微积分求法
微积分计算公式
微积分计算公式
微积分是研究可以量化连续变化的数学分支，主要包括积分、微分及函数的求导、求积等内容。与其他的数学学科不同的是，微积分把求解过程和求解结果联系在一起，其结果可以表示为一个方程，即公式。微积分公式是这一学科的核心内容，也是最重要的知识点，正确的掌握和应用公式是这一学科取得成功的关键所在。
首先，最基本的微积分公式，也就是微分的基本公式，是：f′(x)=limh→0f(x+h)f(x)h 。这个公式表明，函数 f(x)点 x的导数，等于函数在点 x+h的取值与函数在点 x的取值的差值，除以此时的h。在这个基本的微分公式之上，还有一些常用的微分公式，例如：微分 y= ax n公式为：Dy=nax n1 。
积分也是微分的一个重要方面，其最基本的公式是：∫
f(x)dx=F(x)+C这里 F(x)示函数 f(x)积分，C示积分常数。积分是用来求取函数的积分面积，而积分公式是进行函数求积的基本公式。
此外，还有许多其它的常用的微积分公式，例如积分微分公式，椭圆积分公式，余弦积分公式等。积分微分公式是将微分操作和积分操作结合起来的公式，椭圆积分公式是根据椭圆来求解函数积分的公式，余弦积分公式是使用余弦函数求解函数积分的公式。
此外，微积分还有一种特殊情况，也是其重要分支，即积分变换。积分变换是把分析问题变换成数学模型，并使用积分来求解这些模型的解决方案的一种方法。积分变换的基本思想是，根据原始问题，利用积分的运算建立合适的模型，并解决这些模型，从而得到最终的结
果。
总之，以上就是微积分中常用的公式。对于学习微积分，要牢记这些公式，并熟练应用在实际的问题中，才能取得更好的学习成果。
微积分基本公式与计算
xdx
0 2cos2 x
1 2
4 xsec2 xdx
0
u x, v sec2 x
u 1, v tan x
12xtanx04
1
4
20
tanxdx
812lncosx04
8
ln2 4
.
例4 求
1
e
xdx.
0
解 令 x t , 则 x = t 2, dx = 2tdt
原式 = 2 1 t e t d t 0 u t, v et u 1, v e t
12 20
u a rc sin x v 1; u 1
1 x2
11
(1x2)2 2
v x
12
0
3 1 12 2
3、定积分的计算技巧 1）偶倍奇零
规律 设 f(x ) C [ a ,a ],
(1) 若 f(x)f(x),则 a af(x)dx20 af(x)dx (2) 若 f( x)f(x),则aaf(x)dx0
e
2
e2 x2 1dx]
2
11x
1
[2e4
1
x2
e2
]
2
21
u ln x v x; u 1
x v 1 x2
2
1Baidu Nhomakorabea3e4 1) 4
例3 计算
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个
1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...
