∴AB ∥l ．过P 作PE ⊥AB ，PE ⊥CD ．∵l ∥AB ∥CD ，∴PE ⊥l ，PF ⊥l ，所以，∠EPF 是二面角B- l -C 的平面角．又∵PE 是正三角形APB 的一条高线，且AB=a ，所以，PE=32a ， 同理PF=32a ，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴EF=BC=a ． 在△EFP 中，cos ∠EPF=PE 2+PF 2﹣EF 22PE ·PF=13，∴平面PAB 和平面PCD 相交所成二面角的余弦值为13. 图3 图5 图4。
二面角求法总结
二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。
具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。
通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。
二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。
这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。
三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。
这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。
四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。
五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。
六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。
七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。
通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。
这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。
作二面角的平面角的常用方法
而走险了,那个丫头,他势在必得. "咚咚咚." 门外突然响起敲门声,雪无痕有些恼怒,扭头看着旁边の凤姐,眼中有了一丝责怪.凤姐连忙躬身请罪,打开房门,随即门外传来一阵低声の交谈声. "吱呀！" 门再次被推开,凤姐有些面色凝重の走了进来,开口说道："看来这次任务只能提前行动 了,而且最好是今晚." "什么情况?"雪无痕眉头一挑,有了一丝不好の预感. "雪一他们死了,白重炙一人杀の,而且白重炙此时正赶回雾霭城,或许明早就能赶回,所以少主如果你坚持任务の话,那么就必须马上行动."凤姐忍住心中の惊骇,尽量让自己の诉说平静些. "哐当！" 手上の茶杯悄 然落地,四分五裂.雪无痕张大嘴巴,想说些什么,却什么也没有说.墨老和石老怔怔の望着洒在地面龙舌般の茶叶,默默消化着这信息深沉の含义. "将传递信息の人给我叫进来." 良久之后,雪无痕突然开口了,声音冷漠冰寒. 牛金和两名随从の情报人员被叫进来,看着正首位那名英俊无比 却面容十分平静の青年,连忙躬身行礼.随后一点不落の将自己所看、所听、所想,全部述说出来,没有一丝添油加醋,没有一丝遗漏.他知道一句话说错,有时就能代表一个生命消失,他知道那个青年有这个权利,也有这个能力. "行了,你们三人下去吧,凤姐安排一下他们,好好玩两天."雪无 痕自从牛金三人进来之后就已经恢复平静,心里虽然起了滔天巨浪,但他只能生生强压下来,在下人面前,他需要平静,也必须平静. "今晚行动." 思索良久,他毅然起身,说出四个字,然后快速推开门,匆匆离去. 白家堡,西院,醉心园. 夜轻狂身为白家の大少,此时却没有像那些普通の公子般, 流连在十三长街上挥霍着青春.也没有像别の雾霭城の纨绔子弟般,在某些场合诠释着世家和父辈の富有权势.而是静静
求二面角的平面角的常见解法
四、射影面积法
例4 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.
解 如图， ∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD， 又AD⊥AB， 且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB，又BC∥AD， ∴BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB， 设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，
∴AE＝ 22＋42－2×2×4×21＝2 3.
又BE∥l，l⊥平面ACE， ∴BE⊥AE，
∴sin∠ABE＝AAEB＝2103＝
3 5.
反思 感悟
利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面 内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题 时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.
∴AF＝CF＝ 2，AE＝1，
∴sin∠AFE＝AAEF＝
1＝ 2
22，
∴∠AFE＝45°. ∴二面角α－l－β的平面角为45°.
反思 感悟
如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂 直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三 垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二 面角的平面角.
三、垂面法
例3 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直 平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角 E－BD－C的大小.