3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bf
微积分—基本积分公式
微积分—基本积分公式
微积分中的基本积分公式是指一些常见函数的不定积分的规律性表达式，方便我们计算积分。在这篇文章中，我们将介绍一些常见的基本积分公式，并给出它们的简单证明。
一、常数函数与幂函数的积分
1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1
这个公式可以通过对积分求导验证。
二、三角函数的积分
1. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
这个公式可以通过对积分求导验证。
2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C
这个公式可以通过对积分求导验证。
三、指数函数与对数函数的积分
1. ∫e^x dx = e^x + C
这个公式可以通过对积分求导验证。
2. ∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a>0且a≠1
这个公式可以通过对积分求导验证。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C，其中x≠0
这个公式可以通过对积分求导验证。
四、三角函数的一些特殊积分
1. ∫sin^2(x) dx = (1/2)(x - sin(x)cos(x)) + C
这个公式可以通过对积分求导验证。
2. ∫c os^2(x) dx = (1/2)(x + sin(x)cos(x)) + C
这个公式可以通过对积分求导验证。
3. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C
这个公式可以通过对积分求导验证。
五、一些常见函数的积分
1. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C
这个公式可以通过对积分求导验证。
2. ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C
微积分求解方法与技巧
微积分求解方法与技巧
微积分是数学中非常重要的一个分支，它涉及到函数的极限、导数和积分等概念和运算，是研究变化和量的增长的工具。微积分涉及的问题种类繁多，求解方法也各不相同。下面将介绍一些常用的微积分求解方法与技巧。
1. 求解极限：极限是微积分的基础，它描述了函数在某一点处的趋势。求解极限的方法主要有代入法、夹逼法、无穷小量法和洛必达法等。
- 代入法：当函数在某一点存在有限的定义或者可以通过化简得到确定的值时，可以直接将极限点代入函数中求解。
- 夹逼法：当无法直接代入求解极限时，可以通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们在极限点周围趋近于同一个值，从而求得极限。
- 无穷小量法：利用无穷小量的性质进行运算，将极限问题转化为无穷小量之间的比较，从而求解极限。
- 洛必达法：适用于0/0或∞/∞的极限形式，利用洛必达法则将求解极限的问题转化为导数的计算。
2. 求解导数：导数描述了函数在某一点的斜率，它具有很多应用，比如求解函数的极值和函数的变化趋势等。求解导数的方法主要有定义法、基本导数公式和导数的运算法则等。
- 定义法：导数的定义是极限的一种特殊形式，根据定义求导的方法就是计算极限。
- 基本导数公式：利用一些基本函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等的导数公式，可以简化导数的计算。
- 导数的运算法则：利用导数的运算法则，如和差法、积法、商法和复合函数的求导法则等，可以通过对复杂函数的拆分和运算得到导数的结果。
3. 求解积分：积分是求解函数的面积、定积分和不定积分等概念的工具，它具有很多应用，比如求解曲线下的面积和函数的反函数等。求解积分的方法主要有不定积分和定积分两种方法。
高等数学微积分
高等数学微积分
高等数学微积分是数学中的一门重要学科，也是各个工科、理科中的必修课程之一。微积分的基本概念是无穷小和极限，其研究对象是变化中的量和量的变化率。微积分主要涉及到导数、积分、微分方程等知识。
一、导数
导数是微积分最基本的概念之一。导数表示函数在某一
点上的变化率，可以理解为切线的斜率。导数的求法主要有极限法和微商法两种方法。其中，极限法是通过求出某一点的左侧或右侧的斜率来得到导数；微商法则是通过对函数进行微小增量的变化来推算导数。
二、积分
积分是导数的逆运算，是微积分中的另一个基本概念。
积分可以理解为曲线下的面积，也可以看作是一个变量在一定范围内的累加。积分的求法主要有不定积分和定积分两种方法。其中，不定积分是指求导数的逆运算，求出的结果为原函数；定积分则是对函数在一定范围内的积分，求出的结果为该变量在该范围内的累加。
三、微分方程
微分方程是微积分中的另一个重要概念，是描述自然现
象和工程问题的数学模型。微分方程主要涉及到解微分方程和应用微分方程两个方面。解微分方程是指找出满足某些条件的函数，而应用微分方程则是将微分方程应用到实际问题中，通过解法得到实际问题的解。