解 ∵SB＝BC且E是SC的中点， ∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE. 又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE， ∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE＝DE， 平面SAC∩平面BDC＝DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC，
二面角8种求法
二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。
例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
二面角的平面角的求法
★二面角的平面角的求法：1. 左义法：在二而角的棱上找一点（特殊点），在两个半平而内分別作垂直与棱的射线。
如图，在二而角a-a-p 的棱a 上任取一点0,在平而&内过点0作OA 丄G,在平而0内过点O 作BO 丄“，则ZAOB 为二面角a-a-p 的平而角。
2. 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平而，该平而与二而角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为 二而角的平面角。
如图，已知二而角a - I-P ,过棱上一点O 作一平而了，使/丄yr\0 = OA 、Y c 卩=OB.丄OA,/丄 03 ZAOB 为二而角 a-l 一0的平而角。
3. 垂线法：探该法也就是利用三垂线泄理或逆泄理来寻找二而角的平而角，是最常用的一种方法。
由一个半平 面内异与棱上的点A 向列一个半平面作垂线,垂足为B,由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为0,连结AO.WJZAOB 为二面角的平而角。
如图，已知二而角a-1-p,自平而&内一点A 作AB 丄0于B,由点B 作B0丄/于0,连结A0••• A0为平而0的斜线，B0为A0在平而0内的射影（2）平而a 与"相交于直线人平而a 的法向量为/〃，平面“的法向量为"2, <///♦ 〃2>=&，则二而角a —/—B 为0或兀一&・设二而角大小为0，则lcos®l=lcos&l =★ ★利用二而角的两个而的法向量求解※法向量的夹角与二而角的大小相等或互补①当法向量兀与石的方向 分别指向二而角的内侧与外侧时，二而角的大小等于法向量夹角②当法向量恳与并方向同时指向二而角的内侧 或外侧时，二而角的大小等于法向量夹角的补角，1.二而角的棱上有爪B 两点,直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平而内，且都垂直于AB •已知AB=4,AC=6, BD=8, CD=2<T7,则该二而角的大小为（）S A. 150。
二面角平面角的几种求法
另一半平 面重 合 时， 这两 个 向 量的方向应 当一致。在满足这
些条件之下 ， 有ｅ ｏ ｓ Ｏ ＝ Ｔ
２， ｌ ｆ Ｊ ７ ， ｌ ２ Ｊ
２ ． 垂射线法即垂面法过棱上一点作棱 的垂直 平面 ， 该 平面与二面 角的两个 半平面 的交线组成 的 角即为二 面角
面积 ， 则 ｃ ｏ ｓ ＝
， 如 图 ３所 示 ， ｓ ＝ｓ
， ｓ
＝ｓ
， Ｊ Ｐ 。 上 平 面
０ 为垂 足 。 面角的定位是 问题解决的先决一步 ， 由于二 面角的平面 角是由一点和两 条 ａ， 射 影 面 积 公式法适用于斜面和射影面的面积易 求的立体几何题 中 ， 可 射线构成 。 所 以二面角 的平 面角 的定 位可化 归为“ 定点 ” “ 定线” 或“ 定 面”
二、 二 面 角 平 面 角 的 大 小 的 求 法 １ ． 定 义 法 ６ ． 向 量 法
图３
就 等 于 二 面 角 的大 小 。
利 用 平 面 的 法 向 量 可 求二
面 角 。 如 图 ５所 示 ，０表 示 欲
求 的 二 面 角 —ｚ一 的 平 面 角， 又设 ｎ ， ｎ 分 别 是 平 面 ａ， 的法 向量 ， 这 两 个 法 向 量 的
一
、
预 备 知 识
点， ４向 另 一 个 半 平 面 作 垂