总之，微积分是一门深奥的学科，涉及到很多复杂的概念和理论。只有通过多次练习和深入学习，才能对微积分有更深刻的理解和掌握。
微积分求法线方程
微积分求法线方程
在几何和微积分中，法线方程是一个重要的概念，它是指沿着某一点到曲线的垂直线的方向的斜率的函数。它是一个坐标轴的有限线段的一条直线，是曲线描述的一种方式。
那么，如何使用微积分求法线方程呢？最简单的方法就是使用微分学中的定义求导法，也就是给定一个函数f(x)，可以根据公式f′(x)=limh→0[ f(x+h)−f(x)h ] 来求出函数f(x)的导数f′(x)，只要得到了函数的导数，便可以求出法线方程的斜率（m），来确定法线的方向。
而求得了斜率之后，便可以使用一元函数的线性模型，y=mx+b，其中m就是斜率，b为y 轴的偏移量，该偏移量可以通过求得的曲线上的任一点坐标得到，可以将y轴偏移量代入模型中，从而得到法线方程y=mx+b，这就是使用微积分求法线方程的完整步骤。
因此可见，微积分是一门极其有用的方法，它所解决的问题牵涉几何与微积分，广泛应用于数学，物理，化学等学科，不仅可以用来求法线方程，而且还可以帮助我们解决复杂的数学科学问题。
微积分—基本积分公式
微积分—基本积分公式
微积分是数学的一个重要分支，主要研究变化和量的关系。其中积分是微积分的一个基本概念，它用于求解函数曲线下面的面积，以及函数的反导数。在微积分中，有一些基本的积分公式是非常重要的，通过这些公式，我们可以简化积分计算的过程。
1.常数积分公式：
∫k*dx = kx + C
这个公式表示对于任何常数k，对其进行积分，得到的结果是k乘以自变量x再加上一个常数C。
2.幂函数积分公式：
∫x^n*dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)
这个公式适用于幂函数的积分，其中n为任意实数。对于幂函数的积分，可以将指数n加1后再除以(n+1)，然后加上一个常数C。
3.指数函数积分公式：
∫e^x*dx = e^x + C
这个公式对于指数函数e^x的积分非常简单，积分结果直接是e^x再加上一个常数C。
4.对数函数积分公式：
∫1/x*dx = ln，x， + C
这个公式适用于1/x形式的函数的积分，其中ln表示自然对数。对于1/x的积分，结果是ln取绝对值后再加上一个常数C。
5.三角函数积分公式：
∫sin(x)*dx = -cos(x) + C
∫cos(x)*dx = sin(x) + C
这两个公式分别表示sin(x)和cos(x)的积分结果，其中负号表示积分后的结果会减少。
6.反三角函数积分公式：
∫1/√(1-x^2)*dx = arcsin(x) + C
∫1/√(1+x^2)dx = arctan(x) + C
这两个公式分别表示1/√(1-x^2)和1/√(1+x^2)的积分结果，其中arcsin和arctan分别表示反正弦和反正切。
求积分公式大全高等数学
求积分公式大全高等数学
在高等数学中，积分是微积分中的重要概念之一，用于求解函数的面积、体积、曲线的长度以及求解微分方程等问题。常见的积分公式包括原函数的求法、基本积分公式、常用函数的积分公式等。下面将介绍一些常用的积分公式。
1. 原函数的求法
原函数是指对于给定函数f(x)，找到一个函数F(x)，使得
F'(x)=f(x)。常见的函数对应的原函数公式包括：
- 常数函数的原函数：∫kdx = kx + C，其中k是常数，C是常数项。
- 幂函数的原函数：∫x^ndx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
- 正弦函数的原函数：∫sinxdx = -cosx + C。
- 余弦函数的原函数：∫cosxdx = sinx + C。
- 指数函数的原函数：∫e^xdx = e^x + C。
2. 基本积分公式
基本积分公式是指对于一些常见函数的积分形式，可以直接根据公式进行求解。常见的基本积分公式包括：
- 幂函数积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
- 三角函数积分公式：
- ∫sinxdx = -cosx + C。
- ∫cosxdx = sinx + C。
- ∫sec^2xdx = tanx + C。
- ∫csc^2xdx = -cotx + C。
- 指数函数积分公式：∫e^xdx = e^x + C。
- 对数函数积分公式：∫1/xdx = ln|x| + C。
3. 常用函数的积分公式
除了基本积分公式外，还有一些常用函数的积分公式：
- 三角函数的复合函数积分公式：
∫微积分计算举例
∫微积分计算举例
微积分是数学中的一个重要分支，用于研究函数的变化和求解各种问题。本文将通过一系列的例子来介绍微积分的计算方法，以帮助读者更好地理解和掌握微积分。
1.一元函数的定积分
一元函数的定积分是微积分中的一个基本概念。它可以用于计算函数在给定区间上的面积、弧长、质量等问题。
例1：计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分。
解：首先，我们需要求出函数f(x)=x^2的不定积分，即求出其原函数F(x)。根据幂函数的积分法则，我们有F(x)=(1/3)x^3+C，其中C是常数。