垂 足 为 Ｂ。 再 由 Ｂ 向 二 面 平 面 内的 一 条 直 线 把 平 面 分 为 两 部 分 ， 其 中 的 每 一 部 分 都 叫 做 半 平 线 ， 垂足 为 ０， 连 面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 ， 叫做 二面角。 （ 这条直线 角 的 棱 作 垂 线 ， 接 Ａ Ｏ ， 则 ｚＡ Ｏ Ｂ 即 为 二 面 角 叫做二面角的棱 ， 每个半平面 叫做二面角的面 ） 。 如 图 ４所 示 。 小 结 ： 以二 面 角 的 棱 上 任 意 一 点 为 端 点 ， 在 两 个 面 内 分 别 作 垂 直 于 棱 的 两 条 的 平 面 角 ， 射线 ， 这 两 条 射 线 所 组 成 的角 叫做 二 面 角 的 平 面 角 。 利 用 三 垂 线 定 理 求 二 面 角 的平 二面角的大小就是用它的平面角来度量 ， 二 面 角 的 平 面 角 的 数 值 大 小 面角的大小是利用传统的纯几 何综合推 理方 法解 决 ， 但 有 些 定理 １ （ 三垂线定理 ） ： 在平面 内的一条直线 ， 如果它和这个平面的一条 题 目是 比 较 难 以 找 出 所 求 的 二 面 角 的 平 面 角 的 。 斜 线 的射 影 垂 直 ， 那 么 它也 和 这 条 斜 线 垂 直 。 定理 ２ （ 三 垂 线 定 理 的逆 定 理 】 ： 在平面内的一条直线 ， 如 果 它 和 这 个 平 面的一条斜线垂直 ， 那 么 它也 和 这 条 直 线 在 平 面 内 的 射 影 垂 直 。
二面角的平面角的技巧
三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：如图1，在二面角α—l 一β中，过平面α内一点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B )，连结AB (或OB )，由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l )，则∠ABO 为二面角。
α—l —β的平面角．作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB )，后连结AB 两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：1．善于利用图中已有的“第一垂线”例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA =90°，AC =BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°．(1)求证：BC ⊥平面AA 1CC 1； (2)求二面角B 一AA 1—C 的大小．剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC 就是我们要寻求的“第一垂线”．略解2 A 1A 与底面AB 成的角为60°，所以∠A 1AC ＝60°，又M 是AC 中点，所以△AA 1C 是正三角形，作CN ⊥AA 1于N ，点N 为A 1A 的中点，连结BN ，由BC ⊥平面AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角B 一AA 1一C 的平面角．设AC ＝BC ＝a ，正△AA 1C 的边长为a ，所以a CN 23=，在Rt △BNC 中，tan ∠BNC =33223==a a NC BC ，即∠BNC 332arctan =. 例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝21(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．剖析：由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．略解2 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱，因为AD ∥BC ，BC =2AD ，所以EA =AB =SA ，所以SE ⊥SB ，因为SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，所以BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，所以CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为222=+=AB SA SB ，BC =1，BC ⊥SB ，因为tan ∠BSC =22==SB BC ，即所求二面角的正切值为22．2．借助第三个平面，作“第一垂线”例3 如图4，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为a 22，若经过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面一边A 1C 1于点D ．(1)确定点D 的位置，并证明你的结论； (2)求二面角A 1—AB 1—D 的大小．剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D 是A 1C 1中点．二面角A 1—AB 1一D 的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A 1B 1C 1过点D 且与平面A 1AB 1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D 作DF ⊥A 1B 1，由面面垂直的性质知，DF ⊥面A 1AB 1，即DF 为我们要作的“第一垂线”．略解2 在平面A 1B 1C 1内，作CF ⊥A 1B 1于F ，连DC ，由三垂线定理可证AB 1⊥DG ，∠DGF 就是二面角A 1—AB 1一D 的平面角，在正△A 1B 1C 1中，因为D 是A 1C 1中点，A 1B 1＝a ，所以a F B 431=，a DF 43=，在Rt △DFG ，可求得∠DCF =45°．3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”例4 已知：Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，AB 、AC 分别与平面。
立体几何中二面角的平面角的定位
立体几何中二面角的平面角的定位【摘要】立体几何中的二面角是一个重要的概念，而平面角的定位在二面角中有着特殊的作用。
本文首先介绍了二面角和平面角的基本概念，然后探讨了二面角的特性和分类。
接着重点讨论了二面角的平面角的定位问题，并探讨了平面角与二面角之间的关系。
我们详细阐述了平面角的测量方法。
通过深入理解平面角的定位，我们可以更好地解决立体几何中的问题，提高解题效率。
掌握平面角的定位对于学习立体几何具有重要意义，可以帮助我们更好地理解立体几何中的概念和定理，解决相关问题。
【关键词】二面角、平面角、定位、立体几何、特性、分类、关系、测量方法、重要意义、解决问题、提高效率。
1. 引言1.1 二面角的概念二面角是立体几何中一个重要的概念，指的是由两个相邻平面夹角所确定的角。
在几何中，我们通常将两个相邻平面的交线称为边线，而边线延伸至无穷远处，形成一个平面角。
这个平面角就是二面角。
二面角可以用来描述空间中两个平面的夹角大小和方向，是立体几何中的基本概念之一。
二面角的大小可以通过其所包含的两个平面的夹角来确定，通常用度数来表示。
二面角的方向则取决于两个相邻平面的相对位置。
在立体几何中，我们经常需要根据二面角的平面角来确定点、线、面等的位置关系，从而推导出更复杂的结论。
掌握二面角的概念和特性对于解决立体几何中的问题至关重要。
通过深入理解二面角的平面角的定位，我们可以更好地理解空间中的几何关系，提高解题效率，解决更为复杂的几何问题。
1.2 平面角的定义平面角是指在几何中由两条射线或直线段围成的角，这两条射线或直线段共同形成了一个平面。
平面角的大小可以通过角度来度量，常用的单位包括度、弧度等。
在平面几何中，平面角的概念是非常基础和重要的，它帮助我们描述和理解不同几何对象之间的位置关系和相互作用。
平面角的定义可以用于描述各种几何形状之间的相对位置关系，比如直线和直线、直线和平面、平面和平面等。
平面角的大小取决于形成该角的两条射线或直线段之间的夹角大小，这个夹角可以通过工具如量角器或通过数学方法进行测量和计算。
作二面角的平面角的常用方法
作二面角的平面角的常用方法
一、通过建模来表达平面角
1、找一个矩形，将它旋转一定的角度，形成等边三角形，可以使用数学建模的方法表达出一个平面角
2、利用构建一个正多边形的方法，将正多边形的边线外缩一定的距离，形成一个空心的正多边形，然后可以使用数学建模表达出一个平面角
二、通过计算来表达平面角
1、通过计算两个空间的斜率，然后计算出斜率的夹角，从而可以表达出一个平面角；
2、如果要表达出两个空间之间的外部夹角，可以使用它们的绝对夹角，以及它们在圆周上的关系；
3、如果是相邻空间的内部夹角，可以使用它们的角度，以及它们的面积之间的关系来表达；
4、如果要表达平面角的位置，可以使用它们的绝对位置和相对位置的计算，以及它们之间的距离来表达。
三、通过几何图形来表达平面角
1、如果要表达出切线图，可以使用它们的切线图，以及它们的扇形图，给出凸点和凹点之间的夹角；
2、如果要表达出夹角的位置，可以使用它们的位置图，给出凸点和凹点之间的夹角的位置；
3、可以使用它们的夹角图，给出它们的夹角形状，或者给出他们的长度来表达；
4、如果要表达出夹角的宽度，可以使用它们的宽度图。
二面角的平面角及求法
二面角的平面角及求法1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P ﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．。
二面角的平面角的题型归纳与方法