然后，我们可以使用定积分的基本计算公式来求解定积分。公式为∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。将函数 f(x) = x^2 和区间 [0, 1] 代入公式中，我们有∫[0, 1] x^2 dx = F(1) - F(0) = (1/3) - 0 = 1/3
因此，函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分为1/3，即所求答案。
2.一元函数的不定积分
和定积分相对应的是不定积分。不定积分是求解函数的原函数，也就是函数f(x)的一个反导函数。
例2：计算函数f(x)=2x的不定积分。
解：根据幂函数的积分法则，函数f(x)的不定积分为F(x)=x^2+C，其中C是常数。
因此，函数f(x)=2x的不定积分为F(x)=x^2+C。
3.一元函数的导数
微积分中还有一个重要的概念是函数的导数。导数可以用来描述函数在其中一点处的变化率，它是函数在该点的切线斜率。
例3：计算函数f(x)=x^3的导数。
解：根据幂函数的导数法则，我们可以得到函数f(x)的导数为
微积分的计算方法
微积分的计算方法
微积分是数学中的一门重要学科，广泛应用于物理、工程、经济等领域。它主要研究函数的变化率和面积、体积等几何量的计算方法。在微积分中，有许多重要的计算方法，本文将介绍其中的几种常见方法。
一、导数的计算方法
导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点处的斜率。计算导数的方法有多种，其中最常见的方法是使用极限的概念。对于给定的函数，可以通过求取极限来计算其导数。另外，还可以使用基本的导数公式来计算导数，如常函数的导数为0、幂函数的导数等。
二、积分的计算方法
积分是对函数的区间上的面积、体积等几何量的计算方法。计算积分的方法有多种，其中最常见的方法是使用定积分的概念。对于给定的函数，可以通过求取定积分来计算其面积、体积等几何量。另外，还可以使用换元法、分部积分法等方法来计算积分。
三、微分方程的求解方法
微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。求解微分方程是微积分中的一个重要问题，可以通过分离变量、变量代换、常数变易等方法来求解。其中，分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法，变量代换法常用于高阶微分方程的求解，常数变易法常用于齐
次线性微分方程的求解。
四、泰勒展开的应用
泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用来近似计算函数的值。通过泰勒展开，可以将复杂的函数近似为多项式，从而简化计算。泰勒展开在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用，如计算无穷小变化量的近似值、求解微分方程的数值解等。
五、曲线的切线与法线的计算方法
曲线的切线与法线是描述曲线在某一点处的方向的直线。计算曲线的切线与法线的方法有多种，其中最常用的方法是使用导数的概念。根据导数的定义，曲线在某一点处的切线斜率等于该点处的导数值，切线方程可以通过点斜式或斜截式求得。法线则是与切线垂直的直线，可以通过切线的斜率求得。
微积分复习及解题技巧
《微积分》复习及解题技巧
第一章 函数
一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2
二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）
对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0
④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1
在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题之1
补充：求y=x
x 212-+的定义域。（答案：2
12<≤
-x ）
三、判断函数的奇偶性：
典型例题：《综合练习》第一大题之3、4
第二章 极限与连续
求极限主要根据： 1、常见的极限：
2、利用连续函数：
初等函数在其定义域上都连续。 例：
3、求极限
的思路：
可考虑以下9种可能：
①0
0型不定式（用罗彼塔法则） ②
2
0C =0 ③∞
0=0
④01
C =∞ ⑤21C C ⑥∞
1C =0
⑦
0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞
∞
型不定
式（用罗彼塔法则）
1sin lim 0
=→x x
x e x x
x =⎪⎭⎫
⎝
⎛+∞→11lim )0(01
lim >=∞→αα
x
x )
()(0
lim 0
x
f x f x x =→11
lim 1
=→x x 1)
()
(lim =→x g x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0
)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩
⎪⎨⎧∞
≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α