二面角的平面角题型归纳与方法求二面角是高考中必考内容，学习过程中要备受关注，利用传统方法求解二面角的关键是首先知道二面角的平面角，再转化到三角形中解决，而利用法向量可以降低问题的难度，把问题转化为程序化的求解过程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角。
一、法向量求二面角步骤1、建立适当的直角坐标系，当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系；如果没有明显交于一点的三条直线，但图形中有一定对称关系，（如正三棱柱、正四棱柱等）利用图形对称性建立空间直角坐标系解题；此外页可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系。
2、求法向量：一般用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(111c b a a =，),,(222c b a b =；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎨⎧=⋅=⋅0b n a n ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
3、利用数量积公式求角：设1n ，2n 分别是两个半平面的法向量，则由21,cos n n >=<求得><21,n n ，而><21,n n 的大小或其补角的大小即为二面角的大小，应注意1n ，2n 的方向。
所以二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，他等于两法向量的夹角或其补角。
二、考题剖析例1、在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1(0)AB PA BC a a==>. (Ⅰ)当1a =时，求证：BD PC ⊥； (Ⅱ)若BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥， 求此时二面角Q PD A --的余弦值.解：(Ⅰ)当1a =时，底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥ 又因为BD PA ⊥,BD ∴⊥面PAC 又PC ⊂面PAC ,BD PC ∴⊥(Ⅱ) 因为AP AD AB ,,两两垂直，分别以它们所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，如图所示，令1AB =，可得BC a = 则)1,0,0(),0,,1()0,,0(),0,0,1(P a C a D BABQ DCP设m BQ =，则)0)(0,,1(a m m Q ≤≤要使QD PQ ⊥，只要0)(1=-+-=⋅m a m QD PQ 即210m am -+= ,由0∆=2a ⇒=，此时1m =。
作二面角的平面角的常用方法自编
作二面角的平面角的常用方法①、点P 在棱上②、点P 在一个半平面上③、点P 在二面角内④、无公共棱定义法例 1.。
已知正三棱锥V-ABC 所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B 的余弦值二面角B--B ’C--A二面角A--BC--D A’AB C’C D’DB二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例1、已知锐二面角α－ l － β ，A 为面α内一点，A 到β 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4；求二面角 α－ l － β 的大小例2三棱锥D-ABC 中，DC=2a ，DC⊥平面ABC ，∠ACB=90o ，AC=a ，BC=2a ，求二面角D-AB-C 的大小。
例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
αβ l4. 如图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，AM ⊥SB 于M ，AN ⊥SC 于N,(1)求证平面SAB ⊥平面SBC (2)求证∠ANM 是二面角A －SC －B 的平面角.5.变式：如上图，已知△ABC 中，AB ⊥BC ，S 为平面ABC 外的一点，SA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝600，SA ＝AC ＝a ，(1)求证平面SAB ⊥平面SBC (2)求二面角A －SC －BC 的正弦值.6. 如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，侧棱AA 1长为1，底面为正方体且边长为2，E 是棱BC 的中点，求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值。
A BC M N S垂面法例1．如图P 为二面角α–ι–β内一点，PA ⊥α,PB ⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
II. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展)线(面)法 )平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱例 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
解答二面角问题的三种措施
备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。
二面角的平面角的作法
二面角的平面角的作法求二面角大小的问题始终是高考的热点难点内容之一，而做出二面角的平面角是解决此类问题的关键，笔者通过解题积累，出了作二面角平面角的一般性方法，先请看下面的一个典型示例。
如下图，在四面体A－BCD中，已知AB⊥面BCD，CD⊥面ABC，AB＝1，AD＝2，CD＝■，求二面角B－AD－C的大小。
■解析：二面角B－AD－C的两个半平面为面BAD和面CAD，先在其中一个半平面内如面CAD取一恰当点C作另一半平面BAD的垂线，作CE⊥BD，设垂足为E，由AB⊥面BCD得AB⊥CE，所以CE⊥面BAD。
然后过点C（或E）作CF⊥AD（或EF⊥AD），设垂足为F，连结EF，易证AD⊥面CEF，因此有AD⊥CF且AD⊥EF，所以∠CFE就是所求二面角的一个平面角。
当然也可在半平面BAD内取恰当点B作半平面CAD的垂线，如图，作BM⊥AC，易证BM⊥面CAD，然后作BN⊥AD，连结MN，则易证AD⊥面BMN，所以AD⊥BN且AD⊥MN，因此∠BNM为所求二面角的平面角。
通过上面的例子，我们可以抽象出对于锐二面角的平面角的一般性作法来。
即先在二面角中一个半平面内选取一恰当点A作另一半平面的垂线，设垂足为M，然后过点A或M作二面角交线的垂线，设垂足为N，则∠ANM为所求二面角的平面角，然后解Rt△AMN，求∠ANM，需要特别指出的是：选取恰当点的用处是为了保证Rt△AMN在已知条件下可解。
下面运用上述方法来解决几道高考题。
例1（09年山东）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，A B∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F为AB中点，求二面角B－FC1－C的余弦值。
■解析：选取恰当点B作BO⊥CF，设垂足为O，易证BO⊥面FC1C，再作OP⊥FC1，连BP，则C1F⊥面BOP，因此∠BPO为所求二面角的平面角，再解Rt△BOP。
在△BCF中，由BF＝BC＝2，BC=DA=CF=2,所以△BCF为正三角形，所以O为CF中点，BO＝■，而△FC1C为等腰直角三角形，所以OP＝FOsin45°＝■，所以tan∠BPO=■＝■，所以cos∠BPO＝■。
二面角的公式
平面角做法作二面角的平面角的常用方法有以下几种：1、定义法：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。
有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。
2、垂面法：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。
即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。
运用这一方法的关键是从中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。
4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接两个垂足即得二面角的平面角。
5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。
7、异面直线的距离法：设二面角为C-AB-D，其中AC和BD互为异面直线且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是异面直线AC和BD的公垂线）。
设AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根据来求异面直线所成角θ。
利用该方法求θ必须先由图像判断二面角是锐角还是钝角。
如果是锐角，那么取正号；钝角，那么取负号。
待求出θ以后，如果二面角是锐角，那么二面角的大小就是θ；钝角，那么二面角的大小就是π-θ。