特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。
高数常用微积分公式24个
高数常用微积分公式24个
为了更好地帮助大家理解高等数学中的微积分，本文主要介绍高数常用的微积分公式24个。
首先，介绍最基本的微积分概念。微积分是一个广义的概念，它包括微分学和积分学。微分学是研究变动数量的变化率，变量可以表达为函数。积分学则是将某一函数在不同区域上的积分和运算，可以表示为面积、重量或其他距离变化的概念。
其次，介绍高数常用的微积分公式。
1、微分中的基本公式：
（1）函数的定义域x的导数，表示为f′(x)
（2）复合函数的导数，表示为f′(g(x))
（3）二阶导数的定义，表示为f″(x)
2、积分中的基本公式：
（1）求解定积分，表示为∫[a, b]f(x)dx
（2）定积分的换折叠公式，表示为∫[a, b]f(x)dx=[a,
c]f(x)dx+[c, b]f(x)dx
（3）求解不定积分，表示为∫f
（4）二重积分的定义，表示为∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx （5）定义域积分，表示为∫[S]f(x,y)ds
3、微分与积分的关系：
微分与积分有着相互联系的关系。积分是将函数某一段区间的值累积为某一量，而微分则是积分的反过程，求出函数在有限的区
间内的变化率。这一关系也被称为微分法和积分法的反射关系。
4、偏微分的基本公式：
偏微分是指关于同一变量的偏导数。它是微分中比较复杂的一种形式，通常与多元函数相关，旨在研究函数变化率在同一点上受其他变量影响的情况。它的基本公式为f′(x, y)=f/x, f′(x, y)=f/y。
5、常见的微分与积分公式：
（1）指数函数的求导公式，表示为f′(x)=ae^(ax)
基本微积分公式
基本微积分公式
1微积分公式
微积分是数学中的一个分支，是由著名的德国数学家Gottfried Wilhelm Leibniz和英国数学家Isaac Newton发明的，是为了研究连续的函数的变化的方法。微积分公式中包含着很多实用的公式，可以用来计算函数的最值、极限、导数等。
2一阶导数公式
一阶导数是求导中最常见的一种，也是应用最多的一种，它用来表示某个函数在某一点的变化量，一阶导数的公式通过函数的变化量来计算函数的极限值，公式的形式为：y'=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)，其中y'表示函数的一阶导数，x1和x2分别表示两个不同的点，f(x)表示函数的值。
3二阶导数公式
二阶导数是比一阶导数更高级的概念，表示函数在某一点处的变化量，二阶导数的公式为：y''=(f'(x2)-f'(x1))/(x2-x1)，其中y''表示函数的二阶导数，x1和x2表示不同的点，f'(x)表示函数的一阶导数。
4梯度公式
梯度公式是函数变化率最大的方向，可以被用来描述函数的变化量。梯度公式可以用来表示以点为中心，函数瞬间变化量最大的方
向，通常公式记作∇f，表示函数f的梯度方向。梯度的计算方法有两种，一种是用数值的方法，另一种是矢量的方法，数值的公式为：grad(f)={(f(x+1)-f(x-1))/2,(f(y+1)-f(y-1))/2}，其中x、y是变量，f(x)、f(y)分别表示x、y的函数值。
5曲线面积公式
曲线面积是求面积的一种重要方法，在曲线面积公式中，首先要定义好曲线。曲线面积的计算方法有多种，如：从数值解求面积；从边界条件求面积；高元分片梯形公式；梯形公式；抛物线面积公式等等，最常见的曲线面积求法是通过抛物线的公式来求，公式为
高数(一)微积分公式(重要)
（2）如果
，就说 β 与 α 是同阶的无穷小；
特殊地如果
，则称 β 与 α 是等价的无穷小；记作 α～β；
等价无穷小：当 x→0 时，
等价无穷小代换 等价代换原理：在同一极限过程中的三个变量 u，v，w，如果 u，v 是无穷小量，且等价，则有
，
由 得：当 x→0 时，
常用等价无穷小： 当 x→0 时，
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法：用方程 f＇(x)=0 的根及 f＇(x)不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间，然后判断区间内导数的符号。 注意:函数的单调性是一个区间上的性质， 要用导数在这一区间上的符号来判定， 而不能用一点处的导数符号来判别一 个区间上的单调性。 4.5 函数的极值与最值 定义 设函数 f(x)在区间(a,b)内有定义， 如果存在着点 的一个极大值； 如果存在着点 的一个邻域，对于这邻域内的任何点 x，除了点 外，f(x)＞ 均成立，就称 是函数 f(x) 是（a,b）内的一个点， 外，f(x)＜ 均成立，就称 是函数 f(x)
x f＇＇（x） f（x）
（-∞，0） + 凹的
0 0 拐点（0,1）
（0，2/3） 凸的 4.6 渐近线
2/3 0 拐点（2/3,11/27）
（2/3，+∞） + 凹的
微积分基本公式与计算
uv
b
b
vudx
a
a
a
解:
原式 =
1
1
x arcsin x 2 2
00
x dx 1 x2
a
a
a
u ln x
e2
v x;
1
u 1
x
v 1 x2 2
例3 计算
4
xdx .