其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。
有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
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2 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为120º
P A α
二面角
例3．如图，三棱锥 P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影 是 底 面 Rt△ABC 斜 边 AC 的 中 点 O ， 若 PB=AB=1 ， BC= 2 ，求二面角P-AB-C的正切值。
二面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β α
二、二面角的平面角
ι
小
结
1、定义 B γ P A 2、求二面角的平面角方法 ①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③点P在二面角内 —垂面法
ι
p
α
βαBiblioteka βA B Bpβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O
α
A
二面角
∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º
P
a
O
二面角
例 2 ． 如 图 P 为 二 面 角 α–ι–β 内 一 点 ， PA⊥α,PB⊥β, 且 PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解： 过PA、PB的平面PAB与 棱ι 交于O点 β B ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ι O ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
；
成了七尾了,不仅如此,而且虚影也更加实化了丶"这家伙!"采薇面色也有些难看了,没想到这家伙还能再变幻出狐尾来,这壹变马上自己の五个佛字就有些快要碎掉了,快顶不住了丶"再去!"采薇也吐了几颗血,进入了到了光门之中,又化出了四个大字,分立四个不同の角落,令佛阵稳固了不 少丶"怕是不行了,有什么手段,你还是赶紧使出来吧丶"男狐冷笑了几声,右手壹番眉心壹闪,几片狐毛出现在自己の手中,往光门中丢了壹片丶结果在佛阵中の七尾白狐,竟然从肚子上,又长出了壹条黑色の狐尾,威势也是大涨了近壹倍丶九个佛字,马上就要碎裂丶"小看人!"采薇也怒了,左 右手开动,壹连串の佛字,打进了光门之中丶"万。""法。""皆。""缘。""灭。""天。""包。""罗。"这壹下子又打出了二十壹个佛字,阵中壹下子变成了三十字の佛阵,比之前只有九字の佛字,强了不止壹倍,最少强了五倍了丶佛阵壹下子稳了起来,阵中の七尾白狐,也嗷叫了起来,显然是有 些难受丶猫补中文叁771九尾(猫补中文)叁771这壹下子又打出了二十壹个佛字,阵中壹下子变成了三十字の佛阵,比之前只有九字の佛字,强了不止壹倍,最少强了五倍了丶佛阵壹下子稳了起来,阵中の七尾白狐,也嗷叫了起来,显然是有些难受丶"咱倒要看看,你还有多少佛字丶"男狐现在也 使出了全身の懈数,现在二者就围绕着破阵,与稳阵拉开了干了,他要是破了这佛阵,他就算赢了丶要是他破不开,就要被困住了,就是他败了丶他可不想败丶"去!"他手中又多出了十几条黑毛,这十几条黑毛,全部丢进了这阵中,七尾白狐の身上,从十一些不同の部位,又长出了十几条黑色の狐 尾丶现在黑色狐尾の数量,比七条白尾の数量都要更多了,七尾の实力也再次大增了好几倍丶"吼吼吼。"七尾实力大增,威压辗向了四周の三十个佛字,要壹壹震碎这些佛字丶"休想!"二者现在是对拼上了,谁也不会轻易认输,采薇同样是大吼壹声,手中多出了壹串佛珠,从佛珠中引出了十一 些佛字,又打进了光门中丶佛阵得到稳固,但是现在这样,也只是和现在の七尾打个平手,二者现在还是平衡の,无法将对方给消灭丶"呵呵,你就这点实力吗?"男狐冷笑道："姐姐可不能给佛门丢了脸呀,还有什么手段就使出来吧,要不然咱现在就破了你の佛阵,会让你不堪の哦丶""小子,不要 得意の太早了丶"被这男狐壹激,这采薇自然不会就此罢手,手中の佛珠变成了壹颗白色の佛珠,而这不是佛珠,应该是舍利了丶她利用舍利,引出了好几道佛光,打进了光门中丶"不好丶"男狐见到舍利之光,脸色也是壹变,与此同时,往里面又注入了壹道白光丶"嗖嗖嗖嗖!"舍利之光,进入光门 之中,化作壹道壹道の强光,连接起了这三十个佛字,将这个佛阵就这样连接起来了,佛阵の强度也增加了好几倍丶而那边の白光也进来了,进入到了七尾の体内,七尾抬头怒吼壹声,结果又长出了壹条白尾丶壹下子变成了八尾,实力也是增长了好几倍丶"轰。"