0 1 cos 2 x
b
uvdx
uv
b
b
vudx
a
a
பைடு நூலகம்
a
解
1 cos 2 x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2 x
4
xdx
0 2 cos2 x
1 2
4 x sec2 xdx
0
u = x, v¢= sec2 x
u¢= 1, v = tan x
1 x
2
tan
x
4
0
1
4 tan xdx
20
8
1 2
ln
cos
x
4
0
8
ln 2 . 4
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>> f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); >> f2=simple(int(f2,y)) f2 = 2*exp(-x^2*y-z^2)*tan(1/2*x^2*y)/(1+tan(1/2*x^2*y)^2) >> simple(f1-f2) ans = 0
cos(x) sin(x) (2 x + 4) --------------- - ------------------2 2 2 x +4x+3 (x + 4 x + 3) 原函数及一阶导数图：
>> x1=0:.01:5; >> y=subs(f, x, x1); >> y1=subs(f1, x, x1); >> plot(x1,y,x1,y1,‘:’) 更高阶导数： >> tic, diff(f,x,100); toc elapsed_time = 4.6860
>> zy=diff(z,y) zy = (x^2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
• 直接绘制三维曲面
>> [x,y]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); >> z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); >> surf(x,y,z), axis([-3 3 -2 2 -0.7 1.5])
• 例:求解单边极限问题
>> syms x; >> limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right') ans = 12
• 在(-0.1,0.1)区间绘制出函数曲线：
>> x=-0.1:0.001:0.1; பைடு நூலகம்> y=(exp(x.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x)))); Warning: Divide by zero. (Type "warning off MATLAB: divideByZero" to suppress this warning.) >> plot(x,y,'-',[0], [12],'o')
• 例
>> syms x y z; f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2); >> df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df); >> pretty(df)
2 2 2 2 2 -4 z exp(-x y - z ) (cos(x y) - 10 cos(x y) y x + 4 2 4 2 2 4 2 2 sin(x y) x y+ 4 cos(x y) x y - sin(x y))
J= [ sin(theta)*cos(phi), r*cos(theta)*cos(phi), -r*sin(theta)*sin(phi)] [ sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)*cos(phi)] [ cos(theta), -r*sin(theta), 0 ]
3.1.3 积分问题的解析解
• 不定积分的推导：
–格式： F=int(fun,x)
• 例： 用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以 得出一致的结果。
>> syms x; y=sin(x)/(x^2+4*x+3); y1=diff(y); >> y0=int(y1); pretty(y0) % 对导数积分 sin(x) sin(x) - 1/2 ------ + 1/2 -----x + 3 x + 1
• 多元函数的偏导：
–格式： f=diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff(f,y,n),x,m)
• 例： 用图表示。
求其偏导数并
>> syms x y z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); >> zx=simple(diff(z,x)) zx = -exp(-x^2-y^2-x*y)*(-2*x+2+2*x^3+x^2*y-4*x^2-2*x*y)
• 定积分与无穷积分计算:
–格式： I=int(f,x,a,b)
–格式： I=int(f,x,a,inf)
• 例： f ( x) e
x2 / 2
>> syms x; I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5) ％无解 I1 = 1/2*erf(3/4*2^(1/2))*2^(1/2)*pi^(1/2) 2 x t 2 erf ( x) e dt >> vpa(I1,70) 0 ans = 1.085853317666016569702419076542265042534236293 532156326729917229308528 >> I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf) I2 = 1/2*2^(1/2)*pi^(1/2)
• 隐函数的偏导数：
–格式：F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)
• 例：
>> syms x y; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); >> pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y))) 3 2 2 -2 x + 2 + 2 x + x y - 4 x - 2 x y - ----------------------------------------x (x - 2) (2 y + x)
• 多重积分问题的MATLAB求解 • 例：
>> syms x y z; f0=-4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)10*cos(x^2*y)*y*x^2+... 4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y)); >> f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x); >> f1=simple(int(f1,x)) f1 = exp(-x^2*y-z^2)*sin(x^2*y)
• 多变量函数的极限：
–格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0)
如果x0 或y0不是确定的值，而是另一个 变量的函数，如x->g(y)，则上述的极限求 取顺序不能交换。
• 例：求出二元函数极限值
>> syms x y a; >> f=exp(-1/(y^2+x^2)) … *sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2); >> L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf) L= exp(a^2)
3.1.2 函数导数的解析解
• 函数的导数和高阶导数
– 格式： y=diff(fun,x) %求导数(默认为1阶) y= diff(fun,x,n) %求n阶导数
• 例：
一阶导数： >> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); >> f1=diff(f); pretty(f1)
3.2 函数的级数展开与 级数求和问题求解
• 3.2.1 Taylor 幂级数展开
• 3.2.2 Fourier 级数展开 • 3.2.3 级数求和的计算
3.2.1 Taylor 幂级数展开
3.2.1.1 单变量函数的 Taylor 幂级数展开
例:
>> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); >> y1=taylor(f,x,9); pretty(y1)
• 多元函数的Jacobi矩阵:
–格式：J=jacobian(Y,X) 其中，X是自变量构成的向量，Y是由各个函数构成的 向量。
• 例： 试推导其 Jacobi 矩阵
>> syms r theta phi; >> x=r*sin(theta)*cos(phi); >> y=r*sin(theta)*sin(phi); >> z=r*cos(theta); >> J=jacobian([x; y; z],[r theta phi])
顺序的改变使化简结果不同于原函数，但 其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由 于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。
• 例：
>> syms x y z >> int(int(int(4*x*z*exp(-x^2*y-z^2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi) ans = (Ei(1,4*pi)+log(pi)+eulergamma+2*log(2))*pi^2*hypergeo m([1],[2],-pi^2) Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值解： >> vpa(ans,60) ans = 3.10807940208541272283461464767138521019142306317 021863483588
• 原函数4阶导数 >> f4=diff(f,x,4); pretty(f4)
2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) ------------ + 4 ------------------- - 12 ----------------2 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 --------------- - 24 ----------------- + 48 ---------------2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) sin(x) + 24 ----------------- - 72 ----------------- + 24 --------------2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3)
• 对原函数求4 阶导数，再对结果进行4次积分 >> y4=diff(y,4); >> y0=int(int(int(int(y4)))); >> pretty(simple(y0))
sin(x) -----------2 x + 4 x + 3
• 例:证明
>> syms a x; f=simple(int(x^3*cos(a*x)^2,x)) f = 1/16*(4*a^3*x^3*sin(2*a*x)+2*a^4 *x^4+6*a^2*x^2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)3*cos(2*a*x)-3)/a^4 >> f1=x^4/8+(x^3/(4*a)3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+... (3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x); >> simple(f-f1) % 求两个结果的差 ans = -3/16/a^4
>> contour(x,y,z,30), hold on % 绘制等值线 >> zx=-exp(-x.^2-y.^2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y4*x.^2-2*x.*y); >> zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); % 偏导 的数值解 >> quiver(x,y,zx,zy) % 绘制引力线
3.1 微积分问题的解析解
3.1.1 极限问题的解析解
• 单变量函数的极限
– 格式1： L= limit( fun, x, x0)
– 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)
• 例: 试求解极限问题
>> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf) L= exp(a)*b