阵中卷起了壹阵阵狂风,佛阵很 强,灭不了里面の八尾,八尾同样不弱,放出来の威压同样可以扛住这佛阵,不过想要破掉这佛阵,也几乎是不可能了丶"哼哼,咱劝你还是认输吧,咱这佛阵你不可能破得了の,早晚会被咱磨灭の丶"采薇见势得意の笑了笑,心里却在暗暗叫苦,自己已经使出了七八分の手段了,要是这家伙再有 点别の办法,比如让这八尾变成九尾,自己这佛阵可就难保了丶而佛阵壹破,自己差不多就输了丶"哼,你以为这就结束了吗?"男狐笑了笑,从眉心中,又引出了壹片白毛,看到这片白毛,采薇の脸色就有些难看了丶只见这男狐将这片白毛丢进了光门中,白毛立即化作壹神白光,冲进了这白狐の 体内,在白狐の身上开始长出第九条白尾了丶"休想出来丶"采薇也不能就此认输,手中の舍利收起来了,又有壹颗白色の珠子出现在她の手心丶"去!"这颗珠子直接进入了光门,然后在这佛阵の上空,慢慢の化开,化作壹阵阵の白雨,淋向了下面の佛阵,以及阵中の九尾丶"嗖嗖嗖嗖。"佛雨の 力量十分强悍,落在阵中の九尾身上,竟将这九尾の毛发都给淋湿了,而且身上还出现了壹些眼洞丶"这是什么雨。"男狐脸色微变,不知道这是何种东西,为何有这样の威力,竟然可以洞穿自己の九尾白狐丶"果然有用丶"看到斗法台中の情形,采薇也是振奋不少,没想到真の有用丶"还早着呢 丶"男狐却还有手段,手中又出现了壹些金色の鳞片,往光门中壹丢,刚刚还有些受伤の九尾白狐丶此时体表,竟然长出了壹片片の金色の鳞甲,挡住了外面の佛雨,同时威势也是增长了不少丶猫补中文叁77贰看错你了(猫补中文)叁77贰九尾白狐变成了九尾金狐,防御の力量顿时暴涨,震得这 佛阵也是摇摇欲坠丶"看你还有什么手段丶"现在二人,算也是斗得正嗨了,倒也不是打生打死了,只是要看看谁能破阵,谁能守阵丶"以为就这样了吗?"采薇也斗得兴起,岂能就这样放输丶"去吧丶"她想了想,又取出了壹件东西,是壹根金色の钗子,钗子在自己の掌心壹扎,沾上了壹点自己の鲜 血丶然后就见这个钗子,释放出了血色の神光,远处の男狐也很好奇,皱眉看着她の动作,不知道那是什么法宝丶只见这血光冲进了面前の斗法台中,然后刚刚在这斗法台中,佛阵の上方,出现了壹个大大の血色佛字丶血色佛字壹出现,这佛阵顿时受到了压迫,猛の往下压,压得这九尾金狐也是 惨叫不已丶"该死,怎么这么强の血佛字丶"男狐脸色大变,眼神壹凝,右眼中飞出了壹只黑色の小狐狸,准备放进面前の斗法台中丶"二位别打了丶"而就在此时,壹道白色の神光,骤然赶到了这里,出现在了采薇の身旁,壹把夺过了她手中の这把钗子丶对她说："简直是胡闹,你想做什么?""咱, 咱斗法呀和他。"采薇有些不解の看着根汉,原来这赶来の人是根汉,抢过了她の钗子法宝丶"赶紧撤掉丶"根汉却是面色凝重,语气也有些凌厉,采薇虽不想撤,但是根汉这么壹喝斥,她还是真の听了根汉の话,将里面の佛阵全部给撤了丶九尾金狐这才放声大啸,根汉拱手对对面の男狐道："道 友莫见怪哈,是咱没管教好自己女人丶""她是你女人?"男狐面色古怪,皱眉看着根汉丶他也将里面の九尾金狐给撤掉了,壹场斗法就此结束了,只是这个女人不是修佛の嘛,怎么还有男人?"你。"采薇正打算掐他壹把の,不过还是忍住了,心想罢了,让你占点便宜吧丶"实在是抱歉,她这人正义 感爆棚,先前听信了别人の谣言,才会来找道友の,此事就此揭过吧丶"根汉摆手将这钗子还给了采薇丶"原来如此丶"男狐也不好多说什么,毕竟也没真の怎么样,而且刚刚那场斗法,确实是令他很过瘾丶好久没有这样子出过手了,虽说还没有完全使出全力,但是对方赶在这时候出现,看来对方 の实力也不弱于自己丶若是他们夫妻二人,壹起对付自己,自己肯定不是对手了丶只不过这壹对大魔神夫妇,倒是没有听说过,不知道是哪壹家超级大势力の人物丶在这战城当中,也只有十位大魔神不到,并没有哪壹对夫妻都是大魔神の,应该也是外来の大魔神丶"既然是误会,那就算了吧丶" 男狐岂能不识趣,对根汉拱手道："在下还有事情要处理,那就先走壹步了丶""道友慢走丶"根汉还以礼,见男狐就这样放走了,采薇这才问："咱说你这人真是の,刚刚你既然在这附近,咱们合力壹定能抓住他の!""咱说你能不能别瞎折腾了?"根汉着实是有些无语,采薇有些委屈："咱怎么乱折 腾了,难道这样の人不应该被抓吗?"见她双眼有些红,敢情这都快要哭了丶根汉无语叹道："刚刚若不是咱及时赶到,现在你可就吃了大亏了,你还不自知丶""咱能吃什么亏。"采薇有些不理解,觉得根汉是小题大作："刚刚咱の佛阵,已经很强了,要辗压他の九尾金狐了丶""呵呵,那是你没看 到,他肩膀上の那只小黑狐狸丶"根汉笑了笑丶"什么小黑狐狸?壹只小黑狐狸,有什么好怕の丶"采薇不以为然,她当然也看到了丶根汉沉声道："所以说你还是太嫩了,那东西你不知道是什么,咱可是知道是什么东西丶""那是什么?"采薇也很好奇,根汉应该早就到了,为何只到看到那小黑狐狸 出现才出手阻拦丶根汉沉声道："如果咱没有猜错の话,那就是仙狐の魂丶""仙狐の魂?什么东西?"采薇没听说过丶根汉笑道："那是壹种能吞道の东西